Medida Livro

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(Parte 1 de 5)

Medida e Integracao

Manuel Ricou

Departamento de Matematica Instituto Superior Tecnico

Prefacio

Mas antes do mais: o que entendemos por ∫ b

Bernhard Riemann, 1854

A pergunta acima foi formulada por Bernhard Riemann no trabalho em que definiu o que hoje chamamos o “integral de Riemann”. O objectivo do presente texto e, sobretudo, o de expor respostas que esta pergunta tem tido no decurso dos ultimos 150 anos, e sugerir, mesmo que parcialmente, o enorme impacto que as correspondentes investigacoes tiveram na evolucao da Matematica, durante este mesmo perıodo.

A compreensao de qualquer area da Matematica e facilitada pelo reconhecimento previo do contexto que a viu nascer. No caso da Teoria da Integracao, esse contexto abrange um perıodo temporal particularmente longo. Na realidade, diversos problemas de Geometria e Estatica, resolvidos na Antiguidade Classica com recurso ao chamado “metodo de exaustao”, e envolvendo o calculo de determinadas areas, volumes, e centros de massa, correspondem, na terminologia moderna, ao calculo de integrais. Por esta razao, a Teoria da Integracao e certamente uma das mais antigas areas da Matematica, e beneficia de raızes heurısticas muito sugestivas, que ajudam ao seu entendimento.

A Teoria da Integracao comecou a tomar a sua forma moderna no seculo

XVII, com os trabalhos de Newton e Leibnitz, e de percursores como Fermat e Barrow. Data deste perıodo a surpreendente descoberta que, mais do que qualquer outra, marca o nascimento do Calculo Infinitesimal: a integracao e a diferenciacao sao operacoes inversas uma da outra, o que ainda hoje descrevemos no que dizemos serem os “Teoremas Fundamentais do Calculo”. Datam tambem deste perıodo as primeiras aplicacoes do Calculo a questoes cientıficas fundamentais, muito em especial a Teoria da Gravitacao Universal, do proprio Newton, um marcoımpar na historia do pensamento humano.

Foi apenas nos finais do seculo XVIII que a sofisticacao dos problemas a estudar se comecou a revelar incompatıvel com a informalidade e falta de rigor com que ate aı tinham sido tratadas as nocoes mais basicas do Calculo Infinitesimal. Nos primeiros anos do seculo XIX, o grande matematico Cauchy iniciou um cuidadoso exame das ideias mais centrais do Calculo, como as de limite, derivada, integral, e continuidade, efectivamente lancando i Prefacio as bases da nossa practica actual. Neste processo, apresentou a primeira definicao satisfatoria de integral, se bem que restringindo a sua aplicacao a funcoes contınuas. O desenvolvimento da Teoria da Integracao acelerou-se novamente a partir dos meados do seculo XIX, em especial a partir da publicacao do trabalho de Riemann que mencionamos, desta vez sob a pressao de difıceis problemas de natureza teorica, suscitados pelas ideias de Fourier sobre as series que hoje tem o seu nome. Muito naturalmente, a questao de saber quais as funcoes que podem ser representadas por series de Fourier, originada por sua vez por questoes mais “praticas” relativas a resolucao das principais equacoes diferenciais parciais da Fısica Matematica, levava inevitavelmente a uma reapreciacao da propria nocao de “funcao”. Requeria tambem a integracao de funcoes sobre as quais nao parecia razoavel impor condicoes de continuidade, sob pena de se desvirtuarem alguns dos principais objectivos das investigacoes em curso. A pergunta de Riemann que citamos acima e um reflexo deste tipo de preocupacoes.

A Teoria da Integracao tornou-se desde entao um motor importante na crescente axiomatizacao e abstraccao da Matematica, estas ultimas particularmente evidentes desde os finais do seculo XIX. A tıtulo de ilustracao, o classico Teorema de Riesz-Fischer, demonstrado sob diversas formas no perıodo 1907-1910, revelou uma profunda analogia entre, por um lado, sofisticadas construcoes matematicas formadas por (classes de equivalencia de) funcoes somaveis e, por outro, objectos tao “simples” como a recta real, estudados ha mais de 25 seculos. Em certo sentido, este teorema mostra que as funcoes somaveis “no sentido de Lebesgue” completam as funcoes integraveis “no sentido de Riemann”, precisamente como os numeros reais completam os numeros racionais. Resultados desta natureza foram, e sao, convites abertos a criacao e estudo de novas entidades abstractas, que permitem a exploracao deste tipo de analogia de forma sistematica, rigorosa, e muito eficiente do ponto de vista intelectual.

