Resistencia dos Materiais Beer, Notas de estudo de Resistência dos materiais

Baixe Resistencia dos Materiais Beer e outras Notas de estudo em PDF para Resistência dos materiais, somente na Docsity! 909984 os J 9999909090 f 33090 í 29009909098909090 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 3º Edição Ferdinand P. Beer Lehigh University E. Russell Johnston, dr. University of Connecticut Com a colaboração de John T. Dewoll University of Connecticut -a Tradução e Revisão Técnica Celso Pinto Morais Pereira Professor de Engenharia Mecânica da LRNESP Universidade Puulistr “Judia Mesquita Filho" Camprs de Guaratingueiá B sr ETR FE Er es rr Books id São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Pery Porto Rico Venezuela Do original: Mechanics af Materials 1982, 1987 by MoGraw-Hi, inc. (9 1896, Pearson Education do Brasil (9 1989, 1982 Editora MoGrawHIl do Brasi Lira Tocos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transrailida de qualquer modo ou por qualquer autro meia, elatrânico ou mecânico, inclulndo fotocópia, gravação ou qualquer autra lipo de sistema de armazenamento e transmissão da informação, sem prévia autorização, par escrito, cia Pasrson Education do Brasil. Prodistora Edftorial; Mônica Franca Jecintho Produtor Gráfica: José Rodrigues Capa: layout: Douglas Lucas Editoração o fatofitos em ae resolução: JAG Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Chiara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Beer, Ferdinand Pisme, 1815 Resistência dos materials / Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston, vt. itradução 8 revisão técnica Celso Pinto Marais Pereira. - 32 99), - São Paulo : Pearsan Makron Bonks, 1995. 1. Resistência dos materiais. Johnstan, Eluoad Russel, 1925+1 Tuta. s52801 CDD420.112 Índices para catátogo sistamético: 1. Materials : Resistência : Engenhara 620.112 2. Resistência dos materiais : Engenharia 62,112 Biblioteca Central Resistência dos materiais. Ae. 248361 - R. 785751 Ex. 3 Campra- CA TM. NÉ: 34919 R$91,90 - 23/01/2009 Engenharia Mecatrônica (Cantrole é Junho 2008 Diraitos exclusivos para a Kngua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil, Uma empresa do grupo Pearson Education Ay. Ermano Marchetti, 1435 Cep: OS028-001 Lapa - São Paújo - SP Tel: (11) 21766686 Fax: (11) 2178-268 e-mail: vandastBpearsoned.com / Prefácio .........i serra Capítulo 1 Introdução - Conceito de Tensão 1 11 Introdução... 1 12 Forçase Tensões . z 13 Forças Axinis; Tensões Normais . 6 14 Tensões do Cisalhamento ..... 10 15 Tensões de Esmagamento ............. 13 L6 Aplicações na Análise da Estruturas Simples .... 14 Problema Resolvido 1.1 .........e iii 18 a Problemas ........ciiiss 20 17 Tensões em um Plano Oblíquo ao Bixo ... ci... 28 18 Tensões Para um Caso de Carregamento Qualqu Componente de Tensões . a 1.9 — Tensões Admissíveis e Tensões Últimas; Coeficiente de Segurança . Eid Probloma Resolvido 1.2 .. 4 Problema Resolvido 1.3 ........... 44 Problemas .. 46 Revisão e Sumário ........... iii se Problemas do Revisão ...cececcciesessssicirrrreess 57 Capítulo? Tensão e Deformação - Carregamento Axial .. e 2.1 Introdução... e 2:2 Deformação Específica Normal Sob Carregamento Axial .... 65 v SOCUGEC OCESC Coece POUR AUS CEEE ss 5 £ 2020989 199000909090009999 E 999209999€ X Resistência dos Matoriais Capitulo 7 Problema Resolvido 6.1. Problemas . Círculo de Mohr para o Estado Pleno de Tensães . 84 Problema Resolvido 6.2 sa Problema Resolvido 6.3 e23 Problemas .....cccceiio a a2s 65 — Estado Mais Geral de Tensões . ese 66 Aplização do Círculo de Mohr à Análise Tridimensional de Tensões .... 630 *6.7 Critérios de Ruptura para Materinis Dáteis em Estado Plano de Tençães . *6.8 Critérios de Ruptura para Materigis Frágeis em Estado Plano de Tensões ......cmstereiirieris 6ag Problema Resolvido 6,4 asa Problemas... . 646 6.9 Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas . 851 Problema Resolvido 6.5 Problemas . 76.10 Transformações no Estedo Plano de Deformações Específicas ess *8.11 Circulo de Mohr para Estado Plano de Deformações ... ces *8.12 Análiso Tridimensional das Deformações Específicas ...... Bra 818 Medidas das Defermações Espunica, Rosstas de Deformação .. Problema Regolvido 6.6 .......iiiiiicttiioo 681 Problema Resolvido 6.7... ess Problemas .... Revisão e Sumário . eoz Problemas de Revisão .......iiiiiesiceiiiiiis az Projeto de Vigas e Eixos de Transmissão... 107 1 Introdução 709 72 Conisideragões Básicas para o Projeto de Vigas Peismáticas .. 708 7.3 Diagramas de Momento Fletor e Força Cortante . us Problema Resolvido 7.1 716 Problema Resolvido 7.2 ae Problemas .......iciiiiiiiiiii . FZ Capítulo 8 Sumário x 74 Relações entre Carregamento, Força Cortantee Momento Fletor ,..... Problema Resolvido 7.3. ................ Problema Resolvido 7.8 .....ccicicisiiiiiiiiiii v33 Problema Resolvido 7.6 ......ccesisssssiiiiiio 85 Problema Resolvido 7.8 .......iiiiiiiiiie ss 737 Problemas... series 738 *7.5 Utilização das Funções Singulares para Determinar a Forga Cortante e o Momento Fletor em uma Viga .......... 742 Problema Resolvido 7.7 .......cuetasecesesieeeeiios 751 Problema Resolvido 7.8 .......iiciceteesniir 758 Problemas 755 7.6 Tensões Principais em uma Viga .....cicrciiiiiis 758 7.7 Projeto de Vigas Prismáticas 762 Problema Resolvido 7.9 767 Problema Resolvido 7.10"... 70 Problema Resolvido 7.11 ..... E Problemas ria *TB Vigas de Igual Resistência ........iiciiiii irem . 82 *7.9 Dimensionamento de Eixos de Transmissão .............. 785 *7.10 Tensões sob Pontos de Aplicação de Carregamento ......... 788 Problema Resolvido 7.12.........iiiiiiiititreee 783 Problemas ...... 795 Revisão e Sumário . 804 Problemas de Revisão .......sisiiianianesisicesserieros Bro Deflexão das Vigas por Integração ......icssiiiiiio at5 81 Introdução............ 82 Deformação de uma Viga Sujeita a Carregamento Trangversal....... 8.3 . “Equação da Linha Elástica... *B4 Determinação da Linha Elástica Diretamente a Partir do Carregamento Distribuído .......... 29 85" Vigas Estaticamente Indeterminadas ......... ass Problema Resolvido 8.1........ciiis cistina 836 Problema Resolvido 82 ........ccciiiitiie rios ses x Resistência dos Materiais Capítulo $ Problema Resolvido 8.3 . sa Problemas ......,. aaa *86 Utilização das Funções Singulares 852 Problema Resolvido 8.4 .......... : - 857 Problema Resolvido B.5 ..... 859 Problema Resalvido 8.6 Problemas ..... BT Método de Superposição ....iiiiiiiiiriero E 85 Aplicação da Superposição às Vigas Estaticamente Indeterminadas .....oicirrerecrreeerrirtitro ar4 Problema Resolvido 8.8 .... iii iiisiernaiiss 89 Problema Resolvido 8.9 . EA Problemas ... E Revisão e Sumário E Problemas de Revisão ... E Deflexão das Vigas pelo Método dos Momentos de Área ....... 800 *91 Introdução... *9.2 Teoremas Relativos às Áreas do Diagrama de Momentos .... 901 *9,3 Aplicação a Vigas em Balanço oo Vigus com Carregamento Simétrigo,. “9.4 Superposição dos Diagramas de Momentos Rletores . 909 Problema Resolvido 9.1 Problema Resolvido 8.2 Problemas "95 “96 Problema Resolvido 94... 938 Problemas *9.7 Vigas Esteticamente Indetêrminadas sas Problema Resolvido 9.5 E Problema Resolvido 9.6 .. 953 Problema Resolvido 9.7... 255 Problemas Capítulo 10 Sumário x Revisão e Sumário . Problemas de Revisão Métodos da Energia 10.1 Introdução . . 10.2 Trabalho de Dofscenação, 10.3 Trabalho de Deformação Específico... 978 10.4 Trabalho de Deformação Elástica para Tensões Normais .... 981 10.5 Trabalho de Deformação Elástica para Tensões de Cisalhamento age *10.6 Trabalho de Deformação para o Caso Geral de Tensões ...... ss0 Problema Resolvido 10.1 Problema Resolvido 10.2 Problemas ....... 10.7 Carregamento Produzido por Impacto . 10.8 Dimensionamento para Carregamento Provocedo por Impacto ........ cereais 1015 10.9 Trabalho de Deformação Produzido por uma Única Forga Aplicada... ires rereieereioo 1017 10.10 Determinação da Deformação D Devida a uma Única : Carga Aplicada Usando Trabalho de Deformação ........... 1021 Problema Resolvido 10.8 .......iiiiiiiio 1025 Problema Resolvido 10.4... 1027 Problemas ...... sites 1928 *10.1L Trabalho de Deformação para o Caso de Grande Número de Cargas Aplicadas .........isertisrroo 1037 *10,12 Teorema de Castigliano - 1041 *10.13 Detarminação de Deflexões pelo Teorema de Castigliano ... 1042 *10.14 Estruturas Estoticamente Indeterminadas ........... 1049 Problema Resolvido 10,8 ....,iicicc cisternas 1052 Problema Resolvido 10.6 ........icicsiiiiiiirii 1055 Problema Resolvido 10.7... 1057 Problemas .......i isca 1060 Revisão e Sumário ........iiireisissiiiriria 1067 Problemas de Revisão ..........iiiierriris 1073 Gross o y “> o [a 4 uu PEÇAS ç 300960 € 319000 e S G& 2990929990 REGEM) JO 19000 XIV Resistência dos Materiais Capítulo L1 Apêndice A Apóndico E Apêndice € Flambagem de Colunas ............ . 1078 111 Introdução... . 1078 11.2 Estabilidade das Estruturas ....... . 1079 1.3 Fórmula de Enter para Colunas com Extremidades Articuladas ....cccceccesceresecenecnias eee 1082 114 Fórmula de Euler Para Colunas com Outras Condições da Extremidade ......... . 1088 Problema Resolvido 1L1........... . 1094 Problemas . . 1096 *11.5 Carga Excêntrica: a Fórmula da Secante ............ - 008 Problema Resolvido 11.2 ........... us Problemas ............ . 1116 11.6 Projeto de Colunas Submetidas a Carregamento Centrado ... 1120 Problema Resolvido 11,3 - 1130 Problema Resolvido 11.4 - 1133 Problomas ........ - as 11.7 Projeto de Colunas Submetidas a Carregamento Excêntrico . Lldá Problema Resolvido 11.5 . 1148 Problema Resolvido 11.6 .......... . 1149 Problema Resolvido 11.7 ..........ccic cistos tono - 1150 Problemas .......... . 1858 Revisão e Sumário . 1161 Problemas de Revisão ......icciiiiseseeeeeessos 1165 Centróides e Momentos de Inércia ..... < UM0 A. Momento Estático de uma Área; Centróide de uma Área .... 1170 A2 Determinação do Momento Estático e do Centróide de uma área Composta ....cccccseseseseeeeeeeeseencaneroa 1175 AB Momento de Inércia de uma Área; Raio de Giração ......... 2180 A4 Teorema dos Eixos Pogalelos ...i.... ic iii iiisiiiiito 1185 AS — Determinação do Momento de Inércia de uma Área Composta ..c..crecesrrericerrereeranariaieararro 186 Propriedades dos Materiais mais Usados em Engenharia ..... 1189 Propriedades dos Perfis de Aga Laminado ..........ceceeio 1191 Sumário xr ApêndiceD Deformação das Vigas .......iiccciiiiissiiscsceteeeess 1198 Apêndice E Principais Unidades SI Usadas na Mecânica ................. 1200 ApêndiceF | Centróides de Figuras Planas e Linhas .... 1201 Apêndice G Momentos de Inércia de Figuras Planas . 1208 ApêndiceH | Unidades Usuais Inglesas e Equivalentes no : Sistema Internacional (SD ......ccceseecesescercerrseeneee 1204 Respostas nos Principais Problemas ............iicccicsiiciseeetes 1206 Índice Analítico ............. eeciecenee nana raia ienanas ceara caneceneeraes 1245 XK Resistência dos Materiais intenção de mostrar algumas aplicações da teoria, na solução dos problemas de engenharia, e estes foram colocados da mesma forma como os alunos devem sistema. tizar a solução dos problemas propostos. A maioria dos problemas são de natureza prática é devera motivar os estudantes, Eles são formulados, principalmente, para ilustrar 05 assuntos apresentados no texto e auxiliar os estudantes a um melhor entendimento dos princípios usados na Mecânica dos Materiais. Os problemas foram agrupados de acordo com o assunto que ilustram e colocados numa ordem crescente de dificuldade. Os problemas que requerem aspecial atenção estão assinalados com um asterisco. Aintrodução, ho currículo de engenharia, do conhecimento sobre programação computecional e a crescente disponibilidade de computadores pessoais ou terminais de rede na maioria dos campus fazem com que seja possível atualmente os estudantes de engenharia resolverem um grande número de desafiadores problemas. Nesta nova edição de Resistência dos Materiais, um grupo de quatro ou mais problemas foram projetados para seram resolvidos com o auxílio deum computador e foram adicionados aos problemas de revisão propostos no final de cada capítulo. O desenvolvimento de um programa necessário para resolver um dado problema levará os estudantes a dois diferentes propósitos: (1) ajudará a terem um melhor entendimento dos princípios mecânicos envalvidos; (2) fornecerá a eles uma oportunidade em aplicar, com habili- dade, o seu curso de programação computacional na solução de problemas reais de engenharia. Finalmente, os antores desejam externar sua gratidão pelos comentários e sugestões oferecidos pelos usuários da primeira edição deste livro. Especiais agrade- cimentos são dados ao Professor Leon Y. Baar, da Drexel University e ao Professor Paul C. Paris, da Washington University. