Exercícios Resolvidos - Integral por Substituição trigonométricas

Exercícios Resolvidos - Integral por Substituição trigonométricas

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Integral por Substituição Trigonométrica

Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 05/01/2017 - Atualizado em 15/10/2017

O que você precisa saber?

É imprescindível que você tenha conhecimento das identidades trigonométricas fundamentais (seno, cosseno, t ngente, cosec nte, sec nte e cot ngente) e das seguintes:

Se você sentir dificuldade para decorá-las tente se lembrar pelo menos das iden-

Como funciona? O processo de resolução por substituição é descrito basicamente em três passos:

1. Primeiro determinamos qual será a substituição (em θ) a ser utilizada. Isso é feito examinando o radical da função.

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2. Resolvemos a integral em θ. 3. E finalmente voltamos para a variável original da função.

Note que o radical da função a ser integrada não se parece com nenhum dos radicais da nossa tabela de substituição, assim precisamos trabalha-lo algebricamente

com =p 10/2, assim as substituições que usaremos são:

e também

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RESOLVENDO A INTEGRAL EM θ Fazendo a substituição de (1) e (2) na integral

evidenciando

2 e retirando-o de dentro do radical

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Para resolver essa integral ainda precisamos de outra identidade trigonométrica

Já sabemos que o “resultado" (em θ) da integral é

então o que falta agora é retornar a variável original, ou seja, passar de θ para .

Como a substituição usada foi = p

e como

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Exemplo 2: Calcule a integral ∫

Solução:

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Como 1

Acabamos de encontrar a solução da nossa integral em θ, mas como nosso problema originalmente estava em função de x devemos retornar a x. Como a substituição que fizemos foi de = 5 · sen(θ) então:

sen(θ) então:

O que implica em

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Solução:

Para resolver a integral (1) fazemos o seguinte.

A integral ∫ sen(θ)cos2(θ) dθ pode ser resolvida por substituição fazendo =

assim, (2) fica como

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que após algum algebrismo resulta em:

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