Soluções do livro guidorizzi Volume 1 - cap. 3

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CAPÍTULO 3

Exercícios 3.2

1.º Caso. n ímpar. Sendo n ímpar, temos:

Logo, f(x) xn é contínua em todo p real, ou seja, f é uma função contínua.

2.º Caso. n par. Analisemos inicialmente o caso p 0. Para todo 0 dado, temos

Logo, f(x) xn é contínua em todo p 0.

4. 1.º Caso. n ímpar. Para todo 0 dado, tem-se px p p x pn n n n n n Û () ( ) .

Tomando-se Ip pn n n n ßœ Ø ºŒ, tem-se

2.º Caso. n par. Neste caso a função f(x) xn está definida apenas para x 0. Para todo 0, com e pn, tem-se px p p x pn n n n n n e e eÛ () () .

Tomando-se

Ip pn n n n e() ()ø ßœ Ø ºŒ,, tem-se

Logo, f(x) xn é contínua em todo p 0.

7. Função maior inteiro (veja Exercício 9).

16. Para todo   0 dado, tomando-see tem-se

Logo, f é contínua em p 1.

19. Sendo g contínua em p, para todo 0 dado, existe 0 tal que, para todo x no domínio de g,

20. Suponhamos, por absurdo, que exista p real tal que f(p) 0. Pelo teorema da conservação do sinal, existirá 0 tal que f(x) 0 para p x p , o que é impossível, pois, entre p e p existe pelo menos um racional.

2. É só observar que f(x) g(x) em todo x racional e aplicar o Exercício 21. Exercícios 3.3

13. Pelo Exercício 1, com L 0, lim lim | | xp xp fx fxfifi

pelo menos um racional entre p  e p Logo, f(x) 0 para todo x.

15. Suponhamos que exista p real tal que f(p) 0. Pelo teorema da conservação do sinal existe 0 tal que f(x) 0 para p x p , o que é impossível, pois existe

Exercícios 3.4 3. Não, pois, f não está definida em p 1. 4. f(x) x para x 2 e f(2) 5.

5. Suponhamos, por absurdo, que lim ( )xp fx L fi fx f pxp xp fx f pxp

Segue que fx f p

Daí, lim () ( )xp fx f p

Exercícios 3.5

2. a)

resulta

b) lim () lim () lim lim () x x xfx x x fx x fx

lim ()x fx xfi 0

hx p fp h f ph fx f pxp L fifi0 fp h f ph fp u f pu L

fifi00

c) h h fp h f p h fp h f ph fp h f p fp h f ph fp u f pu L

fifi00

Segue que lim () ()h fp h f p h L fi 0

Exercícios 3.6 1. Como

pelo teorema do confronto, lim x fi1

3. Da hipótese, segue que, para x 0, 03 gx

teorema do confronto, limxgx xfi 0 lim ()x gx xfi 0

4. a) Para todo 0 existe um natural k tal que 1 sen 1 e sen 1

Segue que para todo L é falsa a afirmação: existe 0 tal que para todo x sen 1

Logo, limsen x xfi 0

1 não existe.

é limitada. Como lim lim senx x xfi 0

Logo, f e g são limitadas. Como limxx

a) lim ( )x

Exercícios 3.8 sen x x 1 e, portanto,

x x sen

Segue que

x x cos sen x

x para 2

Como lim cos lim sen

(c os ) lim sen sen cosx x x x x x®fi fi00 2 01 1

teorema do confronto,

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