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Curso de Calculo de Uma Variavel Terceira Edic ao ddxd dx

ddx d dx

∫ dx∫ dx

∫ dx ∫ dx senx cosx d dx

∫ dx exd dx

∫ dx senhx coshx d dx

∫ dx d dx

∫ dx d dx

∫ dx d dx

∫ dx d dx

∫ dx

log x d dx

∫ dx d dx

∫ dx d dx

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∫ dx

Marco Cabral i i

Curso de Cálculo de Uma Variável

Terceira Edição 1 de Agosto de 2013

Marco Aurélio Palumbo Cabral

PhD em Matemática pela Indiana University EUA

Professor do Instituto de Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro

Departamento de Matemática Aplicada

Instituto de Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro Rio de Janeiro - Brasil

Cópias são autorizadas e bem vindas: divulgue nosso trabalho! Consulte o sítio w.labma.ufrj.br/~mcabral/livros ou entre em contato com o autor em mapcabral(at)ufrj(dot)br.

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Ficha Catalográfica

Cabral, Marco A. P. Curso de Cálculo de Uma Variável / Marco Cabral - Rio de Janeiro: Instituto de Matemática, 2010. 1. Cálculo I. Título CDD: 512.5 516.3

Sobre o Autor

Marco Aurélio Palumbo Cabral é carioca (natural do Rio de Janeiro) e tricolor (torcedor do fluminense).

Fez o Bacharelado em Informática na UFRJ, o Mestrado em Matemática Aplicada na

UFRJ e o Doutorado em Matemática na Indiana University (Bloomington, EUA).

É professor no Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro desde 1996, atuando na graduação e na pós-graduação. Suas áreas de interesse são equações diferenciais parciais (EDP), Análise Numérica e Finanças.

iv SOBRE O AUTOR iv SOBRE O AUTOR

Agradecimentos

Primeiro aos alunos dos cursos de Cálculo, pelas erros detectados e pelas perguntas em sala de aula que inspiraram várias ideias para este livro. Aos alunos José Guilherme T. Monteiro (Engenharia de Controle e Automação UFRJ turma 2011) e Joshua Silveira Kritz (Matemática Aplicada UFRJ turma 2013) pelas inúmeras correções de erros.

Aos professores do IM UFRJ que colaboraram de forma direta e indireta para este projeto.

Aos programadores que criaram os programas que permitiram a produção deste material.

Este produto é herdeiro da cultura GPL (Gnu Public License), que permite o reuso de código fonte. Agradecemos:

• em primeiro lugar, Douglas Knuth pelo TE X, software que permite que este material seja tão bonito;

• Leslie Lamport pelo LA

TE X, pacote baseado no TE

• Linus Torvalds pelo kernel do sistema operacional GNU-Linux;

(corretor ortográfico), grep, find, ghostview, xpdf,;

• Richard Stallman, responsável pelo projeto GNU, pelos diversos programas do sistema operacional GNU-Linux e milhares de pessoas por dezenas de softwares utilizados: tar (compactação de arquivos), make (gerenciador de programa), aspell

• Mark Shuttleworth criador da distribuição do Linux que uti-

lizei para produzir este livro;

• Bram Moolenaar pelo (editor de texto);

• Till Tantau pelo TikZ e PGF e Supoj Sutanthavibul, Brian Smith, Paul King e outros pelo Xfig, que possibilitaram a geração de gráficos tão bonitos;

• Raimundo dos Santos Moura pelo vero (Verificador Ortográfico em português); vi AGRADECIMENTOS

• a e seus milhões de colaboradores, por algumas figuras e ideias utilizadas em vários exemplos.

Prefacio

Todo aspecto deste livro foi influenciado pelo desejo de apresentar o Cálculo não somente como um prelúdio, mas como um primeiro encontro real com a Matemática. (...) Além de desenvolver a intuição do estudante sobre os belos conceitos de Análise, é certamente igualmente importante persuadi-los que a precisão e o rigor embora não sejam um fim em si mesmo são o meio natural para formular e pensar sobre questões matemáticas. (Prefácio do livro de Cálculo do Spivak [Sp], em tradução livre)

Para o estudante

Este livro tem como foco o aluno e suas dificuldades, tratando-os de forma inteligente. No texto colocamos em destaque, dentro de uma caixa de texto: (a) dúvidas de Pré-Cálculo incorporadas diretamente aos conceitos de Cálculo, ao invés de apresentadas em Capítulo inicial de revisão, recurso didático desmotivante para o aluno (e para o Professor); (b) Erros Comuns cometidos pelos alunos.