Hoje, a Teoria da Integracao e certamente um dos blocos fundamentais da Matematica, e e especialmente relevante para multiplas das suas areas fundamentais e aplicadas, como a Analise Funcional, o Calculo de Variacoes, as Equacoes Diferenciais, e a Teoria das Probabilidades. As suas ideias repercutem-se em algumas das teorias mais centrais da Fısica Moderna, e sao prevalentes no esclarecimento de questoes oriundas da Engenharia. Afinal de contas, o “espaco de estados” do atomo de hidrogenio, o mais simples atomo da natureza, e um espaco de (classes de equivalencia de) funcoes de quadrado somavel no sentido de Lebesgue, e o exemplo mais classico na literatura actual de um problema variacional de “descontinuidade livre” resulta de trabalhos sobre reconhecimento de imagens por computador.(1)

Pelas razoes acima, a Teoria da Integracao e naturalmente uma parte

1D.Mumford e J.Shaw, Boundary Detection by Minimizing Functionals, IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, San Francisco 1985.

Prefacio i importante da formacao dos alunos da Licenciatura em Matematica Aplicada e Computacao (LMAC) do IST, e foi sobretudo para estes alunos que o presente texto foi escrito. O ensino da Teoria da Integracao no contexto do 3o ano da LMAC sempre representou para o autor um desafio e uma oportunidade muito interessantes, que se pode resumir nas seguintes questoes:

• Como conciliar a necessidade pratica de apresentar uma area difıcil e extensa, indispensavel a formacao dos alunos, sem a desligar da sua base intuitiva, e sem a tornar demasiado difıcil para a maioria dos estudantes?

• Como transformar o nıvel de abstraccao da teoria, de um obstaculo a sua compreensao, em uma oportunidade de entender melhor o crescente papel da abstraccao na Matematica contemporanea?

• Como aproveitar o estudo desta teoria para apresentar a Matematica nao como um saber estatico, mas como um processo dinamico e apaixonante de construcao de poderosas metaforas da realidade fısica, de crescente sofisticacao e subtileza?

Na sua modesta tentativa de responder a estas questoes, o autor socorreuse com frequencia de ideias e comentarios dos principais criadores da teoria, em especial Henri Lebesgue e Emile Borel. Em particular, o texto esta escrito, mesmo nas seccoes mais abstractas, no respeito rigoroso pelo que Lebesgue chamava a “definicao geometrica” do integral, que nao e outra senao a ideia, desde sempre muito satisfatoria do ponto de vista intuitivo, que, para qualquer funcao nao-negativa f,

Integral da funcao f = Medida da regiao de ordenadas de f.

Entendemos aqui a palavra “medida” como significando “area”, “volume”, ou o analogo apropriado destas nocoes em espacos de dimensao mais elevada.

A apresentacao da teoria nao segue assim o percurso que e hoje mais tradicional, e e importante entender que alguns resultados basicos assumem por vezes um papel diferente, menos convencional, no seu desenvolvimento: veja-se como ilustracao o Teorema de Fubini-Lebesgue, tal como e enunciado e demonstrado no Capıtulo 3, para a medida de Lebesgue em RN. E apenas apos a sua apresentacao que encontramos neste texto, pela primeira vez, o resultado, aqui um teorema, que e usualmente tomado como a definicao de “funcao Lebesgue-mensuravel”. A tecnica que seguimos permite ainda uma demonstracao muito simples dos resultados classicos sobre “limites e integrais”, o teorema de Beppo Levi, ou da Convergencia Monotona, o lema de Fatou, e o teorema de Lebesgue, ou da Convergencia Dominada, e evidencia a sua relacao directa com as ideias mais basicas da Teoria da Medida. Por outras palavras, revela que estas propriedades sao essencialmente a chamada iv Prefacio

“σ-aditividade”, esta uma propriedade comum a qualquer medida, e observada e registada com muita clareza por Borel.

