Álgebra Linear-Coleção Schaum 4ª Edição

Álgebra Linear-Coleção Schaum 4ª Edição

(Parte 5 de 5)

As duas operações de transposição e conjugação comutam para qualquer matriz complexa A, e utilizamos a notação especial AH para a transposta conjugada da matriz A. Ou seja,

Observe que, se A for real, então AH AT. [Muitos livros usam A* no lugar de AH.]

Exemplo 2.15

Matrizes complexas especiais: hermitianas, unitárias, normais [opcional até o Capítulo 12]

Considere uma matriz complexa A. A relação entre A e sua transposta conjugada AH fornece espécies importantes de matrizes complexas (análogas às espécies de matrizes reais que já vimos).

Dizemos que uma matriz complexa A é hermitiana ou antihermitiana se

A ou AH –A.

Claramente, A [aij] é hermitiana se, e só se, seus elementos simétricos forem conjugados, ou seja, se cada , caso em que cada elemento aii da diagonal deve ser real. Analogamente, se A for antihermitiana, então cada elemento da diagonal deve ser nulo, aii 0. (Observe que se AH

A ou AH –A, então A necessariamente é quadrada.)

Uma matriz complexa é unitária se AAH AHA I, ou seja, se

Assim, necessariamente, toda matriz unitária é quadrada e invertível. Observamos que uma matriz complexa A é unitária se, e só se, suas linhas (colunas) formam um conjunto ortonormal relativo ao produto escalar de vetores complexos.

Uma matriz complexa A é dita normal se comutar com AH , ou seja, se

CAPÍTULO 2 • ÁLGEBRA DE MATRIZES47

(Assim, toda matriz normal é quadrada.) Essa definição coincide com a dada para matrizes reais quando A for uma matriz real.

Exemplo 2.16 Consideremos as matrizes complexas seguintes.

(a) Visualmente, os elementos diagonais de A são reais e os elementos simétricos 1 2i e 1 2i, 4 7i e 4 7i, bem como –2i e 2i são, todos, conjugados. Assim, A é hermitiana.

(b) Multiplicar B por BH fornece I, ou seja, BBH

I. Isso implica que também BHB I. Assim, BH B–1 , o que significa que B é unitária.

(c) Para mostrar que C é normal, calculamos CCH e CHC. Temos e, analogamente, Como CCH CHC, essa matriz complexa C é normal.

Observamos que, para matrizes reais, ser hermitiana é o mesmo que ser simétrica, e ser unitária é o mesmo que ser ortogonal.

2.12 MATRIZES EM BLOCOS

Utilizando um sistema de linhas (tracejadas) horizontais e verticais, podemos particionar uma matriz A em submatrizes denominadas blocos de A. Certamente podemos dividir uma matriz em blocos de maneiras diferentes. Por exemplo,

A conveniência da partição de matrizes em blocos, digamos, A e B, é que o resultado das operações com A e B pode ser obtido fazendo as operações em seus blocos, como se fossem autênticos elementos das matrizes. Ilustramos isso a seguir, onde utilizamos a notação A [Aij] para uma matriz em blocos A com blocos Aij.

Suponha que A [Aij] e B [Bij] sejam matrizes em blocos com o mesmo número de blocos linha e coluna e suponha que blocos correspondentes tenham o mesmo tamanho. Então a soma de blocos correspondentes de A e de

B também soma os elementos correspondentes de A e de B e a multiplicação de cada bloco de A pelo mesmo escalar k multiplica cada elemento de A por k. Assim,

ÁLGEBRA LINEAR48

O caso da multiplicação matricial é menos óbvio, mas ainda é válido. Isto é, digamos que U [Uik] e V [Vkj] sejam matrizes em blocos tais que o número de colunas de cada bloco Uik seja igual ao número de linhas de cada bloco Vkj, de modo que esteja definido cada produto UikVkj. Então

A demonstração dessa fórmula para UV é imediata, mas cheia de detalhes e demorada. Por isso, é deixada como exercício (Problema Complementar 2.86).

Matrizes quadradas em blocos

Seja M uma matriz em blocos. Dizemos que M é uma matriz quadrada em blocos se

(i) M é uma matriz quadrada, (i) os blocos formam uma matriz quadrada e (i) os blocos da diagonal também são matrizes quadradas.

Essas duas últimas condições ocorrem se, e só se, houver o mesmo número de linhas tracejadas horizontais e verticais e se estiverem posicionadas simetricamente.

Considere as duas matrizes em blocos seguintes.

A matriz em blocos A não é uma matriz quadrada em blocos, porque o segundo e o terceiro blocos da diagonal não são quadrados. No entanto, a matriz em blocos B é uma matriz quadrada em blocos.

