CÁLCULO 2 - 12º ED - GEORGE THOMAS

CÁLCULO 2 - 12º ED - GEORGE THOMAS

(Parte 1 de 6)

ISBN 978-85-8143-087-4

Cál u lo l u me 2 o MAS

WeirH ASS

12a edição

CálCulo volume 2

GeorGe B. THoMAS MAuriCe D. Weir e Joel HASS

12a edição

Matemática

/ Eng enharia w .pearson.com.br

CálCulovolume 2

GeorGe B. THoMAS MAuriCe D. Weir e Joel HASS

12a edição sv.pearson.com.br O site de apoio do livro oferece, para professores, manual de soluções (em inglês), apresentações em PowerPoint e resolução dos exercícios avançados; para alunos, biografias históricas, exercícios de múltipla escolha, capítulo adicional e exercícios avançados.

Este livro também está disponível para compra em formato e-book. Para adquiri-lo, acesse nosso site.

Desde a sua primeira publicação, esta obra clássica do Thomas tem alcançado pleno sucesso em uma difícil missão: tornar o cálculo uma disciplina fascinante, promovendo o raciocínio e a construção do conhecimento, em vez de memorização de fórmulas. E esta nova edição continua levando essa tradição a novos patamares.

O estilo direto de apresentação das teorias e a linguagem clara e precisa das aplicações sempre fizeram deste livro uma referência entre os professores, estudantes e profissionais das áreas de ciências e engenharia.

Esta edição apresenta seu conteúdo reestruturado, com mais exercícios e figuras, a fim de tornar a obra mais didática e facilitar o ensino e a aprendizagem deste importante ramo da matemática.

Indicado para cursos de engenharia e demais áreas das ciências exatas, Cálculo, de Thomas, Weir e Hass, reúne qualidades que fazem dele um dos livros de cálculo mais completos e didáticos já publicados.

CálCulo volume 2

São Paulo

Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela

CálCulo volume 2

GEoRGE B. THoMAS

MAuRiCE D. WEiR NAvAl PoSTGRADuATE SCHool

Tradução CARloS SCAliCi revisão Técnica

ClAuDio HiRofuME ASANo iNSTiTuTo DE MATEMáTiCA E ESTATÍSTiCA DA uNivERSiDADE DE São PAulo

JoEl HASS uNivERSiTy of CAlifoRNiA, DAviS ediçãoRespeite o direito autoral abdr

© 2013 by Pearson Education do Brasil © 2010, 2006, 2001 by Pearson Education, Inc.

Tradução autorizada a partir da edição original em inglês, Thomas’ Calculus Early Transcendentals, 12. ed., publicada pela Pearson Education, Inc., sob o selo Addison-Wesley

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização por escrito e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil.

Setembro 2012

Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à

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Diretor editorial e de conteúdo Roger Trimer

Gerente geral de projetos editoriais Sabrina Cairo

Gerente editorial Kelly Tavares

Gerente da central de conteúdos Thaïs Falcão Supervisora de produção editorial Silvana Afonso

Supervisor de arte e produção gráfica Sidnei Moura Coordenador de produção editorial Sérgio Nascimento

Editor de aquisições Vinícius Souza

Editoras de texto Cibele Cesario e Ana Antonio Editor assistente Luiz Salla

Preparação Raul Coachmann

Revisão Norma Gusukuma, Maria Cecília Madarás, Juliana Rochetto e

Raura Ikeda

Índice remissivo Silvana Gouveia, Adriane Schirmer e Luiz Salla

Capa Solange Rennó Diagramação Globaltec Editorial & Marketing

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Cálculo, volume 2 / George B. Thomas...[et al.]; tradução Carlos Scalici; revisão técnica Claudio Hirofume Asano. – 12. ed. – São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.