A exposicao inspira-se em multiplos aspectos no desenvolvimento historico da Teoria, e esforca-se por deixar clara a continuidade entre as teorias de integracao de Riemann e de Lebesgue. Em especial, e repetindo fielmente o proprio Lebesgue, a sua teoria e apresentada como uma evolucao “natural” da de Riemann, sobretudo enquanto adaptacao de ideias de Peano e Jordan, entretanto melhoradas por Borel. Discutimos algumas das principais dificuldades tecnicas da teoria de Riemann, e a respectiva resolucao pela teoria de Lebesgue, em especial as relacionados com os Teoremas Fundamentais do Calculo. Estes sao aqui tratados com amplo recurso a tecnicas e resultados da Teoria da Medida, i.e., com base no “modelo geometrico” da integracao. Neste contexto, o grande teorema de diferenciacao de Lebesgue e provado por uma adaptacao simples do belo argumento de Riesz (o seu “Lema do Sol Nascente”), mas a demonstracao do teorema de Banach-Zaretski afastase bastante das tecnicas usadas por Banach. As multiplas referencias a Cantor feitas neste texto devem ainda recordar-nos que a sua genial Teoria dos Conjuntos e mais um exemplo de abstraccoes fundamentais entradas na Matematica em grande parte pela necessidade de enunciar e estudar com clareza questoes suscitadas pela Teoria da Integracao.

A apresentacao dos resultados principais da Teoria, incluindo o Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue, o Teorema de Fubini-Lebesgue, e os Teoremas de Representacao de Riesz, nao faz qualquer concessao a tentacao de tornar estas magnıficas construcoes intelectuais mais simples do que efectivamente o sao.

Naturalmente apenas a leitura atenta do texto podera revelar se este responde de forma satisfatoria as preocupacoes acima manifestadas, e se representa um equilıbrio razoavel entre os diversos objectivos que pretende atingir. Ao autor resta somente desejar que outros encontrem na sua leitura um prazer comparavel a satisfacao que a sua escrita lhe trouxe. Lisboa, Fevereiro de 2008

Manuel Ricou

Departamento de Matematica Instituto Superior Tecnico 1096 Lisboa Codex PORTUGAL

Manuel.Ricou@math.ist.utl.pt

Conteudo

1.1 Rectangulos e Conjuntos Elementares em RN8
1.2 Algebras, Semi-Algebras e Funcoes Aditivas19
1.3 Conjuntos Jordan-Mensuraveis25
1.4 O Integral de Riemann35
1.4.1 O Espaco das Funcoes Integraveis4
1.4.2 Integrais Indefinidos48
1.4.3 Continuidade e Integrabilidade52
1.5 Os Teoremas Fundamentais do Calculo60
1.6 O Problema de Borel71

1 Integrais de Riemann 7

2.1 Espacos Mensuraveis e Medidas90
2.2 A Medida de Lebesgue97
2.3 Os Espacos de Borel e de Lebesgue114
2.4 Conjuntos Nao-Mensuraveis129
2.5 Medidas Exteriores139

2 A Medida de Lebesgue 89

3.1 O Integral de Lebesgue150
3.2 Limites, Mensurabilidade e Integrais162
3.3 O Teorema de Fubini-Lebesgue171
3.4 Funcoes Mensuraveis186
3.5 Funcoes Somaveis200
3.6 Continuidade e Mensurabilidade209

3 Integrais de Lebesgue 149

4.1 A Decomposicao de Hahn-Jordan218
4.2 A Variacao Total de uma Medida228
4.3 Medidas Absolutamente Contınuas234
4.4 Medidas Regulares236
4.5 Medidas de Lebesgue-Stieltjes em R245
4.6 Funcoes de Variacao Limitada255

4 Outras Medidas 217 v

4.6.1 Funcoes Absolutamente Contınuas263
4.7 Os Teoremas Fundamentais do Calculo em R268
4.7.1 O Teorema de Diferenciacao de Lebesgue268
4.7.2 A Decomposicao de Lebesgue277
4.7.3 Diferenciacao de Funcoes de Variacao Limitada285

vi Prefacio

5.1 A Medida µ ⊗ m296
5.2 Funcoes Mensuraveis e Integrais309
5.3 O Teorema de Radon-Nikodym-Lebesgue319
5.4 Os Espacos Lp327
5.5 Teoremas de Representacao de Riesz338
5.6 Teoremas de Egorov, Lebesgue e Riesz352
5.7 O Teorema de Fubini-Lebesgue358

5 Outros Integrais de Lebesgue 295 Indice Remissivo 368

Capıtulo 1 Integrais de Riemann

A teoria da integracao evoluiu rapidamente na segunda metade do seculo XIX. Por um lado, e sobretudo como resultado das descobertas fundamentais de Fourier sobre series trigonometricas, hoje ditas series de Fourier, a dificuldade dos problemas a esclarecer com esta teoria ultrapassou, definitivamente, os recursos pouco sofisticados da teoria existente, ate entao assente, essencialmente, numa base informal e intuitiva. Em 1854, quando Riemann quis caracterizar as funcoes que podem ser representadas por series de Fourier, foi-lhe necessario analisar a nocao de “funcao integravel” a luz de mais exigentes criterios de generalidade, exactidao e rigor. A definicao que apresentou ainda hoje deve ser conhecida por quem quer que deseje compreender os conceitos mais centrais da Analise Matematica.

