Soluções Curso de Física Básica Volume 2 - Moysés Nussenzveig - Escola Olímpica

Soluções Curso de Física Básica Volume 2 - Moysés Nussenzveig - Escola Olímpica

(Parte 1 de 3)

Solucionario Curso de Fısica Basica

Escola Olımpica Gabriel O. Alves

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Junho de 2015

Conteudo

1.1 Questao 18
1.2 Questao 28
1.3 Questao 39
1.4 Questao 49
1.5 Questao 51
1.6 Questao 61
1.7 Questao 71
1.8 Questao 812
1.9 Questao 913
1.10 Questao 1013
1.1 Questao 114
1.12 Questao 1214
1.13 Questao 1315
1.14 Questao 1416
1.15 Questao 1516
1.16 Questao 1617
1.17 Questao 1718
1.18 Questao 1819
1.19 Questao 1919
1.20 Questao 2020
2.1 Questao 121
2.2 Questao 221
2.3 Questao 32
2.4 Questao 423
2.5 Questao 524
2.6 Questao 625
2.7 Questao 725
2.8 Questao 827
2.9 Questao 928
2.10 Questao 1028
2.1 Questao 129
2.12 Questao 1230
2.13 Questao 1330
2.15 Questao 1532
3.1 Questao 134
3.2 Questao 235
3.3 Questao 337
3.4 Questao 439
3.5 Questao 540
3.6 Questao 641
3.7 Questao 743
3.8 Questao 84
3.9 Questao 945
3.10 Questao 1045
3.1 Questao 146
3.12 Questao 1247
3.13 Questao 1347
3.14 Questao 1448
3.15 Questao 1550
3.16 Questao 1651
3.17 Questao 1753
3.18 Questao 1854
3.19 Questao 1956
3.20 Questao 2057
3.21 Questao 2157
3.2 Questao 258
3.23 Questao 2360
3.24 Questao 2461
4.1 Questao 163
4.2 Questao 264
4.3 Questao 36
4.4 Questao 46
4.5 Questao 568
4.6 Questao 670
4.7 Questao 771
4.8 Questao 872
4.9 Questao 974
4.10 Questao 1076
4.1 Questao 17
4.12 Questao 1279
4.13 Questao 1381
4.14 Questao 1481
4.15 Questao 1583
4.16 Questao 1685
4.17 Questao 1786
4.18 Questao 188
5.1 Questao 191
5.2 Questao 292
5.3 Questao 394
5.4 Questao 495
5.5 Questao 596
5.6 Questao 696
5.7 Questao 798
5.8 Questao 89
5.9 Questao 9101
5.10 Questao 10102
5.1 Questao 1103
5.12 Questao 12106
6.1 Questao 1108
6.2 Questao 2108
6.3 Questao 3109
6.4 Questao 4110
6.5 Questao 51
6.6 Questao 61
6.7 Questao 7112
6.8 Questao 8113
6.9 Questao 9115
6.10 Questao 10117
6.1 Questao 118
6.12 Questao 12119
6.13 Questao 13120
6.14 Questao 14121
6.15 Questao 15121
6.16 Questao 16121
6.17 Questao 17122
6.18 Questao 18123
7.1 Questao 1125
7.2 Questao 2125
7.3 Questao 3126
7.4 Questao 4128
7.5 Questao 5130
7.6 Questao 6132
7.7 Questao 7133
7.8 Questao 8135
7.9 Questao 9136
8.1 Questao 1138
8.2 Questao 2138
8.3 Questao 3139
8.4 Questao 4140
8.5 Questao 5142
8.6 Questao 6143
8.7 Questao 7144
8.8 Questao 8144
8.9 Questao 9145
8.10 Questao 10145
8.1 Questao 1146
8.12 Questao 12147
8.13 Questao 13148
8.14 Questao 14149
8.15 Questao 15150
8.16 Questao 16151
8.17 Questao 17152
8.18 Questao 18152
8.19 Questao 19153
9.1 Questao 1156
9.2 Questao 2157
9.3 Questao 3158
9.4 Questao 4159
9.5 Questao 5162
9.6 Questao 6163
9.7 Questao 7165
9.8 Questao 8166
9.9 Questao 9168
9.10 Questao 10168
9.1 Questao 1171
9.12 Questao 12172
9.13 Questao 13174
10.1 Questao 1176
10.2 Questao 2176
10.3 Questao 3176
10.4 Questao 4178
10.5 Questao 5179
10.6 Questao 6181
10.7 Questao 7182
10.8 Questao 8184
10.9 Questao 9186
10.10Questao 10188
10.1Questao 1189
10.12Questao 12190
10.13Questao 13191
10.14Questao 14192
10.15Questao 15193
10.16Questao 16194
10.17Questao 17195
10.18Questao 18196
10.19Questao 19196
10.20Questao 20197
1.1 Questao 1198
1.2 Questao 2199
1.3 Questao 3199
1.4 Questao 4200
1.5 Questao 5202
1.6 Questao 6202
1.7 Questao 7202
1.8 Questao 8203
1.9 Questao 9204
1.10Questao 10204
1.1Questao 1206
1.12Questao 12207
1.14Questao 14209
1.15Questao 15209
1.16Questao 16210
1.17Questao 17210
1.18Questao 1821
12.1 Questao 1213
12.2 Questao 2214
12.3 Questao 3216
12.4 Questao 4216
12.5 Questao 5217
12.6 Questao 6218
12.7 Questao 7221
12.8 Questao 82

