Baixe guidorizi solucionario volume um - cap9 e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! CAPÍTULO 9 Exercícios 9.2 9. a) Consideremos a função flx) = e* — (x + 1). Temos (O) = 0e f(x) = e — 1. Segue que f'(x) > 0 para x > 0,e como fé contínua e derivável em [0, al, resulta que f é estritamente crescente [0, =]. Daí e do fato de f(0) = O resulta f(x) > O para x > 0, ou seja, e'> | + xparax>0. *—(1+2)>0 para b) Seja g(x) = e — ( +x+ ] Temos g(0) = 0 e g'(x) = 2 x>0. Daí e do fato de g ser contínua e derivável em [0, <o[, resulta que g é estritamente crescente em [o. of e, portanto, g(x) > g(0) = O para x > 0. Ou seja, para todo 2 x>0, tem-se e'> Dat 13. Como f" é contínua e nunca se anula em 1, resulta f(x) > 0 para todo x em / ou f(x) < 0 em todo x em 1. (Observe que se f'(x) mudasse de sinal em 1, pelo teorema do anulamento existiria um c em tal que f'(c) = O que estaria em desacordo com a hipótese.) Logo, fé estritamente crescente ou estritamente decrescente em 1. 14.0) f(x)=2— Ao e, portanto, contínua em todo x. x2+3 b) Como |x|<«Jx2 +3 para todo x, resulta f'(x) O para todo x. c) Tendo em vista o exercício anterior, f(x) > 0 em todo x ou f'(x) < O em todo x. Como f'(0) = 2, teremos f'(x) > 0 em todo x e, portanto, f será estritamente crescente. 15. Segue da hipótese que f” é estritamente crescente em Ja. ZA Como f"(c) = 0, f)<Oparaa<x<cef(x)>0parac<x<b. Logo, f' é estritamente decrescente em Ja, c[ e estritamente crescente em ]c, b [; tendo em vista f'(c) = 0, resulta f(x) > 0 em Ja, [cem Jc, b[. Como fé contínua, f será estritamente crescente em Ja, c[ cem Jc b[ logo estritamente crescente em Ja, b[. 16. Sejam x ex + A em I, com h > 0. Sendo f estritamente crescente, teremos farm fo) h > 0.Tendo em vista o teorema da conservação do sinal, fo= lim LUTO 6, h50* h 17. Falsa: flo) = x? é estritamente crescente e f'(0) = 0. (Veja Exercício 15.) +h)- 18. Sendo fcrescente, tomando-se xe x + h, com > 0,em |, teremos LELLO = q, h Tendo em vista o teorema da conservação do sinal, f(x) = lim detto fo =0. h50f A recíproca é consegiiência do TVM. 19. Basta tomar h(x) = g(x) — ftx) e observar que A(c) = 0eh'(Q) = g'(0) — Ff) >0 em Ja, b]. Exercícios 9.3 3. Já sabemos que, se a derivada de 2.º ordem de f for contínua, então, uma condição necessária para um ponto p ser ponto de inflexão é que f"(p) = 0. No problema em questão, —b f(x) = 6ax + 2b. Logo, p= Ja é o único candidato a ponto de inflexão. Como f (x) a tem sinais de nomes contrários nos intervalos + o, be o + o], Segue que 3a 3a p= = é o único ponto de inflexão da função dada. a 4. Supondo que f seja derivável até a 3.º ordem no intervalo aberto 1 e que f” seja contínua em p, com p em [, então uma condição suficiente para p ser ponto de inflexão horizontal é que f'(p) = f(p) = 0e f"(p) O. De fato, pelo teorema da conservação do sinal, existe r > 0, comp — rep + rem! tais que f(x) tenha o mesmo sinal no interva- lo Jp =r p+ nf Segue que f” será estritamente crescente ou estritamente decrescente neste intervalo. Como f"(p) = 0, resulta que f"(x) admitirá sinais de nomes contrários nos intervalos Jp — r, p[e ]p, p+r |, ou seja, p será ponto de inflexão. Como f'(p) = 0, p será ponto de inflexão horizontal. (Uma outra condição suficiente é a seguinte: f'(p) = 0e exister > 0,comp — rep + r em] tais que f(x) admita sinais de nomes contrários nos intervalos Jp —r, p[e]p, p+r[) 34
