Baixe Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Res e outras Exercícios em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! Christiane Mázur Lauricella Como RESOLVER DERIVADAS E INTEGRAIS MAIS DE 150 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Mexe CIÊNCIA MODERNA Christiane Mázur Lauricella Lopo) (Aeee dorivodos 2 inbogriia MAIS DE 150 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EDITORA CIÊNCIA MODERNA I V Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Capítulo 5 Integrais Simples - Diretas da Tabela ............................................................... 97 Exercícios Propostos – Capítulo 5. ..................................................................................... 108 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 5. .............................................................. 109 Capítulo 6 Integrais Simples - Método da Substituição .................................................. 111 Exercícios Propostos – Capítulo 6. ..................................................................................... 129 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 6. .............................................................. 130 Capítulo 7 Integrais Simples – Integração por Partes ..................................................... 131 Exercícios Propostos – Capítulo 7. ..................................................................................... 148 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 7. .............................................................. 149 Capítulo 8 Integrais Simples – Integrais Definidas ......................................................... 151 Exercícios Propostos – Capítulo 8. ..................................................................................... 159 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 8. .............................................................. 160 Capítulo 9 Integrais Duplas e Regiões de Integração ....................................................... 161 Exercícios Propostos – Capítulo 9 ...................................................................................... 196 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 9 ............................................................... 197 VSumário Capítulo 10 Integrais Duplas – Mudança de Variável ........................................................ 199 Exercícios Propostos – Capítulo 10 .................................................................................... 234 Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 10 ............................................................ 235 Introdução Este trabalho não pretende ser mais um livro de Cálculo Diferencial e Integral. Sua intenção é auxiliar os interessados, por meio de exemplos, a aprenderem a resolver derivadas e integrais. Em cada exemplo há uma conversa com o leitor, na qual, em linguagem simples e direta, descreve-se o passo a passo de todas as etapas envolvi- das na resolução de derivadas e integrais. A estrutura da organização do texto é baseada em três grandes blocos: o das derivadas, o das integrais simples e o das integrais duplas, conforme mostrado no quadro abaixo. Inicialmente, são feitos exemplos com resoluções detalhadas de derivadas de funções simples de uma variável, incluindo o uso de propriedades de derivação relativas à soma, ao produto e ao quociente de funções bem como ao produto de uma constante por uma função. Em seguida, há soluções minuciosas de derivadas de funções com- postas. Finalizando o bloco das derivadas, são abordadas várias situações envolven- do funções de duas variáveis. As integrais chamadas de “diretíssimas da tabela”, ou imediatas, são as que estão em tabelas básicas de integração ou que, para serem resolvidas, dependem de duas pro- priedades algébricas fundamentais das integrais. As integrais denominadas de “dire- DERIVADAS INTEGRAIS SIMPLES INTEGRAIS DUPLAS Derivadas de funções simples de uma variável Derivadas de funções compostas de uma variável Derivadas parciais de funções de duas variáveis Integrais diretíssimas da tabela Integrais diretas da tabela Método da integração por substituição Método da integração por partes Integrais definidas Integrais duplas e regiões de integração Mudança de variável nas integrais duplas 2 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos D2. A derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função. Essa constante pode ser qualquer número real. D3. A derivada do produto (multiplicação) de duas funções é igual à soma da derivada da primeira função multiplicada pela segunda função com a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função. D4. A derivada do quociente (divisão) de duas funções é igual à subtração entre a derivada da função do numerador multiplicada pela função do denomi- nador e a função do numerador multiplicada pela derivada da função do deno- minador, sendo “toda” essa subtração dividida pela função do denominador elevada ao quadrado. Inclui-se a condição da função do denominador ser dife- rente de zero. Sendo k e n constantes, as derivadas das principais funções simples de uma vari- ável estão mostradas na tabela a seguir. A primeira delas refere-se à derivada da função constante que é zero (também lida como “a derivada da constante é igual a zero”). Tabela de derivadas (funções simples) 3Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável Exemplo 1.1. Derive f (x) = x5. Esse é um dos casos mais simples de uso da tabela de derivadas. Temos de derivar, em relação à variável x, uma função do tipo “base x elevada à 5ª potência”, lida apenas como “x elevado ao expoente 5” ou “x elevado a 5”. Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas: x ' dx dx n.xn n n( ) = = −1 . 4 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos No caso, n vale 5 (n = 5). Ou seja, a derivada de “x elevado a 5” é “5 multiplicado por x elevado a 5 − 1”, resultando em “5 vezes x elevado a 4”, conforme segue. f x x dx dx x x, , ( ) = ( ) = = =−5 5 5 1 45 5 Exemplo 1.2. Derive y = x−7 Este também é um caso de uso direto da tabela de derivadas. Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado a −7”. Vamos usar a seguinte regra da tabela de derivadas: x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 . No caso, n vale −7 (n = −7). Ou seja, a derivada de “x elevado a −7” é “−7 multiplicado por x elevado a −7 −1”, resultando em “−7 vezes x elevado a −8”, conforme segue. y x dx dx x x x x , ,= ( ) = = − = − = − = −− − − − −7 7 7 1 8 8 87 7 7 1 7 Lembre-se que, subtraindo 1 de −7, temos −8 e não −6! Ou seja, a derivada de x −7 em relação à variável x é −7x −8 e não −7x −6. Na “transformação” de −7x −8 em −78x não usamos qualquer regra de derivação: apenas aplicamos a equivalência x x x x a a − −= → =1 18 8 . Exemplo 1.3. Derive f (x) = x 5/6. Temos de derivar, em relação à variável x, a função dada por “x elevado à fração 5/6”. Usamos a seguinte regra da tabela de derivadas: x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 . 7Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável De agora em diante, podemos aplicar x x ( ) =, 1 2 na deriva-ção da função f x x( ) .= Exemplo 1.6. Derive f x x( ) .= 23 Este exemplo é muito parecido com o exemplo 1.5. Sendo assim, antes de usarmos a tabela, vamos escrever a função raiz cúbica de x ao quadrado como “base x elevada ao expoente 2/3”. Vejamos: x x x xba b a= → =23 2 3 Em seguida, usamos diretamente a seguinte regra da tabela de derivadas: x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 Ou seja, f x x x dx dx x x x, , , ( ) = ( ) = ( ) = = ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ = ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟ = − − 23 23 2 3 2 3 1 2 3 32 3 2 3 2 3 − = = 1 3 1 3 3 2 3 2 3x x Exemplo 1.7. Derive f (x) = x −3 + x3. Temos de derivar, em relação à variável x, a soma de “x elevado a −3” com “x elevado a 3”. Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D1, que afirma que a derivada da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das derivadas das funções: f x g x f x g x ou d f x g x dx df x dx dg x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± ±( ) = ± 8 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Ou seja, f x x x dx dx dx dx x x, , , , ( ) = +( ) = + = ( ) + ( )− − −3 3 3 3 3 3 Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue. (x -3)’ = -3x -3-1 = -3x -4, pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 e, no caso, n = -3. (x3)’ = 3x3-1 = 3x2, pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 3. Logo, f ’(x) = (x −3 + x3)’ = (x −3)’ + (x3)’ = −3x −4 + 3x 2 A derivada já foi finalizada, mas ainda podemos escrever −3x −4 como −34x . Sendo assim, f ’(x) = (x −3 + x3)’ = −3x −4 + 3x 2 = −34x + 3x 2 Exemplo 1.8. Derive f (x) = 4x3 Temos de derivar, em relação à variável x, a constante 4 multiplicada por x elevado ao cubo. Ou seja, trata-se da derivação do produto da constante k = 4 pela função x3. Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade D2, que afirma que derivada do produto (multiplicação) de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função: k.f x k.f x ou d k.f x dx k df x dx ( ) ( ) ( ) ( ), ,( ) = ( ) = Ou seja, f x d x dx x x, , , ( ) ( )= = ( ) = ( )4 4 4 3 3 3 9Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável Agora, usando a regra x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 , para n = 3, temos que: f x x x x, , , ( ) = ( ) = ( ) = ( ) =−4 4 4 3 123 3 3 1 2x Exemplo 1.9. Derive f x x ( ) .= +7 5 Antes de derivarmos a função f x x x ( ) = + = +7 5 7 5 1 , vamos escrevê-la como f (x) = 7 + 5x −1. Isso não altera a função original, pois, se 1 x xa a= − então 1 1 1 1 x x x= = − . Agora, começamos a derivada aplicando as propriedades D1 e D2, dadas, respectiva- mente, por: f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e . Ou seja, f x x x dx x x, , , , , ,( ) = +( ) = +( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( )− − − −7 5 7 5 7 5 7 51 1 1 1 d 12 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exemplo 1.12. Derive y = e xx + 1 7 . Temos de derivar, em relação à variável x, a soma do “número e elevado a x” com “x multiplicado pela constante 1/7”. Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar as propriedades D1 e D2 abaixo: f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e Ou seja, y e x e x e xx x x, , , , ,( )= +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ( ) + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +1 7 1 7 1 7 Desse modo, ficamos com duas derivadas presentes na tabela, resolvidas por: e de dx e x dx dx x x x( ) = = ( ) = =, ,e 1 Logo, y e x e x e x e ex x x x x, , , , ,( ) .= +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ( ) + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = + = + = +1 7 1 7 1 7 1 7 1 1 7 Observe que o número neperiano e é um número irracional, muitas vezes aproximado por 2,72. Exemplo 1.13. Derive t x x x( ) ln arccos .= − + 3 2 5 x Antes de usarmos a tabela de derivadas, vamos aplicar a propriedade D2, f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± , expandida para o caso da soma/subtração de três fun- ções da variável x: 3 x , 2 1n x e 5 arccos x. Ou seja, 13Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável t x x x x x x, , , ,( ) ln arccos ln arccos= − +⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ( ) + ( )3 2 5 3 2 5 x , Agora, para as três derivadas acima, vamos aplicar a propriedade (k.f (x))’ = k.f ’ (x): t x x x x x x, , , , , ,( ) ln arccos ln ar= ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ( ) + ( ) = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ( ) +3 2 5 3 1 2 5 ccos ,x( ) Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da tabela, conforme segue. 1 1 1 11 1 1 2 2x x x x x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ( ) = − = − = −− − − − , , ( ) . , pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 e, no caso, n = −1. ln ,x x ( ) = 1 arccos ,x x ( ) = − − 1 1 2 Finalizando a derivada: t x x x x x x , , , ,( ) ln arccos== ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ( ) + ( ) = −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠ 3 1 2 5 3 1 2 12 ⎟ + − − ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = − − − − 5 1 1 3 2 5 12 2 2 . x x x x Exemplo 1.14. Derive h (x) = 3x + arctgx Este exemplo trata da derivada da soma de duas funções da variável x: as funções 3x (exponencial de base 3) e arctgx (arcotangente de x). Inicialmente, vamos aplicar a pro- priedade D1, relativa à derivada da soma de funções: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± . Ou seja, h x arctgx arctgxx x, , , ,( ) ( )= +( ) = ( ) +3 3 Cada uma das duas derivadas acima pode ser resolvida diretamente por regras da tabela, conforme segue. 14 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos (3x)’ = 3x 1n 3, pois a d a dx a ax x x( ) = =, ( ) ln e, no caso, a = 3 arctgx d arctgx dx x ( ) = ( ) = + , 1 1 2 Finalizando a derivada: h x arctgx x x x, , ,( ) ( ) ln= ( ) + = + + 3 3 3 1 1 2 Observe que 3x não é a multiplicação de 3 por x. Trata-se da função de “base 3 elevada ao expoente x”. Exemplo 1.15. Derive h(x) = x2 cos x. Queremos derivar a multiplicação de duas funções da variável x: a função do segun- do grau x2 multiplicada pela função trigonométrica cosx. Então, vamos começar a resolução aplicando a propriedade D3, referente à derivada do produto de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x) Ou seja, a derivada do produto (multiplicação) da função x elevado ao quadrado (x2) pela função cosseno de x (cosx) é igual à soma da derivada de x elevado ao quadrado, multiplicada pelo cosseno de x, com x elevado ao quadrado multiplicado pela derivada de cosseno de x, conforme segue. h’ (x) = (x2 cos x)’ = (x2)’ cos x + x2 (cos x)’ Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela, conforme segue. (x2)’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 2. (cos x)’ = − senx 17Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável A primeira parcela, correspondente ao triplo da derivada da função arcocosseno de x, é obtida diretamente da tabela, na qual consta que arccos arccos,x d x dx x ( ) = ( ) = − − 1 1 2 . Logo, 3 3 1 1 3 12 2 arccos ,x x x ( ) = − − ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = − − A segunda parcela, correspondente ao produto de x elevado ao quadrado pela exponencial de base e (e elevado ao expoente x), deve ser, inicialmente, resolvida pelo uso da propriedade D3 a seguir: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x). Vejamos: ( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ A derivada de x2, em relação à variável x, é ( x2 )’ = 2x2−1 = 2x1 = 2x, pois, de acordo com a tabela, x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 . A derivada de ex, em relação à variável x, é ex, pois, de acordo com a tabela, e de dx ex x x( ) = =, . Ou seja, ( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex A derivada do produto x2 ex já foi terminada na linha anterior, mas ainda podemos colocar xex em evidência na soma 2xex + x2 ex: ( x2 ex)’ = ( x2 )’ ex + x2 (ex)’ = 2xex + x2 ex = xex (2 + x) 18 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Finalizando a derivada de y = 3 arccosx + x2 ex: y dy dx x x e x xe xx x, , , arccos= = ( ) + ( ) = − − + +( )3 3 1 22 2 Exemplo 1.19. Derive h x x x ( ) .