Matemática Superior para Engenharia - Volume 1 - Ed. 9 - Kreyszig, Erwin

Matemática Superior para Engenharia - Volume 1 - Ed. 9 - Kreyszig, Erwin

(Parte 1 de 9)

Equações

Diferenciais

Ordinárias (EDOs)

CAPÍTULO 1 EDOs de Primeira Ordem CAPÍTULO 2 EDOs Lineares de Segunda Ordem CAPÍTULO 3 EDOs Lineares de Ordem Superior CAPÍTULO 4 Sistemas de EDOs. O Plano de Fase. Métodos Qualitativos CAPÍTULO 5 Soluções de EDOs por Séries. Funções Especiais CAPÍTULO 6 Transformadas de Laplace

As equações diferenciais são de importância fundamental na matemática e em suas aplicações em engenharia, visto que são usadas para expressar matematicamente diversas relações e leis físicas. Na Parte A deste livro, consideraremos um grande número de problemas físicos e geométricos que levam às equações diferenciais, com ênfase na modelagem, ou seja, na transição de uma situação física para um “modelo matemático”. Neste capítulo, o modelo matemático será uma equação diferencial e, à medida que avançarmos no assunto, explicaremos os métodos-padrão mais importantes para resolver essas equações.

A Parte A trata das equações diferenciais ordinárias (EDOs), em que as funções desconhecidas dependem de uma única variável. Por sua vez, as equações diferenciais parciais (EDPs) envolvem funções desconhecidas de diversas variáveis e serão abordadas na Parte C.

As EDOs são bastante adequadas para serem resolvidas por computador. Após a leitura dos Capítulos 1 ou 2 deste livro, é possível estudar diretamente métodos numéricos de resolução de EDOs. Sobre este assunto, veja também as Seções 21.1–21.3, que são independentes das demais seções que tratam dos métodos numéricos.

EDOs de Primeira Ordem

Neste capítulo, começaremos nosso estudo das equações diferenciais ordinárias (EDOs) derivando-as de problemas físicos ou de outra natureza (modelagem), resolvendo-as pelos métodos-padrão e interpretando as soluções encontradas e seus respectivos gráficos em termos de um dado problema. Também serão discutidas (na Seção 1.7) as questões de existência e unicidade das soluções.

Começaremos com as EDOs mais simples, chamadas de equações de primeira ordem, devido ao fato de envolverem somente a derivada primeira da função desconhecida, excluindo derivadas de ordem superior. Nossa notação usual para a função desconhecida será y(x) ou y(t) caso a variável independente seja o tempo t.

Se você quiser, pode utilizar um sistema de álgebra computacional (SAC) para checar as soluções, embora não deva se descuidar de ter uma compreensão conceitual dos termos básicos que apresentaremos, como EDO, campo direcional e problema de valor inicial.

COMENTÁRIO. Os métodos numéricos para a resolução de EDOs de primeira ordem podem ser estudados imediatamente após este capítulo. Veja as Seções 21.1–21.2, que são independentes das demais seções sobre métodos numéricos.

Pré-requisito: cálculo integral. Seções que podem ser omitidas num curso mais curto: 1.6 e 1.7. Referências e Respostas dos Problemas: Parte A do Apêndice 1 e Apêndice 2.

1.1 Conceitos Básicos. Modelagem

Se desejarmos resolver um problema de engenharia (usualmente de natureza física), temos primeiro que formular esse problema como uma expressão matemática, em termos de variáveis, funções, equações etc. Uma expressão desse tipo é então chamada de um modelo matemático do problema em questão. O processo de elaborar um modelo, resolvê-lo matematicamente e interpretar seus resultados em termos físicos ou outros é chamado de modelagem matemática ou, resumidamente, de modelagem. Trata-se de um processo que requer experiência, razão pela qual nós o ilustraremos por meio de diversos exemplos e problemas. (Seu computador pode ajudá-lo a obter as soluções desses exemplos, porém dificilmente lhe ajudará a elaborar os respectivos modelos.)

