Gentil Lopes - NUMEROS COMPLEXOS 3D COM PROGRAMACAO NA HP PRIME 2017

Gentil Lopes - NUMEROS COMPLEXOS 3D COM PROGRAMACAO NA HP PRIME 2017

(Parte 1 de 2)

Numeros Hipercomplexos-3D (Com programacao na HP Prime)

Gentil, o iconoclasta

2a edicao

Boa Vista-R Edicao do autor

Copyright c©2017 Gentil Lopes da Silva Todos os direitos reservados ao autor

Site do autor → w.profgentil.com.br email → gentil.iconoclasta@gmail.com

Editoracao eletronica e Diagramacao: Gentil Lopes da Silva

Capa: Adriano J. P. Nascimento

Ficha Catalografica

S586d Silva, Gentil Lopes da

Numeros hipercomplexos-3D -

- Com programac~ao ha HP Prime. 2. ed Gentil Lopes da Silva.-

Manaus/Boa Vista: Editora Uirapuru/Autor, 2017.

CDU: 519.682 (Ficha catalografica elaborada por Bibliotecaria Zina Pinheiro CRB 1/61)

Prefacio

O matematico irlandes William Rowan Hamilton (1805-1865) ao perceber que os numeros complexos, z = a + bi, poderiam ser representados por pontos no plano, isto e, por pares ordenados z = (a, b) de numeros reais, tentou em seguida generalizar e criar os numeros na terceira dimensao, isto e, numeros da forma w = (a, b, c) = a + bi + cj; geometricamente

x y

cessopor fim desistiu da empreitada. O que estaria acontecendo?

o problema todo residia em como definir a multiplicacao de ternos. Durante dez anos Hamilton tentou preencher as interrogacoes acima, sem obter su-

Os numeros racionais sao caracterizados algebricamente pelo conjunto de propriedades no quadro amarelo ao lado. Ao se fazer a extensao dos racionais para os reais, isto e, Q → R, todas estas propriedades sao preservadas; ademais, ao se fazer a extensao dos reais para os complexos, isto e, R → C, todas estas propriedades sao igualmente preservadas.

Existia a epoca de Hamilton uma crenca atavica de que qualquer possıvel extensao dos complexos deveria preservar todas as propriedades deste quadro. Hoje sabe-se que Hamilton estava tentando o impossıvel. (p. 225)

Todavia, o longo esforco de Hamilton nao fora integralmente em vao; apos uns quinze anos de peleja, numa atitude iconoclasta (para a epoca) ele decidiu abandonar a lei comutativa da multiplicacao e com isto conseguiu criar os numeros na quarta dimensao, isto e, numeros da forma:

(a, b, c, d) = a + bi + cj + dk, com a, b, c, d ∈ R. Estes numeros de Hamilton sao conhecidos como quaternios. ([2])

Em 1843, depois de dez anos de experimentacoes e sem ter provado a impossibilidade no espaco de tres dimensoes, ele descobriu os quaternios que sao de dimensao 4 sobre os reais e onde a multiplicacao nao e comutativa. ([3])

Os numeros de Cayley: Apos a publicacao do artigo de Hamilton sobre os quaternios, Arthur Cayley sacrificando as propriedades associativa e comutativa da multiplicacao publica (Marco de 1845) uma generalizacao dos quaternios, criando os octonios em dimensao 8; isto e, numeros

Os matematicos ate hoje acreditam que os numeros tridimensionais sao impossıveis, ate “provaram” isto.

Na pagina 225 exibimos a tal “prova” que pode ser enunciada assim: “Se a multiplicacao e associativa e distributiva, entao os numeros da forma a + bi + cj sao impossıveis”.

Acontece que os matematicos esqueceram de olhar para o contrapositivo deste teorema, que reza: “Se os numeros a + bi + cj sao possıveis, entao a multiplicacao nao e associativa ou nao e distributiva.” Ora, e aqui onde se encaixa (redondinho) nosso presente livro, abandonando estas duas propriedades trouxemos os numeros tridimensionais a existencia!.

‘Lazaro, saia para fora!’O morto saiu ... Desamarrem e deixem

Cremos que este e o primeiro exemplo de uma“algebra” com divisao no R3. Gentil, o iconoclasta/Boa Vista-R, 27.10.2017.