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston Jr. Capítulo 1 INTRODUÇÃO — CONCEITO DE TENSÃO 1.1 INTRODUÇÃO O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporeionar ao Enge- nheiro os meios que o habilitem para a análise e projeto de várias astruturas de máquinas, sujeitas n diferentes carregamentos. A análise e o projeto de uma dada estrutura implica a determinação das tensões a deformações. Neste primeiro capítulo será desenvolvido o conceito de tensão. Após uma pequena introdução (Sec. 1.2), enfatizando a diferença entre forças e tensões, iremos considerar aucessivamente as tensões normais em membros sujeitos A carregamento axial (Sec. 1.3), as tensões de cisalhamento causadas pela aplicação de forças iguais e opostas (See. 1.4), e as tensões de esmagamento provocadas pelos parsfusos, pinos e rebites, sobre as barras por estes conectadas (Sec. 1.5). Estes várias conceitos são aplicados na Sec. 16, ng análise de uma estrutura simples, consistindo em barras sujeitas a cargas axiais e ligadas por pinos. Na Seo. 1.7, onde uma barra está submetida « uma carga axis), iremos encontrar tensão normel é tensão de cisalhamento, ambas atuando sobre um plano oblíquo, enquanto que, na See. 1.8, veremos que seis componentes de tensão são necessárias para descrever 0 estado de tensão em um ponto em um corpo, sujeito a condição mais geral de carregamento. Finalmente, nés iremos discutir na Sec. 1.9 os procedimentos de feates para a detarminação da tensão última para um dado material e o uso do fitor de segurança no cálculo da cerga admissível, para um componente estrutural feito deste material. E] CO E: o ps ty EN id a " e e Ú o [a ESTOU 3090994 34 e. » I1300%0 to 99 Q o 3908 “ m, 3 e aa DOC =) POUVL 2 Resistência dos Materiais Cop. ! 1.2 FORÇAS E TENSÕES Considerando a estrutura da Fig. 1.1, que consiste em barras AB e BC, nos propomos a verificar se essa estrutura pode suporiar com segurança a carga de 30 kN, aplicada no ponto B. [DD 211D"e— 30 kN Fu À 8 Fa Fig Fig. 1.2 Do nosso conhecimento de estática, deduzimos que as barras AB e BC estão sob a ação de duas forças iguais e de sentido contrário, atuando na direção do cixo da barra, aplicadas em cada uma de suas extremidades: Ep é Psy de módulo Fay, é Fc & Fo de módulo Fpç (Fig. 1.2). Desenhando o diagrama de corpo livre do pino B, é compondo as forças atuantes no polígono de forças da Fig. 1.3, podemos escrever, da semelhança de triângulos: 4m êm Obtém-se então Esp = 40 kN Fac = 50 kN Fm q “ok ai 4 4 8 A Fe Fo 30kN te) o Fig. 1.3 Cap.! introdução - Conceito de tensão 3 Cortando a barra BC, por uma seção transversal, em um ponto arbitrário D, obtemos duas partes BC e CD (Fig. 1.4). Para que estas duas partes permaneçam em equilíbrio, é necessário aplicar a cada uma deles uma força de 50 KN no panto D. Concluímos também que BC está sob efeito de tração. Da mesma maneira, podemos ver que a força na barra AB é de 40 kN, e que essa barra está sob efeito de compressão. Flg.14 Os resultados obtidos representam o primeiro passo na análise da estrutura, mas não nos levam à conclusão de que « carga pode ser suportada com segurança. O fato de a barra BC, por exemplo, suportar a força interna que lhe é aplicada, ou se quebrar sob a ação dessa força, não depende só do valor encontrado para o esforço interno, mas também da área da seção transversal da barra e do material com que ela foi construída. Na verdade a força interna Fgo realmente representa a resultante de forças elementares que se encontram distribuídas em toda a área da seção transversal da barra BC (Fig. 1.5). Foo guto Fig. 15 A intensidade dessas forças distribuídas é igual à força por unidade de área Fal, na seção transversal. O fato de a barra BC se quebrar ou não sob a ação da força For depende, então, da capacidade do material resistir à intensidade das forças distribuídas. Em suma, a ruptura da barra depende da força Fyp, da área da seção transversal e das caracteristicas do material que a constitui. 4 Resistência dos Materiais Cop. 1 4 farça por unidade de área ou a intensidade das forças distri A sas distribuídas numa certa soção transversal é chamada tensão atuante, nessa seção, e é indieada pela letra grega o (sigma). À tensão em uma barra de seção transversal À, sujeita a uma força axial P (Fig. 1.6), é então obtida dividindo-se q módulo P da força pela área A: (1 a, ty Fig. tea -. Para indicar a tensão de tração (barras tracionadas) será usado o sinal positivo. O sinal negativo indicará tensão de compressão (barras comprimidas). No Sistema Internacional, P é expresca em newtons (N), 4 em metros qua- drados (1m?). À tensão o será expressa em Nyim?, unidade que é denominada pascal (Pa), Para no prático, no entanto, a pascal se revela uma medida muito pequena (as grandezas expraas em patul iornamesa moro auuio grandes). Usam-so, então múltiplos dessa unidade, que são o quilopascai (kPa), o megapascal (MPa) e é Eigapascal (GPa). . Fepasa (MES) é 9 1 kPa = 10º Pa « 102 Nim? 1 MPa = 108 Pa = 108 Nim? 1 GPa = 10 Pa « 10º Njmi Cap. 1 Introdução — Conceito de tensão 5 Quando se usam unidades inglesas, P é expressa em libras (lb) ou quilolibras (hip), ea área da seção transversal se expressa em polegadas quadradas (in2). A tensão q será expressa em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibras por polegada quadrada (ksi)!, Voltando ao estudo da barra BC, vamos imaginar que é constiluída de aço e possui um diâmetro de 20 mm. Temos então: Pon Fu = +50 kN = +50» 108N Amando nf = m(10 x 10-2m)? = 814 x 10-Sra? 20 mm Z E 450 x MEN =" Blá x ID-Omê + 159 x 108Pa = + 159 MPa O valor de q, obtido acima, deve ser comparado com o máximo valor de tensão que pode ser aplicado cam segurança ao aço. Dessa comparação se deduzirá se a barra BC pode ser usada para suportar e carga de 30 KN. Através de tabelas de propriedades de materiais, descobrimos que a tensão máxima admissível para o aço utilizado é Guam = 185 MPs. Como o valor da tensão calculado é menor que Onám concluímos que a barra BC pode suportar com segurança a carga aplicada. Para completar a análise da estrutura, devem ser estudadas ainda a tensão de compressão na barra AB e as tensões provocadas nos pinos e nos suportes da estrutura, o que será feito mais adiante neste capítulo. Finalmente, devemos verificar se as deformações que ocorrem nas barras, pela ação do carregamento, são aceitéveis. O estudo das deformações provo- cadas por forças axiais é assunto do Capítulo 2. As funções do engenheiro não se limitam à análise de estruturas ou máquinas já existentes, que devem suportar determinados carregamentos; de maior importância é o projeto de novas máquinas e estruturas, quer dizer, a escolha dos componentes estruturais adequados para as solivitações que se prevéem. Vamos, por exemplo, imaginar que na estrutura da Fig. 1.1, a barra BC devs ser de alumínio. Qual deve ser o diâmetro da barra, para suportar com segurança a carga aplicada? Primeiramente, voltando à tabela de propriedades dos materiais, encon- tramos, para o alumínio a ser usado, o valor da tensão admissível igual a Guam = 100 MPa. Sabemos que a força né barra é P = Fyç = + 5OEN, pois não houve mudança de carregamento. 1 Asprincipais unidades do Sistema Internacional é da Sistema Ínglês encontrara-se no Apêndice H. ES Co Cs € 3 E E é 10400 Er 1090998 ão — DON9909T0 3a 29 99090 F Do Dc 15990 1 Resistência dos Materiais Cop. 1 Este tipo da carregamento é chamada de carga centrada e será adotado como carregamento atuante em todas 45 barras de eixo reto das treliças e estruturas reticuladas (estruturas cujas barras são conectadas por pinos), como aquela da Fig. LI. No entanto, se uma barra é carregada axialmente, mas excentricamente, como mostra a Fig. 1.1Ia, as condições de equilíbrio de uma parte da barra (Fig. 1.115) nos levam a concluir que as forças internas em uma certa seção transversal devem ser equivalentes à força P aplicada no centróide dessa seção, e um conjugado M, de intenai- dade dada pelo momento M = Pd. A distribuição de tensões, então, não pode ser uniforme, ou simétrica, como na Fig. 1.8, O Capítulo 4 discute esse casa com detalhes. Fig. 111 1.4 TENSÕES DE CISALHAMENTO As forças internas e correspondentes tensões, que foram discutidas nas seções 1.1 e 1.2, eram normais à seção transversal. Quando duas forças P e P' são aplicadas a uma barra B, na direção transversal à barra, ocorre um tipo de tensão muito diferente (Fig. 1.19). - Cap. 1 Introdução - Conceito de tensão H p Fig. 1:12 Se passarmos uma seção transversal pelo ponto €, entre os pontos de aplicação das forças (Fig. 1.130), podemos desenhar 0 diagrama da parte AC (Fig. 1.135), e coneluirmos que devem existir forças internas na seção transversal, e que sua resul. tante deve igualar a P. Essa resultante, de intensidade P, é chamada força cortante na seção. Ao dividirmos a força constante P pela área da seção transversal À, obtemos a tensão média de cisalhamento na seção, À tensão de cisalhamento é indicada com a letra grega x (tau). Podemos escrever então: méd = Ê (1,4) p A e 8 p - ea A e | «pr % Fig. 1.13 Devemos frisar bem que o valor obtido na Fórmuia 1.4 é um valor médio das tensães de cisalhamento. E, contrariamente ao que dissemos para as tensões normais, a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal não pode ser assumida 12 Fesistência dos Materiais Cop. 1 como uniforme. Como se verá no Capítula 5, o valor real da tensão de cisalhamento varia da superfície para o interior da peça, onde pode atingir valores hem superiores A Tmég: A tensão de cisalhamento acorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam as diversas partes das máquinas e estruturas. Consideremos (Fig. 1.14) as duas shapas À e E, ligadas pelo rebite CD, Ao aplicarmos às chapas as forças de tração de intensidade *, aparecerão tensões na seção do rebite que corresponde 20 plano EE. Desenhando os diagramas do rebite e da parta deste que fica acima do pleno RE'(Eigs. 1.164 e b) concluímos que a força cortante P na seção é igual a E. A tensão de cisalhamento média na seção é obtida dividindo-se P « F pela área da seção transver. sal A, de acordo com Fórmula 1.4: PF toa EE (15) c e e LES. dn Es" +— F D D fa o Fig. 114 Fig. 1.15 Nas condições descritas, dizemos que 0 rebite está-euieito a cisalhamento simples Podem surgir outras situações de carregamento. Por exemplo, se as chapas de ligação C e D são usadas para conectar as chapas A e B (Fig. 1.18), o rebite H Poderá ser cortado nos planos KK' e LL" (do mesmo modo essa sihiação ocorre para o rebito EG). Nesse caso, os rebites se dizem sujeitos a cisalhamento duplo. E e K [iTe 8 I Téo é Fig. 1.16 Para determinarmos « tensão média da cisalhamento em cada plano, dese- Rhamos os diagramas do rebite Hu e da porção entre os planos He LL' (Pig. 1.17) À força cortante P em cada uma das seções é P = F/2, e a tansão média de cisalhamento vale: : Cap. 1 Introdução - Conceito de tensão 13 PF mea EA (16) . =p F=-»[] í —— p to) Fig. 1.17 1.5 TENSÕES DE ESMAGAMENTO Os parafusos, pinos e rebites provocam tensões de esmagamento nas barras que estão ligando, ao longo da superfície de contato. Tomemos como exemplo, novemente, as chapas 4 e £ ligadas pelo rebite CD discutidas na seção anterior (Fig. 1.14). O rehita exerce na placa À uma força P igual e de sentido contrário à força E, aplicada sobre o rebite pela placa (Fig. 1.18). A força P representa a resultante das forças elementares que se distribuem so longo da superífeie interna do