RBertoni - Propriedades Magnéticas da Matéria em Física do Estado Sólido - 08-2017-Final

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Comportamento Magnético da Matéria em Física do Estado Sólido

Universidade Federal do Pará Instituto de Ciências Exatas e Naturais

Faculdade de Física

Renato Bertoni Lardosa Santos Professor: Dr. Jordan delNero (PPGF/FACFIS-UFPA)

Belém, agosto de 2017 1

Avaliação de Introdução à Física do Estado Sólido

Índice

Introdução

Paramagnetos e Diamagnetos Susceptibilidade Magnética

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Singletos e Tripletos: Sistema de dois Elétrons e Formalismo

Interações de Troca: Direta, Dupla, Indireta e Itinerante Ordenamento e Tipos de Estruturas Magnéticas

Comportamento dos Materiais

Comportamento dos Materiais

2 Referências

Introdução

Classificação dos sólidos Estrutura Cristalina

Comportamento Elétrico Grupos de Ponto e Espaciais

Comportamento Magnético

Iônicos, Superiônicos, Metálicos, Semicondutores, Supercondutores e Isolantes

Diamagnético, Paramagnético, Ferromagnético, Antiferromagnético e Ferrimagnético

http://energyeducation.ca/encyclopedia/Conduction_band http://www.geologyin.com/2014/1/crystal- structure-and-crystal-system.html http://pubs.rsc.org/en/Content/ArticleHtml/2001/JM/b003195j3

Parte I –Diamagnetismo e Paramagnetismo

Paramagnetos e Diamagnetos

Os comportamentos de paramagnetismo e diamagnetismo estão relacionadas à suscetibilidademagnética do material

O quanto o material é atraídoou repelidopor um campo magnético externo .

Representado pela letra grega (chi, “qui”)

Medida a partir da densidade de magnetização, , em resposta à influência do campo externo [1]

: dipolo magnético infinitesimal total do volume V

Paramagnetos e Diamagnetos

A relação entre é dada por

(റ ) = Onde é definido pela equação de Ampère

ර റ . റ = റ E é a indução magnética detectada, que é relacionada a e a em

Materiais isotrópicos: é escalar Materiais anisotrópicos: é tensor

Paramagnetos e Diamagnetos

Considerações de Mecânica Estatística.

Um número grande de dipolos infinitesimais (N), em um volume (V) e a uma temperatura de equilíbrio (T), pode ser descrito por um Ensemble Canônico [2] [3]

Variáveis Fixas

Descrição

Microscópica

Descrição Macroscópica

: microestados

Função de Partição

Descrição estatística do sistema em equilíbrio termodinâmico = −

Paramagnetos e Diamagnetos

Deste modo, pode-se descrever como depende da temperatura, o que advém de depender da temperatura [4]

; 0 : Energia no estado fundamental

Em equilíbrio térmico na temperatura T, a densidade de magnetização é a média em equilíbrio térmico para cada estado excitado

Em função termodinâmica da energia livre de Helmholtz

Paramagnetos e Diamagnetos

Podemos então definir termodinamicamente

Paramagnetos e Diamagnetos

Procuremos saber agora como =(0 )altera a energia de um dipolo, o que pode ser conhecido por meio do Hamiltonanoℋ.

O potencial vetor റ é uma ferramenta matemática que permitirá que insiramos a descrição de . É escolhido de maneira conveniente, pois

Paramagnetos e Diamagnetos

Paramagnetos e Diamagnetos

0 Relativos à perturbação

É necessário adicionar termo da interação de com o spindo elétron റ

Tem-se então [4] [6] [7] [8]

Paramagnetos e Diamagnetos

Tem-se então [4] [6] [7] [8]

ℋ0: está relacionado à energia do sistema não perturbado

ℋ : interação de com o റ . induz alinhamento, energia é reduzida. Relacionado ao Paramagnetismo

ℋ : Induz aumento de energia, efeito oposto ao paramagnetismo. Relacionado ao Diamagnetismo

Paramagnetos e Diamagnetos

Para o segundo termo a perturbação é pequena o suficiente para que se aplique a teoria de perturbação [8] [10] [1]

As autofunções correspondentes

Paramagnetos e Diamagnetos

A energia depende de na segunda derivada: perturbação de segunda ordem

Autoestadose autoenergiassão expandidas até a segunda ordem

Paramagnetos e Diamagnetos

Paramagnetos e Diamagnetos

Para o termo de primeira ordem

Paramagnetos e Diamagnetos

Para o termo de segunda ordem

Paramagnetos e Diamagnetos

Considerando que

ۧ| 0 pertence ao conjunto de estados não perturbados

Paramagnetos e Diamagnetos

Precisamos obter a expressão para a constante

Paramagnetos e Diamagnetos

Porém, se ≠

Paramagnetos e Diamagnetos

Retornando à expressão

Tem-se que

Paramagnetos e Diamagnetos

Correção de segunda ordem para a energia

Paramagnetos e Diamagnetos

De modo que o valor esperado da energia do sistema perturbado por será

Paramagnetos e Diamagnetos

O momento angular total do elétron, റ Considerações de Mecânica Quântica.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/ t ps e n.wi k i pe di a.o r g /w i k i /A z i m ut t um

_ nu m be

Paramagnetos e Diamagnetos

Distribuição de elétrons em orbitais [13] Considerações de Mecânica Quântica.

t p://w m e t a - nt he si s.c o m /w e b o o k /34_q n/q pt .ht m l

Princípio de Aufbau

Camadas são preenchidas a partir do menor nível ( ) energético disponível

Regra de Mandelung

Ordenamento energético vai do menor + para o maior; menor primeiro.

