cap. 3.9 taxas relacionadas-20170502-2329

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Capítulo 3.9 –Taxas relacionadas

1. Leia cuidadosamente o problema. 2. Se possível, faça um diagrama. 3. Introduza uma notação. Atribua símbolos para todas as grandezas que são funções do tempo. 4. Expresse a informação dada e a taxa pedida em termos das derivadas. 5. Escreva uma equação que relacione as várias grandezas do problema. Se necessário, use a geometria da situação para eliminar uma das variáveis por substituição. 6. Use a Regra da Cadeia para derivar ambos os lados da equação em relação a t. 7. Substitua a informação dada na equação resultante e resolva-a para determinar a taxa desconhecida.

EXEMPLO 1: Ar está sendo bombeado para um balão esférico de modo que seu volume aumenta a uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está aumentando quando o diâmetro for 50 cm?

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EXEMPLO 2: Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1 m/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da escada está a 3 m da parede?

EXEMPLO 3: O carro A está se movimentando para o oeste a 90 km/h e o carro B está se movimentando para o norte a 100 km/h. Ambos vão em direção à intersecção de duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A está a 60 m e o carro B está a 80 m da intersecção?

EXEMPLO 4: Um tanque de água possui o formato de um cone circular invertido, com base de raio 2 m e altura igual a 4 m. Se a água está sendo bombeada para o tanque a uma taxa de 2 m3/min, encontre a taxa na qual o nível de água está aumentando quando a água estiver a 3 m de profundidade.

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EXEMPLO 5: Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma velocidade de 1,5 m/s. Um holofote localizado no chão a 6 m do caminho é mantido focalizado no homem. A que taxa o holofote está girando quando o homem está a 8 m do ponto do caminho mais próximo da luz?

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EXEMPLO 8: Ao meio-dia, o navio A está a 150 km a oeste do navio B. O navio A está navegando para o leste a 35 km/h e o navio B está navegando para o norte a 25 km/h. Quão rápido a distância entre os navios está variando às 16 horas?

Taxas relacionadas EXEMPLO 6:

O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de 8 cm/s e a sua largura está aumentando numa taxa de 3 cm/s. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm, quão rápido a área do retângulo está aumentando?

EXEMPLO 7: Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3m3/min. Quão rápido a altura da água está aumentando?

Taxas relacionadas EXEMPLO 9:

Se uma bola de neve derrete de forma que a área de sua superfície decresce a uma taxa de 1cm2/min, encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm.

EXEMPLO 10: Um holofote sobre o solo ilumina uma parede 12 m distante dele. Se um homem de 2 m de altura anda do holofote em direção à parede a uma velocidade de 1,6 m/s, quão rápido o comprimento de sua sombra diminui sobre a parede quando ele está a 4 m dela?

EXEMPLO 1: Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto. Uma anda para o leste a 4 km/h e a outra anda para nordeste a 2 km/h. Quão rápido a distância entre as pessoas está variando após 15 minutos?

EXEMPLO 12: Uma partícula está se movimentando ao longo de uma hipérbole xy = 8. Quando atinge o ponto (4,2), a coordenada y está decrescendo a uma taxa de 3 cm/s. Quão rápido a coordenada x do ponto está variando nesse momento?

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