Aplicação do integral duplo

Aplicação do integral duplo

ANÁLISE MATEMÁTICA I

DUPLO CÁLCULO DE ÁREA e VOLUME

Estudantes:
Elias Arlindo Zeca
Docente:

Heggies Raul Staera Dr. Evaristo Nhassengo

Agradecimento1
Capítulo 1. Prefácio e Objectivos2
1.1 PRÉFACIO2
2 Fundamentação Teórica4
2.1 Integração4
2.1.1 Integrais Duplos4
2.1.1.3 Mudança de variáveis em integrais duplos8
2.2 Aplicação do Integral Duplo1
2.2.1 Calculo de área de Superficie1
2.2.2 Cálculo de Volume12
2.2.3 Interpretação Quando o Integrando é uma Função Densidade13
2.2.4 Interpretação como Centro de Massa14
3 Conclusão17
4 Referências Bibliograficas18
5 Índice Remissivo19

INDICE 6 APÊNDICE .............................................................................................................................. 20

Agradecimento

Por este meio o grupo quer antes agradecer aos colegas que directa ou indirectamente ajudaram na compreesão e análise de alguns problemas relacionados a este tema, e ao docente da cadeira de Análise Matemática I que nos acompanha passo a passo para a compreenção desta disciplina, és que a sua postura serviu-nos de inspiração no método de investigação deste trabalho cujo insetivo é que não faltou neste caminho cheio de agruras, e quanto aos leitores desejamos boa leitura e bom trabalho.

Capítulo 1. Prefácio e Objectivos

1.1 PRÉFACIO

Este é um compendiolo relacionado com aplicação do integral duplo que tem como subtopicos Soma de Rieman, integrais iteradas,integrais sobre algumas regiões, integrais curvilineos, e suas condições necessarias e suficiente, também constam alguns exemplos para melhor interpretação e compreeção.

1.2 Objectivos do Tema

Objectivo Geral O presente tema tem como objectivo geral:

Estudar as aplicações do integral duplo

Objectivos específicos:

Considerando esta unidade um pequeno resumo do que é integral duplo no mundo científico em particular Análise Matemática I, no final o leitor deverá ser capaz de;

Ter a minima noção de integral duplo para cálculo de área e volume; Dominar e utilizar este conteúdo na resolução de problemas relacionados com integral duplo; Saber trabalhar com mudanças de coordenadas em particular as polares.

2 Fundamentação Teórica

2.1 Integração

Em 1910, Gomes Teixeira definia Cálculo Integral da seguinte forma: Chama-se Cálculo Integral o ramo da Analyse que tem por fim procurar as funções quando são dadas as suas derivadas.

As funções procuradas chamam-se integrales e o processo que se emprega para as achar chama-se integração. Os conceitos de integral e de integral definido foram estudados na disciplina de Análise Matemática I. No Cálculo integral de funções de uma variável é definido o integral de uma função continua sobre o intervalo de integração [a; b] como o limite da soma de Riemann.

Neste capítulo estendemos esta ideia, para definir o integral de funções contínuas de duas e três variáveis sobre uma região limitada R no plano. As aplicações dos integrais múltiplos incluem a determinação da áreia, volume, massa em uma variedade mais ampla de que podemos lhe dar na integração de funções de uma variável.Vamos agora estudar a integração e aplicacação de funções reais de duas variáveis e a integração.

2.1.1 Integrais Duplos

Designamos por integrais duplos os integrais de funções reais de duas variáveis. Primeiramente vamos definir o conceito de um integral de uma função real de duas variáveis definida num rectângulo de ℝ2

2.1.1.1 Integrais Duplas Sobre Regiões Retangulares

Seja z = f (x, y) uma função real limitada em uma região retangular R = [a,b]×[c, d]. Inicialmente, vamos considerar uma partição regular (ou uniforme) de R , em subretângulos, conforme a figura abaixo:

, com i, j= 0,, n − 1 e

uma soma de Riemann de f sobre R :

com ΔΑ = ΔxΔy e , um ponto qualquer de um sub-retângulo de R .

A integral dupla de f (x,y) sobre R , denotada por ∬ ( , ) , é dada por

único.

Observação 1: Dizemos que = f (x,y) é uma função limitada em D ⊂ 2 se existe uma constante real positiva M tal que│f (x, y)│≤ M, ∀ (x, y) ∈ D

Observação 2: Se a integral de = f (x,y) sobre uma região R existe, então a função é dita integrável sobre R .

Observação 3: Toda função contínua numa região R é integrável sobre R .

