Módulo 01 Movimento em Uma Dimensão

Fenômenos Mecânicos Eduardo Gregores (646- ‐3)

Resumo do Módulo

• Posição e Deslocamento

• Velocidade Média e Velocidade Escalar Média • Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar

• Aceleração

• Caso da Aceleração Constante

• Queda Livre • Derivada e integral

• Exemplos

Posição do Carro Ponto t(s) x(m)

Posição e Deslocamento

Uma mudança de posição x1 para posição x2 é chamado deslocamento Δx

Deslocamento

Posição Final Posição Inicial

O Deslocamento Escalar ΔxS é o quanto ele andou.

ΔxS = Δx

Velocidade Média e Velocidade Escalar Média

A Velocidade Média é a razão entre o

deslocamento e o tempo que se levou para realizar esse deslocamento

A Velocidade Escalar Média é a razão entre

o deslocamento escalar e o tempo que se levou para realizar esse deslocamento v = Δx

Δx S

Velocidade e Velocidade Escalar

Velocidade é o valor da

velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero v= lim Δt→ 0

= dx

Velocidade Escalar é o módulo da

velocidade vS = v diferença diferencial

Aceleração

A Aceleração Média é a razão entre a

variação da velocidade e o tempo que se levou para realizar essa variação vf −v i t f −t i

Aceleração é o valor da aceleração média

quando o intervalo de tempo tende a zero a= lim

Δt→ 0

= dv

ddt dx dt

dt 2

Aceleração Constante vf −v i

t f −t i

ti = 0 e vi

Se a aceleração é constante então ela é igual à aceleração média ti = 0 e xi

Se a aceleração é constante então a velocidade média é igual à média das velocidades

at 2

Relações para Aceleração Constante

at 2 at 2

Eliminando t: Eliminando a:

Eliminando v0:

Exemplo 1

Um motorista distraído, dirigindo a velocidade constante de 45 m/s, passa sem perceber por um bloqueio da policia. Um segundo após a passagem do carro, a polícia sai em perseguição a

ele, com uma aceleração constante de 3 m/s2. • Depois de quanto tempo o policial alcança o carro perseguido? • Qual a distância até o bloqueio?

Equações de Movimento:

• Carro:

• Polícia: xP (t) = x aPt 2

+vC t

Condições Iniciais:

Solução:

• Encontro • Tempo = 31 s

• Distância = 1.440 m

Exemplo 2

Um trem- ‐bala viaja a 161 km/hora e ao final de uma curva seu maquinista vê, a uma

distância de 676 metros, uma locomogva andando no mesmo sengdo a apenas 29 km/ hora. Qual a desaceleração mínima para que não haja colisão?

Equações de movimento:

• Trem Bala:

• Locomogva:

+vL t

Condições Iniciais:

Solução: Apenas se tocam

+aB t

+aB t

+vL t

+aB tc =v

−aB t

−vL )tc +aBt

B −v L vL −v

t c

Queda Livre

Tomando o referencial com a posição aumentando na direção apontada para cima teremos

Onde g é o módulo da aceleração da gravidade

gt 2

Exemplo 3

Uma pedra é lançada para cima com velocidade inicial de 20 m/s do topo de um prédio, a 50 metros do chão. 1. Em quanto tempo ela agnge a altura máxima?

2. Qual a altura máxima agngida, a pargr do topo? 3. Em quanto tempo ela volta ao ponto de onde foi lançada?

4. Qual a velocidade com que ela volta de onde foi lançada?

5. Em quanto tempo ela chega no chão? 6. Com que velocidade ela chega no chão?

Equações de movimento: gt 2

Condições Iniciais:

Exemplo 3 – Congnuação

1. Na altura máxima,

2. Na altura máxima, 3. No ponto de pargda,

4. 5. No chão, gt B gt C

gt D

Derivadas e Diferenciais

dx = lim

Grosso modo, uma diferencial é o limite de uma diferença quando ela tende a zero

Constante Funções

Propriedades e operações básicas de diferenciais

xn =nx

Derivada de um polinômio:

Integrais

vdt t i t f

Δt n

∑ Integral Definida entre ti e tf

Δx= vn

Δt n

Não importa quão pequeno é o deslocamento parcial

Δx= lim

Δt n

O deslocamento total será a soma sobre os deslocamentos parciais

Integral Indefinida

de Polinômio xn dx=

A Derivada e a Integral são inversas uma da outra

Relações Cinemágcas

at 2

a= cte

Aceleração Constante

Exemplo 4

A posição de um projégl é dada pela equação x(t)=50+10t2, onde a posição é dada em metros e o tempo em segundos. a) Qual é a velocidade média do projégl durante os 3 primeiro segundos?

b) Qual é a sua velocidade no instante t = 3s? c) Qual é a sua aceleração quando t = 3s? d) Indicar graficamente essas respostas a) v =

