Eu odeio EDO 2ª Edição

Eu odeio EDO 2ª Edição

(Parte 1 de 2)

EU ODEIO EDO 2° Edição

HELDER GUERREIRO 2016

Deus seja Louvado.

Guerreiro, Helder Eu odeio EDO 2ª ed./ Helder Guerreiro – Manaus, 2016.

Bibliografia

Livro não catalogado e não institucional, o mesmo é amador.

1. Conselhos de um amigo 6 2. No início da sua vida antissocial - Problema de valor inicial 7 2.1 Teorema de existência e unicidade 7 2.2 Os sete passos 7 2.3 Primeiro Exemplo 8 2.4 Segundo Exemplo 9 3. Os mais lights - Variação de parâmetros e variáveis separáveis 10 3.1 Variação de parâmetros 10 3.1.1 Primeiro Exemplo 1

3.1.2 Exemplo sem variação de parâmetros 12 3.2 Variáveis separáveis 13 3.2.1 Primeiro Exemplo 13

3.2.2 Segundo Exemplo 13 3.2.3 Terceiro Exemplo 14 4. Ta ficando chato - Equações diferenciais exatas 15 4.1 A função solução 15 4.2 Primeiro Exemplo 16 4.3 Segundo Exemplo 17 4.4 Complicando a sua vida – Equação não exata em equação Exata 18 4.4.1 Primeiro Exemplo 18

4.5 Equação exata transformada – Fator integrante em função de y 20 4.5.1 Primeiro Exemplo 21 5. Uma alternativa interessante - Equações homogêneas 2

5.1 Primeiro Exemplo 23 6. Super Exemplo – Tá na hora de treinar 24 6.1 Equação homogênea 24 6.2 Variáveis separáveis 25 6.3 Equações exatas 25 6.4 Variação de parâmetros 26 6.5 Método comum 27

Um bônus para sua mente – Integral por partes 28

Exemplos 29 Integrais infinitas 30

Exemplo 31

Exercícios resolvidos – Já estou bonzinho demais 32

Primeira questão 32 Segunda questão 46 7. Lembranças de um futuro esquecido - Trajetórias ortogonais 56 7.1 Primeiro Exemplo 57 8. Equações de Riccati – Nome difícil para uma coisa difícil 58

8.1 Primeiro Exemplo 59

Exercícios resolvidos – Para não enferrujar 60 9. Equações lineares de segunda ordem – Aumentando o grau de dificuldade 68 9.1 Sua forma 68 9.2 Soluções gerais 68 9.3 Equação característica 69 9.4 Primeiro Exemplo 70 9.5 Segundo Exemplo 70 9.6 Terceiro Exemplo 71 10. Equações de Bernoulli e equações não lineares de segunda ordem 73

10.1 Equações de Bernoulli – Um dia você vai se lembrar desse nome 73 10.1.1 Primeiro Exemplo 73 10.2 Equação de 2º ordem não linear sem o termo em y 74 10.2.1 Primeiro Exemplo 75

10.3 Equação de 2º ordem não linear sem a variável independente t 76 10.3.1 Primeiro Exemplo 76 1. Conjunto fundamental de soluções – Álgebra? Me esquece por favor! 7

1.1 Primeiro Exemplo (Regra de Cramer) 78 1.2 Primeiro Exemplo (Sistema Comum) 79 1.3 Segundo Exemplo (Regra de Cramer) 80 1.4 Segundo Exemplo (Sistema Comum) 81 12. Equações características com raízes negativas – Sua vida cada vez mais negativa 83 12.1 Número Complexos 83 12.2 Equações características com raízes negativas 84 12.3 Primeiro exemplo 86 13. Equação de coeficientes variáveis – Sim, o demônio é real 86

13.1 Primeiro exemplo 8 14. Equações características com raiz única – Uma pegadinha básica 90

14.1 Primeiro exemplo 91 14.2 Segundo exemplo 91 15. Redução de Ordem – Domando o diabo 92 14.1 Primeiro exemplo 93 14.2 Primeiro Exemplo (método comum) 94 Exercícios resolvidos – Se parar, a bicicleta cai 96

Primeira questão 96 Segunda questão 100 Terceira questão 100 16. Equações de segunda ordem não homogenias com coeficientes constantes 104

16.1 Uma equação não homogenia – Ou seja, um saco de problema 104 Primeiro teorema 104 Segundo teorema 104 Explicando 105 16.2 Método dos coeficientes indeterminados – Sua vida indeterminada 105 16.3 Primeiro Exemplo 106 16.4 Segundo Exemplo 107 16.5 Terceiro Exemplo 107 16.6 Quarto Exemplo 108 17. Formas de equações não homogenias – Diferentes formas de sofrer 109

