Elementos Reversíveis e Fortemente Reversíveis em U(n), SU(n), U(n,1), SU(n,1) e PU(n,1)

Elementos Reversíveis e Fortemente Reversíveis em U(n), SU(n), U(n,1), SU(n,1) e...

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Elementos Reversıveis e Fortemente Reversıveis em U(n), SU(n), U(n,1), SU(n,1) e PU(n,1)

Tauan Lucas Amaral Brandao

Belo Horizonte - MG 2015

Tauan Lucas Amaral Brandao Orientador: Heleno da Silva Cunha

Elementos Reversıveis e Fortemente Reversıveis em U(n), SU(n), U(n,1), SU(n,1) e PU(n,1)

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-Graduacao em Matematica do Instituto de Ciencias Exatas (ICEX) da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica.

Belo Horizonte - MG 2015

Agradecimentos

• Agradeco primeiramente a Deus; • Agradeco a minha famılia;

• Agradeco ao meu orientador Heleno, ao departamento de matematica da UFMG e aos meus amigos e colegas que me acompanharam nessa jornada chamada Mestrado;

• Agradeco a minha noiva Lıvia por sua paciencia com a minha ausencia.

A minha mae Margarete, pai Ivan, irma Michele e noiva Lıvia.

Resumo

Este trabalho consiste em apresentar uma classificacao completa dos elementos reversıveis e fortemente reversıveis no grupo de isometrias holomorfas do espaco hiperbolico complexo, denotado por PU(n,1), e nos grupos U(n), SU(n), U(n,1) e SU(n,1), grupos estes que sao de profundo interesse para a geometria hiperbolica complexa. Este trabalho foi baseado no artigo “Reversible Complex Hyperbolic Isometries” de K. Gongopadhyay e J. R. Parker [15].

Palavras-chave: Elementos Reversıveis e Fortemente Reversıveis, Grupo de Isometrias, Espaco Hiperbolico Complexo, Geometria Hiperbolica Complexa.

Abstract

This dissertation presents a complete classification of the reversible and strongly reversible elements in the holomorphic isometries group of the complex hyperbolic space, denoted by PU(n,1), and in the groups U(n), SU(n), U(n,1) and SU(n,1). Those groups are of large importance to the complex hyperbolic geometry. This work is based on the “Reversible Complex Hyperbolic Isometries” authored by K. Gongopadhyay and John R. Parker [15].

Keywords: Reversible and Strongly Reversible Elements, Isometries Group, Complex Hyperbolic Space, Complex Hyperbolic Geometry.

Sumario

Introducao 6

1.1 Conceitos Preliminares de Algebra Linear9
1.2 O Espaco Hiperbolico Complexo12
1.2.1 O Modelo Projetivo12
1.2.2 O Grupo de Isometrias do Espaco Hiperbolico Complexo13
2.1 Um Estudo dos Elementos Reversıveis e Fortemente Reversıveis do U(n)18
2.1.1 Uma Decomposicao em Subespacos Cıclicos18
2.1.2 Uma Caracterizacao para o U(n)31
2.2 Uma Caracterizacao para o SU(n)34

2 Elementos Reversıveis e Fortemente Reversıveis em U(n) e SU(n) 17

3 Elementos Reversıveis e Fortemente Reversıveis em U(n,1), SU(n,1) e PU(n,1) 38

Referencias Bibliograficas 59

Introducao

Os elementos reversıveis e fortemente reversıveis (ver Definicao 2.3) vem sendo estudados em muitos contextos. Para elucidar estes contextos, podemos citar como referencia [3], [10], [2], [28], [29], [30] para elementos reversıveis, e [4], [5], [6], [7], [8], [17], [18], [19], [24], [31] para elementos fortemente reversıveis. Um bom exemplo de contexto em que esses elementos vem sendo estudados e em geo- metria hiperbolica real. Denotemos o espaco hiperbolico real de dimensao n por HnR, o seu grupo de isometrias por Isom(HnR) e a componente conexa da identidade de Isom(HnR) por Isom0(HnR) (grupo de isometrias de HnR que preservam orientacao). Para n = 2, todo elemento de Isom(H2R) e fortemente reversıvel e consequentemente reversıvel. Entretanto, em

Isom0(H2R) ≈ PSL(2,R) existem elementos que nao sao reversıveis. Identificando PSL(2,R) com o grupo das aplicacoes de Mobius, podemos tomar por exemplo a aplicacao z → z + 1 fortemente reversıvel. Ainda em [1], prova-se que todo elemento de Isom(H3R) e fortemente reversıvel.

Para dimensoes maiores, K. Gongopadhyay e R. S. Kulkarni [14, Teorema 1.2], provaram que todo elemento de Isom(HnR) e fortemente reversıvel (ver tambem [4], [18], [17], [24], [31]).

