Baixe exercícios de topografia - alberto de campos borges parte 1 e outras Exercícios em PDF para Topografia, somente na Docsity! he XERCÍCIOS DE TOPOGRAFIA Prefácio da 2.º edição... IX Correção de distâncias. 1 Levantamento por medidas lineares . 2 Rumos e azimutes calculados «,.... 3 Correção de rumos e azimutes.......cc. 8! Rumos e azimutes magnéticos e verdadeiros .. 15 Correção de coordenadas .. no Cálculo da área de polígono, por duplas distâncias meridianas ........ 2 Cálculo de área de polígono pelo método das coordenadas dos vértices (coordenadas totais) Gate foi er Re fal Poligonal fechada ... 40 Problemas com nônio........ 43 Fórmulas de Bezout, Simpson, Poncelet . 45 Nivelamento geométrico . 49, Taqueometria ........... 56 Método das rampas ....... 59: Mira de base (subtense bar) 60 Nível de mão . na 63 Clinômetro (nível de Abney) 65 Curvas deníyel sic smie rios in or aca 67 Cálculo da distância entre 2 pontos (indiretamente) 70 Topografia subterrânea. . 76 Problema dos três pontos (Pothenot) .. 7 Pothenot (1.º solução analítica) . 79 Pothenot (2º solução analítica) . 81 Terraplenagem ............. o: Cálculo da vazão usando vertedor.... nuns «AO! Cálculo de vazão usando vertedor e molinete . “102 Curvas horizontais circulares ........i. Curva vertical simétrica (por arco de parábola)... Superclevação nas curvas . Espiral de transição .... Correção prismoidal.... Excentricidade de uma seção transversal... Correção de volumes em trechos em curva Locação dos taludes (slope stakes) .... Diagrama de massas — construção do diagrama . Determinação do meridiano verdadeiro: método das alturas iguais Correção de medidas de linhas de base Exercícios propostos c com respostas Prefácio da 2º edição..... IX Correção de distâncias. 1 Levantamento por medidas lineares . a Rumos e azimutes calculados «...... 3 Correção de rumos e azimutes.......... 1H Rumos e azimutes magnéticos e verdadeiros 15 Correção de coordenadas .........iiiiiioo Roo: Cálculo da área de poligono, por duplas distâncias meridianas epa TA Cálculo de área de polígono pelo método das coordenadas dos vértices (coordenadas ÃO ao mi Poligonal fechada 40 Problemas com nônio 43 Fórmulas de Bezout, Simpson, Poncelet . 45 Nivelamento geométrico 49 Taqueometria ............ 56 Método das rampas ....... 59 Mira de base (subtense bar) .. 60 Nível de mão .........: ds 63 Clinômetro (nível de Abney) 65 Rcsaside nivel aa pao 67 pontos (indiretamente) 7% Topografia subterrânea. ........... Problema dos três pontos (Pothenot) Pothenoi (1.º solução analítica)... Pothenot (2.º solução analítica)... Terraplenagem... Cálculo da vazão usando vertedor . E ER Cálculo de vazão usando vertedor e molinete . Curvas horizontais cireulres .......ciiiooo Curva vertical simétrica (por arco de parábola) .. Superelevação nas curvas .......iiiiiieiioo Espiral de transição .. Correção prismoidal... Excentricidade de uma seção transversal .... Correção de volumes em trechos em curva. Locação dos taludes (slope stakes) ....iic Diagrama de massas — construção do diagram: Determinação do meridiano verdadeiro: método das alturas iguais . 173 Correção de. medidas de linhas de DaSe rca cando oa 175 Excrcícios propostos e com FESPOStAS E 180 prefácio da 2.2 edição Meu contacto, durante dezenas de anos, com a Topografia, quer.na profissão, quer no magistério, motivou este livro de exercícios. Com à experiência adquirida como autor (Prática das Pequenas Construções — 2 volumes) em outro ramo da engenharia, procurei ser objetivo e prático neste novo livro, gue não pretende atingir todas as atividades da Topografia, pois não aborda exercícios de grande porte. É destinado principalmente ao ensino da Topografia. Pretende, pois, auxiliar os professores e alunos da disciplina. Contando nosso país com mais de duas centenas de escolas de engenharia, penso que se pode considerar válida a idéia de se editarem livros apropriados ao ensino, tanto quanto para consultas profissionais. Muito acertadamente a Topografia já foi definida como Geometria Aplicada e sendo a Geometria uma ciência de raciocínio, transmitiu à Popografia esse ca- ráter. Se verificarmos que a Topografia praticamente não usa formulários, vemos que sua função numa faculdade de engenharia é justamente ativar a inteligência dos alunos, que se encontra adormecida por tantos anos de estudo sem essa carac- terística. Logicamente, dentro da Topografia, quando se abordam problemas, estaremos justamente alcançando tal objetivo. Como professor em três faculdades, numa delas há 28 anos, tivc ocasião de acumular questões de provas que venho formulando. Após uma seleção, resultaram os exercícios que compõem estc livro. Esses exercícios podem ser usados como questões de provas (geralmente com três, quatro ou cinco questões), por serem de rápida solução, porém objetivas, no intuito de avaliar o conheciménto do examinando. Enfim, espero ter realizado alguma coisa de útil para meus colegas professores, alunos de Engenharia c os interessados em usufruir deste livro. O AUTOR Observação: diversos desenhos necessitaraii de redução para que coubessem nas dimensões do livro; com issos as escalas foram alteradas. Para se encontrar a escala com que o desenho aparece na publicação é necessário partir de uma me- dida indicada, comparando-a com a dimensão aqui representada. aparece em cinza. quer amarrar pontos usam-se triângulos. narrar detalhes que acompanham a linha medida pode-se usar perpen- s sem aparelho, e azimutes calculados (a N N59 E RE s Rumo de A-l: N 59º E Azimute de A-l: 59º Rumo de A-2: S48ºE Azimute de A-2: 132º Rumo de A-3: S37º W: Azimute de A-3: 217º Rumo de A-4: N23º W Azimute de A-4: 337º Observação: os azimutes são à direita (sentido horário) do norte Rumo ré de A-1 = Rumo de 1-4 = 859º W Rumo ré de A-2 = Rumo de 2-4 = N 48º W Rumo ré de A-3 = Rumo de 3-4 = N 37º E Rumo ré de A-4 — Rumo de 4-4 — 523º E Os rumos ré, na comparação com os rumos vantes, apenas as letras são tro- 4 OS valores numéricos permanecem zimute ré de A-l = Azimute de 1-A = 239º nute ré de A-2 = Azimute de 2-A = 312º e ré de A-3 = Azimute de 3A = 37º e ré de A-4 — Azimute de 4-4 = 157º utes Té diferenciam-se em 180º dos azimutes vantes. Alberto de Campos Borges Ângulo à direita entre duas linhas é o ângulo medido no sentido horário de ré para vante. EXERCÍCIO 8 Calcular os azimutes à direita c?