Terceiro Teorema 109 Explicação 110 17.1 Primeiro Exemplo 110 18 Caso especial de equação não homogênea – Ainda mais problemas 110

18.1 Exemplo destrutivo 1 18.2 Solução 1 18.3 Exemplo Construtivo 112 19. Variação de parâmetros – Variando a sua pressão 114 19.1 Primeiro Exemplo 116 19.2 Segundo exemplo (com formula) 117 20. Equações de ordem superior – Estamos ferrados 119

1. Conselhos de um amigo

Olá, meu nome é Helder Guerreiro aluno de Engenharia Química na Universidade Federal do Amazonas

(UFAM), esses conselhos que lhe darei é para você que está pouco se lixando para a matéria ou está com uma grande dificuldade em aprender a calcular as nossas queridas Equações Diferenciais Ordinárias.

Bom, primeiramente é importante falar a você que qualquer matéria que envolva matemática só pode ser vencida se você pôr em prática as listas que o professor passa em sala. Faça quantas puder o mais rápido que puder, dessa forma você está preparado para qualquer prova que vier pela frente. Nos meus estudos, percebi que a maior dificuldade enfrentadas por muitos são as relíquias da morte do Cálculo I, ou seja, muitas pessoas ainda carregam a cruz de não ter aprendido cálculo muito bem, aí sua alma fica dividia entre EDO e Cálculo que nem uma horcrux (entendedores entenderão). Por isso, treine bem o seu cálculo, por que não adianta de nada saber tão bem os passos a se fazer na prova e chegar no dia e ficar travado numa integral de cotg (x).

Nunca decore, aprenda! O importante aqui é que você consiga resolver as EDO’s que apareceram pela frente.

Esse curso está aí para que você tenha habilidades lá na frente, pois existem matérias que exigirão de você esse conhecimento. Preste atenção nas dicas que eu te der, sabe por que? Por que eu sou um cara leigo como qualquer outra pessoa, então eu sei muito bem o que é passar dificuldade numa matéria na faculdade.

Este material foi preparado durante meu 3° período da faculdade, onde uma turma imensa foi formada ao comando de um ótimo professor. Todos os assuntos contidos nesta apostila foram baseados nas aulas do meu professor de EDO, Prof. Carlos Wagner. Não usei o livro como base de meu conhecimento, pois o professor já se baseava nele para nos dar aulas. Os assuntos contidos aqui não são necessariamente todos os assuntos de EDO, mas os que foram possíveis em ser ministrados no período letivo de aula.

Agradeço por ter esta apostila em mãos e faça bom proveito. Esta apostila é e sempre será gratuita para quem quiser de onde quer que seja, além de usá-la compartilhe-a também, pois assim como esta apostila pode lhe ajudar, também pode ajudar outras pessoas.

Fim de papo! Hora de sofrer!

2. No início da sua vida antissocial - Problema de valor inicial

2.1 Teorema de existência e unicidade

“Se as funções p e q são contínuas num intervalo aberto =( , ), que contém o ponto = 0, então existe uma única função =∅( ) que satisfaz a equação diferencial:

Para cada ∈ e que também satisfaz a condição inicial: ( 0)= 0, onde 0 é um valor inicial arbitrário. ” - Ou seja, este teorema está dizendo que ′+ ( ) = ( ) é uma regra a se seguir para a resolução de PVI’s.

2.2 Os sete passos

São necessários 7 passos para resolver estes problemas:

Ajeitar a questão para regra geral

A regra geral apresentada pelo PVI deve ser da seguinte forma: ′+ ( ) = ( ), basicamente consiste em não haver coeficiente algum a frente do ′. Caso a equação não apresente essa forma, deve-se ajeita-la.

Encontrar o fator integrante

O integrante será encontrado da seguinte forma ( )= ∫ ( ) , basta pegar a função ( ) integrar e depois usar como expoente de “e”.

Multiplicar o fator integrante

Encontrando-se o fator integrante multiplique-o pelos dois lados.

Simplificar e tornar integral

Do lado esquerdo da igualdade simplifique a expressão de tal forma que encontre a primitiva da derivada do produto dessa forma:

[ ], e coloque uma integral no lado direito da igualdade anulando a derivada do lado esquerdo.

Integrar

Agora focando no lado direito, resolva a integral ordinária (não é um insulto).

Solução geral

Trocando a integral do lado direito pelo seu resultado (não esqueça da constante C) hora de isolar o y, ao terminar de isolá-lo essa será a solução geral.

Solução do PVI

Com a solução geral pronta use o ponto que foi dado pelo enunciado usando um valor para y e um para t e encontre o valor de C. Depois volte a solução geral e substitua o valor de C.

