Apostila demo. estudantes

Apostila demo. estudantes

(Parte 1 de 3)

Apostila

Versão de demonstração (contém apenas 12 exercícios).

Todas as questões dos últimos 5 ENEMs resolvidas passo a passo, dicas de resolução rápida, como não cometer erros comuns, dicas de como estudar e proceder no dia das provas, e muito mais.

Lúcio E. Ferreira

Súmário

Unidade I

5 - Sobre o autor 5 - Apresentação da apostila 6 - Como estudar 7 - Como se comportar nos dias do exame

Unidade I

10 Questões de matemática do ENEM 2017 resolvidas passo a passo 61 Questões de matemática do ENEM 2016 resolvidas passo a passo 114 Questões de matemática do ENEM 2015 resolvidas passo a passo 157 Questões de matemática do ENEM 2014 resolvidas passo a passo 196 Questões de matemática do ENEM 2013 resolvidas passo a passo 238 Questões de matemática do ENEM 2012 resolvidas passo a passo 277 Considerações finais

Unidade I

Sobre o autor

Lucio Elon Ferreira, 26 anos, nascido na cidade de Rio Pomba (MG), graduando em engenharia pela Universidade Federal de Juiz de Fora (MG), servidor público federal, técnico em eletrotécnica no Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Sudeste de Minas Gerais. Estudante desde sempre, quando criança me interessava pela área de exatas, em especial eletricidade, desmontando rádios, TV’s, levando choques, etc. aos 15 anos iniciei o curso de eletrotécnica no antigo Colégio Técnico Universitário, em Juiz de Fora, segui estudando, fazendo estágios, em 2010 iniciei minha carreira nos concursos públicos, ao longo dos últimos 7 anos obtive aprovações em 8 concursos. Ingressei em 2014 no curso de engenharia elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora pelo ENEM, desde 2010 tenho como fonte de renda aulas particulares as quais ministro para estudantes do ensino médio, devido a essa experiência e a bons resultados na matemática (disciplina a qual sempre é motivo de preocupação para cerca de 80% dos estudantes). Decidi escrever essa apostila para transmitir uma nova forma de aprendizado baseada na resolução de exercícios, demonstrando o passo a passo, totalmente de telhado, de cada etapa dos exercícios.

Apresentação da apostila

Essa apostila traz um novo método de estudo, visto que os métodos atuais já provaram sua ineficiência (basta observar a dificuldade que a população jovem encontra ao trabalhar com números). Nas escolas, colégios e cursinhos é muito comum o professor expor aos estudantes um conteúdo e demonstram alguns exercícios fáceis, deixando para os estudantes a tarefa de resolverem sozinhos os exercícios mais complicados, muitas vezes em função do excesso de estudantes nas turmas e do desgaste causado por estudantes inquietos, os professores acabam por não conseguirem transmitir o conhecimento de maneira adequada. Aqui seguiremos a seguinte metodologia: em cada uma das 225 questões que existem nessa apostila existe, junto a ela, a indicação de qual conteúdo deve ser aplicado para a resolução, após a leitura da questão existem algumas dicas de como resolver a questão e também é solicitado ao estudante que tente resolver a questão por conta própria (sem consultar a solução dada na apostila). Caso o estudante não consiga resolver a questão é indicado um conteúdo para que ele estude (esse conteúdo deve ser pesquisado em livros, outras apostilas ou internet, visto que este material se dedica apenas às resoluções). Caso o estudante, mesmo após o estudo do conteúdo sugerido, não consiga resolver a questão, então haverá ali a solução da questão passo a passo, onde está detalhado todo o raciocínio, contas (mesmo as mais triviais) e caminhos seguidos para se resolver a questão. As resoluções das questões seguem os seguintes passos: Inicialmente se apresenta uma solução completa, com todos os fatores matemáticos padrões, em seguida, quando couber, se apresenta um método simplificado para se resolver a questão, esse método geralmente é mais rápido e fácil, porém necessita de atenção e traquejo matemático e, caso o estudante não preste atenção pode cometer erros. Também são apresentados vários erros que os estudantes comumente cometem e quais as falhas que podem levar um estudante a cometer tal erro, por fim são mostradas as pegadinhas que os elaboradores das questões preparam para os estudantes, eles sabem quais erros são comuns e colocam alternativas para os enganarem. É recomendado que, mesmo quando você conseguir resolver a questão sem necessidade de consulta à resolução da apostila, você deve estudar a resolução pois nela se encontram formas alternativas, confiáveis e dicas para se resolver a questão a também para fugir de erros e armadilhas.

Como estudar!

Outro ponto fundamental é(continua na versão completa)

Muitos estudantes não conseguem dedicar um bom tempo ao estudo, se você deseja ingressar em uma universidade deve saber que precisará dedicar boas horas para se preparar para o ENEM. Inicialmente você deve saber qual o ponto de corte do curso no qual deseja ingressar, a escolha do curso é um momento delicado, não escolha um curso para agradar seu pai, mãe ou qualquer parente, pois quem vai passar o resto da vida nessa profissão é você e não eles, é muito importante escolher um curso que lhe faça feliz, porém você deve escolher um curso que lhe dê uma boa remuneração no futuro (você não quer estudar mais cinco ou seis anos para ganhar dois salários mínimos), também deve-se escolher um curso no que lhe proporcione boas oportunidades de emprego ( você não quer estudar cinco ou seis anos para depois ficar desempregado).

