Soluções do livro guidorizzi Volume 1 - cap. 9

Soluções do livro guidorizzi Volume 1 - cap. 9

CAPÍTULO 9

Exercícios 9.2

x 0. Daí e do fato de g ser contínua e derivável em 0,, [[ resulta que g é estritamente

13. Como f é contínua e nunca se anula em I, resulta f (x) 0 para todo x em I ou f (x) 0 em todo x em I. (Observe que se f (x) mudasse de sinal em I, pelo teorema do anulamento existiria um c em I tal que f (c) 0 que estaria em desacordo com a hipótese.) Logo, f é estritamente crescente ou estritamente decrescente em I.

14. a)

em a,c][ e em cb,.][ Como f é contínua, f será estritamente crescente em a,c][ e em c,b][, logo estritamente crescente em a,b][.

16. Sejam x e x h em I, com h 0. Sendo f estritamente crescente, teremos

Æ 0 0f(x h) f xh

18. Sendo f crescente, tomando-se x e x h, com h 0, em I, teremos f(x h) f xh

Tendo em vista o teorema da conservação do sinal, fxh

0

( ) lim f(x h) f xh

A recíproca é conseqüência do TVM.

Exercícios 9.3

3. Já sabemos que, se a derivada de 2.ª ordem de f for contínua, então, uma condição necessária para um ponto p ser ponto de inflexão é que f (p) 0. No problema em questão, p b

tem sinais de nomes contrários nos intervalos p b é o único ponto de inflexão da função dada.

4. Supondo que f seja derivável até a 3.ª ordem no intervalo aberto I e que f seja contínua em p, com p em I, então uma condição suficiente para p ser ponto de inflexão horizontal é que f (p) f (p) 0 e f (p)π 0. De fato, pelo teorema da conservação do sinal, existe r 0, com p r e p r em I tais que f (x) tenha o mesmo sinal no interva- lo pr,pr ][. Segue que f será estritamente crescente ou estritamente decrescente

6. Raciocine como no Exercício 4.

7. a) A continuidade de f em todo xπ 0 segue da continuidade de f e da relação

b) p 0 não pode ser ponto de inflexão, pois da equação dada segue que, para x 0,

não poderá ser ponto de inflexão.

daí e de

10. a) Da derivabilidade de f em I segue a continuidade de f em I. A continuidade de f segue então da equação dada. Temos f (x) 2x 2f(x)f (x). A continuidade de f segue então da continuidade de f e de f . b) Da continuidade de f, de f(1) 1 e do teorema da conservação do sinal, existe r 0,

com

destas equações seguem f (0) 0, f (0) 0 e f (0) 2π 0. Tendo em vista a continuidade de f e o Exercício 4, resulta que 0 é ponto de inflexão de f.

e) Fica a seu cargo.

Exercícios 9.7

5. a) Sendo g derivável, pois f o é, e sendo p um ponto de máximo local e interior ao

deveremos ter então p f (p) f(p) 0. b) y f(p) f (p)(x p) é a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p. Fazendo x 0, vem y f(p) p f (p) 0. Logo, a reta tangente ao gráfico de f, no ponto de abscissa p, passa pela origem. (Sugestão. Interprete geometricamente este resultado.)

6. a) Sendo p um ponto de máximo local, deveremos ter f (p) 0, pois f é derivável e p ponto interior. Substituindo este p na equação resulta f (p) 1 e, assim, p não poderá ser ponto de máximo local. b) Basta ver o item (a).

raciocínio análogo ao anterior conclui-se que existe xp20 ][,, com f(x2) f(0). Pelo teorema de Weierstrass, existe c [p, 0] tal que f(c) f(x), para todo x [p, 0]. Logo, f

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segue do teorema de Weierstrass que existe c em [a, b] tal que g(c) g(x), para todo x

Darboux nada mais seria do que o teorema do anulamento. A importância do teorema de Darboux reside exatamente no fato de não precisar da continuidade da derivada.)

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