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Alguns Métodos de Resolução de Equações Diferenciais e duas Aplicações à Engenharia Civil

Orientador: Profo Dr. André Vicente

CASCAVEL - PR 2016

Guilherme de Loreno

Alguns Métodos de Resolução de Equações Diferenciais e duas Aplicações à Engenharia Civil

Monografia apresentada como requisito parcial à aprovação na disciplina Introdução à Pesquisa (Monografia) do Colegiado de Matemática, Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas, Universidade Estadual do Oeste do Paraná, campus Cascavel.

Orientador: Profo Dr. André Vicente

Cascavel - PR 2016

Agradecimentos

Agradeço primeiramente o meu orientador André Vicente, pela paciência e por todo o seu conhecimento compartilhado. Todos os meus colegas e professores que, com certeza, de alguma forma contribuíram com esse trabalho e por fim a minha família, por sempre terem acreditado em mim.

Se eu vi mais longe, foi por estar sobre ombros de gigantes. Isaac Newton.

Sumário

1 Introdução 1 2 Equações Diferenciais 3 3 Métodos de resolução 4 4 Equações Lineares de Segunda Ordem 15 5 Soluções em Série de um Ponto Ordinário 31 6 Equações de Euler 34 7 Soluções em Série em torno de um Ponto Singular Regular 39

8.1 Transformada Inversa de Laplace47
8.2 Solução de Problemas de Valores Iniciais47

8 Transformada de Laplace 41

9.1 Deflexão de Vigas48
9.2 Flambagem de Colunas5

Resumo

Nesse trabalho apresentamos alguns métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem. Mais precisamente, o método de variáveis separáveis, equações homogêneas, equações exatas, fator integrante, equações lineares, as equações de Bernoulli e Ricatti, equações homogêneas com coeficientes constantes, soluções de equações lineares homogêneas, de equações lineares homogêneas com coeficientes não constantes; o método de redução de ordem, método dos coeficientes indeterminados, variação dos parâmetros, soluções em série de um ponto ordinário, equações de Euler, soluções em série em torno de um ponto singular regular e por fim, a Transformada de Laplace. Também apresentamos de maneira introdutória duas aplicações à Engenharia Civil.

Palavras Chave: Equações Diferencias ordinárias, Métodos de soluções para EDO de primeira e segunda ordem, Transformada de Laplace, Deflexão de vigas, Flambagem.

1 Introdução

Esse trabalho teve por objetivo apresentar detalhadamente e de forma aprofundada, a nível de graduação, alguns métodos de resolução de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s), que nada mais é que uma equação que contém derivadas de uma ou mais variáveis. Muitos dos princípios que regem fenômenos físicos são relações envolvendo a taxa de variação instantânea, a qual tal fenômeno ocorre, em linguagem matemática as relações são equações e as taxas de como elas ocorrem são as derivadas. Dessa forma, um problema físico, por mais simples que ele seja, pode acabar recaindo no uso de equações diferenciais, assim é de suma importância ter um conhecimento sobre esse tópico. De maneira geral, um problema físico, que faz o uso de equações diferenciais é chamado de modelo matemático.

Apresentamos também alguns métodos de resolução como, variáveis separadas, substituição algébrica, método das equações exatas, fator integrante e um outro um método que utiliza uma integral conhecida como Transformada de Laplace, apresentamos tais tipos de equações desde a sua definição, incluindo também exemplos resolvidos detalhadamente e aplicações, para que o leitor possa se familiarizar de como essas equações podem ser utilizadas.

