Matemática Superior para Engenharia - Volume 2 - Ed. 9 - Kreyszig, Erwin

Matemática Superior para Engenharia - Volume 2 - Ed. 9 - Kreyszig, Erwin

(Parte 1 de 7)

Análise de

Fourier. Equações

Diferenciais Parciais (EDPs)

CAPÍTULO 1 Séries, Integrais e Transformadas de Fourier CAPÍTULO 12 Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

A análise de Fourier relaciona-se aos fenômenos periódicos, que ocorrem com bastante freqüência em engenharia e outras aplicações — considere, por exemplo, as peças rotativas de máquinas, as correntes elétricas alternadas ou o movimento dos planetas. As funções periódicas relacionadas a esses fenômenos podem ser complicadas. Tal situação impõe a importante tarefa prática de representar essas funções complicadas por meio de funções periódicas simples, a saber, de senos e cossenos. Essas representações serão as séries infinitas, chamadas de séries de Fourier.1

A criação dessas séries foi um dos eventos mais decisivos da matemática aplicada, e vale dizer que também exerceu uma considerável influência na matemática como um todo, no que se refere ao conceito de função, à teoria da integração, à teoria da convergência das séries etc. (veja a Ref. [GR7] no Apêndice 1).

O Capítulo 1 trata principalmente das séries de Fourier. Entretanto, as idéias subjacentes podem também ser estendidas a fenômenos não-periódicos. Isso leva às integrais e transformadas de Fourier. Um nome comum para toda essa área é análise de Fourier.

O Capítulo 12 trata das equações diferenciais parciais (EDPs) mais importantes da física e da engenharia. Esta é a área onde a análise de Fourier tem suas aplicações mais fundamentais, relacionadas a problemas de limite e de valor inicial em mecânica, fluxo de calor, eletrostática e outros campos.

PARTE C JEAN-BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768–1830), físico e matemático francês, que viveu e lecionou em Paris, acompanhou Napoleão na Guerra do Egito e foi posteriormente prefeito de Grenoble. Os tópicos iniciais sobre as séries de Fourier podem ser encontrados nos trabalhos de Euler e de Daniel Bernoulli, porém foi Fourier quem os empregou de um modo sistemático e geral em seu trabalho principal, Théorie analytique de la chaleur (Teoria Analítica do Calor, Paris, 1822), onde desenvolveu a teoria da condução do calor (equação do calor; veja a Seção 12.5), fazendo dessas séries uma das ferramentas mais importantes da matemática aplicada.

CAPÍTULO 1

Séries, Integrais e Transformadas de Fourier

As séries de Fourier (Seção 1.1) são séries infinitas concebidas para representar funções periódicas gerais em termos de funções simples, a saber, de senos e cossenos. Elas constituem uma ferramenta muito importante, especialmente na solução de problemas envolvendo EDOs e EDPs.

Neste capítulo, discutiremos as séries de Fourier e seu uso em engenharia de um ponto de vista prático, em conexão com as EDOs e com a aproximação das funções periódicas. A aplicação disso nas EDPs é apresentada no Capítulo 12.

A teoria das séries de Fourier é complicada, embora veremos que a aplicação destas séries é um tanto simples. As séries de Fourier são, num certo sentido, mais universais que as conhecidas séries de Taylor do cálculo, porque muitas funções periódicas descontínuas de interesse prático podem ser desenvolvidas em séries de Fourier, porém, naturalmente, não têm representações em séries de Taylor.

Nas últimas seções (1.7–1.9) consideraremos as integrais de Fourier e as transformadas de Fourier, que estendem as idéias e técnicas das séries de Fourier às funções não-periódicas e que têm aplicações fundamentais nas EDPs (o que será mostrado no próximo capítulo).

Pré-requisito: cálculo integral elementar (necessário para os coeficientes de Fourier) Seções que podem ser omitidas num curso mais curto: 1.4–1.9 Referências e Respostas dos Problemas: Parte C do Apêndice 1 e Apêndice 2.

1.1 Séries de Fourier

As séries de Fourier são a ferramenta básica para se representar as funções periódicas, as quais desempenham um importante papel nas aplicações. Uma função f(x) é chamada de função periódica se f(x) for definida para todo x real (talvez exceto em alguns pontos, como x = p/2, 3p/2, • • • para tan x) e se existir algum número p positivo, denominado período de f(x), tal que

O gráfico de uma função assim é obtido pela repetição periódica de seu gráfico num intervalo qualquer de comprimento p (Fig. 255).

