Analise MANUEL ALVES parte II

Analise MANUEL ALVES parte II

(Parte 1 de 2)

ELENA ALVES e MANUEL ALVES

* Continuidade de funcoes * Calculo diferencial

* Calculo integral * Series numericas

Maputo

Elena Alves1 e Manuel Alves2 “Elementos de Analise Matematica. Parte I”– Maputo: Escola Superior de Gestao e Tecnologia, 2004.– 207p.

A colectanea de exercıcios aborda os temas sobre continuidade de funcao, calculo diferencial e integral e series numericas. O presente trabalho destina-se aos estudantes dos cursos de Matematica, Ciencias e Engenharias.

Referencias bibliograficas: 6 tıtulos. (ISBN)Numero de registo: 01882/RLINLD/2002 Tiragem: 500

Revisao: Prof. Doutor A. I. Elisseev e Prof. Doutor A. I. Kalashnikov c© Elena Alves e Manuel Alves, 2004

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1Profa. Doutora E. V. Alves e Mestrada (Universidade Estatal de Saint-Petersburg) e Doutorada (Universidade

Estatal de Perm) em Matematica Pura. Foi docente na Faculdade AeroEspacial da Universidade Estatal Tecnica de Perm, e, actualmente, e Professora Auxiliar no Instituto Superior Politecnico e Universitario. O seu endereco electronico e: ealves@ispu.ac.mz 2Prof. Doutor M. J. Alves e Mestrado (Universidade Estatal de Saint-Petersburg) e Doutorado (Universidade Estatal de Perm) em Matematica Pura. E membro da American Mathematical Society (AMS) e da Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Actualmente e Professor Associado na Universidade Eduardo Mondlane e no Instituto Superior de Ciencias e Tecnologia de Mocambique. O seu endereco electronico e: majoalves@member.ams.org

Prefacio

O presente trabalho e uma colectanea de exercıcios referentes a alguns temas das disciplinas de Analise Matematica I e Analise Matematica I. As primeira3 e segunda partes desta edicao de “Elementos de Analise Matematica” ficam, deste modo, a completar-se.

Nesta parte I faz-se uma digressao ao conceito de continuidade e continuidade uniforme de funcao.

Especial atencao e dada ao tema sobre diferenciacao, integracao e suas aplicacoes. Aborda-se o tema sobre integrais improprios, criterios de convergencia de integrais improprios. Finalmente, nos ultimos modulos, introduz-se a nocao de series numericas, criterios de convergencia de series numericas.

A assimilacao dos principais conceitos e teoremas, que se encontram no resumo teorico, sao fundamentais para a compreensao dos exercıcios resolvidos e a resolucao dos exercıcios propostos. Subentende-se que as demonstracoes destes teoremas o leitor teve a oportunidade de aprende-las, durante as aulas teoricas ministradas.

Parte dos exercıcios aqui retratados foram retirados do livro, ja considerado classico e de consulta obrigatoria, sob redaccao do academico russo Boris Pavlovitch Demidovitch4.

Gostarıamos de exprimir os nossos agradecimentos a todos que, directa ou indirectamente, contribuıram para que este trabalho fosse publicado.

Maputo, Junho 2004 Os autores

3M. J. Alves “Elementos de Analise Matematica. Parte I” 4Boris Pavlovitch Demidovitch (1906–1977) — matematico russo

