Anéis Ordenados

Anéis Ordenados

Aneis Ordenados

Prof.o Dr. Clezio Braga Disciplina: Algebra

CASCAVEL - PR 2017

1. Introducao 1 2. Definicao 1 3. Alguns resultados sobre Aneis Ordenados 2 3.1. Valor Absoluto 5 4. Exercıcios 7 Referencias 1

1. Introducao

Nesse trabalho estaremos sempre considerando um anel de integridade (A,+,·), com as operacaos de adicao (+) e multiplicacao (·) usuais, alem disso, estaremos supondo que exista uma relacao de ordem total sobre o conjunto A, isto e, a relacao R sobre A definida por

Se xRy entao valem as seguintes propriedades, i. Se x ≤ y e y ≤ x entao x = y. i. Se x ≤ y e y ≤ z entao x ≤ z. i. Dados x,y ∈ A entao ocorre x ≤ y ou y ≤ x, para x,y,z ∈ A, Alem do mais quando i),i),ii) sao cumpridas e tambem se verificam os axiomas

para x,y,z ∈ A. Entao a relacao R definida anteriormente, e dita relacao de ordem compatıvel com a estrutura de anel de A. Observemos tambem que se x,y ∈ A e x < y significa que x precede y (na relacao considerada) e que, obrigatoriamente, x 6= y, ou ainda, dizemos que x precede estritamente y.

A expressao x ≤ y e lida x e menor do que ou igual a y e usamos a notacao x < y (que e lida x e menor que y) para indicar que x ≤ y e x 6= y, qualquer umas dessas expressoes, assim como suas variantes, sao chamadas de desigualdades. Alem do mais, se x > 0, diz-se que x e positivo e caso x < 0, diz-se que x e negativo. Em um anel ordenado, um elemento ser negativo ou positivo determina o sinal do mesmo.

Definicao 1. Um anel de integridade (A,+,·) tal que no conjunto A existe uma relacao de ordem total compatıvel com a estrutura de anel A e dito anel ordenado.

Exemplos classicos de aneis ordenados sao os aneis Z,Q,R com as relacoes usuais de ordem sobre os respectivos conjuntos. 1

2 GUILHERME DE LORENO 3. Alguns resultados sobre Aneis Ordenados

Proposicao 1. Seja A um anel ordenado e sejam x,y,z ∈ A, e valido i. Se x ≤ y se, e somente se, x + z ≤ y + z. i. Se x < y se, e somente se, x + z < y + z.

Demonstracao. i) ⇒) Segue diretamente da definicao de anel ordenado.

Corolario 1. Seja A um anel ordenado e sejam x,y ∈ A. Sao equivalentes as afirmacoes: a) x ≤ y. b) 0 ≤ y −x. c)−y ≤ −x.

Demonstracao. a) ⇒ b)

Corolario 2. Seja A um anel ordenado e sejam x,y ∈ A. Sao equivalentes as afirmacoes: a) x < y. b) 0 < y −x. c)−y < −x.

ANEIS ORDENADOS 3

Demonstracao. Faremos a demonstracao apenas de a) ⇒ b), as outras implicacoes sao feitas usando raciocıo analogo.

Proposicao 2. Seja A uma anel ordenado. Se

Demonstracao. De (1) segue que

x1 ++ xn ≤ y1 + ... + yn.

Demonstracao. Basta raciocinar, a prova do teorema 1, por inducao. Proposicao 3. Seja A um anel ordenado e sejam x,y,z ∈ A quaisquer. Entao,

Demonstracao.

i) Temos que x ≤ y e como, por hipotese, A e um anel ordenado, isto e, se tivermos que 0 ≤ x e 0 ≤ y entao 0 ≤ xy, disso segue que

4 GUILHERME DE LORENO

O proximo corolario enuncia a “famosa” regra dos sinais.

Corolario 4. Seja A um anel ordenado e sejam x,y,z ∈ A. Entao,

Corolario 5. Seja A um anel ordenado e x ∈ A. Entao,

Demonstracao.

i) Como A e totalmente ordenado, entao temos duas possibilidades: x ≥ 0 ou x ≤ 0. Para a primeira possibilidade, segue, do item i) do Corolario 4, que

ANEIS ORDENADOS 5 3.1. Valor Absoluto.

Definicao 2. Seja x ∈ A. O valor absoluto (ou modulo) do elemento x e definido por

Tambem podemos definir o modulo um elemento x, como sendo |x| = max{x,−x}, em outras palavras, o moudulo de x e o maior entre os elementos x e −x.

Proposicao 4. Seja A um anel ordenado e x,y ∈ A. Entao,

Demonstracao. Para os casos x = y = 0 as afirmacoes dos itens acima sao imediatas. Consideremos entao x 6= 0 e y 6= 0.

6 GUILHERME DE LORENO

Agora enunciaremos algumas definicoes importantes, de algumas estruturas algebricas, no que diz respeito a aneis ordenados.