| Ponto | Ângulo à | Azimute à 68” | visado | direita direita N 3 o 352.154 4 108º 22º 143º 37º 4 3 E É 5 241º33' 205º 10" 5 4 6 176º 50" 202º 00" Bs Eh 7 193º 10 215º 10' oa 3505" ++ 108º 22" 143º 37 = Azimute de 3-4 GR QSSS! (241º 33-180º) 205 10 = Azimute de 4-5 O! (180º-176º 507) — 20200" — Azimute de 5-6 alta A (193º 110"-180º) 215º 10º — Azimute de 6-7 Jechamenio angular do polígono pelos rumos calculados e pela Ângulo à Rumo 7 ireita. calculado Cálculo dos rumos “FER E) Rumo 1-2 N 42º 00' W (esq.) 0 : + 6532" (esq) “8 82º 07" N 42º 00º W 107232” 1 Rumo 2-3 $72º28' W (dir.) E 114º 28! 87228 W da 2200400 (dir) 2 94737 4 202º 04º N85º28 w Rumo 3-4 N 85º 28' W (esq.) 3 4 st DIS inA esq) 5 8843 s 315 W rea 4 Rumo 4-5 S 3º15' W (dir.) o Snf PISA = 1º10' (esq.) E CO mn OT 05º W (dir.) 4 , a = 12614 (esq) BRR s3a6 | Nsssiie —— amo” Soma: 719º 5g' Rumo 0-1: N 55º 51' E * Pela fórmula E = (n*-2)180º = (6-2)180º — 720º erro: 2º Usando o rumo de 0-1 = N55º51'E eo ângulo na estaca 1 (82º 07') vamos o rumo de 1-2 Rumo 0-1 N 55º 51" E (dir) mo 953 (esq) Rumo de 1-2 N 42º 02'W . Comparando este rumo com o rumo inicial temos o mesmo erro de 2' *n: é o número de lados ou vértices do polígono. EXERCÍCIO 10 E O ângulo à direita na estaca 5 é 192º 10"; o rumo de 4-5 éN 15º 20' W. Calcular O rumo de 5-6 fazendo o esquema. e 192º 10" =15º 20º Es 176º 507 Rumo de 5-6 N 3 10'W Ec da a Á ) 5 s norte i58201 5 NF ow 15920! Ee Resposta: o rumo de 5-6 é N3º10'W Ma 8 EXERCÍCIO 13 Completar a tabela abaixo. Alberto de Campos Borges Linh Rumo | Azimute à direita Azimute à esquerda inha | Vante RÉ | Vante Ré Vanto RE A-B N27º 48 W S27 48 E | 332º 12" | 152º 12' 27º 48º | 207º 48' B-C SICAF E | NIQ 18 W | 169º 42' 349º 42 | 190º 18' 10º 18” CD S 97,02 W N 97,02 E 297,02 “97,02 | 7102,98 302,98 D-E NAPIVE | S42 19 W| 4219 | 22219 31741 | d37AI EF |.S4,02E N40,02W | 159,98 | 35998 | 240,02 40,02 FG | S1847 W | NI&47 E | 21847 | 1847 | 181,53 | 381,53 Os valores dados estão em normal. Os valores calculados em preto. AZIMUTE À ESQUERDA RÉ, DV Figura correspondente à linha A-—B ad DIREITA RÉ AZIMUTE DIREITA RÉ RUMO VANTE E AZIMUTE “À ESQUERDA VANTE AZIMUTE À DIREITA VANTE mos e determinar o erro de fechamento angular do polígono pelos ss e pela somatória dos ângulos internos. Ângulo à Rumo Rumo 2-3 N1532'E (dir) direita calculado = 450º (esq) T Rumo 3-4 — NIGA4XE (dir. ú aos — 3602 (esq) no 4:58 MRNIDSS Ovi (ea E ; , + nº15 (esq) 175º 10 N 1042 E + oo «90º w Rumo 5-6 S 83º 25' W (dir.) 143º 58 N 25:20 W er fair) 7 ori 150377 dota O imo 657 N 29º 23 W (csq.) ' o dar + 101007 (esq) 247º 12 N29º23/ W TS QESO ER 5 + w Rumo 7-8 S 49º 30º W (dir.) Ê 78º 53 849º 30! W -s85p (esa) in + -Rumo 8-9 S79220E) (esq), 121º 08 Ss 92rE - Capes (dio) ; o 11: w Rumo 9-10 — 57811 W (dir) .267º 33 S78 11 W = 947 (esa) DES? +p Rumo 10-11 51336 E (esq) 88º 13 S13º36 E + orhs (esa) Sri ) 1074977 Pe NG o LI NES 7 H E 401” (dir) 220º 11 S 70º 38 E E E 1619057! Rumo 1-2 S 70 38' E (esq.) - + 9353 (esq) 16431 Rumo 2-3 N 15º 29%E * Recálculo do rumo de 2-3, N 15º 29' E: comparando o rumo inicial N 15º 32' E =se que o erro de fechamento angular é de 3. (n-2)180º = (11-2)180º= 1.620º 1.620º- 1.619º 57' —. erro de 3º (Figura na página seguinte) Alberto de Campos Borges Er , fosrass / 2200 ||! NA VOLTA ESTE 2 RUMO RESULTOU 15229. PORTAN- TO: ERRO DE FECHAMENTO ANGULAR É DE 3 MINUTOS. sografia 13 ificar este resultado calculando os ângulos internos do polígono umos vante e ré de cada estaca. = lo na estaca 2 Ângulo na estaca 3 [LN IscE &.t6º + 180289040") cIas020! 2 3 / gs E 5 ni e N10S30 W Ângulo na estaca 4 q Te tao” (10030:+ Igozo =IsiS jo! S, 4 Ângulo na estaca 5 N Ângulo na estaca 1 k 5 s 5 7 -1800-(70820'4+ 4030')= osei0! 1 - Be 7020! + 9050" a goojo! s 70º 20'W Essa Ss sesoE EA s d4 14 Alberto de Campos Borges Estaca Ângulo A soma dos ângulos internos é E — (n-2)180 onde n é 1 105810" o número de lados ou de vértices E — (5-2)180 — 540º 2 94º 50" 3 108º 20" 4 151º 10" 540º 00" E 80º 10" —539º 40" 538º 100" erro de ” 020” como era esperado. Total — 539º 40" EXERCÍCIO 16 Em uma poligonal foi adotado como rumo calculado inicial da linha 1-2 o valor de N 0º 30' E. Calculando-se o rumo desta mesma linha, no fechamento, resultou o valor de N 1º 00' W. Dizer qual é o erro de fechamento angular, valor e sentido. a N 2 a ERRO- 1900! + 0930! = * 1930" NO SENTIDO ANTI-HoRÁRIO N 0050 E N isoo:wi RAR] s EXERCÍCIO 17 Corrigir os rumos, determinando o erro de fechamento angular do polígono. a Rumo lido Rumo Cha vante té corrigido 12 | SIS20E | NIS00W | SISIE 23 | SB IE | N8800W | S8830 E 34 | NAPAVE | 84900 W | NAPIGE No. E : &5 | N7200W | S7200E | N7250W Diferença: erro de 20 51 | 83230 W | NIXOOE | S314 W 12 SISANE 15 umos do polígono, determinando o erro de fechamento angular. Rumo lido 2d Rumo vante Té corrigido | SIOC20E |N 940'W | S1020E STO OM E |N6P4OW | STA E S8930'E | S89º00W | N89º30'E NoelIow |sozow|N HE N72º00W | S7%30E |N7200'W S45240'W |N4GPAV E | S46 10 W SIGSU E) Diferença: erro de 30' o erro de fechamento angular do triângulo, corrigindo os azimutes. ão: lembrar que os azimutes ré e vante da mesma linha devem ser dife- em 180º Azimute lido (à direita)| Azimute vante ré | corrigido 115º 30" 295º 00" 115º 30" 2-3 310º 00 130º 00 310º 30º Dif E de 1º 3-1 42º 00" | 221930" az 3! capnea si enrotde 12 116º 30 fumos e azimutes magnéticos e erdadeiros Rumos e azimutes éticos são aqueles medidos da direção norte e sul magnetic aq magnética, portanto medidos com ajuda de agulha imantada (bússolas ou decli- natórias). REsp Rumos e azimutes verdadeiros são aqueles medidos a partir da direção norte- -sul verdadeira ou geográfica, portanto com ajuda de observação aos astros (sol, estrelas). Ro E O ângulo entre as duas direções N-S chama-s com o tempo e local. Entre outras variações peq! são acidentais, existe a chamada variação secular que tem valor surpreendentemente constante por ano, durante dezenas de anos. Desta forma pode-se transportar um rumo magnético de uma data para outra ou mesmo transformar rumos magnéticos — em verdadeiros ou vice-versa. Os anuários publicados por observatórios geralmente * anexam mapas de linhas isogônicas e isopóricas que ajudam nas operações citadas. A declinação magnética é o ângulo formado pelas duas direções de linha NºS, sempre medido na ponta norte, do norte verdadeiro para o norte magnético desenhos nos exercícios). Para tal é necessário transformar data (dia, mês c em valor decimal. Exemplo: 1960 > 1959,0 1/6/1948 > 1947,5 /1971 > 1970,25 1/10/1955 — 1954,75 ete... e declinação magnética e varia uenas vu incontroláveis, porque 18 Alberto de Campos Borges Ny. NM 19590 + = RUMO VERDADEIRO: 32900' + 2035'= 34036 NW Resposta: o rumo verdadeiro de AB é N 34º 36' W EXERCÍCIO 23' Determinar a variação anual da declinação magnética local, sabendo que uma linha tinha rumo magnético de S 42º 00' W em 1/7/1964, e de S 40º 39 W em 1/4/1971. Diferença dos rumos: 42º 00º — 40º 39' — 1º 21" 1º 21º = 81º Diferença de datas: 1970,25 — 1963,5 — 6,75 E 81 a 657 12 Resposta: a variação anual é de 12' para leste EXERCÍCIO 24 A linha MN teve o rumo magnético medido 1 de outubro de 1952 resul- tando $ 32º 30' W. Calcular o rumo magnético em 1 de Janeiro de 1970 e o rumo verdadeiro. E .