Série de fourier

Série de fourier

Capıtulo 1

Serie de Fourier

A funcao f : R → R dada pela a expressao,

onde a◦,an e bn sao os coeficientes da funcao (1.1). O nosso objetivo aqui e encontra os coeficientes da serie de fourier, basicamente encontrar as formulas para calcular esses coeficientes. Mas antes vamos lembrar algumas coisas de calculo e algumas transformacoes de trigonometria.

1.1.1 Propriedades:

i) se f(x) e par, entao ∫ a

1.2 Revisao:

1.2.1 Propriedades:i) ∫ pi

−pi sin(nx)cos(mx)dx = 0, para todo n,m.

i) ∫ pi

−pi sin(nx)sin(mx)dx ⇒

i) ∫ pi

−pi cos(nx)cos(mx)dx ⇒

Bom chega de tanta revisao vamos para o que interessa. Temos a serie (1.1), vamos integrar cada termo da funcao com os intervalos sendo [−pi,pi] → R, mas podemos fazer com outros intervalos. Vai ficar assim:

∫ pi

∫ pi

−pi

∫ pi

−pi resolvendo,

∫ pi

∫ pi

−pi mas porque deu zero a parte ∞∑

Olha so qualquer valor que o argumento (n) assumir no cosseno ou no seno vai ser zero, vamos ver:

∫ pi

−pi an cos(nx)dx = an

∫ pi

−pi cos(nx)dx = an sin(nx)∣∣pi −pi

∫ pi

−pi bn sin(nx)dx = bn

∫ pi

−pi cos(nx)∣∣pi −pi

Conclusao vai ser um somatorio de zeros. Ficamos so com:∫ pi

∫ pi

−pi

∫ pi

−pi logo,

−pi

∫ pi

Agora so falta encontra os coeficientes an e bn para finalizar. O que vamos fazer e multiplicar a toda a funcao por cos(kx) e integrar com os intervalos

∫ pi

∫ pi

−pi

∫ pi

−pi bn sin(nx)cos(kx)dx

Eu vejo logo duas coisa interessante.1. ∫ pi

−pi cos(kx)dx = 0, quando integra vai da sin(pi) que e igual a zero.2. ∫ pi

−pi bn sin(nx)cos(kx)dx, sao duas funcoes uma e ımpar e a outra e par, logo o produto e ımpar que sera igual a zero pela propriedade (1.1.1), segundo item (i).

Portanto ficamos so com∫ pi

−pi an cos(nx)cos(kx)dx

Vamos resolver a segunda parte da igualdade

∫ pi

−pi an cos(nx)cos(kx)dx pela propriedade (1.1.1), primeiro item (i), temos:∫ pi

∫ pi

∫ pi

(1.7) Obs: Quando tenho n 6= k sera igual a zero, mas quando tenho n = k sera igual pi.

Exemplo: ∫ pi

usando (1.2) vai ficar assim

∫ pi

∫ pi

nao vou perde tempo pois a primitiva de cosseno e seno e com o intervalo de [0,pi] o resultado vai da zero. Mas quando n = k, aı sim vou ter que calcular.

Exemplo: Quando tiver n = k = 2, olha so usando novamente (1.2).

∫ pi

∫ pi

Daı vai ficar so 1

∫ pi

∫ pi

Entao fica

∫ pi

Agora vamos encontra bn, do mesmo jeito que fizemos anteriormente mas agora vamos multiplicar por sin(kx) e integrar com os mesmo intervalos.

∫ pi

∫ pi

−pi

∫ pi

−pi bn sin(nx)sin(kx)dx para nao perde tempo temos1. ∫ pi

−pi

−pi an cos(nx)sin(kx)dx, e um produto de funcoes onde uma e ımpar e a outra e par logo pela propriedade (1.1.1), segundo item (i).

O que sobra e

∫ pi

−pi bn sin(nx)sin(kx)dx

CAPITULO 1. SERIE DE FOURIER 5 Ta quase terminando!

Vamos resolver a segunda parte da igualdade∫ pi

−pi bn sin(nx)sin(kx)dx sao duas funcoes sao impares e o produto e par usando a propriedade (1.1.1), primeiro item(i), temos

∫ pi

∫ pi

∫ pi

Daı temos os mesmos casos quando n = k = pi e n 6= k = 0. Nao vamos perde tempo com n 6= k.

Olha so.

∫ pi

∫ pi

Entao fica

∫ pi

Conclusao:

∫ pi

∫ pi

∫ pi

Essas sao as formulas para achar os coeficientes da serie.

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