semicilindro de diâmetro d e comprimento igual à capeasura da chapa. A distribuição das tensões ao longa dessa superfície cilindrica é de difícil obtenção e, na prática, se utiliza um valor nominal médio para a tensão. A esse valor nominal dá-se o nome de tensão de esmegamento ap Obtém-se o dividindo-se a força P pela área do retângulo que representa a projeção do rebite sobre a seção da chapa (Fig. 1.19), Essa área é igual a £-d, onde é é a espessura da chapa, e d é o diâmetro do rebite. Fig. 148 Fig. 119 (5 € o DEC GU cm 3 4 Eeuene TE soga E a € a TOO E > 20 II REFOAO 14 Resistência dos Materiais Cop. 1 Temos: Pp? 7) Aid 1.6 APLICAÇÕES NA ANÁLISE DE ESTRUTURAS SIMPLES Estamos agora em condições de determinar as tensães nos membros e ligações de algumas estruturas simples bidimensionais. «) Determinação das tensões normais nas barras com força axial: O Primeiro passo consiste na determinação da força em cada uma das barras. No caso da estrutura estudada na Ser. 1.1, isto pode ser feito pelas considerações de equilíbrio le apenas um pano, ou nó. Em problemas mais complexos, é necessário considerar, inicialmente, o diagrama de corpo livre da estrutura toda, determinando as reações nos apoios através das três equações de equilíbrio para um corpo rígida, 2F,-0 28-00 2M,-0 (18) onde À é um ponto qualquer de plano que contém: a estrutura, As forças atuantes nas barras podem então ser determinadas, anelisendo-se as condições de equilíbrio de seda néº. Em alguns casos, pode ser vantajoso desenhar o diagrama de corpo livre de uma parte da estrutura, estudando as equações de equilíbrio (1.8) para essa partef, Se as barras da estrutura estiverem sob ação de várias forças, as equações (1 8) podem ser desenvolvidas para cada barras. Como vimos na Sec. 1.1, pare uma barra sujeita à ação deuma força contrada, à tensão normal q pode ser obtide de quociente entre a força P e a área da seção iransversal da barra. Quando e seção transversal é variável aa longo da barra, a maior tensão ocorre na seção transversal de menor área. Tomando como exemplo a estrutura da Fig. 1.1, vamos especificar que a barra tircular BC, de 20 mm de diâmetro, tem extremidades achatadas com seção transver. sel retangular de 20 por 40 mm (Fiz. 1.20), Especifiquemos, também para a barra AB, uma seção transversel retangular, constento ao longo da barre, de 80 tim por 4 3 Ver Beor e Johnston, Mecânica Vetorial mare. Engenheiros, cit, Secs, 4,1 a 44 e 8.4, ou Mecânico para Engenheiros, cit, Secs, 3.120 3.1496.4. E $ o finda, Beer 6 Johusion, Mecânica Vitorinl para Engenheiros, cit, Sec. 6.7, ou Mesônica para Engenheiros, cit, Sec, 6.8. PM. Ber é dobuston, Mecánica Vitorial para Engenheiros, ct, Sees, 69, a 6.11 ou Mecênica para Engenheiros, cit, Seca. 6.10 06.12, Cap. 1 Introdução - Conceito de tensão 15 emidade B, a barra AB divide-se em duas partes, permitindo o encaixe de ara BC, a duas barras e gar em 5, por intarmGdto du pino de onda isa suspensa « carga de 30 kN. No ponto À, tm pino liga a barra AB ao apoio, que consiste em um encaixe entre duas chapas. No panto €, um pino liga a barra BC 8o apoio, que consiste em uma placa única. Ôs pinos têm 25 mm de diâmetro (Fig. 1,20). Como caleulamos na Sec. 1.1, a força atuante na barra BC é Fyç = 50kN, ca área de sua seção transversal € A « 814 x 10-8mê; a tensão normal média corres- pondente é ogç = + 159 MPa. No entanto, as extramidades achatadas da barra também estão sob tensão. Se tomarmos a menor seção transversal, no ponto onde a barra é furada para à passagem do pino, temos: A = (20 mm)(40 mm — 25mm) = 300 x 10-8m? O valor médio da tensão nesse ponto é: PP. 50x MEN Sac = q = 300 x 10fmê - 187MPa : sm == E a [vista auxiuaa DA pasaa ss d-25mm Fig. 1.20 20 Resistência dos Materiais Cap Fac Al TOCA “Tax x 10-9mp * L2MPa 5) Tensão de cisalhamento no pino €: O pino está sujeito a cisalhamento duplo, Podemos escrever: VêFsc 1628N x 10-5 “4 WA - Var x 10dmp * 57,6MPa £) Tensão normal máxima na baste ABC: No ponto À, a haste tera menor área de seção transversal, devido ao furo para passagem do pino de 9 mm. Nesse ponto temos a haste com altura de (82 - 9) = 23 mm, e: a, = FS 3256N x 106 “4 TA es nras iam A "(9% 10-Im2s x 102m " 187MPa 4) Tensão de cisalhamento média no ponto B: As duas faces da parte superior da haste estão coladas à parte inferior. Assim, à força de corte em cada face $F4= 325 N/2. = 1628N. A tensão de cisalhamento média em cada face 6: F 1628N x 10-8 4 "BOA" 102mas x 10dm) * hISMPa £) Tensão de esmagamento da haste no ponto C: Para cada parte da haste, Fi = 1628N, e a área nominal para esmagamento é (6 mam) (6 mm) = 36 mê, F, 1628N x 10-5 4 Tc as 36 x 10-0mE — 45,28 MPa PROBLEMAS 11e 3 Duas barras cilíndricas maciças são soldadas no ponto E como indicado. Determine a tensão normal no ponto médio de cada barra. : 3256N x 10-8 “ Cop. 1 Introdução - Conceito de tensão Br; P=180kN q a Fig. Fig.P1.2 . . o es; 18 NoProb. 1.2, determine a intensidade da força P para que a tensão norma! seja a mesma em ambas as barras. 1.4 No Prob. 1.1, determine a intensidade da força P, para que a tensão de trução na barra AB tenha a mesma intensidade que a tensão de compressão na j iga de madeira mostrada, é de axial na coluna, que sustenta a viga E e Too Desen comprimento éda placa de apoio para que a tensão do esmaga mento média na madeira seja de 2,8 MPa. fas kN Flg.PIS Fig.P16 j do 1.6. Teêa pranchas de modeira são unidos por uma cério de parafusos, formando uma coluna. O diâmetro de cada parafuso é de 12 mm, e o diâmetro in cn de cada arruela é de 15 mm, que é ligeiramente maior que os furos das pranchas, Sabendo se quão diâmetro externo de cada arruela é d = 80 mam, o que a tonção de semegamento média entre as arruelas e as pranchas não deve exceder a 5 MPa, detei tensão normal admissível em cada parafuso. a RG6€EC€E EE 3 e Es So + + Ê FCrtittrE FR: “ E OC: à 9099993 So A 3 990: £ 0 E Hesistênnia dos Materiois Cop. 1 17 Para estrutura do Prob. 1.6, determine o diâmetro externo d necessário para as arruelas, sabendo-se que a tensão normal axial em cada parafuso é de 20 MPa e que a tensão normal de esmagamento média entre as arruelas e as pranchas não deve exceder a 5 MPa 18 ma cerga axial P é suportada por uma pequena coluna W250x 80, de seção transversal igual a.4 - 10.200 mm? o é tramomitida a uma fandação de conereto por uma Placa quadrada de 459 mm, como mostrado. Sabendo-se que a tensão normal média na coluna não poderá exceder 248 MPa, é que à tensão de esmagamento média sobre « fundação de concreto não poderá exceder 13,8 MPa, determine a máxima carga P admissível. Fig.P1.8 19'e 1.10 Sabendo-se que a haste de li uniforme, de área igual a 800 mmê, determi tensão normal na haste BD seja 50 MPa igação BD tem uma seção transversal ne 6 intensidade da carga P para que a 135mm 240 mm 450 ram 120mm, Flg.P1.9 : Fig.P1,10 Cop.! Introdução — Conceito de tensão 23 i à tangular uniforme de ligação AC tem uma seção transversal reta d Ein do sra e DS A mm de largura. Determine a tensão normal na porção central da haste, quando qu 0". 250mm 200mm Fig Pit 1.12 Resolva o Prob, 1.11, assumindo que a «90º. 1.18 Cadauma des quatro hastes verticais, ligadas às duas bairas horisentao em uma seção transversal retangular uniforme de 10x inda o do Determine o máximo valor de tensão norm ms ' dá, nos hastes conectadas pelés (0) pontos B e 8; (5) pontos Ge F. Fig. P1.13 2.14 Resolver o Prob. 1.13, assumindo que a carga de 24 kN é orientada para cima. 2 Resistência dos Materiaia Cop 1 Lis Cadauma des hastes do ligação AB CD tem uma seção transversal retangular pniforme de 6,3 x 25,4 mm é está ligada à barra horizontal BCE por pinos de diâmetro igual a 264+mm. Considerando eque a tensão normal média de ambas as hastes não exceda a 170 MPa, determine a mátima carga que pode ser aplicada no ponto E, se esta carga é dirigida (a) verticalmente para baixo; (6) verticalmente para cima. 13 ve Last Fig. P115 116 Duas caígas verticais são aplicadas ao pino B da montagem indicada. Saben- do-se que o diâmetro do pino usado em cada ligação é de 15,2 rum, determine o valor máximo da tensão normal média na (a) haste AB; (b) haste BC. Flg. P1.16 Cop.i Introdução - Conceito de tensão 25 i É a 1.17 Para a treliça e carregamento mostrado, determine à censão mormal na barr BD. Sabe-se que a área da seção transversal da barra é de 1:290 mm?. ã E da 1.18 Determino a menor área admissível para a seção tramovereal da barra DE da treliça mostrada, se para a carregamento dado, a tensão normal ultrapassar 138 MPa Fig. PLIZe PLA o transversal da barra DE da 1.19 Determine a menor área admissível para a seçãt ve á ão de treliça mostrada ae para o carregamento dado, a tensão normal nesta barra não i ultrapassar 200 MPa. j á 1 na barra 1.20 Para a treiça e carregamento mostrado, determino & tensão, normal na AD, Sabe-se que a área da seção transversal da barra é de 1. , aa a Fig. Plil9 e P1.20 ty € 16 CG 6 SOC € E € 6 EC A E € > J060€ 10006 À 4 Es 3 O E RG GETS INIT TE ET FER E HEEREERE. so Resistência dos Materiais Cap. 1 .Posê co Psen6 Açioos 6 Apicosô cm P P - 5 cs6 E = a es “= à Senôcosó Podemos abservar, através da 1º equação, que a máxima tensão normal o Scorre para 8-0, ou seja, quando a seção transversal é perpendicular ao eixo, tendendo & zero quando 8 se aproxima de 90". Assim, pera 6 -.0, achamos: o - £ (112) é) = o = (9 Fig. 1.26 como Toi visto na Bec. 1.2. À segunda das Equações 4.11 mostra, também, que a tensão de cisalhamento o nula para 8=0 e 9= 90º e que para Om 45º ela atinge seu valor máximo = É sen 45º cos 45º = E (1.13) L , A primeira das Equações 1.11 mostra que para Om 45º a ti ! também iguala PDA; MA HOR + 4 tensão normal o'é ga arcos 45º o E (Ig Cap. 1 Introdução - Conceito de tensão 8 p p cn =P/A, «— 4 (a) Carga axial (tb) Tensões para 9= O o= Pa, te PIA, =P/2A, si PIPA, (c) Tensões para 6 = 45º (d) Tensões para 8 =—45º Fig. 1.27 Osresultados obtidos são evidenciados na Fig. 1.27. Vemos então que o mesmo carregamento pode produzir tensão normal q, = P/Ão sem nenhuma tensão de cisa- . lhamento, cu tensões normel e de cisslhamento de mesmo valor 0' = Tg - P/ZAy, dependendo da orientação da seção estudade. 1.8 TENSÕES PARA UM CASO DE , CARREGAMENTO, QUALQUER; COMPONENTE DE TENSÕES Os exemplos já vistos se limitaram a analisar barras sujeitas à carregamento axial e conectores sujeitos a cargas transversais. No entanto, a maior parte das peças de estruturas e componentes de máquinas se encontra sob a ação de carregamento mais complexa. Consideremos um corpo onde estão aplicadas várias forças P,, Py etc, (Fig. 1.8). Vamos estudar as condições de tensões em um certo ponto Q do interior do corpo, causadas pelo carregamento. Para isso, passamos ums seção pelo ponto Q, por intermédio de um plano paralela ao plano yz. À porção do corpo que fica à esquerda da seção está sujeita à ação de algumas das forças aplicadas inicialmente e das forças normais e cortantes distribuídas na seção. a Resiatência dos Materiais Ep. 1 Fig. 1,28 Tomemos um elemento de área AA, que contém o ponto i; As é AV3, respectivamente, as forças nqrinal o cortante quo agora a da nar POr 1.290). O Índice superior x indica que as forças 4F= e AV* agem em uma superticão perpendicular no eixo À força normel AF* tem sua direção bem definida, mas a força cortante AV= pode ter qualquer direção no plano da seção, Vamos então decomprr AV= nes suas componentes AV; e AVE, nos direções paralelas nos eixos y e e, respec- tivemente, como mostra a Fig, 1.29%: Se divigirmos agora a intensidade de cada força ela área dÁ, fa: ; ; : T E a Fe Ta ça tender a zero, definivemos as três componentes das tensões tim AP= 4-0 AA (1.15) avz avE ty = lim É mn 7 Po amo DA O ao dA Cop. 1 Introdução « Conceito de tensão 3a AU Vau z (a z Fig. 1.29 Fla, 1.30 Usamos o primeiro índica ema q,, t,, é %,, Dara indicar que as tensões conside- radas agem em uma superfície perpendicular ao eixo x. O segundo índice serve para indicar a direção da componente. À tensão normal q, é positiva se o sentido de vetor que à representa coincide com o sentido do eixo x. Assim o, será positiva quando o corpo estiver senda