250 300

0 1 2 3 4 5 x(t)

Δt Δx

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0 1 2 3 4 5 v(t)

Δt Δv

Módulo 02 Movimento em Duas Dimensões

Fenômenos Mecânicos Eduardo Gregores (646- ‐3)

Movimento em 2D

• Vetores

– Sistemas de Coordenadas – Componentes de Vetores

– Operações com Vetores

• CinemáIca Vetorial – Posição, Velocidade e Aceleração

– Equações do movimento

• Movimento BalísIco

– Equações da Trajetória – Altura Máxima e Distância

Sistemas de Coordenadas Sistemas de Coordenadas

Componentes de Vetores Componentes de Vetores

Operações com Vetores

A= A x i +A y

B= B x i +B y

Ax =B x

Ay =B y

i +kA y

B= AxBx

+AyB y

A Exemplo: ! x y

Posição, Velocidade e Aceleração

Caminho percorrido r(t) Posição no instante t:

Deslocamento em Δt:

Posição inicial em ti : Posição final em tf :

Equações de Movimento

ax t

ay t at2 com a =a x i +a y

Para o caso de aceleração constante,

A velocidade em função do tempo é dada por: a =a x i +a y a =a x i +a y e a posição em função do tempo é:

Movimento BalísIco

• Superposição de dois movimentos: – Velocidade constante na direção horizontal

– Aceleração constante na direção verIcal

Equações da Trajetória

A equação da trajetória é da forma y=ax2 +bx⇒Parábola g x cosθ 0

A trajetória encontra seu ponto de máximo em x=−b/2a b = tanθ 0

sinθ 0

cosθ 0

Altura Máxima e Distância Altura Máxima:

Distância aIngida:

Exemplo 01

Um objeto se movendo no plano x,y parte da origem com velocidade na direção x igual a

20 m/s, velocidade na direção y igual a - ‐15 m/s e aceleração na direção x igual a 4,0 m/s2. a) Determine a equação que fornece sua velocidade a qualquer instante. b) Calcule sua velocidade 5 segundos depois da parIda. c) Calcule sua velocidade escalar e o ângulo com a horizontal nesse instante. b)

c)

Exemplo 02

Um saltador pula com uma velocidade de 11 m/s a um ângulo de 20o. a) Qual a distância que ele salta? b) A que altura do solo ele chega?

Exemplo 03

Uma pedra é aIrada do topo de um prédio de 45 metros de altura a um ângulo de

30º com a horizontal a velocidade de 20 m/s. a) Quanto tempo ela demora para chegar no chão? b) Com que velocidade ela bate no chão? c) A que distância?

c)

Exemplo 04

Um esquiador salta de uma rampa na direção horizontal a 25 m/s sobre uma ladeira com inclinação de 35o . a) Quanto tempo ele fica no ar? b) A que distância na horizontal ele encontra pousa? c) Qual a altura do salto? d) Qual a sua velocidade quando ele pousa?

0yt f +ayt f xf = dcosθ

yf = dsinθ

d cosθ = 25t f c)

Movimento Circular Uniforme d sinθ(t) d cosθ(t)

= d cosθ dθ dθ(t) e d sinθ(t)

= d sinθ dθ dθ(t) dt

dt =

d cosθ(t)

=−sinθ v e d sinθ(t)

= cosθ v d cosθ(t)

Aceleração Centrípeta

Módulo 03 Leis de Newton

Fenômenos Mecânicos Eduardo Gregores (646- ‐3)

Leis de Newton

• Leis de Newton • Aplicações

• Forças especiais

• Exemplos

Leis de Newton

• Força Grandeza Vetorial (Intensidade e Direção)

• 1ª Lei de Newton: Inércia

– A velocidade de um objeto só se modifica se a soma das forças atuando sobre ele for diferente de zero.

• 2ª Lei de Newton: Aceleração

– A taxa de variação no tempo da velocidade de um objeto é diretamente proporcional à soma das forças atuantes sobre ele e inversamente proporcional à sua massa.

• 3ª Lei de Newton: Ação e Reação

– Quando um objeto aplica sobre outro uma dada força, este aplica sobre o primeiro uma força de intensidade igual e sinal contrário.

• Unidade de Força (SI): Newton (N)

Aplicação: Soma de Forças

Um objeto com massa 0,3 kg em repouso na origem sofre a ação de duas forças, conforme mostrado na figura ao lado. a) Calcule a força resultante em termos dos versores das direções x e y. b) Qual a intensidade e direção da força resultante? c) Calcule sua aceleração em termos dos versores das direções x e y. d) Qual o módulo e direção de sua aceleração? e) Qual a sua posição após 4 segundos?

b) FR = ! FR c) ! FR at 2 e)

Forças Especiais

• Força Peso: – Proporcional à massa e à aceleração da gravidade.

