apostila matematica basica pdf

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(Parte 1 de 6)

Apostila de Matemática Básica

Esta apostila tem por finalidade auxiliar os alunos matriculados na disciplina “Matemática Básica – Nivelamento” do Curso de Licenciatura em Matemática do Campus Universitário de Sinop. Nela, estão inseridos os principais conceitos matemáticos em nível básico, sendo requisitos necessários para a compreensão de conteúdos que serão abordados em outras disciplinas do curso. Nela, as definições matemáticas aparecem de forma clara e objetiva, além de apresentar exemplos e vários exercícios para a fixação dos conceitos.

Profa. Ms. Luciana M. Elias de Assis

Aula 12
Exercícios Aula 16
Links videoaulas : Aula 19
Aula 212
Exercícios Aula 215
Links videoaulas : Aula 218
Aula 319
Exercícios Aula 327
Links videoaulas : Aula 330
Aula 43
Exercícios Aula 436
Links videoaulas : Aula 436
Aula 537
Exercícios Aula 541
Links videoaulas : Aula 543
Aula 64
Exercícios Aula 646
Links videoaulas : Aula 649
Aula 750
Exercícios Aula 752
Links videoaulas : Aula 754
Aula 85
Exercícios Aula 857
Links videoaulas : Aula 860
Aula 961
Exercícios Aula 964
Links videoaulas : Aula 96
Aula 1068
Exercícios Aula 1069
Links videoaulas : Aula 1071
Aula 172
Exercícios Aula 174

Sumário Links videoaulas : Aula 1...................... 7

AULA 1

Conjuntos Numéricos 1. Conjunto dos Números Naturais

é: 0, 1, 2, 3,, e o conjunto que representa

Os números naturais são usados para indicar uma contagem, uma ordem ou um código. A sequência dos números naturais esta sequência de números é denotado por:

= {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, }

Conjunto dos Números Inteiros

Com o passar dos tempos os números naturais tornaram-se insuficientes para a resolução de todos os problemas matemáticos e, na busca de suprir essas necessidades, foi criado o conjunto dos números inteiros, que é composto pelos números naturais (inteiros positivos e o zero) e os números inteiros negativos.

O conjunto dos números naturais é denotado por:

= { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }

Podemos representar os números inteiros em uma reta numérica. Veja:

Módulo, ou valor absoluto de um número inteiro

Podemos determinar na reta numérica, a distância de qualquer ponto em relação à origem (representada pelo zero).

Assim, a distância entre qualquer ponto e a origem da reta numérica é chamanda de valor absoluto ou módulo de um número associado a esse ponto.

Por exemplo: o valor absoluto do número +4 é 4 (a distância do ponto 4 à origem é 4).

Da mesma forma, o módulo de -3 é 3 (a distância do ponto -3 à origem é 3)

Notação de módulo: |-a| = a

Conjunto dos Números Racionais

Os números racionais são todos os números que podem ser colocados na forma de fração, com o numerador e denominador , ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativas.

Pode ser representado por:

Exemplos:, ,

Conjunto dos Números Irracionais

Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, são números que não podem ser escrito na forma de fração.

Exemplos: Os números abaixo têm uma representação decimal não periódica com infinitas ordens decimais.

= 1,41421356

Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Pode ser representado por: = = {x | x é racional ou irracional}

Diagrama geral

e

De onde temos:

Resumo das notações utilizadas para os conjuntos numéricos

conjunto dos números naturais:

conjunto dos números naturais com exceção do zero:

conjunto dos números inteiros:

conjunto dos números inteiros não nulos: conjunto dos números inteiros não negativos:

conjunto dos números inteiros positivos: conjunto dos números inteiros não positivos:

conjunto dos números inteiros negativos: conjunto dos números racionais:

conjunto dos números racionais não nulos:

conjunto dos números racionais não negativos:

conjunto dos números racionais positivos:

conjunto dos números racionais não positivos:

conjunto dos números racionais negativos:

conjunto dos números reais: conjunto dos números reais não nulos:

conjunto dos números reais não negativos:

conjunto dos números reais positivos:

conjunto dos números reais não positivos:

conjunto dos números reais negativos:

Intervalos reais

São subconjuntos definidos por desigualdades. Para observarmos os diferentes tipos de intervalos reais, consideramos os números reais a e b, tal que a < b.

Intervalo fechado: ou

ab

Intervalo aberto: ou

ab

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: ou

ab

Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita: ou

ab

Intervalo ilimitado à esquerda e fechado à direita: ou

Intervalo ilimitado à esquerda e aberto à direita: ou

Intervalo fechado à esquerda e ilimitado à direita: ou

Intervalo aberto à esquerda e ilimitado à direita: ou

Estudaremos agora, as quatro operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a matemática é construída a partir dessas operações: adição, subtração, multiplicação e divisão.

