Tensor de tensão, inércia e círculo de Mohr

Tensor de tensão, inércia e círculo de Mohr

(Parte 1 de 2)

VITÓRIA – ES 2017

1. Introdução3
2. Tensão3
2.1. Estado de tensão3
2.2. Tensor de tensão4
2.3. Rotação do tensor tensão6
2.4. Tensões principais e planos principais8
2.4.1. Autovalor e autovetor8
2.5. Tensões cisalhantes máximas9
2.6. Círculo de Mohr das tensões9
2.6.1. Estado Plano de Tensões9
2.6.2. Transformação de eixos para o estado plano de tensões10
2.6.3. Círculo de Mohr e o estado triplo de tensões13
3. Inércia de Área15
3.1. Definição15
3.2. Eixos principais de inércia com Círculo de Mohr16
3.3. Tensor de inércia16
3.4. Rotação do tensor de inércia18
3.5. Momentos de Inércia principais19
4. Exemplos20

Sumário Referências bibliográficas ............................................................................................ 26

1. Introdução

Necessita-se estudar a deformação e as tensões nos sistemas materiais que estamos projetando para aplicações de engenharia. Todos os materiais têm um certo limite para suportar forças, que além do limite não conseguem desempenhar a função pretendida. Todos os projetos são baseados no critério de que os materiais utilizados têm a capacidade de suportar as cargas de trabalho do sistema. Assim, é necessário determinar o estado de tensão na matéria.

A tensão em um ponto contínuo tridimensional pode ser medida em termos de nove quantidades, três por plano, em três planos perpendiculares transversais no ponto. Essas nove quantidades podem ser vistas como componentes do tensor de segunda ordem, chamado tensor de tensão.

Neste trabalho, pretende-se apresentar um estudo sobre a determinação das tensões principais utilizando o tensor das tensões e círculo de Mohr.

2. Tensão

2.1. Estado de tensão

Considere um corpo onde forças externas são aplicadas, então é feito uma secção e chegamos a um plano retirado desse corpo (Figura 1a) que age uma força interna F, se substituirmos por suas componentes ∆ , ∆ , ∆ tangentes e normais a área e reduzirmos essa área a um limite tendendo a zero, teremos então que o quociente entre a força e área tenderá a um limite:

É denominado tensão normal no plano.

São tensões cisalhantes na direção x e y no plano de direção z. temos então o resultado na Figura 1b.

Se o corpo for ainda mais seccionado por outros planos paralelos x-z e y-z, então poderemos cortar um elemento cúbico que representa o estado de tensão que age em torno do ponto escolhido do corpo (Figura 1c).

Assim o estado de tensão é caracterizado por três componentes que agem em cada face do elemento orientado ao longo dos eixos x, y, z totalizando 3 faces e nove quantidades de

Figura 1a. Figura 1b.

tensões podendo ser vistas como componentes do tensor de segunda ordem, chamado tensor de tensão.

Figura 1c.

2.2. Tensor de tensão

A tensão, que é força por unidade de área, não depende apenas da magnitude da força e orientação do plano, mas também da direção da força. Assim, a especificação da tensão em um ponto requer dois vetores, um perpendicular ao plano em que a força está agindo e a outro na direção da força. Esse objeto é conhecido como um tensor de segunda ordem. É definida como dois vetores que ficam lado a lado e que atuam como uma unidade.

De acordo com o teorema da tensão de Cauchy, conhecendo apenas os vetores tensão sobre três planos mutuamente perpendiculares, o vetor tensão sobre qualquer outro plano passando através daquele ponto pode ser determinado através das equações de transformação de coordenadas.

O teorema da tensão de Cauchy estabelece que existe um campo tensorial de segunda ordem σ(x, t), denominado tensor tensão de Cauchy, independente de n, tal que T é um funcional linear de n.

Considere um tetraedro com três faces orientadas nos planos coordenados, e com uma área infinitesimal orientada em um sentido arbitrário especificado por um vetor unitário normal n, O tetraedro é formado cortando o elemento cubico infinitesimal ao longo de um plano arbitrário n, O vetor tensão sobre este plano é denotado por T(n), Os vetores tensão agindo sobre

Onde o lado direito representa a massa do tetraedro multiplicada por sua aceleração. Considerando o plano n como base. As áreas das faces do tetraedro perpendiculares aos eixos

1, 2, 3 podem ser determinadas por projeção de dA sobre cada face.

