curso de complexa - Zani

curso de complexa - Zani

(Parte 1 de 2)

Fun c~oes de Uma Vari avel Complexa Sergio L. Zani

1 Introdu c~ao 5 2 Os n umeros complexos 9 3 Representa c~ao vetorial de um n umero complexo 13 4 Forma polar de um n umero complexo 17 5 Ra zes de n umeros complexos 21 6 Alguns subconjuntos do plano complexo 25 7 Algumas fun c~oes elementares 29 8 Limite e continuidade 37 9 Deriva c~ao e as equa c~oes de Cauchy-Riemann 41 10 Fun c~oes anal ticas 51

1.1 Raiz n−esima57
1.2 Logaritmo59
1.3 Potencia61

1 Fun c~oes multivalentes 57 12 Curvas no plano complexo 63 13 Integra c~ao 67

14.1 Independencia do Caminho7

14 O Teorema de Cauchy-Goursat 75 15 Primitiva 79 16 A f ormula de Cauchy 85

19.1 Serie de Taylor112
19.2 Zeros de funcao analıtica115
21.1 Singularidades e Serie de Laurent129
2.1 Integrais Improprias Reais135
2.2 Outros Tipos de Integrais139

Por que precisamos dos n umeros complexos?

Antes de responder a esta questao vamos dar uma olhada porque ja precisamos estender o conceito de numeros para podermos resolver algumas equacoes algebricas simples. Primeiramente, assumiremos os naturais, N = {1,2,...}, como o conceito primordial de n umero. Nos numeros naturais estao definidas duas operacoes: a adicao (+) e a multiplicacao (· ou ×). Tambem existe uma ordem natural nestes numeros (<). Considere o seguinte

Problema 1 Encontre um n umero natural que somado a 2 resulta em 1. Se n for este tal numero natural, devera satisfazer

Como o lado esquerdo da equacao 1.1 e sempre maior do que 2 1 < 2 vemos que nao existe solucao para este problema dentro dos numeros naturais. Assim, primeira extensao do conceito de numero se faz necessaria. Daı surgem os numeros inteiros que ampliam o conceito dos numeros naturais e preservam as operacoes e a ordem que ja existiam anteriormente. O elemento 0 e tal que 0 + m = m para todo M ∈ N e, dado n ∈ N, −n denota o inteiro que satisfaz (−n) + n = 0. Note que problema 1 tem solucao em Z. Vejamos o seguinte

Problema 2 Encontre um n umero inteiro cujo dobro seja a unidade. Se n fosse um inteiro que solucionasse este problema deverıamos ter

Porem, o lado esquerdo de 1.2 e par, enquanto que o numero um e ımpar. Ou seja, nao existe solucao para o problema 2 dentro dos numeros inteiros. A solucao e ampliar mais uma vez o conceito de numeros estendendo-o para o conjunto dos numeros racionais. Aqui a extensao

equivalentes se pn = qm. Quando isto acontece, representaremos por pq ou p/q todos os pares

(m,n),n = 0 tais que pn = qm, e chamaremos p/q de um numero racional. Podemos tambem definir a soma e a multiplicacao entre dois racionais da seguinte maneira qn e pq · m n = pm

Os numeros racionais tambem tem uma ordem natural que estende a ordem existente previamente nos inteiros: dados dois racionais r,s podemos supor que r = p/q, q > 0 e s = m/n, n > 0, e dizemos que r,s se pn < qm. As operacoes e a ordem assim definidas para os numeros racionais preservam as anteriores. Note que 2 apresenta solucao em Q. Considere agora o

Problema 3 Encontre um quadrado cuja area seja dois. Se r for a medida do lado de um tal quadrado, deverıamos ter

Esta equacao, porem, nao tem solucao dentro dos numeros racionais. Basta ver que se colocarmos r = p/q, e notarmos que podemos assumir que p e q nao apresentam divisores em comum (com excecao de 1 ou −1), entao 1.3 e equivalente a

Assim p2 e par e, portanto, p e par (por que?). Logo, podemos escrever p = 2k para algum inteiro k. Colocando esta informacao na equacao 1.4 obtemos

Ou seja, q2 e par e, consequentemente, q tambem e par. Mas isto e impossıvel pois p e q nao possuem divisores comuns que sejam 1 e −1. Concluindo, o problema 3 nao apresenta solucao em Q, isto e, nao existe nenhum numero racional que satisfaca a equacao r2 = 2. Note porem, que existe uma infinidade de racionais que satisfazem a desigualdade r2 < 2 e que podemos tomar r2 tao proximo de 2 quanto quisermos. Basta considerar, por exemplo, a sequencia de