I1.1 Questao 1 A pressao no ponto B, devido a coluna de agua e:

Onde ρ0 representa a densidade da agua e P0 a pressao atmosferica. A pressao no ponto C e devido a pressao que a coluna de agua exerce na linha na altura do ponto B somada com a pressao devido a coluna de oleo de altura h1, desse modo a pressao em C vale:

Por fim, sabemos que a contribuicao devido a pressao no ponto A e a coluna de mercurio de altura h2 na altura da linha que passa pelo ponto C deve ser igual a Pc, deste modo:

Substituindo pelos valores numericos dados no enunciado e utilizando a conversao 1atm ≈ 1.01 × 105Pa (E tambem realizando a conversao de g para kg e de cm para m):

No lado esquerdo do reservatorio a pressao na altura H vale p1, ja para o lado direito, a pressao exercida pela coluna de lıquida na mesma altura e:

p = p2 +ρg(h+H) As duas pressoes devem se igualar, portanto:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 8

1.3 Questao 3

Uma variacao de volume ∆V1 no lado esquerdo do reservatorio deve corres- ponder a uma mesma variacao de volume ∆V2 no lado direito do reservatorio, se considerarmos que o reservatorio e cilıntrico, temos que:

Agora podemos escrever a diferenca entre as pressoes como:

O sistema em questao e similar ao do exercıcio anterior, assim podemos usar a formula que foi obtida anteriormente. Contudo, nesse caso a altura da coluna de lıquido a direita e h = l sin(θ). Fazendo esta alteracao na formula:

Isolando θ obtemos:

a) A forca exercida sob a tira infinitesimal, a uma distancia vertical z da origem, e:

dF = PdA = ρgzdA Integrando:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 9

A zdA

Mas lembre-se que a coordenada central centroide de uma placa homogenea pode ser obtido a partir de :

zdA

Assim: ∫

A zdA = zA

Deste modo a forca exercida pelo lıquido e:

F = ρgzA b) O torque dτ aplicado em casa uma das tiras infinitesimais e o produto entre a forca aplicada sob a tira e a distancia em relacao ao eixo O′, isto e, z:

dτ = zdF = ρgz2dA Integrando, o torque total e:

Agora, sabemos que esse torque e equivalente ao torque resultante devido a forca F aplicada no centro das pressoes C0, que esta a uma distancia vertical z0 da origem. Deste modo o torque, em termos de z0 e:

z0ρgzA = ρgI0 Isolando z0 chegamos em:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 10

1.5 Questao 5 a) Como a comporta e vertical e retangular, a coordenada vertical de seu centroide e simplesmente z = h2 e sua area e A = hl. Assim, utilizando o resultado do item a) do exercıcio anterior, a forca encontrada e:

O centro das pressoes pode ser encontrado a partir do resultado encontrado no item b do exercıcio anterior:

Calculando I0 (Lembre-se que dA = ldz):

Como z = h2 e A = hl, o centro de pressoes e:

b) Vimos que o torque resultante e dado por:

