Notas de mat. financeira

Notas de mat. financeira

(Parte 1 de 5)

Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Série Textos Didáticos

Notas de Aulas da Disciplina Matemática Financeira

Profª Ms. Eridan da Costa Santos Maia

A linha editorial Textos Didáticos destina-se exclusivamente à publicação de trabalhos de docentes da Uesb a serem usados em suas próprias disciplinas. Não será aceita, em hipótese alguma, a reprodução total ou parcial (salvo em citações) de textos de terceiros que possam implicar querelas por direitos autorais.

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Notas de Aulas da Disciplina Matemática Financeira

Prof.ª Ms. Eridan da Costa Santos Maia

Vitória da Conquista - Bahia 2010

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Apresentação5
1. Resumo7
2. Regra de Sociedade8
3. Juros Simples1
4. Descontos Simples17
5. Equivalência na Capitalização Simples20
6. Juros Compostos24
7. Taxa na Capitalização Composta26
8. Capitalização Contínua29
9. Desconto Composto30
10. Equivalência na Capitalização Composta30
1. Taxa Interna de Retorno30
12. Rendas Certas34
13. Sistemas de Amortização43
14. Inflação49
15. Análise de Investimentos50

SUMÁrio 16. Referências .........................................................................................................................53 aPrESEntaÇÃo

Caro estudante,

Apresentamos este trabalho sobre a disciplina Matemática Financeira, resultante da nossa experiência em sala de aula. Tendo como principal objetivo permitir que o mesmo auxilie sua compreensão no estudo desta disciplina.

Deste modo, você educando poderá notar que o mesmo é apenas uma alternativa para que sua pessoa possa fazer uma consulta simplificada da matéria exposta.

O conteúdo deste trabalho é formado por matéria teórica seguida por exercícios aplicados em sala, sendo que algumas partes podem ter sido transcritas integralmente ou com algumas alterações extraídas dos livros que compõem as referências.

Portanto, esperamos que este trabalho de alguma maneira possa apontar mais um caminho útil para a sua aprendizagem, acrescentando à sua vida estudantil um incentivo para que prossiga nos estudos a respeito da Matemática Financeira e que cada vez mais desenvolva a sua capacidade de raciocínio, ampliando seu conhecimento matemático financeiro, alcançando por exemplo os seguintes objetivos: ü Calcular juros simples e compostos; ü Efetuar descontos simples e compostos; ü Distinguir taxas de juros proporcionais e equivalentes; ü Resolver problemas envolvendo rendas; ü Elaborar plano de amortização usando os vários sistemas.

Prof.ª Ms. Eridan da Costa Santos Maia Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia

1. RESUMO

I) Introdução:

A Matemática Financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com o tempo nas aplicações e pagamentos de empréstimos.

Operações Comerciais – são as operações feitas através de mercadorias com a finalidade de lucro. Exemplo: compras, vendas e permutas.

Operações Financeiras – são operações feitas através do dinheiro com a finalidade de fazê-lo evoluir ao longo do tempo. Exemplo: letras de câmbio, poupança, ações, descontos de títulos, debêntures, etc. Trataremos neste trabalho somente das operações financeiras.

I) Regime de Capitalização – processo ou critério através do qual um capital evolui ao longo de determinado tempo. Pode ser: simples ou composta.

Regime de capitalização simples – neste regime a taxa de juros incide apenas sobre o capital aplicado em cada período de tempo. Os juros produzidos através desse processo chamam-se Juros Simples.

Regime de capitalização composta – neste regime a taxa de juros incide sobre o montante de aplicação no início de cada período de tempo. Os juros produzidos chamam-se Juros Compostos.

I) Elementos Principais e Simbologia Utilizada Neste Trabalho:

Fluxo de Caixa – representação visual do problema, visando facilitar sua interpretação facilitando também a correta solução da questão. O Fluxo de Caixa consiste em um eixo horizontal (escala horizontal do tempo) – representando o tempo da operação – e de retas a ele perpendiculares que indicam as entradas e saídas de dinheiro. Abaixo temos um exemplo de seu esquema.