Prefacio3

Conteudo

1.1 Resumo teorico7
1.2 Exercıcios resolvidos8
1.3 Perguntas de controle15
1.4 Exercıcios propostos15

1 Continuidade e continuidade uniforme 7

2.1 Resumo teorico18
2.2 Exercıcios resolvidos21
2.3 Perguntas de controle29
2.4 Exercıcios propostos29

2 Derivada e diferencial. Regras de derivacao 18

3.1 Resumo teorico38
3.2 Exercıcios resolvidos38
3.3 Perguntas de controle43
3.4 Exercıcios propostos4

3 Interpretacao geometrica e mecanica da derivada 38

4.1 Resumo teorico46
4.2 Exercıcios resolvidos47
4.3 Perguntas de controle51
4.4 Exercıcios propostos52

4 Derivadas e diferenciais de ordem superior 46

5.1 Resumo teorico54
5.2 Exercıcios resolvidos56
5.3 Perguntas de controle62
5.4 Exercıcios propostos62

5 Teoremas sobre funcoes diferenciaveis 54 4

6.1 Resumo teorico64
6.2 Exercıcios resolvidos65
6.3 Perguntas de controle70
6.4 Exercıcios propostos71

6 Esquema geral de estudo duma funcao 64

7.1 Resumo teorico73
7.2 Exercıcios resolvidos74
7.3 Perguntas de controle7
7.4 Exercıcios propostos7

7 Primitiva e integral indefinido 73

8.1 Resumo teorico79
8.2 Exercıcios resolvidos80
8.3 Perguntas de controle86
8.4 Exercıcios propostos87

8 Metodos de integracao 79

9.1 Resumo teorico89
9.2 Exercıcios resolvidos91
9.3 Perguntas de controle100
9.4 Exercıcios propostos100

9 Integracao de funcoes racionais, irracionais e trigonometricas 89

10.1 Resumo teorico102
10.2 Exercıcios resolvidos103
10.3 Perguntas de controle106
10.4 Exercıcios propostos107

10 Integral definido segundo Riemann 102

1.1 Resumo teorico109
1.2 Exercıcios resolvidos10
1.3 Perguntas de controle120
1.4 Exercıcios propostos120

1 Formula de Newton-Leibniz 109

12.1 Resumo teorico123
12.2 Exercıcios resolvidos124
12.3 Perguntas de controle128
13.1 Resumo teorico130
13.2 Exercıcios resolvidos133
13.3 Perguntas de controle147
13.4 Exercıcios propostos147

13 Integrais improprios 130

14.1 Resumo teorico150
14.2 Exercıcios resolvidos154
14.3 Perguntas de controle159
14.4 Exercıcios propostos159

14 Aplicacoes do integral definido 150

15.1 Resumo teorico161
15.2 Exercıcios resolvidos162
15.3 Perguntas de controle166
15.4 Exercıcios propostos166
16.1 Resumo teorico168
16.2 Exercıcios resolvidos170
16.3 Perguntas de controle178
16.4 Exercıcios propostos178

16 Criterios de convergencia para series de sinal positivo 168

17.1 Resumo teorico181
17.2 Exercıcios resolvidos182
17.3 Perguntas de controle189
17.4 Exercıcios propostos190
Bibliografia192
Solucoes193

Modulo 1 Continuidade e continuidade uniforme

1.1 Resumo teorico

Seja E ⊂ R1, a ∈ E, E e um conjunto aberto. A funcao f : E 7→ R1 e contınua no ponto a se f(x) esta definida numa vizinhanca de a e lim x→a f(x) = f(a). Diremos que a funcao f(x) e contınua, no ponto a, segundo Heine1 se para qualquer que seja a sucessao {xn}, xn ∈ E

A funcao f(x) e contınua em E se ela for contınua em cada ponto de E. A funcao f(x) e contınua a direita do ponto a se limx→a x>a ponto a se limx→a x<a f(x) = f(a). A notacao usada e: limx→a x>a

x<a f(a−) = f(a). A funcao f(x) e contınua no intervalo fechado [a,b] se ela e contınua em cada ponto de (a,b), contınua a direita do ponto a e contınua a esquerda do ponto b.

Teorema 1. (Primeiro teorema de Weierstrass3) Se a funcao f(x) e contınua num intervalo fechado, entao ela e limitada nesse intervalo fechado.

Teorema 2. (Segundo teorema de Weierstrass) Se a funcao f(x) e contınua num intervalo fechado, entao ela atinge os seus valores maximo e mınimo nesse intervalo fechado.