Definicao 3. Seja A um anel ordenado e um conjunto P ⊂ A, tal que os elementos de P sao chamados elementos positivos e os de −P = {−x|x ∈ P} sao os elementos negativos de A.

Definicao 4. Um anel ordenado A e dito um anel bem ordenado se todo subconjunto de P (definido anteriormente) possui mınimo.

Definicao 5. Um anel ordenado A e dito arquimediano se, para qualquer que seja a ∈ A existe n ∈ N∗ tal que

n1A = 1A + 1A ++ 1A︸ ︷︷ ︸

n vezes

Um exemplo de anel bem ordenado e arquimediano e o anel Z. De fato, pois qualquer que seja o subconjunto K ⊂ P = Z+ possui um menor elemento, isso decorre do princıpio do menor numero inteiro. Alem do mais, seja a ∈ Z qualquer, fazendo |a| = m segue que,

Proposicao 5. Todo anel de integridade bem ordenado e arquimediano.

Demonstracao. Seja A um anel de integridade bem ordenado. Suponha, por um momento, que A nao seja arquimediano, isto e, para todo n ∈ N∗ existe a ∈ A, tal que

note que o conjunto L possui apenas elementos positivos, isto e, L ⊂ P. Suponha que a − r1A seja o mınimo de L, disso notemos que a − (r + 1)1A tambem pertence a L (pois como r ∈ N∗ entao r + 1 ∈ N∗ tambem). Alem disso, temos que

ANEIS ORDENADOS 7 4. Exercıcios

Exercıcio 1. Prove por inducao as seguintes propriedadas num anel ordenado A:

Resolucao. a)

Corolario 5, segue que a2 > 0. • Suponha valido para n, isto e,

Resolucao.

8 GUILHERME DE LORENO

Suponha que, ϕ(b − a) = 0, disso e pelo fato de ϕ ser injetora(por hipotese, de ser uma isomorfismo), segue que o que contraria a hipotese de a < b. Portanto,

Exercıcio 3. Desigualdade de Bernoulli. Seja K um corpo ordenado, isto e, K e um corpo onde existe P ⊂ K, chamado conjunto dos elementos positivos de K , tal que

Resolucao. Provaremos por inducao.

• Para n = 1 se verifica. De fato, pois

Exercıcio 4. Suponhamos que seja possıvel ordenar um anel de integridade de suas maneiras

(nao necessariamente distintas) e que P1 e P2 sejam os elementos positivos de cada uma dessas relacoes de ordem. Mostre que se P1 ⊂ P2 entao P1 = P2.

Resolucao.

Queremos provar que P2 ⊂ P1. Primeiramente, note que

Assim, seja a ∈ P2, dessa forma temos duas possibilidades:

ANEIS ORDENADOS 9

• Se a ∈ P2 entao a ∈ P1. De fato, pois pela definicao do conjunto P1 e como a tambem pertence a A, temos que a ∈ P1.

Exercıcio 5. Prove que o anel C dos complexos nao e ordenavel.

Resolucao.

Suponha, por um momento, que C seja ordenavel. Logo, para qualquer z ∈ C vale o Corolario 5, desse modo tomemos em particular z = i. Logo

o que e uma contradicao. Portanto, o anel C nao e ordenado.

Exercıcio 6. Sejam A um anel ordenado e S um subconjunto de A. Diz-se que S e limitado superiormente se existir a ∈ A tal que x ≤ a, qualquer que seja x ∈ S. Diz-se que S tem elemento maximo se existir b ∈ S tal que x ≤ b, qualquer que seja x ∈ S. Mostre que se S tem elemento maximo, entao esse elemento e unico.

Resolucao.

Suponha que b e b′ sejam elementos maximos de S, e imediato que b,b′ ∈ S. Da definicao, dada acima, cumpre-se

Se em (4) tivessemos que b < b′ terıamos uma contradicao com (5). Dessa forma, temos que b = b′. Portanto, o elemento maximo e unico.

Resolucao.

10 GUILHERME DE LORENO

Por fim, multiplicando d2 em ambos o lado da desigualdade, obtemos a · b · d2 ≤ b2 · c · d.

⇐) Reciprocamente suponha a · b · d2 ≤ b2 · c · d. Primeiramente, multiplique d−2 em ambos os lados da desigualdade, obtemos

Agora multiplicando b−2 em ambos os lados, da desigualdade anterior, segue que a · b ≤ c · d−1.

ANEIS ORDENADOS 1 Referencias

Domingues, Hygino; Iezzi, Gelson. Algebra Moderna. 4a Edicao Reformulada. Sao Paulo: Atual, 2003.

Evaristo, Jaime; Perdigao, Eduardo. Introducao a Algebra Abstrata. 2a edicao. Maceio: Universidade Federal de Alagoas, 2011.

Hernstein, Israel . Topicos de Algebra - Polıgono e Editora da USP, 1964.

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