= + 2 1 Precisamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x2, no numerador, e a função x + 1, no denominador. Então, vamos iniciar a resolução aplicando a propri- edade D4, referente à derivada do quociente de duas funções: f x g x f x g x f x g x g x ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) , , ,⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − ( )2 No caso, a derivada da divisão de f(x) = x2 por g(x) = x + 1 é igual à subtração entre a derivada de f (x) = x2 multiplicada por g(x) = x+1 e f (x) = x2 multiplicada pela derivada de g(x) = x + 1, sendo essa subtração dividida pela função g(x) = x + 1 elevada ao quadrado. Vejamos: h x x x x x x x x , , , , ( ) ( ) . ( ) = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ( ) + − ( ) +( ) + 2 2 2 21 1 1 1 Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida diretamente pela tabela ou pela propriedade D1, referente à derivada da soma de duas funções, conforme segue. (x2)’ = 2x2-1 = 2x1 = 2x, pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 (x + 1)’ = (x)’ + (1)’ = 1 + 0 = 1 Finalizando a derivada: h x x x x x x x x x x , , , , ( ) ( ) . ( ) ( ) = + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ( ) + − ( ) +( ) + = ( ) + −2 2 2 21 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) + = + − + = + + . ( ) ( ) ( ) 19Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável A derivada já foi terminada, mas, ainda, podemos colocar x em evidência no numerador do quociente: h x x x x x x x , ( ) ( ) ( ) = + + = +( ) + 2 2 2 2 1 2 1 Exemplo 1.20. Derive t x x x senx ( ) .= − 3 6 Vamos derivar a divisão de duas funções da variável x: a função x3 − 6x, no numerador, e a função senx, no denominador. Começamos a resolução aplicando a propriedade D4, referente à derivada do quociente de duas funções: f x g x f x g x f x g x g x ( ) ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ) , , ,⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = − ( )2 Vejamos: t x x x senx x x senx x x senx senx , , , , ( ) = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = −( ) − −( )( ) ( ) 3 3 3 2 6 6 6 Cada uma das derivadas acima pode ser resolvida pela tabela ou pelas propriedades D1 (relativa à derivada da soma de duas funções) e D2 (referente à derivada do produ- to de uma constante por uma função), conforme segue. (x3 − 6x)’ = (x3)’ − (6x)’ = (x3)’ − 6 (x)’ = 3x2 − 6.1 = 3x2 − 6 (senx)’ = cos x Finalizando a derivada: t x x x senx x x senx x x senx senx , , , , ( ) = − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = −( ) − −( )( ) ( ) = 3 3 3 2 6 6 6 3 6 6 2 3 2 x senx x x x sen x −( ) − −( )( )cos 22 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Observe que a função secante de x, indicada por sec x, não se refere ao produto de “alguma coisa” por x. Sendo assim, não há qualquer sentido em “cancelar” x do numerador com x do de- nominador no quociente sec x x . Exemplo 1.23. Derive 2 cos 3 y x = Para resolvermos a derivada do exemplo 1.23, não precisamos aplicar a propriedade D3, referente à derivada a multiplicação de duas funções. Isso porque cos 3 , lido como cosseno de PI sobre 3, é uma constante, sen- do ocos cos 60 0,5. 3 = = Vale lembrar, também, que não há qualquer sentido em pensar em cos 3 como a multiplicação de “cos” por 3 . Voltando à derivada de 2 cos 3 y x = , ou 2cos 3 y x = , temos a situação de uma constante, cos 3 , multiplicada por uma função da variável x, x2. Pela propriedade D2, a derivada do produto (multiplicação) de uma constante k por uma função é igual ao produto da constante k pela derivada da função. No caso, k é cos 3 . Vejamos: ( ) , ,, 2 2cos cos 3 3 y x x = = 23Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável Vimos que (x2)’ = 2x 2-1 = 2x1 = 2x, pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, .1 Logo, ( ) ( ) , ,, 2 2cos cos cos 2 2 cos 3 3 3 y x x x x 3 = = = = Exemplo 1.24. Derive y x e = 3 5 Para resolvermos a derivada do exemplo 1.24, não precisamos aplicar a propriedade D4, referente à divisão de duas funções. Isso porque e5, lido como “e elevado a 5”, é uma constante, visto que e é um número irracional, aproximado por 2,72. Se e5 é uma constante, então 1 5e também é uma constante. Reescrevendo y x e = 3 5 como y = 1 5e x3, temos de derivar uma constante, 1 5e , multipli- cada por uma função da variável x, x3. Pela propriedade D2, a derivada do produto (multiplicação) de uma constante k por uma função é igual ao produto da constante k pela derivada da função. No caso, k é 1 5e . Vejamos: y x e e x, , , = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ( ) 3 5 5 31 Vimos que (x3)’ = 3x 3-1 = 3x2, pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, .1 Logo, y x e e x e x x e , , , = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = ( ) = ( ) = 3 5 5 3 5 2 2 5 1 1 3 3 24 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exemplo 1.25. Derive y = (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3). O exemplo 1.25 solicita a derivada da multiplicação de duas funções da variável x: a função (3x5 − 6x3) multiplicada pela função (5x10 − 4x3). Logo, vamos começar a deriva- da usando a propriedade D3, referente à derivada a multiplicação de duas funções: (f (x).g(x))’ = f ’(x).g(x) + f (x).g’(x) Ou seja, y’ = ((3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3))’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’ Prosseguindo com a derivada de y = (3x5 − 6x3)(5x10 − 4x3), devemos derivar, em relação à variável x, as funções (3x5 − 6x3) e (5x10 − 4x3). Para derivá-las, vamos usar as propri- edades D1 e D2 (respectivamente f x g x f x g x k.f x k.f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,±( ) = ± ( ) =e ) e a regra x dx dx n.xn n n( ) = = −, .1 Vejamos: (3x5 − 6x3)’ = (3x5 )’ − (6x3)’ = 3(x5 )’ − 6(x3)’ = 3.5x4 − 6.3x2 = 15x4 − 18x2 (5x10 − 4x3)’ = (5x10 )’ − (4x3)’ = 5(x10 )’ − 4(x3)’ = 5.10x9 − 4.3x2 = 50x9 − 12x2 Finalizando a derivada original: y’ = (3x5 − 6x3)’.(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(5x10 − 4x3)’ y’ = (15x4 − 18x2).(5x10 − 4x3) + (3x5 − 6x3).(50x9 − 12x2) A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos fazer as seguintes “distributivas”: y’ = 15x4.5x10 +15x4 (−4x3) −18x2.5x10−18x2 (−4x3)+3x5.50x9+3x5 (−12x2) −6x3.50x9−6x3 (−12x2) Agora, utilizamos a regra de multiplicação de potências de mesma base, escrita como xa.xb = xa+b e enunciada como “mantém-se a base e somam-se os expoentes”. 27Capítulo 1 - Derivadas de Funções Simples de uma Variável Exercício 1.5. f x x , ( ) = 1 2 Exercício 1.6. f x x , ( ) = 4 55 Exercício 1.7. f x x x, ( ) = − +5 46 3 Exercício 1.8. f ’(x) = 42x5 Exercício 1.9. f ’(x) = 20x3 Exercício 1.10. y’ = cos x Exercício 1.11. f ’(x) = −5 senx − 3cos sec2 x Exercício 1.12. y x , = +1 2 5 Exercício 1.13. t x x e x x, ( ) = − − + − 6 5 7 1 2 2 Exercício 1.14. h’(x) = 9x 1n 9 + sec2 x Exercício 1.15. h’(x) = x2 (3senx + x cos x) Exercício 1.16. h’(x) = ex cos x − (ex − 5)senx Exercício 1.17. h’(x) = 2x2 ex (3 + x) Exercício 1.18. h x x x x , ( ) ( ) = +( ) + 3 5 3 4 2 2 2 Exercício 1.19. t x x x x x senx x , ( ) ( ) cos ( ) cos = − + −2 7 7 2 2 28 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exercício 1.20. ( ) ( )2 43 , 4 44)( x xx e exexxt − +−= Exercício 1.21. y xtgx x , sec = −1 Exercício 1.22. y x x senx x x, ( cos )= − + +7 1 3 2 2 Exercício 1.23. 3 , e senxy −= Exercício 1.24. = 52 1, πsen x y Exercício 1.25. y’ = − 98x13 + 44x10 + 189x8 − 72x5 Capítulo 2 Derivadas de Funções Compostas de uma Variável Vamos “escolher” duas funções simples quaisquer de uma única variável x, por exemplo, as funções f (x) = cos x e u(x) = x3. Com essas duas funções, podemos “criar” várias outras funções por meio de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e produto de constante por função. Vejamos alguns exemplos: • h1 (x) = f (x) + u(x) = cos x + x3 • h2 (x) = 5 f (x) − 2u(x) = 5cos x − 2x3 • h3 (x) = f (x).u(x) = (cos x).x3 = x3 cos x • h x f x u x x x x4 3 3 0( ) ( ) ( ) cos ,= = ≠ Se quiséssemos derivar as funções acima, usaríamos as propriedades D1, D2, D3 e D4 e a tabela de derivadas, vistas no capítulo 1. Também é possível “associarmos” as funções f (x) = cos x e u(x) = x3 não apenas por meio das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, ou seja, de modo diferente do que feito acima. Poderíamos fazer uma composição entre elas, gerando, por exemplo, a função composta f (u(x)), lida como “f de u de x” e escrita como f (u(x)) = f (x3) = cos(x3) = cos x3. 