Visto que diversos conceitos físicos, como velocidade e aceleração, são derivadas, freqüentemente os modelos consistem de equações contendo derivadas de uma função desconhecida. Um modelo dessa natureza é chamado de equação diferencial. Naturalmente, também nos interessa encontrar uma solução (ou seja, uma função que satisfaça à equação), analisar suas respectivas propriedades, representá-la graficamente, encontrar valores para ela e interpretá-la em termos físicos, de tal modo que possamos compreender o comportamento do sistema físico do problema que temos em mãos. Entretanto, antes de passarmos para os métodos de solução, é preciso primeiro definir os conceitos básicos que nos serão necessários ao longo deste capítulo.

Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que contém uma ou mais derivadas de uma função desconhecida, a qual usualmente chamamos de y(x) (ou, às vezes, y(t), caso a variável independente seja o tempo t). Essa equação pode conter o próprio y, funções conhecidas de x (ou de t) e constantes. Por exemplo, são equações diferenciais ordinárias (EDOs). O termo ordinárias distingue essas equações das equações diferenciais parciais (EDPs), que envolvem derivadas parciais de uma função desconhecida de duas ou mais variáveis.

Capítulo 1: EDOs de Primeira Ordem 3

Por exemplo, uma EDP com uma função desconhecida u de duas variáveis x e y é

As EDPs são mais complicadas que as EDOs e serão estudadas no Capítulo 12.

Diz-se que uma EDO é de ordem n quando a n-ésima derivada da função desconhecida y é a derivada mais alta de y na equação. O conceito de ordem fornece uma classificação útil para as EDOs de primeira ordem, de segunda ordem, e assim por diante. Portanto, a equação (1) é de primeira ordem, a (2) é de segunda ordem e a (3) é de terceira ordem.

Neste capítulo, consideraremos as EDOs de primeira ordem. Essas equações contêm somente a primeira derivada y , podendo também conter y e funções quaisquer dadas de x. Dessa forma, é possível escrever essas equações como

(4) F(x, y, y ) 0 ou, freqüentemente, na forma

Fig. 1. Algumas aplicações das equações diferenciais

4 Parte A • Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)

O Conceito de Solução Uma função y h(x) é chamada de solução de uma dada EDO (4) em algum intervalo aberto a < x < b se h(x) for definida e diferenciável ao longo de todo esse intervalo e se for tal que a equação se torna uma identidade quando y e y são substituídos por h e h , respectivamente. A curva (ou seja, o gráfico) de h é chamada de curva de solução.

Aqui, um intervalo aberto a < x < b significa que os pontos extremos a e b não são considerados como pertencentes ao intervalo. Além disso, a < x < b pode incluir intervalos infinitos, como –∞ < x < b, a < x < ∞, –∞ < x < ∞ (a reta dos números reais) como casos especiais.

EXEMPLO 1 Verificação da Solução y = h(x) = c/x (onde c é uma constante arbitrária, x ≠ 0) é uma solução de xy = –y. Para verificarmos isso, obtemos a derivada, y = h (x) = –c/x, e multiplicamos por x para obtermos xy = –c/x = –y. Portanto, xy = –y, que é a EDO dada.

EXEMPLO 2 Curvas de Solução

A EDO y = dy/dx = cos x pode ser resolvida diretamente por integração em ambos os lados. Dessa forma, utilizando o cálculo, obtemos y cos x dx sen x c, onde c é uma constante arbitrária. Temos então uma família de soluções. Cada valor de c, por exemplo, 2,75 ou 0 ou –8, fornece uma dessas curvas. A Figura 2 mostra algumas delas para c = –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4.

Fig. 2. Soluções de y = sen x + c da EDO y = cos x

EXEMPLO 3 Crescimento Exponencial, Decaimento Exponencial Do cálculo, sabemos que y = ce (onde c é uma constante) possui a seguinte derivada (regra da cadeia!).

Isso mostra que y é uma solução de y = 3y. Logo, essa EDO pode servir para modelar o crescimento exponencial, como, por exemplo, o crescimento de populações de animais ou de colônias de bactérias. Esse tipo de crescimento também se aplica a pequenas populações humanas situadas em países extensos (como os EUA no passado), sendo também conhecido como lei de Malthus. Discutiremos mais este tópico na Seção 1.5.