Sumario

1.1 Introducao7
1.2 Definicao: Numeros Hipercomplexos8
1.3 Propriedades das operacoes18
1.4 Divisao24
1.5 Imersao de C em H26
1.6 Imersao de H -2D em H - 3D28
1.7 Forma algebrica3
1.7.1 Unidade imaginaria/Unidade hiperimaginaria3
1.8 Divisao por zero39
1.9 Forma trigonometrica43
1.9.1 Representacao grafica46
1.10 Potenciacao60
1.1 Forma polar70
1.12 Interpretacao geometrica do produto hipercomplexo83
1.13 Radiciacao95
1.14 Apendice129
• Multiplicacao na forma trigonometrica129

1 Numeros Hipercomplexos-3D 7

2.1 Resolucao da equacao a · w = b136
2.1.1 Resolucao da equacao b · w = a144
2.1.2 Resolucao da equacao a · w−1 = b148
2.1.3 Resolucao da equacao b · w−1 = a152
2.2 Resolucao da equacao a · w2 = b155
2.2.1 Algoritimo para extracao de raızes quadradas182
3.1 Introducao189
3.2 Generalizacao da formula de Euler190

3 Funcoes hipercomplexas de argumentos hipercomplexos 189 5

3.3.1 Logaritmo194
3.3.2 Forma exponencial201
3.3.3 Funcoes trigonometricas hipercomplexas206

3.3 Generalizacao de funcoes complexas elementares . . . . . 193

4.1 Introducao221
4.2 Geracao de Fractais - 3D2
4.3 Computacao Grafica223
4.4 Robotica225
Um algoritmo para plotar pontos no espaco227
• Apendice: Listagem dos programas230
mais brilhantes matematicos por seculos232

Capıtulo 1

Numeros Hipercomplexos-3D

Quando o espırito se apresenta a cultura cientıfica, nunca e jovem. Alias e bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Aceder a ciencia e rejuvenescer espiritualmente, e aceitar uma brusca mutacao que contradiz o passado. (Gaston Bachelard/grifo nosso)

Na pagina 225 reproduzimos, de uma publicacao eletronica, uma“prova” da impossibilidade dos numeros tridimensionais; refletindo sobre esta“prova”∗ concluimos que o que de fato este autor prova e por que a estrategia adotada por Hamilton jamais poderia ter dado certo. No entanto, ela nao prova que todas as estrategias possıveis estariam igualmente destinadas ao fracasso. Com efeito, esta “prova” assume em sua hipotese a distributividade, comutatividade e associatividade da multiplicacao; ora, estas exigencias sao infundadas − para efeitos da extensao dos complexos − uma vez que o proprio Hamilton sacrificou a comutatividade para obter os quaternios, e Cayley, alem desta, sacrificou tambem a associatividade para obter os octonios; por estas razoes, e por outras, e que nao apenas afirmamos a existencia dos numeros complexos tridimensionais como, ademais, os apresentamos no presente livro, ou seja, eles estao em tuas maos leitor.

So nos resta descobrir a verdadeira vocacao destes numeros, ou ainda, para o que eles vieram, como podemos utiliza-los a nosso favor. Nem sempre o homem pode “ditar as regras”, dizer a “Natureza” como ela deve se comportar. (p. 93, 94)

∗juntamente com a estrategia adotada por Hamilton, relatada em [4].

A nosso ver a citacao a seguir e das mais importantes em matematica:

Brouwer∗ tem como norma que toda definicao seja construtiva, isto e, indique a maneira de obter os objetos definidos.

[...] Deste modo o intuicionismo afirma-se como uma forma de construtivismo de objetos matematicos, onde a existencia destes somente e possıvel se for indicado um raciocınio mental que efetivamente nos permita aceder a eles. Portanto, o intuicionismo e tambem uma forma de anti-realismo. (Publicacao eletronica)

Em nosso livro de Analise, citado na referencia [7], fazemos uma ampla discussao do conceito de numero, inclusive propomos uma definicao (inedita) para estes entes.

1.2 Definicao: Numeros Hipercomplexos

Os numeros hipercomplexos-3D (denotados por H-3D) sao definidos pela seguinte estrutura numerica (lista de especificacoes):

Em destaque a propriedade que diferencia estes numeros dos“anteriores”.

Nota: O “sacrifıcio” da distributividade e que torna possıvel um numero com tal propriedade. A propriedade i2 = −1, nao partilhada por nenhum numero real, foi obtida com o“sacrifıcio” da ordem (relacoes de ordem) dos reais.

∗L.E.J. Brouwer (1881-1966), matematico holandes, um dos expoentes da escola de pensamento intuicionista − uma derivacao dos construtivistas, que defendem que os objetos matematicos devem ser construıdos, e nao meramente assumidos como existentes. Em contraposicao aos realistas.

Adendo: As leis associativa e distributiva da multiplicacao valem nos numeros naturais?

No nosso sistema (Hipercomplexos−3D) a nao associatividade e nao distributividade da multiplicacao sao postuladas, isto e, valem por definicao.

Uma questao assaz oportuna que levantamos aqui e: estas propriedades (associatividade e distributividade) sao validas nos numeros Naturais?

