Exercícios Resolvidos: Equações diofantinas

Exercícios Resolvidos: Equações diofantinas

Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA

Exercícios Resolvidos: Equações

Diofantinas

Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 09/05/2016 - Atualizado em 19/02/2017

Solução:

O problema já afirma que as equações possuem solução, entretanto é bom que se crie o hábito de sempre verificar se a equação possui ou não solução. A nível de exemplo vamos verificar a primeira equação. Para isso basta conferir se mdc(3,4)|20.

Agora que sabemos que a equação possui solução evocamos o teorema de bezout para afirmar a equação seguinte.

AtravésdoAlgoritmo Estendido de Euclidesobtemoscomosoluçãodaequação acima α = −1 e β = 1.

Multiplicando a igualdade acima por 20.

Onde k é qualquer número inteiro.

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Solução:

Nesse caso vamos resolver a equação por um método diferente. Vamos resolvela por tentativa.

Primeiro evidenciamos y na equação.

Agora nos perguntamos: qual o valor para que nos fornece um valor inteiro para y?

Veja que o 2 é um dos muitos valores possíveis.

Exemplo 3: Decomponha o número 100 em duas parcelas positivas tais que uma é múltipla de 7 e a outra de 1. (Problema do matemático L. Euler [1707- 1783]).

Solução: O problema equivale a resolver a seguinte equação diofantina

Sendo assim:

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Multiplicando (3) por 100

A equação acima já pode ser considerada uma solução se o problema não exigisse que as duas parcelas provenientes da decomposição do 100 fossem positivas.

Para chegar a um resultado que satisfaça a essa exigência primeiro determinamos a solução geral da equação.

Exemplo 4: Ache todos os números inteiros estritamente positivos com a seguinte propriedade: dão resto 6 quando divididos por 1 e resto 3 quando divididos por 7.

Solução: Seja p um numero que satisfaça as condições impostas então: p = 11k+ 6 e p = 7q+ 3 igualando as identidades acima chegamos a uma equação diofantina.

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Exemplo 5: O valor da entrada de um cinema é R$ 8,0 e da meia entrada R$ 5,0. Qual é o menor numero de pessoas que pode assistir a uma sessão de maneira que a bilheteria seja de R$ 50,0? (Em tempo: a capacidade desse cinema é suficiente para esse número de pessoas).

Solução: O problema equivale a resolver a seguinte equação

E a solução geral

Como e y são o numero de pessoas que pagam inteira e meia, respectivamente, então a solução não pode ser negativa. Em outras palavras devemos encontrar um k tal que:

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Como o problema pede o menor número de pessoas e 188 é o menor valor do intervalo não necessitamos testar os demais valores. Assim, a solução é vender 60 inteiras e 4 meias.

Exemplo 6: Ao entrar num bosque, alguns viajantes avistam 37 montes de maçã. Após serem retiradas 17 frutas, o restante foi vendido igualmente entre 79 pessoas. Qual a parte de cada pessoa? (Problema de Mahaviracarya, matemático hindu).

Solução:

Suponha que tenham maças em cada monte. Assim, foram vistas 37 maças ao todo. Em seguida foram retiradas 17 ficando apenas

Como esse total foi totalmente dividido, e em partes iguais, então concluímos que a divisão foi exata, assim pelo teorema da divisão euclidiana

Com k ∈ Z e representando a parte de maças recebidas por cada pessoa.

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Dessa solução particular chega-se a seguinte solução geral para (1)

Ou em outras palavras: As quantidades possíveis de maças recebidas por cada um formam o conjunto

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