Similarmente, y = –0,2y (sem esquecer o sinal negativo no lado direito!) possui a solução y = ce. Logo, essa EDO representa o modelo do decaimento exponencial, como, por exemplo, o de uma substância radioativa (veja Exemplo 5). A Figura 3 mostra soluções para alguns valores positivos de c. Você seria capaz de imaginar como seriam os gráficos para valores negativos de c? Lei que recebeu esse nome em homenagem a THOMAS ROBERT MALTHUS (1766–1834), pioneiro inglês da economia clássica. Fig. 3. Soluções de y = –0,2y no Exemplo 3

Capítulo 1: EDOs de Primeira Ordem 5

Nesses exemplos, pode-se ver que cada EDO possui uma solução contendo uma constante arbitrária c. Uma solução que inclui uma constante arbitrária c é chamada de solução geral da EDO.

(Veremos que, às vezes, o valor de c não é completamente arbitrário, devendo, ao invés disso, se restringir a algum intervalo para evitar o surgimento de expressões complexas na solução.)

Desenvolveremos métodos capazes de nos fornecer soluções gerais de maneira única (excetuando-se talvez quanto à notação). Assim, acharemos a solução geral de uma dada EDO (ao invés de uma solução geral).

Geometricamente, a solução geral de uma EDO é uma família de um número infinitamente grande de curvas, cada uma delas correspondendo a um determinado valor da constante c. Se escolhermos um c específico (p. ex., c = 6,45 ou 0 ou –2,01), obtemos o que se chama de solução particular de uma EDO. Uma solução particular não contém qualquer constante arbitrária.

Na maioria dos casos, existem soluções gerais; quando nestas se atribui um valor adequado a c, obtém-se uma solução particular e constante deixa de ser arbitrária. Exceções a essas regras ocorrem, mas são de menor interesse nas aplicações (veja Problema 16 nos Problemas Propostos 1.1).

Problema de Valor Inicial

Na maioria dos casos, a solução única de um determinado problema (ou seja, uma solução particular), é obtida a partir de uma solução geral por meio de uma condição inicial y(x0) = y0, com valores dados para x0 e y0, que são utilizados para se determinar um valor para a constante arbitrária c. Geometricamente, essa condição significa que a curva de solução deve passar pelo ponto (x0, y0) no plano xy. Uma EDO apresentada juntamente com sua condição inicial é chamada de um problema de valor inicial. Portanto, caso a EDO seja explícita, y = f(x, y), o problema de valor inicial assume a forma

(5) y  ƒ(x, y),y(x0)  y0.

EXEMPLO 4 Problema de Valor Inicial Resolva o problema de valor inicial

dx  3y,y(0)  5,7.
SoluçãoA solução geral é y(x) = ce; veja Exemplo 3. A partir dessa solução e da condição inicial, obtemos y(0) = ce = c = 5,7. Por-

y dy tanto, o problema de valor inicial possui a solução y(x) = 5,7e, que é uma solução particular.

Modelagem

No início desta seção, enfatizamos a importância geral da modelagem no trabalho dos engenheiros e dos físicos. Consideraremos agora um problema físico básico que detalhará as etapas usuais de modelagem: a Etapa 1, que é a transição da situação física (ou seja, do sistema físico) para sua respectiva formulação matemática (seu respectivo modelo matemático); a Etapa 2, que é a obtenção da solução através de um método matemático; e a Etapa 3, que é a interpretação física do resultado. Talvez esta seja a maneira mais fácil de obter uma idéia inicial da natureza e do propósito das equações diferenciais e suas aplicações. Entretanto, você deve ter em mente desde o princípio que, ainda que seu computador (SAC) possa às vezes lhe ser útil na Etapa 2, as Etapas 1 e 3 basicamente dependerão apenas de você. Além disso, a Etapa 2 requer sólidos conhecimentos e uma boa compreensão dos métodos de solução disponíveis — em outras palavras, será você que terá que escolher o método para realizar seu trabalho, independentemente deste ser feito à mão ou com o auxílio de um computador. Tenha isso sempre em mente e também cheque os resultados do computador em busca de falhas (que podem resultar, por exemplo, de erros na entrada dos dados).