Outros autores: Maurice D. Weir, Joel Hass

Título original: Calculus. ISBN: 978-85-8143-087-4

1. Cálculo I. Thomas, George B. I. Weir, Maurice D. II. Hass, Joel. 12-11214 CDD-515

Índice para catálogo sistemático: 1. Cálculo : Matemática 515

Créditos das imagens: Capa – Forest Edge, Hokuto, Hokkaido, Japan 2004 © Michael Kenna; Prefácio – Cozyta / Shutterstock; Cap. 10 – Triff / Shutterstock; Cap. 1 – Urciser / Shutterstock; Cap. 12 – Sergey Lukyanov / iStockphoto / Getty Images; Cap. 13 – Anne Kitzman / Shutterstock; Cap. 14 – Lu linsheng / iStockphoto / Getty Images; Cap. 15 – Chan Yee Kee / iStockphoto / Getty Images; Cap. 16 – Saintho / iStockphoto / Getty Images; Apêndice – Tammy Venable / iStockphoto / Getty Images.

Prefáciovii
10 SequênciaS e SérieS infinitaS1
10.1 Sequências1
10.2 Séries infinitas13
10.3 Teste da integral2
10.4 Testes de comparação27
10.5 Testes da razão e da raiz32
10.6 Séries alternadas, convergência absoluta e condicional37
10.7 Séries de potências4
10.8 Séries de Taylor e de Maclaurin52
10.9 Convergência de séries de Taylor57
10.10 Séries binomiais e aplicações das séries de Taylor64
Questões para guiar sua revisão72
Exercícios práticos72
Exercícios adicionais e avançados74
1 equaçõeS paramétricaS e coordenadaS polareS7
1.1 Parametrizações de curvas planas7
1.2 Cálculo com curvas paramétricas85
1.3 Coordenadas polares93
1.4 Desenhando gráficos em coordenadas polares97
1.5 Áreas e comprimentos em coordenadas polares101
1.6 Seções cônicas105
1.7 Cônicas em coordenadas polares13
Questões para guiar sua revisão120
Exercícios práticos120
Exercícios adicionais e avançados122
12 VetoreS e a geometria do eSpaço125
12.1 Sistema de coordenadas tridimensional125
12.2 Vetores129
12.3 Produto escalar138
12.4 Produto vetorial146
12.5 Retas e planos no espaço151
12.6 Cilindros e superfícies quádricas159
Questões para guiar sua revisão164
Exercícios práticos165
Exercícios adicionais e avançados166
13 funçõeS VetoriaiS e moVimentoS no eSpaço170
13.1 Curvas no espaço e suas tangentes170
13.2 Integrais de funções vetoriais; movimento de projétil178
13.3 Comprimento de arco no espaço187
13.4 Curvatura e vetores normais de uma curva191
13.5 Componentes normal e tangencial da aceleração197
13.6 Velocidade e aceleração em coordenadas polares202
Questões para guiar sua revisão205
Exercícios práticos205
Exercícios adicionais e avançados207
14 deriVadaS parciaiS209
14.1 Funções de várias variáveis209
14.2 Limites e continuidade em dimensões superiores217
14.3 Derivadas parciais226
14.4 Regra da cadeia237
14.5 Derivadas direcionais e vetores gradientes245
14.6 Planos tangentes e diferenciais253
14.7 Valores extremos e pontos de sela264
14.8 Multiplicadores de Lagrange272
14.9 Fórmula de Taylor para duas variáveis281
14.10 Derivadas parciais com variáveis condicionadas285
Questões para guiar sua revisão290
Exercícios práticos290
Exercícios adicionais e avançados294
15 integraiS múltiplaS297
15.1 Integrais duplas e iteradas sobre retângulos297
15.2 Integrais duplas sobre regiões gerais302
15.3 Área por integração dupla311
15.4 Integrais duplas na forma polar314
15.5 Integrais triplas em coordenadas retangulares320
15.6 Momentos e centros de massa329
15.7 Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas336
15.8 Substituições em integrais múltiplas348
Questões para guiar sua revisão357
Exercícios práticos357
Exercícios adicionais e avançados359
16 integração em campoS VetoriaiS362
16.1 Integrais de linha362
16.2 Campos vetoriais e integrais de linha: trabalho, circulação e fluxo368
e funções potenciais381
16.4 Teorema de Green no plano392
16.5 Superfícies e área404
16.6 Integrais de superfície414
16.7 Teorema de Stokes423
16.8 Teorema da divergência e teoria unificada433
Questões para guiar sua revisão4
Exercícios práticos4
Exercícios adicionais e avançados447
Apêndices451
Respostas selecionadas491
Índice remissivo525
Breve tabela de integrais535