ρgl

Substituindo pelos valores numericos e resolvendo o valor encontrado para a altura maxima admissıvel e:

I1.6 Questao 6 I1.7 Questao 7 A area compreendida pela base do pistao e:

Assim, a pressao devido ao peso do pistao e:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 1

P = Mg

Como o sistema esta em equilıbrio, essa pressao deve se igualar a pressao da coluna de agua, desse modo:

A massa total do lıquido e m, e pode ser escrita como:

Isolando H obtemos:

Substituindo h pela expressao encontrada ateriormente:

piρD2 a) A area superficial de um unico hemisferio da esfera em funcao de seu diametro e:

Desse modo, a forca que cada uma das duas parelhas tem que exercer e:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 12

1.9 Questao 9

Como cada cavalo consegue exercer uma tracao de 80kgf o numero mınimo de cavalos e:

I1.9 Questao 9 O empuxo sobre o iceberg e:

E = ρaVsg

Onde ρa representa a densidade da agua e Vs o volume do iceberg que esta submerso. Como o sistema esta em equilıbrio o empuxo deve se igualar a forca peso, sendo V o volume total do iceberg e ρg sua densidade, temos que:

ρa A fracao do iceberg que fica submersa e:

f = VS

a) Na situacao inicial, enquanto gelo flutua, a forca peso e igual ao empuxo, portanto e valida a relacao:

m = ρVs

Onde m representa a massa de gelo, ρ a densidade da agua e Vs o volume de gelo submerso. Alem disso, vamos considerar que o volume inicial de agua no copo

+ o volume do gelo submerso vale V0. Apos o completo derretimento o volume total de agua passa a ser V0 somado com o volume de agua proveniente do gelo derretido, descontando o volume de gelo previamente submerso, portanto temos que:

O termo mρ representa o volume de agua proveniente do gelo derretido. A partir da primeira expressao m = ρVs concluımos que mρ = Vs, a equacao anterior se torna:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 13

Ou seja, o volume final nao se altera e o nıvel de agua no copo nao se altera. b)

Apos a imersao do densımetro na agua a calibracao o volume abaixo da graduacao

”1”e V0, que e tambem o volume submerso. Como o empuxo se iguala ao peso do densımetro, temos que:

Onde ρd representa a densidade do densımetro, V seu volume total e ρa representa a densidade da agua. Apos ser mergulhado em outro lıquido de densidade ρ o densımetro se eleva a uma altura h em relacao a marca ”1”, e volume submerso passa a ser Vs = V0 − Ah. Igualando o empuxo ao peso:

g = mg = ρdVg = ρaV0g

Como a densidade relativa entre o lıquido e a agua e a razao ρ/ρa, apos manipular a equacao anterior o resultado obtido e:

O empuxo, juntamente com a forca externa aplicada, deve se igualar a forca peso. Desse modo:

O empuxo e igual ao peso da massa de agua deslocada, e a forca externa vale 2.85kgf = 2.85g N. Sendo ρ a densidade da coroa e V = 0.3l seu volume, partindo da expressao anterior temos que (O valor utilizado para a densidade da agua esta em kg/l, desse modo ρa = 1kg/l):

ρaV g + 2.85g = ρV g Isolando ρ para encontrar a densidade da coroa:

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1.13 Questao 13

cm3

Portanto coroa e de prata.

a) A leitura da balanca de molas e igual a forca exercida sobre a mola que suspende o bloco. Como o sistema esta em equilıbrio, temos que para o bloco:

Onde Fm representa a forca exercida pela mola, E o empuxo e P o peso. Prosseguindo com os calculos:

Fm +ρaVg = Mg

Sendo ρ a densidade do bloco e V o seu volume. Substituindo pelos valores dados no enunciado:

b) A forca exercida sobre o prato da balanca do lado direito e a soma entre a forca peso do recipiente e a agua e a forca de reacao do empuxo entre o bloco e a agua, cuja direcao e vertical e para baixo. Essa forca deve se igualar ao peso do bloco de massa m, portanto:

PBloco = PRecipiente + E Sabemos que a massa total do recipiente e da agua e de 1kg, logo:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 15

O sistema em questao e similar aquele discutido na secao 1.4 do livro, do lıquido em rotacao. E possıvel encontrar uma expressao para a superfıcie livre utilizando o mesmo procedimento. Utilizando a formula obtida no livro:

Devido a aceleracao horizontal, o lıquido no copo tomara a seguinte forma na iminencia de transbordar :

1cm

θ g amax

Figura 1: Figura da questao 15. A primeira figura representa o copo sujeito a uma acelracao nula, ja na figura central ha a representacao do lıquido no copo sujeito a acelracao maxima e na iminencia de derramar a agua. A figura na direita representa os vetores aceleracao, o vetor na vertical representa a aceleracaod a gravidade, o vetor na horizontal representa a aceleracao maximo horizontal e o vetor com inclinacao θ representa o vetor da aceleracao resultante.

Analisando o triangulo:

1cm

Assim, a tangente do angulo θ e: I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 16

1.16 Questao 16

5 Agora fazendo o mesmo para o outro triangulo:

g amax

A aceleracao maxima e:

a) As forcas agindo sobre a esfera superior sao o peso (vertical para baixo), a tracao (vertical para baixo) e o empuxo (pelo oleo, vertical para cima), portanto temos que para o primeiro corpo vale a igualdade:

Ja para a esfera inferior, as forcas agindo sao a forca peso (vertical para baixo), a tracao (vertical para cima) e o empuxo devido ao oleo e a agua (ambos vertical para cima):

A massa da esfera superior pode ser escrita como m1 = ρV , e a da esfera superior, que e seis vezes mais densa pode ser escrita como m2 = 6ρV . Deste modo, podemos escrever o seguinte sistema:{

I) ρoleoV2 g = ρVg +T

I) ρoleoV2 g + ρaguaV2

Fazendo I) + I) podemos eliminar T, obtendo:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 17

Resolvendo para ρ:

ρ = 2ρoleo + ρagua

cm3 b) Isolando T a partir da expressao I) obtemos:

T = ρoleo V

Substituindo pelos valores numericos:

Apos a campanula ser mergulhada na agua, a pressao na interface agua/ar devido a coluna de agua e:

Onde h representa a altura da coluna de agua dentro da campanula. A pressao do ar dentro da campanula deixa de ser P0. Se considerarmos que o ar passa por um processo isotermico podemos encontrar sua pressao final pela lei de boyle:

Onde A representa a area da secao transversal da campanula, assim, antes de ser mergulhada na agua, a altura da coluna de ar e de 3m e seu volume inicial e

V0 = 3A, apos ser mergulhada a altura da coluna de ar e 3 − h e seu volume final e Vf = (3 − h)A. Como a pressao devido a coluna de ar deve ser igual a pressao devido a coluna de agua na interface agua/ar dentro da campanula temos que:

Simplificando a expressao:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 18

1.18 Questao 18

O termo P0ρg vale 10.3, a expressao anterior se torna uma equacao de segundo grau:

As raızes obtidas sao:

Como h1 e maior que o comprimento da campanula, essa resposta representa uma situacao absurda, a altura da coluna de agua dentro da campanula e entao h = h2 = 1.2, isso representa uma fracao de:

As forcas agindo sob o balao sao o empuxo (vertical para cima) e a forca peso (vertical para baixo), entao a forca ascencional e:

Fasc = E −P Sendo ρ0 a densidade do ar, ρ a densidade do hidrogenio e r seu raio:

Substituindo pelos valores dados no enunciado:

Sabemos que a densidade de forca volumetrica e igual ao gradiente de pressao, isto e:

Para o fluıdo em questao a unica forca volumetrica atuando e a gravitacional, que vale f = ρg, assim:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 19

Como a pressao so varia com a altura, temos que:

Apos resolver as integrais a resposta obtida e:

O volume dos blocos de alumınio e cobre e, respectivamente Val = 10/2700 =

para o cobre. Portanto concluımos que o Alumınio pesa menos, o que era de se esperar, pois o empuxo sobre o bloco de alumınio e maior, visto que seu volume tambem e maior. Computando a diferenca entre os pesos:

A diferenca de massa correspondente e:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 20

Utilizando Bernoulli podemos encontrar a velocidade v do jato de agua que passa pelo orifıcio (Iremos considerar que a velocidade de escoamento v0 da agua do tanque e baixıssima):