Os elementos reversıveis em Isom0(HnR) foram caracterizados por K. Gongopadhyay [13] e I. Short [27] (ver tambem [21]). K. Gongopadhyay [13] deu uma caracterizacao no ambito da algebra linear, associando isometrias que preservam orientacao com a componente conexa da identidade do grupo ortogonal especial, denotado por SO0(n,1). I. Short [27] obteve uma classificacao geometrica para os elementos reversıveis de Isom0(HnR). O estudo dos elementos reversıveis e fortemente reversıveis tambem vem sendo feito em geometria hiperbolica complexa conforme segue. Sejam HnC o espaco hiperbolico complexo de dimensao n, Isom(HnC) seu grupo de isometrias. Sabe-se que podemos identificar o grupo das isometrias holomorfas de HnC com o grupo unitario projetivo denotado por PU(n,1) (ver [12]). Para n = 2, E. Falbel e V. Zocca [9] provaram que todo elemento de PU(2,1) pode ser expresso como um produto de duas involucoes anti-holomorfas, ou seja, todo elemento de PU(2,1) e fortemente reversıvel em Isom(H2C). Posteriormente, H. Choi [2] estendeu este resultado para as isometrias de HnC. Neste trabalho, tivemos como ponto de partida o problema de caracterizar os elementos reversıveis e fortemente reversıveis de PU(n,1). Grupo este, que tem uma relacao natural com os grupos U(n,1) e SU(n,1). Deste problema, surgiu a necessidade do estudo de caracterizacoes desses elementos nos grupos U(n) e SU(n). Assim, por uma questao de completude, resolvemos estuda-los e incluı-los neste trabalho. Para o estudo destes grupos, nos baseamos nos artigos K. Gongopadhyay e J. R. Parker [15], E. W. Ellers [7] e M. J. Wonenburger [31].

Como a maioria dos resultados deste trabalho sao demonstrados com ferramentas da algebra linear, apresentamos no Capıtulo 1 uma breve revisao de alguns conceitos basicos da algebra linear que precisamos para os fins deste trabalho. Alem disso, ainda neste primeiro capıtulo, fazemos uma introducao ao estudo da geometria hiperbolica complexa. Definimos o espaco hiperbolico complexo, apresentando um de seus modelos, e definimos o seu grupo de isometrias holomorfas classificando as isometrias quanto ao numero de seus pontos fixos em HnC ∪ ∂HnC. Para o Capıtulo 2, reservamos a apresentacao de uma caracterizacao para os grupos

U(n) e SU(n). Essas caracterizacoes sao uteis para classificarmos, quanto a reversibilidade, os elementos dos grupos U(n,1) e SU(n,1), que por sua vez, nos ajuda a classificar os elementos de PU(n,1) quanto a reversibilidade. Daı segue a importancia deste capıtulo para nossos objetivos nesta dissertacao. Alem disso, ainda no Capıtulo 2, mostramos que se uma transformacao linear nao-singular unitaria T ∈ U(V nK) e reversıvel, entao V nK e a soma direta de subespacos regulares Wi mutuamente ortogonais, onde cada Wi e cıclico, ou e a soma direta de dois subespacos cıclicos regulares de mesma ordem, onde U(V nK) e o grupo das transformacoes lineares unitarias nao-singulares definidas em V nK (ver Teorema 2.10).

Finalmente, no Capıtulo 3, apresentamos uma classificacao para os elementos reversıveis e fortemente reversıveis de U(n,1), SU(n,1) e PU(n,1). Tal classificacao e dada relacionando a reversibilidade dos elementos desses grupos aos seus polinomios caracterısticos e autovalores respectivos.

Capıtulo 1

Preliminares

Neste capıtulo, como o proprio tıtulo sugere, trataremos dos conceitos preliminares necessarios para o entendimento do proposito deste trabalho. Muitos dos resultados relevantes que apresentaremos no decorrer desta dissertacao, serao demonstrados utilizando-se de ferramentas da Algebra Linear. Assim, traremos na Secao 1.1 deste capıtulo, alguns conceitos e resultados necessarios da Algebra Linear. Reservamos para a Secao 1.2, uma breve introducao ao Espaco Hiperbolico Complexo, onde por conveniencia para os nossos fins nesta dissertacao, adotamos o chamado Modelo Projetivo para esse espaco. Ainda na Secao 1.2, falaremos sobre o Grupo de Isometrias Holomorfas do Espaco Hiperbolico Complexo, cujos elementos serao nossos principais objetos de estudo neste trabalho.