O trabalho foi dividido em 9 seções. Na seção 2 o foco foi definir o que é uma equação diferencial de maneira geral e precisa, assim como suas classificações quanto a sua ordem e também o seu tipo, isto é, se é ordinária ou parcial, apesar de todo o estudo ser focado em EDO’s. Também definimos as equações diferencias em lineares e não lineares, ao final da seção um exemplo a fim de fixar bem as ideias de cada uma das definições apresentadas. Nas seções 3 a 8, o foco foi apresentar os métodos de solução de equações diferenciais ordinárias. Nessas seções o objetivo foi discutir alguns métodos de resolução de EDO’s, como, variáveis separáveis, equações homogêneas, de equações exatas, fator de integração, substituições e também algumas equações especiais, por exemplo, as equações de Bernoulli e Ricatti . Além de descrever os métodos e mostrar a sua respectiva eficiência de encontrar soluções, outro objetivo foi de discutir as propriedades das soluções das EDO’s, pois cada método de resolução, muitas vezes se restringe a uma pequena família de equações. Cada tópico de um método de solução é iniciado com uma breve discussão ou definição do tipo (ou família) de equações que o método em questão pode solucionar, ou ainda, indicar uma saída para outro, isto é, fazer alguma manipulação na equação a fim de podermos utilizar algum método já conhecido previamente. Após essa discussão, apresentamos o método em si, sempre de maneira algébrica e de maneira geral, buscando manter o rigor matemático. Isso tudo é feito passo a passo, para que e o leitor possa acompanhar com clareza, além do mais, cada passagem é sempre argumentada e justificada.

Ao final da discussão, com o objetivo de fixar as ideias, foram feitos um ou dois exemplos, os quais buscamos trazer sempre de forma detalhada, a fim que quem faça a leitura possa compreender de forma clara, pelo menos, a essência do método apresentado de maneira geral. Os teoremas e proposições, em que suas demonstrações não fogem totalmente do escopo do trabalho, são todos demonstrados, seguindo sempre um rigor matemático e com cada passagem justificada.

Na última seção, apresentamos alguns exemplos de aplicações de EDO’s pois, dentro do estudo de Equações Diferenciais, e de suas diversas aplicações em muitas áreas da Ciência e da Engenharia, discutimos como esse tipo de equação surge a partir da tentativa de formular, ou descrever certos problemas físicos em termos matemáticos. Abordamos um problema, que é muito importante em engenharia, é determinar a deflexão estática de uma viga elástica causada por uma massa ou força externa, na qual atuam nas vigas causando distorções e deformações, que é descrita através de uma Equação Diferencial, assim como também a flambagem de colunas. Como esses problemas enunciados, envolvem EDO’s, eles foram apresentados e resolvidos utilizando algum dos métodos discutidos nas seções precedentes.

Como o foco, de maneira geral, foi o de fazer um trabalho introdutório de Equações Diferenciais, utilizamos três livros, que são nesse mesmo nível, foram utilizados [ABUNAHMAN, 1984], [BOYCE, DIPRIMA, 2011] e [ZILL, CULLEN,2001] , os quais serviram como base para toda a teoria descrita, assim dos exemplos resolvidos. Já toda a parte de aplicações, utilizamos o livro [HIBBELER, 2004], o qual não possui rigor matemático e nem todos os resultados são provados(por não ser foco do livro), por exemplo, a relação da curvatura de uma viga, em tal livro ela é apenas apresentada, sem qualquer tipo de explicação, contudo, nesse trabalho ela foi apresentada e demonstrada rigorosamente. Com a utilização dessas obras conseguimos, de maneira satisfatória, apresentarmos um pouco de Equações Diferencias, assim como duas importantíssimas aplicações.

2 Equações Diferenciais

Como descrito na introdução, nesta seção apresentaremos algumas definições básicas e exemplos.

Definição 1. Uma equação diferencial parcial (EDP) em n variáveis independentes x1,...,xn

x1,, xn, u,

é uma equação na formaF ( ∂u

,,
,,
,,

∂xk n

A função F é dada e u = u(x) é a função que queremos determinar. Se u(x) satifaz (1), então u é chamada de solução da equação diferencial parcial.

Quando n = 1, tem-se que ∂u ∂x1 = u′ é derivada ordinária de u e a equação é chamada de equação diferencial ordinária (EDO), em outras palavras, podemos dizer que quando existe apenas uma variável independente, a equação é dita ordinária e quando há mais de uma, a equação é dita de derivadas parcias. O objeto de estudo desse trabalho são as equações diferenciais ordinárias.

