Exercícios Resolvidos: área abaixo da curva

Exercícios Resolvidos: área abaixo da curva

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Área Abaixo de Curvas

Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/10/2017

O que preciso saber?

Dada uma função ƒ( ) definida num intervalo [a, b] como na figura a seguir: y x a b então a área A limitada pela curva e o eixo dentro do intervalo [a, b] é:

OBS.: Analogamente se tivermos uma função ƒ(y) podemos determinar a área limitada pela curva e o eixo y com a integral

ƒ(y) dy (Integração em y)

Não é exatamente necessário fazer um gráfico das duas funções, mas tal prática ajuda muito neste tipo de problema. Abaixo temos o gráfico das duas funções que se interceptam nos pontos (0, 0) e (4, 16).

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Usando a integração em X:

Já a área A2 limitada pela curva y = 2 e o eixo será:

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Assim, a área entre as curvas (A) será a primeira integral menos a segunda (A1 − A2).

Usando a integração em Y:

A integração em y é feita em relação ao eixo y. Para aplica-la antes temos de determinar as funções inversas das curvas.

Na verdade, y = 2 implicaria em = ±p y, mas como as interseções entre as curvas ocorrem apenas no primeiro quadrante usamos o resultado positivo.

Assim, a área limitada pela curva = p y (em vermelho abaixo) e o eixo y é o resultado da integral A1

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA p y dy

Já a área limitada pela curva = y

4 (em amarelo a seguir) e representada pela

Assim, a área entre as curvas será o resultado da primeira integral menos a segunda (A1 − A2).

p y dy−

OBS.: Note que neste segundo caso (integração em y) usamos limites de integração diferentes do primeiro caso (integração em x). Na integração em x usou-se

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA a abscisa dos pontos de interseção, enquanto na integração em y usa-se as ordenadas.

Exemplo 2: Calcule a área limitadas pelas curvas y = 3p e y =

Solução: O gráfico das funções é o seguinte:

Usando a integração em X:

Note que a região entre as curvas ora é limitada superiormente por y = 3p ora

Para resolver este problema dividimos a área que desejamos calcular em duas

(A1 e A2), calculamos cada uma individualmente e depois fazemos a soma dos resultados.

Note que a área A1 é limitada apenas por y = 3p , então terá a medida da área igual a:

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Já a área A2 é limitada apenas pela curva y = 6

− 3, então terá área igual a:

Usando a integração em Y: Primeiro encontramos as funções inversas das curvas dadas.

Agora determinamos a área limitada pela curva = 6

Chamaremos esse resultado de A1.

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Em seguida determinamos a área limitada pela curva = y2

9 e o eixo y.

Chamaremos esse resultado de A2.

Agora deve ser possível perceber que a área entre as curvas (A) é a primeira integral menos a segunda.

dy = 6 · n|y + 3|3

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Solução: O gráfico das curvas é colocado a seguir.

Integrando em X:

Primeiro encontramos a integral que nos fornecerá a área limitada pela curva y = p2− e o eixo

e em seguida a integral que nos dará a área limitada por y = − e o eixo .

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Assim, a área entre as duas curvas será a primeira integral menos a segunda (A1 − A2).

Ou seja, 10

Curvas que Interceptam o Eixo de Integração

Nos problemas anteriores determinamos apenas a área de curvas que não interceptavam o eixo no qual realizamos a integração. Agora estudaremos dois casos em que isso ocorre.

Exemplo 4: Refaça o exercício 3 usando a integração em y. 9

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Solução: Vamos observar novamente a área (em azul) que desejamos calcular.

Neste caso queremos realizar a integração ao longo do eixo y o problema é que ambas as curvas interceptam o eixo y.

Assim, antes de realizar a integração, você deve deslocar as funções. Neste caso, duas unidades para direita.

Os gráficos das funções deslocadas é mostrado a seguir.

Note que as curvas ainda têm as mesmas formas. Na verdade, apenas as “puxamos" para direita.

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Já a integral que nos fornece a área limitada pela curva = 2− y e o eixo y será.

A área entre as curva será então a primeira menos a segunda integral (A1 − A2).

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Œ2

Solução: Fazendo o gráfico da função obtemos o seguinte.

Novamente temos um pequeno problema aqui, pois nos foi solicitado a integração ao longo do eixo , contudo a curva acaba interceptando esse eixo. Ao contrário do problema anterior não podemos simplesmente deslocar a função para cima.

Neste caso podemos fazer o seguinte: dividimos a área em questão em duas áreas. Uma acima do eixo e outra abaixo.

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E calculamos cada uma separadamente.

Œ3
Œ4

Note que essa última integral resultou num valor negativo o que não faz sentido já que nenhuma área pode ser negativa. Neste caso, o que deve nos interessa então é o módulo do resultado.

Finalmente somamos ambos os resultados.

Se não fizéssemos o gráfico, poderíamos ficar tentados a achar a área solicitada apenas resolvendo a integral ∫ 4

O problema é que vimos que uma parte dessa integral fica negativa e ao invés de ser somada a parte positiva ela seria subtraída o que nos daria um resultado completamente errado.

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