Prefácio

Com o propósito de atender às necessidades atuais de alunos e professores, revisamos cuidadosamente esta edição de Cálculo. O resultado é um livro com uma variedade maior de exemplos, mais exercícios de nível médio, mais figuras e melhor fluxo conceitual, bem como mais clareza e precisão. Como nas edições anteriores, esta nova edição apresenta uma introdução moderna ao cálculo que apoia a compreensão conceitual e mantém os elementos essenciais de um curso tradicional.

Nesta décima segunda edição, apresentamos as funções transcendentes básicas no Capítulo 1. Após revisar as funções trigonométricas básicas, apresentamos a família de funções exponenciais, utilizando abordagem algébrica e gráfica, com a exponencial natural descrita como membro específico dessa família. Os logaritmos foram então definidos como funções inversas das exponenciais, e as funções trigonométricas inversas também foram discutidas. Essas funções foram plenamente incorporadas ao nosso desenvolvimento de limites, derivadas e integrais nos cinco capítulos seguintes do livro, incluindo exemplos e exercícios. Essa abordagem oferece aos alunos a oportunidade de trabalhar o quanto antes com funções exponenciais e logarítmicas juntamente com funções polinomiais, racionais e algébricas e funções trigonométricas, à medida que conceitos, operações e aplicações do cálculo de variáveis únicas são aprendidos. Mais adiante, no Capítulo 7, revisitamos a definição de funções transcendentes, agora com uma apresentação mais acurada. Definimos a função logaritmo natural como uma integral que tem exponencial natural como sua inversa.

Muitos de nossos alunos estiveram em contato com a terminologia e com os aspectos computacionais do cálculo durante o ensino médio. Apesar dessa familiaridade, a destreza do estudante em álgebra e trigonometria muitas vezes o impede de ser bem-sucedido na sequência de cálculo na faculdade. Nesta edição, procuramos equilibrar a experiência prévia dos alunos em cálculo com o desenvolvimento da habilidade algébrica que ainda pode ser necessária, sem prejudicar ou arruinar a autoconfiança de cada um. Tomamos o cuidado de fornecer material de revisão suficiente, acrescido de soluções completas e exercícios que oferecessem suporte ao entendimento completo de alunos de todos os níveis.

Incentivamos os alunos a raciocinar, em vez de memorizar fórmulas, e a generalizar conceitos à medida que eles são apresentados. Esperamos que, depois de aprenderem cálculo, eles se sintam confiantes em resolver problemas e em sua habilidade de raciocínio. A recompensa é o domínio de um belo assunto, com aplicações práticas no mundo real, mas o verdadeiro presente são as capacidades de pensar e generalizar. Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo a ambas.

Inovações da décima segunda edição

CONTEÚDO Ao preparar esta edição, mantivemos a estrutura básica do conteúdo da décima primeira edição. Levamos em conta as solicitações dos leitores atuais e dos revisores em adiar a introdução de equações paramétricas até que as coordena- viii Cálculo das polares fossem apresentadas. Efetuamos várias revisões na maioria dos capítulos, detalhadas a seguir:

• Funções Resumimos o Capítulo 1, Volume 1, para que ele tivesse como foco a revisão dos conceitos de função e a apresentação das funções transcendentes. Nos Apêndices 1 a 3, apresentamos os pré-requisitos materiais que abrangem números reais, intervalos, incrementos, retas, distâncias, círculos e parábolas.