A proxima extensao a ser considerada, a dos numeros reais, e mais elaborada do que as anteriores e nao a apresentaremos aqui. Contudo, o conjunto dos numeros reais, R, pode ser entendido como um conjunto ordenado contendo os numeros racionais, sobre o qual estao definidas duas operacoes (adicao e multiplicacao) que preservam as propriedades anteriores e satisfazendo o axioma do supremo: todo subconjunto nao vazio X ⊂ R e limitado superiormente possui supremo, isto e, existe um numero real c tal que x ≤ c para todo x ∈ X e se d ∈ R satisfizer esta mesma propriedade entao c ≤ d. Note que o conjunto X = {x ∈ R;x > 0,x2 < 2} e nao vazio, pois 1 ∈ X, e e limitado superiormente por 2, por exemplo. Desta maneira, X possui supremo em R. Pode-se provar que o supremo de X, digamos c, satisfaz c2 = 2, resolvendo-se, assim, o problema 3 em R. Considere o

Problema 4 Encontre um n umero cujo quadrado seja igual a −1.

uma contradicao.

Antes de continuarmos, talvez seja natural tentar explicar porque se deveria resolver um problema como 4. Uma motivacao para isto pode ser dada pela equacao diferencial que descreve o movimento do pendulo: y′′ + y = 0. (1.5)

Note que as funcoes ex e e−x, x ∈ R satisfazem y′′ − y = 0 e, portanto, e natural procuramos solucao de 1.5 da forma y(x) = eλx. Somos levados a

Tambem podemos definir a multiplicacao de um par (x,y) por um numero real λ da seguinte forma: λ(x,y) = (λx,λy) (multiplicacao por escalar).

A primeira das operacoes acima nada mais e do que a soma de coordenadas vetoriais que ja e familiar de Algebra Linear ou Calculo I e como visto, satisfaz as propriedades associativa e comutativa apresenta um elemento neutro e para todo par ordenado existe um recıproco que somada a ele resulta no elemento neutro. Note que C com a adicao e a multiplicacao por escalar real e um espaco vetorial sobre R de dimensao dois. Com relacao a operacao 2, temos a seguinte

Proposi c~ao 1 A opera c~ao de nida em C = R × R por

Prova: 1. Associatividade: Por um lado, temos

2. Associatividade: Por um lado, temos

Comparando as expressoes acima obtemos o que querıamos mostrar.

3. Elemento Neutro: Temos

e obtemos

Se n ∈ N e z ∈ C definimos zn = zn−1 · z, n ≥ 2,z1 = z. O inverso multiplicativo de um numero complexo z nao nulo sera denotado por z−1 e se m e um inteiro negativo, definimos

As operacoes de multiplicacao e adicao se relacionam atraves da distributividade como pode ser visto na seguinte

Por outro,

Comparando as expressoes acima obtemos o que querıamos mostrar.

De ni c~ao 1 O conjunto C munido das opera c~oes de adi c~ao e multiplica c~ao de nidas acima e chamado de corpo dos n umeros complexos.

dizem que o subconjunto dos numeros complexos dado por R = {(x,0);x ∈ R} e preservado pela adicao e multiplicacao. Desta forma, e natural identificarmos R com o conjunto dos numeros reais. Em outras palavras: podemos assumir que o conjunto dos numeros reais e um subconjunto dos numeros complexos.

Como ja observamos, C e um espaco vetorial sobre R com respeito a adicao e a multiplicacao por escalares reais. Alem do mais, por seus elementos serem pares ordenados, C e um espaco vetorial bidimensional sobre R. Desta forma, como (1,0) e (0,1) formam uma base, todo par z = (x,y) ∈ C se escreve de maneira unica como

Ja vimos que (1,0) e o elemento neutro da multiplicacao e como (1,0) ∈ R, vamos denota-lo tambem por 1. Vejamos o comportamento de (0,1). Temos

Assim, o numero complexo (0,1) possui quadrado recıproco aditivo do elemento neutro da adicao. Usaremos a notacao i = (0,1), obtendo

Com isto, todo elemento z = (x,y) ∈ C pode ser escrito de modo unico como z = x1 + yi, ou ainda z = x + yi. Tambem escreveremos z = x + iy.