1Heinrich Eduard Heine (1821–1881) — matematico alemao 2Augustin Louis Cauchy (1789–1857) — matematico frances 3Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815–1897) — matematico alemao

8 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I

Teorema 3. (de Cantor4) Se a funcao f(x) e contınua num intervalo fechado (segmento), entao ela e uniformemente contınua nesse intervalo fechado.

A expressao chamaremos modulo de continuidade. A funcao ω(δ;f;E) e nao negativa e nao decrescente. Teorema 4. As duas afirmacoes sao equivalentes: 1) f(x) e uniformemente contınua em E;

Se lim lim f(x), entao x0 e ponto de descontinuidade do tipo degrau (salto).

Os pontos de descontinuidade evitavel e descontinuidade do tipo degrau sao chamados pontos de descontinuidade de primeira especie. Quando um ou ambos limites laterais numa vizinhanca do ponto x0 nao existem ou sao iguais a infinito, diremos que x0 e ponto de descontinuidade de segunda especie.

1.2 Exercıcios resolvidos

1) Investigue a continuidade das seguintes funcoes:

O ponto que suscita duvidas, sobre a continuidade da funcao f(x) = |x|, figura 1.1, e x = 0. 4Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918) — matematico alemao

Modulo 1. Continuidade e continuidade uniforme 9

Figura 1.1: Exercıcio 1) (a)

Vamos verificar se f(x) e contınua nesse ponto:

portanto a funcao f(x) = |x| e contınua em todo o seu domınio de definicao. ¤ (b)

A, se x = 2; Resolucao. Precisamos verificar se f(x) e contınua no ponto x = 2. Temos:

Em conclusao, se A = f(2) for igual a 4, entao f(x) e contınua no ponto x = 2, consequentemente ela e contınua em todo o seu domınio. ¤ sinx

Vamos verificar se f(x) e contınua no ponto x = 0. Para tal, precisamos de calcular os limites laterais desta funcao no ponto x = 0:

sinx

10 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I sinx

Resolucao. Vamos calcular os limites laterais da funcao (figura 1.2) no ponto x = 0:

Figura 1.2: Exercıcio 1) (d)

Resolucao. Vamos achar os limites laterais desta funcao no ponto x = 1. Temos:

Concluımos que f(x) e descontınua no ponto x = 1. ¤ 2) Ache os pontos de descontinuidade e caracterize-os:

Modulo 1. Continuidade e continuidade uniforme 1

Figura 1.3: Exercıcio 2) (b) vemos que, a funcao (figura 1.3) nao esta definida no ponto x = −1. O ponto x = −1 e ponto de descontinuidade evitavel, pois

Resolucao. O ponto x = 0 e de descontinuidade. Vamos calcular os limites laterais neste ponto:

Portanto, x = 0 e ponto de descontinuidade tipo degrau (salto).

3) Investigue a continuidade para as funcoes seguintes:

Resolucao. Precisamos verificar a continuidade de f(x) no ponto x = 1. Temos:

Portanto, a funcao (figura 1.4)e contınua no segmento dado [0,2]. ¤ (b)

12 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I

Figura 1.4: Exercıcio 3) (a)

Resolucao. Vamos investigar a continuidade desta funcao nos pontos x = −1 e x = 1. Para o ponto x = −1 temos:

O ponto x = −1 e de descontinuidade tipo degrau (salto). Para o ponto x = 1 temos:

Resolucao. Para que a funcao f(x) seja contınua no ponto x = 0 e preciso definir

0. Entao,

Resolucao. Para que a funcao f(x) seja contınua no ponto x = 0 e preciso que

Calculando este limite temos:

xcos2x

Modulo 1. Continuidade e continuidade uniforme 13

x nao e uniformemente contınua no intervalo (0,1).