| declinação magnética: 2º 05 E Ia panuisio de 1960,0:| declinar anual da declinação magnética: 6' W Cálculo do rumo magnético: 1/1/1970 — 1969,0 17,25 x 6= 103,5 = 1º43,5W 1/10/1952 > 1951,75 É 17,25 to, MM, NM ; g sei 195h75 ai 32930! +104315- 5 340]3,5Wy 8,25 x 6' = 49,5 p/ E (pois é para data anterior) Declinação em 1960,0: 2º05' E o variação 49,5 E NM 195175 Declinação em 1951,75: 2º 54,5 E 205415 RUMO VERDADEIRO 32030! + 205415= 35026, 5 3, 2035 N sta: o rumo verdadeiro de MN =S 35º 24',5 W a 20 Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 25” Reavivar o rumo magnético da linha 10-11, N 32º 10' W, medido em 1/7]68 para 1/1/72 e calcular também o rumo verdadeiro da tinha 10-11. . .|declinação magnética local: 8º 15' W Do anuário de 1965,0 RR anual da declinação magnética: 6' E Cálculo do rumo magnético: NM 1/1/72 = 1971,0 E 1967.8 1/7/68 — 1967,5 3,5 x 6= 21' para E / | Resposta: o rumo magnético de 10-11 | em 1/1/7226 N 32º 31 W i Mas E Cálculo do rumo-verdadeiro: 1967,5 1965,0 25 x 6= 15' para E 8º 15W-15' para E — 8º para W t-RUMO VERDADEIRO DE (0-1 32010! + BS = 4go1g! . Resposta: o rumo verdadeiro de 10-11 é N 40º 10' W HO 30 (refere-se à correção em poligonais secundárias) minar o erro de fechamento em x, em y e corrigir as coordenadas do lado 5-C, Coordenadas parciais Coordenadas totais a 7 X, — 110 [ElW| N[s os | 32 300 | Sol 14 10 Yio — 214 10 7 2 12 4 E 2 32 Xo-s—X Xo=1H0 57=53 22 24 16 [70 19/103 sos =Y,-Yj ——132-(214) — 82 53 82 [69 | 70] 101 | 103 ex—1 ey=2 valores dados estão em normal. Os valores calculados em preto. 705269) 32x 1 Eis=570 7 367 07 103 — 101 2 0 Tor 103 — 30737 — 0,49 ; corrigido: 320,37 — 31,63 P corrigido: 30 — 0,49 — 29,51 RCÍCIO 31 u erro de fechamento linear e correção de coordenadas. Determinar: em x; erro em y; erro de fechamento linear absoluto (E); erro de fechamento relativo (M); x,., corrigida; y;., corrigida. ória de xp: 1.999,60 Perímetro: 4.235,48 m ria de xy: 2.000,40 atória de yy: 489,51 tória de y;: 490,49 O lado 3-4 tem rumo SE e coordenadas x = 38,10 y = 50,04 x — 2.000,40 — 1.999,60 = 0,80 m 490,49 — 489,51 = 0,98m 0,8? — 0.98? — / 1,6004 — 1,26m P 423548 . Em SIM 1:336149 0,80 = 8.10 tosaão + 200040 28107000 xoo — 01 corrigido: 38,10 + 0,01 = 38,11m E 50,08 pao OS 0,98 489,51 + 400,40 — “004 980,00 = 005 igido: 50,04 - 0,05 — 49,99 24 Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 31a Corrigir todas as coordenadas do polígono, verificando o fechamento linear do po- ligono, apôs a correção. a Coordenadas parciais | Coordenadas parciais corrigidas Linha Es ] y | x y E Ea N E s EESEos w N s | pa I2 [15/02 | | 10 | 0,22 [1479 10,22 23 | 9 | 0,13 7/015 887 685 34 | 17 | 0,24 6 | 0,13 16,76 6,13 45º 16 | 0,23 | 20 | 0,43 1577 19,57 5-6 s ou 16 | 0,34 81 15,66 6-7 6 | 0,09 Mm /037 0 sm 16.63 78 3 | 0,43 11 | 0,24 30,43 10,76 8.9 3 | 01 | 25 | 0,54 | su | 25,54 9.10 | 23/0332) 7| 0,15 2333 715 10-1 8 | om 20 | 0,43 7,89 20,43 mn ss os 7 [69,99 | 69,98 | 69,47 | 69,47 ex =2 ey=3 a E 2 x Constante de correção para x: OE 0,0142857 Constante de correção para y: no 0,0215827 a diferença 69,99 — 69,98 = 0,01 é um erro residual causado pelo abandono de casas decimais. EXERCÍCIO 31b Corrigir as coordenadas parciais da poligonal secundária até a segunda casa decimal. Coordenadas parciais Linha X y Coordenadas totais de estacas da poligonal E W N s principal. Dados: TB, | 19 8 Meio 15] BB, 7 20 F=+18 Fo=-6 B,B, | 20 3 BB, | 17 12 BB, | 24 5 BB 9 aa BB, 20 o B,-20 4 19 Soma 84 36 12 109 Solução Cálculo das coordenadas parciais do lado imaginário 20-7. X30043=4—-Xo = 101-15]=-50=50W 32004 F— Pq = 18-(76) = +94 = 94N E w Soma 84 36 20-7 50 Total 84 "86 e=2 s de fechamento: N 12 aaa 06 (e s 109 109 E 25 corrigidas as coordenadas da poligonal secundária até a segunda o-se as fórmulas 36 a = 0,016667 E = dés Ban — Hans Cy q 3 121 = 0,024793. Ro SAB = hasy gas coordenadas corrigidas até a segunda casa decimal Coordenadas parciais Coordenadas parciais GORE x | y x y t Sã E | y Rr Cs slO e lw la s 032 8 | 020 | 19,32 7,80 7| 0,12 20 | 0,50 6,88 19,50 0,33 3 | 0,07 |20,33 2,93 0,28 12 0,30 17,28 12,30 0,40 5 0,12 | 24,40 488 9) 0,15 33 | 0,82 8,85 32,18 20 | 0,33 21 | 0,52 19,67 20,48 4 |007 19 [0,47 | 407 18,53 36 12 109 85,40 35,40 | 12,30 | 106,30 P so 94 | 50,00 9400 || 8 86 | 106 109 85,40 | 85,40 | 106,30 | 106,30 D 3le E o comprimento do lado 4-5 e o rumo do lado 5-6. Coordenadas totais de 4 | Coordenadas totais de 6 ! de 4.5 = N85º 15/3 E to de 5-6 = 42,00 m ão: o ângulo 4-5-6 é maior que 90”. x V—-48 X= 102 = 28 Alberto de Campos Borges Coordenadas parciais Duplas distâncias produtos produtos Linha E y meridianas Norte Sul ETW|N,S | 0-1 Bt 40 55-—55+ 5=115 40x 115=4.600] 1-2 | 10 10 | 115+ 5+10=130 10x 130=-1.300) 23 10 80 130 | 104+10=150 80x 150-12.000 3-4 | 20 5 | 1504+10-20—140 | 5x140= 700) 45 40 | 30 140-20-40= 80 30x 80= 2.400 5-6 20 10 80—40- 20= 20 10x 20= 200] 60 [55 45 O 0:55= 55 | 45x 55=2.475 80 80 110.110 Ep N=14.400 Lp S=9.275 estaca X Procura do ponto mais oeste 0 0 Observação: a parte en- -+5 quadrada em preto constitui a 1 +5 solução do problema. +10 2 IS +10 = 80 AS — 20 4 ES —40 E —3s -20 O ponto mais oeste é a estaca 6 —55 . 