tracionado e negativa em caso contrário. Do mesmo modo, as componentes da tensão de cisslhamento, ts € te Serão consideradas positivas quando seus correspondentes vetores tiverem sentido coincidente com o sentido positivo do eixoyouz, Amesma análise pode ser feita'se tomarmos a porção direita do corpo dividido pelo plano vertical (Fig. 1.81). As tensões obtidas serão de mesma intensidade, mas de sentidos contrários, em relação ao caso estudado acima. A seção transversal está voltada para o lado negativo do eixo x, de modo que a, terá sinal positivo quando seu vetor tiver sentido contrário ao do eixo x. Do mesmo mado, ,, € 1, Serão positivas quando seus correspondentes vetores tiverem sentida contrário ao sentida positivo do eixo y ou z (Fig. 1.81). ; CC DE é É q a o SG GOO O LOcCeces  = = = EEEE E Resistência dos Materiais Cap. 1 Fig. 1,31 Se passarmos pelo ponta Q uma seção parslela no plano xz, definiremos es componentes Gy, ty é Za ÃO passarmos pelo ponta uma seção parelela ao plano 2y obteramos as componentes 0, té Ty Para facilitar a visualização do estado de tensões no ponto &), vamos conside- rar tm pequena cubo de lado a, com centro no ponto À), juntamente com as tensões que atuam em cada uma das seis faces de cubo (Fig, 1.32). As componentes que sperecem na figura são as tensões normais 0, 0, é 6, que atuam nas faces perpendi. sularos aos eixos x, y e z respectivamente, e às seis componentes das tensões de cisalhamento t,,, ty etc. Lembramos, da definição de componentes das tensões de Sisalhamento, que 1. representa segomponente y da tensão de cisalhamento que atua na faco perpendicular eo eixa x, do mesmo modo que +, representa a componente z da tensão de cisalhamento que etua na face perpendicular ao eixo y. Nas três faces do subo que não são visíveis, ocorrem tensões iguais e de sentidos opostos, As tensões atuantes nes faces do cubo diferem pouco daquelas que agem no ponto Q, e o erro cometida é pequeno, desaparecendo quando a lado a do cubo tende à zero. Fig. 1.32 Cop. 1 Introdução - Conceito de tensão 35 i tes das Vamos agora deduzir algumas relações importantes entre as componen tensões de cisalhamento. Considerando o diagrama de corpo livre do cubo centrado em & (Fig. 1.33), podemos obter as forças normeis e cortantes nas várias faces, multiplicando as componentes das tensões pela áree de cada face. Considerando um sistema de eixos coordenado com origem no ponta Q, podemos escrever as seisequações de equilíbrio: z7 =0 2 -0 zF, «0 1.18) z y z (16) - AT 24, -=0 EM, = 0 EM, » O am Fig. 1.33 istvai ig. 1.33 agem forças iguais e Sabemos qua nas facas não visíveis do cubo na Fig. 1.3 f de sentido contrário às indicadas, o que satisfaz às Equaçães 1.16. Analisando as Pe 1.17, vamos considerar em primeiro lugar a terceira das equações, ZM, - 0. Ui o projeçã i ta as forças cortantes uma projeção no plano ay (Fig. 1.34), podemos ver que somen rças co têm morvento diferente de sexo, em relação aa eixo z, Elas formam dois conjugados, um deles com moraento positiva, contrária ao giro dos ponteiros de um relógio, de velor (r Ada, é 0 outro negativo, no sentido dos ponteiros do relógio, de valor (ta AdJa. hoy AA)0, Escrevemos então: +JZM, = O (x 44)a - (tu bA)a = 0  40 Resistência dos Materiais Cap. 1 1. Modificações que acorrem nas propriedades do material. 4 com. Posição, resistência e dimensões dos materiais estão dujoi durante a fabricação das peças. Além disso, as propriedades do ristarial podem ficar temperatura a que o material se sujeita no transporte, armazenamento ou na própria execução da estrutura. 2. O número de vezes em que a carga é aplicada durante a vida da estrutura ou má: scasião do projeto, Cargas dinâmicas, efelieas é instantánea: valores de coeficientes de segurança. 4. O modo de ruptura que pode ocorrer. Materiais frágeis apresentam ruptura repentina, sem nenhuma indicação de que 0 colapso é iminente Já os materiais dúbeis, como o aço estrutural, apresentam grande deformação, chamada escoamento, antes de atingir e ruptura, c esse comportamento do material fornece um de estabilidade da estrutura é geralmente repentina, seja o material frágil ou não. Quando existe a possibilidade de ruptura repontina, o valor à se adoir para q coeficiente de segurança deve ser maior do que no caso de rhptura com ais, “BMétodos aproximados & análise. Os métodos de cálculo e análise são baseados em certas simplificações que levam a diferenças entre as tensões calculadas 8 aquelas realmente atuantes na estrutura. 6. Meterioração que poderá ocorrer no futuro devido à falta de manu. tenção ou por causas naturais imprevisíveis, Em locais em que à composição do matezial ou a ferrugem são difíceis de controler ou de prever, deve ser adotado cu, coeficiente de segurança de valor alto. 7. A importância de um certo membro para a integridade de toda a estrutira, Para as peças secundárias e contraventamentos da estrutura pode ser usado um coeficiente de segurariça menor do que aquele das peças principais. Sompletando os comentários acimi, existe a consideração adicional relativa Se risco de vida e danos materisis que um colapso pode trazer Nos casos eis que o solapso não traz risca de vida, e a perda de valores materiais é mínima, pode ser considerado a uso de um coeficiente de segurança mais baixo, Cap. 1 Introdução - Conceito de tensão “4 Finalmente existe a consideração de ordem prética que EA veres poi um H a relativamente baixo (com um projeto muito ber . o cltos Ciciodes do segurança podem traxeroléios inaceitáveis no peso de exe , um avião. Na mejoria das aplicações em estruturas e máquinas, os coeficientes de segurança são especificados por especificações de projeto e gégigos do cone rução itos por comitês de engenheiros experientes, trabalhan imenk dades profisionis,indiiis, agências foras, cetaduis e municipais. xeraplo desses códigos de especificações e construção são: 1. Aço- Instituto Americano de Construção Metálica, Especificações para o projeto e a execução de estruturas metálicas para edifícios. 2. Conereto- Instituto Americano do Concreto, Código de Edificações, requi- sitos para Concreto Armado. 3. Madeira — Associação Nacional de Produtos Florestais, Especificação Nacional para projeto em madeira estrutural e suas ligações. 4. Pontesrodoviárias - Associação Americana dos funcionários de rodovias estaduais, Especificação-padrão para pontes rodoviárias. PROBLEMA RESOLVIDO 1.2 de controle licadas go suporte da figura. a) Sabendo-se que a barra BS RE de ago voo tensão última de 600 MPa, determinar a diet da barra para jue o coeficiente de segurança seja de 3,3;b) O pino no ponto é NE E o pa Eonsão última a cisalhamento de 350 MPa. Determinar 0 diâmetro e pla eua um coficiento de segurança ao cisalhamento de valor 3,0) Deferminar à cspem Gura necessária das chapas de apoio em C, sabendo-se que a tenção admissível p esmagamenta do aço utilizado é de 300 MPa. 7 NT: No Brasil, as especificações pi ie os Z teriais e para ara coeficientes de segurança dos diversos mat carregamentos em vários tipos de estruturas são dados pelas Normas Técnicas da Associação Brasileiva de Normas Tócnicus. Assim, para os materiais e estruturas especificados acima, temos: 1 Aço NE-J4 2 Concreto NB-1 8. Madeiro NB-t1 d. Pontes rodoviários NE POCSCUCUCES " & 8 & 42 Resistência dos Materieis Cap. 1 poa + E aê d6m BORN 15HN tear ul = dd man. Cap. 1 Introdução - Conceito de tensão “a Corpo livre: Todo o suporte. A reação em C est compondo livre ção em ( está representada por suas +) Ro = 0 P(A) - (60 KNKO,3m) - (16 kNNO, Em) = 0 P = 40RN EF, = 0 C- 40:N C=VCE+TF = 768kN 2, = 0 C=65kN D Sana has ad admissto) Barra de controle AB. Como 9 coeficiente de segurança é 3,9 a tensão “6 OU BOOMPa Grão = q = CURE. 181,8MPa Para Po 40 kN a área necessária da seção transversal é P 40&N - -4 - -8 mê Aee * Tas = TOLOMPa O 220 x 108 m Moça = Edi x 200 x 10-6mê das = 16,74mm < &) Cisalhamento no pino C. Para o coeficiente de segurança 3,3 temos Ty | 350 MPa Tod * OS 3,3 = 106,1MPa Como o pins está sujeito a corte duplo, temos cr (6SkNJZ RS 2 nes Toa 106, IMPa — 360 mir > ' x gde - 360mm? d, = 21 4mm Adota-sed, » 22mm 4 A bitola comercial mais próxima do valor encontrado é 22 mm. a nel F A=fas 20 c) Esmagamento das chapas em C Para da 22mm, a área nominal de esmagamento de cada chapa é 22$. À força distribuída em cada chapa é C/2. Com a tensão admissível de 300 MPa, escrevemos cr Ca8kNYê [LL e-D——— = 2 Taio” B00MPa — 1272mm ne Como 22 é « 127,2, temos t = 5,78mm. Adota-se é = Gmm « “4 Resistência dos Materiais Cop. 1 PROBLEMA RESOLVIDO 1.3 à viga rígida BCD está ligada por parafusos à barra de controle em A, ao cilindro hidráulico em C é so suporte fixo em D. Os diâmetros dos parafusos usados são “a = dp = 8mm, dç = 12 mm. Cada parafuso está sujeito a corte duplo, e é constituído de aço com tensão de cisalhamento última t,; = $00 MPa. A barra de controle AB, com 8 mm de diâmetro, é feita de aço com tensão última de tração a, = 450 MPa. Determi- nar a maior força que o cilindro hidráulico pode aplicar, de baixo para cima, no ponto € adotando para toda a estrutura o coeficiente de segurança 3,0. S*=— 8 mm diâmoto Solução: O coeficiente de segurança deve ser muior ou igual a 3,0 para cada um dos três parafusos, como também para & barra de controle. Vamos considerar separada- mente cada um dos quatro casos. Cop. 1 Introdução - Conceito de tensão 4 +) EM - B(350mm)- C(200mm) = 0 C = 17508 ay +JeMo = O: —D(850mm)+C(l50mm) = 0 C=2,33D e e see 150 mm” "200 mm Barra de controle, Para o coeficiente de segurança 8,0 vamos ter Su | 450MPa im GE" ao - 150 MPa A força admissível na barra de controle é B - Oganil4) = (150 MPe) 1/4n (9 mm)? » 9,54kN Usando a Equação 1 encontramos o maior valor passível em C C = 17508 « 1,750/9,54:N) C = 16,70EN “4 Parafuso no ponto B. Tuim = “2/08 = (800MPajl3 = 100 MPa Como o parafuso está sujeito a corte duplo, a força admissível em E é B = tanl2á) e aoompa BE (a mmjt Be 10,05kN Da Equação 1C'=1,750B = 1,750B (10,05 kN) C=17,59kN E] Parafuso no ponto D. Este parafuso é igual ao do ponto B e a força admissível é 'D = B = 10,05EN, Usando a Equação 2: C = 2,88D = 2,38(10,05EN) C = 23,44N «4 Parafuso no ponto C. Novamente temos tam = 100 MPa e escrevemos € EVECCÓCUCEES E ULO SE ECo ; 5 a€ & 9999999909 IUTOE FRETE í EEE a EE 50 Revistência dos Meteriois Cop. 1 1.47 Para à emenda e carregamento do Prob. 1.36, determine 9 coeficiente de segurança, sabendo-se que a resistência última da cola é de 1035kPa na tração é 1476 kPa no cisalhamento. 1.48 - Quatro parafusos de aço são usados para prender a placa mostrada à viga de * madeira. Admitindo que e tensão de cisalhamento última para o aço utilizado é de 345 MPa, e desejando um coeficiente de segurança de 3,3, determine v menor diâmetro admissível para os parafusos a serem usados. A8SkN Fig. Pt.4s 149 Ahaste AC'6 feita de um aço com tensão normal última de 410 MPa e tem uma seção transversal retangular uniforme de 6 x 12-mm. Está ligada ao apoio 4 e ao membro BCD em €, por zinos de 8,5 mm de diâmetro; enquanto que a barra BOD está “Nigada no apoio B, por pino de 8 mm de diâmetro. “fados os pinos são de aço com tensão de cisalhamento última igual à 170 MPa e estão sujeitos a cisalhamento simples. Desejando-se um coeficiente de segurança de 3,25, determine & maior carga P qua pade ser aplicada em D. Notar que a haste AC não está reforçada em torno dosfuros dos pinos. Fig. P1.49 Cap. ! Introdução - Conceito de tensão a 160 Na estrutura de aço mostrada, um pino de 6 mm de diâmetro é usado em €, enquanta que em B e D usem-se pinos de 10 mm de diâmetro. À tensão da cisalhamento última para todas as ligações é de 150 MPa, e a tensão normal última é de 400 MPa ne viga BD. Desgjando.se um coeficiente de segurança igual a 3, determine a maior carga P que pode ser aplicada em A. Notar que a viga BD não é reforçada em torno dos furos dos pinos. Vista frontal 18mm Emm A e s E Vista laleral —— BOmm 120mm p a B E Vista superior Fig. R1.50 151 Resolver o Prob, 1.50, assumindo que a estrutura deve ser reprojetada para utilizar pinos de 12 mm de diâmetro em E e D, e que nenhuma outra modificação deve ser feita, 152 Resolver o Prob. 1.49, assumindo que a estrutura deve ser reprojetada para utilizar pinos de B mm de diâmetroem Ae €, assim como também em B, a que nenhuma outra modificação deve ser feita. 