1.1 Conceitos Preliminares de Algebra Linear

Nosso primeiro passo para podermos falar do Espaco Hiperbolico Complexo e definir

Formas Hermitianas. Entao, comecaremos esta secao trabalhando num contexto mais geral de Formas Sesquilineares, e posteriormente nos restringiremos as Formas Hermitianas.

Para comecar, vamos denotar por VK um espaco vetorial de dimensao finita, sobre um corpo comutativo K. Consideremos a aplicacao J : K → K, que toma t ∈ K e leva em tJ ∈ K, satisfazendo as condicoes:

(i) J e injetiva;

Assim, dizemos que a aplicacao 〈·,·〉 : VK × VK → K e uma Forma Sesquilinear se satisfaz as propriedades:

Isto e, a aplicacao e linear em relacao a primeira coordenada e semilinear em relacao a segunda coordenada. Alem disso, dizemos que uma forma sesquilinear e Nao Degenerada se o unico vetor u ∈ VK que satisfaz 〈u,v〉 = 0 para todo v ∈ VK, e o vetor u = 0, caso contrario a forma e dita ser Degenerada. Se VK e tal que a forma 〈·,·〉 e nao degenerada, dizemos que VK e Regular. Em geral, vamos considerar neste trabalho formas sesquilineares 〈·,·〉, tais que satisfazem considerando VC um espaco vetorial de dimensao finita, sobre o corpo dos complexos C, e tomando J como sendo a conjugacao complexa, denotada pelo sımbolo “−”, temos a seguinte definicao:

0 para todo u ∈ VC nao nulo, e Indefinida se a forma admite valores positivos, negativos e eventualmente nulos. Dado um subespaco vetorial W de VC, dizemos que W e Elıptico, Parabolico ou Hiperbolico se a forma restrita a W e definida positiva, degenerada, ou nao degenerada e indefinida, respectivamente. Alem disso, denotando por V nC um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo dos complexos C, munindo esse espaco de uma forma hermitiana

base de V nC tais que, quando aplicados na forma hermitiana, resultam respectivamente em 1, −1 e 0. Assim obtemos uma terna denotada por (p,q,r). Agora, uma pergunta natural a se fazer e: essa terna que obtemos depende da base ortonormal que estamos considerando para o espaco vetorial em questao? O proximo teorema responde a essa pergunta.

Teorema 1.2 (Sylvester.) Seja V nC munido de uma forma hermitiana 〈·,·〉. Considere

B = {b1,...,bn} uma base ortonormal para V nC . Entao a terna (p,q,r) e sempre a mesma para qualquer base ortonormal que considerarmos no espaco.

Prova. A demonstracao deste fato pode ser encontrada em [20], paginas 104 e 105.

O Teorema de Sylvester nos diz que a terna (p,q,r) e intrınseca a forma, no sentido de nao depender da base ortonormal que tomamos. Assim, chamamos a terna (p,q,r) de Assinatura da Forma Hermitiana. Para simplificar a notacao, sempre que r = 0 na assinatura da forma, denotaremos a assinatura (p,q,0) apenas pelo par (p,q). Alem disso, daqui para frente nos denotaremos por V nC um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo dos complexos C e por V p,qC o par (V nC ,〈·,·〉) tal que a forma hermitiana 〈·,·〉 tem assinatura

Para finalizar esta secao, seguem aqui dois resultados importantes da algebra linear que serao utilizados neste trabalho. As respectivas demonstracoes podem ser encontradas em livros do genero.

Teorema 1.3 (Decomposicao Primaria.) Sejam VK um espaco vetorial de dimensao finita sobre um corpo K e T : VK → VK uma aplicacao linear cujo polinomio mınimo e m(t) = g1(t)h1...gr(t)hr, onde os polinomios gi sao monicos, distintos e irredutıveis, e h1,...,hr ∈ N. Entao, os fatores gi(t)hi sao os polinomios mınimos das restricoes de T a

No teorema acima, quando falamos do polinomio mınimo da transformacao linear T, estamos nos referindo ao polinomio mınimo da matriz associada a transformacao linear T.

Essa relacao entre transformacoes lineares e matrizes pode ser encontrada em livros do genero (ver Observacao 1.5). Veja que tambem estamos usando dessa relacao no resultado abaixo.

Teorema 1.4 Sejam VK um espaco vetorial de dimensao finita sobre um corpo algebrica- mente fechado K e T : VK → VK uma aplicacao linear. Entao VK = ⊕

Vλi , onde Vλi sao autoespacos de T associados respectivamente aos autovalores λi.