Resolucao. Precisamos mostrar que

Resolucao. A funcao f(x) = x

virtude do teorema de Cantor, ela e uniformemente contınua neste segmento. ¤

Resolucao. Vamos compor a funcao sinx

A funcao F(x) e contınua no segmento [0,pi] e, pelo teorema de Cantor, ela e uniformemente contınua em [0,pi]. Portanto, ela e tambem uniformemente contınua no intervalo (0,pi) ⊂ [0,1]. Como a restricao de F(x) no intervalo (0,pi) coincide com a funcao

Concluındo, a funcao estudada e uniformemente contınua. ¤

14 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I

9) Para ε > 0, ache δ = δ(ε) que satisfaz as condicoes de continuidade uniforme para as funcoes segunintes:

Resolucao. Sejam x′ e x′′ quaisquer valores pertencentes ao segmento [0.1,1], vejamos o modulo da diferenca

10) Obtenha a estimacao do modulo de continuidade do tipo ωf(δ) ≤ Cδα, onde δ, C e α sao constantes, se:

Modulo 1. Continuidade e continuidade uniforme 15

2 sup

1.3 Perguntas de controle

1) De a definicao de funcao limitada superiormente (inferiormente) no conjunto E ⊂ X. 2) De a definicao de funcao contınua num ponto. 3) Formule e demonstre o primeiro teorema de Weierstrass.

4) E correcto afirmar que se uma funcao e contınua num intervalo, entao ela e limitada nesse intervalo?

5) Formule e demonstre o segundo teorema de Weierstrass. 6) De a definicao de funcao uniformemente contınua num conjunto X.

7) E correcto dizer que se uma funcao f(x) e contınua num conjunto X, entao ela e uniformemente contınua nesse conjunto?

8) Se uma funcao f(x) e uniformemente contınua num conjunto X, ela e contınua em X? 9) Formule o teorema de Cantor.

10) Formule o teorema que expressa a condicao necessaria e suficiente de continuidade uniforme de uma funcao num conjunto X.

1.4 Exercıcios propostos

1) Investigue a continuidade das seguintes funcoes:

16 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I

2) Ache os pontos de descontinuidade e caracterize-os:

3) Investigue a continuidade para as funcoes seguintes: (a)

{ cos pix

(b)

9) Para ε > 0, ache δ = δ(ε) que satisfaz as condicoes de continuidade uniforme para as funcoes seguintes:

Modulo 1. Continuidade e continuidade uniforme 17

10) Obtenha a estimacao do modulo de continuidade do tipo ωf(δ) ≤ Cδα, onde δ, C e α sao constantes, se:

Modulo 2

Derivada e diferencial. Regras de derivacao

2.1 Resumo teorico

Seja f(x) uma funcao definida numa certa vizinhanca do ponto x0. A expressao chamaremos acrescimo da funcao f(x) no ponto x0 correspondente ao acrescimo ∆x do seu argumento x. A expressao chamaremos, caso exista, derivada da funcao f(x) no ponto x0. A denotacao usada e f′(x0)

Sejam α ∈ R1, f(x) e g(x) duas funcoes que tem derivadas. Entao:

Modulo 2. Derivada e diferencial. Regras de derivacao 19

, (x 6= npi, n = 0, ±1,);

A expressao

Para que a funcao f(x) tenha derivada no ponto x0 e necessario e suficiente que f′−(x0) = f′+(x0). A afirmacao “a funcao tem derivada entendemos a existencia de derivada finita. A expressao para o calculo da derivada pode se apresentar de outra maneira equivalente.

20 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I

Teorema 5. Se a funcao u(x) tem derivada no ponto x0 e a funcao φ(u) tem derivada no ponto u(x0), entao a funcao composta f(x) = φ[u(x)] tem derivada no ponto x0 e essa derivada e

dt .

Diremos que a funcao f(x) e diferenciavel no ponto x0 se o seu acrescimo ∆f neste ponto, correspondente ao acrescimo ∆x do argumento x, admite a representacao onde A e um certo valor, nao dependente de ∆x, α e uma funcao dependente de ∆x, infinitamente pequena e contınua no ponto ∆x = 0.

