Tópicos: Séries e equações diferênciais (Solucionário)

Tópicos: Séries e equações diferênciais (Solucionário)

(Parte 1 de 2)

Topicos: series e equacoes diferenciais. Resolvido por Diego Oliveira.

Topicos: Series e Equacoes Diferencias Caderno de Solucoes

(Maria Svec / Maria C. Menezes / Marcia B. de Menezes / Siriane Barreto) Atualizado em: 29/07/2017

Solucionario da 2a edicao do livro Topicos: Series e

Equacoes Diferencias. Sao poucos os livros de matematica para licenciatura ou bacharelado que sao escritos realmente para licenciatura e bacharelado. Ao contrario de varios tıtulos nacionais, (a maioria vindo do IMPA) que se perdem em demonstracoes ou exercıcios muito alem do nıvel que um aluno de licenciatura realmente possui, esse livro traz uma abordagem bastante simples dos topicos da disciplina de calculo I, de modo a atender as necessidades reais do aluno de graduacao. Por isso recomendo muito a aquisicao dessa obra.

Caso algum erro na resolucao de algum exercıcio seja detectado, deve ser culpa da quantidade de cafe que estou tomando. De todo modo, peco que me avise por e-mail nibblediego@gmail.com para que eu possa fazer as devidas correcoes.

Att. Diego Alves de Oliveira

Vitoria da Conquista - BA 2016

Sumario

1.1 Exercıcios da pagina 184
1.2 Exercıcios da pagina 349

1 Revisao de Limite 4

2.1 Exercıcios da pagina 4121
3.1 Exercıcios da pagina 4527
4.1 Exercıcios da pagina 483
4.2 Exercıcios da pagina 5236

4 Series de Termos Positivos 3

5.1 Exercıcios da pagina 5339
5.2 Exercıcios da pagina 542
5.3 Exercıcios da pagina 5645
5.4 Exercıcios da pagina 5748

5 Series de Termos Positivos 39

6.1 Exercıcios da pagina 585
6.2 Exercıcios da pagina 6059
6.3 Exercıcios da pagina 6462
7.1 Exercıcios da pagina 7168
8.1 Exercıcios da pagina 7873

8 Soma de uma Serie de Potencias 73

9.1 Exercıcios da pagina 9394

9 Serie de Taylor 94

10.1 Exercıcios da pagina 133105

10 Aplicacoes 105

1.1 Exercıcios da pagina 13818

1 Definicoes Gerais 18

12.1 Exercıcios da pagina 147122

12 EDO de 1◦ ordem: Consideracoes Gerais 122

13.1 Exercıcios da pagina 149124

13 EDO de Variaveis Separaveis: Aplicacoes 124

Topicos: series e equacoes diferenciais. Resolvido por Diego Oliveira.

15.1 Exercıcios da pagina 154133

15 Trajetorias Ortogonais 133

16.1 Exercıcios da pagina 58138
17.1 Exercıcios da pagina 161144
17.2 Exercıcios da pagina 165149

17 EDO Exatas e Fatores de Integracao 144

18.1 Exercıcios da pagina 173154

18 EDO Linear de 1◦ ordem: Aplicacoes a Misturas 154

19.1 Exercıcios da pagina 175158
19.2 Exercıcios da pagina 177161

19 Equacoes Diferenciais de Bernoulli 158 3

Topicos: series e equacoes diferenciais. Resolvido por Diego Oliveira.

1 Revisao de Limite 1.1 Exercıcios da pagina 18

Exercıcios Propostos. Calcule os limites abaixo:

Solucao:

= lim

Aplicando L’hospital

= lim

Aplicando L’hospital novamente lim

Solucao: Aplicando l’hospital

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Solucao: Fazendo

Aplicando L’hopital

( picos(pi/x)

= pi

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Solucao:

x/2

Solucao:

Solucao:

Solucao: Usando L’hospital sucessivamente

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Solucao:

Como limx→∞

Se voce nao notou no inıcio do documento aparece uma foto da 3a edicao do livro. Entretanto, este solucionario e da segunda edicao. Assim, se voce quiser me ajudar e tiver essa 2a ed. em maos, envie para meu e-mail nibblediego@gmail.com uma foto (ou scaner) da capa. Mas, lembre-se que a foto deve estar numa boa resolucao.

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Quer saber quando saira a proxima atualizacao desse documento? Nesse caso voce pode:

verificar diretamente no blog (w.number.890m.com); ou seguir a pagina do site no Facebook (https : //w.facebook.com/theNumberType).

E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correcao.

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Para encontrar esse e outros exercıcios resolvidos de matematica acesse: w.number.890m.com 8

Topicos: series e equacoes diferenciais. Resolvido por Diego Oliveira. 1.2 Exercıcios da pagina 34

1. Estude a convergencia das sequencias abaixo:A.

Solucao:

Portanto converge.

Solucao:

Portanto converge.

Solucao: Usando L’hospital

Portanto diverge.

Solucao:

Aplicando l’hospital

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Portanto diverge.

Solucao:

Como a funcao cosseno varia sempre entre −1 e 1 e 2n → ∞ entao fica claro que

Assim,

Aplicando l’hospital 10

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e limn→∞

Solucao:

Como 3

4 sao menores que 1, entao ambos os limites tendem a zero. Sendo assim,

Logo converge.

Solucao:

Logo converge.

Solucao: Dividindo numerador e denominador por 3n chega-se a:

Como

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Entao a sequencia converge.

Solucao:

Esse limite e um dos limites fundamentais. Sua solucao (ea) e tabelada e se encontra em muitos livros de calculo.

Logo a funcao e convergente.