14.400 9.275 6 porque apresenta o maior valor / +55 Área: 2 3 negativo 0 O — 2.562,5 unidades au quadrado EXERCÍCIO 33 Calcular a área por duplas distâncias meridianas a partir do ponto mais oeste. Coordenadas parciais Duplas Linha Ei y distâncias o nas Ea ns EIWINTS meridianas a EE 1-2 4 12] 74 124 4=66 12x66= 792) 23 2 13] 66+ 4-22=48 13x48= 624] 34 13 |35 48-22-13=13 | 35x 13=455 4.5 18 22 0+ 0+18=18 | 22x 18396 5-6 9 16| 184184 945 16x45— 720 67 6 15 45+ 9- 660 | 15x60-900 7-8 15 8| 60+ 6+15-81 8x81= 648] 8-9 2 | 16) 81115) 2=98 16x98=1.568] 9-10 Mas] os 003 13x93=1.209) 101 i2nRé 93 7./12=74 6x74=444 54 54 78 78 2.195 5.561 O ponto mais oeste é a estaca 4, portanto inicia-se o cálculo das ddm pela linha 4-5 Área: AE A = 1.683 unidades ao quadrado 29 faz o produto maior menos o menor, porque não tem significado negativa. Também sempre que se numera o poligono no sentido ia dos produtos Sul resulta maior do que a somatória dos pro- vice-versa. área por ddm a partir do ponto mais oeste “Coordenadas RES a produtos produtos ps Norte Sul meridianas E 16| 8 35- 3-16-16 | 8x16= 128 34 0+ 0+32-32 | 34x 321.088 9 25| 324+32- 9=55 25x55="1.375 26 55- 9131=77 | 26x77=2.002 35 [62] 77431-35=73 62x73=4.526 | 3/19] 73-35 3=35 | 19x35= 665 RE 63 87 87 3.883 5.901 nto mais oeste é a estaca 5, portanto o cálculo das duplas distâncias meri- meça pela linha 5-6. E Res — 1.009 unidades ao quadrado 35 a área por ddm a partir do ponto mais oeste. Observação: este exercício esolvido pelo método das coordenadas dos vértices, no capítulo seguinte Coordenadas E E 7 Gs produtos produtos ERIW|N|S medianas nu E 8 6 |27-5-8-14 6xI4= 84 3 8/14-8-3= 3 8x 3= 24 6 2, 0+0+6— 6 2x 6= 12 1 5 6+6+1—13 5x13= 65 9 10 134+149=23 | 10x23=230 TE y 23-+9- 5=27 7x27=189 3 431 173 onto mais veste é a estaca 3 "431173 3 = 129 unidades ao quadrado O 36 ular a área do polígono por duplas distâncias meridianas ; desenhar o polígono rdenadas totais para tentar justificar o estranho resultado obtido. o 30 Alberto de Campos Borges [| Coordenadas A E parcimis produtos produtos E E E es Norte Sul NM E/W N s e RE 12, 20 50 | 160+160- 20=300 50 x 300= 15.000 Da 40 20/300 20- 40=240: 20x 240= 4.800 3-4 20 | 90 | 240- 40- 20=180 | 90x 180= 16.200 4.5 | 20 |90 180- 20- 20=140 | 90x 140= 12.600 5-6 , 40 20 140- 20- 40= 80 20x 80= 1.600 6-7 20 50 80- 40- 20= 20 50x 20= 1.000 Elo 160] 40 | 0+ 0+160=160 40x 160= 6.400 EpN = 28800 EpS = 28.800 EpN-— Área: Fen 2eS = zero Por que obteve-se este resultado estranho? Podemos saber calculando as coordenadas totais, a partir da estaca 7, que é o ponto mais a oeste. X Y Ea E 0 0 +80 160 =40 5 IGOR =ÃO Ea e EO MSO O] DE SA e | oras —40 coa +40 3 100 110 -20 +90 4 80 20 o EO NR OO 5 60 +70 q +0 CADi o 00 GREDO 50 Cp | -20 so es EE = 7 o 0 º 2” so so so too 120 149 E ácios de Topografia 33 álculo de área de polígono pelo étodo das coordenadas dos vértices oordenadas totais) 3 Ya Área do polígono 1-2-3-4-5-1: 3/322' + 2211 + 1155-3344 -4/455' E X, 4X X, +X X, 4X Área 123451: Say, yr SÊ gy, yo) + =; S(y,-Y- K+X, x, 4X es e) BA = (XY, + XY MY, VD) A MY, + RN, -RY,-XY) + + OG, LH XY, XY XL) XL KT, + GY, + MV Ro XY, + KYS + XY ZA = (Ko + XiVo + XY, + XV + MD O, + XY, + XY + + XY + XY. Os produtos positivos são aqueles que apresentam o X de um lado multiplicado lo Y do ludo seguinte, e os produtos negativos são os que têm X de um lado mul- tiplicado pelo Y do lado anterior. Isto leva a uma regra prática: XX, XY XY, XX, XY, A àrea é a metade da soma algébrica 34 Exercícios da Topografia EXERCÍCIO 36b Foram fornecidas as coordenadas parciais do polígono. Pede-se: | I] | | a) procurar o ponto mais a oeste b) calcular as coordenadas totais com origem no ponto mais a oeste | e) desenhar o polígono com as coordenadas totais calculadas, supondo que | cada unidade vale 2 mm | | | | | d) baseado na forma do polígono, calcular sua área real total (aplicar o método das coordenadas totais ou dos vértices) Solução | a) Procura do ponto mais a oeste, usando como origem provisória a estaca 1: Coordenadas 1 0 parciais -—16 Linha. y 2 -16 E W N s Re = 23; . *3 Eo9 1-2 16 7 ES 2-3 48 q 4 “> 3.4 1 19 +18 45 18 9 5 E 5-6 33 7 ag 6-7 9 26 g Ea 7-8 2” 1 a 8-9 4 18 7 18 9.1 6 14 -20 8 2 -4 9 -— 6 + 6 O. Constata-se que o ponto mais.a oeste é a estaca 3 porque apresentou o maior valor negativo. jo de Campos Borges 35 EX Ina b) Cálculo das coordenadas Lotais com origem em 3. 0 0 ai -19 +5 —19 +18 o) [+23 | -10 +33 + À +56 mB -9 -26 +47 —29 —20 Gl RE2) —28 - 4 +18 +23 -10 + 6 [14 129 — 4 -16 e IB E —13 = E 0 c) Desenho do polígono pelas coordenadas totais. Foi inicialmente feito numa drícula de 10 em 10 unidades. 1a E 20 30 40 so so, 1 o M ê + E T Ee 10 20 30 40 so so d) Pelo exame da forma do polígono, constata-se que as estacas 5 e 9 coincidem, têm as mesmas coordenadas totais, constata-se ainda que os dois ramos do mo estão numerados em sentidos opostos, isto é, 1-2-3-4-5-1 (sentido anti- io), enquanto que 9-6-7-8-9 (sentido horário). Por isso as áreas de cada ramo ser calculadas separadamente e depois somadas: 38 Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 39 Calcular a área por coordenadas totais usando o ponto'mais oeste como origem. Coordenadas Coordenadas parciais totais O ponto mais oeste é a Estaca | x y 1 estaca 3 Eta a oa is a 1 12 +14 8 6 2 4 +8 4 8 8) 0 0 6 2 4 6 o; 1 5 5, 7 -3 10 10 6 15), ER) 5 a 1 | | 12 +14 ij: 17 19 19 Produtos positivos Produtos negativos 7x 7= 49. 6x 3= 18 17 x 14 = 238 7x 2= 14 12x 8= 96 12x 7= 84 17x 3= 51 4x 14= 56 434 172 PAR 5 = 131 unidades ao quadrado ícios de Topografia CÍCIO 40 Coordenadas parciais x J NES END END(ES 8 6 5; 8 6 2 1 Si o 10 o 7 6 Mede qo 0 “sa mas o Produtos Produtos positivos negativos 7x 7=49 bx 3= 18 16 x 14 = 224 7x 2= 14 lix 8= 88 lix 7=7 16x 3= 48 3x 14= 42 409 151 2 Eca: 409-151 258 39 Calcular a área por coordenadas dos vértices; este exercício tumbém foi resol- por dim no capítulo anterior. (Exercício 35) Coordenadas totais (ponto mais oeste: 3) x Y 3 0 0 +6 RE 4 +6 a +1 => 5 +7 3 +9 +10 6º +16 +7 =5 +7 1 + +14 E: -6 2 +3 +8 RE 8 3 0 0 5 = 129 unidades ao quadrado 2 Pode-se, também, aplicar o método do cálculo de área por coordenadas dos ices em planilha de cálculo. Vamos resolver os exercícios 39 c 40 desta outra a: RCÍCIO 39 Coordenada É total vm + 1)-vm-1) | Produtos Fiodutos positivos negativos x Na 12 +14 12x 1=12 4 e 4x 14=56 0 0 0x6=0 6 a 6x3=18 Vá =3 7x5=35 17 ia 14-(-3) = 17 17x 17=289 12 +14 Somas 336 74 1 336-74 = 131 unidades ao quadrado 40 E Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 404 Coordenada Produtos Produtos Estaca E E E Yin + 1)-Y(n—1) Es stços neBantos Ep 0 RpSSa : 0x6=0 4 6 ED 6x3=18 Dj TA —3, 7x5=35 6 LO ai 7 16x 17=272 1 it o +14 pal 2 SR 3x 14=:42 Bica pa) 0 318 so 318 — 60 “Área = = 129 unidades ao quadrado poligonal fechada SEQUÊNCIA DO CÁLCULO a) Verificação do erro de fechamento angular: a constatação do erro poderá ser feita pela somatória dos ângulos internos, comparando esta somatória com a fórmula £ Ang Int = (n-2)180º. Poderá ser feita também pela comparação entre rumos calculados de saída e chegada. - b) Distribuição do erro de fechamento angular: desde que o erro seja con- siderado aceitável (< /n em minutos), a distribuição será feita igualmente em todas as estacas ou corrigindo 1 minuto nas estacas que tenham à vante as menores linhas. c) Cálculo das coordenadas parciais: x =| sen rumo (1 é o comprimento da linha) y = cos rumo Estas coordenadas são colocadas em tabelas especiais separando-se os valores de x para Leste(E) c Oeste(W), e os valores de y para Norte(N) e Sul(S) d) Erro de fechamento linear: somam-se as 4 colunas Xp. Xw: Yn & Ys ex: erro nas abscissas = Lxp— Lxw ey: erro nas ordenadas = Eyy— £Ys pan Erro de fechamento absoluto: E = ex? + ey? E E é expresso 1:M nos trabalhos comuns (M deve ser > 1.000) Erro relativo será: M = (P: perímetro) orizontal de um trânsito está subdividido de 10.em 10 minutos; leituras até 20 segundos. Quantas divisões tem o nônio? No momento jo coincide com o zero do círculo horizontal, o último traço do nônio =» que leitura do círculo principal? 