Soluções do livro guidorizzi Volume 1 - cap. 8

Soluções do livro guidorizzi Volume 1 - cap. 8

CAPÍTULO 8

5. O domínio da função f(x) arc sen x é o intervalo [ 1, 1] e a imagem

Pelo fato de sen x ser estritamente crescente em ø ßœ resulta que f(x) arc sen x é estritamente crescente em [ 1, 1] . Pelo Exercício 12, f(x) arc sen x é contínua.

10. Sejam r e s dois reais quaisquer, com r s. De er es e e r e s segue

xf y x e ex e e

Pelo fato de ey 0 e 442,2xx o sinal de menos que aparece no numerador da

1. Como y x e y ex são estritamente crescentes, segue que f é também estritamente crescente, logo, inversível.

12. Sejam I e J o domínio e a imagem de f. Seja p um ponto de I . Pelo fato de f ser estritamente crescente, se p não for extremidade de I, f(p) não será, também, extremidade de J. Por outro lado, se p for extremidade de I, f(p) será, também, extremidade de J. Suponhamos que p não seja extremidade de I; existirá, então, um r 0 tal que f(p) r e f(p) r pertencerão a J. Tomando-se 0, com r, f(p) e f(p) também sendo f estritamente crescente, para todo x , p1 x p2, teremos f(p) f(x) f(p) , logo, f é contínua em p. Suponhamos que p seja extremidade, digamos, superior, de I.

Nesta condição, existirá r 0 tal que f(p) r pertença a J. Então, para todo 0, com

13. a) f está definida para todo x real, logo, o seu domínio é o intervalo ,.][ Seja,

agora, z um real qualquer; de existem reais r e s, com r s, tais que f(r) z f(s). Da continuidade de f e do teorema do valor intermediário, existirá u, r u s, tal que f(u) z. Logo, a imagem de f é o intervalo ,.][ b) É o Exercício 1. c) É só aplicar o Exercício 12.

14. Sejam r e s, com r s, dois reais quaisquer de I. Sendo f injetora, devemos ter f(r) f(s) ou f(r) f(s). Vamos mostrar que se ocorrer f(r) f(s), então, f será estritamente crescente e se ocorrer f(r) f(s) f será estritamente decrescente. Suponhamos que ocorra f(r) f(s) e seja t pertencente a I. Mostraremos que se t r, teremos f(t) f(r) f(s); se r t s, então, f(r) f(t) f(s) e se t s, f(r) f(s) f(t). Se t r, poderemos ter f(t) f(r) ou f(t) f(r); se ocorresse f(t) f(r), teríamos f(r) f(t) f(s) ou f(r) f(s) f(t); no primeiro caso, da continuidade de f e pelo teorema do valor intermediário existiria um z, com r z s, tal que f(z) f(t), o que é impossível, pois f é injetora e z t; no segundo caso, existiria um w, t w r, tal que f(w) f(s), o que é impossível. Com raciocínio análogo, provam-se os dois outros casos. Seja, agora, u um real qualquer de I, com u t; raciocinando como anteriormente, resulta f(u) f(t) f(r), se t r, f(u) f(t) f(s), se t s, f(u) f(s) f(t), se u s t, ou f(s) f(u) f(t), se s u t. Logo, quaisquer que sejam u e t em I, com u t, teremos f(u) f(t) e, portanto, f será estritamente crescente em I. Com raciocínio análogo, prova-se que se ocorrer f(r) f(s), então, f será estritamente decrescente em I.

Exercícios 8.2

2. Como f (x) 1 ex 0, para todo x, e pelo Exercício 13 da seção anterior g é contínua, resulta, pelo teorema dessa seção, que g é derivável. Segue que

3. Vamos primeiro calcular g(1). De f(g(x)) x, segue f(g(1)) 1 e, portanto, 1 e g(1) 1, pois, g(1) 0. Vamos, agora, ao cálculo da derivada segunda de g. Temos,

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