Exercícios Resolvidos: Volume dos sólidos de revolução

Exercícios Resolvidos: Volume dos sólidos de revolução

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Volume de Sólidos de Rotação

Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Escrito em: 30/03/2016 - Atualizado em: 19/1/2017.

Como determinar o volume de um sólido de rotação?

Contanto que o sólido rotacional não tenha nenhum espaço vazio, você pode usar a fórmula:

se o sólido for gerado em torno do eixo , ou então,

se o sólido for gerado em torno do eixo y.

OBS.: A maior dificuldade de se determinar o volume de um sólido de rotação normalmente é determinar o raio de rotação (r( ) ou r(y)), do sólido. O raio de rotação é a distância entre o eixo de rotação e a extremidade externa da área rotativa. Lembre-se também que ele é sempre perpendicular ao eixo de rotação.

Solução:

A primeira dica para resolver esse tipo de problema é desenhar o gráfico da curva com a área por ela limitada. Isso ajudará você a visualizar o sólido cujo volume pretende-se determinar.

O gráfico a seguir mostra a região (em azul) limitada pela curva que será rotacionada.

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Figura 1: Região a ser rotacionada.

Como o problema não diz sobre qual eixo a figura será rotacionada (x ou y) vamos calcular o volume do sólido para as duas situações.

Usando X Como Eixo de Rotação:

O próximo passo, após representar a curva e a região limitada por ela graficamente, é identificar se o sólido formado com a rotação em torno do eixo "x" é maciço ou oco.

A melhor forma de saber isso é usando (literalmente) a sua imaginação. Se rotacionássemos a área em azul do gráfico 1 em torno do eixo "x" a uma alta velocidade de longe veríamos uma esfera igual a esfera da figura 2.

z x

Figura 2: Esfera maciça de raio a.

Com esse exercício imaginativo além de enxergar a forma do sólido também conseguimos ver que o mesmo não possui nenhuma cavidade, ou em outras palavras, é solido maciço.

Como neste caso o sólido é maciço podemos partir para o próximo passo que é determinar o raio de rotação.

O raio de rotação é a extensão do segmento (em vermelho na figura 3) com uma extremidade no eixo e outra na curva.

Figura 3.

Determinar a extensão do raio de rotação, r( ) é bem simples: sua extensão é a

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Assim, o volume do sólido rotacional será:

Note que este é exatamente o resultado que teríamos se usássemos a fórmula

que calcula o volume de uma esfera de raio r.

Usando Y Como Eixo de Rotação:

Como já esboçamos o gráfico da curva e da região por ela limitada vamos passar para a próxima etapa que é: descobrir se o sólido criado pela rotação em torno do eixo "y" gera um sólido maciço.

z x

Figura 4: Meia esfera de raio a.

Pela imagem acima verificamos que o sólido formado é uma meia esfera maciça.

Assim, podemos determinar o raio de rotação (nesse caso r(y)) e calcular o volume do sólido sem problemas.

Olhando o gráfico a seguir é fácil verificar que o raio de rotação é limitada a

Figura 5.

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Assim:

logo o volume do sólido será:

Que é a metade do volume de uma esfera de raio .

Exemplo 2: Encontre o volume do sólido de rotação limitado pela curva y = 3 e pela retas y = 8 e y = 0.

Solução:

O gráfico da curva e as retas que a limitam a área que será rotacionada (em azul), é apresentado a seguir.

2 Fig. 1: Região entre as curvas.

Como novamente o problema não fornece a informação sobre que eixo a região da figura 1 está sendo rotacionada vamos calcular o volume do sólido para os dois casos.

Usando Y Como Eixo de Rotação:

A figura a seguir mostra como seria o sólido criado com a rotação da figura 1 em torno do eixo y. Note que temos uma figura maciça.

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA z x

Fig. 2: Rotação em y

Observe pela figura 1 que para a rotação em torno do eixo y temos r( ) = 3p y.

Fig.3: Raio de rotação em vermelho

5 pi

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Usando X Como Eixo de Rotação:

A figura 3 mostra, mais ou menos, como seria o sólido gerado pela rotação da figura 1 em x.

-8 Fig. 4: Rotação em x. Figura oca.

Aqui a rotação em não gera uma figura maciça. Na verdade, o sólido mais se parece com um cilindro encaixado num funil. Nesse caso o cálculo do volume é um trabalho de três passos.

1◦ passo: Encontramos o raio de rotação da curva que formaria o cilindro.

-8 Fig. 4.1: Raio de rotação do cilindro.

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Encontramos o raio de rotação do “funil". y

-8 Fig. 4.3: Raio de rotação do funil.

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Fig. 4.4: r’(x) limitado por y = x3 e y = 0.

De posse de r( ) (raio de rotação do cilindro) e r′( ) (raio de rotação do funil) fazemos:

7 pi

Comentário:

Quando o sólido não é maciço a estratégia é calcular o volume da figura (como se esta fosse maciça), o volume da cavidade e em seguida subtrair o primeiro resultado do segundo. Já para saber se um sólido é ou não maciço utilize gráficos. Lembre-se também que ao contrário do cálculo de uma área em que a integração ao longo de qualquer eixo (x ou y) não influencia na resposta final o mesmo NAO ocorre com o volume. A rotação em torno de um eixo ou outro (ver exemplo anterior) pode mudar completamente a forma do sólido.

Solução:

A área (em azul) limitada pelas curvas acima e que sofrerá a rotação é mostrada na figura a seguir.

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Fig. 1: Região que será rotacionada em azul.

Claramente percebemos que a rotação dessa área, em torno do eixo , gera um sólido oco.

Fig. 2. Sólido visto lateralmente (esquerda) e de cima (direita).

Em vista disso procedemos assim:

Determinamos o raio de rotação da curva mais acima em relação ao eixo de rotação.

y=1

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Agora o raio de rotação da curva mais próxima

y=1

Exemplo 4: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas

Solução:

A região entre as curvas (em azul) a seguir gera claramente um sólido maciço quando rotacionada em torno do eixo .

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Figura 1.

Figura 2: Raio de rotação. Sendo assim:

Solução: A região a ser rotacionada aparece em azul na imagem a seguir:

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA eixo y=3

Figura 1.

De modo que o volume será:

Solução: A figura a seguir mostra a região (em azul) a ser rotacionada.

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Claramente a região rotacionada em torno do eixo gera uma figura oca. Se sentir dificuldade em visualizar isso pode tentar fazer um esboço tridimensional do sólido.

Assim vamos determinar o raio de rotação da curva mais externa.

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5 pi

Exemplo 7: Determine o volume do sólido de revolução gerado pelas curvas

Solução: O gráfico das curvas descritas é mostrado a seguir.

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Nesse caso, procedemos assim: calculamos o volume formado apenas pela curva

1 r(x)

2 pi

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA r(x)

Finalmente somamos esses dois resultados.

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