A princıpio esta parece uma pergunta idiota, concordamos. Nao obstante, afirmamos que estas propriedades nao valem nem nos numeros naturais!, o que dira nos outros numeros − que sao construidos sobre os naturais

Com efeito, e uma postura atavica nossa achar que as referidas propriedades nos naturais sao intrınseca a este sistema∗, mas nao e bem assim; a verdade e que se elas sao validas e porque foram postuladas. Apenas apontaremos um caminho que comprova nossa assertiva: os axiomas de Peano para a construcao dos numeros naturais (p. 241). A teoria dos numeros naturais e construida sobre cinco axiomas (postulados) enunciados por Peano, destes decorrem todas as propriedades dos naturais, estas:

• Ordenado PBO) : Todo subconjunto nao vazio de naturais possui um menor elemento.

Em resumo enfatizamos o seguinte: se a associatividade e distributividade (para nao falar nas demais leis) nos naturais sao validas em decorrencia de um postulado, nos hipercomplexos elas nao valem tambem em consequencia de um postulado, e so isto que desejamos deixar claro!.

∗“Deus criou os naturais; todo o resto e obra do homem.” − Leopold Kronecker. 9

Vamos agora construir um modelo para os numeros H-3D.

Seja R o sistema dos numeros reais. Consideremos o produto cartesiano R×R×R = R3:

Vamos tomar dois elementos, (a1, b1, c1) e (a2, b2, c2), de R3, para dar tres definicoes:

(i) Igualdade: dois ternos ordenados sao iguais se, e somente se, ocorre o seguinte:

(i) Adicao: chama-se adicao de dois ternos ordenados a um novo terno ordenado, obtido da seguinte forma:

(a1, b1, c1) · (a2, b2, c2) a um novo terno ordenado, obtido da seguinte forma:

Onde

Observe que

Com esta definicao teremos condicoes efetivas de provar todas as especificacoes constantes no quadro amarelo que define os hipercomplexos − veremos algumas delas no desenvolvimento da teoria.

Nota: Ja neste momento observe que se tomarmos c1 = c2 = 0 estamos de volta aos complexos C.

Nota: Decidimos chamar estes numeros de “hipercomplexos -3D” para diferencia-los de outros hipercomplexos constantes na literatura − alem do que de fato eles residem no espaco -3D −; ademais, estaremos amiude simplificando a notacao H-3D para simplesmente H.

Representaremos cada elemento generico (x, y, z) ∈ H com o sımbolo w, portanto:

Exemplos:

Solucao: Temos

como r1 6= 0 e r2 6= 0, calculamos o produto em (D4)

Onde assim:

como r1 = r2 6= 0, calculamos o produto em (D4), assim:

Ao “abandonar” as propriedades associativa e distributiva da multiplicacao pagamos um preco por isto: os calculos tornam-se laboriosos; nao obstante, por sorte hoje contamos a nosso favor com o advento da computacao algebrica (CAS). Neste livro, e neste sentido, mostramos o que podemos fazer com uma “simples” calculadora como a HP Prime; uma poderosa ferramenta de computacao algebrica.

Calculadora HP Prime−Computacao algebrica

No nosso entendimento uma das maiores conquistas da Ciencia da Computacao foi justamente a computacao algebrica; hoje em dia uma“simples” calculadora como a HP Primenos permite trabalhar com equacoes, com formulas. Em particular podemos programar, por exemplo, a formula para multiplicar dois hipercomplexos-3D, com resultados simbolicos (exatos).

Nota: Em nosso livro citado na referencia [1] ensinamos a programacao desta maravilha do seculo XXI. O leitor podera baixa-la (emulador) gratuitamente para seu notebook, tablet e ate celular. Para evitar problemas procure baixar a ultima versao, existem varias.

Apenas a tıtulo de ilustracao, programamos a formula para multiplicar dois hipercomplexos − o programa consta nas telas a seguir.

Nota: Nas tres telas temos um unico programa.

Onde

Como exemplo de simulacao do programa, nas telas a seguir

temos os produtos

Nota: A tela da esquerda, acima, mostra como devemos entrar com os numeros, em um vetor − i.e., entre colchetes.

Solucao: Temos

como r1 6= 0 e r2 = 0, calculamos o produto em (D3)

assim:

como r1 = r2 = 0, calculamos o produto em (D1)

ij = j i = j

temos

temos dois casos a considerar,

assim:

Entao

Isto significa que nao existe um numero hipercomplexo w = (x, y, z), com x = y = 0, satisfazendo a condicao dada; logo este primeiro caso pode ser ignorado.