30 divisões ED) x 10' = 290 = 4º 50 m nônio para ser justaposto a um circulo horizontal que está dividido tos. O nônio deve permitir leitura de 20 segundos. 2y ' - 20" A abertura angular do nônio será: (60 divisões do nônio correspondem a 59 2 círculo horizontal) 59 divisões x 20' = 1.180 = 19º 40. = 60 divisões Uma escala linear é dividida de 2 em 2 mm. O nônio foi construído com o primento total de 3,8 em. Caleular a acuidade do nônio. O comprimento do nônio corresponde a 3,8 mm Eus pas E = 19 divisões da escala principal 2 mm portanto o nônio tem 20 divisões. Tendo 20 divisões sua acuidade é 2mm RT 0,1mm (1 décimo de milímetro) EXERCÍCIO 45 A escala e os nônios pertencem a um teodolito. Fazer a leitura na escala hu- ária (explicando como leu) e também na escala anti-horária (explicar). -SOINCIDÊNCIA (11º 20") te!ao!) Ne E x x Hi NE 20 Is N 10 Es % 12 15 2o BEE a e E] Na eee fesaçio Eee ra (a 130 120 nO 190 230 240 250 260 Resposta: 123º 00º E 123º 11'20" (escala horária) 236º 40" 840” 236º 484” (escala anti-horária) 44 Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 46 O circulo horizontal de um teodolito é graduado de 30 em 30 minutos (menor subdivisão). Projetar um nônio para ler até um minulo: quantas divisões terá o nônio? e quando o zero do nônio coincidir com o valor 10º no circulo principal. o último-traço “do nônio coincidirá com que leitura do círculo principal? > = 30 subdivisões 30 subdivisões do nônio correspondem a 29 do circulo principal '29 do circulo principal significam: 29 x 30 — 14º 30' 10º + 14º 30 = 24º 30. EXERCÍCIO 46a Calcular a abertura angular de um nônio que Iê de 10 em 10 segundos sobre o círculo horizontal graduado de 15 em 15 minutos. Solução 15 minutos = 15 x 60 — 900 segundos aba do 900 ei n = número de divisões do nônio = TO a 90 divisões 90-1=89 89 x 15 minutos = 1335 minutos 1335 = 22º 15' Resposta: a abertura angular do nônio é 22º 15. EXERCÍCIO 46b Qual a abertura angular de um rônio que lê de 20 em 20 segundos sobre o circulo horizontal graduado de 15 em 15 minutos? Solução Quantas vezes 20 segundos é menor que 15 minutos? 15º x 60 = 900" a = 45; portanto 45 vezes; por isso, o nônio deverá ter 45 divisões. As 45 divisões do nônio devem corresponder a 44 divisões do círculo horizontal; logo, 44 x 15º = 660 660 minutos = 11º. Resposta: a abertura angular do nônio é de 11 graus. Exercícios de Topografia à 45 fórmulas de Bezout, Simpson, Poncelet a) Fórmula dos trapézios (de Bezout): a q a a a q Considerando cada uma das pequenas áreas como trapézios, temos que a área total Ag será: Ag = RE a Ea Ro as E ea colocando Ra em evidência: 2 2 2 2 d E As — ta + 2Y, + 2Y4::: + 2Y6 + Y,) memorizando Ag = É + 2M) onde E é a soma das ordenadas extremas (Yje %) eM o as ordenadas do meio (Y,, Y5, Yg» Ys € Yo). b) Fórmula de Simpson: Simpson considera que a curva compreendendo 3 ordenadas: de Y, até Y,. de guto Ys, de Yo até Y, é um arco de parábola. portanto a área que é 2,3 da area paralelogramo ABCD: Ê e Y sr o BE As = 150824 + Ci Sana + E EM SA as DA 2 YGEEDe E E 2d + z 2d + Z 2d+3 RO | Y. + (rãs) 2d + (ua 2a| 5 + 72d + 4 [rod + Y2d + Yç24] Alberto de Campos Borges : 2, Área A: (5 +32+437 +42 444 +44 444 443442441 +39 + +37 +3,6+34+28+ 5) = 56,35 cm? 41 Área B: (5 PAO AS 524524 536534 5455 656455 +52 +48 +41 +31 + 2) = 73,10 cm? - 07 x04 (04 0 0 Area iG: E cg (E Pose 2) é aan = 108 cm? s) 0,2% 0,2 ERU Edo 0 “Área D: (5 RO SERÃO SERIO ÃO 9 Os Ra, cm? 2 2 Área total: A + B+ C + D = 133,75em? Caso o desenho estivesse em escala 1: 500 e se desejasse a área real em m?: 75 x 5002 RED a 3.343,75 m? 106? EXERCÍCIO 49 Calcular a área total pelas fórmulas dos trapézios (Bezout), de Simpson e de Poncelet. 20m 20m | 20m | 20m | 20m 3 Fe a a] o) a Área pela fórmula de Bezout: Ap 20 ] Ag: qu: 2x 136+2x 146 +2x 138+2x 120+2x 100+80)= = 1.482,0m? Áre& pela fórmula de Simpson: As 20 As: S022 + 80) + M146 + 12,0) + 4136 + 138 + 10,0)] = 1.486,67m? Área pela fórmula de Poncelet: Ap 20 12,2 + 80)-(13, du As: sao + totãe + 108) = 1.479,00 m? Re 3, 3, i c [3a 6 + 13,8 + 10,0) + 5 EXERCÍCIO 49a Determinar as constantes p e O de um planimetro. Foi desenhado um quadrado perfeito de 10 x 10 cm. Inicialmente, colocando-se o pólo (ponto fixo) fora do quadrado, obtivemos as seguintes leituras: !, — leitura inicial = 0343 le = leitura final — 1343 a seguir, usando-se um pólo dentro do quadrado, as leituras foram | = leitura inicial — 1851 f = leitura final — 2431 os de Topografia 49 eterminação da constante p :8 100 a is H -D) p= LOS RAS 0,1. (quando pólo está tora da área) f i Determinação da constante Q ll +Q) = plk 1) E 9) q p=-033-4)-em- “1851) 1000 — 580 — 420 E “0-4 Verificação p(l— 1) = 0,1(1343 — 343) = 100 p(L = É + Q) = 0,1(2431> 1851 + 420) = joy essi (quando o pólo está dentro da área) ivelamento geométrico EFINIÇÕES E FÓRMULAS BÁSICAS Altura do instrumento, AI: diferença de cota entre o plano horizontal. que mtém a linha de vista, e o plano de referência de cota zero. Visada à ré, V Ré: toda a leitura de mira que for feita com a finalidade de cal- AL, qualquer que seja sua direção. — Visada à vante, VY Vante: toda a leitura de mira que for feita para determinar “cota do ponto visado; qualquer que seja sua direção. Portanto vante e ré, em lamento geométrico, nada tem a ver com a direção para frente ou para trás. Visada à vante de mudança, VMud é a visada vante que determina a cota um ponto que a seguir recebe uma visada à ré. Visadas à vante intermediárias, VInt são todas as demais visadas à vante. Cota de um ponto & a diferença de nível do plano horizontal que contém o onto e o plano horizontal de referência de cota zero. órmulas básicas: AI = Cota + V Ré Cota = Al-V Vante RN. referência de nivel'é a cota de um ponto que sérve de referência para um balho de nivelamento geométrico; a referência de nível absoluta é o nível do v assumido como cota zero. Nos trabalhos de interesse particular pouco impor tantes, pode-se assumir uma referência arbitrária. EXERCÍCIO 50 Compor a tabela de nivelamento geométrico. calculando as cotas dos pontos 50 Alberto de Campos Borges Os valores dados estão em normal. Os valores calculados em preto. V Vante Estaca v Ré AI Ta Mud Cota RN-L 105,215 0,520 105,735 a 2841 102,894 é 3,802 101,933 4 0,857 104,878 3,711 108,589 o 0,444 * 108,145 6 3,123 | 105,466 0,398 105,864 Y 2,404 103,460 8 [neah 3,816 102,048 Soma: 4,629 7,796 Prova do cálculo: Cota final — cota inicial + ZVRE-E V Mud 2 105215 pesa + 4629 Dao 109,844 - 17% 102,045 EXERCÍCIO 51 Compor a tabela de nivelamento geométrico, completá-la e fazer a prova dos cálculos. Os valores entre parêntesis são cotas dos pontos. Os valores sobre as linhas tracejadas são alturas do instrumento. (104.272) 53 s dados estão em normal. Os valores calculados em preto. E NV Vante V Ré AI Ti Mud Cota 100,000 3815 103,815 2418 101,397 1,542 102,273 0,330 103,485 3,555 107,040 2,541 104,499 1,604 105,436 0,508 106,532 7,370 0,838 pial 100,000 RE 7,370 107,370 0,838 | 106,532 5 E ma tabela e fazer a prova de cálculo, o. | Altura do V Vante “a instrumento | Int | Mud e 100,000 3511 | 103,511 | | 2,110 101,401 Prova de cálculo: | 0,813 | 102,698 Cota inicial 100,000 3,770 106,468 EV Ré 11,005 3,120 103,348 111,005 2,084 104,384 EV Mud 2,025 3,724 109,982 0,210 | 106,258 * Cota final 108,980 1.002 | 108,980 oo E V Mud: 2,025 2 combinação e fuzer a leitura de mira es: q: luneta com imagem direta — mira com números invertidos b: luneta com imagem direta — mira normal c: luneta com imagem invertida — mira normal d: luneta com imagem invertida — mira com números invertidos Alberto de Campos Borges RETÍGULO DO NÍVEL Erro emo L9STIvInyST LOTE iemioT Ep9tr :PINIOT E :OpÍBUIqUOD P : opdeuiquios > :ogórutquo) q : OBSBUIQUuIOS As lunetas dos níveis podem inverter a imagem ou não. Existem miras que são pintadas, especialmente para os aparelhos, que invertem a imagem. Essas miras são iguais em tudo às mitas normais, com uma única diferença: os algarismos são pintados de cabeça para baixo. EXERCÍCIO 56a Nivelamento geométrico — Completar a tabela com os valores que estão fal- tando e fazer a prova de cálculo. Visada Estaca R a Ré Altura do Instrumento Visada a Vante Intermediária Mudança Cota RN-O 3,817 1 2 3 81,440 os de Topografia : 55 Solução Eca Visada Altura do | Visada a Vante Cota E a Ré instrumento Intermediária Mudança | RN-O 74,216 E 3,817 78,033 1 2,412 75,621 2 1,509 76,524 3 0,344 77,689 3,751 81,440 4 2,914 78,526 5 1,095 80,345 3,804 84,149 6 0,902 83,247 3,566 86,813 7 a 2,928 83,885 8 217 84,636 8) 1,490 85,323 10 0,438 86,375 3,727 90,102 iu 1,912 88,190 12 j ch 0,401 89,701 Z = 18,665 E =3,180 Prova de cálculo Cota inicial — 74,216 + E de Rê — 18,665 92,881 —E V. Mud. = 3,180 Cota final = 89,701 Observação: os 2 pontos chaves da solução estão na estaca 2, onde a sua cota somada à visada 1,509 resulta na 1.º altura do instrumento 78,033 e na estaca 9, onde o mesmo acontece: 85,523 — 1,490 = 86,813. EXERCÍCIO 56b Compor a tabela de nivelamento geométrico e fazer a “prova de cálculo”. Cotas RN-O 308,325 Visada a Ré Visada a vante intermediária 2 = 304,948 para 7 = 0,618 para 1 = 2,412 4 = 303,656 » 3= 0,998 6 = 300,518 Visada a vante de mudança » 85 1122 9 = 297,067 para 5 = 3,642 » 9= 2317 10 = 295,930 para 7 = 3,393 Altura de instrumento com visada a Ré para RN-O = 308,748 CR. 58 Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 58 Calcular a distância horizontal AB e cota de B. Taqueômetro em A visando para B. Ângulo vertical: a = 23º 04 Leituras de mira: 1,642; 1,842; 1,442 Cota de A: 102,450m Altura do aparelho em A: 1,50 Constantes do taqueômetro: 100 e 0,20m H: 100(1,842 — 1,442) cos? 23º 04 + 0,2 x cos 23º 04 H: 100 x 0,4 x 0,2920052 + 0,2 x 0,92005 = H: 33,86 + 0,18 = 34,04m V: 100 x 0,4 x 0,92005 x 0,39180 + 0,2 x 0,39180 = 14,50 m Cota B: 102,450 + 1,50 + 14,50 1,642 = 116,808m ” EXERCÍCIO 59 Uso das tabelas comuns de taqueometria: abaixo temos trecho de tabela. Aplicá-la para os dados apresentados na segunda tabela. As se 6 7 H V H V H V H Vv 99,51 | 6,96 | 99,24 99,51 7,02 | 99,23 | 874 | 98,90 98,50 99,50 | 7,07 | 99,22 99,49 | 7,13 | 99,2 99,48 | 7,19 | 99,20 | 891 | 98,86 10 9947 | 7,25 | 99,19 | 8,97 | 98,85 12 9946 | 7,30 99,18 9,03 14 99,46 | 7,36 | 99,17 | 9.08 E | minutos | Foram feitas as seguintes leituras: f + c = zero ponto mira ângulo visado [ inf. | med. | sup. | vertical estaca A 1,808 1,000 1,404 | 1,808 | + 610" —1,000 1,310] 1,500 | 1,690 | + 4º14' 0,808 0,600] 0,951 | L,302 | =7º02 H,.;: 0,808 x 98,85 = 79,87 Va-s: 0,808 x 10,68 = 8,63 Ho: 0,380 x 99,46 = 37,79 Vaca: 0,380 x 7,36 = 280 Ha-s: 0,702 x 98,50 = 69,15 Va-a: 0,702 x 12,15 = —8,53 Exercícios de Topografia método das rampas AA ota A V, = Htga, v;=Htgo, E aves a pe e Vo-V, = H(tgo,—tga;) — tem-tga, tga;-tga, H: distância horizontal AB 1, e 1, são leituras de mira 4, e «, são ângulos verticais lidos no circulo vertical do teodolito cujas tzm- gentes são as rampas r, cr; - diferença de leituras V, = Htga, ” diferença de rampas V, = Htga, Cota B=cota A+AA+V,-l, Cota B=cota A+AA+V,-, EXERCÍCIO 60 Determinar distância horizontal AB e cota do ponto B. Método das rampas: de A visando para B. Leituras de mira: 3,600 e 0,400 Rampas: -0,02 e -0,10 Cota A: 52,420m Altura do aparelho: AA = 1.50. a = 40,00 T; = 40,00 x (-0,02) = —0,800 E, = 40,00 x (-0,10) = —4,000 52,420 + 1,50 — 0,800 — 3.600 = 49,520 m = 52,420 + 1,50- 4,000 - 0,400 = 49,520 m distância horizontal 10:11 e a cota de 11. está no ponto 10 visando para o ponto 11. : 72,228m Alberto de Campos Borges Altura do aparelho: 1,5im Leituras de mira 3,210 e 1,100 Ângulos verticais —0º50' + 1º20 tg 0º 50: 0,0145 tg 1º 20: 0,0233 . diferença de leituras 3210-1,100 2,110 * diferença de rampas — 0,0233 + 0,0145 — 0,0378 Vy: 55,82 x (-0,0145) = —0,809 V,: 55,82 x 0,0233 = + 1,301 Cota 11: Cota 10 + AA + V,-L, = Cota 10 + AA + V,-L Cota 11: 72,228 + 1,510-0,809— 1,100 = 71,829 Cota 11: 72,228 + 1,510 + 1,301 3,210 = 71,829 = 55,82 EXERCÍCIO 6la Para calcular a altura de uma torre, o teodolito foi colocado a uma distância horizontal de 100 m (da torre). Visando para o topo e para à base da torre, os ân- gulos verticais lidos foram: + 12º 