• Limites Para melhorar o fluxo do capítulo, combinamos as ideias de limites que envolvem infinitude e as associações das assíntotas com gráficos de funções, dispondo-os juntos na seção final do Capítulo 3, Volume 1.

• Derivadas Ao usar taxas de variação e tangentes às curvas como motivação ao estudo do conceito de limite, fundimos o conceito de derivada em um único capítulo. Reorganizamos e aumentamos o número de exemplos relacionados a taxas e acrescentamos outros exemplos e exercícios sobre gráficos de funções racionais. A regra de L’Hôpital é apresentada como uma seção de aplicação, coerente com a abrangência anterior sobre funções transcendentes.

• Primitivas e integração Mantivemos a organização da décima primeira edição ao colocarmos as primitivas como o tópico final do Capítulo 4, Volume 1, passando pelas aplicações de derivadas. Nosso foco é a “recuperação de uma função a partir de sua derivada” como solução para o tipo mais simples de equação diferencial de primeira ordem. Um tema novo que compõe a essência do Capítulo 5, Volume 1, são as integrais como “somas dos limites de Riemann”, motivado a princípio pelo problema de determinar as áreas de regiões gerais com limites curvos. Após o desenvolvimento cuidadoso do conceito de integral, voltamos nossa atenção ao cálculo dela e à sua ligação com as primitivas provenientes do teorema fundamental do cálculo. Assim, as aplicações seguintes definem as várias ideias geométricas de área, volume, comprimento de caminhos e centroides como limites das somas de Riemann que geram integrais definidas que podem ser calculadas por meio da determinação da primitiva do integrando. Mais adiante, retornamos ao assunto de como solucionar equações diferenciais de primeira ordem mais complexas.

• Equações diferenciais Algumas universidades preferem que esse assunto seja tratado em um curso à parte. Embora tenhamos abrangido soluções para equações diferenciais separáveis no Capítulo 7, Volume 1, ao tratarmos as aplicações de crescimento e decaimento exponencial de funções integrais e transcendentes, a maior parte de nosso material foi organizada em dois capítulos (passíveis de serem omitidos na sequência de cálculo). No Capítulo 9, Volume 1, introduzimos as equações diferenciais de primeira ordem, incluindo uma nova seção sobre sistemas e planos de fase com aplicações relativas aos modelos caçador competitivo e predador-presa.

• Séries Quanto à sequência e séries, mantivemos a mesma estrutura organizacional e o mesmo conteúdo da décima primeira edição. Adicionamos novas figuras e exercícios às várias seções, e, para tornar o material mais acessível aos alunos, revisamos algumas das provas relacionadas à convergência de séries de potência. Uma das solicitações de um de nossos leitores, “qualquer tentativa de tornar esse material mais fácil de ser compreendido por nossos alunos será bem recebido por nosso corpo docente”, guiou nosso pensamento nas revisões do Capítulo 10, Volume 2.

• Equações paramétricas Vários leitores solicitaram que passássemos esse tópico para o Capítulo 1, Volume 2, em que incluímos também coordenadas polares e seções cônicas. Fizemos isso ao perceber que muitos departamentos escolhem abordar esses tópicos no início de Cálculo I, ao se prepararem para o assunto vetores e cálculo com multivariáveis.

• Funções vetoriais Simplificamos os assuntos do Capítulo 13, Volume 2, para enfatizar as ideias conceituais que apoiam o material posterior sobre derivadas parciais, vetores gradientes e integrais de linha. Condensamos as discussões do plano de Frenet e as três leis do movimento planetário de Kepler.

• Cálculo com multivariável Nos capítulos que tratam desse assunto, reforçamos ainda mais o projeto gráfico e adicionamos figuras novas, exemplos e exercícios. Reorganizamos o material de abertura em integrais duplas, e com-

Prefácio ix binamos as aplicações de integrais duplas e triplas para massas e momentos em uma única seção, abrangendo casos bidimensionais e tridimensionais. Essa reorganização permitiu um melhor fluxo dos conceitos básicos da matemática, em conjunto com suas propriedades e aspectos computacionais. Assim como na décima primeira edição, continuamos a fazer a conexão da ideia de multivariáveis com a ideia análoga de variáveis únicas abordada no início do livro.

