Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton

Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton

Gabriela Ferreira Pimentel gabifepi94@gmail.com

Késsio Jhonys Pereira da Silva kessiovdn17@gmail.com

RESUMO: No estudo de problemas ou fenômenos físicos é comum o uso da matemática como uma ferramenta na resolução dos mesmos. Nesse contexto, as Equações Diferenciais(EDs) são de fundamental importância na elaboração de modelos matemáticos que possam explicar da maneira mais fiel possível os fenômenos da realidade. Nesse âmbito, esse trabalho tem como objetivo aplicar o conhecimento das equações diferenciais como uma ferramenta de resolução de um problema proposto envolvendo a dilatação de uma barra de aço através do modelo Aquecimento/Resfriamento de Newton.

Palavras-Chave: Equações Diferenciais, Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton, Dilatação Linear

1. INTRODUÇÃO

De acordo com Zill (2016), uma equação que possui as derivadas de uma ou mais funções desconhecidas, ou variáveis dependentes, relacionadas a uma ou mais variáveis independentes é denominada equação diferencial. Nos casos em que a equação diferencial apresenta apenas derivadas simples ela é dita equação diferencial ordinária, já quando essa apresenta derivadas parciais é dita equação diferencial parcial (Boyce et al, 2006).

A utilização da modelagem matemática aplicada no estudo da taxa de resfriamento ou aquecimento ao qual um corpo está submetido é uma ferramenta muito importante, haja visto que nos mais variados ramos da industria é interessante saber o tempo em que um corpo irá aquecer ou resfriar, a exemplo dos tratamentos térmicos realizados na siderurgia onde essa informação é importante na otimização e no prolongamento da vida útil de um alto-forno, entre outras aplicações desse modelo na engenharia e em outras áreas do conhecimento.

Um modelo matemático, segundo Barbosa (2009), em sua maioria é caracterizado como sendo um conjunto de equações ou inequações com derivadas, diferenciais ou integrais relacionadas às variáveis consideradas fundamentais para o estudo de um fenômeno em particular. No presente artigo, o mesmo é utilizado como uma ferramenta na obtenção da variação de temperatura de uma barra inserida em um ambiente de temperatura diferente e consequentemente na determinação da dilatação sofrida pelo corpo durante esse processo.

Para que as equações diferenciais possam ser utilizadas no diversos campos em que são úteis é necessário, primeiramente, desenvolver uma equação diferencial que descreva ou modele de forma eficiente o fenômeno em questão (Boyce et al, 2006). Nesse sentido, para um determinado fenômeno em particular é necessário desenvolver a equação que considere as principais variáveis envolvidas, a fim de que se produza um modelo matemático robusto e eficaz.

1. FUNDAMENTAÇÃO MATEMÁTICA

1.1 Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton

Em 1701, quando tinha quase 60 anos, Newton publicou anonimamente um artigo intitulado “Scala Graduum

Caloris”, em que descreve um método para medir temperaturas de até 1.000°C, algo impossível aos termômetros da época (Da Silva, 2010). Hoje, esse método é conhecido como a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton que tem aplicabilidade em algumas situações como na ciência forense, têmpera em peças de aço, resfriamento de materiais biológicos em preservação etc. Segundo Zill (2016), essa lei pode ser descrita da seguinte forma: “a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente”. De forma geral, essa pode ser expressa de acordo com a equação (1):

(1)

= k(T-Tm)dt

Onde: • k é uma constante de proporcionalidade;

• T é a temperatura do corpo;

• Tm é a temperatura do ambiente em que o corpo se encontra.

A constante (k) é definida por:

Onde: • α é o coeficiente de troca de calor e depende da forma, tamanho do corpo e do contato entre o corpo e o meio que o circunda. Quanto maior for a superfície de contato do corpo e do meio ambiente, mais rápido será o tempo de resfriamento ou aquecimento;

• S representa a área do corpo;

• m é a massa do corpo;

• c é o calor específico do material.

Da definição contida em Zill (2016), temos: Uma equação diferencial de primeira ordem da forma

é chamada de separável ou de variáveis separáveis.

Podemos resolver a eq (1) através do método de resolução para equações separáveis. Dividindo ambos os lados por (T-Tm), temos que:

1 dT = -k

Agora, devemos integrar e diferenciar ambos os lados em relação a t, então:

1 dT = -kdt

(T-Tm)(5)
mlnT-T = -kt + c(6)
-ktcT-Tm = e.e(7)

Como = , a equação (7) torna-se:

-ktT-Tm = C.e(8)
T-Tm = C(9)
-ktT-Tm = (T-Tm).e(10)

Quando a variável ‘t’ for igual a 0, a equação (8) se reduzirá a:

Logo, a solução geral para a equação (1) é: -ktT(t) = Tm + (T-Tm).e (1)

1.2 Dilatação Térmica

Em muitas situações é comum a ocorrência de dilatação térmica em corpos quando aquecidos. No dia a dia, é possível observar esse fenômeno na dilatação de fios de alta tensão, pontes, vigas em uma ferrovia etc. É possível obter uma boa descrição acerca do tema em (Halliday, 2012). Onde se exemplifica o efeito da dilatação em uma situação cotidiana que é abrir uma tampa metálica de um pote de vidro apenas o colocando debaixo de uma torneira de água quente. Os dois materiais, tanto o metal da tampa quanto o vidro do pote se expandirão, pois se é fornecido aos tomes de ambos energia através da água quente. E a partir dessa energia extra os átomos se afastam uns dos outros atingindo átomos agrupados em um sólido. Todavia, os átomos do metal devido a uma característica do material se afastam mais do que os átomos do vidro fazendo que a tampa se dilate mais do que o pote, fazendo-a ficar frouxa. A dilatação linear é dada pela seguinte equação:

ΔL = Lo.α.ΔT(12)

Pode-se também ser escrita da seguinte forma:

L(T) = Lo + Lo.α.ΔT(13)

Onde:

• L0 é o comprimento inicial do corpo; • α é o coeficiente de dilatação linear do corpo;

• ∆T é a variação de temperatura do corpo.