– Aponta sempre na direção do centro da terra.

• Forças de Contato:

– Força Normal: Perpendicular à tangente do ponto de contato

– Força de Atrito: Paralela à tangente do ponto de contato e com direção contrária ao movimento.

• Forças de Tração:

– Força atrabva interna entre os consbtuintes de um cabo ou corda inextensível. As forças de tração se anulam.

cosθ 1 cosθ 2

cosθ 1

Aplicação: Tração

Um farol de trânsito com massa de 12,5 kg está pendurado por cabos como mostra a figura. Considerando- ‐se g=10 m/s2, a força de tração exercida nos cabos será:

Aplicação: Plano Inclinado

Uma caixa de massa m desliza em um plano inclinado sem atrito. a) Qual a sua aceleração?

b) Qual sua velocidade após percorrer uma distância d? c) Em quanto tempo ela percorre essa distância?

P = mgsinθ ˆ i −mgcosθˆ j

mgsinθ

a = gsinθ ˆ i a =a x i +a y ax = gsinθ a) b) v2 v = 2dgsinθ

= 2dgsinθ gsinθ

gsinθ

Aplicação: Força de Contato

Uma certa força de 100 N é aplicado sobre um bloco de

9 kg em contato com outro bloco de 1 kg sobre uma superhcie sem atrito. a) Qual a aceleração total do sistema? b) Qual a força com que o bloco 1 empurra o bloco 2 e

c) Se a força externa fosse aplicada sobre o bloco 2, qual seria a força os blocos se empurram?

b) ! c) !

Aplicação: Máquina de Atwood

Dois objetos estão pendurados por um cabo de massa desprezível que passa por uma polia de massa também desprezível que gira sem atrito. Determinar a aceleração dos dois objetos e a tração exercida na corda.

Aplicação: Objetos Conectados

Uma bola de massa m1 e um bloco de massa m2 estão conectados através de uma corda inextensível, de massa desprezível, conforme mostra a figura. Considerando que o

bloco desliza sem atrito, calcule o módulo da aceleração dos objetos e a tensão na corda. !

gsinθ ˆ l −m2 gcosθ ˆ n

gcosθ ˆ n

Aplicação: Roldanas

Um objeto de massa M é seguro por uma força F através de um sistema de roldanas conforme mostrado na figura. Qual o valor de cada uma das trações? Qual o valor de F?

Exemplo 01

Um garoto de 32kg sentado sobre um banco de 16 kg, se suspende conforme mostra a figura, fazendo uma força de 250

N. Qual a sua aceleração? Qual a força que ele faz sobre o banco? Use g=10 m/s2.

Garoto: FG =T +N−PG

= mG a G

Banco: FB =T −N−PB

= mB a B mG a=T +N−mG mB a=T −N−mB mG +m

mG +m

mG −m

mG −m

1 2 3

Exemplo 02

Três objetos estão conectados por uma corda como mostra a figura ao lado. Considerando que eles deslizam em um plano sem atrito, calcule as trações

T1 e T2 e a aceleração do sistema.

gsinθ ˆ l gcosθ ˆ n

gsinθ ˆ l

gcosθ ˆ n a= 3msinθ−M

3msinθ−M

3msinθ−M

Módulo 04 Aplicações das Leis de Newton

Fenômenos Mecânicos Eduardo Gregores (646- ‐3)

Aplicações das Leis de Newton

• Forças DissipaFvas – Forças de Atrito

– Forças de Arrasto

• Forças no Movimento Circular – Força Centrípeta

• Forças FicJcias

Força DissipaFvas

• Causadas pelo movimento relaFvo de um corpo em relação ao outro, ou em relação ao ambiente.

(frenamento) 

• Sempre apontam na direção contrária ao movimento

• Forças de atrito:

contato 

– Ocorre entre sólidos devido às imperfeições da superUcie de

– Direção longitudinal à tangente do ponto de contato entre as superUcies dos sólidos.

• Forças de arrasto:

– Força que um líquido ou gás aplica sobre um objeto que se move imerso nele.

– Sempre em direção contrária ao movimento.

Forças de Atrito

• Direção longitudinal à superUcie de contato

• Proporcional à intensidade da força normal à superUcie de contato

aplicada 

• Direção contrário à força • Direção contrária à velocidade.

EstáFca CinéFca

Coeficiente de Atrito EstáFco Coeficiente de Atrito CinéFco

Determinação Experimental dos

Coeficientes de Atrito

Um bloco é colocado em repouso sobre uma superUcie inclinável. O ângulo de inclinação é aumentado até que o bloco comece a deslizar.

Determinar o coeficiente de atrito estáFco em função desse ângulo críFco.

P= mgsinθ c i −mgcosθ c

N = mgcosθ c

N ⇒ mgsinθc =µs mgcosθ c sinθ c cosθ c

→µs = tanθ c

Comentários