EXEMPLO 5 Radiatividade. Decaimento Exponencial

Dada uma certa quantidade, digamos, 0,5 g (grama), de uma substância radioativa, encontre a quantidade que estará presente num instante posterior qualquer.

Informação Física. Experimentos mostram que, a cada instante, uma substância radioativa se decompõe segundo uma taxa proporcional à quantidade dela presente.

Etapa 1. Elaboração de um modelo matemático (uma equação diferencial) do processo físico. Chamemos de y(t) a quantidade de substância que ainda está presente num instante t qualquer. Segundo a lei física, a taxa temporal de variação y (t) = dy/dt é proporcional a y(t). Chamemos a constante de proporcionalidade de k. Então

6 Parte A • Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)6 Parte A • Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs)

O valor de k é conhecido por meio de experimentos realizados com diversas substâncias radioativas (p. ex., para o isótopo de rádio Ra, k = –1,4 10 s aproximadamente). Uma vez que y(t) decresce com o tempo, k é negativo. O valor inicial dado é de 0,5 g. Considere que o tempo correspondente a essa situação inicial seja t = 0. Então, a condição inicial é y(0) = 0,5. Esse é o instante em que o processo começa, o que reforça o uso do termo “condição inicial” (embora esse termo também seja utilizado de maneira mais geral em situações onde a variável independente não é o tempo ou quando se escolhe para t um valor diferente de t = 0). Dessa forma, o modelo do processo corresponde ao problema de valor inicial

dt  ky,y(0)  0,5.

(7) dy

Etapa 2. Solução matemática. Como ocorreu no Exemplo 3, concluímos que a EDO (6) constitui um modelo para o decaimento exponencial e possui a solução geral (com a constante arbitrária c, porém com um valor definido para k)

Usemos agora a condição inicial para determinarmos c. Visto que, a partir de (8), y(0) = c, isso nos faz concluir que y(0) = c = 0,5. Dessa forma, a solução particular que governa esse processo é

(9) y(t) 0,5ekt (Fig. 4).

Verifique sempre o resultado encontrado — que pode conter erros humanos ou computacionais! Verifique por derivação (regra da cadeia!) que a sua solução (9) satisfaz a (7) e que y(0) = 0,5:

dt  0,5kekt  k · 0,5ekt  ky,y(0)  0,5e0  0,5.

Etapa 3. Interpretação do resultado. A Fórmula (9) determina a quantidade de substância radioativa presente num instante t. Ela começa com a quantidade inicial correta que havia sido informada e vai diminuindo com o tempo, devido ao fato de k (a constante de proporcionalidade, que depende do tipo de substância) ser negativa. O limite de y, à medida que t → ∞, é zero.

Fig. 4. Radiatividade (Decaimento exponencial, y = 0,5ekt, com o exemplo k = –1,5)

EXEMPLO 6 Uma Aplicação Geométrica

Problemas geométricos também podem nos levar a problemas de valor inicial. Por exemplo, encontre a curva que passa pelo ponto (1, 1) no plano xy e que tem em todos os seus pontos a inclinação –y/x.

SoluçãoA inclinação y da curva deve ser igual a –y/x. Isso resulta na EDO y = –y/x, cuja solução geral é y = c/x (veja Exemplo 1).

Trata-se de uma família de hipérboles que têm os eixos coordenados como assíntotas.

Para a curva que passa pelo ponto (1, 1), devemos ter y = 1 quando x = 1. Portanto, a condição inicial é y(1) = 1. A partir desta condição e de y = c/x, obtemos y(1) = c/1 = 1; isto é, c = 1. Isso nos leva à solução particular y = 1/x (representada por uma linha mais grossa na Figura 5).

Fig. 5. Soluções de y = –y/x (hipérboles)Fig. 6. Soluções particulares e a solução singular do Problema 16

Capítulo 1: EDOs de Primeira Ordem 7

1-4 CÁLCULO

5-9 VERIFICANDO A SOLUÇÃO

10-14 PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

Verifique que y é uma solução da EDO. Determine a partir de y a solução particular que satisfaça à condição inicial. Esboce ou faça um gráfico dessa solução. 10. y 0,5y, y ce0,5x, y(2) 2

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