Passo 1

Passo 2

Passo 3 Passo 4

Passo 5 Passo 6

Passo 7

2.3 Primeiro Exemplo

Encontrar o fator integrante

Multiplicar o fator integrante

Simplificar e tornar integral

Integrar

𝑦=−

Solução do PVI

Passo 3 Passo 4

Passo 5

Passo 6 Passo 7

Passo 1 Passo 2

2.4 Segundo Exemplo

Multiplicar o fator integrante

Simplificar e tornar integral

Solução Geral

𝑦=𝑡2+

Solução do PVI

Passo 1 Passo 2

Passo 3 Passo 4

Passo 5

Passo 6 Passo 7

3. Os mais lights - Variação de parâmetros e variáveis separáveis

3.1 Variação de parâmetros

a) Simplificando e integrar:

3.1.1 Primeiro Exemplo

Ache a solução do PVI abaixo:

Fator integrante

Multiplicar o fator integrante

𝑦′𝑠𝑒𝑛(𝑡)+𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑡)𝑦=0

Simplificar e integrar

Solução geral

Solução PVI

Passo 7

Passo 1 Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

K é constante de integração.

Substituindo k

3.1.2 Exemplo sem variação de parâmetros

Fator integrante

𝑦′𝑠𝑒𝑛(𝑡)+𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑡)𝑦=2𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑡) 𝑠𝑒𝑛(𝑡)

Simplificar e integrar

Solução geral

Solução PVI

Substituindo c

Passo 1

Passo 3

Passo 4 Passo 5

Passo 2

3.2 Variáveis separáveis

[𝑝(𝑥)𝑦−𝑞(𝑥)]⏟

3.2.1 Primeiro Exemplo

Solução geral do PVI:

Separando variáveis (x de um lado, y do outro)

3.2.2 Segundo Exemplo

Ache a solução do PVI:

Separar variáveis

Integrar (solução geral)

Passo 1 Passo 2

Passo 1 Passo 2

3.2.3 Terceiro Exemplo

2𝑑𝑦=𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥, 𝑦(0)=0

Integrar (solução geral)

Passo 3

Passo 1 Passo 2

Passo 3

4. Ta ficando chato - Equações diferenciais exatas

Se tentarmos resolve-la com separação de variáveis não conseguiremos.

- Perceba que a derivada da função Ψ é igual a equação diferencial apresentada acima, se elas são iguais a função é igual a equação que é igual a zero:

- Integrando para encontrar a solução geral temos:

Isso significa que a função é a solução para a equação diferencial proposta no enunciado, essa função por ser igual a equação será igual a zero que ao integrar para encontrar a solução geral será igual a constante.

Para aprender a encontrar a função e o valor da constate c siga os passos abaixo.

4.1 A função solução

( , ) e ( , ) são o valor das derivadas parciais da função solução:

A partir desse sistema se encontrará a função solução, mas este sistema somente será possível SE E SOMENTE SE

Após verificar se é possível, deve-se substituir os respectivos valores de M e N. Esse sistema será resolvido assim:

A letra “I” significa integrar e “DI” significa derivar e integrar.

- Primeiro parte-se da derivada parcial em relação a x, integre o valor dos dois lados e pronto.

- Segundo, na derivada parcial em relação a y como o valor de M e N são os mesmos o mesmo valor que foi achado na derivada parcial em relação a x (valor de M) será o valor de y, pois se ( , )= ( , ) então

Com esse valor atribuído deriva-se o valor do resultado em relação a y, substitua o valor original de

no lado esquerdo enquanto no lado direito fica o valor da ( , ) isso será o suficiente para encontrar a constante “c”, após encontra-la integre dos dois lados.

A constante “c” neste caso está se comportando mais como uma função, ao derivá-lo não podemos zerá-lo e ao integrálo não podemos adicionar uma variável, então vamos mudar seu nome para: = ( ).

Após encontrar o valor de ( ) substitua em ( , ) e pronto, sua função solução já está pronta. Neste caso a função solução é a solução do PVI e a solução igual a uma constante “c” é a solução geral. Essa constate “c” aparece por que após identificar a solução função reconheceremos que =0, logo temos que = .

4.2 Primeiro Exemplo

Sistema

𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑥2𝑒𝑦−1⏟
=𝑠𝑒𝑛𝑥+𝑥2𝑒𝑦+𝑓′(𝑦)⏟

Passo 1 Passo 2

São iguais!

Solução geral

Sistema

𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦+2𝑐𝑜𝑠𝑥⏟
=𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦+2𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑓′(𝑦)⏟

Solução geral Com a função solução temos

Passo 3 Passo 4

São iguais! Passo 2

Passo 3 Passo 4

Passo 1

4.4 Complicando a sua vida – Equação não exata em equação Exata

Uma equação não é exata quando:

A equação (I) será exata SE E SOMENTE SE:

Devemos analisar o fator integrante somente com uma variável, então escolhe-se o x como variável padrão da função , neste caso a sua derivada em relação a y deve ser desconsiderada valendo zero.