15' e — 1º 12". Calcular a altura da torre. Aplicando o método das rampas: altura da torre diferença de rampas altura da torre — distância horizontal x diferença de rampas, h = 100m (tg 12º 15º + tg 1º 129, h = 100 (0,2171213 | 0,0209470) = 23,81 m. Resposta: a altura da torre é 23,81 m. distância horizontal = mira de base (subtense bar ) Trata-se de uma barra de “invar” com 2m colocada horizontalmente sobre “um tripé e perpendicular à linha de vista que vem do teodolito. Planta & a man A distância horizontal AB: H = cotg 8/2. E + Estes valores vêm tabelados. Em AB A está o teodolito e em B a barra. Elevação Ii H a] COTA B= COTAA+AA +V-AB Exercítivs de Topografia P 204343 E 0058 Erro relativo = 1: 3.523 M = = 3.523 Cota 1: + AA: a VS: —AB: Cota 2: + AA: —AB: + AA: + Vo —AB: Cota 1: s7220 t nível de mão RUMO 900 E Cálculo de altimetria assumida 10,000, 1,500 11,500 3,920 15,420 1,440 Cota 3: “9,995 ESTE, GORTE LONGITUDINAL os aEvicuio | BOLHA CENTRADA | l I CORTE TRANSVERSAL ai TRE Erro em altimetria = 0,005 O nível de mão, por ser um aparelho de baixa precisão porém de leitura muito rápida, permite a obtenção de pontos de cota inteira diretamente no campo. TUBO DE BOLHA BOLHA centrada, / E ta De VISTA 64 Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 64 Mostrar em esquema como se podem determinar as posições dos pontos de cota inteira na seção transversal abuixo. li-lom | lzr640m NÍVEL DE Mãe EstAÇÃO “Mp CENTRAL Explicação: o nível de mão é seguro sobre a baliza à altura de 1,50m do chão, isto é, na 3º mudança de cor (vermelho e branco). Em preto aparecem as leituras que devem ser feitas na mira para que os pontos sejam de cota inteira. O sistema de anotação de caderneta é: AN 2 21/0420 ao) Ass To cota 2282 10,00 1640 2600 36.80 50,80 60,00 dist. horiz. acumulada n.º da seção: n cota da estaca: 22,82 EXERCÍCIO 65 Desenhar a seção transversal representada pela anotação: 98 97 98 99 100 78N 101 102 103 102 101 100 61,2 48,3 35,5 214 10,2 100,42 8,40 19,2 28,4 36,5 48,4 60,0 Escala horizontal 1: 1.000 Escala vertical 1: 100 Nota: os desenhos estão em proporção, embora fora das escalas citadas. E clinômetro (nível de Abney) SEMI-GÍRGULO GRADUADO — NÔNIO- INDICA A LEITURA DE 68 Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 69 Traçar as curvas de nível de cotas 11, 12, 13 e 14 ps y=5m y,= Sm y; = 818 “EXERCÍCIO 70 E . Traçar as curvas'de nível de cotas 7 e 8m do plano inclinado abaixo. É fixada a cota 8,3m para o canto direito inferior. Diferença de cota entre 8,3 e 8,0: 0,3 pen E e —B% Para descer 0,3 com rampa de 10%: 3m . de Topografia 69 RCÍCIO 71 Interpolar para determinar pontos de cota inteira de metro em metro e traçar as curvas de nível. 2254 EXERCÍCIO 7la Locar as estacas e, cm seguida, interpolar e traçar as curvas de nível de metro em metro. Estaca Es l y Cota 1 0 0 9,2m 2 7,5 em +24 em 133m 3 4.5 cm 32cm 122,5m 4 11,5 em —4,0 em 142m 5 18,3 em =15em 162m Solução Y 70 Interpolação entre 1 e 2 0,8 dE = 1,54 cm E mo 2.8 = Om asa qa Interpolação entre 2 e 5 = 0,7 n= e 2,78 em ra 11535 = 6,14em n=n555- 10,71 em Interpolação entre 3 e 4 0,5 Z, = 1777 2,06 cm Es Z=1017= 6,18 em Constitui erro a interpolação entre os pontos 1e4, entre 3 Alberto de Campos Borges Interpolação entre 1 e 3 08. Bo ya = 5,553 — 300m Interpolação entre 2 e 3 0,5 V=-63jg 7 — 394 em q o entre 2 e 4 ==55 9 em! Interpolação entre 4 e 5 PR! 50 — 288 cm 1,8 o o cálculo da distância entre 2 pontos (indiretamente) e 5, e pior ainda, entre 1 e 5, pois só se deve interpolar entre os pontos imediatamente próximos e nunca cruzar direções de interpolação. Exercícios de Topografia 73 AM = CA'tg aca = btg 15º 08º = 130,851 x 0,2704449 AA' = 35,388 BB = CB'igac = etg 18º 51º = 306,134 x 0,3414019 BB' = 104720 AB vertical = BB'-AA' = 69,332 AM" = DA'tgopa = d x tg 14º 13 = 235,595 x 0,2533484 = 59,688 BB” = DB'tg pg = € X tg 30º 09 = 222,152 x 0,5808462 = 129,036 AB vertical = 129,036- 59,688 = 69,348 Erro de altimetria = 69,348 — 69,332 = 0,016 EXERCÍCIO 73 A Calcular a cota do ponto C, ss AB: 100,32 / E ângulo horizontal CAB: 66º 10º ES p So ângulo horizontal CBA: 41º42 Ps Cota de A: 151,444 A RES Altura do apar. em A: 1,520 / o Ang. vertical de Ap/C: 12º 40. A ao A SS e A Ex Es A a ES a seno! a E araE) a es é » A 100, 32 Cálculo do âng. em C = 180 (66º 10'+ 41º 429 €=7208 Cálculo da dist. horizontal AC AC 100,32 0,66523 EEE = 2 = 0 sen41º 427 sen 72º 08' AGR ode 0,95177 polo a A po I ae | qua I pesca DO E 7 Tessor A To I2 pi CA' = 70,12. tg 12º 40" CA! = 70,12 x 0,22475 = 15,759 m Cota C = Cota de A + AA + CA' = 151,444 + 1,520 + 15,759 Cota C = 168,723m. 74 Alberto de Campos Borges EXERCÍCIO 73a Calcular « distância AB por coordenadas. ,2,3 e â e distância CD (ver figura) Valores medidos no campo: ângulos | Segiência dos cálculos: 1) Cálculo dos ângulos 5 e 6, por soma de ângulos do triângulo. 2) Cálculo de b, e, d, e pela lei dos senos. 3) Cálculo dos rumos dos lados. assumindo-se CD como sentido Norte. 4) Cálculo das coordenadas parciais dos lados. 5) Cálculo das coordenadas totais de AcB. 6) Cálculo da distância AB. Dados c item 1) = cálculos dos ângulos 5 e 6 Ângulo Seno Cosseno = 39º 12 0.6320293 0.7749445 = 64º 15 0.9006982 0,4344453 = ao 0.9605368 0.2781530 a = 122,420 m. 0.7887266 0,6147442 0,9725733 0.8098710 E NORTE ASSUMIDO Exercícios de Topografia as 2) cálculo de b, c, d, e asen2 122420 x 0,9006982 Ts03 09057290 00 lê, c= E = ro — — 79,555 es E EE DEI — 119,224 Rumo de CA = N39º 127 W 3) Cálculo dos rumos, considerando-se ] Rumo de AD = N64º 15 E o rumo de CD = NOº temos Rumo de DB =S52º04 E Rumo de BC = S73º5/' W 4) Cálculo das coordenadas parciais dos lados E | E Coordenadas parciais Lado | Comprimento Rumo Seno Cosseno x E E w N s CA 113373 N39º 12 W | 6320293 | 7749445 71,655 | 87,85% AD 79,555 N64 IS E | 9006982 | 4344453 | 71,655 34,562 DB 145,195 55204 E | ,7887266 | 6147442 | 114,519 89,258 BC 119.224 S73 51 W | 9605368 | ,2781530 114,519 33,162 Soma | 186,174 | 186,174 | 122420 | 122,420 5) Cálculo das coordenadas totais de A e B assumindo como origem o ponto C Vértice x oe E o o - 71,655 + 87,858 a ="71,655 CEOSTESE + 11,655 + 34,562 sa o +122,420 É +114,519 - 89,258 o [Duas anão = 114,519 - 33,162 e o o 6) Cálculo da distância AB = / Xp — Xp -XA = 114,519 | 71,655 = 186,174 Yan = Yy- Yu — 33,162 87,858 = —54,696 [= (2 + Vão — / 186,1747 + 54,696? = 194,042 Resposta: distância AB — 194,042 m 78 Alberto de Campos Borges 2º solução: x+y=d=360-(a+p+B) x=d-y senx=sendcosy-senycosd bseny asenx à