(i) r2 = √ x2 + y2 6= 0. Neste caso calculamos o produto em (D4)

Onde

assim:

r2 . Igualando este produto a (1, 0, 3), obtemos

Desta ultima equacao resulta:

substituindo estes resultados em (1.4), obtemos

daqui segue que

Temos dois casos a considerar: a) x > 0 (|x| = x). Sendo assim, resulta

portanto,

Logo, temos dois numeros que satisfazem a equacao w1·w = w2, quais sejam:

Observe que a equacao w1 · w = w2 poderia, alternativamente, ter sido escrita como, a · x = b, com a = (1, −1, 2) e b = (1, 0, 3). Conclusao: em

H, diferentemente do que ocorre em R ou C, uma equacao do 1o grau pode ter duas solucoes. Nas telas a seguir confirmamos nossos calculos.

1.3 Propriedades das operacoes

Proposicao 1. A operacao de adicao define em H uma estrutura de grupo comutativo, isto e, verifica as seguintes propriedades:

A1) Propriedade associativa; A2) propriedade comutativa; A3) existencia do elemento neutro; A4) existencia do elemento simetrico (ou oposto).

Prova: Deixamos como exercıcio.

Apenas observamos que 0 = (0, 0, 0) e o elemento neutro para a adicao.

Subtracao Decorre da proposicao anterior que dados os hipercomplexos existe um unico w ∈ H tal que w1 + w = w2. Esse numero w e chamado diferenca entre w2 e w1 e indicado por w2 − w1. Nota: Na calculadora estaremos sempre − ate o final deste livro − representando um hipercomplexo (x, y, z) entre colchetes [x, y, z]. Com esta convencao as operacoes de adicao, subtracao e tomar o oposto serao as mesmas da calculadora, isto e, ela ja faz isto. Por exemplo

Proposicao 2. A operacao de multiplicacao em H verifica as seguintes propriedades:

M1) Propriedade comutativa; M2) nao associativa; M3) existencia do elemento neutro; M4) existencia do elemento inverso; M5) nao distributiva em relacao a adicao.

Prova: M1) Propriedade comutativa.

w1 ·w2 = w2 ·w1. De acordo com a definicao de multiplicacao temos quatro casos a considerar:

M2) Nao associativa. Tomando, por exemplo

M3) Existencia do elemento neutro. Existe 1 = (1, 0, 0) ∈ H com a seguinte propriedade: w·1 = w, ∀w ∈ H. De fato, considerando w = (a, b, c) temos dois casos a considerar:

Da comutatividade da multiplicacao decorre a unicidade do elemento neutro, assim: sejam u e u dois elementos neutros para a multiplicacao. Sendo assim, ter-se-a, por um lado, w · u = w, para todo w ∈ H; em particular u·u = u (∗). Por outro lado tambem temos w·u = w, para todo w ∈ H; em particular u·u = u. Esta ultima igualdade pode ser reescrita como u·u = u. Daqui e de (∗) concluimos que u = u.

M4) Existencia do elemento inverso. Desejamos mostrar que,

Vamos inicialmente supor, r1 = √ a2 + b2 6= 0. A possibilidade r2 =√

Consideremos entao r2 = √ x2 + y2 6= 0. Sendo assim, temos

, substituindo em (1.6) obtemos

Substituindo y = −b·xa em (1.9), resulta:

Logo

portanto

Temos

Portanto, qualquer que seja w = (a, b, c) 6= (0, 0, 0), temos que:

Prova: Vamos considerar algumas possibilidades de acordo com a definicao de multiplicacao:

Onde

1a ) r1 = 0 e r2 = 0 (D1). Neste caso a proposicao se reduz a

Por hipotese, r1 > 0 e r2 > 0, juntando a isto a terceira das equacoes acima concluimos que devemos ter ( 1 − c1·c2

) 6= 0, no que resulta

a primeira das equacoes acima por a1 e a segunda por b1, obtemos

Somando obtemos

6= 0, temos a2 = 0, substituindo este resultado nas

Daqui se conclui que b2 = 0. Mas isto contradiz r2 = √ a

Esta proposicao implica que na “algebra iconoclasta” nao existem divisores de zero.

Devido a existencia do inverso multiplicativo, podemos definir em H a operacao de divisao, simbolizada por w1 w2 , estabelecendo que

onde mudamos de notacao: w′2 = w−12

Exemplo:

temos:

Na tela a seguir temos um programa para dividir dois hipercomplexos

Na tela da direita temos o resultado da divisao do exemplo. Observe que o programa da divisao utiliza o programa da multiplicacao (p. 12).

Uma observacao importante e que para resolvermos, por exemplo, a equacao a · x = b em H, nao e lıcito procedermos assim:

uma vez que a multiplicacao em H e nao associativa. Para resolver a equacao em questao devemos proceder como no exemplo 4o ), pagina 15.

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