ρg +

z representa a altura do orifıcio em relacao a origem e z0 representa a altura do topo da coluna de agua de no tanque, a diferenca h = z0 − z = 1m representa a diferenca de altura entre o orifıcio e o topo da coluna d’agua. Isolando v na expressao encontramos:

A vazao do orifıcio e:

Onde f representa o fator de contracao e A a area do orifıcio. Substituindo pelos valores do enunciado:

Como vimos no exercıcio anterior, a velocidade horizontal do jato de agua ao sair do orifıcio a uma distancia z da superfıcie da coluna d’agua e:

Alem disso, temos que:

Onde h − z representa a distancia entre o orifıcio e o chao e t representa o intervalo de tempo necessario para que essa distancia seja percorrida pelo jato

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 21 d’agua. Por fim, temos que a distancia horizontal percorrida pelo jato (tomando o orifıcio como a origem) e:

h z

Basta derivar a expressao anterior com respeito a z e igualar a zero para encontrar o valor de z que maximiza x:

Portanto a altura na qual o orifıcio deve estar para que esta distancia maxima seja atingida e na metade da altura da coluna de agua. Para descobrir qual a distancia horizontal percorrida nesse caso basta substituir z por h2 na (2.2.4):

A pressao na base e exercida pela contribuicao da coluna de oleo e da coluna de agua, ambas de mesma altura h = 0.5m:

Coluna de agua

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 2

2.4 Questao 4

Orifıcio

Escrevendo Bernoulli para o fluıdo na base do orifıcio e para o jato de agua escoando:

ρaguav2

Resolvendo para v obtemos:

ρagua

I2.4 Questao 4 A equacao dos gases ideais pode ser escrita em funcao da densidade ρ do gas, pois:

Onde m representa a massa de gas e M sua massa molar. Portanto, se o gas esta submetido a pressoes P0 e P1 diferentes, a relacao entre suas densidade e (Assumindo que o processo que levou o gas de uma pressao a outra e isotermico):

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 23

Chamando a pressao interna de P1 e a externa de P0, a equacao de Bernoulli para o ar dentro do tubo e para o gas que escapa com velocidade v e:

I2.5 Questao 5 A relacao entre a forca agindo sobre um corpo e seu momento p = mv e:

Fext = dp dt =m dv dt +v dm

Veja que nao ha forcas externas agindo na horizontal, por isso escrevemos que

Fext = dpdv = 0. O empuxo resultante e Er = mdvdt

= ma e e expresso por:

Er = m dv dt = −ρv dV

Onde Q representa a vazao do gas, que e dada por Q = Av, assim o empuxo resultante pode ser escrito como:

A velocidade de escapamento do ar pode ser encontrada atraves de Bernoulli.

A pressao no interior da camara e P, em seu exterior e P0, e sua densidade e ρ. Escrevendo a equacao para o gas dentre do camara e o gas que compoe feixe que escapa pelo orifıcio:

Substituindo na (2.5.1) obtemos:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 24

2.6 Questao 6

O sinal de negativo somente nos diz que a direcao de movimento do foguete e contraria a da massa ejetada.

De acordo com o exercıcio anterior temos que a forca resultante agindo sob o sistema vale:

Como a pressao exercida pela agua na altura do orifıcio e dada por:

a) Sendo v1 a velocidade inicial de escoamento na base superior da ampulheta, isto e, a velocidade de descida do nıvel de agua, e v0 a velocidade de escoamento para a agua no centro da ampulheta, temos que:

E aplicando Bernoulli para ambos os pontos:

Substituindo v0 pela primeira expressao encontrada:( R

Resolvendo para v1:

I Escola Olımpica - Curso de Fısica Basica I 25

Substituindo pelos valores numericos o valor encontrado para a velocidade inicial de descida do nıvel da agua e:

b) Usando semelhanca de triangulos podemos descobrir qual e o raio da superfıcie da agua apos ter baixado 5cm:

10cm

10cm 5cm

Fazendo as substituicoes pelos novos valores h → h′ = 5cm e R → R′ = 5cm basta utilizar a resposta do exercıcios anterior para encontrar a velocidade do nıvel de descida da agua:

c) Para a agua a uma altura qualquer z, medida a partir do centro da ampulheta, sua superfıcie ira possuir um raio ρ, medido a partir do eixo do cone. Sendo v a

(Parte 1 de 3)

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