Figura 1d.

Para considerar o caso limite quando o tetraedro se reduz a um ponto, h deve convergir a zero (intuitivamente, o plano n é transladado ao longo de n para O). Como resultado, o lado direito da equação converge para 0, e assim:

O termo entre parentes do lado direito representa o tensor de tensões de Cauchy. O vetor tensão associado a cada um dos planos, ( 1), ( 2) e ( 3) pode ser decomposto em uma componente normal e duas componentes cisalhantes, componentes nas direções dos três eixos coordenados.

Ou podemos escrever também, de forma mais usual:

Por simetria:

( )calculado terá suas componentes em termos dos eixos 1, 2, 3, a normal ao plano sera dado pela componente de ( )na direçao da normal , e a tensao cisalhante, a

2.3. Rotação do tensor tensão

Um tensor de segunda ordem pode ser representado por dois sistemas de coordenadas diferentes e manter as mesmas características, ou seja, um tensor é contravariante assim como um vetor. Não entrando em muitas análises algébricas, demonstremosatravés de um exemplo:

Observando a imagem ao lado, podemos escrever o vetor V nos dois sistemas de coordenadas (x,y) e (x’,y’), sem perder as características.

cos sen

Onde , → ′, ′é a matriz de rotação que leva o vetor do sistema de coordenadas(x,y) para (x’,y’).

Analogamente, podemos fazer o mesmo com um tensor de tensão: ′=

Figura 1f.

Figura 1e.

′ é o tensor de tensão em base de um sistema ortogonal rotacionado em relação ao sistema ortogonal inicial , como L é uma matriz de rotação, em um sistema de coordenadas ortogonais sua inversa equivale a sua transposta.

A matriz de rotação genérica em torno de um eixo qualquer de rotação é dada pelos cossenos diretores a seguir:

Onde cos( ′, ) é o ângulo entre os eixos ′e . Se escolhermos como eixo de rotação, um dos eixos do seu sistema de coordenadas (x, y, z). pode ser uma rotação apenas em torno do eixo zcomo na Figura 1d ou uma rotação em torno do eixo x e y, assim:

E o tensor de tensões em um sistema de coordenadas rotacionado de em torno de z fica definido como:

Uma rotação em torno de um eixo arbitrário qualquer pode ser decomposta em rotações sucessivas em torno dos eixos que compõem um sistema inercial fixo euclidiano pelos três ângulos de Euler. Podemos então rotacionar em torno de z, depois em torno de x, e depois em torno de y, da seguinte maneira:

2.4. Tensões principais e planos principais

Para um determinado estado de tensão, a determinação das tensões normais e os esforços de cisalhamento máximos em um ponto são de interesse considerável no projeto das estruturas porque ocorrem falhas quando as magnitudes das tensões excedem os permitidos valores de tensão, chamados pontos fortes do material.

A este respeito, é preciso determinar os valores e os planos nos quais as tensões são máximas. Assim, devemos determinar os autovalores e os vetores próprios associados ao tensor tensão.É claro a partir da Figura 1d e 1c que o componente normal de um vetor detensão é o máximo quando ( ) é paralelo ao vetor normal .

Se designarmos o valor de tensãonormal por . então podemos

2.4.1. Autovalor e autovetor

A equação acima é um conjunto homogêneo de equações para os componentes do vetor e uma solução não trivial existirá se o determinante da matriz for nulo, ou seja, se a matriz ( − )não for invertível. O esse determinante nulo produz uma equação cúbica para a equação característica calculada, cuja solução produz três valores de . Os autovalores de são chamados de tensões principais e os autovetores associados são chamados de planos principais.

Isso é para um determinado estado de situação, dado ponto no corpo. existe um conjunto de planos em que o vetor de tensão é normal para os planos não há componente de cisalhamento nos planos.

Figura 1d- Elemento infinitesimal seccionado.