Teorema 7. Para que a funcao f(x) seja diferenciavel no ponto x0 e necessario e suficiente que exista a derivada f′(x0).

chamaremos diferencial da funcao f(x) no ponto x0. Para valores de ∆x muito pequenos temos que ∆f ≈ df, isto e,

Seja y = y(x) uma funcao diferenciavel que satisfaz a equacao F(x,y) = 0. Entao, a derivada y′(x) desta funcao dada na forma implıcita podemos achar a partir da equacao

onde F(x,y) e considerada uma funcao composta de x.

Modulo 2. Derivada e diferencial. Regras de derivacao 21

2.2 Exercıcios resolvidos

1) Ache o acrescimo ∆x do argumento x e o respectivo acrescimo ∆y da funcao f(x) = logx, se x varia de 1 ate 1000.

4) Usando a definicao de derivada, ache as derivadas das seguintes funcoes:

Assim,

Resolucao. Temos:

Assim,

2 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I

5) Ache a derivada da funcao f(x) = 2 + x − x2. Resolucao. Aplicamos a regra de derivacao para a soma de funcoes. Assim,

Resolucao. Vamos primeiro achar f′(x) e, para tal, faremos uso da regra de derivacao para um produto. Assim,

Resolucao. A expressao √ a2 + b2 e constante e, por isso mesmo, podemos tira-la debaixo do sinal da derivada. Assim,

8) Ache a derivada da funcao f(x) = (sinx)

Resolucao. Aplicamos a regra de derivacao para o caso quando temos o produto de duas

9) Ache a derivada da funcao a+bx

Resolucao. Aplicamos a regra de derivacao para o caso quando temos o quociente de funcoes. E claro que neste exercıcio devemos fazer a restricao c + dx 6= 0. Deste modo,

Modulo 2. Derivada e diferencial. Regras de derivacao 23

Resolucao. Aplicamos, inicialmente, a regra de derivacao duma diferenca e, de seguida, a regra de derivacao dum produto. Temos:

1) Ache a derivada da funcao f(x) = ex

Resolucao. Aplicamos a regra de derivacao para o caso do quociente de funcoes:( ex

Resolucao. Temos uma funcao composta do tipo f(u) = u30, onde u(x) = 1+3x−5x2. Aplicando a regra de derivacao para uma funcao composta temos:

14) Ache a derivada da funcao f(x) = |x|. Resolucao. Por definicao temos:

Assim,

Vejamos a derivada de |x| no ponto x0 = 0. Para tal calculamos as derivadas laterais neste ponto:

= lim

24 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I

15) Ache a derivada da funcao

no ponto x = 0. Resolucao. Vamos calcular as derivadas laterais no ponto x = 0. Temos:

Resolucao. Calculamos directamente segundo a definicao:

= lim

= lim

Modulo 2. Derivada e diferencial. Regras de derivacao 25

Resolucao. Como no exercıcio anterior, calculamos as derivadas laterais directamente segundo a definicao:

pois o produto de um infinitesimo com uma funcao limitada e um infinitesimo. ¤

Resolucao. Neste exercıcio podemos aplicar directamente a regra de derivacao para um produto. Contudo, existe uma outra maneira mais eficaz que permite achar a derivada. Vamos comecar por logaritmizar a funcao dada:

26 E.V. Alves, M.J. Alves. Elementos de analise matematica. Parte I

Resolucao. Neste exercıcio vamos ver a vantagem do metodo usado anteriormente. Comecamos por logaritmizar a funcao dada:

Derivando esta ultima igualdade temos:

23) Ache a derivada da funcao y(x) = x. Resolucao. Logaritmizando temos: lny(x) = xlnx. Derivando ambos os lados

Resolucao. Logaritmizando a funcao dada temos: lny(x) = sinxlncosx. Daqui, derivando a esquerda e a direita, obtemos

cosx

dy .

Resolucao. Vamos derivar a esquerda e a direita em relacao a variavel y:

Modulo 2. Derivada e diferencial. Regras de derivacao 27

dy .

Resolucao. Analogamente ao exercıcio anterior, vamos derivar a esquerda e a direita em relacao a variavel y:

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