Listona solved

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(Parte 1 de 2)

Roteiro para Revisao I - TUDO FOI RESOLVIDO!

Labor omnia vincit1. Virglio, Georgicas, I, 145

1. Efeito Fotoeletrico. Indique quais os aspectos do efeito fotoeletrico que nao podem ser explicados em termos da teoria ondulatoria (classica) da luz.

SOLUC AO 1. A energia cinetica dos fotoeletrons ejetados independe da intensidade da luz;

2. Classicamente, o EF deveria ocorrer para qualquer frequencia da luz incidente; o experimento, no entanto, mostra que ha um limiar de frequencia - isto e, uma frequencia caracterıstica ν0 - abaixo do qual o EF nao ocorre, independentemente da intensidade da luz.

3. Deveria haver um intervalo de tempo mensuravel entre o instante em que a luz comeca a incidir sobre a superfıcie e a ejecao dos fotoeletrons. Contudo, nenhum retardamento e observado.

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

2. Uma placa de potassio e colocada a 1 m de uma fonte luminosa pouco intensa, cuja potencia e de 1 W. Suponha que um fotoeletron ejetado possa ter coletado sua energia em uma area circular da placa, cujo raio r e um raio atomico (1A). A energia necessaria para remover um eletron da superfıcie do potassio e de cerca de 2.1eV. Quanto tempo levaria o eletron para absorver essa quantidade de energia da fonte luminosa? centrada na fonte, e 4pir2e = 4pi m2. Se a fonte irradia uniformemente em todas as direcoes (i.e., se a energia esta uniformemente distribuıda sobre frentes de onda esfericas que se afastam da fonte, de acordo com a teoria classica) a taxa R segundo a qual a energia incide sobre o alvo e:

1O trabalho tudo vence! 1

Supondo que toda essa potencia seja absorvida, pode-se calcular o tempo necessario para que um eletron adquira energia suficiente para escapar. Esse valor e obtido calculando-se a razao: (energia necessaria para remover um eletron da superfıcie/taxa segundo a qual a energia incide sobre o alvo), ou seja

Lembremo-nos de que e possıvel estimar tempos menores. Nenhum, porem, que possa comparar-se com o limite superior de 10−9 segundos fixado pelas primeiras experiencias.

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x- 3. Quais sao as principais suposicoes de Einstein para a explicacao do Efeito Fotoeletrico? SOLUC AO

1. Supos a existencia de pacotes de energia inicialmente localizados em um pequeno volume do espaco, e que permanecem localizados a medida que se afasta da fonte com velocidade c; sua energia seria dada por E = hν, onde ν e a frequencia;

2. Supos que no processo fotoeletrico o foton seja completamente absorvido por um eletron no fotocatodo.

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

4. (a) A energia necessaria para que um eletron seja removido do sodio e 2.3eV. O sodio apresenta efeito fotoeletrico para a luz amarela, com λ = 5890A? Qual e o comprimento de onda de corte para a emissao fotoeletrica do sodio?

SOLUC AO Como K = hν − W, o comprimento de corte sera dado por:

Isso corresponde ao comprimento de onda (de corte)

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

5. O limiar fotoeletrico para o tungstenio e de 2300 A. Determine a energia dos eletrons ejetados da superfıcie por luz ultravioleta de comprimento de onda λ = 1900A.

Nesse caso, temos de calcular primeiramente a funcao de trabalho para o material. Sabemos que

Ora, a energia cinetica dos eletrons ejetados deve ser dada por:

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

6. (Only for masters!)Um foton de energia hν colide com um eletron estacionario de massa de repouso m. Mostre que nao e fisicamente possıvel para o foton transferir toda a sua energia ao eletron.

O problema deve ser resolvido relativisticamente. Admitamos que o foton transfira toda a sua energia ao eletron. A conservacao de momento exige que

c = mγβc, onde, como sabemos

A velocidade do eletron, depois da colisao, nesse caso, deve ser v. Eliminando-se hν da equacao de conservacao, obtem-se:

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

7. Descreva, em poucas palavras2, ou faca um desenho esquematico3 mostrando em que consiste o Efeito Compton. Qual e o resultado que nao pode ser explicado se os raios-X incidentes forem encarados como uma onda eletromagnetica classica?