Funções periódicas conhecidas são as funções do seno e cosseno. Exemplos de funções que não são periódicas são x, x2, x3, ex, cosh x, e ln x, para mencionarmos apenas algumas.

Se f(x) tem período p, ela também tem o período 2p, pois (1) implica que ƒ(x 2p) ƒ([x p] p) ƒ(x p) ƒ(x), etc.: portanto, para qualquer inteiro n = 1, 2, 3, • • •,

p Fig. 255. Função periódica

Capítulo 1: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 3

Além disso, se f(x) e g(x) têm período p, então af(x) + bg(x) com quaisquer constantes a e b também tem o período p.

Nosso problema nas primeiras seções deste capítulo será representar várias funções f(x) de período 2p em termos das funções simples

(3) 1,cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, • • • , cos nx, sen nx, • • • .

Todas essas funções têm o período 2p. Elas constituem o chamado sistema trigonométrico. A Fig. 256 mostra as primeiras delas (exceto para a constante 1, que é periódica com qualquer período). A série a ser obtida será uma série trigonométrica, ou seja, uma série da forma

Pode-se demonstrar que, se a série no lado esquerdo de (4) convergir, então a inserção de parênteses à direita fornece uma série que converge e que tem a mesma soma da série à esquerda. Isso justifica a igualdade em (4).

Agora suponha que f(x) seja uma dada função de período 2p e seja tal que possa ser representada por uma série (4), ou seja, (4) converge e, além disso, possui a soma f(x). Então, usando o sinal de igualdade, escrevemos

0 2πππ cos x

sen x sen 2x

02 πππ cos 2x 02 πππ cos 3x

Fig. 256. Funções cosseno e seno de período 2p e dizemos que (5) é a série de Fourier de f(x). Provaremos que, neste caso, os coeficientes de (5) são os chamados coeficientes de Fourier de f(x), dados pelas fórmulas de Euler

(6) (a) a0 ƒ(x) dx

(b)anƒ(x) cosnxdx

(c)bnƒ(x) sen nxdx 1

O nome “série de Fourier” é às vezes também usado no caso excepcional em que (5), com os coeficientes (6), não converge ou não tem a soma f(x) — isso pode acontecer, embora tenha um interesse meramente teórico. (Sobre Euler, veja a nota de rodapé 4 na Seção 2.5.)

Um Exemplo Básico

Antes de obtermos as fórmulas de Euler (6), vamos nos familiarizar com a aplicação de (5) e de (6) para o caso de um exemplo importante. Como você trabalhará com outras funções similares a esta, tente compreender totalmente cada detalhe das integrações, as quais, devido ao n envolvido, diferem um tanto das que você já praticou no cálculo. Você deve evitar o uso rotineiro do computador, preferindo, ao invés disso, fazer observações: de que

4 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs) modo funções contínuas (cossenos e senos) podem representar uma dada função descontínua? Como a qualidade da aproximação aumenta à medida que consideramos um número crescente de termos da série? Por que as funções de aproximação, chamadas de somas parciais da série, são sempre nulas em 0 e p? Por que o fator 1/n (obtido na integração) é importante?

EXEMPLO 1 Onda Retangular Periódica (Fig. 257a) Encontre os coeficientes de Fourier da função periódica f(x) na Fig. 257a. A fórmula é

As funções desse tipo ocorrem como forças externas agindo em sistemas mecânicos, forças eletromotrizes em circuitos elétricos etc. (O valor de f(x) em um único ponto não afeta a integral; logo, podemos deixar f(x) indefinida em x = 0 e x = p.)