Há exceções: cobre e possíveis constituintes de moléculas e sólidos

Paramagnetos e Diamagnetos

Regras de Hund[4][13] Considerações de Mecânica Quântica.

Primeira

Elétrons tendem a alinhar seus spins por interações eletrostáticas de modo a minimizar a energia

Segunda

Elétrons tendem a maximizar seu momento angular orbital

Paramagnetos e Diamagnetos

O que resulta no esquema de preenchimento de subníveis orbitais Considerações de Mecânica Quântica.

O comportamento magnético está relacionado à configuração dos orbitais

Paramagnetos e Diamagnetos

Diamagnetismo de Larmor: Material isolante com todos os subníveis preenchidos

Com todos as camadas cheias (camadas fechadas), tem-se momento magnético nulo

Paramagnetos e Diamagnetos

Restando apenas

Para uma distribuição esférica de cargas, sendo 2+ 2a distância média quadrada dos elétrons ao núcleo

Paramagnetos e Diamagnetos

Com esta energia, retorna-se à formulação da suscetibilidade, para íons em equilíbrio térmico

Suscetibilidade

diamagnética de Larmor

Parte I –Ferromagnetismo,

Antiferromagnetismo e Ferrimagnetismo

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Certos materiais apresentam magnetização mesmo na ausência de

Não relacionado à interação entre dipolos magnéticos: da ordem de Energia de interação Coulombiana

Interação Eletron-Núcleo

Screening effect

Interação de troca

Diferença entre ter spins paralelos ou antiparalelos Estados de singleto e tripleto

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Interação elétron-núcleo e efeito blindagem

Elétrons mais próximos do núcleo apresentam ligação mais forte, menor energia

Elétrons mais internos blindam o núcleo dos átomos mais externos

Ao assumirem paralelismo com átomos mais internos, os mais externos aumentam a repulsão elétron, maior acesso ao núcleo

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Descrição quântica do spin eletrônico (1/2) [12] O spin é mais facilmente descrito em vetores de estado

Considerações de Mecânica Quântica.

Para um sistema de dois elétrons

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Definamos os operadores spin a partir das matrizes de Pauli Considerações de Mecânica Quântica.

As componentes do operador spin são Os operadores de criação e aniquilação são definidos como

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Considerações de Mecânica Quântica.

Os são obtidos pela atuação do operador sobre os estados (spinores)

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Momento angular total para o sistema de dois elétrons Considerações de Mecânica Quântica.

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Obtemos as expressões dos operadores criação e aniquilação Considerações de Mecânica Quântica.

Novamente, tem-se

Descrevem as mudanças no estado do sistema

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Apliquemos o operador aniquilação em ۧ|↓↓ Considerações de Mecânica Quântica.

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Singletos e tripletos. Vetores de estado possíveis para um sistema com spins [4] [12] [13]

Os spinoresde Paulisão normalizados

Combinação de tripleto

Combinação de singleto

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Estrutura fina

http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/quantum/hydfin.html#c2

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Considerações de Mecânica Quântica. Partículas idênticas: Elétrons; Princípio de exclusão de Pauli[12] [13]

Suponhamos dois elétrons não interagentes nos estados

Se quisermos as densidades de probabilidade, para partículas idênticas, teríamos problemas em identificá-las

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Considerações de Mecânica Quântica. Se supormos uma troca simétrica e antissimétrica de partículas [9]

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Considerações de Mecânica Quântica. Isto é resolvido levando em conta possíveis combinações lineares

Muitas partículas (elétrons incluso) podem apresentar apenas funções de onda total antissimétricas

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Considerações de Mecânica Quântica. Princípio de exclusão de Pauli

Não mais de um elétron pode ocupar um dado estado quântico especificado por um conjunto de números quânticos: , , ,

Para dois elétrons (férmions) idênticos, tem-se que não podem ocupar o mesmo estado [12]

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Considerações de Mecânica Quântica. Escrito como vetores de estado [12] [13]

Suponhamos dois elétrons nos estados

A combinação desses dois estados pode ser feito de duas maneiras

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Interação de troca. Descrição das energias de singleto e tripleto

A diferença de energia entre spins paralelos e antiparalelos é chamada de interação de troca (energia de troca)

Se tivermos dois elétrons em orbitais diferentes റ = ۧ| റ = ۧ|

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

Considerando uma interação eletrostática റ 1,റ 2, as energias de singleto e tripleto são obtidas por

Ferromagnetos, Antiferromagnetos e Ferrimagnetos

< 0 Antiparalelismo de spins

Paralelismo de spins Ferromagnetismo

Antiferromagnetismo Ferrimagnetismo

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