Além de diversos livros modernos de cálculo, recomendamos a consulta e leitura de livros (mais antigos) clássicos de Cálculo: (a) Courant [Co]: Differential and Integral Calculus vol. 1(1934); (b) Spivak [Sp]: Calculus (1967); (c) Apostol [Ap2]: Calculus Vol. 1 (1967). Recomendo fortemente que os alunos que tenham seu interesse despertado utilizem o livro de Cálculo do Spivak. É interessante também folhear sem compromisso o livro do Courant. Experimente ler o capítulo sobre limites do livro do Spivak. Experimente ler sobre a fórmula de Stirling (fatorial) no livro do Courant. Você corre o risco de ficar fascinado pelo Cálculo. (c) Livros de Análise Real, a teoria que fundamenta a matemática: Neri e Cabral [NC]

Curso de Análise Real (disponível online em w.labma.ufrj.br/~mcabral/livros). Para a fundamentação teórica do Cálculo é necessário estudar análise, curso que alguns de vocês podem querer fazer depois do Cálculo. (d) Livros de Divulgação Matemática:

Courant, R.; Robbins, H.. O que é Matemática? Editora Ciência Moderna, 2000. Polya, G.; A arte de resolver problemas. Editora Interciência. Kasner, E.; Newman, J.; Matemática e Imaginação. Jorge Zahar. Davis, Philip J.; Hersh, Reuben; A Experiência Matemática. Editora Francisco Alves (1985).

Estas leituras vão abrir um pouco os horizontes. São todos clássicos. Incluem todo tipo de Matemática, passando por lógica, números, topologia, teoria da computação, filosofia da vii viii PREFÁCIO matemática.

É parte fundamental do aprendizado de Matemática resolver exercícios, tantos quanto for possível. Deve-se tentar resolver os Exemplos que aparecem ao longo do texto. Ao final de cada capítulo existem exercícios, todos com solução e resposta no final do livro, divididos em 4 grupos:

• Exercícios de Fixação: Devem ser feitos imediatamente após a leitura do texto. São de resposta curta. Não saber resposta correta sugere um retorno ao texto. Deve-se fazer todos antes de seguir adiante.

• Problemas: São os principais exercícios do capítulo. Todos (ou quase) devem ser feitos.

• Problemas Extras: Caso o aluno tenha feito todos os problemas e deseje mais prática.

• Desafios: Para se aprofundar na disciplina. São opcionais. Seções marcadas por uma estrela ? são opcionais.

Para o Professor

do tipo Determine o cilindro com maior volume inscrito. Para avaliação em massa é

Com a massificação do ensino de Cálculo é necessário mudar os paradigmas de avaliação. Para isto, a escolha do tipo de exercício é importante. É comum cobrar em avaliações exercícios melhor separar em itens independentes a modelagem (determine a função e o intervalo onde ela deve ser maximizada) da resolução (determine o máximo da função f no intervalo). Mais ainda, deve-se cobrar a aplicação dos Teoremas corretos que garantem a existência do máximo (Teorema do Valor Extremo) em intervalos fechados e limitados e métodos para determinar máximo em intervalo aberto ou ilimitado.

O mesmo vale para cálculo de áreas e volumes. Deve-se pedir a integral (ou soma de integrais) que determinam a área ou volume. A integração em si deve ser um exercício à parte.

No esboço de gráficos de funções racionais é melhor fornecer a derivada e a derivada segunda. Embora seja fácil calcular, é fácil errar um sinal ou outro, prejudicando toda a questão. Deve-se cobrar derivar em questão à parte.

Além disso, deve-se colocar mais ênfase na formação de conceitos e entendimento dos

Teoremas. Isto passa por exercícios de natureza conceitual: Verdadeiro ou Falso, dê exemplo ou contraexemplo, etc.

Por que um novo livro?