Solução. De (6a), obtemos a= 0. Também podemos ver isto sem integração, pois a área sob a curva f(x) entre –p e p é nula. De (6b), anƒ(x) cosnxdx0 (k) cosnxdx0

k cos nx dx

sen nxn sen nxn porque sen nx = 0 em –p, 0 e p para todo n = 1, 2, • • •. Similarmente, de (6c), obtemos

bnƒ(x) sennxdx0 (k) sennxdx0 k sen nx dx

cos nxn cos nxn

02 ππ–πππ (a) A função dada f(x) (onda retangular periódica)

(b) As três primeiras somas da série de Fourier correspondente

–k sen 3x x –ππ π x –ππ π x –ππ π

Fig. 257. Exemplo 1

Capítulo 1: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 5

Como cos (–a) = cos a e cos 0 = 1, isto fornece

Ora, cos p = –1 cos 2p = 1, cos 3p = –1 etc.; em geral, cosne, portanto, 1 cosn 2para n ímpar,

0para n par, para n ímpar, para n par, 1 Como os coeficientes de Fourier b de nossa função são

Como os a são nulos, a série de Fourier de f(x) é

As somas parciais são

Seus gráficos na Fig. 257 parecem indicar que a série é convergente e tem a soma f(x), a função dada. Notemos que, em x = 0 e em x = p, os pontos de descontinuidade de f(x), todas as somas parciais valem zero, que é a média aritmética dos limites –k e k da nossa função nesses pontos. Além disso, supondo que f(x) seja a soma da série e fazendo x = p/2, temos

Este é um famoso resultado obtido por Leibniz em 1673 a partir de considerações geométricas, e ilustra o fato de que os valores de várias séries com termos constantes podem ser obtidos avaliando-se as séries de Fourier em pontos específicos.

Demonstração das Fórmulas de Euler (6)

A chave para as fórmulas de Euler (6) é a ortogonalidade de (3), um conceito de importância fundamental, como se segue.

TEOREMA 1Ortogonalidade do Sistema Trigonométrico (3)

O sistema trigonométrico (3) é ortogonal no intervalo –p x p (logo, também no intervalo 0 x 2p ou em qualquer outro intervalo de comprimento 2p, devido à periodicidade); ou seja, a integral do produto de duas funções quaisquer em (3) sobre esse intervalo vale 0, de modo que, para quaisquer n e m inteiros,

cos nx cos mx dx  0(n  m)
sen nx sen mx dx  0(n  m)
sen nx cos mx dx  0(n  m ou n  m).

PROVA A demonstração disso é feita por uma simples transformação trigonométrica dos integrandos, passando-os de produtos para somas. Em (9a) e (9b), por (1) do Apêndice A3.1,

2 cos (n m)x dx sen nx sen mx dx 1 2 cos (n m)x dx 1 2 cos (n m)x dx.

Como m n (inteiro!), as integrais no lado direito são todas iguais a 0. Similarmente, em (9c), para todos os m e n inteiros (sem exceção; você pode ver por quê?),

6 Parte C • Análise de Fourier. Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

Aplicação do Teorema 1 à Série de Fourier (5) Provemos (6a). Em (5), integrando de –p a p em ambos os lados, obtemos

Suponhamos agora que seja possível integrar termo a termo. (Na prova do Teorema 2, diremos quando isso é verdadeiro.) Então, obtemos ƒ(x) dx a0 dx

O primeiro termo no lado direito é igual a 2pa0. A integração mostra que todas as outras integrais são nulas. Logo, a divisão por 2p fornece (6a).

Provemos (6b). Multiplicando (5) em ambos os lados por cos mx com qualquer inteiro positivo fixo m e integrando de –p a p, temos

(10) ƒ(x) cosmxdxa0 n 1 (an cos nx bn sen nx) cos mx dx.

Agora, integramos termo a termo. Então, no lado direito, obtemos uma integral de a0 cos mx, que vale 0; uma integral de an cos nx cos mx, que é igual a amp para n = m e 0 para n m segundo (9a); e uma integral de bn sen nx cos mx, que é 0 para todo n e m segundo (9c). Logo, o lado direito de (10) é igual a amp. Dividindo por p, obtemos (6b) (com m no lugar de n).

Finalmente, provemos (6c). Multiplicando (5) em ambos os lados por sen mx com qualquer inteiro positivo fixo m e integrando de –p a p, obtemos

(1) ƒ(x) senmxdxa0 n 1 (an cos nx bn sen nx) sen mx dx.

Integrando termo a termo, obtemos no lado direito uma integral de a0 sen mx, que é 0; uma integral de an cos nx sen mx, que é 0 por (9c); e uma integral bn sen nx sen mx, que é bmp se n = m e 0 se n m, por (9b). Isto implica (6c) (com n representado por m) e completa a prova das fórmulas de Euler (6) para os coeficientes de Fourier.