Dado z = x + iy, x,y ∈ R, o numero x e chamado de parte real do numero complexo z e e denotado por ℜz. O numero y e chamado de parte imaginaria do numero complexo z e e denotado por ℑz. Temos z = 0 se e somente se ℜz = ℑz = 0. Com esta nova notacao, as operacoes em C podem ser escritas da seguinte forma

Representa c~ao vetorial de um n umero complexo

Ja vimos que um numero complexo z = x+iy,x,y ∈ R e uma representacao de um par ordenado (x,y). Assim, podemos representa-lo num plano cartesiano xOy, identificando o eixo x com os numeros reais (os multiplos de 1 = (1,0)). O eixo y representa os multiplos de i = (0,1) e sera denominado de eixo imaginario.

3
y

xi 1O

Com esta visao geometrica dos numeros complexos, definimos o modulo de z = x+iy,x,y ∈

reflexao do vetor que representa z com relacao ao eixo real. Note que valem as seguintes propriedades elementares

Exerc cio 2 Prove as propriedades acima.

3
y

xi 1O

Tambem temos

2. Por um lado,

extraindo a raiz quadrada (as expressoes envolvem numeros reais) obtemos o resultado.

4z1

extraindo a raiz quadrada obtemos o resultado.

Exemplo 3 Determine todos os valores a ∈ R para que

seja real.

Temos a + i

Exemplo 6 Determine todos os n umeros complexos cujo quadrado seja igual ao conjugado.

Se y = 0 a primeira equacao acima e equivalente a x2 = x cujas solucoes sao x = 0 ou x = 1.

Assim, o conjunto das solucoes do problema e dado por

Cap tulo 4 Forma polar de um n umero complexo

Dado um numero complexo z 6= 0, podemos representa-lo em coordenadas polares como z = r cosθ + ir senθ = r(cosθ + isenθ), (4.1) onde r = |z| e θ e o angulo que o vetor representado por z faz com o eixo real medido no sentido anti-horario em radianos. Devido a periodicidade das funcoes seno e cosseno, e evidente que a equacao 4.1 continua valida se substituirmos θ por θ + 2kπ, k ∈ Z. Um angulo θ que satisfaz 4.1 e chamado de argumento do numero complexo z e e denotado por argz. Enfatizamos que existem infinitos argumentos para um mesmo numero complexo. Porem, dado um intervalo de r i

z e um numero imaginario puro entao argz = π2 se ℑz > 0 e argz = 3π2 se ℜz = 0 e ℑz = 0 entao θ = argz fica determinado pela equacao tanθ = ℑz e pelo quadrante onde se encontra o vetor que representa z.

Observa c~ao 1 Dois n umeros complexos coincidem se e somente se tem o mesmo m odulo e seus argumentos diferem por um m ultiplo inteiro de 2π.

A representacao 4.1 continua valida quando z = 0, tomando r = 0 e θ ∈ R arbitrario.

Exemplo 7 Encontre uma representa c~ao polar para z = 1 + i.

Temos r = |z| = √ 2. Como z se encontra no primeiro quadrante temos que a solucao para

. Assim, uma forma polar de z e

Exemplo 8 Dado θ ∈ R, determine uma forma polar dos seguintes n umeros complexos a) z = cosθ − isenθ b) v = senθ − icosθ.

E imediato que ambos numeros acima tem modulo 1. Note que que e uma forma polar para z. Observe que

que e uma forma polar.

Proposi c~ao 6 Se rj e θj representam o m odulo e um argumento, respectivamente, de zj ∈ C, para j = 1,2, ent~ao r1r2 e θ1 + θ2 representam o m odulo e um argumento de z1z2.

Prova: Basta notar que

Prova: Temos z1

Observa c~ao 2 Seja zo = cosθo + isenθo, θo > 0. Dado z ∈ C, temos que zoz e a rota c~ao do vetor que representa z pelo angulo θo no sentido anti-hor ario. Se θo < 0 a rota c~ao e no sentido oposto.

A observacao acima segue imediatamente da proposicao 6 e do corolario 1 notando-se que

|zo| = 1. A proposicao 6 se estende, por inducao finita, da seguinte maneira:

Corol ario 2 Se r e θ representam o m odulo e um argumento, respectivamente, de z ∈ C, ent~ao para todo n ∈ N temos

Al em do mais, se z = 0, a f ormula acima e valida para todo n ∈ Z.

Corol ario 3 (De Moivre) Para todo θ ∈ R e todo n ∈ Z temos (cosθ + isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ).

. Agora, se n ∈ Z, podemos escrever

Nas secoes anteriores vimos como operar com numeros complexos. Nesta secao vamos nos ater a encontrar solucoes para equacoes do tipo em que n ∈ N e zo ∈ C sao dados. A melhor maneira para tratar este problema e usando a forma polar de representacao.