1.58 Resolver o Prob. 150, assumindo que a estrutura deve ser reprojetada para utilizar pinos de 11,5mm de diâmetro em B e D, e que nenhuma outra modificação deve ser feita.  s2 Hesistência dos Moteriuis Cap, 1 REVISÃO E SUMÁRIO Este capitulo está voltado ao conceito de tensão é à introdução dos métodos usados para análise a projeto de máquinas e estruturas de sustentação. - Inicialmente nós consideramos uma barra reta submetida a duns forças axiais (Sec, 1.2), A tensão normal o nessa barra foi obtida pola relação entre a intensidade da carga P e a área da seção transversal da barra (Fig. 1.64). Nós escrevemos, . o) q (Li) Carregamento axial Tensão normai Pp p Fig. 1.64 - Como visto na Sec. 1.3, o velor de a abtido desta forma represente a tensão médio sobre a seção, so contrário do que a tensão num ponto específico Q da seção. Considerando uma pequena área 44 aa redor de Q e senda AF, a intensidade da força sobre AA, nós definimos a tensão no ponto Q como, o= lim 4 «2 AL>0 AS “o... Bm geral, 0 valor obtido da tensão is no ponto Q) varia ao longo da seção e 6 diferente da tensão média dado pela fórmula (1.1). Entretanto, esta variação é pequena em qualquer seção afastada dos pontos de aplicação das cergas. Na prática, Cap. 1 Introdução - Conceito de tensão sa no entanto, a distribuição de tensões normais numa barra com carregamento axial é assumida como sendo uniforins, exceto nas vizinhanças dos pontos de aplicação das cargas. Mesmo assim, para que a distribuição de tensões seja uniforme em uma dada seção, é necessário que a linha de ação das cargas P e Pº passe pelo centróide C da seção. Tal carregamento é dito axial centrado No caso de um csrregamento axial excêntrico a distribuição de tensões não é uniforme, No Capítulo 4, serão discutidas as tensões em barras sujeitas a um carregamento axial excêntrico. Quando es forçastransversais P e P”, iguais e opostas, de intensidade P, são aplicadas em uma barra AB (Fig. 1.130), teasões de cisalhaimento x surgem sobre a seção localizada entre os pontos de aplicação das duas forças (Sec. 1.4). Estas tensões variam bastante através da seção e a distribuição delas não pode ser assumida como uniforme. Portanto, a relação entre « intensidade P, que é a força cortente na seção, ea área da seção transversal À, nós definimos como tensão de cisalhamento média ao longa da seção, então: P tua = (14) Forças transversals Tensão de cisalhamento Pp e Fig. 1.134 As tensões de cisalhamento são encontradas em parafusos, pinos e rebites, ligando dois membros estruturais ou componantes de máquinas. Por exemplo, no caso do rebite CD (Fig. 1.14), que está sujeita a cisalhamento simples, nós escrevemos, PF "md ga (1.6) Ex ud É E “+ 263 246 ;JOCE COCEGUCOGTOS TO e re SS 700996 ESB nda TI TS JO L FE = En h el u 54 Resistência dos Materiais Cap. 1 D Fig. 1.14 enquanto que, no caso dos rebites EG e HJ (Fig. 1,16), - em ici cisalhamento duplo, nós teremos, que ambos estão sujeitos a tag e E E mede Ze 2 (1.6) Fig. 1,16 Os parafusos, pinos e rebites também geram tensões no cdr A si dé pu ta sobem quo 1 ) O ebie 'Dda Be Lia, por exemplo, gera tensões no superfície semicilíndrica sua » Com a qual está em contato (Fig. 1.18). Coma a distribuição destas tensões astante coraplicada, alguns usam na prática um valor de tensão nominal médi: S ameada tensão de esmagamento, obtida pela divisão de carga P, pela área do retângulo representando a projeção do rebite sol & D é espessura da placa e por a a diâmetro do rebio, erro canas Pica: Denaiando por PP 4º am 4 Cap. 1 Introdução - Conceito de tensão 55 AE o Fig. 1.18 Na Sec. L.6, nós aplicamos os conceitos introduzidos nas seções iniciais para a análise de uma estrutura simples, consistindo de duas barras, conectadas por pinos e que suportam uma dada carga. Determinamos sucessivamente as tensões normais nos dois membros, danda especial atenção para suas reduzidas seções, assim como as tensões de cisalhamento nos vários pinos e a tensão de esmagamento em cada furo. Na Sec. 1.7, nós consideramos as tensões que surgem sobre uma seção oblíqua de uma barra sujeita a um par de cargas axiais. Nós vemos que ambs as tensões normate de cisalhamento ocorrem em tal situação. Denotanda por 90 ângulo formado entre a seção com um plano normal (Fig. 1.280) e por Ay & área de uma seção perpendicular ao eixo da barra, nós desenvolvemos as seguintes expressões para a tensão normal o e para & tensão de cisalhamento 7, sobre & seção ablíqua: o - E wogb senô cosá dam q. P Ag Ay Nós observamos destas fórmulas que a tensão normal e máxima é igual a 0, =P/A, para 8=0, enquanto que a tensão de cisalhamento é máxima e igual a ta=PIZA, para 60-45. Nós também notamos que 7» 0 quando 9» 0, enquanto a Pf24, quando 6 = 45º. Tensões sobre uma seção oblíqua Fig. 1.268 Em seguida, nós discutimos o estado de tensão em um ponto Q de um corpo, submetido à condição mais geral de carregamento (See. 1.8). Considersúdo um pe- pps ventre so Resistência dos Materinis Cop. 1 162 Um pino de diâmetro igual a 5 mm está aujoito a um cisalhamento duplo, na conexão C do pedal mostrado. Sabendo-se que P = 600N, determine: (a) a tensão de ciselhamento média no pino; (6) a tensão de esmagamento no pedal €; (e) a tensão de esmagamento em cada uma das chapas de apoio, em C. 1.68 - Sabendo-se que uma força de 800 N está aplicada no pedal indicado, determi. ne: (0) o diâmetro do pino em C, tal que a tensão de cisalhamento média no pino seja de 25 MPa; (b) a correspondente tensão de esmagamento em cada uma das chapas de apoio, em C, 5 mm mm A ahB E 1 p tes mm o ts e õ Ni Ag Flg. 1,626 P1.63 164 Uma placa de aço de espessura 6,35mm está engastada numa parade de concreto, ancorando um cabo de alte resistência, como indicado. O diâmetro do furo da placa é de 19 mm, & tensão última de tração para 0 aço é de 250 MPa, e a tensão última de aderência entre a placa e o concreto é de 2,07 MPa. Se um coeficiente de segurança de 3,6 é desejado, quando P « 10 kN, determine: (a) à largura q necessária da placas (b) o mínima comprimento b que a placa poderia ser embutida na parede. (Desprezar as tensões normais entré o concreto c a extremidade da placa.) Fig. P1.64 165 Determine o coeficiente de segurança para o cabo ancorado do Prob, 164, quando P6- 18,5 kN, adotando-se para a = 50 mm e b= 210 mm. Cop. 1 Introdução - Conceito de tensão o Os problemas que se seguem são para ser resolvidos com auxílio de um computador. 'ma barra. maciça consiste em n elementos cilfndricos, soldados entre si e abatidos go carregamento indicado, O difimetro do elemento 1 é denotado por die a carga aplicada em sua cxtremidnde ireite por E, Estas cargas são asouidas positivas quando P, é orientada como mostrado e negáliva em coso con! À rio. Pei dese: (o) Escrever um progeema do computador que nossa ser usado, em qualquer sistema de unidades, para determinar a tensão normal média em enda clemento da barra; (5) Aplicar esse programa para resolver os Probs. 1.1, 1.2 6.1.55. Elementor Elemento 1 Pa Fig. P1.C1 .C2 Cada uma das quatro hastes de ligação verticais, conectadas às duas barras Rocisontado tem uma seção transversal retangular uniforme de 10 x 40 jam 2 são feitas de aço com uma tensão de tração última E MPa, enquanto quo ida um dos pinos Ce Pé feito de aço com uma tensão de cisalhamento última de E] à Pedese: (a) Escrever um programa de computador tal que, dados os valores de a, b o Peg valores paca os dibimeiros d dos pinos, que varia de 4 om at6 3 rr, cm intervalos de 2 mm, permita calcular: (1) o máximo valor da tensão normal m o ne honte CH, (2) a tensão de cisalhamento média dos ines, em C'o E, 3) o cosficionte de segurança para a haste CG; (4) o coeficiente de segurança dos pinos, em C e (6) o coficionte de segurança global para as hastes e os pinos; (6) Aplicar essa programa pargresolver os Probs. 1.136 e 1.30a; (o) Determinar para os valores de a, b e P, usados ness: * problemas, qual diâmebro d do pino produzirá o maior coeficiente de segurança global, e o correspondente valor deste cosficiente. Fig. PI.G2 DETAIL no A sf Ho FE EUA FE E FEU eee  FER A 3: JUNO e Resistência dos Materiais Cap. 1 103 | Duss peças de madeira de seção transversal retangular uniforme, de lados a & 5, são unidas por uma junta simplesmente colada, e sujeitas a uma carga axial de intensidade P, como indicado. Pede-se: (x) Denotando por Gi é tp respecLivamente, as tensões últimas de tração « de cisalhamento, escrever um programa de coraputador que, dades os valores a, 6, P, a & Ty, expressos em qualquer sistema enerente de unidades, e para valores de « variando de 5º até 85º, em intervalos de 5º, permita calcular: (1) a tensão normal ne junta, (2) a tensão de cisalhamento na junta, (3) o eeeficiente de segurança relativo a falha por tração, (4) o cueficiante de segurança relativo a falha par cisalhamento, (5) o coeficiente de segurança global para a junta soldada; (b) Aplicar esse programa, usando dimensões, carregamento e propriedades específicas do material, para a solução dos Prabs. 1.36, 1.47 e 1.56; (c) Em cada um destes dois casos, verificar que a tensão de cisalhamento é máxima pera = 45º 9 valor definida pela Equação (1.13), também observar, em amhos os propriedades indicadas no item & do Prob. 1.57. etem casos, as Pp P AB ça 1C4 A haste BD é feita de aço com uma tensão última a tração de 400 MPa, e os Pinos B, C e D de um aço com uma tensão última de cisalhamento de 150 MPa Note que os pinos B e D estão sujeitos a um cisalhamento simples, enquanto que o pino C, a um cisalhamento duplo. Também note que a haste 87 não é reforçada em torno do furos dos pinos. Pede-se; (a) Escrever um prograrea de computador que, uma vez dados os valores das dimensõesa, é, 1, £, do diâmebro d dos pinos B e D, eo diâmetro do do pino O, e para um dado coeficiente de segurança, permita caleuler a máxima carga P admissível, assira como também indicar qual tensão, entre a tensão de tração ne haste BD, a tensão de cisalhamento nos pinos B e) e a tensão de cisalhamento no pino Cé a mais crítica; (b) Usar esse programa para a solução dos Probs. 1.50, 1.51 e 1.53. Cop. 1 Introdução - Concoito de tensão as Vista frontal Vista auxiliar da barra ABC Fig. PICA 8 Vista aupéliar da haste BO  Capítulo 2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO — CARREGAMENTO AXIAL 2.1 INTRODUÇÃO No Capítulo | analisamos as tensões que surgem pela aplicação de carregamentes em vários membros é conexões, de uma máquina ou estrutura. Aprendemos a prejetar membros e conexões de maneira para que eles não viessem a falhar sob especificadas condições de carregamento. Outro importante aspecto da análise e projeto de estru- turas sa relaciona com as deformações causadas pela aplicação das cargas & uma estrutura. É importante evitar que as deformações se tornem tão grandes à ponto de impedir que a estrutura venha a cumprir os fins aos quais estava destinada. Através da análise das deformações pode-se também determinar as tensões. Na verdade, nem sempre é possível determinar as forças sas barras de uma estrutura pela simples aplicação dos princípios da Estática, isto porque ela se baseia na hipótese de sistemas rígidos é indefarmáveis. Considerando, na prática, as estmt- turas como deformáveis, e analisando suas deformações, é possível calcular forças que são estativamente indeterminadas, isto é, indeterminadas dentro dos recursos da análise da Estática. Também, como está indicado na Sec. 1.8, e distribuição do tensões em um dado membro é estaticamente indeterminada, mesmo quando a força que atue. no membro é conhecida; neste caso, para determinar a distribuição real das tensões dentro de um membro, torna-se necessário analisar as deformações que nela ocorrem. Neste capitulo, vamos discutir as deformações de um membro estrutural, seja ele uma barra, viga ou placa submetida a um carregamento axial. Inicialmente, vamos definir deformação específica normal num membro, como a deformação