Adição de Números Naturais

A primeira operação fundamental na matemática é a adição. Onde esta operação esta ligada a ideia de juntar, acrescentar algo.

Exemplo:

Propriedades da Adição

Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais resulta em um número natural.

a + b = c, onde a, b, c

Exemplo: 19 + 3 = 2

Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer, é possível associar de quaisquer modos, conforme ilustrado a seguir.

(a + b) + c = a + (b + c)

Exemplo: (2 + 6) + 1= 9 = 2 + (6 +1)

será o próprio número natural. Assim,

Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado a + 0 = a

Exemplo: 5 + 0 = 5

Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma. Assim:

a + b = b + a

Exemplo: 6 + 10 = 16 = 10 + 6

Subtração de Números Naturais

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo, ou seja, tirar ou diminuir alguma coisa. O resultado obtido através dessa operação e denominado diferença.

Exemplo:

Diante da operação de subtração, são retiradas algumas propriedades.

O conjunto não é fechado em relação à operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a .

O conjunto não possui elemento neutro, em relação à operação de subtração: 6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 6

Logo: 0 – 6 6 – 0

A subtração no conjunto não admite a propriedade comutativa, pois: 4 – 5 5 -

4. A subtração no conjunto não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4) – 2 10 – (4 -2)

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicador ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes:

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geram o produto, são chamados fatores. Usamos x ou •, para representar a multiplicação.

Propriedades da Multiplicação

Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais , pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em .

Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes. Assim,

(a b) c = a (b c)

Por exemplo: (3 4) 5 = 3 (4 5) = 60

Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1 n = n 1 = n

Por exemplo: 1 7 = 7 1 = 7

Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, Assim, a b = b a

Por exemplo: 3 4 = 4 3 = 12

Distributiva: Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar as resultados obtidos. Assim, a (p + q) = a p + a q

Por exemplo: 6 (5 + 3) = 6 5 + 6 3 = 48

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível obter um número natural como resultado na divisão de outros dois números naturais.

Por exemplo: 8 3 = 2,6 Logo 2,6 não pertence ao conjunto .

Relação essencial numa divisão de números naturais

1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor que o dividendo. Por exemplo: 35 : 7 = 5

2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é produto do divisor pelo quociente. Por exemplo: 35 = 5 x 7

3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n 0 = q e isso significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

EXERCÍCIOS – Aula 1

01) Pensei em dois números pares cuja soma é 184. Um deles é o dobro do outro mais 4 unidades. Em que números pensei?

02) A diferença entre dois números é 103.

Quais podem ser esses números? (tente encontrar pelo menos 5)

03) Um fazendeiro tem 1394 vacas. Se vender 484 delas para seu compadre, ambos ficarão com a mesma quantidade de vacas. Quantas vacas o compadre possui?

04) Responda: Quantas unidades há em 43 dúzias de bananas? Quantos dias há em 50 meses? (considere um mês com 30 dias)

05) Em um trem com 8 vagões de passageiros, cada vagão tem 28 poltronas de dois lugares cada uma. Além disso, permite-se que, em cada vagão, até 20 pessoas possam viajar em pé. Qual é a lotação máxima permitida nesse trem?

06) Compare e escreva igualdades aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição (ou à subtração): a) 6.(10 + 5) = b) 4.(8 – 7 ) = c) 5.(a + 8) = d) 3.4 + 3. 7 =

07) Em uma semana, Juca vendeu 65 caixas completas de picolés e 8 picolés avulsos. Cada caixa completa contém uma dúzia de picolés. a) Quantos picolés ele vendeu nessa semana? b) Se sua cota semanal de vendas é de 80 caixas completas, quantos picolés faltam para ele atingi-la?

08) Marcos pensou em um número e, em seguida, dividiu-o por 8. A divisão foi exata e o quociente foi 15. Em qual número ele pensou?

09) Numa divisão, o quociente é 18, o resto é 7 e o divisor é 45. Calcule o dividendo.

10) Uma loja de produtos de limpeza possui em seu estoque 130 caixas de detergente. Cada caixa contém duas dúzias de frascos. Um cliente fez uma encomenda de 1200 frascos. Quantas caixas restaram no estoque dessa loja?

1) Célia e Maria colecionam papéis de carta.

Célia tem o triplo da quantidade de papéis de Maria. As duas juntas possuem 244 papéis de carta. Quanto tem cada uma?

a) 323b) 261 c) 352 d) 327

12) Três amigos brincavam de adivinhar quantas figurinhas havia na coleção de Anne. Seus palpites foram 294, 363 e 356. Um deles errou por 3 figurinhas, outro errou por 36 e outro por 29, quantas figurinhas Anne tem? e) 341

13) A professora Daniela deseja presentear os 2 alunos da sua classe com lápis e canetas. Ela dispõe de 49 lápis e 32 canetas. Sabendo que nenhum aluno ficou sem receber presentes e que todos os presentes foram distribuídos, o que podemos afirmar com certeza? (a) Algum aluno ficou sem lápis. (b) Todos os alunos receberam pelo menos duas canetas. (c) Algum aluno recebeu mais de três itens. (d) Nenhum aluno recebeu 10 lápis. (e) todos receberam o mesmo número de itens.

14) Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica, portanto, nas casas usam-se velas à noite. Na casa da Joana, usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente, e com quatro desses tocos de velas, Joana fabrica uma nova vela. Durante quantas noites Joana poderá iluminar sua casa dispondo de 39 velas? (a) 10 (b) 48 (c) 51 (d) 39 (e) 50

15) Responda:

a) Qual é o menor número natural? b) Existe o maior número natural? c) Quantos números naturais existem? É possível responder?

16) Responda: a) Existe o menor número inteiro? b) Quais os números naturais entre -3 e 5? c) Quais os números inteiros entre -5 e 5?

17) Pedro pensou em um número inteiro.

Multiplicou o valor absoluto por 10 e obteve 250. Em que número Pedro pensou?

18) O antecessor de -100 é: a) 9 b) 101 c) -9

a) -20 _ ;b) 67 _ ; c) -2 _

19) Complete usando ou um número:

20) O que ocorre com os módulos de dois números opostos ou simétricos?

21) Responda: a) Qual é o valor de –(-35)? b) Qual é o oposto do oposto de -86?

23) As letras m e n representam números inteiros. Se m = |-49| e n = |+6|, então: a) Qual é o valor de m? E o valor de n? b) Qual é o valor da expressão m – n?

24) Responda: a) Que número está mais distante da origem: -900 ou -1000? b) Que número está mais próximo da origem: -60 ou 200? Qual deles é o maior?

26) As letras a, b, x e y represntam números naturais. a) Se o produto (x.y) é 30, então qual é o valor de 2.(x.y)? b) Se a soma (a + b) é 10, então qual é o valor de 7.(a + b)? c) Se a diferença (x – y) é 50, então qual é o valor de 6.(x – y)?

27) O produto de dois números é 40. a) Multiplicando-se um dos fatores por 3, qual será o novo produto? b) Multiplicando-se os dois fatores por 3, qual será o novo produto? c) Multiplicando-se um dos fatores por 2 e o outro por 5, qual será o novo produto? 28) A soma de dois números é 80.

Multiplicando-se cada um desses números por 6, qual será a nova soma? 29) Considere que as letras a e b representam números naturais e que a + b = 45 Responda: a) Qual é o valor de (a + b) + 100? b) Qual é o valor de (a + b) - 100?

30) Quatro números naturais são consecutivos. Um deles é 9. Nessa situação podemos afirmar que a soma desses números: a) Pode ser maior que 400. b) É sempre maior que 400 c) É sempre menor que 400. d) Nenhuma das anteriores é verdadeira.

31) Nesta figura, as letras x, y e z representam números naturais. Podemos afirmar que:

y402 x 1000 z

a) x, y e z são escritos com 4 algarismos. b) y< x < 1000 c) x < y < z d) x + y + 402 = z

32) Luis tem uma coleção de bolinhas de gude. Ontem ele ganhou 24 bolinhas novas de seu primo e ficou com 150.

Desse modo, podemos afirmar que, antes de ganhar esse presente de seu primo, Luís tinha: a) 124 bolinhas b) 125 bolinhas c) 174 bolinhas

3) As letras a e b representam números naturais e a+b=500. Então, podemos afirmar que (a + b) 20 é igual a:

a) 5000 20;b) 25; c) 2500; d) 250

34) Represente cada conjunto escrevendo seus elementos entre chaves. a)

b) c) d)

35) Represente geometricamente: a)

b) c) d) e) f)

36) Escreva o intervalo correspondente a cada representação geométrica: a)

-34
21
-150

b) 10 c) d) e)

-23-5

19) a) ; b) ; c)

Links videoaulas: aula 1

Videoaula 1 – Conjuntos Numéricos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/conjuntos-numericos

Videoaula 2 – Conjuntos Numéricos 1 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/conjuntos-numericos-1

Videoaula 3 – Adição Básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/adicao-basica

Videoaula 4 – Adição nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/adicao-nivel-2-video-1 Videoaula 5 – Soma nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/soma-nivel-2-video-21

Videoaula 6 – Soma nível 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/soma-nivel-31

Videoaula 7 – Soma nível 4 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/soma-nivel-41

Videoaula 8 – Somando números negativos http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/somando-numeros-negativos

Videoaula 9 – subtração, método alternativo mental http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-metodo-alternativo-mental

Videoaula 10 – subtração Básica http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-basica

Videoaula 1 – subtração nível 2 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-nivel-2

Videoaula 12 – subtração nível 3 http://www.fundacaolemann.org.br/khanportu gues/subtracao-nivel-31

(Parte 1 de 6)

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