1.2 O Espaco Hiperbolico Complexo

Uma vez entendido sobre as formas hermitianas, estudadas na Secao 1.1, estamos em condicoes de falar sobre um modelo do espaco hiperbolico complexo que sera util para nossos propositos neste trabalho. Tal modelo e conhecido como Modelo Projetivo do Espaco Hiperbolico Complexo, e sera definido na subsecao 1.2.1. Ainda nesta secao, mais precisamente na Subsecao 1.2.2, falaremos do Grupo de Isometrias do Espaco Hiperbolico Complexo, o qual e nosso principal objeto de estudo neste trabalho, ja que um dos nossos objetivos nesta dissertacao e classificar os elementos desse grupo quanto a reversibilidade (ver Definicao 2.3).

1.2.1 O Modelo Projetivo

Para comecar esta subsecao, definimos os seguintes subconjuntos de V n,1C :

onde os vetores em V−, V+ e V0 sao chamados de vetores Negativos, Positivos e Isotropicos, respectivamente.

Agora considere em V n,1C −{0} a seguinte relacao de equivalencia: dados u,v ∈ V n,1C , temos que u ∼ v se, e somente se, u = tv para algum t ∈ C nao nulo. Seja P(V n,1C ) = V n,1C −{0}/ ∼, o conjunto das classes de equivalencia dadas pela relacao “∼”. Seja tambem a projecao natural pi dada por:

ou seja, associa cada vetor em V n,1C − {0} a sua respectiva classe de equivalencia. Com isso, definimos o Espaco Hiperbolico Complexo por HnC = pi(V−), isto e, a projetivizacao do conjunto dos vetores negativos de V n,1C . Esse e o chamado Modelo Projetivo do Espaco Hiperbolico Complexo. Alem disso, temos que a projetivizacao do conjunto de vetores isotropicos em V n,1C nos da a Fronteira do Espaco Hiperbolico Complexo, denotada por ∂HnC = pi(V0), e a parte externa ao espaco hiperbolico e a sua fronteira, e dada pela projetivizacao do conjunto dos vetores positivos, o qual denotamos por HnC = pi(V+) e chamamos de Alhures.

No modelo projetivo do espaco hiperbolico complexo, a distancia entre dois pontos u,v ∈

HnC e dada por uma funcao distancia ρ, definida pela formula:

onde u e v sao vetores negativos em V n,1C tais que pi(u) = u e pi(v) = v. A funcao distancia ρ e chamada de Metrica de Bergman, e os elementos u e v sao chamados de Levantamentos dos pontos u e v de HnC, respectivamente. Veja que a metrica de Bergman esta bem definida, ou seja, a expressao acima nao depende do levantamento que tomamos. De fato, se tomamos outros levantamentos u′ = αu e v′ = βv de u e v respectivamente, com α,β ∈ C nao nulos, temos que:

1.2.2 O Grupo de Isometrias do Espaco Hiperbolico Complexo

Antes de falar sobre o grupo de isometrias do espaco hiperbolico complexo, vamos explicitar alguns grupos que sao importantes para os fins deste trabalho. Para isso, seja GL(n,C) o conjunto das matrizes n × n invertıveis, com entradas em C. Esse conjunto tem uma estrutura de grupo quando munido da operacao de multiplicacao de matrizes. Vale lembrar que uma matriz A ∈ GL(n,C) e dita ser Unitaria com respeito a forma hermitiana 〈·,·〉, se

〈Au,Av〉 = 〈u,v〉, para quaisquer vetores coluna u,v ∈ V nC . Dito de outra forma, matrizes unitarias sao aquelas que preservam a forma hermitiana. Tendo isso, dado V nC munido de uma forma hermitiana 〈·,·〉, denotamos o conjunto das matrizes unitarias de ordem n × n por:

estrutura de grupo, e e chamado de Grupo Unitario. Um subgrupo importante de U(n) e o Grupo Unitario Especial, dado por:

Se consideramos V n+1C munido de uma forma 〈·,·〉 de assinatura (n,1), ou seja, o par

V n,1C = (V n+1C ,〈·,·〉), o grupo unitario e o grupo unitario especial sao dados respectivamente por:

Observacao 1.5 Se consideramos uma base em V nC , temos que GL(n,C) e GL(V nC ) sao grupos isomorfos, onde GL(V nC ) e o grupo das transformacoes lineares de V nC em V nC naosingulares, ou seja, transformacoes cujo o nucleo e o trivial. Assim, sempre podemos associar a cada matriz inversıvel uma transformacao linear nao-singular, e a cada transformacao linear nao-singular uma matriz inversıvel. Com isso, a cada matriz A ∈ U(n) podemos considerar TA ∈ U(V nC ) a transformacao linear nao-singular unitaria associada a matriz unitaria A, onde U(V nC ) e o grupo das transformacoes lineares unitarias nao-singulares, que vao de V nC em V nC . O mesmo podemos fazer com as matrizes do grupo U(n,1). Para facilitar a notacao, denotaremos por TA = T, para alguma matriz A ∈ U(n).

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