Produz 1, 2, 3, três tensões normais aos planos, para cada autovalor , existe um autovetor normal ao plano onde se encontra essa tensão normal , todas as tensões cisalhantes são nulas.

2.5. Tensões cisalhantes máximas

Na seção anterior, estudamos o procedimento para determinar as tensõesnormais máximas em um ponto. Os autovalores do tensor de tensão no ponto são as tensões normais máximas em três planos perpendiculares (cujas normais são os autovetores) e a maior dessas três tensões é a verdadeiratensão normal máxima. Lembre-se de que as tensões de cisalhamento são zero nos planos principais. Nesta secção. desejamos determinar as tensões de cisalhamento máxima e seus planos.

3 32. O quadrado da magnitude do esforço de cisalhamento no plano com a unidade normal é dado por:

Utilizando alguns métodos matemáticos que não será abordado aqui. Podemos concluir que a tensão cisalhante máxima é dada por:

Onde á e í éa máxima e mínima tensão principal respectivamente. O plano da tensão cisalhante máxima atua entre os planos de tensão principal máxima e mínimo.

é a normal ao plano onde atua a tensao cisalhante máxima.

2.6. Círculo de Mohr das tensões

2.6.1. Estado Plano de Tensões

Esse estado é obtido quando não há carga em uma superfície do corpo, assim as componentes das tensões normal e de cisalhamento serão nulos na face de um elemento localizado nessa superfície, ou seja, σz = τyz = τxz = 0. Dessa forma, o elemento infinitesimal do estado plano de tensões fica:

Figura 2- Estado plano de tensões. E este também pode ser representado dessa forma:

Figura 3- Vista bidimensional do plano de tensões.

2.6.2. Transformação de eixos para o estado plano de tensões

Ao se rotacionar o elemento infinitesimal de um ângulo gerando novos eixos x’ e y’ perpendiculares também rotacionados de como mostrados abaixo:

Figura 4- Novos eixos x' e y'.

Por trigonometria e métodos matemáticos foram determinadas algumas equações gerais de transformação dos eixos de coordenada x e y para os eixos x’ e y’ abaixo:

cos2𝜃+ τ𝑥𝑦sin2𝜃(𝐸𝑞.1)
sin2𝜃 + τ𝑥𝑦cos2𝜃(𝐸𝑞.3)

Essas equações são utilizadas para acharmos as tensões principais e de cisalhamento máxima no plano derivando-as em relação à e igualando a 0, obtendo-se as expressões abaixo:

Onde os valores de são os ângulos dos planos da tensão normal máxima e mínima e os valores de são os ângulos que nos dão a orientação do elemento cujas faces sofrem tensão de cisalhamento máxima. De uma forma genérica, aplicando os resultados obtidos e simplificando, a fórmula para as tensões principais e tensão de cisalhamento máxima são:

+ 𝜏𝑥𝑦2(𝐸𝑞.6)
+ 𝜏𝑥𝑦2(𝐸𝑞.7)

Outra forma de abordarmos o tema de tensões principais e de cisalhamento máxima é uma forma “gráfica” chamada de Círculo de Mohr, neste caso, para tensões no plano. Tal método é obtido eliminando o das equações 1 e 3 e somando-as, obtendo assim:

(𝜎𝑥′− 𝜎𝑚é𝑑)2+ 𝜏𝑥′𝑦′2=𝑅2(𝐸𝑞.8)

)2 + 2. Tal equação pode ser interpretada como

a equação de um círculo com centro deslocado de é no eixo das tensões normais e com raio R.

Para a construção do Círculo de Mohr, é necessário primeiramente definir os eixos , seguindo as notações do livro Hibbeler de Resistências dos Materiais consideraremos o eixo na horizontal positivo para a direita e o eixo vertical positivo para baixo. Dessa maneira, o centro do círculo (C) é marcado em ( é ,0) como dito anteriormente. O próximo passo é descobrir um ponto do círculo para que depois possamos terminá-lo, e como sabemos os valores osvalores calculados sem rotação do elemento, e os eixos ′ ′ coincidem com os eixos , respectivamente, temos o nosso ponto A ( , ).