Como se comportar nos dias do exame

Às vésperas do exame, na semana que antecede a prova, é muito comum estudantes se matarem ao longo dos dias, na esperança de aprender em poucas horas tudo o que não aprenderam em onze anos de estudo, este é um comportamento quase suicida, pois é impossível se aprender muito conteúdo em poucos dias, se essa não for a primeira vez que você irá prestar o ENEM ou um processo seletivo, então você certamente já viu, nos dias das provas, pessoas

tempos que tiver disponibilidade. Na semana da prova é recomendável

estudando nos ônibus, nos locais de prova minutos antes, etc. Esse comportamento indica certo desespero, o qual gera um estresse muito alto e atrapalha na aprendizagem, estude durante o ano todo, de segunda a sexta, se você não tem muito tempo disponível então estude de segunda a domingo nos (continua na versão completa)

Unidade I

ENEM 2017 2º dia matemática prova azul

Questão 136 (juros compostos): Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P. O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela. A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:

Para resolver essa questão será necessário subtrair das parcelas restantes o percentual de juros embutidos nelas, tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre juros compostos e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo.

Solução: devemos montar uma expressão que nos dê o valor total pago na sexta prestação, veja que o devedor pretende pagar, de uma só vez, a sexta, sétima e oitava prestações, observe também que a sexta prestação terá o valor de P, pois ela está sendo paga sem antecipação, veja que o valor correspondente à sétima prestação não será P, pois ela está sendo paga com adiantamento de um mês e, portanto, terá desconto referente aos juros de um mês, observe também que a oitava prestação está sendo paga com dois meses de antecedência e, portanto, terá um valor desconto equivalente a dois meses de juros compostos.

Vamos calcular quanto será pago por cada parcela separadamente, e depois basta somarmos os resultados.

6ª parcela: será pago o valor P

7ª parcela: por esta parcela haverá um desconto de i%, ou seja

100 , caso estivéssemos acrescentando juros a essa parcela faríamos a seguinte conta: (obs: chamemos a sétima parcela de X)

100 P, ou seja X = P( 1 +

Porém lembre-se de que está sendo dado um desconto para o devedor, então ao invés de aplicarmos uma multiplicação, faremos uma divisão.

100+ Podemos dividir ambos os lados da fração por 100, daí temos:

Apliquemos agora o mesmo raciocínio para a oitava parcela, lembrando que essa teria um acréscimo de i% em relação à sétima, chamemos a oitava parcela de Y (observe que estamos acrescentando juros à parcela apenas para facilitar a compreensão, no fim inverteremos a operação e chegaremos à resposta)

100 P) = P +

100 P +

Observe que o termo entre parênteses no fim da expressão nada mais é do que

100 )² (lembre-se do quadrado da soma de dois termos) (a+b)² = a² + 2ab + b²

Daí teríamos que Y = P(1+

Porém devemos agora inverter a operação e, ao invés de multiplicarmos P pelo fator entre parênteses, vamos dividí-lo.

Temos: Y=

Agora basta que somemos os valores das três parcelas, chamemos essa soma de S

Coloquemos P em evidência : S = P ( 1 + 1

) Opção A

Obviamente esses cálculos demoraram mais de três minutos (tempo que você tem disponível para a resolução de cada questão do ENEM, o passo a passo mostrado acima foi feito para que até o estudante menos preparado fosse capaz de entender, vamos mostrar agora um método muito mais simples, rápido e totalmente sem contas. Este método deve ser aplicado por alunos com certa capacidade matemática.

Se você tem bem afixado em mente o conceito de juros compostos, deve facilmente entender que a sexta prestação, a qual está sendo paga sem adiantamento ou atraso, terá seu valor igual a P, a prestação número 7, a qual está sendo paga com um mês de antecedência, terá um desconto de i%, a prestação número 8, que está sendo paga com dois meses de antecedência, terá um desconto de i²% (i x i %). Você deve ser capaz de perceber também que, quando falamos em desconto de juros, estamos falando em divisão, vamos agora procurar entre as cinco alternativas aquela que tenha um comportamento parecido com o qual nós prevemos. Observe que a opção A é a única que apresenta tal comportamento. Obs: lembre-se de que toda vez que você encontrar com resposta correta a alternativa A, reveja seus cálculos, pois geralmente ela é uma armadilha para pegar os desavisados que cometem algum erro previsível na resolução da questão.