• A escolha da licença do tipo copyleft (o contrário do copyright) é parte funda-

mental deste projeto. A licença Creative Commons Atribuição (BY)

Uso Não-Comercial (NC) Compartilhamento pela mesma Licença permite que outros possam copiar ou redistribuir esta obra sem fins comerciais, adaptar e criar obras derivadas sobre esta obra sem fins comerciais, contanto que atribuam crédito ao autor e distribuam a obra resultante sob a mesma licença, ou sob uma licença similar à presente. Desta forma este livro poderá ser aperfeiçoado daqui por diante, ao invés de todo esforço envolvido se perder caso o livro pare de ser editado. Para detalhes consulte:

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/br/. Isto incentiva também a colaboração com o projeto, pois o esforço investido será revertido para toda humanidade. Mande sugestões, erros e solicite o fonte (latex) para o autor Marco Cabral em mapcabral (at) ufrj (dot) br.

• Permitir aos alunos de todo o Brasil acesso fácil (internet) e grátis;

• O material de pré-cálculo está disseminado ao longo do texto, dentro dos capítulos de limite, derivada e integral. A solução usual de incluir um capítulo inicial somente com pré-cálculo é pouco motivante, o que faz com que frequentemente seja ignorado pelos alunos e professores. É nosso desejo também que o aluno comece a aprender cálculo desde o primeiro dia de aula.

• Os exercícios são por capítulo, evitando exercícios desintegrados. Exercícios por Seção tendem a cobrir pouco material e treinar o aluno numa única técnica.

• É fundamental que o livro seja pequeno para que alunos leiam o texto e que a quantidade de exercícios seja razoável, para não desencorajar os alunos. A tentação é grande de colocar muitos tópicos. Por esta razão os livros de Cálculo chegam a ter 500 ou mais páginas. Mas hoje em dia é desnecessário colocar detalhes de tópicos pois podemos remeter os alunos para a internet. Levantamos diversos tópicos em observações ao longo do texto e nos Desafios de final de capítulo.

• Criar um pacote completo, com livro texto, exercícios (com respostas) e transparências para um curso de Cálculo.

Como foi escolhido o material?

Determinamos os tópicos tomando por base o curso usualmente ministrado na UFRJ. Além disso o componente estético foi fundamental: os alunos devem perceber a beleza da Matemática. Algumas escolhas importantes foram feitas:

• material de pré-cálculo está disseminado pelos diversos capítulos do livro, ao invés de colocado no primeiro capítulo. Por exemplo, optamos por colocar os tópicos:

modelagem: na Seção de max/min; composição e inversa de funções: na Seção de regra da derivada da cadeia e da inversa; equação da reta: no início do Capítulo de Derivada; análise de sinal de funções (desigualdades): no Capítulo de Limites, na seção de limites no infinito; translação de gráfico, função definida por partes: no Capítulo de Limites; log/exp: na parte de Limites e de novo na de derivada da composta e função inversa.

• O limite fundamental trigonométrico (sen(x)/x quando x → 0) é apresentado no final do Capítulo de Limites como uma das aplicações do Teorema do sanduíche (ou confronto). É um resultado bonito que merece o devido destaque, ao invés da opção usual de apresentá-lo como mero passo de cálculo da derivada do seno.

x PREFÁCIO

• Definimos o número e (base do logaritmo natural) através do limite (1 + h)1/h quando h → 0 no final do Capítulo de Limite. Conectamos com aplicações da exponencial: juros compostos contínuos, crescimento populacional, decaimento radioativo. É um resultado bonito que merece o devido destaque, ao invés da opção usual de apresentá-lo como mero passo de cálculo da derivada do logaritmo ou da exponencial. Outra opção, ainda menos feliz, é adiar isto, juntamente com a definição do logaritmo, para depois do Capítulo de Integral. Isto não impede que se faça a definição do log com integral depois.

• Esboço de gráfico de função aparece logo no início, no Capítulo de Limites (com foco em funções racionais). Vai reaparecer depois no Capítulo de Aplicações da Derivada.

• O cálculo de volume de sólidos é feito com somente uma técnica: Cavalieri. A técnica para sólidos de revolução é uma mera aplicação de Cavalieri.

• Provamos (ou indicamos a prova) de todos os Teoremas interessantes, com padrão de rigor variável, acessível aos estudantes.