Figura 5- Descoberta do ponto A. Assim, podemos montar o Círculo de Mohr que ficará como mostrado na figura a seguir.

Figura 6- Construção do Círculo de Mohr.

Para analisarmos as tensões principais, vamos analisar seus módulos e ângulo de rotação ou do plano de corte. Os valores 1,2 são obtidos a partir de 1,2= é ± , e para sabero valor do ângulo de rotação do elemento ( 1), temos que descobrir o ângulo entre e o eixo

( ) medido no sentido anti-horário, lembrando que = 2 1, e que 1 e 2estão separados por 90°no elemento e por 180° no Círculo de Mohr. Esses ângulos estão melhores mostrados na figura 6.

Figura 7- Ângulos e 1das tensões principais.

Para analisarmos a tensão de cisalhamento máxima, observemos o círculo de Mohr da figura 6. Nele podemos perceber que ela se dá no ponto mais baixo do círculo (E), onde a tensão normal é é e o valor da tensão de cisalhamento vale á = . E como visto na figura 7, o ângulo de rotação (em sentido horário) no círculo de Mohr representa 2 (duas vezes o ângulo de rotação do elemento no mesmo sentido).

Figura 8- Ângulos e da tensão de cisalhamento máxima.

2.6.3. Círculo de Mohr e o estado triplo de tensões

Como já visto, quando um ponto em um corpo está sujeito a um estado de tensão geral tridimensional, haverá em todas as faces do elemento infinitesimal duas tensões de cisalhamento e uma tensão normal. Para esse estado também é possível desenvolver equações de transformação de tensão que podem ser usadas para determinar as componentes de tensão normal e de cisalhamento que agem em qualquer plano oblíquo do elemento. A discussão da transformação de tensão em três dimensões não é o foco dessa disciplina, entretanto, ela é discutida em livros que tratam da teoria da elasticidade. Para nossa finalidade, consideraremos que a orientação principal do elemento e as tensões principais são conhecidas, condição conhecida como tensão triaxial.

Tratando o elemento infinitesimal no estado geral como três estados planos de tensão, é possível montar três círculos de Mohr no mesmo sistema de eixos onde os três círculos estão correlacionados. Dizendo que as tensões principais no elemento têm intensidades máxima, intermediária ou mínima, temos que os três estados planos são como os representados na figura 8 e os três círculos de Mohr correlacionados são mostrados na figura 9.

Figura 9- Estados planos de tensão do elemento carregado na condição de tensão triaxial.

Figura 10- Círculo de Mohr para o estado triplo de tensões. A partir da figura 8, notamos que o centro do círculo maior é dado no ponto

( á + í 2 ,0), ainda podemos perceber que a tensão de cisalhamento máxima absoluta é dada pelo raio do círculo maior, ou seja, = á − í 2 . Similarmente, as outras tensões de cisalhamento máxima podem ser calculadas.

Em uma análise desse Círculo de Mohr para o estado triplo de tensões, notamos que independentemente da orientação do plano, a tensão de cisalhamento no plano sempre será menor do que a tensão de cisalhamento máxima. Nesse mesmo sentido, a tensão normal que age em qualquer plano terá um valor que se encontrará entre as tensões principais máxima e

3. Inércia de Área

3.1. Definição

O momento de inércia de área, também chamado de segundo momento de área ou segundo momento de inércia, é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais. Fisicamente o segundo momento de inércia está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão.

Definimos os momentos de inércia como:

Em torno dos eixos x e y, respectivamente. E o produto de inércia como sendo:

Somando e definimos o momento polar de inércia:

Como 2 é uma distância independende da direção dos eixos y,x, depende apenas de onde está o ponto O de origem, e independe da rotação de x,y.

Figura 1- Elemento plano para cálculo de inércia.

Figura 12- Rotação do sistema de coordenadas.

3.2. Eixos principais de inércia com Círculo de Mohr

Podemos decompor os eixos ′ e ′ nos eixos e , em termos de , substituí-los nas equações de inércia e expressar as inércias nos eixos ′ e ′ em termos de e :

Que é a equação para o círculo de Mohr com centro em ( +

(Parte 1 de 2)

Comentários