A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada de maior ordem presente na equação. De maneira geral temos que, a equação

F(x, y, y′,, y(n)) = 0
ordem 1, 2, 3, respectivamente, e y(4), y(5),,y(n) para derivadas de ordem n, para n > 4.

é uma equação diferencial de ordem n. Vale ressaltar a notação que adotaremos daqui em diante para as derivadas de uma função y(x), usaremos a seguinte notação y′,y′′,y′′′ para derivadas de Definição 2. Uma equação diferencial ordinária

F(x, y, y′,, y(n)) = 0
é dita linear se F é uma função linear das variáveis y, y′,,y(n). Analogamente define-se

equações diferenciais parciais lineares. Assim, a equação diferencial ordinária linear de ordem n é

an(x)yn + an−1(x)yn−1 ++ a1(x)y′ + a0y = g(x),
onde a0, a1, a2,, an são funções conhecidas.

Observemos que, a função y e suas derivadas são todas do primeiro grau, pois todas tem a potência de cada termo como sendo 1 e além do mais, cada coeficiente depende apenas de x. Uma equação que não é linear é dita não-linear.

Exemplo 1. As equações xy′ + y = 0 e y′′ − 2y′ + y = 0 são equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem, respectivamente. Em contra partida, as equações y′′ − 2y′ = x e y′′′ + y2 = 0 são equações diferenciais ordinárias não lineares de segunda e terceira ordem, respectivamente.

Soluções de Equações Diferenciais

3 Métodos de resolução

Nesta seção, discutiremos alguns métodos elementares de resolução de equações diferenciais ordinárias de ordem 1, cada método será explicado e acompanhado de um exemplo e fim de ilustrar o método.

Variáveis Separáveis Se uma equação diferencial ordinária de primeira ordem puder ser escrita na forma

então é possível resolvê-la usando o método de variáveis separáveis, o qual consiste em escrever a equação de maneira apropriada e integrá-la diretamente. Lembrando a definição de diferenciável dy = y′ dx, podemos reescrever (2) da seguinte forma

O argumento de que é possível integrar (3) diretamente com respeito à variáveis diferentes é o seguinte: a equação (2) pode ser reescrita como

Integrando ambos os membros com respeito a x, temos que∫

Observando o Teorema de Mudança de Variáveis com u = y e du = y′(x)dx, obtemos que∫

que após calcular as integrais em (4) obtemos a solução de (2).

Exemplo 2. Consideremos a equação diferencial ordinária de primeira ordem

Observemos que a equação diferencial dada pode ser escrita como

Dessa forma, podemos reescrevê-la de modo que

logo, 1

assim,

Assim, podemos resolver a equação diferencial acima, utilizando o método de variáveis saparáveis, isto é, agora devemos apenas integrar diretamente ambos os lados de (5), assim segue que ∫ 1

assim

portanto

Nesse trabalho também escreveremos uma equação diferencial de primeira ordem y′ = F(x,y) na seguinte forma dy = F(x,y).

Equações Homogêneas Definição 3. Uma função f(x,y) é denominada homogênea se para algum n ∈ R, cumpre-se

Assim equações diferenciais homogêneas são as da forma P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, onde P e Q são funções homogêneas do mesmo grau. Uma equação diferencial homogênea pode ser resolvida por meio de substituição algébrica, ou seja, chamando y = ux ou x = vy, transformando a equação inicial em outra de ordem separável. Temos também uma equação diferencial homogênea sempre pode ser escrita como

Exemplo 3. Consideremos equação diferencial ordinária homogênea a seguir

De fato a equação dada é homogênea pois, se P(x,y) = x − y e Q(x,y) = x então

Como a equação é homogênea, podemos resolvê-la utilizando o método para equações diferencias homogêneas, fazendo as devidas substituições.

segue que,

Observemos que essa última equação é uma equação diferencial de variáveis separáveis e que pode ser resolvida por meio de integração direta. Assim, segue que∫ −1

Equações Exatas

Definição 4. Uma equação do tipo P(x,y)dx+Q(x,y)dy = 0 é denominada diferencial exata quando existe f(x,y) tal que

E uma equação diferencial do tipo P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 é dita equação exata se P(x,y)dx + Q(x,y)dy for diferencial exata.

