Soluções do livro guidorizzi Volume 1 - cap. 7

Soluções do livro guidorizzi Volume 1 - cap. 7

CAPÍTULO 7

Exercícios 7.2

19. fxx()= senp Exercícios 7.3

Para y = 0, xppp

-= 2 e, portanto, x 2p; ou seja, a reta tangente no ponto de abscissa p intercepta o eixo 0x no ponto de abscissa x 2p.

Exercícios 7.6

1.a) Não, pois limlimxx fx x

b) Não, pois f não é contínua em 2.

2.a) Sim, pois limlim,

e, portanto, limx fx f b) Sim, pois f é derivável em 0.

lim lim .

b) Sim, pois limlimxx fx x

30, limlimxx fx x

30 e, portanto,

Exercícios 7.9

6. yxdy dx x

23Substituindo na equação, tem-se x

xk x xk xxk x

9. x d x d

satisfaz a equação dada.

1. d dt

13. d dt te d dt te te e te e te tett t t t t t t

15. dydtd dt x d dt x dxdt dxdt dx dt dxdt dx dt

Exercícios 7.1

9. gxfegxfe gx f e e f e exx x x x

ou seja,

12. d dx e e e exx x x x

14. d dx ea ddx eb e e a e be e a bxx x x x x x

21. yxyx=+Þ=+21Derivando em relação a x, vem

ddx y d

Derivando novamente em relação a x, resulta

ddx y dydx d dx

e, portanto, dydx y dydx fl +=

2. Para todo x em I, ddx dydx ddx xy fl=+()2; daí, dy dx x ddx

De ddx y dydx 2()= e tendo em vista que dydx

dydx

23. a) Sendo f derivável em I, x [f(x)]3 será, também, derivável em I; logo, fx () é derivável em I, ou seja, fx () existe para todo x em I.

b) fxfxfx ''',()=+()[]()132 daí, f'''.113112()=+()[]() De f(1)  1 e

26. De yx =4 segue que dy dt x dxdt =-42 e, portanto, dy

novamente em relação a t e lembrando que é constante, obtemos

dt x d dt x x x dx

Exercícios 7.13.

2. Isolando y na equação resulta xyyxy x 2 10 1 4 1

-+ x e xπ0, são funções dadas implicita-

mente pela equação dada.

5. Primeiro vamos determinar o valor de y correspondente a x 1. Substituindo x por 1

(lembre-se da condição y > 0). Vamos,

agora, calcular dydx para x = 1. Derivando implicitamente, vem

28 0xy dydx += e, portanto, dydxxy

. A equação da reta tangente no

6. Derivando implicitamente, obtemos dydxbxay

da reta tangente no ponto xy00, () é m bxay

(x0, y0) é yybx ay

Como xa yb

7. Derivando implicitamente a equação xy 1, obtemos dydxyx =-. A equação da reta tangente no ponto (x0, y0) é, então, y x

A a interseção dessa reta com o eixo x, temos Ay com o eixo y é Bx

,. O ponto médio do segmento AB é, então, 1 00yx segmento AB.

y y

portanto, dydxxyx =-2. Segue que yyxy a área do triângulo de vértices (0, 0), B e (x0, y0) independe do ponto (x0, y0), x0 0.

Exercícios 7.15

1. dydtd dt x=-()322 e, portanto, dy dt dxdt dxdt =-62. Das condições dydtdxdt

13. Derivando em relação a t os dois membros da equação xy 4, obtemos y dx dt x dydt +=0 e, portanto, ydx dt x+=b0, com constante. Derivando a última equação em relação a t, vem dydt dxdt y dxdt dxdt

dxdt dx dt x d

cos

dt sen

Para

que ddt

2 , obtemos dxdt

rência, quando o segmento OP descreve um ângulo de rad,0, o ponto de tangência

19. Suponhamos que para 0, a abscissa de P seja m. Sendo O o centro da circunfeda circunferência com o eixo x avança m, isto porque a rolagem é sem escorregamento e o raio da circunferência unitário. Segue que 1 y cos e x m sen .

= sen

Temos, então, dydtddt e

=-

dxdt ddt ddt cos. Como ddt =1, resulta dydt e y 1 cos t, que são as equações paramétricas da curva denominada ciclóide.)

Exercícios 7.16 14. Seja p a abscissa do ponto de tangência. Devemos ter

15. Seja y mx n a equação da reta tangente; sejam p e q as abscissas dos pontos de

mp n p mq n q

mp mq

Das duas últimas equações, resulta q p. Substituindo na segunda equação e soman-

Exercícios 7.17

0 3xx y dydx

+= e, portanto, dydx xy y x

. A equação da reta tangente em (x0, y0) é então y x x y y00

12. V xyz, onde x, y e z são as arestas do paralelepípedo. Temos dVdt dxdt yz x dy dt zx y dzdt respectivamente, o volume V estará variando a uma taxa de vabc avbc abvc.

15. Pela lei dos senos 52

ddt ddt ddt

25ddt ddt ddt flcos sen cos sen .

sencos a

16. O comprimento do lado oposto ao ângulo é 2920-cos. Pela lei dos senos,

cos

2

<< segue ainda que

o lado oposto ao ângulo é menor que o oposto ao ângulo , daí devermos ter

flcos sencos cos cos

Logo, ddtddt a = - -

20 29cos cos

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