Principal (P) – principal, ou capital inicial empregado, ou valor atual ou valor presente é qualquer quantidade de dinheiro, que esteja disponível em certa data, para ser aplicado numa operação. Na escala horizontal do tempo representa o valor que se encontra em n = 0. Também pode ser indicado por C.

Juros (J) – é a remuneração do principal emprestado ou aplicado. Taxa (i) – é o valor do juro numa unidade de tempo, expresso como percentagem do principal. Exemplo: 5% ao mês significa que o juro é igual a 5% do principal por mês. Prazo (n) – é o tempo de aplicação que deve ser expresso na mesma unidade de tempo da taxa.

Assim, n = 0 representa a data inicial da aplicação ou empréstimo do título, n = 1 representa o final do 1ª unidade de tempo e assim sucessivamente.

Montante (S) – o montante ou Valor Futuro é a soma do capital com o juro obtido. Na escala horizontal do tempo representa o valor que se encontra em n = 1, 2, 3, ... Também pode ser indicado por M.

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Considerando que a Matemática Financeira estuda a transformação do dinheiro ao longo do tempo. (traduzido no ditado popular: tempo é dinheiro). A resolução de muitas questões deste trabalho será obtida através da utilização de um esquema de fluxo de caixa.

Todo conteúdo tratado exceto juros simples e desconto simples será dedicado a capitalização composta.

2. REgRA DE SOCIEDADE

Regra de Sociedade – é a divisão do lucro ou prejuízo de determinada sociedade em partes proporcionais aos capitais e/ou tempos em que os sócios permanecem na sociedade.

A regra de sociedade pode ser simples ou composta. A regra de sociedade é simples quando um dos parâmetros capital ou tempo é constante, ou seja, é o mesmo entre os sócios.

A regra de sociedade é composta quando os dois parâmetros: capital e tempo são diferentes. O lucro ou prejuízo será distribuído em partes proporcionais ao capital multiplicado pelo tempo respectivo. Assim, por exemplo, para três sócios tem-se a expressão:

O x = lucro do 1º sócio; y = lucro do 2º sócio; z = lucro do 3º sócio; c1 = capital do 1º sócio; c2

= capital do 2º sócio; c3=capital do 3º sócio; t1= tempo do 1º sócio; t2= tempo do 2º sócio; t3= tempo do 3º sócio.

Se o sócio possuir vários capitais e tempos utiliza-se o somatório dos produtos de capital pelo seu respectivo tempo. Também se resolve através de Percentagens e Regra de Três.

Exemplo 1: Maria e José se associaram e fizeram um jogo de loto. Maria entrou com R$ 125,0 e José com R$ 103,0. Repartir entre eles o ganho de R$ 542,64.

Aplicando a proporcionalidade direta do lucro de cada sócio pelo seu capital empregado teremos que:

O lucro do primeiro sócio está para o seu capital assim como o lucro do segundo sócio está para o seu capital, ou seja:

Notas de Aulas da Disciplina Matemática Financeira9 Podemos também escrever:

Observe que o lucro do primeiro sócio é o produto do seu capital por 2,38, onde 2,38 é o fator de proporcionalidade para o cálculo do lucro de cada sócio. Nesse caso, o lucro do segundo sócio será .

Vamos resolver esta questão e muitas outras utilizando Fluxo de Caixa

Exemplo 2: No dia 1o de janeiro, três sócios organizaram uma firma com o capital de R$ 450,0 em partes iguais. O primeiro sócio integralizou totalmente a sua parte, o segundo entrou com R$ 100,0 tendo, 3 meses após, integralizado o restante, o terceiro entrou com R$ 750,0 só completando sua parte em 1o de julho. No fim de um ano de atividade, o lucro apurado foi de R$ 120,0. Quanto coube a cada sócio?