Um feixe de raios X de comprimento de onda λ incide sobre um alvo de grafite. A intensidade dos raios X espalhados e medida como funcao do seu comprimento de onda, para varios angulos de espalhamento. Embora o feixe incidente consista de um unico comprimento de onda (λ), os raios X espalhados tem maximos de intensidade em dois comprimentos de onda (um deles e λ e o outro e λ′ > λ). A presenca de λ′ nao pode ser explicada se os raios X incidentes forem encarados como uma onda eletromagnetica classica.

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

8. No Efeito Compton ocorre considerar duas equacoes para a conservacao do momento (a colisao ocorre no plano) e uma equacao para a conservacao da energia. Usando-as, obtenha a equacao para o Efeito Compton, isto e, obtenha a expressao para ∆λ = λ′ − λ. Defina, a partir daı, o comprimento de Compton.

O problema deve ser resolvido relativisticamente. O foton, de energia E0 e momento p0 incide sobre um eletron livre e em repouso, cuja energia de repouso e, por certo, m0c2. O foton e espalhado de um angulo θ e se afasta com energia total E1 e momento p1., enquanto que o eletron recua, formando um angulo φ com o eixo da colisao, com energia cinetica K e momento p. A conservacao do momento requer que:

respectivamente ao longo dos eixos x e y. Elevando-as ao quadrado e somando as duas expressoes acima se pode encontrar:

A conservacao da energia relativıstica total requer que:

2Lembrando-se sempre do adagio: “O sabio manifesta-se com poucas palavras!” 3Segundo um pensamento atribuıdo a Confucio: “Uma imagem vale mais que mil palavras.”

Substituindo p2 de (3) e K de (4) na expressao acima, obtemos:

Como p = h/λ, podemos reescrever a expressao acima na forma final

λC = h

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

9. Considere um feixe de raios-X, com λ = 1A, e tambem um feixe de raios γ vindo de uma fonte de Cs137, com λ = 1.8 × 10−2 A. Se a radiacao espalhada pelos eletrons livres e observada a 90◦ do feixe incidente: (a) Qual e o deslocamento Compton em cada caso? (b) Que energia cinetica e cedida ao eletron em cada caso? (c) Que percentagem da energia do foton incidente e perdida na colisao em cada caso?

O resultado acima independe do comprimento de onda incidente.

b) A equacao (4) pode ser posta na forma:

λ = hc

de modo que

Ex = hν = hc

A energia perdida pelo foton e igual a energia ganha pelo eletron, ou seja, 0.295keV, de forma que a perda percentual de energia e

O mesmo tipo de calculo feito para o foton dos raios γ, fornece, respectivamente os resultados:

Eγ = 660keV e 378keV

Assim, os fotons mais energeticos (aqueles que tem menores comprimentos de onda) sofrem uma maior perda percentual de energia no espalhamento Compton. Issso corresponde ao fato de os fotons de menores comprimentos de onda sofrerem um maior aumento percentual em seu comprimento de onda ao serem espalhados. Isso se depreende da expressao para a perda relativa de energia, dada simplesmente por

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

10. Obtenha a relacao

cot θ entre as direcoes de movimento do foton espalhado e do eletron envolvidos no Efeito Compton. SOLUC AO Podemos usar a equacao (2) para escrever p0 − p1 cosθ = pcosφ e p1 sinθ = psinφ. Dividindo a segunda pela primeira obtemos diretamente tanφ = p1 sinθ

cot θ

cot θ

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

1. Obtenha uma relacao entre a energia cinetica K de recuo dos eletrons e a energia E do foton incidente no Efeito Compton. Uma forma para essa relacao e

Podemos usar diretamente a equacao (12) com (8) para escrever:

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

12. Sempre naquele estilo economico, diga em que consiste o modelo atomico de Thomson e quais sao as suas principais imperfeicoes.

