supersimetria

supersimetria

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Uma Vis~ao Elementar de Supersimetria George Svetlichny

Os f¶‡sicos te¶oricos consideram a supersimetria uma id¶eia t~ao bela que mesmo na ausencia de qualquer ind¶‡cio emp¶‡rico direto da sua verdade, e somente um indireto, de que talvez seja verdade [1], quase todas as propostas atuais de teorias fundamentais incorporam a supersimetria. Pelas suas propriedades matem¶aticas e consequencias f¶‡sicas marcantes, as teorias supersim¶etricas destacam-se entre os candidatos mais promissores para a nossa pr¶oxima vis~ao do mundo f¶‡sico. Mas o que ¶e a supersimetria? N~ao ¶e f¶acil formular a resposta em termos leigos. H¶a v¶arias raz~oes para isto. Em primeiro lugar, a supersimetria, do jeito que o f¶‡sico a entende, combina de uma maneira n~ao trivial a simetria do espa»co-tempo e uma rela»c~ao entre os dois tipos fundamentais de campos f¶‡sicos, os bosonicos e os fermionicos [2]. H¶a muita especiflcidade nesta mistura, e isto oculta as propriedades essenciais das estruturas matem¶aticas envolvidas, apesar destas existirem independentemente de qualquer rela»c~ao com o espa»co-tempo. De fato, todo aluno de matem¶atica j¶a ¶e familiar, sem perceber isto, com v¶arios exemplos delas. Em segundo lugar, uma boa parte de supersimetria ¶e formal, ou seja, tem mais a ver com express~oes e n~ao com objetos matem¶aticos \verdadeiros". Simetrias formais n~ao tem muita gra»ca, a qual s¶o apareces com as interpreta»c~oes. Interpreta»c~oes em termos de teorias quanticas fundamentais est~ao longe da experiencia leiga. Infelizmente as consequencias mais not¶aveis e ¶uteis aparecem s¶o na teoria quantica. Fora deste contexto s¶o um apelo µa beleza ¶e capaz de manter interesse. Finalmente, a abordagem matem¶atica correta exige id¶eias que raramente fazem parte das mat¶erias usuais de cursos de matem¶atica, e o aluno de modo geral tem pouca familiaridade com elas, apesar de muitas serem bastante elementares. Tentaremos, por meio de exemplos simples, apresentar aqui uma vis~ao elementar deste assunto t~ao extraordin¶ario.

que temos xy de novo, mas com qual justiflcativa? Uma seria dizer que x e y s~ao n¶umeros, ou matrizes, ou outros objetos parecidos, e portanto as propriedades elementares destes justiflcam a conclus~ao. Ou seja, as express~oes s~ao interpretadas e dado a interpreta»c~ao podemos provar que = xy. Por outro lado, numa abordagem mais formal, podemos introduzir algumas regras pelas quais uma express~ao poderia ser transformada numa outra e assim, ap¶os um n¶umero flnito de aplica»c~oes destas regras, se transforma em xy. Assim n~ao dizemos o que x e y s~ao mas somente o que pode ser feitos com express~oes que os envolvem.

Digamos que fi e fl s~ao quaisquer justaposi»c~oes de s¶‡mbolos, e admitimos as seguintes regras de reescrita:

A supersimetria atua em situa»c~oes intermedi¶arias entre as interpretadas e as formais, onde certos s¶‡mbolos tem interpreta»c~ao em termos de objetos matem¶aticos \usuais", e outros n~ao. Isto d¶a lugar a muita perplexidade a quem aborda o assunto pela primeira vez, especialmente aos estudiosos de matem¶atica que tentam entender a literatura f¶‡sica.

Dado que contemplamos substitui»c~oes pelas quais pode ser \transformado" de volta em xy, ou seja, que xy ¶e \invariante", ¶e tentador dizer que estamos diante de um \grupo de invariancia". O contexto por¶em ¶e muito solto e n~ao h¶a necessariamente um grupo a vista. As vezes achamos grupos e as vezes n~ao. As vezes achamos algo que tem muitas coisa em comum com grupos mas que estritamente falando n~ao o s~ao. Supergrupos s~ao exemplos destes ¶ultimos objetos. Supersimetria na sua abordagem formal ¶e \simetria" em rela»c~ao a um \grupo" que de fato n~ao o ¶e. ¶E de fato um tipo de grupo quantico.