• Apresentamos através de Lemas e Teoremas, com demonstração, as técnicas de integração, não somente por substituição e por partes como também para substituição trigonométrica e frações parciais. Creio que o Teorema de integração trigonométrica não tenha aparecido anteriormente em livro algum de Cálculo.

Sobre a Segunda Edição

Na segunda edição (outubro de 2011) acrescentamos no Capítulo de Integral seções de integração e substituição trigonométrica e da teoria da decomposição por frações parciais. Tratamos de Integração Trigonométrica através de um Teorema, ao invés do modo usual, através de truques. Reescrevemos a Seção de Integração de Funções Racionais. Acrescentamos muitos exercícios de Desafio. Além disso corrigimos os erros detectados no texto.

Sobre a Terceira Edição

Na terceira edição (agosto de 2013) foram retirados pequenos erros, gerado pdf com links, melhorado o sistema de numeração dos exercícios e incluído índice remissivo. Foi reescrita a Seção Funções Transcendentes e Raiz. Colocamos a Seção de Derivação Implícita no Capítulo de Derivada. Foi incluído exercícios de integração por cascas cilíndricas.

Sumario

Sobre o Autor i Agradecimentos v Prefácio vii Sumário xiv

1.1 Softwares Gratuitos e o Cálculo1
1.2 Definição de Limite2
1.3 Limites e Infinito: Assíntotas Verticais e Horizontais14
1.4 Indeterminações do Limite27
1.5 Esboço de Gráficos (parte I)29
1.6 Limites Fundamentais31
1.7 Exercícios de Limite38
1.7.1 Exercícios de Fixação38
1.7.2 Problemas40
1.7.3 Extras42
1.7.4 Desafios43
2.1 Definição de Continuidade45
2.2 Teorema do Valor Intermediário (TVI)49
2.3 ?Funções Transcendentes e Raiz52
2.3.1 Função Raiz52
2.3.2 Funções Exponencial e Logarítmica53
2.3.3 Funções Trigonométricas54
2.3.4 Funções Hiperbólicas56
2.3.5 Outras Funções56
2.4 ?Introdução à Análise Real56
2.4.1 Cardinalidade57
2.4.2 O que é R?58
2.4.3 Racionais, Irracionais, Algébricos, Transcendentes58
2.4.4 Definição de Limite59
2.4.5 Definição de Continuidade59
2.5 Exercícios de Continuidade60
2.5.1 Exercícios de Fixação60
2.5.2 Problemas61

2 Continuidade 45 xi

2.5.3 Extras62
2.5.4 Desafios62

xii SUMÁRIO

3.1 Definição de Derivada65
3.2 Derivada de Funções Transcendentes70
3.3 Propriedades Básicas da Derivada72
3.4 Derivada da Composta75
3.5 Derivada da Inversa7
3.6 ?Derivação Implícita80
3.7 Teorema do Valor Médio (TVM): Crescimento e Decrescimento81
3.8 Exercícios de Derivada85
3.8.1 Exercícios de Fixação85
3.8.2 Problemas87
3.8.3 Extras8
3.8.4 ?Problemas (Derivação Implícita)89
3.8.5 Desafios90
4.1 L'Hospital e Hierarquia dos Infinitos93
4.2 ?Taxas Relacionadas96
4.3 Aproximando Função Localmente98
4.4 Máximo e Mínimo101
4.4.1 Máximo e Mínimo Local101
4.4.2 Máximo e Mínimo Global e o TVE104
4.5 Esboço de Gráficos (parte I)107
4.6 Problemas de Otimização112
4.7 Exercícios de Aplicações da Derivada117
4.7.1 Exercícios de Fixação117
4.7.2 Problemas120
4.7.3 Extras124
4.7.4 ?Problemas (Taxas Relacionadas)127
4.7.5 Desafios130