32 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Sendo, no caso, n = 50 e u = x2 + 1, a derivada da função f (x) = (x2 + 1)50 em relação à variável x é: f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49 Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x2 + 1. Aplicando a propriedade D1 vista no capítulo 1, enunciada como “a derivada da soma é a soma das derivadas”, temos que: f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)49 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49 Vimos que a derivada de x2 em relação à variável x é (x2)’ = 2x2-1 = 2x, pois, de acordo com a tabela de derivadas, x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 , com n = 2. Também vimos que a derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, de acordo com a tabela de derivadas, k dk dx ( ) = =, 0 . Logo, f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50 (x2 + 1)’(x2 + 1)50 −1 = 50 ((x2)’ + (1)’)(x2 + 1)49 = 50(2x + 0)(x2 + 1) f ’(x) = ((x2 + 1)50)’ = 50(2x)(x2 + 1)49 = 100x (x2 + 1)49 Exemplo 2.2. Derive f (x) = (x3 + 1)−50. Queremos derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 + 1 e f (u) = u−50 . Da tabela de derivadas de funções compostas, vamos usar a seguinte regra: (un)’ = n.u’.u n−1. 33Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável Sendo, no caso, n = − 50 e u = x3 + 1, a derivada de f (x) = (x3 + 1)−50 em relação à variável x é: f ’(x) = ((x3 + 1)−50)’ = − 50(x3 + 1)’(x2 + 1)−50 −1 = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 Agora, vamos derivar, em relação à variável x, a soma x3 + 1. Como a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções, temos que: f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51 A derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2, pois, de acordo com a tabela de derivadas, x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 , com n = 3. A derivada da constante k = 1 em relação à variável x é zero, pois, de acordo com a tabela de derivadas, k dk dx ( ) = =, 0 . Logo, f ’(x) = − 50(x3 + 1)’(x3 + 1)−51 = − 50((x3)’ + (1)’)(x3 + 1)−51 = − 50(3x2 + 0)(x3 + 1)−51 f ’(x) = − 150 x2 (x3 + 1)−51 Acabamos a derivada. Mas, como m m x x a a − −= → +( ) = +( ) 1 1 1 1 3 51 3 51 , podemos escrever a resposta final assim: f x x x x x x x , ( ) = − +( ) = − +( ) = − +( ) − 150 1 150 1 1 150 1 2 3 51 2 3 51 2 3 51 34 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exemplo 2.3. Derive f (x) = (x3 − x4)5. Temos de derivar uma função composta dada por u = u (x) = x3 − x4 e f (u) = u5. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1. Sendo, no caso, n = 5 e u = x3 − x4, a derivada da função f (x) = (x3 − x4)5 é: f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)5−1 = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4 Ainda temos de derivar, em relação à variável x, a diferença (subtração) x3 − x4. Já vimos, no capítulo 1, que a derivada da subtração de duas funções é a subtração das derivadas dessas funções. Sendo assim, temos que: f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5(x3 − x4)’(x3 − x4)4 = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4 De acordo com a tabela, a derivada de x3 em relação à variável x é (x3)’ = 3x3−1 = 3x2 e a derivada de x4 em relação à variável x é (x4)’ = 4x4−1 = 4x3, pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 . Logo, f ’(x) = ((x3 − x4)5)’ = 5((x3)’ − (x4)’)(x3 − x4)4 = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4 A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, podemos colocar x2 em evidência: f ’(x) = 5(3x2 − 4x3)(x3 − x4)4 = 5x2 (3 − 4x)(x3 − x4)4 Exemplo 2.4. Derive f x x x( ) .= −( )6 5 34 Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = x6 − x5 e f u u( ) = 3 4 . Vamos utilizar a seguinte regra da tabela de derivadas de funções compostas: (un)’ = n.u’.u n−1. 37Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável Observe que a função 1n(3x3 − 7x), lida como o logaritmo neperiano de 3x3 − 7x, não é a multiplicação de “alguma coisa” por 3x3 − 7x! Exemplo 2.6. Derive y = 1n (cos x). Precisamos derivar uma função composta dada por u = u (x) = cos x e f (u) = 1n u, lida como o logaritmo neperiano do cosseno de x. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln , , u u u ( ) = . Ou seja, y x x, , , ln cos cos cos = ( )( ) = ( ) x Segundo a tabela, a derivada do cosseno de x, em relação à variável x, é cos (cos ),x d x dx senx( ) = = − . Logo, y x x x senx x , , , ln cos cos cos cos = ( )( ) = ( ) = − A derivada já foi acabada. Como, da trigonometria, temos que o quociente entre “o seno e o cosseno é a tangente”, escrevemos: y x senx x tgx, , ln cos cos = ( )( ) = − = − 38 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exemplo 2.7. Derive y = 1n (x + 1n x). Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x + 1n x e f (u) = 1n u. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ln , , u u u ( ) = . Ou seja, y x x x x x x , , , ln ln ln ln = +( )( ) = +( ) + A derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas dessas funções, a deriva- da de f (x) = x é x dx dx ( ) = =, 1 e a derivada de f (x) = 1n x é ln ln,x d x dx x ( ) = ( ) = 1 . Logo, a derivada da soma x + 1n x, em relação à variável x, é x x x x x +( ) = ( ) + ( ) = +ln ln, , , 1 1 . Logo, y x x x x x x x x x , , , ln ln ln ln ln = +( )( ) = +( ) + = + + 1 1 A derivada já foi terminada. Para escrevermos a resposta final, podemos “fazer a con- ta” do numerador da fração: y x x x x x x x x x x x x x x x x x , ,ln ln ln ln . ln ln = +( )( ) = + + = + + = + + = + +( 1 1 1 1 1 1 ) 39Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável Exemplo 2.8. Derive f (x) = sen (3x − 2) Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = 3x − 2 e f (u) = senu. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu) = u’ cos u. Ou seja, f ’(x) = (sen (3x − 2))’ = (3x − 2)’ cos (3x − 2) Agora, para derivarmos 3x − 2 em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2 vistas no capítulo 1: D1. f x g x f x g x d f x g x dx df x dx dg x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± ±( ) = ±ou ; D2. k.f x k.f x ou d k.f x dx k df x dx ( ) ( ) ( ) . ( ), ,( ) = ( ) = . Ou seja, (3x − 2)’ = (3x)’ − (2)’ = 3(x)’ − (2)’ A derivada de x em relação a x é 1 e a derivada da constante 2 é zero. Logo, (3x − 2)’ = 3(x)’ − (2)’ = 3.1 − 0 = 3 Finalizando a derivada: f ’(x) = (3x − 2)’ cos (3x − 2) = 3 cos (3x − 2) Observe que a função trigonométrica sen (3x − 2), lida como o seno de 3x − 2, não é a multiplicação de “alguma coisa” por 3x − 2! 42 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos A derivada de x5 em relação à variável x é 5x5 − 1 = 5x4, pois x dx dx n.xn n n( ) = = −, 1 e, no caso, n = 5. A derivada da constante 7 é zero. Logo, (x5 − 7)’ = (x5)’ − (7)’ = 5x4 − 0 = 5x4 Finalizando: f ’(x) =(e x5− 7)’ = (x5 − 7)’e x5− 7x = 5x4 e x5− 7x Exemplo 2.13. Derive f (x) = e e x Temos de derivar uma função composta dada por u = u(x) = e x e f (u) = e u, ou seja, a “exponencial da exponencial”. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu. Logo, f ’(x) = (e e x)’ = (e x )’e e x A derivada de e x em relação à variável x é e x. Logo, f ’(x) = (e e x)’ = (e x )’e e x = e x e e x Já terminamos a derivada. Para a resposta final, lembramos que “o produto de potênci- as de mesma base é a base elevada à soma dos expoentes”, ou seja, ma.mb = ma+b → e x e e x = e x+e x. Sendo assim, f ’(x) = (e e x)’ = e x e e x = e x+e x 43Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável Exemplo 2.14. Derive y = sec(x2 + 4x) Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = x2 + 4x e f (u) = secu. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (secu)’ = u’sec utgu. Logo, y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x). Agora, para derivarmos x2 + 4x em relação à variável x, usamos as propriedades D1 e D2 vistas no capítulo 1: (x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’ A derivada de x2 em relação à variável x é 2x e a derivada de x em relação à variável x é 1. Logo, (x2 + 4x)’ = (x2)’ + (4x)’ = (x2)’ + 4(x)’ = 2x + 4.1 = 2x + 4 A derivada fica assim: y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (x2 + 4x)’ sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) Já terminamos a derivada, mas, ainda, podemos colocar a constante 2 em evidência: y’ = (sec(x2 + 4x))’ = (2x + 4) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) = 2(x + 2) sec(x2 + 4x) tg(x2 + 4x) Exemplo 2.15. Derive y = 5senx Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = au, com a = 5. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a Logo, y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5 A derivada de senx em relação à variável x é cosx. 44 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Logo, y’ = (5senx)’ = (senx)’ 5senx 1n 5 = (cosx)5senx 1n 5 Exemplo 2.16. Derive y = 7e x Vamos derivar uma função composta dada por u = u(x) = ex e f (u) = au, com a = 7. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (au)’ = u’au. 1n a. Logo, y’ = ( 7e x)’ = (ex)’7e x 1n 7 A derivada de ex em relação à variável x é ex. Logo, y’ = ( 7e x)’ = (ex)’7e x 1n 7 = ex 7e x 1n 7 Exemplo 2.17. Derive h(x) = x5 esenx Inicialmente, vamos aplicar a regra da derivada do produto de duas funções (a função x5 multiplicada pela função esenx), ou seja, a regra D3 vista no capítulo 1: D3. (f (x). g(x))’ = f ’(x). g(x) + f (x). g’(x) ou d f x g x dx df x dx g x f x dg x dx ( ). ( ) ( ) . ( ) ( ). ( ) ( ) = + . No caso, temos que: h’(x) = (x5 esenx)’ = (x5)’ esenx + x5 (esenx)’ Agora, vamos prosseguir com as derivadas, em relação à variável x, das funções x5 e esenx. A função x5 é uma função simples de x, cuja derivada é (x5)’ = 5x5−1 = 5x4. Já a função esenx é uma função composta dada por u = u(x) = senx e f (u) = eu. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (eu)’ = u’eu. 47Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável Logo, (ex7− 8x)’ = (x7 − 8x)’ex7− 8x = ((x7)’ − (8x)’)ex7− 8x = (7x6 − 8)ex7− 8x A função senx4 é uma função composta dada por u = u(x) = x4 e f (u) = senu. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (senu)’ = u’cos u. Logo, (senx4)’ = (x4)’ cos x4 = 4x 3 cos x4 Finalizando a derivada: y e senx e senx e senx senx x x x x x x , , , , = ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = ( ) − ( )− − −7 7 78 4 8 4 8 4 4( ) = −( )( ) − ( )− − 2 6 8 4 8 3 4 2 4 7 8 4 7 7 x e senx e x x sen x x x x x cos A derivada já foi terminada, mas ainda é possível simplificarmos a resposta colocando “e elevado a x7 − 8x” em evidência: y e senx x e senx e x xx x x x x x , , cos = ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ = −( )( ) −− − −7 7 78 4 6 8 4 8 37 8 4 4 2 4 8 6 4 3 4 2 4 7 7 8 4( ) = ( ) −( ) −⎡⎣ ⎤⎦− sen x e x senx x x sen x x x cos Observe que podemos escrever a função seno ao quadrado de x elevado a 4 como (senx4)2 ou como sen2x4. Exemplo 2.20. Derive y x x arctg x x= + + −( )5 3 44 2 3 . Começamos este exemplo usando a regra da derivada da soma de duas funções (a função “5 vezes a raiz quadrada de 3x4 + x2” mais a função “arcotangente de x3 − 4x”), ou seja, a regra D1 vista no capítulo 1: D1. f x g x f x g x d f x g x dx df x dx dg x dx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± ±( ) = ±ou . 48 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos No caso, temos que: y x x arctg x x x x arctg x x, , , , = + + −( )( ) = +( ) + −( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3 Aplicando a regra da derivada de uma constante multiplicada por uma função para a parcela que contém a raiz quadrada de 3x4 + x2, ou seja, a regra D2 vista no capítulo 1: D2. k.f x k.f x ou d k.f x dx k df x dx ( ) ( ) ( ) . ( ), ,( ) = ( ) = . No caso, temos que: y x x arctg x x x x arctg x x, , , , , = +( ) + −( )( ) = +( ) + −( )( )5 3 4 5 3 44 2 3 4 2 3 A função 3 4 2x x+ é uma função composta dada por u = u(x) = 3 x4 + x2 e f (u) = u . Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que u u u ( ) =, , 2 . Logo, 3 3 2 3 3 2 3 3 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 3 x x x x x x x x x x x x +( ) = +( ) + = ( ) +( ) + = ( )+( ), , , , 2 3 12 2 2 3 2 6 1 2 3 6 1 34 2 3 4 2 2 4 2 2 4 2x x x x x x x x x x x x x x+ = + + = +( ) + = +( ) + A função arctg(x3 − 4x) é uma função composta dada por u = u(x) = x3 − 4x e f (u) = arctgu. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que arctgu u u ( ) = + , , 1 2 . Logo, ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 2 23 ,,3 23 ,,3 23 ,3 ,3 41 43 41 4 41 4 41 44 xx x xx xx xx xx xx xxxxarctg −+ −= −+ −= −+ −= −+ −=− 49Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável Finalizando a derivada: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 2 24 2 23 2 24 2 ,3 , 24, 41 43 3 165 41 43 3 165435 xx x xx xx xx x xx xxxxarctgxxy −+ −+ + += −+ −+ + +=−++= Exemplo 2.21. Derive .xx eey += Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: a função xe , lida como raiz quadrada de xe , e a função xe , lida como e elevado à raiz quadrada de x. Vamos, então, aplicar a propriedade D1, ( ) )()()()( ,,, xgxfxgxf ±=± . No caso, ( ) ( ) ( ),,,, xxxx eeeey +=+= Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas de x: xe e xe . A derivada de xe , em relação à variável x, é: ( ) ( ) x x x e ee 2 , , = , pois ( ) u uu 2 ,, = , sendo, no caso, u = ex. Da tabela de derivadas de funções simples, temos que a derivada de ex é ex. Ou seja, ( ) ( ) x x x x x e e e ee 22 , , == A derivada de xe , em relação à variável x, é: ( ) ( ) xx exe ,, = , pois (eu)’ = u’eu, sendo, no caso, xu = . 52 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Concluindo a derivada de 35 xe+ : ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 52 3 52 30 52 5 52 55 22,,,, x x x x x x x x x e ex e ex e e e ee + = + += + += + += + Finalizando derivada da função 7 3 35 ++= xesenxy : 6 3 , 3 ,7 3, 333 5.575 ++ ++= ++= xxx esenxesenxesenxy ( ) 6 3 , ,3 ,7 3, 333 5.575 ++ ++= ++= xxx esenxesenxesenxy 6 3 2 32 ,7 3, 3 3 3 3 5. 52 3cos375 ++ + += ++= x x x x esenx e exxxesenxy A derivada já foi terminada. Para darmos a resposta final, ainda podemos colocar 3x2 em evidência: 6 332 ,7 3, 3 3 3 3 5 52 cos3.75 ++ + += ++= x x x x esenx e exxesenxy 6 332 ,7 3, 3 3 3 3 5 52 cos215 ++ + += ++= x x x x esenx e exxesenxy Exemplo 2.23. Derive y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex) Temos de derivar, inicialmente, a função dada pela soma de duas funções de x: as funções trigonométricas cossec(x5 − 7x) e cot g(ex). Vamos, então, aplicar a propriedade D1, relativa à derivada da soma de duas funções: f x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( ), , ,±( ) = ± . Ou seja, 53Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável y’ = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’ Agora, precisamos usar a regra da cadeia para derivarmos duas funções compostas de x, (x5 − 7x) e cot g(ex). A derivada de cossec (x5 − 7x), em relação à variável x, é: (cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x), pois (cossec u) = u’ cossec u.cot gu. Visto que (x5 − 7x)’ = (x5)’− (7x)’ = (x5)’− 7(x)’ = 5x4 − 7.1 = 5x4 − 7, a derivada original fica: (cossec(x5 − 7x))’ = − (x5 − 7x)’ cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) (cossec(x5 − 7x))’ = − (5x4 − 7) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) Podemos escrever − (5x4 − 7) como + (− 5x4 + 7) = (7 − 5x4). Sendo assim: (cossec(x5 − 7x))’ = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) A derivada de cot g(ex), em relação à variável x, é: (cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex), pois (cot gu)’ = − (u)’ cossec2(u). Visto que (ex)’ = ex, a derivada da cotangente do exemplo 2.23 fica: (cot g(ex))’ = − (ex)’ cossec2(ex) = − ex cossec2(ex) Finalizando derivada da função y = cossec(x5 − 7x) + cot g(ex): y = (cossec(x5 − 7x) + cot g(ex))’ = (cossec(x5 − 7x))’ + (cot g(ex))’ y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) + (− ex cossec2(ex)) y = (7 − 5x4) cossec(x5 − 7x) cot g(x5 − 7x) − ex cossec2(ex) 54 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exemplo 2.24. Derive y = arccos(senx). A primeira observação a ser feita é a de que não há multiplicações na função y = arccos(senx), lida como o arcocosseno do seno de x. Se enxergarmos a função u = u(x) como u = senx, temos de derivar uma função com- posta dada por f (u) = arccosu. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que ( ) 2 , , 1 arccos u uu − −= . Ou seja, ( )( ) ( ) ( )2 , ,, 1 arccos senx senxsenxy − −== Visto que (senx)’ = cos x e que (senx)2 = sen2x, a derivada do exemplo 2.24 fica: ( ) ( ) 1 cos cos cos cos 1 cos 1 )()(arccos 222 , ,, −=−=−= − −= − −== x x x x xsen x senx senxsenxy Exemplo 2.25. Derive y = cos5 (1n (x4 + x2)). Assim como no exemplo anterior, a primeira observação a ser feita é a de que não há multiplicações na função y = cos5 (1n (x4 + x2)), que também pode ser escrita como y = (cos (1n (x4 + x2)))5. Essa função é lida como o cosseno a quinta do logaritmo neperiano da soma x4 + x2. Se enxergarmos a função u = u(x) como u = cos(1n (x4 + x2)), temos de derivar uma função composta dada por f (u) = u5. Da tabela de derivadas de funções compostas, temos que (un)’ = n.u’.u n−1. Sendo, no caso, n = 5 e u = cos(1n (x4 + x2)), a derivada da função y = (cos(1n(x4 + x2)))5 é: ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1524,24,524, lncoslncos5lncos −++=+= xxxxxxy ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )424,24,524, lncoslncos5lncos xxxxxxy ++=+= 57Capítulo 2 - Derivadas de Funções Compostas de uma Variável Exercício 2.12. Derive f (x) = cos(ex). Exercício 2.13. Derive f (x) = ecosx. Exercício 2.14. Derive f (x) = e4x − 5x3. Exercício 2.15. Derive .)( 3 2+= xexf Exercício 2.16. Derive h (x) = senx esenx. Exercício 2.17. Derive y = cotgx3 1n(cosx + 5). Exercício 2.18. Derive .2 56 2 senx ey xx− = Exercício 2.19. Derive ( ).3arccos747 32 xxxy −++= Exercício 2.20. Derive ( ).528 33 2 xxarcsenxxy −++= Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 2. Exercício 2.1. ( )5954, 7300)( −= xxxf Exercício 2.2. ( )( )2654, 653)( xxxxxf ++= Exercício 2.3. ( )648 7 , 3 504)( + −= x xxf Exercício 2.4. 5 5 4 , 74 16)( + = x xxf Exercício 2.5. 4 2 2 , 323110 + +−= x x x x y Exercício 2.6. )32( )31(2, xx xy + += Exercício 2.7. ( )22 1, + = xx y 58 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exercício 2.8. 2 , 2 xe xey x x + += Exercício 2.9. ( )233)(, −−= xsenxf Exercício 2.10. 32, 3)( senxxxf −= Exercício 2.11. xsenxxf 2, cos3)( −= Exercício 2.12. xxseneexf −=)(, Exercício 2.13. senxexf xcos, )( −= Exercício 2.14. 354, )154()( xxexxf −−= Exercício 2.15. 32 3 , 2 + = + x xey x Exercício 2.16. h’ (x) = esenx cosx(1 + senx). Exercício 2.17. ( ) 5cos cot.5cosln.seccos3 3 322, + −+−= x gxsenxxxxy . Exercício 2.18. ( )22 2256 , cos)53(2 2 xsen xxsenxxey xx −−= − . Exercício 2.19. 23 2 2 , )3(1 19 74 28 xx x x xy −− −− + = . Exercício 2.20. 23 2 3 22 , )52(1 56 )8(3 )4(2 xx x xx xy −− −+ + += . Capítulo 3 Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis Vamos pensar em uma função que tenha “duas entradas”, ou seja, uma função de duas variáveis, as variáveis x e y, indicada por z = f (x, y). Podemos calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável x, indicada por x yxfou x z ∂ ∂ ∂ ∂ ),( , lida como “deo z deo x”. Nesse caso, imaginamos que a variável y “atua como uma constante”. Podemos, também, calcular a derivada de z = f (x, y) apenas em relação à variável y, indicada por y yxfou y z ∂ ∂ ∂ ∂ ),( , lida como “deo z deo y”. Nesse caso, imaginamos que a variável x “atua como uma constante”. Exemplo 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x5 + y5. Para derivarmos z = f (x, y) = x5 + y5 em relação à variável x, imaginamos que a variável y é uma constante e, consequentemente, y5 também é uma constante. Aplicando a 62 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos No caso, temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x xy x xy x xy x yx x xyyx x yxf x z ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ ln57ln57ln57),( 3 23232 A derivada de x2 em relação à variável x é 2x2−1 = 2x. A derivada de 1n x em relação à variável x é x 1 . Sendo assim, ( ) ( ) ( ) x yxy x yxy x xy x xy x yxf x z 3332 5141527ln57),( +=+= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂ Para derivarmos z = f (x, y) = 7x2y + 5y3 1n x = 7x2y + 5 (1n x)y3 em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante, então 7x2 e 5 1n x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y yx y yx y xy y yx y xyyx y yxf y z ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 323232 ln57ln57ln57),( A derivada de y em relação à variável y é 1. A derivada de y3 em relação à variável y é 3y3−1 = 3y2. Sendo assim, ( ) ( ) ( ) ( ) xyxyxx y yx y yx y yxf y z ln1573ln517ln57),( 2222 3 2 +=+= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂ Exemplo 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny. Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante, então 3y e 2seny também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que: 63Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x xseny x xy x xseny x xy x xsenyxy x yxf x z ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 2cos32cos32cos3),( A derivada de cos x em relação à variável x é − senx. A derivada de x em relação à variável x é 1. Sendo assim, ( ) ( ) ( ) ( ) senyysenxsenysenxy x xseny x xy x yxf x z 231232cos3),( +−=+−= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂ Para derivarmos z = f (x, y) = 3y cos x + 2xseny em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante, então 3cosx e 2x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que: A derivada de y em relação à variável y é 1. A derivada de seny em relação à variável y é cos y. Sendo assim, ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ( ) ∂ + ∂ ( ) ∂ = ( ) + ( ) =z y f x,y y x y y x seny y x x y( ) cos cos cos3 2 3 1 2 3cos cosx x y+ 2 Exemplo 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3. Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante. Se a variável y é considerada constante, então 3y4 e 8seny3 também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que: ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ −( ) ∂ = ∂ ( ) ∂ − ∂z x f x,y x y x xseny x y x x xseny( ) cos cos3 8 3 8 4 2 3 4 2 3( ) ∂x ∂ ∂ =∂ ∂ = ∂ +( ) ∂ = ∂ ( ) ∂ + ∂ ( ) ∂ =z y f x,y y y x xseny y y x y xseny y ( ) cos cos3 2 3 2 3 2cos x y y x seny y ∂ ( ) ∂ + ∂ ( ) ∂ 64 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos ( ) ( ) x xseny x xy x yxf x z ∂ ∂− ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 324 8cos3),( A derivada de cos x2 em relação à variável x é − (x2)’ senx2 = − 2xsenx2. Trata-se de uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por (cos u)’ = − u’senu. No caso, u = x2 e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou seja, u’ = 2x. A derivada de x em relação à variável x é 1. Sendo assim, ( ) ( ) ( ) ( )18238cos3),( 3243 2 4 senyxsenxy x xseny x xy x yxf x z −−= ∂ ∂− ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 324 86),( senysenxxy x yxf x z −−= ∂ ∂= ∂ ∂ Para derivarmos z = f (x, y) = 3y4 cos x2 − 8xseny3 em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Se a variável x é considerada constante, então 3cosx2 e 8x também “funcionam” como constantes. Aplicando as propriedades D1 e D2 do capítulo 1, temos que: ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ −( ) ∂ = ∂ ( ) ∂ − ∂z y f x,y y y x xseny y y x y xseny( ) cos cos3 8 3 8 4 2 3 4 2 3 2 4 3 3 8 ( ) ∂ = ∂ ( ) ∂ − ∂ ( ) ∂y x y y x seny y cos A derivada de y4 em relação à variável y é 4y4−1 = 4y3. A derivada de seny3 em relação à variável y é (y3)’cosy3 = 3y2 cosy3. Trata-se de uma função composta que, segundo tabela dada no capítulo 2, é derivada por (senu)’ = u’ cos u. No caso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = 3y2. Sendo assim, ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ( ) ∂ − ∂ ( ) ∂ = ( ) −zy f x,y y x y y x seny y x y x y( ) cos cos3 8 3 4 8 32 4 3 2 3 2 3 3 2 2 312 24 cos ( ) cos cos y z y f x,y y y x xy y ( ) ∂ ∂ = ∂ ∂ = − 67Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis Para derivarmos z = f (x, y) = ey3 1n(5x2 + 6x) em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Logo, 1n(5x2 + 6x) também “funciona” como constante. Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, ou seja, a derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função, temos que: ( )( ) ( ) ( ) y exx y xxe y yxf y z yy ∂ ∂+= ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 33 65ln65ln.),( 2 2 A derivada de ey3 em relação à variável y é (y3)’ey3 = 3y2 ey3, pois ey3 é uma função composta de y que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por (eu)’ = u’eu. No caso, u = y3 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = (y3)’ = 3y2. Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y: ( ) ( ) ( )( )( ) ( )xxeyeyxx y exx y yxf y z yyy 65ln3365ln65ln),( 22222 33 3 +=+= ∂ ∂+= ∂ ∂= ∂ ∂ Exemplo 3.8. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4). Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x, imaginamos que a variável y “funciona” como constante. Logo, 3y4 também “funciona” como constante. Essa derivada parcial é indicada por: ( )( ) x yxarctg x yxf x z ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 43 310),( A derivada de arctg(10x3 + 3y4) em relação à variável x é ( ) 243 2 243 ,43 )310(1 30 )310(1 310 yx x yx yx ++ = ++ + , pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por ( ) 2 , , 1 u uarctgu + = . No caso, u = 10x3 + 3y4 e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + (3y4)’ = 10(x3)’ + (3y4)’ = 10(3x2) + (0) = 30x2. Lembre-se que a derivada de 3y4 em relação à variável x é zero. 68 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x: ( )( ) 243 243 )310(1 30310),( yx x x yxarctg x yxf x z ++ = ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ Para derivarmos z = f (x, y) = arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Logo, 10x3 também “funciona” como constante. Essa derivada parcial é indicada por: ( )( ) y yxarctg y yxf y z ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 43 310),( A derivada de arctg(10x3 +3y4) em relação à variável y é ( ) 243 3 243 ,43 )310(1 12 )310(1 310 yx y yx yx ++ = ++ + , pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por ( ) 2 , , 1 u uarctgu + = . No caso, u = 10x3 +3y4 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = (10x3 + 3y4)’ = (10x3)’ + 3(y4)’ = (0) + 3(4y3) = 12y3. Lembre-se que a derivada de 10x3 em relação à variável y é zero. Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y: ( )( ) 243 343 )310(1 12310),( yx y y yxarctg y yxf y z ++ = ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ Exemplo 3.9. Calcule as derivadas parciais de .2),( 33 yx senyxyxfz + +== A derivada parcial de 33 2),( yx senyxyxfz + +== em relação à variável x é indicada por: x yx senyx x yxf x z ∂ + +∂ = ∂ ∂= ∂ ∂ 33 2 ),( 69Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis Para prosseguirmos com essa derivada, utilizamos a propriedade D4 vista no capítulo 1, relativa à derivação do quociente (divisão) de duas funções: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )233 33 33 33 .2.2 2 ),( yx x yxsenyxyx x senyx x yx senyx x yxf x z + ∂ +∂+−+ ∂ +∂ = ∂ + +∂ = ∂ ∂= ∂ ∂ Sabemos a que derivada da soma das funções é a soma da derivada de duas funções (propriedade D1 do capítulo 1) e que a derivada do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função (propriedade D2 do capítulo 1). Sendo assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x seny x x x seny x x x senyx ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ +∂ 222 ( ) ( ) ( ) x y x x x yx ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ +∂ 3333 A derivada de x em relação à variável x é 1. A derivada de seny em relação à variável x é 0. A derivada de x3 em relação à variável x é 3x2. A derivada de y3 em relação à variável x é 0. Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20)1(2222 =+= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ +∂ x seny x x x seny x x x senyx ( ) ( ) ( ) 223333 303 xx x y x x x yx =+= ∂ ∂+ ∂ ∂= ∂ +∂ Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )233 233 233 33 33 322.2. 2 yx xsenyxyx yx x yxsenyxyx x senyx x z + +−+= + ∂ +∂+−+ ∂ +∂ = ∂ ∂ ( ) ( ) ( )233 233 232 yx senyxxyx x z + +−+= ∂ ∂ 72 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por ( ) .ln , , u uu = No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável x, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 2x +0 = 2x. Lembre-se que a derivada de y2 em relação à variável x é zero. Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável x: ( ) ( )( ) ( ) ( ) + ++= ∂ +∂++ ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 22 32224 22 322 3 4 2ln3lnln)(),( yx xxyxxy x yxxyx x xy x yxf x z ( ) + ++= ∂ ∂= ∂ ∂ 22 4 2224 2ln3),( yx xyxxy x yxf x z A derivada parcial em relação à variável x já foi terminada, mas, para darmos a resposta final, ainda podemos “colocar x2 em evidência”: ( ) ( ) + ++= + ++= ∂ ∂= ∂ ∂ 22 2 2242 22 2 2224 2ln32ln3),( yx xyxyx yx xyxxy x yxf x z Para derivarmos z = f (x, y) = x3 y4 1n(x2 + y2) em relação à variável y, imaginamos que a variável x “funciona” como constante. Logo, x3 “funciona” como uma constante que multiplica y4 1n(x2 + y2). Aplicando a propriedade D2 do capítulo 1, enunciada como “a derivada do produto da constante por uma função é o produto da constante pela derivada da função”, temos que: ( )( ) ( )( ) y yxyx y yxyx y yxf y z ∂ +∂= ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 22432243 ln.ln.),( Para prosseguirmos com a derivada parcial de z em relação à variável y, temos de usar a propriedade D3 do capítulo 1, que afirma que a derivada do produto de duas funções é igual à soma do produto entre a derivada da primeira função e a segunda função com o produto entre a primeira função e a derivada da segunda função. Vejamos: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ∂ +∂++ ∂ ∂= ∂ +∂= ∂ ∂= ∂ ∂ y yxyyx y yx y yxyx y yxf y z 22422432243 lnlnln),( 73Capítulo 3 - Derivadas Parciais de Funções de duas Variáveis A derivada de y4 em relação à variável y é 4y4−1 = 4y3. A derivada de 1n(x2 + y2) em relação à variável y é ( ) 2222 ,22 2 yx y yx yx + = + + , pois se trata de uma função composta que, segundo a tabela dada no capítulo 2, é derivada por ( ) .ln , , u uu = No caso, u = x2 + y2 e u’ é a derivada de u em relação à variável y, ou seja, u’ = (x2 + y2)’ = (x2)’ + (y2)’ = 0 + 2y = 2y. Lembre-se que a derivada de x2 em relação à variável y é zero. Finalizando a derivada parcial de z em relação à variável y: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + ++= ∂ +∂++ ∂ ∂= ∂ ∂= ∂ ∂ 22 42233 22 422 4 3 2ln4lnln),( yx yyyxyx y yxyyx y yx y yxf y z ( ) + ++= ∂ ∂= ∂ ∂ 22 5 2233 2ln4),( yx yyxyx y yxf y z A derivada parcial em relação à variável y já foi terminada, mas, para darmos a resposta final, ainda podemos “colocar 2y3 em evidência”: ( ) ( ) + ++= + ++= ∂ ∂= ∂ ∂ 22 2 2233 22 2 2233 ln22ln22),( yx yyxyx yx yyxyx y yxf y z Exercícios Propostos – Capítulo 3. Exercício 3.1. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x7 + y8. Exercício 3.2. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = x3 y11. Exercício 3.3. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 4x3y + 5x5 1n y. 74 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exercício 3.4. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2 cos y + 3 ysenx. Exercício 3.5. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 7y5 cos x3 − 4x2 seny4. Exercício 3.6. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y3 + e3x5. Exercício 3.7. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = e9y3+ 3x5. Exercício 3.8. Calcule as derivadas parciais de .),( 22 yxyxfz +== Exercício 3.9. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = ex3+ 5x 1n (3y2 + 8). Exercício 3.10. Calcule as derivadas parciais de . 3 6),( 4 5 +== yxarcsenyxfz Exercício 3.11. Calcule as derivadas parciais de . 4 5cos2),( 24 yx senxyyxfz + +== Exercício 3.12. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5x2y5 1n(3x2 + y4). Exercício 3.13. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = xy7 + cot g(x2 + x4). Exercício 3.14. Calcule as derivadas parciais de . 1 sec),( 2 3 + == x yyxfz Exercício 3.15. Calcule as derivadas parciais de z = f (x, y) = 5cos x + seny. Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3. Exercício 3.1. 