de um membro por unidade de comprimento. Plotando a tensão versus à deformação específica normal, enquanto: cresce a carga aplicada a um membro, Sbteremos um diograma tensão-deformação para o material em estudo, Desta diagra. ma, seremos capazes de determinar algumas importentes propriedades do material, tais como o módulo de elasticidade, se o material é ditil ou frágil (Secs. 2.2 a 92.5), E PUCPR - Bibhatera Lentral Cap.2 Tensão e deformação - carregamento axial es Da diagrama tansão-deformação, também seremos capazes de determinar se” as deformações na amostra do material irão desaparecer depois de o carregamento ter sido removido (neste caso, o material é dito ter comportamento elástico), ou se resultará numa deformação plástica au permanente (Sec. 2.6). Na Sec. 2.7, Iremos discutir o fenômeno da fadiga, o qual faz com que os componentes estruturais ou da máquina venham a falhar depois de um grande número de carregamentos repetidos, mesmo qué as tensões permaneçam numa faixa elástica. À primeira parte do copítulo finaliza com a Sec. 2.8, que é voltada para a determinação da deformação de vários tipos de membros sob várias condições de carregamento axial. Nas Secs. 2.9 e 2.10, iremos considerar problemas estaticamente indetermina- des, isto é, problemas cujas reações de apoio e as forças internas não podem ser determinadas apenas pela Estático. As equações de equilíbrio provenientes do diagra- ma de corpo livre do membro considerado serão complementadas por relações envolvendo deformações c obtidas da geometria do problema. Nas Sees. 2.11 a 2.15, constantes características adicionais do material serão infroduzidas. Elas incluem o cosficiente de Poisson, que relaciona a deformação específica axial e a transversal, o mórtuio de elasticidade de volume, que caracteriza a variação do volume da um material sob pressão hidrostática e o médulo de elastici- dade transversal, que relaciona as componentes de tensão de cisalhamento com a deformação específica de cisalhamento. No texto adiante, as tensões são consideradas uniformemente distribuídas em qualquer seção transversal dada, e que tambéra não ultrapassem a faixa elástica. Na Sec, 2.17 iremos considerer as barras chatas, e nas Secs. 2.18 e 2.19 discutiromos ss tensões e deformações em membros feitos de material dútil, cujo ponto de escoamento do material é excedido. Também veremos que deformações plásticas e tensões resi- duais resultam de tais condições de carregamento. 2.2 DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL SOB CARREGAMENTO AXIAL Vamos considerar uma barra BC, de comprimento L e seção transversal de área A, que é suspensa do ponto À (Fig. 2.1a). Se aplicarmos uma carga P ne extremidade C, a barra se alonga (Fig. 2.1b). Marcando-sa os valores da intensidade da força P e os correspondentes valores de deformação à (letra grega delta), nós certamente abtere- mos um diagrama carga-deformação (Fig. 2.2). Todavis, este diagrama contém infor- mações úteis para 0 estudo da barra considerada, mas não pode ser usado diretamente para prever deformações de outras barras de mesmo material e que tenham outras. dimensões. pLOCGEOGES Cor “a ó Ea EE SU SGUGEÊS o 5 Oy & :T E E 5099999299909998 T J TO Resistência dos Materiais Cop. 2 Fig.2:7 Máguina de testes Universal. (Cortesia de Detroit Tosting Machine Co.) Fig.28 O diagrama tensão-deformação varia muito de material i um mesmo material, podem ocorrer resultados diferentes em vários anoial depem dando da temperatura do corpo de prova cu da velocidade de crescimento da carga Entro os diagramas tensão deformação de vários grupos de materisis é possivel, no entanto, distinguir slgumas características comuns; elas nos levam à dividi ve materiais em duas importantes categoriga, que são os materiais cliteis é as matonieis frágeis. - Í Os materiais dúteis, que coinpreendem o aço estruturel e outros metais se Saracterizam por apresentarem escoamento a temperaturas normais. O corpo de provo é submetido a carregamento crescente, é seu comprimento aumenta, de inicio. feno” mente, sempro proporcional no carregamento. Desce modo, a parte inicial do dingrama tensão-deformação é uma linha reta com grande coeficiente angular (Fig, 2.9) Erro tanto, quando é atingido um valor crítico de tensão 0,, 0 corpo de prova sofra usa Cap.2 Tensão e deformação - earregamenta axial 71 longa deformação, com pouco aumento da carga aplicada. Essa deformação é causada por deslizamento relativo de camadas do material de superfícies oblíquas, o que mostra que esse fato se dá principalmente por tensões de cisalhamento. Na Fig. 2.9 os diagramas tensão-deformação de dois materiais dúteis nos mostram que o alonga- mento da material após o início do escoamento pode ser até 200 vozes maior do que o alongamento ocorrido antes do escoamento se iniciar. Quando o carregamento atinge um certo valor máximo, o diâmetro do corpo começa a diminuir, devido à perda de resistência local (Fig. 2.10). Esse fenômeno é conhecido como estricção. Após ter começado a estrieção, um carregamento mais baixo é suficiente para manter o corpo de prova se deformando, até que sua ruplura se dê (Fig. 2.10b). Podemos ver que a ruptura se dá segundo uma superfície em forma de cone, que forma um ângulo aproximado de 46º com a superfície inicial do corpa de prova. Isso mostra que a ruptura das materiais dúcteia ocorre sob tensão de cisalha- mento, e confirma o fato de que, com carga axial, às maiores tensões de cisalhamento ocorrem em planos que formam 45º cam a direção da carga (conforme Sec. 1.6), A tensão q, correspondente ao início do escoamento é chamada tensão de esconmento do material; a tensão o, correspondente à máxima carga aplicada ao material é conhecida como tensão última, e a Lensão cp correspondente ao ponto de ruptura é chamada tensão de ruptura. 0,02 frog 02 025 00012 (8) Ago com baixo teor ds carbono () Liga de alumínio Fig 2.9 Diagrama tensão-dafarmação de dois materiais dúteis. | ” Resistência dos Materinis Cap. 2 tm “ Fig.2.10 Materiais frágeis, como ferro fundido, vidro e podra, são caracterizados por ama rapêura que ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação do material (Fig, 2,11), Então, para os materiais frágeis não existo diferença entre tensão última e tensão de ruptura. Além disso, & deformação até é ruptura é muito menor nos materiais frágeis do que nos materiais dúteis. A Fig, 2.12 mostra que não acontece a estrieção em materiais frágeis, e que a ruptura ce dá em uma superfície perpendi. colar ao carregamento, Pode-se concluir daí que a ruptura dos materisis frágeis so dave principalmente a tensões normais!. 1 Os tentos de tração referidos nestu Seção são efeiuados com os materiais à temperatura ambiente. Entretanto, um material que é dátil à temperatura ambiente pode apresentar caracteríaticas de material frágil a temperaturas muita buixas, enquanto um material frágil pode apresentar-se como material dútil a altas temperaturas. Para temperaturas diferentes do ambiente, devemos, ontão, nos Teferiz a um material em esteulo cf] ou um material em estadio frágil, no invês de dizermos umateristo dúbeis ou frágein. j Cop. 2 Tensão e defurmação - carregamento axial 7 Fig.24 Fig.2.12 Os diagramas tensão-deformação da Fig. 2.9 mostram que 6 aço estrutural é o alumínio, ambos materiais dúteis, apresentam diferenças de comportamento no esconmento. Para o aço estrutural (Fig. 2.90), as tensões permanecem constantes para uma grande variação das deformações, após o início do escoamento. Depois o valor da tensão deve crescer para que o material continue a alongar, até atingir o valor ow Tsta se dá devido a uma propriedade do material conhecida. como recuperação. A tensão de escormento do ago estrutural é obtida por ebsezvação, durante o teste a tração, des valores da carga. Após um período de crescimento constante, observa-se que a carga cai subitamente para um valar ligeiramente menor, qua so torna invariável durante a ocorrência do escoamento, Quando o teste é realizado cuidadosamente, é possível distinguir entre o valor superior de escoamento, correspondente à força que atua imediatamente antes do escoamento, + o valor inferior de escoomento, correspondente à força necessária para manter o esconmento. Como o valor superior 6 momentâneo, adata-se o valor inferior para a determinação da tensão de escoamento da material. inio (Fig. 2.9b) e de muitos outros materiais dúcteis, o início do escondo ni Ando pelo trecho horizontal do diagrama (trecho este conhecido como putemar de escoamento); ao invés disso, as tensões continuam aumen- tando — embora não mais de maneira linear — até que a tensão última é alcançada. Começa então a estricção que pode levar à ruptura. Para esses materiais se define o valor convencional para a tensão 0,. A tensão convencional de escoamento é obtida tomando-se no eixo das ebscissas a deformação específica E =0,2% (ou é = 0,007), é por esse ponto traçaride-se uma reta paralela ao trecho linear inicial do diagrama (e. 2.13). A tensão 9, corresponde ao ponto de interseção dessa reta com o diagrama; definida. como tensão convencional a 0,2%. am E €& é Cl €: Cr à EE POCO E [E Es Eta E: 3 4 (3 € CErua + DOES ECGE 30999€ e o ê o e O E) o n Resistência dos Materinis Cop. 2 Rupiura = b-0,2% convencional Fig. 2.13 Determinação da tensão de escoamento convencional, Uma medida usual da dutibilidade de um material é percentual que é definido como ORAL É o ae alongemento Led Alongamento percentual = 100 Ly onde Lg & Lp são, zespertivamente, o comprimento inicial do corpo de prova é sem comprimento final no instante da rupiura. Outra medi no o ) área, definido coeso da dutibilidade que é usada às vezes é a redução percentual da Redução percentual da área = ioodo Te o onde Ap 6 Ap são, respectivamente, à área da seção transversal do corpo do prova e à frea mínima da ruptura. Para o aço estrutural, uma redução na área de 60 a 70% é um. Até agora nos referimos apenas a testes de tração. Se a co i de rsaterial dá] recebesse uma vga de compressão, a Hegrama ineo donos obtido seria o mesmo do caso anterior, desde o trecho reto inicial, passando pelo tresho de eseoamento e pelo de reruperação do material. Digno de nota é o fato de que, para 9 aço, a tensão de escoamento é à mesma para a tração e a compressão. Para valores altos de deformação específica, o comportamento nos dois casos passa a ser diferente devendo-sa lembrar que a estricção não pode ocorrer na compressão. o Para a maior parte dos materiais frágeis, veri ão últi a aior pa geis, verifica-se que a tensão última de compressão é muito maior que a tensão última na tração. Isso se deve a imperfeições do material, como fendas c cavidades, que debilit ial, diminui Cesta à qu É , que debilitam o material, diminuindo sua Cop. Tensão e deformação - corregamento axinl 7% 24 TENSÕES E DEFORMAÇÕES ESPECÍFICAS VERDADEIRAS Sabemos que as tensões marcadas nos diagramas das Figs. 2.9 e 2.11 foram obtidas pela divisão da carga P pela área de seção transversal Ay, medida antes que qualquer deformação atuasse no corpo de prova. Como a área da seção transversal diminui com o aumento da carga P, as tensões marcadas nos diagramas não correspondem aos valores reais de tensão no material. A diferença entre a tensão de uso prático cu P/Ay que caleulamos e a tensão verdadeira 9, = P/A, que se obtém com a divisão da carga P pela área da seção transversal deformada, torna-se visível nos materiais dúteis em escoamento. A tensão de uso prático o é diretamente proporcional a P, e seu. valor diminui com P durante a estricção. À tensão verdadeira que é proporcional a P é também inversamente proporcional & 4, e seu valor aumenta até a ruptura do corpo de prova. Muitos cientistas usam uma definição diferente de deformação específica, na lugar do valor de uso prético = = 8/Lo. Em vez de usar o alongamento total à e 0 comprimenta inicial Lo, usam todos os valores sucessivos de L que foram anotados. Dividindo cada incremento e = L/L. Definem então a deformação específica verda- deira como o somatório dos valores Ar: i = Ed e F(AL/E) Substituindo o somatório por uma integração, eles podem ainda definir a deformação espeifica verdadeira como o somatório dos valores Ae: e - f nt +h.E E (2.3) O dingrama obtido quando se marcam no gráfico os valores da tensão verda- deira e da deformação específica verdadeiro (Fig. 2.14) reflete de maneira mais acurada o comportamento do material. Como já vimos, não ocorre queda no valor da tensão verdadeira durante a estricção. Além disso, quando se usam tensões e defor- moções específicas verdadeiras, os resultados obtidos em ensuics de tração e compressão levam ao mesmo diagrama tensão-deformação. Esse fato não ocorre no easo de altos valores da defarmação específica, quando sc usam tensões e deformações de uso prático. O engenheiro; no entanto, que tem a responsabilidade de determinar se uma dada carga leva a tensões e deformações aceitáveis, deve usar dados fáceis de avaliar, que são à área Age 0 comprimento Lo, do corpo de prova indeformado. Usará então o diagrama tensãa-deformação obtido pelos valores o = P/A, e € » 8/Lo.  so Resistência dos Materinis Cop. 2 qualquer eviso, depois de slgumas repetições (ruptura brusca). Isso indica que as deformações plásticas encessivas a que a material foi submetido levaram a mudanças radicais na sua estrutura interna. Por isso, carregamentos alternados em regime de deformações plásticas raramente são permitidos na prática, e somente em condições rigorosas de controle. Em algumas situações isto pode ser fácil de ser observado, como ao desentortar e endireitar peças danificadas ou no alinhamento de peças estruturais. 