Fica por conta do leitor. -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

13. Suponha a existencia de um eletron de carga −e dentro de uma regiao esferica com densidade de carga positiva uniforme ρ (um modelo do atomo de hidrogenio segundo Thomson). (a) Mostre que seu movimento, se ele ter energia cinetica, pode ser de oscilacoes harmonicas simples em torno do centro da esfera (nesse caso a forca teria a forma F = −ka, se o eletron estiver a uma distancia a do centro da esfera). (b) Suponha que a carga positiva total tenha um valor igual em modulo a carga de um eletron ( o atomo e neutro) e suponhamos que esteja distribuıda sobre uma esfera de raio R = 1A. Ache a constante de forca k e a frequencia do movimento do eletron.

Suponhamos que o eletron esteja a uma distancia a do centro, com a menor do que o raio da esfera. Da lei de Gauss, sabemos que podemos calcular a forca que atua sobre o eletron usando a lei de Coulomb

onde (4/3)pia3ρ e a carga positiva total em uma esfera de raio a. Portanto, podemos escrever

F = −ka, onde a constante k = ρe/3²0. Se o eletron, inicialmente em repouso em a, e deixado livre, sem velocidade inicial, essa forca vai produzir movimento harmonico simples ao longo de um diametro da esfera, pois ela esta sempre dirigida para o centro e tem modulo proporcional a distancia ao centro. (b) Temos

Assim k = ρe

A frequencia do movimento harmonico simples e dada por:

2pi

2pi

Como (em analogia com a radiacao emitida por eletrons oscilando em uma antena) a radiacao emitida pelo atomo tera esta mesma frequencia, ela correspondera a um comprimento de onda

que esta na regiao do ultravioleta longınquo do espectro eletromagnetico. Pode-se mostrar que um eletron que se move em uma orbita circular estavel de qualquer raio dentro do atomo de Thomson gira com essa mesma frequencia, e, portanto, irradia com essa frequencia tambem.

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

14. Mostre que o numero de partıculas α espalhadas em um angulo Θ ou maior no espalhamento de Rutherford e dado por

onde I e o numero de partıculas α incidentes sobre uma folha de espessura t contendo ρ nucleos por centımetro cubico.

Em sala de aula – e verdade que com a presenca de poucos estudantes4, devido ao elevado numero de faltas – ficou demonstrado, com todos os detalhes, que o numero de partıculas α espalhadas entre os angulos Θ e Θ + dΘ era dado por:

N(Θ)dΘ =

O que se pede agora e que calculemos o numero de partıculas espalhadas com angulos que variam entre Θ e valores maiores, isto e, ate pi. Esse numero deve ser dado simplesmente integrando-se a expressao anterior na forma abaixo:

Θ N(Θ)dΘ.

A informacao necessaria e a integral, i.e.,

∫ piΘ sinx

Assim

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x- 15. Atomo de Bohr. Enuncie os Postulados de Bohr. SOLUC AO

Fica por conta do leitor. -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

16. Encontre, fazendo as passagens matematicas necessarias, a expressao para os nıveis de energia do atomo de hidrogenio.

4Obviamente, os melhores!

Usamos a condicao de estabilidade mecanica do eletron, i.e., (forca coulombiana que atua sobre o eletron ) = ( forca centrıpeta que mantem o eletron em sua orbita circular), ou seja

onde v e a velocidade do eletron em sua orbita e r e raio dessa orbita. A quantizacao do momento angular - um dos postulados de Bohr que foram enunciados na questao anterior pelo estudante diligente - assevera que

mvr = nh, n = 1,2,3,ou v =

Usando a expressao acima para v na (13) obtem-se

, n = 1, 2, 3,,

mZe2 e, usando o valor de rn obtido em (14) vem:

mrn

, n = 1, 2, 3,

nh Por fim, a energia potencial e dada por

, n = 1, 2, 3,

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x- 17. Calcule a energia de ligacao do atomo de hidrogenio. SOLUC AO

A energia de ligacao do atomo de hidrogenio (a energia que liga o eletron ao nucleo) e numericamente igual a energia do menor estado ( o estado fundamental). Assim:

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

18. Estime a temperatura de um gas contendo atomos de hidrogenio para o qual serao observadas linhas da serie de Balmer para ao espectro de absorcao.