bsenysena EE env =" = sen 8 sena asen B igualando b y sen dcos y—sen y cos d = >" Y Sem a asen B + sen sen d cot; cosd = seram i ” 8, 3 asen B bsena +send cotgy-cotgd=>"——— E E asen B send ET bsena Cote E asen 8 send ae calcula-se y e depois x= dy SOLUÇÃO GRÁFICA Valores conhecidos antecipadamente: a, b e B Valores medidos no bote: à e 6 Procura-se determinar a posição do ponto P. CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 04-08. CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO 0,8= Exercícios de Topografia 79 Segiiência: as retas AB e BC já se encontram traçadas a) traçar as retas AM e CN que fazem respectivamente ângulos à e 8 com AB e BC. b) traçar as retas AO, c CO, respectivamente perpendicular à AM e CN. c) traçar as mediatrizes à AB e BC determinando os pontos O, c o,. d) traçar as circunferências O, e O, cujos raios são respectivamente O,A e OC. e) o cruzamento das duas circunferências determina P. Pothenot (1.2 solução analítica) Dados para o ponto P = 38º 16 Bb = 131820 B=40º28 AB = 72804m BC — 82145m | ae e do nat Ana | | ED ' / festas! E Ra e VA ee o EXERCÍCIO 76 Para o ponto P x+v=360-(B+a+ B)- 360º-(34º 16 + 40º 28! + 131º 22) = 153º 54º 1 1 K-1 tg Fan -[eqo+nlesr (0,5630453) BR E- BC sena a 821,45 sen 34º 16º ABsenf 728,04 sen 40º 28' (0,6490056) ; “s Alberto de Campos Borges 462,513561685 = a12,502037024 — 078860 K-1 —0,021140 sai ong 153º 54º o ted(a +W)=tg = 187657 = 4,3142955 us (x— y) = —0,010682918 x 4,3142955 = —0,0460893 2" 38,33" x + y = 153 5400 -5º 1666 dx = TAB ITIA x = 74º 18/67 v= 1903533 AB sen x 0,9627445 PB = = sao foda! sena eso 0,5630453 ! SA e as. TO Po = PCS oq om en À 0,6490056 ABsen1 pa=PESOI osas 1=180-(1537,84 + 34º 16) sen a a BCsen2 Z pc = 202 109,85 3 — 180-(78º 16,16 + 40" 28) sen É EXERCÍCIO 77 Para o ponto Q o = 33º 58' pastar x + y=3602-(B + + P) = 360º-(131º 22 + 33058 + 33º 31) = 161º09 (0,5587105) — BCsemo” 82L45sen 33058 458952740225| | es * ABsenf 728,04sen33º31' — 402,008763180 E (0,5521795) K-1 014165 EIS > tato — 0066141 161º 09' o +y=tg Pr tg 80º 34'5 = 6,0242010 ul) = 0,066141 x 6,0242010 = 0,3984467 X=y a , EP -oaras x + y= 1610900 x-y= 43º26,96 massas = 102º 17,98-43º 26,96 — 58º 502 x = OM BAOS) ABsenx 728,04 x 0,9770468 nr ES o bsani in ie Q seno 0,5587105 Re sem erro Gi As 5 ORE ey o senpo 0,5521795 Exercícios de Topografia Área de corte = 10 A =U4+2x21 426) A =4m 28 Jcora 3 SEÇÃO A Área de corte = B = Biz +2x 10418) e — om om GOTA 3 B, = 20m? SEÇÃO B 'olume pela fórmula de prisma: 41 + 20 a 10 = 305 mº 'olume pela fórmula de tronco de pirâmide: E. a “2 gy = Dé 10 - 298, 77m? “Observação: a fórmula de tronco de pirâmide aproxima-se mais do volume real. CÍCIO 82 a) Calcular a cota final para plataforma horizontal com volumes de corte e aterro is b) calcular o número de viagens de caminhão com 8 m? por viagem, necessários seja imposta a coia final = 3,5m. ZE 58 Alberta de Campos Borges a) Cálculo da cota final do plano que resulta em Vc — Va: p=1 p=2 p=-3 18,0 2? 38 20 120 54 2,2 40 20,0 6,2 60 6,0 50,0 + 16 = 3,125 44 x2 x3 10 20 180 0,8 20,0 Resposta: cota final de 3,125m b) Área = 20 x 20 x 4 = 1.600m? (3,500 — 3,125) 1.600 = 600 m? de terra necessários para o aterro 600 m? Si 75 viagens EXERCÍCIO 83 Calcular a cota final para plano horizontal, de forma que sobrem 180m? de terra, que serão usados em outro aterro. 42 [3,0 2,8 4,4 om Jom 50 [4,0 35 5, [6,1 5,0 47 63 Cálculo da cota final para volumes de corte e aterro iguais: peso 1 peso 2 peso 4 42 3,0 40 44 28 35 74 El 47 e e o. o 63 50 23,0 230 6.0 172 68,8 62º x4 810 Gi 688 1728 40,5 Ge = 480 m. x? Cota final (Von = Vozero) — 480 mM. “810 fcios de Topografia 85 Diferença de cotas x área = diferença de volumes ' dif. de volumes | 180 mº À = 0,20 dif. de cotas = E = 900m? 20 m Cota a ser adotada = 4,80-0,20 = 4,60m EXERCÍCIO 84 Calcular a cota final que resulte em volumes de corte e aterro iguais e calcular estes volumes: N E NV NS De B c D 7 88 Alberto de Campos Borges Seção D área de aterro D= sa +2x20+2x09+04)+ oa x 461 = 94,3333m? área de corte D;= 08 x 1adê — 5,3333m? Cálculo dos volumes de corte e aterro aplicando fórmula de prismas 20 Ve= 3 = (96,7778 + 2 x 49,6000 + 2 x 17,800 + 5, 3333) = 2.369,00 mº 20 Va= kl +2 x 19,600 + 2 x 50,8000 + 94,3333) = 2.369,00 mº Cálculo dos volumes de corte e aterro aplicando fórmula de troncos de pirâmides 20 =(4+B+/ADS = (5,3333 + 2 x 17,8 +2 x 49,6 + 96,777 + / 5,3333 x 178 + + a, 17,8 x 49,6 + V [89,6 x DS = 2304,213mº Voordo ES Vi 94,3333 4 2 x 50,8 + 2 x 19,6 + 7777 + / 94,3333 x 508 + Ee E =. 20 + /508 x 19,6 + 19,6 x L771)5 = 2.290,50 mº Nota: apesar dos resultados com a fórmula de prisma serem coincidentes, os resultados com tronco de pirâmide são mais reais. EXERCÍCIO 85 Nos dados do exercício anterior projetar o plano horizontal que resultará em sobra de 960 m? de terra, isto é, VeVa = 960m? e comprovar calculando estes vo- lumes. Para resultar em Vo-V, = 960 mº, devemos baixar a cota final a partir da cota que resulta em volumes iguais: dif. de volumes 960 a àrea do terreno 4.800 = 02m Portanto a cota final será = 33,90-0,20 = 33,70 m. Vamos calcular agora os volumes de corte e aterro, para comprovar que à diferença será de 960 mº. Exercícios de Topografia 89 3,33 5 3 3 E E 16,67 | q n E + SEÇÃO D SEÇÃO € Horizontal 1:500 Vertical 1:200 Seção A Escala Cálculo das áreas de corte e aterro Seção A área de aterro 02x 4, A = doe = 0444m? área de corte 1556 x 07 EA é 5 +07+2x 15+2x 21 +27) = 111,444mº Seção B área de aterro B,= 2a2 + 0,2) + fiz > * = 144000m? área de corte 08x16 20 Bo 5 + 5 (08 +2 x 1,2 + 22) 60,4000m? - 90 Alberto de Campos Borges Seção € área de aterro 0 Cj = EO +2x 1,1 + 0) = 42,0000m? área de corte 20 2 Co = 70 +2x 0,5 + 1,5) = 25,0000m Seção D àrea de aterro 2 = Ses +2x18+2x07+0,2) + 02 x a = 81,3333m? área de corte = E = 8,3333m? Cáleulo dos volumes de corte e aterro Ve= DquiL atas +2 x 60,4000 + 2 x 25,0000 + 8,3333) = 2.905,7777 mê ts D0,4444 42% 14,4000 + 2 x 42,0000 + 81,3333) = 1.945,7777 mº 2.905,7777 - 1.945,1777 = 960 m? como se esperava. EXERCÍCIO 86 Ainda baseado nos dados dos exercicios anteriores projetar um plano inclinado de +4%, na direção e sentido de 1 para 5, com Ve = Va- Nestas condições a linha 3 que é eixo de simetria permanece com à cota final de compensação (volume de corte = volume de aterro), portanto a cota 33,90m, inclinando-se o plano a partir desta reta. O traço do plano inclinado ficará como na figura. teoTA 38.30) si tcoTA 4.70 (4) (GOTA 3380) (coTa33u0) (1) (SOTA 32,30]