76 87 y y fex x f = ∂ ∂= ∂ ∂ Exercício 3.2. ∂ ∂ = ∂ ∂ =f x x y e f y x y3 112 11 3 10 Capítulo 4 Integrais Simples - Diretíssimas da Tabela Podemos pensar na integração como o processo contrário da derivação, também co- nhecido como antiderivação. Vejamos um exemplo: dada a função f (x) = x2, queremos determinar outra função, chamada de F(x), cuja derivada seja f (x) = x2, ou F’(x) = f (x). Em outras palavras, queremos achar a função F(x) que é a primitiva (integral) de f (x) = x2. Será que F(x) poderia ser a função “x elevado ao cubo”, ou seja, F(x) = x3 ? A derivada de F(x) = x3 é a função 3x3, pois 213, 33)( xx dx dFxF === − . Ou seja, a derivada de F(x) = x3 não é exatamente x2, mas é “quase isso”. Vamos tentar a função 3 )( 3xxF = ? A derivada de 3 3 3 1 3 )( xxxF == é a função x2, pois ( ) 2213,3 ,3 , 3 3 13 3 1 3 1 3 )( xxxxx dx dFxF ==== == − . 78 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Ou seja, a derivada de 3 )( 3xxF = é exatamente x2. Será que existe outra função F(x), além de 3 )( 3xxF = , cuja derivada seja f (x) = x2? Vamos tentar 5 3 )( 3 += xxF . A derivada de 5 3 )( 3 += xxF também é a função x2, pois ( ) 2213, ,3,3 , 3 3 103 3 15 3 5 3 )( xxxxx dx dFxF ==+=+ = +== − , lembrando que a derivada da constante 5 é zero. Poderíamos ter testado, por exemplo, 4 3 3 )( 3 −= xxF e, novamente, obteríamos como derivada f (x) = x2. Pensando em termos mais gerais, qualquer função do tipo CxxF += 3 )( 3 , sendo C uma constante, tem como derivada f (x) = x2. A constante C pode ser qualquer número real (positivo, negativo, inteiro, fracionário, racional ou irracional). O processo descrito anteriormente é chamado de integração indefinida, ou apenas integração. A integral indefinida da função f (x) = x2 é indicada por +== C xdxxdxxf 3 )( 3 2 . Lemos que a integral de “x elevado ao quadrado” é “x elevado ao cubo, sobre 3”, mais a constante de integração C. A integral indefinida de uma função f (x) é indicada por += CxFdxxf )()( . A função F(x) é dita primitiva de f (x). Vejamos... • +== Cxdxdx 1 , pois a derivada de x + C, em relação à variável x, é 1. 79Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabela • +== − Cxdxxdxx ln 1 1 , pois a derivada de 1n|x|+ C , em relação à variável x, é x 1 . • ++= + C n xdxx n n 1 1 , pois a derivada de C n xn + + + 1 1 , em relação à variável x, é n n x n xn = + + −+ 1 )1( 11 . • += Cedxe xx , pois a derivada de ex, em relação à variável x, é ex. • +−= Cxsenxdx cos , pois a derivada de − cos x, em relação à variável x, é − (− senx) = senx. • += Csenxxdxcos , pois a derivada de senx, em relação à variável x, é cos x. • += Ctgxxdx2sec , pois a derivada de tgx, em relação à variável x, é sec2 x. • +−= Cgxxdx cotseccos 2 , pois a derivada de − cot gx, em relação à variável x, é cos sec2 x. • += Cxtgxdxx sec.sec , pois a derivada de sec x, em relação à variável x, é sec x.tgx. • +−= Cxgxdxx seccoscot.seccos , pois a derivada de − cos sec x, em relação à variável x, é − (− cos sec x) = − (− cos sec . cot gx) = cos sec x . cot gx. Seguindo o raciocínio anterior, podemos elaborar a tabela de integrais imediatas que segue. 82 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Lembre-se que, somando 1 a − 7, temos − 6 e não − 8! Ou seja, a integral de x −7 é 6 6 − −x . Na “transformação” de 6 6 − −x em 66 1 x − não usamos qualquer regra de derivação: apenas aplicamos a equivalência 61 x x x a a →= −− . Exemplo 4.3. Calcule .6 5 dxx Temos de integrar “x elevado à fração 5/6”. Usamos a seguinte regra da tabela: ++= + . 1 1 C n xdxx n n No caso, 6 5=n . Ou seja, a integral de “x elevado a 6 5 ” é “x elevado a 1 6 5 + , dividido pela soma 1 6 5 + ”, resultando em “x elevado a 6 11 , dividido por 6 11 ”, além da constante de integração, conforme segue. CxCxCxCxdxx +=+=++=++ = + + 11 6 6 11 6 6516 5 6 11 6 11 6 65 16 5 6 5 Lembre-se que, para somar 5/6 com 1, devemos fazer: 6 11 6 65 6 6.151 6 5 =+=+=+ . 1 x = 6 83Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabela Exemplo 4.4. Calcule .)( 33 +− dxxx Temos de integrar a soma de “x elevado a − 3” com “x elevado a 3”. Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a propriedade P1, que afirma que a integral da soma (ou subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integrais das funções: .)()())()(( ±=± dxxgdxxfdxxgxf Ou seja, +=+ −− dxxdxxdxxx 3333 )( Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por . 1 1 ++= + C n xdxx n n Logo, ++ −=++ − =+ + + +− =+=+ −++− −− Cx x CxxCxxdxxdxxdxxx 42 1 421313 )( 4 2 421313 3333 Observe que se integrarmos duas funções, cada uma delas “gera” sua constante de integração. Quando somamos as inte- grais dessas duas funções, temos a soma das constantes de integração. Como a soma de duas constantes resulta, sempre, em uma constante, podemos expressar essa soma como uma “única” constante C. Exemplo 4.5. Calcule .)37( 4 + dxx Temos de integrar a soma de 7 com o triplo de “x elevado a 4”. Ou seja, a soma de 7 com x4 multiplicado pela constante 3. 84 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as propriedades P1 e P2, as quais, respecti- vamente, afirmam que: • a integral da soma (ou da subtração) de duas funções é igual à soma (ou subtração) das integrais das funções (P1); • a integral do produto (multiplicação) de uma constante k por uma função é igual à constante k multiplicada pela integral da função (P2). Ou seja, +=+=+ dxxdxdxxdxdxx 444 3737)37( Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por ++= + C n xdxx n n 1 1 e . += Cxdx Vejamos: CxxCxxCxxdxxdxdxx ++=++=+ + +=+=+ + 5 37 5 37 14 3737)37( 5514 44 Exemplo 4.6. Calcule .)cos8( + dxx Temos de integrar a soma de 8 com o cosseno de x. Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades: ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e .)(.)(. = dxxfkdxxfk Ou seja, +=+=+ xdxdxxdxdxdxx cos8cos8)cos8( 87Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabela Desse modo, chegamos a três integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por: +== − Cxdxxdxx ln 1 1 , ++= + C n xdxx n n 1 1 e +−= Cgxxdx cotseccos 2 Vejamos: +−−=+−= +− Cgxxxxdxdxxdx x dxxx x cot 2 lnseccos1seccos1 2 212 Exemplo 4.10. Calcule .9 5 2 − dx x Temos de integrar a função 222 3 1 9 1 xx − = − multiplicada pela constante 5. Veja que escrevemos a constante 9 como 32 a fim de nos “adequarmos” a um caso presente na tabela de integrais. Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar a seguinte propriedade: = dxxfkdxxfk )(.)(. . Ou seja, − = − dx x dx x 222 3 15 9 5 Desse modo, temos uma integral diretíssima da tabela, resolvida por: .1 22 + = − C a xarcsendx xa Vejamos: + = − = − Cxarcsendx x dx x 3 5 3 15 9 5 222 88 Como Resolver Derivadas e Integrais - Mais de 150 Exercícios Resolvidos Exemplo 4.11. Calcule .)23( +− dxx Temos de integrar a soma da constante − 3 com a função exponencial de base 2 (“2 elevado a x” ou 2x). Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades: ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e = dxxfkdxxfk )(.)(. Ou seja, +−=+−=+− dxdxdxdxdx xxx 2323)23( Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por: += Cxdx e += Caadxa xx ln 1 Vejamos: ++−=+−=+−=+− Cxdxdxdxdxdx xxxx 2.2ln 132323)23( Observe que, na parcela dada por 2 elevado a x, ou 2x, o núme- ro 2 não é uma constante que multiplica uma função: o número 2 é a própria base da função exponencial. Exemplo 4.12. Calcule .cot.seccos 4 + dxgxx x Podemos escrever + dxgxx x cot.seccos4 89Capítulo 4 - Integrais Simples - Diretíssimas da Tabela como + dxgxx x cot.seccos14 . Vamos integrar a soma de x 1 , multiplicado pela constante 4, com o produto da cossecante de x pela cotangente de x. Antes de usarmos a tabela, vamos aplicar as seguintes propriedades: ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( e = dxxfkdxxfk )(.)(. Ou seja, +=+= + gxdxxdx x gxdxxdx x dxgxx x cot.seccos14cot.seccos4cot.seccos4 Desse modo, temos duas integrais diretíssimas da tabela, resolvidas por: +== − Cxdxxdxx ln 1 1 e +−= Cxgxdxx seccoscot.seccos Vejamos: +=+= + gxdxxdx x gxdxxdx x dxgxx x cot.seccos14cot.seccos4cot.seccos4 +−= + Cxxdxgxx x seccosln4cot.seccos4 Embora o produto da cossecante pela cotangente possa pare- cer complicado, a integral desse produto está na tabela de integração. Ou seja, a integral de cosecx.cotgx é diretíssima da tabela!