Primeiramente, e claro que se zo = 0 entao a equacao 5.1 apresenta somente a solucao z = 0. Escrevendo z = r(cosθ + isenθ) e zo = ro(cosθo + isenθo) vemos que 5.1 e equivalente a que por sua vez e equivalente a{ rn = ro

θ = θon + 2kπn

E bom salientar que n√ ro representa a raiz n-esima (positiva) do numero real e positivo ro.

Quanto a equacao θ = θo

n vemos que para cada k ∈ Z temos um valor distinto de θ e para designar esta dependencia escreveremos θk ao inves de θ, isto e θk = θo

Tambem escreveremos zk = n√ ro(cosθk + isenθk).

E facil ver que para todo k,ℓ ∈ Z temos

z0,, zn−1. (5.4)

ou seja, zk+ℓn = zk. Isto significa que podemos nos restringir as solucoes dadas por

Note que os numeros em 5.4 sao dois a dois distintos, pois embora tenham o mesmo modulo, seus argumentos nao diferem por nenhum multiplo inteiro de 2π (veja a observacao 1).

Em resumo, se zo = ro(cosθo + isenθo) 6= 0, a equacao 5.1 apresenta n solucoes (raızes) distintas dadas por

Note que se colocarmos

ζk = cos seja conhecendo-se uma raiz de zo as outras raızes sao obtidas multiplicando-a pelas raızes da unidade.

ζk−1 de um angulo 2πn no sentido anti-horario. Desta maneira, as raızes n-esimas da unidade sao

θ1 = 2π8

Como vimos, as raızes sao dadas por

ζk = cos

, k = 0,, 3,

Como obtemos

Alguns subconjuntos do plano complexo

que nada mais e do que a distancia usual entre dois pontos do plano euclidiano. Desta forma, definiremos conjuntos abertos, fechados, etc., como feito em Calculo I. Vamos as definicoes e chamado de disco aberto centrado em zo e de raio r > 0. 2. Se zo ∈ C e r > 0, o conjunto e chamado de disco fechado centrado em zo e de raio r > 0.

4. Dizemos que X ⊂ C e aberto se todo x ∈ X e ponto interior de X. 5. Dizemos que X ⊂ C e fechado se o seu complementar for aberto.

6. A fronteira de X ⊂ C, denotada por ∂X, e formada por todo ponto z ∈ C tal que z n~ao e ponto interior de X e z tamb em n~ao e ponto interior do complementar de X.

Exemplo 12 O disco aberto e um exemplo de conjunto aberto, bem como uma reuni~ao qualquer de discos abertos.

Exemplo 13 O disco fechado e um exemplo de conjunto fechado, bem como uma intersec c~ao qualquer de discos fechados.

Podemos tambem trazer para o plano complexo as curvas que foram estudadas em Geometria

Analıtica como as retas, os cırculos, as elipses, etc. Na geometria analıtica, estas curvas sao expressas em termos das coordenadas dos pontos que estao sobre elas. No plano complexo, entretanto, e mais conveniente expressa-las em termos do ponto z e de seu conjugado z, ou ainda com relacao ao modulo ou a distancia. O que permite esta passagem sao as relacoes existentes entre as partes real e imaginaria de um numero complexo com relacao a este numero e o seu conjugado.

Exemplo 14 Considere a equa c~ao geral da reta no plano cartesiano dada por ax+by +c = 0, a2 + b2 > 0. Enfatizamos que as constantes a,b e c s~ao n umeros reais e que um ponto que est a sobre esta reta tem coordenadas reais. Mostre que a esta equa c~ao pode ser escrita na forma

Lembre que 2x = z +z e 2iy = z −z. Com isto, vemos que um ponto z = x+iy esta sobre a reta dada se e somente se a z +z

que esta na forma desejada.

Temos

Colocando z = x+iy, x,y ∈ R, temos que x = ℜz e y = ℑ(z +1) e, assim, z ∈ R se e somente se x ≥ y. Desta forma, R representa o semiplano fechado determinado pela reta z = y que contem o ponto (1,0).

Colocando z = x + iy, x,y ∈ R, temos que z ∈ R se e somente se

Seja D um subconjunto de C. Uma funcao f a valores complexos sobre D e uma relacao que a cada z ∈ D associa um unico elemento de C, denotado por f(z). Usaremos a notacao F : D → C, para representar uma funcao definida em D que toma valores em C. As funcoes sao chamadas de partes real e imaginaria de f, respectivamente. Usando a identificacao z = x + iy = (x,y), x,y ∈ R, podemos definir as funcoes u,v : D → R por

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