4 Aplicações da Derivada 93

5.1 Definição e Propriedades Básicas133
5.1.1 Definição (informal) de Integral133
5.1.2 Propriedades Básicas134
5.2 Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)135
5.3 Integrais Impróprias139
5.4 ?Definição (com rigor) de Integral140
5.5 Técnicas Básicas144
5.5.1 Integração por Substituição145
5.5.2 Integração por Partes147
5.6 Técnicas Trigonométricas149
5.6.1 Integração Trigonométrica149
5.6.2 ?Substituição Trigonométrica152
5.7 ?Técnica para Funções Racionais153
5.7.2 Teoria da Decomposição por Frações Parciais158
5.8 Exercícios de Integral160
5.8.1 Exercícios de Fixação160
5.8.2 Problemas162
5.8.3 Extras163
5.8.4 ?Problemas (Integração e Substituição Trigonométrica)165
5.8.5 ?Problemas (Integração de Funções Racionais)166
5.8.6 Desafios166

SUMÁRIO xiii

6.1 Área no Plano171
6.2 Volume de Sólidos175
6.3 Valor Médio de Função180
6.4 ?Comprimento de Curvas no Plano181
6.5 ?Área de Superfície de Sólido de Revolução184
6.6 ?Transformada de Laplace184
6.7 ?Série de Fourier e MP3186
6.8 Exercícios de Aplicações da Integral188
6.8.1 Exercícios de Fixação188
6.8.2 Problemas189
6.8.3 Extras191
6.8.4 ?Problemas (Comprimento de Curvas no Plano)192
6.8.5 ?Problemas (Área de Superfície de Sólido de Revolução)192
6.8.6 Desafios193

6 Aplicações da Integral 171

A.1 Limite195
A.1.1 Exercícios de Fixação195
A.1.2 Problemas198
A.1.3 Extras200
A.1.4 Desafios201
A.2 Continuidade202
A.2.1 Exercícios de Fixação202
A.2.2 Problemas203
A.2.3 Extras204
A.2.4 Desafios205
A.3 Derivada205
A.3.1 Exercícios de Fixação205
A.3.2 Problemas206
A.3.3 Extras208
A.3.4 ?Problemas (Derivação Implícita)210
A.3.5 Desafios211
A.4 Aplicações da Derivada212
A.4.1 Exercícios de Fixação212
A.4.2 Problemas213
A.4.3 Extras219
A.4.4 ?Problemas (Taxas Relacionadas)225
A.4.5 Desafios227
A.5.1 Exercícios de Fixação228
A.5.2 Problemas230
A.5.3 Extras232
A.5.4 ?Problemas (Integração e Substituição Trigonométrica)234
A.5.5 ?Problemas (Integração de Funções Racionais)235
A.5.6 Desafios236
A.6 Aplicações da Integral237
A.6.1 Exercícios de Fixação237
A.6.2 Problemas238
A.6.3 Extras240
A.6.4 ?Problemas (Comprimento de Curvas no Plano)242
A.6.5 ?Problemas (Área de Superfície de Sólido de Revolução)242
A.6.6 Desafios242

xiv SUMÁRIO

Bibliografia 245 Índice Remissivo 246

Capıtulo 1

Limite

O conceito de limite é certamente o mais importante e provavelmente o mais difícil de todo o Cálculo. (...) O que definimos neste Capítulo não é a palavra limite, e sim a noção de uma função se aproximando de um limite. [Sp, p.72]

Objetivos: Apresentar o conceito de limite e diversos tipos de funções: exponencial, logaritmo, raiz e translações destas; funções definidas por partes; funções mais complicadas como IQ (função indicadora dos racionais) e sen(1/x). Apresentar o material de pré-cálculo integrado com limites por ser mais motivador e funcional com prática de sala de aula. Introduzir assíntotas (verticais e horizontais) e ensinar a esboçar gráficos de funções racionais logo no primeiro capítulo.

Destacar, apresentando como um lema, a técnica de mudança de variáveis do limite, que é uma prévia da mudança de variáveis na integral. Apresentar limite fundamental do seno e da exponencial (o limite que define o número e).

1.1 Softwares Gratuitos e o Cálculo

É interessante utilizar softwares para aprender Cálculo. Apresentamos alguns softwares gratuitos que podem ser utilizadas no Windows e no Linux (Ubuntu, Debian, etc.):

• fooplot é um site com software que permite visualizar gráficos. • KmPlot: Software de visualização de gráficos de funções nativo do Linux.

• Winplot: Software de visualização de gráficos de funções nativo do Windows mas que roda com emulação do Wine no Linux. Pode-se visualizar gráficos 2D e 3D dados por função, parametrização explicita e implícita. Pode-se fazer animações.

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