Por outro lado, em paralelo com estes estudos de Riemann, mas ainda no contexto da escola Alema, o genial Cantor descobriu a Teoria dos Conjuntos e, simultaneamente, atingiu-se um novo patamar de precisao na forma como sao definidos os proprios numeros reais. Ao procurar respostas a questoes suscitadas tanto pela nova teoria de Riemann, como pela teoria de Fourier, retomaram-se problemas tao antigos como a propria Matematica, conhecidos da Geometria elementar, mas que podiam agora ser estudados a luz destas novas ideias. O que e a area de uma figura plana? O que e o volume de um solido? Qualquer figura plana limitada tem area? Qualquer subconjunto de uma recta tem comprimento? E possıvel calcular, por exemplo, o comprimento do conjunto dos numeros racionais? Uma primeira solucao para este tipo de problemas foi descoberta pelo matematico italiano Peano, ja perto do final do seculo XIX. O proprio Peano compreendeu a relacao directa entre a sua teoria, que definia a medida de conjuntos, e a de Riemann, que definia o integral de funcoes, e sabia que as duas teorias sao, em certo sentido, completamente equivalentes.

Neste primeiro capıtulo, estudamos sobretudo as ideias de Riemann e de

Peano, mas nao seguimos a cronologia da sua descoberta, nem usamos sempre os conceitos exactamente como originalmente definidos. Procuramos,

8 Capıtulo 1. Integrais de Riemann em vez disso, evidenciar o mais directamente possıvel a sua equivalencia. Apontaremos tambem algumas das deficiencias tecnicas que apresentam e que estao na origem da sua substituicao, ja no seculo X, pela teoria descoberta por Henri Lebesgue.

Uma observacao simples sobre terminologia: e comum usar as palavras “medida” ou “conteudo”, em vez de “comprimento”, “area” ou “volume”, porque estas ultimas estao irremediavelmente associadas a dimensao dos conjuntos em causa (respectivamente, um, dois ou tres), e a teoria que aqui estudamos e basicamente independente dessa dimensao e aplicavel mesmo quando essa dimensao e superior a tres. Neste capıtulo, usaremos sobretudo o termo “conteudo”, normalmente na forma “conteudo-N”, onde N e a dimensao do espaco subjacente, reservando a palavra “medida”, que como veremos tem um sentido tecnico muito preciso, para utilizacao posterior.

1.1 Rectangulos e Conjuntos Elementares em RN

A determinacao do conteudo-N de subconjuntos de RN e muito simples para os conjuntos que sao rectangulos ou unioes finitas de rectangulos. O principal objectivo desta seccao e o de definir o conteudo dos conjuntos deste tipo e identificar e demonstrar as suas propriedades mais basicas.

Figura 1.1.1: Uniao finita de rectangulos.

O calculo da area de um rectangulo no plano e imediato, porque sabemos da geometria elementar que essa area e o produto dos comprimentos dos seus lados. Em particular, e como ilustrado na figura seguinte, um rectangulo bidimensional (em R2) da forma R = I ×J, onde I e J sao intervalos em R, tem area igual ao produto dos comprimentos de I e de J.

Claro que usaremos o termo “rectangulo” com um sentido mais geral, independente da dimensao N do espaco RN em causa: qualquer produto cartesiano (finito) de intervalos na recta R e um rectangulo:

1.1. Rectangulos e Conjuntos Elementares em RN 9

Figura 1.1.2: Area de R = (comprimento de I)×(comprimento de J).

Sempre que nos referirmos a um rectangulo e for conveniente indicar explicitamente a dimensao N do respectivo espaco RN, usamos a expressao “rectangulo-N”. Em particular, um rectangulo-1 e um intervalo, um “rectangulo” no sentido mais usual do termo e, nesta terminologia, um rectangulo-2, e um rectangulo-3 e um prisma rectangular. Reservamos o termo “intervalo” apenas para rectangulos-1. Notamos que o conjunto vazio ∅ e um rectangulo-N para qualquer N.

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