Convergência e Soma de uma Série de Fourier

A classe das funções que podem ser representadas por séries de Fourier é surpreendentemente grande e geral. As condições de suficiência válidas na maioria das aplicações são as seguintes.

TEOREMA 2Representação por Séries de Fourier

Consideremos que f(x) seja periódica, tenha o período 2p e seja contínua por intervalos (veja a Seção 6.1) no intervalo –p x p. Além disso, consideremos que f(x) possua derivadas tanto à esquerda quanto à direita de cada ponto desse intervalo. Então, a série de Fourier (5) de f(x) [com os coeficientes (6)] converge. Sua soma é f(x), excetuando-se nos pontos x0, onde f(x) é descontínua. Nesses pontos, a soma da série é a média dos limites de f(x) à esquerda e à direita2 de x0.O limite à esquerda de f(x) em x é definido como o limite de f(x) à medida que x se aproxima de x pela esquerda, sendo comumente representado por f(x – 0). Portanto,

ƒ(x 0) limh→0 ƒ(x h) quando h → 0 por valores positivos.

O limite à direita é representado por f(x + 0) e ƒ(x 0) limh→0 ƒ(x h) quando h → 0 por valores positivos.

As derivadas à esquerda e à direita de f(x) em x são definidas como os limites de

h respectivamente, à medida que h → 0 por valores positivos. Naturalmente, se f(x) é contínua em x, o

Fig. 258. Limites esquerdo e direito ƒ(1 0) 1, da função ƒ(x) se x1x2

Capítulo 1: Séries, Integrais e Transformadas de Fourier 7

PROVA Provemos a convergência no Teorema 2. Provaremos a convergência para uma função contínua f(x) que possui derivadas primeiras e segundas contínuas. Integrando (6b) por partes, obtemos anƒ(x) cosnxdxƒ(x) sennxdx.

1n ƒ(x) sennxn

O primeiro termo no lado direito vale zero. Uma outra integração por partes fornece anƒ(x) cosnxdx. 1 n2 ƒ(x) cosnx n2

O primeiro termo à direita é nulo por causa da periodicidade e continuidade de f (x). Como f é contínua no intervalo de integração, temos

anƒ(x) cosnxdxMdx. 2M

Similarmente, bn < 2 M/n2 para todo n. Logo, o valor absoluto de cada termo da série de Fourier de f(x) é, no máximo, igual ao termo correspondente da série

que é convergente. Logo, essa série de Fourier converge e a prova fica completa. (Os leitores já familiarizados com a convergência uniforme verão que, pelo teste de Weierstrass na Seção 15.5, sob as suposições aqui presentes, a série de Fourier converge uniformemente, e nossa demonstração de (6) usando a integração termo a termo justifica-se então pelo Teorema 3 da Seção 15.5.)

A prova da convergência no caso de uma função f(x) contínua por intervalos e a prova de que, sob as suposições mencionadas no teorema, a série de Fourier (5) com os coeficientes (6) representa f(x), são substancialmente mais complicadas; veja, por exemplo, a Ref. [C12].

EXEMPLO 2 Convergência em um Salto, como Indicada no Teorema 2

A onda retangular no Exemplo 1 apresenta um salto em x = 0. Neste ponto, seu limite à esquerda é –k e seu limite à direita é k (Fig. 257). Logo, a média desses limites é 0. A série de Fourier (8) para a onda de fato converge para este valor quando x = 0, porque nesse caso todos os seus termos são nulos. Algo similar ocorre com os outros saltos. Isto está em concordância com o Teorema 2.

Resumo. Uma série de Fourier de uma função dada f(x) de período 2p é uma série com a forma (5) e que tem os coeficientes dados pelas fórmulas de Euler (6). O Teorema 2 determina as circunstâncias suficientes para que essa série convirja e tenha o valor f(x) em cada x, exceto nas descontinuidades de f(x), onde a série é igual à média aritmética dos limites de f(x) à direita e à esquerda nesses pontos.

PROBLEMAS PROPOSTOS 1.1

1. (Revisão de cálculo) Reveja as técnicas de integração para as integrais com maior probabilidade de surgir nas fórmulas de Euler, como, por exemplo, as integrais definidas de x cos nx, x2 sen nx, e–2x cos nx etc.

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