Solucao:

Sendo assim:

Logo a sequencia e convergente.

L. {cos (npi3

Solucao:

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Observe a sequencia:{cos (npi3

Observe que a partir do 6◦ termo (n = 5), a sequencia comeca a se repetir. Ou seja, a sequencia e periodica (de perıodo p = 6). Como toda sequencia periodica e divergente entao a sequencia e divergente.

Solucao:

Entao

( sen(pi/n)

(pi/n)

Aplicando limite

Logo a sequencia e convergente.

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Solucao:

Como esse problema envolve fatorial ao inves de tentar retirar um limite vamos usar o teorema das sequencias limitadas e monotonas.

Prova de que a sequencia e monotona (crescente).

Fazendo os produtos e algumas simplificacoes.

Ou seja, a sequencia e crescente e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo.

Prova de que a sequencia e limitada superiormente. Olhando para fracao facilmente se percebe que 1 e um limite superior

Solucao: Prova de que a sequencia e monotona (crescente).

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−2 < 0 Ou seja, a sequencia e crescente e limitada inferiormente pelo seu primeiro termo.

Prova de que a sequencia e limitada superiormente. Olhando para fracao facilmente se percebe que 1 e um limite superior

Solucao: Prova de que a sequencia e monotona (decrescente).

Fazendo os produtos e algumas simplificacoes.

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Ou seja, a sequencia e decrescente e, portanto, limitada superiormente pelo seu primeiro termo.

Prova de que a sequencia e limitada inferiormente.

Olhando para fracao facilmente se percebe que para qualquer valor de n a funcao sempre sera maior que zero

Logo 0 e um limite inferior da sequencia. Como a sequencia e monotona e limitada entao tambem e convergente.

Solucao:

Considere a sequencia {an}, definida por:

Desta forma os elementos da sequencia sao:

Seja

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xn + A

Mostre que:

Solucao:

xn + A

Por definicao limn→∞xn = L entao limn→∞xn+1 tambem e igual a L e assim:

Comentario: A sequencia xn+1 apresentada fornece uma aproximacao numerica para a raiz quadrada de A. Qualquer interesse o leitor pode procurar na internet pelo chamado “metodo de

Herao”.

4. Seja a sequencia {an} definida pela recorrencia:

Mostre por inducao, que a) an < 4 para todo n.

b) {an} e uma sequencia crescente. c) determine o limite da sequencia.

Solucao de a:

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Solucao de b: Base da inducao:

Passo indutivo: Se a proposicao e verdadeira para n = k entao:

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Solucao de c:

A inducao e um metodo de prova de proposicoes e nao um metodo para determinar limites de sequencias. Portanto, o requerido nao faz sentido.

Se voce nao notou no inıcio do documento aparece uma foto da 3a edicao do livro mas, este soluconario e da segunda edicao. Se voce, leitor, quiser ajudar a corrigir esse problema envie para meu e-mail nibblediego@gmail.com uma foto da capa do livro correto. E nao esqueca de acompanhar as resolucoes do proximo capitulo.

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1. Encontre o termo geral an das series ∑ an cujas sequencias de somas parciais {sn} sao dadas a baixo. Alem disso, determine a soma das series, se possıvel.

Solucao de a: Vamos partir da seguinte identidade

Esse e o termo geral an. Para determinar a soma da serie fazemos:

Solucao de b: Vamos partir da seguinte identidade

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Esse e o termo geral an. Para determinar a soma da serie fazemos:

Solucao de c: Vamos partir da seguinte identidade

Esse e o termo geral an. Para determinar a soma da serie fazemos:

2. Usando a serie telescopica, mostre que:

b) ∑

Solucao de a:

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Por igualdade polinomial chegamos ao seguinte sistema:{ A+B =0

Que implica em B = −1, sendo assim:

Solucao de b:

que implica em A = 1

Para determinar a soma da serie fazemos o seguinte

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1. Encontre a soma das series abaixo, se possıvel:

Solucao de a:

Usando a formula da soma:

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Usando a formula da soma:

Solucao de c:

Usando a formula da soma:

Solucao de d:

Usando a formula da soma:

2. Usando series, expresse as decimais nao finitas abaixo na forma de um numero racional: 28

a) 2.131313b) 0.25411411411

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Agora vamos determinar a soma da serie( 13

usando a formula da soma:

Sendo assim:

2.131313= 2 +
⇒ 2.131313=

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Solucao de b: Analoga a anterior.

3. Uma bola e derrubada de uma altura de 9m. Cada vez que ela toca o chao, sobe novamente a uma altura de aproximadamente 2/3 da altura da qual ela caiu. Mostre que a distancia total percorrida pela bola ate parar e de 45m.

Solucao: A altura da bola em cada pulo e uma sequencia

Que como pode ser visto e uma serie geometrica, logo sua soma sera:

O detalhe importante desse problema e que a partir da 1◦ queda sempre que a bola sobe ela desce novamente fazendo duas vezes o percusso. Sendo assim, o resultado e a soma das distancias percorridas pela bola nas descidas (27) mais as distancias percorridas pela bola na subida (27 − 9), ou seja:

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1. Usando as sequencias de somas parciais {sn} demonstre as propriedades P.1.3.1., P.1.3.2. e P.1.3.3. acima.

Demonstracao de P.1.3.1:

A soma S′n de ∑ kan e

O que implica na convergencia de ∑ kan.

Demonstracao de P.1.3.2: Analoga a anterior.

Demonstracao de P.1.3.3:

Seja Sn a soma parcial de ∑ an e S′n a soma de ∑ bn entao:

Pela propriedade da soma dos limites se os limites acima existem entao:

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