Critério para um diferencial exata

Teorema 1. A equação P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, onde P e Q são contínuas e deriváveis é diferencial exata se, e somente se, ∂P

Método de Solução

Dada uma equação diferencial do tipo P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. Primeiro devemos verificar se a equação é exata, para isso verifica-se, se (6) é cumprida. Posteriormente suponha

daí podemos encontrar f integrando (7), logo

em que g é uma função que depende de y, que é a constante de integração. Agora derivando (8) em relação a y e supondo que ∂f

Disso, segue que

Por fim, integre (9) em relação a y e substitua em (7), solução será dada por f(x,y) = c, com c ∈ R.

Exemplo 4. Consideremos equação diferecial ordinária exata encontraremos as suas soluções, utilizando o método para equações diferenciais exatas, apresentado anteriormente.

É possível verificar que de fato essa equação diferencial é do tipo exata, logo existe f(x,y)

Derivando (12) em relação a y e igualando a (1), temos que

Fator de Integração

Quando a expressão P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 não é uma equação diferencial exata, ou

é possível convertê-la em uma equação exata, multiplicando-a por uma função µ(x,y). A essa função µ, dá-se o nome de fator integrante. Apresentaremos mais adiante alguns resultados envolvendo fator integrante.

Equações Lineares

Inicialmente havíamos definido a forma geral de uma equação diferencial linear. Relembrando, toda equação diferencial ordinária linear é escrita como

an(x)y(n) + an−1(x)y(n−1) ++ a1(x)y′ + a0y = g(x).

Logo uma equação diferencial ordinária linear de ordem 1 é uma equação do tipo,

Procuramos uma solução (13) em um intervalo I no qual a função y = f(x) é contínua em I. Dessa forma, suponha que (13) possui uma solução, assim, dividindo ambos o membros

Toda equação diferencial linear tem a propriedade de sempre ser possível encontrar um fator integrante µ(x), logo multiplicando (14) por µ(x), que é o fator integrante que queremos encontrar, tem-se µ(x)dy + µ(x)(P(x)y − f(x))dx = 0 que é uma equação diferencial exata. Disso e a partir do Teorema 1, segue que

Observe que essa última equação nada mais é que a derivada de µ(x) em relação a x, isto é,

ou dµ

em que (15) é uma equação diferencial separável, sendo assim podemos determinar µ(x), dessa forma é possível aplicar o método que já conhecemos, para resolver esse tipo de equação diferencial ordinária separável, assim segue que

Exemplo 5. Consideremos a equação diferencial ordinária,

Observemos que, (16) é uma equação diferencial ordinária linear de ordem 1, dessa forma podemos utilizar o método do fator integrante a fim de resolvê-la. Temos de (16), que

Integrando ambos os lados da equação, obtemos∫

Equações de Bernoulli, Ricatti

Nessa seção, consideraremos três equações clássicas que podem ser transformadas em equações já estudadas em seções anteriores, e em alguns casos, apenas fazendo uma mudança de variável.

Equações de Bernoulli Uma equação diferencial na forma é chamada equação de Bernoulli. Primeiramente, temos que (17) é equivalente a

Dividindo ambos os membros por yn tem-se

e sendo y uma função de x tem-se que t também é. Derivando (20) em relação a x, obtemos

Substuindo (21) em (19):

que é uma equação linear.

Exemplo 6. Considerando a equação diferencial ordinária

n = 2. Dividindo (2) em ambos os membros por y2

fazendo

Substituindo em (23), temos dt que é uma equação linear com P(x) = −1x . Logo o fator integrante é

Assim (24) torna-se,

E por fim, integrando (25),

Equações de Ricatti

Uma equação não-linear na forma

é chamada de equação de Ricatti, onde P,Q e R são funções de x. Observemos que, a equações ordinárias lineares e as de Bernoulli são casos particulares das equações de Ricatti, a primeira para quando R(x) = 0, e a segunda quando P(x) = 0.

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