Assim, temos: 1o sócio: 1500 . 12 meses = 18.0; 2o sócio: 1000 . 3 meses + 1500 . 9 meses = 16.500; 3o sócio: 750 . 6 meses + 1500 . 6 meses = 13.500;

Então, x = 1800 . 0,025 = 450,0; y = 16500 . 0, 025 = 412,50; z = 13500 . 0, 025 = 337,50;

Problemas Propostos:

1º) Três pessoas se associaram com o capital de R$ 450,0. Calcular a entrada de cada sócio sabendo que ao 1º coube R$ 320,0 ao 2º R$ 380,0 e ao 3º R$ 20,0 do lucro. R. 1600; 1900 e 1000

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cada sócio?

2º) Uma sociedade entre três amigos durante um período comum de tempo produziu um lucro de R$ 200,0. O primeiro dos sócios entrou com um capital que era o dobro do capital do segundo sócio, este por sua vez contribuiu com uma quantia triplicada em relação ao terceiro. Qual o lucro de R. 1200; 600 e 200.

3º) O sócio João recebeu R$ 3690,0 a menos que o sócio Paulo. Sabendo-se que João permaneceu 3 meses na sociedade e Paulo ficou 5 meses. Qual o lucro de cada um? R. 5535 e 9225.

terceiro assim como 4/5

4º) Três sócios lucraram R$ 350,0. Calcular o lucro de cada sócio sabendo que o lucro do primeiro está para o lucro do segundo assim como 2/3 e que o lucro do segundo está para o lucro do R. 800; 1200 e 1500.

5º) O lucro de uma empresa foi de R$ 2300,0. Sabendo-se que o 1º sócio contribuiu com
1500,0. Pergunta-se: qual foi o lucro de cada sócio e qual a contribuição do 3º sócio

R$ 210,0 e o 2º sócio com R$ 110,0 e que do lucro total coube ao 3º sócio a importância de R$ R. 5250; 2750 e 60000.

e seis dias; o 2º sócio empregou R$ 120,0 durante um mês e dez dias e o 3º sócio empregouR$
150,0 durante um mês. Qual o lucro de cada sócio?

6º) Uma firma teve um lucro de R$ 3870,0. O 1º sócio empregou R$ 10,0 durante um mês R. 1080; 1440 e 1350.

7º) Uma pequena empresa tem um capital de R$370,0. O 1º sócio ficou um mês e seis dias; o 2º sócio ficou um mês e dez dias; o 3º sócio ficou um mês. O lucro foi assim distribuído: R$1080,0 para o 1º sócio, para o 2º sócio R$1440,0 e R$1350,0 para o 3º sócio. Qual o investimento de cada sócio nesta sociedade? R.1000; 1200 e 1500.

mente. Qual o lucro de cada sócio?

8º) Dividir o lucro de R$1215,0 entre os sócios A e B sabendo-se que o capital de A é 3/5 do capital de B e que eles estiveram na empresa durante 3 meses e 10 dias e 2 meses e 15 dias, respectiva- R. 540 e 675.

com a metade, completando a sua parte em 1º de agosto. Quanto recebeu cada sócio?

9º) Uma firma organizada por três sócios em 1º de maio deu um lucro de R$6880,0 apurado em 31 de dezembro. O capital social de R$300,0 foi dividido em partes iguais. O 2º sócio tendo entrado com R$600,0 só integralizou ou completou seu capital em 15 de julho. O 3º sócio entrou R. 2560; 2240 e 2080.

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de R$1200,0. Qual o capital de cada sócio?