A distribuicao de probabilidade de Boltzmann (grande Ludwig5!) mostra que a razao entre e o numero n1 de atomos no estado fundamental (energia E1 = −13.6eV), em uma amostra suficientemente grande, em equilıbrio a uma temperatura T, e dada por:

Assim, uma fracao significativa de atomos de hidrogenio estara no primeiro estado excitado somente quando a temperatura for da ordem de 105 K. Onde entra a serie de Balmer? Somente quando os atomos absorvem a partir desse estado eles podem produzir linhas da serie de Balmer, que sao, de fato, observadas no gas hidrogenio de algumas atmosferas estelares.

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

19. Explique como a correcao para a massa nuclear finita do atomo de hidrogenio permite distinguir linhas espectrais deslocadas que levaram a descoberta do deuterio em 1932.

O espectro seria identico se nao fosse a correcao para a massa nuclear finita. A constante de Rydberg para um atomo cujo nucleo possua massa infinita e dada por:

A constante de Rydberg corrigida para massa finita e dada por

5Meu xara! pois no lugar da massa do eletron m usamos a massa reduzida do sistema eletron + nucleo, isto e, usamos µ = mM/(m + M, onde M e a massa do nucleo. No caso em baila, temos para o hidrogenio (M = massa de um proton)

e para o deuterio (M= massa de dois protons)

Assim, RD > RH (uma miseria) mostrando que as linhas espectrais do deuterio sao deslocadas para comprimentos de onda ligeiramente menores se comparados aos do hidrogenio.

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x- 20. Enuncie o Princıpio de Correspondencia. SOLUC AO

Enuncie. -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

21. Compare a atracao gravitacional entre um eletron e um proton no estado fundamental de um atomo de hidrogenio com a atracao coulombiana entre eles. Temos razao ao ignorar a forca gravitacional?

Temos razao (nem sempre estamos enganados)! -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

2. Quais sao a energia, o momento e o comprimento de onda de um foton emitido por um atomo de hidrogenio ao fazer uma transicao direta de um estado excitado com n = 10 para o estado fundamental? Obtenha a velocidade de recuo do atomo de hidrogenio neste processo.

SOLUC AO a) Energia

b) Momento

c) Comprimento de onda

d) A velocidade de recuo. Ora, o momento de recuo e dado por p = hν/c. Se fizermos v = p/mH deveremos ter a resposta pedida, sendo mH= (massa do atomo). Assim,

E bem grande! -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

23. No estado fundamental do atomo de hidrogenio, segundo o modelo de Bohr, quais sao (a) o numero quantico, (b) o raio da orbita, (c) o momento angular, (d) o momento, (e) a velocidade angular, (f) a velocidade linear, (g) a forca sobre o eletron, (h) a aceleracao do eletron, (i) a energia cinetica, (j) a energia potencial e (k) a energia total? Como variam as grandezas (b) e (k) em funcao do numero quantico?

As respostas podem ser encontradas no problema numero 16, fazendo n = 1 para o

-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

24. (a) Usando a formula de Bohr, calcule os tres maiores comprimentos de onda da serie de Balmer. (b) Entre quais limites de comprimentos de onda esta a serie de Balmer?

SOLUC AO A serie de Balmer e escrita na forma:

, m = 3, 4, 5,

) Os tres primeiros comprimentos (sao os tres maiores) sao dados por:

O limite inferior pode ser calculado na forma

e esta localizado no ultravioleta. -x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-x-

25. Considere um corpo girando livremente em torno de um eixo fixo. Aplique as regras de quantizacao de Bohr-Sommerfeld, e mostre que os valores possıveis para a energia total sao:

, n = 0, 1, 2,,

onde I e o momento de inercia em torno do eixo de rotacao. SOLUC AO

Um corpo girando em torno de um eixo fixo tem energia cinetica rotacional dada por

onde ω e a velocidade angular do movimento e L = Iω e o momento angular. Basta considerar o postulado de Bohr, para o qual L = nh, e teremos o que se pede, i. e.,

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