2. ESTUDO DE CASO

Uma pequena barra de aço de 0,5m, cuja temperatura inicial é de 20ºC, é colocada em um grande recipiente com água fervendo. Quanto tempo levará para barra atingir 90ºC se sabemos que sua temperatura aumenta 2º em 1 segundo? Quanto tempo levará para a barra atingir 98ºC? Calcule o comprimento final da barra após ter sofrido uma dilatação no segundo caso. Considere o coeficiente de dilatação linear do aço igual a 1,1.10-5.

Primeiro caso:

É possível inferir do texto que a temperatura ambiente (Tm) é de 100ºC e que a temperatura da barra T no instante t=0 é de 20ºC, substituindo esses valores na eq (1), temos que:

-ktT(t) = 100 + (20 - 100).e

Do problema, sabemos que a cada 1 segundo a temperatura da barra aumenta 2ºC, logo:

Aplicando Log Neperiano em ambos os lados, temos: ln(0,975) = -k

Logo,

Para determinar o tempo em que a barra de aço alcançará a temperatura T=90ºC, precisamos apenas substituir esse valor na equação, então:

Aplicando Log Neperiano em ambos os lados, temos que:

Segundo caso: De forma análoga iremos substituir a temperatura T=98ºC na equação para determinar o tempo equivalente, logo:

Aplicando Log Neperiano em ambos os lados, temos:

Com base na variação de temperatura no segundo caso, podemos determinar a dilatação sofrida pela barra de aço através da eq(13), logo:

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Com base nos cálculos realizados utilizando-se a Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton foi possível determinar que a barra de aço em estudo levou aproximadamente 82,1 e 145,7 segundos para elevar a temperatura de 20ºC até 90 e 98ºC, respectivamente. Além disso, determinou-se a variação do comprimento da barra de aço através da fórmula para dilatação linear.

Foi utilizado o seguinte algoritmo no software Matlab versão 9.0.0, para plotar o gráfico de aquecimento da barra em função do tempo:

t=[0:0.0001:200]; T=100-80*exp(-0.025317807*t); plot(t,T,'black'); hold on plot(145.7, 98,'ro') plot(82.1,90, 'ro') grid on

Figura 1: Curva exponencial para o aquecimento em função do tempo.

Através do mesmo software, foi usado o seguinte algoritmo para plotar o gráfico para a dilatação da barra em função da variação de temperatura:

T=[0:0.01:125.7]; L=0.5+0.5*0.01*T; plot(T,L,'black'); hold on plot(78, 0.500429,'ro'); grid on

Figura 2: Reta para dilatação linear em função da variação de temperatura.

Através dos cálculos para dilatação linear da barra, se determinou uma variação de 0,000429m no seu comprimento inicial, uma variação imperceptível a olho nu e que pode-se também visualizado na figura (2).

4. CONCLUSÃO

Nesse estudo buscou-se resolver um problema físico de termologia aplicando-se o conhecimento em equações diferenciais através do método matemático de Newton, Lei de Resfriamento/Aquecimento. A partir da solução geral da equação se pode resolver o PVI e se obter o valor da constante k e em seguida se chegar no tempo necessário para que um corpo, nesse caso uma barra de aço chegasse nas temperaturas determinadas, se pode calcular também por meio da fórmula da dilatação linear a dilatação sofrida pela barra de aço na segunda temperatura dada. Se utilizou o software Matlab para plotar os gráficos exponencial e linear, respectivamente, de aquecimento da barra em função do tempo e da dilatação da barra em função da variação da temperatura. Conclui-se que na obtenção de valores teóricos em problemas físicos de termologia a lei de resfriamento de Newton se faz extremamente útil, portanto indispensável para o ramo da engenharia.

5. REFERÊNCIAS

Da Silva, Jair Sandro Ferreira. Sobre o problema da variação de temperatura de um corpo. CONNECTION LINE, n. 5, 2010. Disponível em: <w.periodicos.univag.com.br/index.php/CONNECTIONLINE/article/.../123/372>. Acesso em 27/07/2017

Educação em Ciência e Tecnologian. 2, 2009. Disponível

Barbosa, Jonei Cerqueira. Modelagem e Modelos Matemáticos na Educação Científica. Alexandria Revista de em: <w.uefs..br/nupemm>. Acesso em 27/07/2017.

Zill, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. 3ª Edição. São Paulo, Cengage Learning Editores, 2016.

9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012

Halliday, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física: gravitação, ondas e termodinâmica.

Boyce, W. E.; DiPrima, R.C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 8. Ed. Rio de janeiro: LTC, 2006.

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