Observação 4: Se a região R é a união de duas regiões disjuntas 1 e 2 então:

Observação 5: A observação anterior pode ser estendida para um número arbitrário (finito) de regiões.

Como f (x, y) é contínua em R , então é integrável sobre essa região. Vamos considerar uma partição regular de R tal que Δx = Δy = 1

. Pela definição dada em 1.2.1, temos:

limite acima independe da escolha de ( , ) nos sub-retângulos da partição.

Assim:

ou seja

Como lim

Obtemos

2.1.1.2 Integrais Iteradas

Assim como na integração de uma variável, calcular a integral de funções de duas variareis usando a definição pode também não ser simples. Todavia para facilitar os nossos cálculos daremos o conceito de integrais iteradas. Suponha que f seja uma função de duas variáveis que é integrável no retângulo = [ ; ]×[ ; ] . Usaremos a notação = [ ; ]×[ ; ] .

Se agora integramos a função A com à variável x de x=a a y=b, obteremos

A integral do lado direito acima é chamada integral iterada. Em geral, os colchetes sãos omitidos. Assim,

Significa que primeiro integramos com relação a y de c a d e depois em relação a x de a até b. Da mesma forma, a integral iterada

Por outro lado

2.1.1.3 Mudança de variáveis em integrais duplos

Na teoria do integral simples ( de funções de uma variável) foi apresentado o chamado método de integração por substituição, que permite calcular integrais mais ou menos complicados, transformando-os em outros mais simples. No caso do integral duplo existe um resultado semelhante a este, que irá transformar um integral da forma, ∬( , ) onde D é uma região do plano XOY, num integral duplo ∬ ( , ) , onde T é a nova região no plano UOV.

Há que notar que, neste caso, terão que existir duas funções ∅1 ∅2, que relacionem (x,y) com (u,v), isto é, terá que existir uma função vectorial ∅=(∅1,∅2) de ℝ2 em ℝ2 definida por:

Estas duas equações definem portanto uma função que transforma um ponto (u; v) do plano UOV , num ponto (x; y) do plano XOY . Em certas condições é possível resolver o sistema acima em ordem a u e v, o que permite escrevê-lo sob a forma:

Suponha-se que as funções ∅1 ∅2 são continuas e de classe 1 em T e que aplicação

(∅1,∅2) de T em D é bijectiva. Então, se o jacobiano (isto é, o determinante da matriz jacobiana)

desta transformação nunca se anula no interior da região T, pode provar-se que é válida a seguinte igualdade, designada por fórmula de mudança de variáveis em integrais duplos:

2.1.1.4 Um caso especial: coordenadas polares

Sejam ( ; ) as coordenadas cartesianas de um ponto P qualquer do plano . Estas coordenadas podem ser obtidas em função da distância do ponto P à origem do referencial e do ângulo que o vector de posição do ponto faz com a parte positiva do eixo . Atendendo à figura ao abaixo. conclui-se então que:

ecos

As coordenadas ( , ) dizem-se as coordenadas polares do ponto P de coordenadas cartesianas (x; y) e fornecem uma forma alternativa de representar a posição desse ponto.

Que representa a distância dum ponto de coordenadas (x; y) à origem, será sempre um número não negativo. Se > 0 e o ângulo pertencer ao intervalo [0; 2 [, a cada ponto de coordenadas cartesianas (x;y) corresponderá um único par ( , ) bem determinado e vice-versa, isto é, a transformação acima é bijectiva. Visto que o jacobiano é;

Assim:

Resolução:

0 2.2 Aplicação do Integral Duplo

2.2.1 Calculo de área de Superficie

Teorema:

Determinamos a área de um tipo especial de superficie uma superficie de revolução por métodos de cálculo de uma única variável. Calculamos aqui a área de uma superficie cuja equação é dado por:

z = f(x,y) o gráfico de uma função de duas variaveis. Seja S a superficie com equação z = f(x,y) tem derivadas parciais contínuas.

Que pode ser escrita da seguinte formula:

Exemplo 1.6- Determine a área de superfície = 2+2 que está acima da região triangular T no plano xy com vértices (0,0), (1,0) e (1,1).

2.2.2 Cálculo de Volume

Seja z = f (x, y) ≥ 0 contínua em R = [a,b]×[c, d] . Seja , i = 1,..., n , a área da subregião do particionamento de R . Seja = ( , ) volume de cada prisma de altura

( , ) área da base . O volume aproximado do sólido delimitado superiormente por f (x, y) inferiormente pela região R é:

Exemplo 1: Calcular o volume do prisma triangular limitado superiormente por f (x, y) = 1− y e inferiormente pela região retangular R = [0,1]×[0,1] .