Consideramos algumas interpreta»c~oes de xy. Os s¶‡mbolos x e y ent~ao indicam objetos matem¶aticos de algum tipo e portanto e devem ser objeto do mesmo tipo. Impomos a condi»c~ao = xy. Se o tipo ¶e n¶umero ent~ao simplesmente passamos de um par de n¶umeros a outro par que tem o mesmo produto. N~ao h¶a estrutura de grupo evidente nesta situa»c~ao. Mesmo sendo poss¶‡vel achar um grupo de transforma»c~oes (x;y) 7! ((x;y);(x;y)) para o qual = xy, n~ao ¶e esta a id¶eia. N~ao estamos exigindo que e dependam de x e y, simplesmente que os substituem. A situa»c~ao muda um pouco se x e y agora s~ao considerados fun»c~oes deflnidos no plano R2, a saber, as fun»c~oes coordenadas. Neste caso e s~ao fun»c~oes tamb¶em e temos (x;y)(x;y) = xy. H¶a muitos grupos de transforma»c~oes (x;y) 7! ((x;y);(x;y)) que podem ser formados por tais pares de fun»c~oes. O conjunto de todas as invers¶‡veis que transformam cada conjunto de n¶‡vel da fun»c~ao xy em si mesmo, ¶e o maior tal grupo. Este tem dimens~ao inflnita.

onde ‚ 6= 0 ¶e real. Ora, j¶a que R ¶e livremente gerado por x e y, qualquer substitui»c~ao x 7! (x;y) e y 7! (x;y) se estende a um endomorflsmo ¶unico R ! R. Das quatro formas acima somente os dois ¶ultimos geram endomorflsmos invers¶‡veis e estes formam um grupo isomorfo ao grupo pseudo-ortogonal O(1;1).

tais que a matriz ( a b c d pertence a O(2;R). Descobrimos o grupo ortogonal em duas dimens~oes.

Uma situa»c~ao tamb¶em interessante acontece se x e y s~ao geradores da ¶algebra exterior ⁄(R2) onde por xy entendemos x y. Temos = a + bx + cy+dxy e = s+tx+uy+vxy. Do = xy deduzimos, as = 0, at+bs = 0, au + cs = 0, e bu ¡ ct + av + ds = 1. Entre as solu»c~oes destas equa»c~oes s~ao aqueles com a = s = d = v = 0 e bu ¡ ct = 1. Estas deflnem um grupo isomorfo a SL(2;R), dado pelas matrizesˆ b c t u de determinante 1. Note que este grupo contem SO(2;R), o componente da identidade do grupo O(2:R) encontrado no exemplo de x2 + y2, um fato que usaremos em exemplos mais adiante, embora seja particular a dimens~ao dois.

O caso de ¶algebras pode ser considerado algo intermedi¶ario entre o interpretado e o formal. Para R[X], por exemplo, n~ao precisamos dizer o que X ¶e, s¶o que algumas regras, tais como XnXm = Xn+m, s~ao v¶alidas. Assim h¶a algo de \formal". Os coeflcientes cn em ∑ n cnXn, por¶em, s~ao n¶umeros, e portanto h¶a tamb¶em algo de \interpretado". Uma li»c~ao que podemos tirar destes ex- emplos ¶e que a medida que introduzimos elementos \formais" nos objetos designados por x e y, mais possibilidade temos de perceber alguma estrutura de grupo presente, mas pelo fato de \substitui»c~ao" n~ao ser exatamente a mesma coisa que \transforma»c~ao", ¶e poss¶‡vel esperar outras possibilidades.

No resto deste cap¶‡tulo, vamos explorar algumas estruturas alg¶ebricas inspiradas por teorias f¶‡sicas. A t¶‡tulo de conveniencia, supomos que todas as ¶algebras s~ao reais. O caso complexo em geral ¶e uma f¶acil adapta»c~ao, e a maioria das considera»c~oes valem para corpos gerais de caracter¶‡stica diferente de 2.

A mecanica quantica divide os objetos f¶‡sicos em bosonicos e fermionicos.

Este fato ¶e expresso algebricamente por comuta»c~ao de operadores no primeiro caso e por anti-comuta»c~ao no segundo. Esta diferen»ca ¶e fundamental para toda a teoria.

Lembramos que numa ¶algebra associativa A dizemos que a comuta com b se o comutador [a;b] = ab¡ba = 0. Dizemos que a anti-comuta com b se o anti-comutador fa;bg = ab+ba = 0. Ora, se a e b comutam com c, ent~ao ab tamb¶em comuta com c. Por¶em, se a e b anti-comutam com c, ent~ao ab em geral n~ao anti-comuta com c mas comuta com ele. Ainda mais, se a comuta com c, e b anti-comuta com c (ou vice-versa), ent~ao ab anti-comuta com c. Se denotamos com C0 a sub¶algebra de elementos que comutam com c, e com C1 o subespa»co daqueles que anti-comutam com c, ent~ao tem-se C0C0[C1C1 ‰ C0 e C0C1 [ C1C0 ‰ C1, o que nos leva a introduzir as ¶algebras graduadas. Seja S um semigrupo. Uma ¶algebra A ¶e uma ¶algebra S-graduada se existem subespa»cos vetoriais As para s 2 S tais que A = 's∈SAs e AsAr ‰