Questão 143 (Análise combinatória): Um brinquedo infantil caminhão cegonha é formado por uma carreta e dez carrinhos nela transportados, conforme a figura:

No setor de produção da empresa que fabrica esse brinquedo, é feita a pintura de todos os carrinhos para que o aspecto do brinquedo fique mais atraente. São utilizadas as cores amarelo, branco, laranja e verde, e cada carrinho é pintado com apenas uma cor. O caminhão cegonha tem uma cor fixa. A empresa determinou que em todo caminhão cegonha deve haver pelo menos um carrinho de cada uma das quatro cores disponíveis. Mudança de posição dos carrinhos no caminhão cegonha não gera um novo modelo de brinquedo. Com base nessas informações, quantos são os modelos distintos do brinquedo caminhão-cegonha que essa empresa poderá produzir?

Esta é sem dúvida uma das questões mais complicadas de 2017, esse tipo de raciocínio raramente é ensinado no ensino médio, o caminho para se chegar à resposta é trabalhar com permutação de elementos. Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre permutações com elementos repetidos e tente novamente. Se não conseguiu, segue abaixo a solução passo a passo.

Solução: Se você procurar na internet, encontrará várias explicações vagas e sem clareza alguma em sites muito famosos, aqui mostraremos uma técnica para a resolução dessa questão. Vamos observar o seguinte: existem 10 carros a serem pintados, e 4 cores disponíveis, temos que nos apegar ao fato de que cada carreta cegonha precisa ter, no mínimo, um carrinho de cada cor, portanto vamos pegar 4 carrinhos e pintar cada um com uma cor diferente, agora nos restaram 6 carrinhos que podem ser pintados da maneira que quisermos. Temos agora que descobrir de quantas maneiras poderemos fazer isso.

Vamos montar abaixo uma tabela intuitiva onde representaremos os carrinhos por traços.

Amarelo BrancoLaranja Verde
I+ I + I + I

Observe que, acima, pintamos dois carrinhos de amarelo, um carrinho de branco, um carrinho de laranja e dois carrinhos de verde, podemos padronizar a sequência de representação das cores utilizadas como sendo sempre Amarelo, Branco, Laranja, verde, vamos montar outras combinações possíveis.

I+I+I+I. Nessa sequência temos três amarelos, um branco, um laranja e um verde +I++I Agora tivemos zero amarelo, três brancos, zero laranja e três verdes.

Observe que precisamos apenas descobrir de quantas maneiras diferentes podemos combinar seis “pauzinhos” e três sinais de soma, poderíamos substituir os sinais de soma por barras, pontos, etc. observe que o número de sinais de soma é uma unidade a menos que o número de cores disponíveis. Agora, para calcular o número de permutações desses elementos, devemos utilizar a fórmula para a permutação de X elementos com repetição de A elementos e B elementos, onde A+B=X

Chamemos de A nosso total de “pauzinhos”, então A = 6, e B nosso total de símbolos de soma, B = 3, daí temos:

A+B9

P = P = 9!

A,B6,3

Se você resolver o cálculo acima encontrará como resposta o número 84 (tente), o qual não aparece em nenhuma das alternativas, devemos então identificar qual resposta corresponde ao que encontramos acima, lembre-se da combinação de elementos (combinação de “n” elementos em grupos de “P” elementos, N≤P)

P

Observe que há muitas semelhanças com a solução que encontramos, temos 9 correspondendo a n, 6 correspondendo a p e 3 correspondendo a n-p (9-6) então o que temos na permutação de 9 elementos sendo 6 de um tipo e 3 do outro nada mais é do que uma combinação do tipo C9. Opção B. 6

Observe as alternativas incorretas, veja que todas elas contêm armadilhas, tente desvenda-las como forma de se preparar para não cair em outras parecidas. Dica: esquecer dos 4 carrinhos que serão coloridos inicialmente pode levar a um erro, confundir permutação com elementos repetidos com combinação pode levar a outros erros.

Continua na versão completa.

ENEM 2016 2º dia matemática prova amarela

QUESTÃO 136 (Análise de gráfico, função de 1º grau). Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O

gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o objetivo fosse alcançado. Para alcançar esse objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá:

A) diminuir em 2 unidades. B) diminuir em 4 unidades. C) aumentar em 2 unidades. D) aumentar em 4 unidades. E) aumentar em 8 unidades.

No gráfico da questão temos a trajetória de dois foguetes, o foguete A descreve uma trajetória parabólica enquanto o foguete B descreve uma trajetória retilínea. Os alunos desejam fazer com que o foguete B intercepte o A no ponto mais alto de sua trajetória (4;16), o gráfico mostra que eles não obtiveram sucesso nos testes pois a interceptação se deu em um momento no qual o foguete A já estava caindo. Nesta questão seu objetivo é descobrir qual deverá ser o coeficiente angular da reta do foguete B para que o experimento seja bem-sucedido. Observe que nas alternativas o que se sugere é que você descubra qual deve ser a variação do coeficiente angular da reta B, para conhecer essa variação você precisará calcular o coeficiente angular da reta atual e também o coeficiente angular da reta desejada (aquela que fará o experimento funcionar). Tente resolver essa questão! Não conseguiu? Estude um pouco sobre funções do 1ºgrau e tente novamente!

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