Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada

Exercícios Resolvidos: Taxa relacionada

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Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA

Exercícios Resolvidos: Taxa Relacionada

Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 07/01/2013 - Atualizado em 08/08/2017

Resolver problemas relativo a taxas relacionadas é basicamente um processo de seis passos:

1. verificamos os dados que o problema nos dá e o que é requerido;

2. encontramos uma relação geral entre os dados que após a derivada da relação forneça o valor desejado;

3. substituímos na relação os valores que são constantes; 4. derivamos a relação implicitamente; 5. evidenciamos o resultado desejado; 6. realizamos as substituições necessárias para obter a resposta.

Dica: As vezes fazer um desenho ou esquema da situação problema ajuda bastante a entender melhor a questão. Embora dependendo da sua habilidade isso possa ser dispensável.

Exemplo 01

Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinado a de tal forma que ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha esta sendo “dada", quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m?

Solução:

Com base no problema e nos dados fornecidos construímos um triângulo retângulo com as seguintes medidas.

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2◦ Passo: O desenho do problema sugere que a relação entre os dados (x, y, z) é o próprio teorema de Pitágoras.

Note que se derivarmos essa relação obteremos dz/dt. Que é o que desejamos saber.

No problema a pipa se move apenas horizontalmente. Assim a altura da pipa (y) se mantém sempre constante.

Já o z (tamanho da linha), e o (distancia horizontal entre a pipa e o menino), não são constantes.

4◦ Passo: Agora deriva-se a relação anterior implicitamente em relação ao tempo.

2z dz

A derivada ocorre em relação ao tempo pois o deslocamento da pipa em qualquer direção pode ser descrito em função do tempo.

5◦ Passo: Agora que evidenciamos dz/dt.

dt 2z

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6◦ Passo: E finalmente substituímos x, y e dx/dt para obter o valor desejado.

Exemplo 02

Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m?

Solução: 1◦ Passo: Dados:

dt é o que desejamos saber.

2◦ Passo: Neste caso a fórmula capaz de fornecer o que será pedido é a da área do circulo.

O raio do cone varia com a altura. E a altura por sua vez também varia a medida que a areia é despejada, assim não existe valores constantes na relação A = pir2. Logo podemos pular o passo 3.

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O passo seguinte seria evidenciar dA/dt, mas como isto já esta feito passamos para o passo 6.

O fato interessante é que o problema não nos dá o valor de dr/dt, pelo menos não diretamente.

Sabe-se que o volume de um cone é dado por:

Derivando a expressão implicitamente se têm:

⇒ dV dt = pir2 dr dt pir2 dV dt

substituindo o valor de r

Agora de posse do valor de dr/dt podemos finalizar o 6◦ passo.

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Os próximos exercícios seguem a mesma lógica do passo a passo, mas por questão de economia serão resolvidos de forma menos detalhada.

Exemplo 03

Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo?

Solução: Dados:

Com base nos dados construímos um triângulo com as seguintes medidas.

Onde foi obtido através do teorema de Pitágoras. A fórmula que fornecerá o valor desejado será o teorema de Pitágoras.

Como a escada não pode alterar seu comprimento então z é constante e igual a 6.

Evidenciando dy/dt

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Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para baixo).

Exemplo 04

Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base 2 m. Se água entra no tanque á razão de 0.001 m3/min calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m?

Solução: Dados:

Queremos descobrir dh dt quando h = 1 m.

A equação que irá relacionar dh/dt aos dados será:

Derivando implicitamente.

dt + r2dh dt

Pelo problema sabe-se que:

Da igualdade anterior ainda temos que:

dt ⇒ dr dt =

Substituindo dr/dt = dh/2dt e também h = 1r em dv/dt chega-se:

Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA dh dt

3 pi

3 pi

⇒ dV dt = pi h2pi · dV dt

Finalmente quando h = 1 m temos:

Exemplo 05

Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia á razão de 0.005 cm/min. Determine a taxa á qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro é 30 cm.

Solução: Dados: dD/dt = 0.005 cm/min dA/dt = ? D = 30 cm Tomando a relação A = pir2 que é fórmula para área do círculo. E derivando a implicitamente temos:

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Sabe-se que o diâmetro (D) e duas vezes o raio (D = 2r) então:

Assim:

⇒ dA dt

Exemplo 06

Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a razão constante 2 cm/min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm?

Solução: Dados:

A fórmula do volume da esfera é:

Derivando implicitamente.

⇒ dV dt = 4pir2dr dt

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Finalmente substituindo os valores

Exemplo 07

A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cônica cuja altura sempre é igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta a uma razão de 15 cm/min. Determine a taxa a qual a areia está se escoado quando a altura da pilha for de 25 cm.

Derivando implicitamente.

dt h+

3 pir2 dh dt

Como h = r então dr/dt = dh/dt e assim:

dt h+ r2dh dt

dt h+ r2dh dt

3 pi

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3 pi

Exemplo 08

Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a área englobada pela onda crescente ao final de 10 segundos?

Solução: Dados:

Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m.

Exemplo 09

Um balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m3/min. Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1 m?

Solução:

Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA dt = 4pir2dr dt

Como 2r =Diâmetro então:

dt e portanto:

Exemplo 10

Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km?