Asr. Um elemento a 2 A ¶e dito homogeneo de grau s se a 2 As. Neste caso denotamos o grau de a por jaj. No que segue, vamos introduzir express~oes que s~ao v¶alidas somente para elementos homogeneos, sem chamar aten»c~ao para este fato, entendendo que a presen»ca na express~ao do grau de um elemento j¶a indica que ele deve ser homogeneo. Um morflsmo entre duas ¶algebras S-graduadas A e B ¶e um morflsmo de

A supersimetria utiliza ¶algebras Z2-graduadas, tamb¶em conhecidas como super¶algebras. Se A ¶e uma super¶algebra ent~ao A0 ¶e conhecida como a sub¶algebra bosonica, e A1 como o subespa»co fermionico (o qual n~ao ¶e uma sub¶algebra). No caso de dimens~ao flnita vamos indicar genericamente uma

Seja A uma super¶algebra. A aplica»c~ao bilinear [¢;¢]s deflnido por chama-se o supercomutador, ou o supercolchete. Note que para dois elementos fermionicos o supercomutador ¶e o anti-comutador e que para todas as demais combina»c~oes de elementos homogeneos ¶e o comutador. Para elementos n~ao homogeneos o supercomutador ¶e bem deflnido usando a bilinearidade. Nas deflni»c~oes daqui em diante, tais extens~oes al¶em dos elementos homogeneos, quando pertinente, ser~ao sempre subentendidas.

O supercolchete combina propriedades do comutador e do anti-comutador de uma maneira sistem¶atica. Na literatura f¶‡sica ve-se frequentemente a express~ao muito feia, [a;bg, com o colchete a esquerda e a chave a direita, para denotar o supercomutador.

As propriedades do supercomutador assemelham-se µas propriedades do colchete de Lie, por¶em, com algumas mudan»cas de sinal. Em primeiro lugar, tem-se a rela»c~ao de simetria graduada o que poder¶‡amos estar tentados de chamar \supersimetria" mas esta palavra j¶a tem outro sentido. Seja A agora associativa. ¶E f¶acil mostrar o an¶alogo da identidade de Jacobi:

O expoente de ¡1 nos v¶arios termos de (2), (3), e (4) podem todos ser descrito como o n¶umero de permuta»c~oes de posi»c~oes de elementos fermionicos necess¶arios para permutar os s¶‡mbolos do termo mais a esquerda para se ter a ordem no termo em quest~ao. Esta regra determina o sinal na maioria dos casos de express~oes em super¶algebras. Com cada troca de elementos fermionicos h¶a uma mudan»ca de sinal. ¶E poss¶‡vel reescrever (3) numa maneira mais sim¶etrica como:

que ¶e a maneira usual, embora nesta forma a raz~ao para os sinais n~ao ¶e t~ao aparente.

¶E not¶avel que o anti-comutador {¢,¢g por si s¶o, n~ao satisfaz nenhuma identidade parecida com a de Jacobi.

Algumas ¶algebras familiares j¶a s~ao super¶algebras de forma natural. A ¶algebra polinomial real R[X] da vari¶avel X ¶e naturalmente R[X2]'XR[X2]. Outros dois exemplos s~ao a ¶algebra exterior ⁄(V) de um espa»co vetorial V e a ¶algebra de Clifiord C‘(V;fl) de um espa»co vetorial V com uma forma bilinear sim¶etrica n~ao-degenerada fl. A sub¶algebra bosonica consiste de somas de produtos (exterior ou de Clifiord, conforme o caso) de um n¶umero par de elementos de V, e o subespa»co fermionico de somas de produtos de um n¶umero ¶‡mpar. Note que a ¶algebra comutativa R[X] n~ao ¶e supercomutativa,

No mundo de objetos Z2-graduados o an¶alogo correto de comutatividade ¶e a supercomutatividade. ¶Algebras comutativas no sentido usual devem ser consideradas como essencialmente n~ao comutativos neste contexto.