Matrizes diagonais em blocos

Seja M [Aij] uma matriz quadrada em blocos. Dizemos que M é uma matriz diagonal em blocos se todos os blocos não diagonais de M forem matrizes nulas, ou seja, Aij 0, com . Às vezes, denotamos uma tal matriz por

M  diag(A11, A22,, Arr) ou

A importância das matrizes diagonais em blocos se deve ao fato de que a álgebra de matrizes em blocos, frequentemente, se reduz à álgebra dos blocos individuais. Especificamente, suponha que f(x) seja um polinômio e que M seja a matriz diagonal em blocos que acabamos de considerar. Então f(M) é uma matriz diagonal em blocos e

f(M)  diag(f(A11), f(A22),, f(Arr))

Também vale que M é invertível se, e só se, cada Aii é invertível e, nesse caso, M–1 é uma matriz diagonal em blocos, com

Analogamente, uma matriz quadrada em blocos é dita matriz triangular superior em blocos se os blocos abaixo da diagonal forem matrizes nulas e é dita matriz triangular inferior em blocos se os blocos acima da diagonal forem matrizes nulas.

CAPÍTULO 2 • ÁLGEBRA DE MATRIZES49

Exemplo 2.17 Encontre as matrizes quadradas, triangulares superiores, triangulares ou diagonais dentre as matrizes seguintes.

(a) A é triangular superior, porque o bloco abaixo da diagonal é uma matriz nula. (b) B é triangular inferior, porque os blocos acima da diagonal são matrizes nulas. (c) C é diagonal, porque os blocos acima e abaixo da diagonal são matrizes nulas. (d) D não é nem triangular superior nem triangular inferior. Mais que isso, não há partição de D que a faça ser triangular superior ou inferior em blocos.

Problemas Resolvidos Soma matricial e multiplicação por escalar

2.1 Dadas , encontre

(a) A B, (b) 2A 3B. (a) Somando os elementos correspondentes, obtemos

(b) Primeiro multiplicamos pelos escalares e só depois efetuamos a soma das matrizes.

(Observe que multiplicamos B por –3 e depois somamos, em vez de multiplicar B por 3 e depois subtrair. Em geral, isso evita erros.)

2.2 Encontre x, y, z, t tais que Escrevemos cada lado da igualdade como uma única equação,

Igualando entradas correspondentes, obtemos o seguinte sistema de quatro equações.

Suponha que A [aij], B [bij] e C [cij]. A demonstração se reduz a mostrar que são iguais as ij-ésimas entradas de cada lado das equações matriciais. [Apenas demonstramos (i) e (v), pois os demais itens do teorema são demonstrados de maneira análoga.]

ÁLGEBRA LINEAR50 a ij-ésima entrada de B C é bij cij, portanto, a ij-ésima entrada de A (B C) é aij (bij cij). No entanto, para escalares de K, temos

(i) A ij-ésima entrada de A B é aij bij, portanto, a ij-ésima entrada de k(A B) é k(aij bij). Do outro lado, as ij-ésimas entradas de kA e kB são kaij e kbij, respectivamente, portanto, a ij-ésima entrada de kA kB é kaij kbij. No entanto, para escalares de K, temos

Multiplicação matricial

2.4 Calcule (a) Multiplicando as entradas correspondentes e somando, obtemos

(b) Multiplicando as entradas correspondentes e somando, obtemos

(c) Esse produto não está definido quando a matriz linha e a matriz coluna têm número de elementos distintos.

2.5 Denotemos uma matriz de tamanho r s por (r s). Encontre o tamanho dos produtos matriciais que estiverem definidos.

Em cada caso, o produto está definido se os números internos forem iguais e, nesse caso, o tamanho do produto será dado pelos números externos na ordem em que aparecem.

(a)(c) Não está definido. (e) Não está definido.

(b)

2.6 Sejam e . Encontre (a) AB, (b) BA.

(a) Como A é uma matriz e B é , o produto AB está definido e é uma matriz . Para obter as entradas da primeira linha de AB, multiplicamos a primeira linha [1, 3] de A pelas colunas de B, respectivamente, como segue.

CAPÍTULO 2 • ÁLGEBRA DE MATRIZES51 Para obter as entradas da segunda linha de AB, multiplicamos a segunda linha [2, –1] de A pelas colunas de B.

Assim,

(b) O tamanho de B é e o de A é Os números internos 3 e 2 não são iguais, portanto, o produto BA não está definido.

2.7 Encontre AB, onde

Como A é uma matriz e B é , o produto AB está definido e é uma matriz . Multiplicamos as linhas de A pelas colunas de B para obter

2.8 Encontre (a) O primeiro fator é e o segundo é , portanto, o produto está definido como uma matriz .

(b) O produto não está definido, porque o primeiro fator é e o segundo fator é (c) O primeiro fator é e o segundo é portanto, o produto está definido como uma matriz linha .

2.9 Certamente 0A 0 e A0 0, onde 0 indica matrizes nulas (de tamanhos possivelmente distintos). Encontre matrizes A e B sem entradas nulas tais que AB 0.

Basta tomar Então

No produto de S AB por C, a il-ésima entrada de (AB)C é

Por outro lado, no produto de A por T BC, a il-ésima entrada de A(BC) é Essas duas somas são iguais, ou seja, a il-ésima entrada de (AB)C é igual à de A(BC). Assim, (AB)C A(BC).

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