60 km/h

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Neste caso desejamos saber dz

Para isso usaremos o teorema de Pitágoras: 2 + y2 = z2 derivando implicitamente.

dt e simplificando

dt + y dt = z substituímos os valores de dx/dt e dy/dt

dt e evidenciamos o dz/dt.

Quando x = 0.2 e y = 0.15, z é igual 0.25 (teorema de Pitágoras). E portanto:

Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de Pitágoras diretamente as velocidades (que são nada mais que vetores).

Que é um resultado bastante próximo do calculado por meio da derivação implícita.

Exemplo 1

Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam fornecidos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de oferta

Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 mil caixas?

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Solução:

Queremos descobrir dp dt quando x = 5. Derivando a expressão implicitamente

A taxa de fornecimento (dx/dt) está decrescendo em 250, mas como é uma unidade em milhares usaremos d

Assim:

Ou seja o preço está decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia.

Exemplo 12

Um avião voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo.

Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminado o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m?

Solução:

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Queremos encontrar dθ

então:

sec2θ dθ d dt

obter

Exemplo 13

Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade na parte rasa, e 3 m na parte mais funda.

10m 5m 1m

3m1.5m 4m

A figura acima mostra as medidas e forma da piscina. Se a piscina for enchida a uma taxa de 0.1 m3/min, quão rápido estará subindo o nível de água quando sua profundidade no ponto mais profundo for de 1 m?

Solução:

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Quando a profundidade da água no ponto mais fundo da piscina for de 1m então somente a área cuja seção transversal é um trapézio estará sendo usada. Assim vamos considerar apenas essa parte da piscina. Essa parte é representada pelo desenho a seguir.

x y 1.5m 4m

Área do trapézio:

A= B seM or + B seMenor

Como a piscina têm 5 m de largura então seu volume é 5 vezes a área do trapézio determinado:

Substituindo a taxa e h = 1 m.

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Exemplo 14

Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.0 cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.

Solução:

A variação do volume de água é dada pela fórmula

dt − d s dt

Onde d e é a taxa de variação de entrada da água e d s dt a taxa de variação da

Sabe-se que a expressão para o volume de um cone é:

Pelo desenho é fácil verificar que h

4 que resulta em r =

3 pi onde derivando implicitamente obtemos:

dh dt

Como dV

dt − d s t então:

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logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm é de 10148,6 cm3/min

Exemplo 15

Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m?

Solução: Observe o esquema a seguir θ x y z

O problema é que não sabemos exatamente a posição dos dois corredores. Então não podemos usar o teorema de Pitágoras. Vamos usar a lei dos cossenos para expressar a distância entre os dois:

Derivando implicitamente e levando em conta que x e y não variam no tempo (ou seja, são constantes) chega-se á:

2z dz

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⇒z dz

Substituindo o valor de , y e z.

Da física sabemos que S = rθ logo:

dt = r

Substituindo esse último valor em dz/dt

r (senθ)

Quando a distância entre eles for de exatamente 200m então o ângulo θ será de:

Assim:

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Exemplo 16

A equação de demanda de uma determinada camisa é 2p + 65p − 4950 = 0, onde centenas de camisas são demandadas por semana quando p for o preço unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,0 e o preço estiver crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda.

Solução: A equação é a seguinte:

Não há constantes no problema, pois tanto como p variam com o tempo. Deste modo não há substituições a fazer.

Derivando a equação implicitamente chega-se à:

Portanto

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Decresce a taxa de 5 camisas por semana.

Exemplo 17

Uma lâmpada está pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de 1,5m/s:

a) Qual a velocidade de crescimento da sombra? b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?

Solução: Vamos imaginar a situação descrita como na imagem abaixo.

w k Lâmpada

O problema envolve uma semelhança de triângulos. Onde:

é a distância horizontal do homem a lâmpada; k é o comprimento da sombra; d /dt é a taxa de variação com que o homem se afasta da lampada horizontalmente; dk/dt a taxa de crescimento da sombra.

Por semelhança de triângulos

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Derivamos em ambos os lados em relação ao tempo(t): 0,6(dw/dt) = 0,4(dk/dt)

A velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é a soma da taxa de variação com que o homem se move somada a taxa de variação de crescimento da sombra.

⇒ d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta) Respostas: (a) 1,0 m/s (b) 2,5 m/s

Exemplo 18

Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista?

Solução: O problema acima é esquematizado na figura abaixo:

Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Radar 12m

Telefone 16m z2 = 2 + y2 Como a distância horizontal entre a rodovia e o radar se mantêm constante.

2z dz

dt e evidenciando dy/dt

e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.

Como o limite é de 80 Km/h e a velocidade do carro é de 87.5 km/h a não ser que o motorista tenha uma boa desculpa ele deve ser multado.

Exemplo 19

Considere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distância de uma câmera de televisão montada no nível do chão. À medida em que o balão sobe, aumenta a distância entre a câmera e o balão e o ângulo que a câmera faz com o chão. Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:

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(a) Quando o balão estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmera?

(b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, para filmar a subida do balão, com que velocidade a câmera está girando?

Solução de A: Considere o esquema

Lânterna Balão z θ

⇒z dz dt + y

Logo a velocidade com que o balão se afasta é de 3.6 m/s

Solução de B:

Para resolver o item (b), podemos usar a função seno para obter uma equação que relaciona as varáveis d (distância horizontal entre a câmera e o balão), h (distância vertical entre o balão e o solo) e θ (angulo da câmera com a horizontal). Assim temos que:

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