2.7 CARGAS REPETIDAS; FADIGA Nas seções precedentes, examinamos o comportamento de um corpo de prova sujeito à carga axial. Vimos que, se a tensão aplicada não ultrapassa o limite de elasticidade do material, este volta às condições iniciais quando é retirado o carregamento. Poderíamos então coneluir agora que uma certa carga podeser repetida muitas vezes, desde que as tensões permaneçam dentro de valores do regime elástico. Essa tonchisão & correta para um número de repetições da ordem de dezena ou centena, Para um número de repetições do carregamento da ordam de milhares vu milhões de vezes, ela doixa de ser válida. Nesses casos, a ruptura se dá a uma tensão bem abaixo da tensão de ruptura obtida com carregamento estático; a este fenmeno se dá o nome de fadiga. Aruptura por fadiga é sempre uma ruptura frágil, mesmo para materiais dúteis. 4 fadiga devo ser considerada no projeto de estruturas é componentes de máquinas que possam cstar sujeitas a carregamentos repetidos ou alternados. O nêmero de ciclos de carregamento que pode ocorrer durante a vida útil de uma peça muito variável. Por exemplo, uma ponte rolante de uma indústria pode ser carregada até dois milhões de vezes em 25 anos (cerca de 300 carregamentos per dis), um virabrequim da automóvel será solicitado corea de um bilhão do vezes se o automóvel rodar 800.000 km e uma hélice de turbina pode ser carregada centenas de bilhões de vezes durante a sua vida útil. Alguns carregamentos são de natureza variável. Assim, a passagem de tráfego sobre uma ponte provoca alterações nos valores das tensões que existem somente por causa do peso da ponte. A condição mais severe ocorre quando se dá uma alternância completa de carga durante um ciclo de carregamento, As tensões no eixo de um vagão de estrada de ferro se alternam completamente a cada meia volts da roda, O número de ciclos de carregamentos repetidos ou alternados pode ser deter- minado experimentalmente para qualquer nível de tensão máxima. Quando uma série de testes é feita para vários níveis de tensão máxima, podemos desenhar uma curva = n. Para cada teste, abtemos a ordenada o e a abscissa n, que são a tensão másima e um determinado número da ciclos. Como n é um número muito grande, as abscissas são marcadas em escela logarímica. A Fig. 2.19 mostra uma curva típica o-n para o aço. O mimero de ciclas necessário para causar a ruptura é relativamente baixo para valores altos da tensão aplicada. À medida que e intensidade das tensões vai baixando, o númera de ciclos de Cop.2 Tensão e deformação - carregamento axio) a carregamento necessário para causar à ruptura aumenta, até que se atinge wa valor das tensões conhecido como o limite de duração, para o qual à ruptura não soors, mesmo para um número muito grande da ciclos. Para o aço de baixo teor de carbono, o limite de redução é aproximadamente metade da tensão de ruptura do aço. aso . 3 280 : É Aço (1020H8) - E moh â Sm ” Alumínio (2024) ” 10! 10! 10º 10º 40" 10º 10 Número da cicios com alternância completa Fig. 2.19 tais nã ini -n (Big Para os metais não-ferrasos, como o cobra e 9 alumínio, a erva o 2.18) mostra que à tensão de ruptura continua decrescendo de valor com o aumento do número de ciclos. Para tais metais o limite de duração é fixado arbitrariamente coma a tensão de ruptura após 500 milhões de ciclos de carregamento. itos em corpos de provas, eixos e molas, que romperam por efeito de fadiga a a miptura se iniciou em uma fissura microscópica ou uma falha similar do material, A cada novo carregamento a falha aumentava um pouco sua dimgngão. Devido aos sucessivas ciclos de carregamento, à fissura tomGu uma grande porção dn material, e a parte que não foi danificada tornou-se insuficiente pera resistir à tensão, rompendo bruscamente. O estado da superfície do material de testa su do corpo de prova tem influência no valor da tensão no limite de duração, pois qual quer falha ou fissura pode dar início ao processa de fadiga. O limite de duração é nato no corpos de prova com superfície preparada e polida do que naquelas peças simpl Esmon. te usinadas, ou que sofreram alguma oxidação. Para aplicações de materiais janto ao mar, ou em ambientes agressivos ou corrosivos, pode acorrer uma redução de 50% ni limite de duração. 28 DEFORMAÇÕES DE BARRAS SUJEITAS A CARGAS AXIAIS ê i ã | uniforme s uma barra homogênea BC de comprimento L e seção transversal dogreaá sujeita à força asial centrado P (Fig. 2.20) Se a tensão atuante o = P/A não exceder o limite de proporcionalidade do material, podemos aplicar a Lei de Haoke é escrever: CM CElt é 2 ECECOCUCLUCÊEGCE E) 2 E y e o õ q 2 ê  je, = 8 Resistência dos Materiais Cap.2 5 8 e 7 Á c p Fig. 2.20 q = Es 2.4 segue-se então que s.P “7º; 2 "ECA (25) Na See. 2.2 foi definida a defurmação específica normal - 8/£, portanto d=:L (26) e, substituindo (2.5) em (2.6) temos: PL 7] (2.7) A Equação 2.7 só pode ser usada se a barra for homogênea (módulo de elasticidade É constante), tiver seção transversal uniforme de área constante À e à sarga for aplicada nas extremidades da barra. Se as forças forem aplicadas em outros pontos, ou se a barra consiste de várias partes com diferentes seções transversais ou Sompostas de diferentes materigis, devemos dividila em segmentos que, indi, viduslmente satisfaçam as condições de aplicação da Fórmula 2.7. Chamando de Pr Ly 4; é E, respectivamente, à força, 46 comprimento, à área e o módulo de elastici. dade correspondentes ao elemento i, vamos expressar & deformação total da basra como: ” . Pig (2.8) Cap. 2 Tensão e deformação - carregamento axial 83 Vimes na See. 2.2 que, no caso de barras com seção transversal veriável (Fig. 2.5), a deformação específica « depende, da posição do ponto (), onde ela é definida e calculada como e = J5/dx, Retirando dessa expressão o valor dê e levando à Fórmula 2.5, podemos exprimir a deformação do elemento de comprimento «lx como: - Pd dede A deformação total da berra, ô, é obtida por integração estendida ao compri- mento L. do del e (2.9) A Fórmula 2.9 deve ser usada no lugar da Fórmula 2.7 quando a área da ceção transversal varia como função de x e também quando a forma interna P depende de x, como é o caso da barra sujeita ao próprio peso. EXEMPLO 2.1 Determine a deformação da barra de aço da figura sob a ação das cargas indicadas (E = 200 GPs). A=topmeia, A=200 mn? Fig. ex.2.21 Í | | ! | | | | es Resistência dos Moteriois Cop 2 Dividimos a barra nos três segmentos indicados na Fig. 2.21b e escrevemos: Ly = Lo = 0,800 m L; = 0,400m Ay = 4 = 600x 10-Sm? A, = 200 x 10-Smê Para determinar as forças internas Pj, Pp e Ps, precisamos passar seções transversais pelos três partes da peça, é desenher o diagrama de corpo livre da porte fla barra que fica à direita de cada seção (Pig. 2.216). Estudando a equilíbrio de cada uma das partes, obtemos: Py = 400kN - 400 x 109N Pa = —100kN = -100 » 108N Py = 200kN « 200 x 108N Levamos os valores obtidas à Equação 2.8 a calculamos: Pl; 1/Ph "Sancal Àr E 400 x 103)/(0,300) “môixip 600 x 10-8 4 — 100. x 10%(0,300) + (200 x 103%0,400) 600 x 10-8 200 x 10-68 * à 2,75 x 10-m = 2,75mm Aharra BC da Fig. 2.20, que foi usada para deduzir a Fórmula 2.7, é a barra AD da Fig. 2.21, que foi estudada no Exemplo 2.1, possuíam ambas uma extremidade fixada em suportes indeslocáveis. No s dois casos, então, a deformação 5 da barra foi igual ao deslocamento de sua extremidade, Quando as duas pontas de uma barra são livres, a deformação da barra é medida pelo deslocamento relativo de suas cxtremida. des, Tomando como exemplo a estrutura da Fig. 2.22, que consiste da três barras elásticas de comprimento L ligadas em À por um pino rígido. Quando a força P é aplicada em £, as três barras se deformam (Fig. 2.220), A deformação das harras AC & AC! é medida pelo deslocamento do ponto À, 84, pois essas harras são fixas nos anpories G e C”. Por outra lado, a barra AB tem extremidades livres e sua deformação é medida pela diferença de deslocamentos à, e &y dos pontos À é B, isto é, pelo deslocamento relativo de B em relação a À. Chamando esse deslocamento relativo de ôp/4, escrevemos . isa = dy dy = dE 230) Cop. 2 Tensão e deformação - carregamento axial as sendo A c E, respectivamente, a área da seção transversal e o módulo de clasticidade- da barra AB. Fig.2.22 PROBLEMA RESOLVIDO 2.1 j . À haste AB é de elumíio rígida BDE é suspensa por duas hastes AB e CD. À (Entao) com área de seção transversal de 500 mn?; a haste CD é de ago (E = 200 GPa) com área da seção transversal de GOD mm. Para a força de 30 kN determine: a) desloca- mento de 3; b) deslocamento de D; c) deslocamento de E. UE GO Ut PS GEC S “ = E) t GÓES COD O é . BECCOSCEL 109999 € Ê O É ê ICI Co LI SEIT CDS E b so Resistência dos Materiais Cop. 2 28 Um fio de nylon está sujeito a uma tração de 10N, Sabendo-se É = 3,45 GPs, que a máxima tensão normal admissível é de 40 MPs, e que o menta do fio não poderá aumentar mais do que 1%, do fio. . que e Pa compri- determinar o diâmetro necessário 2.9 Duas barras cilíndricas maciças são ligadas em B e carrt egedas como mostrado. Abarra AB é de aço (E = 200 GPa) e a barra BC é da latão (E=105GPa). Detonando, (9) a deformação total da barra composta ABC; (5) a deflexão do ponto B. Fig. P2.9 2.10 Dussbarrascilíndricas maciças são Ii igadas em B e carregadas como mastrado. Abarra AB é de aço (E = 200 GPa) e a barra BC é da latão (E = 105 GPa). Determinar (a) a deformação total da barra composta ABC; (b) a deflexão do ponto À. Fig. P2.10 Cap. 2 Tensão e defurmação - carregamento axial 91 211 Persa barra composta do Prob. 2,10, determinar: (a) a carga P, para que à deformação total da bapra seja -0,8 mm; (b) a correspondente deflexão do ponto B. 2.12 Para a barra composta do Prob. 2.9, determinar: (a) a carga, para a qual a deformação total da barra resulta nula; (b) a correspandente deflexão do ponto B. 2.13 Duas barras cilíndricas maciças AC e CD, ambas de mesma liga de alumínio (E » 70 GPa), são soldadas juntas em C e submetidas ao carregamento indicado. Determinar: (0) a deformação total da barra tomposta ACD); (b) a deflexão da ponto C. 60 mm de diâmetro as mm do diâmero TI0KN SEN 40kN A Bj Cjesm 2] 300 mm 200mm 380 mm Fig. pais 2.14 Uma amostra para ensaio de 5 mm de espessura deve ser cortada de uma placa de vinil (E = 2,10 GPs) e submetida a uma carga de tração de 1,5kN. Determinar; (0) a deformação total da amostra; (b) a deformação da mesma, na porção central. Dimonsõos em mm A ste a PA sn ERA [P=15kN bt fes] 25 f H-40-+fe 50—+[e- 40-+] Fig. Pata 2.15 Uma barra maciça de latão de 150 mm de comprimento e 10 mm de diâmetro sa ajusta perfaitamente, dentro de um tubo de mesmo comprimento, com 15 mm de diâmetro externo e 10 mm de diâmetro interno. Uma porção de 50 mm da barra está colada ao tubo e sobre esta é aplicada uma carga de 27 kN, como mostrado. Sabendo-se que E = 105 mm, determinar: (a) a deflexão do ponto A; (b) o máximo valor da tensão normal nessa conjunto. DE Resistência dos Materiais Cop.2 Fig. P215 2.16 Um tubo de alumínio de 250 mm de comprimento (E = 70 (Pa), e com diâmetro externo de 36 mm € interna de 28 mm, pode ser fachado cm ambas as extremidades por meio de tampas com roscas simples, de 1,5 mm de-passo. Após uma das tampas ser totalmente apertada, coloca-se uma barra maciça de latão (E = 105 GPa) do 25mm de diâmetro dentro deste tuba e em seguida a aubra tampa é totalmente rosqueada. Como a barra é sensivelmente maior do que o tubo, observa-se que a tampa somprime a barra durante uma rotação de um quarto de volta, antes de comple- taimênte fechada. Determinar: (2) a tensão normal no tubo e ne bazra; (5) a deformação no tubo e na barra. semm ” “bamm ) ! E aom—] Fig. P2.16 247 Resolver o Prob, 2.16, considerando que o tubo é de latão (E « 105 GPa) e a barra de alumínio (E e 70 GPs). 