• Campos vetoriais Devotamos um esforço considerável para aumentar a clareza e a precisão matemática no tratamento de cálculo vetorial integral, incluindo muitos exemplos adicionais, figuras e exercícios. Os teoremas e os resultados importantes são apresentados de forma mais clara e completa, juntamente com explicações avançadas de suas hipóteses e consequências matemáticas. Agora, a área da superfície está organizada em uma única seção, e as superfícies definidas implícita ou explicitamente são tratadas como casos especiais de uma representação paramétrica mais geral. Em uma seção separada, são apresentadas as integrais de superfície e suas aplicações. O teorema de Stokes e o teorema da divergência continuam sendo apresentados como generalizações do teorema de Green para três dimensões.

EXERCÍCIOS E EXEMPLOS Sabemos que exercícios e exemplos são componentes críticos para a aprendizagem de cálculo. Devido a essa importância, atualizamos, melhoramos e aumentamos o número de exercícios em quase todas as seções do livro. Nesta edição, há mais de 700 exercícios novos. Como nas edições anteriores, continuamos a organizar e agrupar os exercícios por temas, progredindo de problemas computacionais para problemas aplicados e teóricos. Os exercícios que requerem a utilização de sistemas de software de computador (como o Maple® ou Mathematica®) foram colocados ao final de cada seção de exercícios, sob o título “Uso do computador”. A maioria dos exercícios aplicados têm um subtítulo para indicar o tipo de aplicação ao qual o problema se refere.

Muitas seções incluem novos exemplos para esclarecer ou aprofundar o significado do tema que está sendo discutido e para ajudar os alunos a compreender suas consequências matemáticas ou aplicações em ciência e engenharia. Ao mesmo tempo, foram excluídos os exemplos que repetiam o material já apresentado.

PROJETO GRÁFICO Percebendo sua importância na aprendizagem do cálculo, continuamos a aprimorar as figuras atuais nesta nova edição, e criamos um número significativo de novas figuras. Verificamos também as legendas, prestando muita atenção à clareza e à precisão em frases curtas.

x y

FIGURA 16.9 Superfície em um espaço ocupado por um fluído móvel.

y 5 P y 5 -P 0

Não importa que número positivo seja P, o gráfico entra nesta banda em x = - e permanece.

Não importa que número positivo seja P, o gráfico entra nesta banda em x = e permanece.

FIGURA 2.50 Geometria por trás do argumento no Exemplo 1.

x Cálculo

Características preservadas

RIGOR O nível de rigor é consistente com o de edições anteriores. Continuamos a distinguir entre as discussões formais e informais e apontar suas diferenças. Entendemos que a adesão a uma abordagem mais intuitiva e menos formal ajuda os alunos a compreender um conceito novo ou difícil para que possam, então, apreciar a precisão matemática e seus resultados de forma completa. Tivemos cuidado ao definir ideias e demonstrar os teoremas de forma adequada aos alunos de cálculo, mencionando que questões mais profundas ou sutis devem ser estudadas em um curso mais avançado. A organização e a distinção entre as discussões formais e informais oferecem ao professor um grau de flexibilidade em quantidade e profundidade na abrangência dos diversos tópicos. Por exemplo, enquanto não provamos o teorema do valor intermediário ou o teorema do valor extremo para funções contínuas no intervalo entre a ≤ x ≤ b, explicamos esses teoremas de forma precisa, ilustrando seus significados em inúmeros exemplos e utilizando cada um deles para provar outros resultados importantes. Além disso, para os professores que desejam uma abordagem ainda mais profunda, discutimos no Apêndice 6 a dependência da validade desses teoremas em relação à completude dos números reais.

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