Integrando

Logo vemos que o fator integrante de uma equação que foi transformada para exata é:

4.4.1 Primeiro Exemplo

Fator integrante desconhecido = ( )

Passo 1 Passo 2

Formando M(x,y) e N(x,y)

(3𝑥𝑦+𝑦2)𝜇(𝑥)⏟
𝑑𝑥+(𝑥2+𝑥𝑦)𝜇(𝑥)⏟

Encontrando Fator integrante desconhecido

A equação será exata se e somente se:

Sistema

𝑥3+𝑥2𝑦⏟
=𝑥3+𝑥2𝑦+𝑓′(𝑦)⏟

Integrar

Função solução

Solução geral

Passo 3

Passo 6

Passo 4 Passo 5

Passo 7

Passo 8

Passo 9 Passo 10

2 2+2 3 = 4.5 Equação exata transformada – Fator integrante em função de y

Esta equação não será exata se

, neste caso deve-se encontrar um fator integrante que force a equação a ter o resultado oposto, porém o fator integrante pode ser em função de x ou de y.

A equação (I) será exata SE E SOMENTE SE:

Estamos analisando em função de y, então

Integrando

Logo vemos que o fator integrante de uma equação que foi transformada para exata é:

Perceba a diferença entre os fatores integrantes com a mudança de sua variável

4.5.1 Primeiro Exemplo

Acho que ninguém gostaria de trabalhar com um fator integrante desse tipo.

Multiplicando fator integrante

Sistema

𝑦⏟
=2𝑥𝑒2𝑦+𝑓′(𝑦)⏟

Passo 1

Passo 1

Passo 2

Passo 3 Passo 4

Função solução

Perceba que quando o valor de M é complicado é melhor evita-lo usando fator integrante em função de x, e quando o valor de N é complicado é melhor evita-lo usando fator integrante em função de y.

5. Uma alternativa interessante - Equações homogêneas

Equações homogêneas geralmente têm este formato:

Uma equação pode ser testada como homogênea mudando o seu domínio: ( , ) → ( , )

Após a mudança se o resultado for igual ao original, temos uma equação homogênea. A equação homogênea pode nos ajudar pois toda equação homogênea pode se tornar uma equação de variáveis separáveis. Como? Toda equação homogênea pode representada do jeito como está abaixo:

Com isso podemos fazer uma substituição e trocar essa fração por uma variável simples como abaixo:

Ao derivá-la temos o seguinte:

Com isso podemos fazer uma troca de domínios pois:

Depois dessa troca você substitui na equação e assim poderá manejá-la para que ela se transforme em uma equação por variáveis separáveis. Não entendeu? Calma, veja esse exemplo abaixo primeiro e veja os passos.

Passo 5 Passo 6

5.1 Primeiro Exemplo

Substituição por u

Retomando a equação

Variáveis separáveis

Integrar

Solução geral (voltar ao valor original) x x+y

Passo 1 Passo 2

Passo 3 Passo 4

Passo 5

6. Super Exemplo – Tá na hora de treinar

Está na hora de um super exemplo, que é a resolução de um único exercício usando todas as ferramentas apresentadas aqui até agora, se você está com dúvida nas questões analise-as mais devagar e veja como efetuar cada passo nas contas.

6.1 Equação homogênea

Teste de homogeneidade

Substituição por u

Retomando a equação

Variáveis separáveis

Integrar

Retornando a variável original (solução geral) = →y=cx2

Passo 1 Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5 Passo 6

Passo 7

6.2 Variáveis separáveis

Integrar

6.3 Equações exatas

Multiplicar o fator integrante

Sistema

Passo 1 Passo 2

Passo 3

Passo 1

Passo 2 Passo 3

Função solução

Solução geral

6.4 Variação de parâmetros

Organizar para regra geral

Fator integrante

Multiplicar pelo fator integrante

Simplificar e integrar

Passo 4 Passo 5

Passo 1

Passo 2

Passo 3 Passo 4

Passo 5

Passo 6

6.5 Método comum

Organizar para regra geral

Fator integrante

Multiplicar pelo fator integrante

Simplificar e integrar

Perceba que entre Variação de parâmetros e o Método comum, variação de parâmetro se torna inviável por que a equação já tinha zero em sua igualdade.

De todas estas variáveis separáveis foi a técnica mais viável com apenas três passos e pouca conta, isso se dá, pois, a equação estava visivelmente facilitando a separação.

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