10º) Dois sócios fundaram uma sociedade com o capital de R$800,0. No momento de liquidar o primeiro sócio recebeu o capital mais lucro no total de R$230,0. Sabendo-se que o lucro total foi R. 920 e 7080.

des verificou-se o lucro de 1506,0. Qual o lucro de cada sócio?
R. 5412 e 9594

11º) Na fundação de certa sociedade A e B entraram com R$520,0 e R$730,0, respectivamente. Quando a sociedade completou seu segundo mês de existência o sócio A retirou R$120,0; dois meses depois desta data o sócio B depositou R$150,0. Ao fim do primeiro semestre de ativida-

Quanto coube a cada sócio?R. 4485,60 e 5353,20.

12º) Duas pessoas A e B fundaram uma empresa com R$ 3240,0 e R$ 4080,0, respectivamente. Quando a empresa completou seu terceiro mês de existência o sócio B retirou R$ 1230,0. Dois meses depois desta data o sócio A depositou R$ 1120,0 e B depositou R$ 3050,0. Ao fim do sétimo mês de fundação da empresa verificou-se o lucro de R$ 9838,80.

3. JUROS SIMPLES

Juros Simples – é aquele pago inicialmente sobre o principal (capital inicial) e é diretamente proporcional a esse capital e ao tempo em que este é aplicado, sendo o fator de proporcionalidade a taxa de juros por período.

Sendo o juro uma remuneração do principal emprestado e, portanto, o custo do principal durante determinado período de tempo é preciso levar em conta alguns aspectos tais como: o risco do não recebimento do principal emprestado; despesas com empréstimo e cobrança; inflação – índice de desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo.

Sua utilização nas operações financeiras só ocorre em operações de curtíssimo prazo entre pessoas físicas e pelos financistas.

Nos juros simples o principal (dinheiro) cresce em progressão aritmética (crescimento linear). No cálculo de juros comerciais (juros) – utiliza-se o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias.

No cálculo dos juros exatos – considera o ano útil com 365 dias (ou 366) e os meses com o número real de dias. Cálculo dos juros

J1 = P i J2 = P i + P i = P i 2

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J n = P i + P i ++ P i = P i n

J3 = P i + P i + P i = P i 3

O valor dos juros é dado pela expressão: j = Valor dos juros; P = Valor do principal ou capital inicial; i = Taxa de juros (na forma decimal); n = Número de unidade de tempo da operação ou prazo (deve apresentar-se sempre na mesma unidade da taxa).

P 100% j = P i n(taxa percentual)
j i n100

Também podemos encontrar os juros através de Percentagens e Regra de Três.

Exemplo 1: Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10,0 pelo prazo de 4 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 5% am? J = P i n ⇒ J = 100 x 0,05 x 4 = 20.

de 2 de maio a 9 de novembro de 2007?
Dados:P = 610;
i = 5,5% ao ano;
n = 02 de maio a 09 de novembro;
j = ?

Exemplo 2: Qual o rendimento que produz um capital de R$ 610,0 na taxa de 5,5% a. a. no período Neste problema observamos que o prazo está na forma indireta: quando estabelece apenas as datas de início e término das operações.

A maneira mais simples de converter o prazo indireto em direto (quando estabelece claramente o número de dias, meses ou anos de vigência da aplicação) consiste em contar o no de dias entre as datas e depois, se necessário, converter esses valores em meses ou anos. Esta contagem pode ser feita através da tabela 1 abaixo.

Tabela 1 – Contagem dos dias

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Observações:

• Ao aplicar a tabela a ano bissexto, adicione 1 ao resultado se tomar uma data antes de 29 de fevereiro e outra depois. • Ano bissexto é aquele terminado em múltiplo de 4 ou em 0.

• A tabela só pode ser utilizada para os dados do mesmo ano

Resolução do Exemplo 2: Observamos pela tabela, que na interseção da linha 2 com a coluna 5 (maio) aparece o número

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122. Na interseção da linha 9 com a coluna 1 (novembro) aparece o número 313. O número de dias decorridos será de 313 - 122 = 191 dias, ou 191/30 meses (taxa em mês) ou 191/360 anos (taxa em ano).

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