O volume aproximado, em unidades de volume, é dado por:

Observamos que a figura indica que o volume deve ser a metade do volume do cubo

com lado 1u.c

Pode-se ainda usar a aplicação do cálculo integral para calcular a massa, carga eléctrica, centro de massa e momento de inércia.

2.2.3 Interpretação Quando o Integrando é uma Função Densidade

Uma função de duas variáveis f (x, y) pode representar, por exemplo, a densidade de uma população por unidade de área ou a densidade de massa de uma placa. A integral dupla

∬ ( , ) representará, nesses casos, a população total ou a massa total da região

R

Exemplo 1: Se a densidade por unidade de área de uma população de bactérias sobre a região R =

essa região

[a,b]×[c,d] é f (x, y) = x + 4y em cada posição (x, y) ∈ R , calcular a população total sobre Basta calcularmos:

2.2.4 Interpretação como Centro de Massa

O centro de massa, de uma lâmina cuja medida da densidade de área é ρ(x, y) e cuja medida da massa é:

sendo

De forma simplificada, podemos dizer que o centro de massa ou centro de gravidade é o ponto de aplicação do peso de um corpo, ou seja, é “o ponto de equilíbrio de um sistema”.

Exemplo 1: Seja uma lâmina retangular de largura a = 2 u.c e altura b =1u.c. Se um sistema de coordenadas retangulares é disposto como mostramos na figura, determinar as coordenadas do centro de massa dessa lâmina sabendo que a densidade de área é ρ(x,y) = x cos (y) ua. Considerando R = [0,2]×[0,1], temos que a massa da lâmina é:

As coordenadas do centro de massa são:

3 Conclusão

Tendo chegado ao fim deste compendíolo O grupo chegou a concluir o seguinte: integral duplo tem muita aplicação em varias partes da engenharia, também conclui-mos que, para as cadeiras que se seguem como Termodinamica, mecanica dos fluidos e Fisica I, precisa-se ter noção de integral duplo e operar com cada espécie de integral duplo.

4 Referências Bibliograficas

JUDICE, Edson Durão – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS . 1ª Edição . Belo Horizonte . PUC/M.G . 1987

GONÇALVES, Míriam Buss e FLEMMING, Diva Marília – CÁLCULO B : Funções de Várias Variáveis. 1ª Edição. São Paulo . Editora Makron . 1999

Stewart, James Calculo, volume 2/ James Stewart

A.Chakrabarti, B.N. Mandal Applied Singular Integral Equations, Copyright reserved, New York, 2011

5 Índice Remissivo

Agradecimento, 1 APÊNDICE, 20 Aplicação do Integral Duplo, 1

Calculo de área de Superficie, 1

Cálculo de Volume, 12 Conclusao, 17 Conclusão, 17

F Fundamentação Teórica, 4

Indice Remissivo, 19 Integração, 4 Integrais Duplos, 4

Integrais Iteradas, 7 Interpretação como Centro de

Massa, 14

Interpretação Quando o Integrando é uma Função

Densidade, 13

Mudança de variáveis em integrais duplos, 8

O Objectivos Gerais, 3

P PRÉFACIO, 2

R Referências Bibliograficas, 18

Um caso especial: coordenadas polares, 9

6 APÊNDICE

SimboloSignificado Exemplo
1. ∈𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝐴 ∈𝐵
1. ≠𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴≠𝐵;
2. ∪𝑢𝑛𝑖𝑎𝑜 𝐴∪𝐵;
3. >𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 3>2;
4. <𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 2<3;
5. ∀𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑥 ∈ ℝ;
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎çã𝑜 ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥;
6. ∑ 𝑠𝑖𝑔𝑚𝑎∑𝑥𝑛𝑛

Simbologia (Sinais ou simbolos usados neste compêndio) =1;

7. ∧𝑒 𝐴 𝑒 𝐵;
8. ⊂𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐴⊂𝐵;
9. ±𝑚𝑎𝑠 𝑜𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 +𝐴 𝑜𝑢−𝐴;
13. 𝜃𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑔𝑟𝑒𝑔𝑜 "𝑇𝑒𝑡𝑎"
14. 𝜌𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑜 𝑔𝑟𝑒𝑔𝑜 "𝑅ó"
15. 𝐴(𝑆)𝑛𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓í𝑐𝑖𝑒
16. 𝐽∅𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛𝑜

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