Uma super¶algebra de Lie ¶e uma ¶algebra Z2-graduada A cujo produto, denotado por [¢;¢]s, satisfaz propriedades (2) e (5) acima. Qualquer super¶algebra associativa ¶e uma super¶algebra de Lie com o produto sendo o supercomutador. Uma representa»c~ao de uma super¶algebra de Lie A ¶e uma aplica»c~ao linear : A ! B para uma super¶algebra associativa B, preservando a gradua»c~ao, tal que

V¶arios teoremas sobre ¶algebras de Lie usuais tem an¶alogos muito parecidos para super¶algebras de Lie. Assim super¶algebras de Lie podem ser representadas universalmente numa super¶algebra associativa envolvente. Seja A uma super¶algebra de Lie e seja ~A a ¶algebra tensorial plena do espa»co vetorial A. Tem-se

considere o ideal bilateral I gerado pelos elementos [a;b]s¡[a;b]›s para todos os elementos a;b 2 A. Deflna a super¶algebra universal envolvente U(A) de

A como o quociente ~A/I. N~ao ¶e dif¶‡cil mostrar, imitando a demonstra»c~ao no caso de ¶algebra de Lie usual, que a aplica»c~ao canonica A ! U(A) ¶e uma representa»c~ao, e que qualquer representa»c~ao fatora de uma maneira ¶unica atrav¶es desta aplica»c~ao canonica. Vale tamb¶em o an¶alogo do teorema de Birkofi-Witt. Seja A de tipo (n;m), onde ki ‚ 0 s~ao inteiros e ‘i 2 f0;1g. O caso de todos os ki e ‘j igualem a zero corresponde ao elemento unidade.

Como um exemplo considere a super¶algebra de Lie com A0 = f0g e A1 sendo um espa»co vetorial qualquer. Neste caso [a;b]s = 0 para qualquer par de elementos, e o ideal I ¶e gerado por todos os produtos tensoriais

Temos [fi;fj]s = ∑ k cijkbk. Vemos de (1) que cijk = cjik, mas (3) n~ao imp~oe mais nenhuma rela»c~ao. Considere o caso particular de n = 1, m = 2 com

L(A) cont¶em todos os monomios de forma bkf1 para k natural.

bn+1f1f2 2 L(A), o que completa a demonstra»c~ao. O ponto essencial deste resultado ¶e que L(A) tem dimens~ao inflnita.

Assim uma super¶algebra de Lie A de dimens~ao flnita foi usada para codiflcar uma ¶algebra de Lie L(A) usual de dimens~ao inflnita.

Interessa µa f¶‡sica as simetrias da matriz de espalhamento S. Este ¶e um operador unit¶ario no espa»co de Hilbert dos estados f¶‡sicos que descreve os detalhes de processos elementares. Existem duas no»c~oes de simetria, (1) um operador unit¶ario1 U tal que USU∗ = S, e (2) um operador auto-adjunto K tal que [K;S] = 0. No segundo caso, sob condi»c~oes adequadas, o grupo

1Estritamente falando, pode haver o caso de um operador anti-unit¶ario, mas consideremos somente o caso unit¶ario.

unit¶ario U(¿) = exp(i¿K) para ¿ ∈ R, fornecido pelo teorema espectral, satisfaz U(¿)SU(¿)∗ = S, e portanto ¶e um grupo de simetrias unit¶arias. Um tal operador K ¶e conhecido como simetria inflnitesimal. Formalmente, se K e L s~ao simetrias inflnitesimais, ent~ao pela identidade de Jacobi temos [[K;L];S] = 0. Assim, ainda formalmente, as simetrias inflnitesimais, multiplicados pelo n¶umero imagin¶ario i, formam uma ¶algebra de Lie. Na teoria relativista do campo quantico, a ¶algebra de Lie de simetrias inflnitesimais cont¶em, como sub¶algebras, uma imagem isomorfa µa ¶algebra de Lie do grupo de Poincar¶e (gerado por transla»c~oes no espa»co-tempo e transforma»c~oes de Lorentz) e uma ¶algebra de Lie de dimens~ao flnita de simetrias internas que relaciona propriedades de esp¶ecies diferentes de part¶‡culas (por exemplo pr¶otons e neutrons). Esfor»cos iniciais de combinar de uma maneira n~ao trivial as simetrias do espa»co-tempo e as simetrias internas, o que daria uma teoria com poder de previs~ao maior, encontrou um obst¶aculo no famoso \no-go theorem" de Coleman e Mandula [3]. Este aflrma que na teoria relativista de campo quantico, qualquer ¶algebra de Lie de dimens~ao flnita de simetrias inflnitesimais que estende a simetria de Poincar¶e, ¶e necessariamente uma soma direta (e portanto uma combina»c~ao trivial) da ¶algebra de Poincar¶e com a ¶algebra de simetrias internas. A supersimetria evita este teorema postulando uma super¶algebra de Lie de dimens~ao flnita de simetrias inflnitesimais, a qual, como vimos no exemplo anterior, ¶e capaz de gerar uma ¶algebra de Lie de dimens~ao inflnita e portanto fugir das hip¶otese do teorema de Coleman- Mandula.

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