2.18 Um tubo cilinárico de poliestireno de parede fina (E = 3,1 GPa), com 3,2mm de espessura, e uma placa rígida circular (6 mostrada apenas parte dels), são usadas para suportar uma barra de aço AB (E - 200 GPa), com 280 mm de comprimento é gmm de diâmetro. Se ums carga P de 8500N é aplicada em B, determinar: (a) o alongamento da barra AB; (b) a deflexão do ponto B; (c) a tensão normal na barra AB. Cap? Tenstoe deformação - carregamento axial 5 E Fig. Pata i P admissível, 2419 Para a barra composta do Prob. 2.9, determinar a major carga se a deformação total da barra não deve exceder a 1 mm e a tensão normal ser no máximo iguala 180 MPa. i E P admissível, 220 Para a barra composta do Prob. 2.10, determinar a maior carga X O se em valores absolutos a deformação total da barra e sua máxima tensão normal não podem exceder a 0,2 mm e 75 MPa, respectivamente. i i P admissível, se a 21 Pera a amostra do Prob. 2.14, determinar a maior carga , eitemação na porção AB e a deformação total da amostra não devem exceder a 0,2mme 1 mm, respectivamente. i E P admissível, 222 Paraabarra eo suporte do Prob. 2.18, determinar a maior carga , se a deflexão nos pontos 4 e B não devem exceder 8 0,108 mm e 0,305 mm, respectiva- mente. i to mostrado, determinar as 2.28 Para a treliça de aço (E - 200 GPs) e carregamento mostrado, nor à deformações nos membros BD e DE, sabendo-se que suas seções transversais têm 1300 mm? e 1950 mun?, tu 2 PRESSE CCSOL  sa Resistência dos Materiais Cap. 3 Fig. P2,23 224 Os membros AB e BE de treliça mostrada são de barras de aço (E = 300 GPa) com 25 mm de diâmetro, Para o carregamento mostrado, determinar o alongamento da (e) barra 48; (b) barra BE. Fig. Pa.24 2.26 Cada uma das quatro hastes de ligação verticais, horizontais, são de alumínio (E = 70 GPa) e tein uma se 10x 40 mm. Para o carre; ponto Fi (c) ponto G. conectadas às duas vigas ção transversal retangular de 'gamento mestrado, determinar a deflexão no: (9) ponto E; (5) 4 Cop.2 Tensão e deformação - carregamento axial 95 Fig. P2.25 2.26 Cada uma das hastes de ligação AB e CD; sãa de aço (E = 200 GPa) e tem seção transversal uniforme de 6,4x25,4mm. Determinar a maior carga que pode ser aplicada ao ponto E, sendo que & deflexão nesse ponto não pode exceder a 0,25 mm. E TETESEETO | É e Lo J. q Fig. P2.26 227 Um cabo homogêneo de comprimento L e seção transversal uniforme é preso por uma de suas extremidades. (a) Expressando por p a densidade (massa por volume) do cabo e por E o módulo de elasticidade, determinar o alongamento do cabo, devido ao seu próprio peso; (b) Mostra que o mesmo alongamento poderá ser obtido se o cabo fosse horizontal 6 se uma força igual à metade do seu peso fosse aplicada na extremi- dede do esho. 228 — Determinar a deflexão do cume A de um paraboláide de revolução homogô- neo, de altura k, densidade p e módulo de elasticidade E, devido ao seu próprio peso.  100 Resistência dos Materiais Cop.3 Resolvendo simultaneamente (2.14) e (2.16) obtemos para as reaçãos: Ra = Pol e Ry = PL. Podemos agora calcular as tensões nas partes AC e BC dividindo P, = Ry e Pp = Ry, respectivamente, pela área da seção transversal da barra. Método da superposição. Uma estrutura é estaticamente indeterminada Ende vez que estiver ligada a mais suportes do que o necessário para manter o seu equilíbrio. O número de reações a calcular é maior que o número de possíveis equações de equilíbrio. É comum chamar um dos suportes da estrutura de superabundante e eliminá-lo para proceder à resolução do problema. Não é possível modificar as condi- góes iniciais do problema de modo arbitrário, então a reação proporcionada pela ligação superabundante deve ser mantida na resolução. Essa reação superebundante será tratada como uma força desconhecida, que, juntamente com as demais forças aplicadas, deve levar à estrutura velores de defurmações compatíveis com as ligações originais. A solução do problema é conduzida considerando-se separadamente as defor- mações causadas pelas cargas aplicadas e aquelas provenientes da ação da reação superabundante. Essas deformações, an final da resolução, são somadas - ou super. postas — para a obtenção do resultado final. EXEMPLO 2.4 Abarra de aço da figura 2.26 6 presa a dois apoios fixos A e B. Determinar as reações desses apoios quando se aplica o carregamento indicado. “a A=250 mm? 150 mm 200 kN] 450mm et + A=400mmê..| 150mm SID kN 150 mm Fig. ex2,.26 Na Sec. 2.12 discute-se a utilização deste método pars o caso de efeito combinado de vários earre. gamentos. Cop. 2 Tensão e deformação - carregamento axial 401 Vamos considerar « reação em B como superabundante e ratirar o apoio B - deixando a barra livre nessa extremidade. A reação Rg será considerada como ums. força desconhecida (Fig. 2.274), cujo valor será determinado pelas considerações de deformação & da barra igual a zero. A resolução do problema é lavada a efeito, estudando-se separadamente a deformação dp devida à reação Rg (Fig. 2.270). s-0p Carla Ia ln, ar el te Flg.ex.2.27 A barra é dividida em quatro parieo (Fig. 2.28), e a Equação 2.8 fornece a deformação dp. Seguindo o mesmo procedimento do Ex. 2.1, pode-se escrever Pre O Pa P;=600x108N P;=900x 108N Ay Ay = 400 x 10-6m? A, = A, = 250 x 10-8m2 Le Ly = Ly = Ly = 0,150m Fig. ex.2.28 Cito GEES GEE E “> ts E ES as PO CSCE  102 Resistência dos Materiois Cop.2 Substituindo esses valores na Equação 2.8, tem-se 4 dp = É Pl 0 4 800 x 10N 4 AB 400 x 10? mê + 800 x 10ºN 900 x 102N 10,150m 250 x 10m? 250 x 108m? E 1,125 x 10º po (2.17) Para a determinação de 3, devido a Rs, divide-se a barra em duas partes (Fig. 2.29) e escreve-se: , P=P,--Rp Ay = 400 x 10-8m? Ay 250 4 10-Smê Ly = Ly = 0,300m Fig. ex.2.29 Substituindo esses valores na Equação 2.8 obtém-se: dx o PEL, Palo (108 x 109Rg AE o AE" z (2.18) Como a deformação total da barra deve ser zero, d=dp+8p=0 (2.19) Cap.2 Tensão é deformação - corregamento axial 103 Levando os valores ôp e 8p obtidos em (2.17) e (2.18) na Equação 2.19 escreve-se: à - Li26x 10º “(195 x 10)Ry = bad — Dessa última expressão calcula-se o valor de R; Rg = 577 x LON - 57kN A reação R4 no apoio superior é obtida do diagrama de corpo livre da barra (Fig. 2.30), Tem-se então: sr, = 0: Ry- B00kN - 600:N + R$ = 0 Ra = 900kN - Rj = 900kN - 577EN = 323EN Pu A 300 kN Cc 4 a 600 kN B Rs Fig. ex.2.30 Uma vez determinadas es reações, os valores de tensões e deformações específicas são calculados facilmente. Convém lembrar que a deformação total da barra é zero, mas que as várias partes componentes da barra sofrem deformações sob o efeito dos carregamentos e das restrições dos apoios. EXEMPLO 2.5 Calcular as reações em A e E, na barra do Ex, 2.4, supondo que existe uma distância de 4,5mm entre a barra e o apoio B, quando o carregamento é aplicado. Adotar E = 200 GPa (Rig. 2.31).  104 Resistência dos Materiais Cap.2 Fig. ex.2.91 Vamos seguir à mesma segiência do Ex. 2.4, Considerando como superabun- dante a reação em 8, caleulamos as defarmações Sie à, devidas, respectivamente, às cargas aplicadas e à reação Ry. Neste caso, entretanto, a barra pade ser alongada, sua deformação total 8 não é nule, mas 6 = 4,5 mm. Escrevemos, ' de dr+ p= 45x 10m (2.20) Os valores 8p e ôp, que foram calculados em (2.17) e (2.18), são agora levados a (2.20). Lembrando que E = 200 GPa = 200 x 10º Pe, temos = 1,125 x 108 (LDO 10)Rp 200x 10 —omox ig — fãx 10% 5 Essa expressão nos leva ao valor de Rg, Ro = 115,4 x 108N - 115 4kN 4 reação no apoio A é obtida do diagrama de corpa livre da barra (Fig, 2.30): EF, = O: Ra - BOOKkN - 600kN + Ap = 0 Ry = 900kN - Rg = 900kN - 115,4kN = 7854N Cop.2 Tensão e deformação - carregamento axial 105 2.10 PROBLEMAS ENVOLVENDO VARIAÇÃO DE TEMPERATURA Nas estruturas estudadas até este ponto, consideramos que a temperatura permane- cia constante durante o tempo de carregamento. Vamos agora considerar situações em que acorrem variações de temperatura. a . f - Tomemos primeiramente a barra AB, homogênea e de seção transversal uniforme, apoiada em uma superficie lisa horizontal (Fig. 2.324). Be aumentarmos a temperatura da barra de um valor AT, notamos que ela se alonga de um valor 5, que é proporcional tanto à variação de temperatura quanto au comprimento da barra L (Fig. 2.225). Temos então: &r = (ATL (2.21) a é constante característica do material, chamada de coeficiente de dilatação térmica. Como L e ôp são expressos em unidades de comprimento, q representa uma quantidade por grau C ou por grau F, dependendo de como expressamos a tempe- ratura, so em graus Celsius ou em graus Fahrenheit. À deformação total 5 está relacionada uma deformação específica tp = dp/L. Reescrevendo a Equação 2.21, concluímos que: Ep car (2.22) epé chamada deformação térmica específica, uma vez que é causada por variação de temperatura na barra, No caso que estamos considerando, não existem tensões relacionadas com a deformação cp. Fig. 2.32 GESCS cs Cc Er No 1 3 € Ç BG cCCsS 939906 “a o a: pas õ 3 DO OD O 390990999 "o Resistência dos Materiois Cop. 2 Somando es parcelas de deformação específica em AC, vamos abter: exc = Er + Fl = -800p 4 12004 = + 5004 Um cálculo análogo leva à determinação da doformação especifica na parte cs 0; fon = tr + = - 8004 + 600 = —300u As deformações toteis 8sc é cg des partes da harra são, respectivamente, Bo = cAc(4C) = (+3004),08m) = +90 gm Bea = Eca(CB) = (- 3004)/0,8m) = 90 um Verificamos, então, que a soma 5 = b4c + bop das duas deformações é zero, embora nenhum dos dois valores seja nulo. PROBLEMA RESOLVIDO 2,3 A haste CE de 10 mm de diâmetro e a haste DF de 15 mm de diâmetro são ligadas à barra rígida ABCD como ná figura. Sabenda-se que as hastes são de alumínio e usando-se E = 70 GPa, determinar: a) a força provocada em cada haste pelo carre- gamento indicada; 5) o deslocamento do ponto 4. 450 mm 300 mm 200 mm sl cl'l» 244 ssomm * [E Cap.2 Tensão e deformação - carregamento axial mm ilibri i ivre a berra ABCD, ães de equilíbrio, Considerando como corpo livre a bar notamos ano Re Be nas hastes são estaticamente indeterminadas. No entanto, da estática podemos escrever: +1Zg = 0 (82ENX0,45m) - Fos(0,3m) - For(0,6m) = O U,8Fce + 0,6Fpp = 14,4 x 108 m içô icação de força de 38 kN, a barra Condições da Geometria. Após a aplicação rça de , & assume a posição A'BC'D', Da semelhança de triângulos BAA!, BCC” é BDD, temos: de dp (2) - = 0,65 dam dam dm 06 de bs 0,9%, 6 vim Gm da = Op , Deformações. Usando a Equação 2.8, temos: Fog — FprLpr CT AE DO App Substituindo em (2), escrevemos: FesLos Forloe do = 0,68pa AcrE - 6 Apr E us Resistência dos Materiais Cop 3 Lophce 0.%6m)| im(0,10ro) - Foge Tas Apr Fop= os( oem | 17(0,015mê For For= 0,883Fpp Força em cada haste. Substituindo em (1) temos: 0,3(0,838Fpr) + 0,5Ppp = 14,4 x 103 For = 24AN « Fog = 0,889Fpr = 0,38%24kN) Foz = SEN “ da ff fot 4 [a mm É 0,75m ell as | E mm | Deslocamentos, O deslocamento do ponto D é do = Torlor (4kNYO,7Em) do" CAmeê “ EnfO016mPo Gra o = 1455mm Usendo (3), escrevemos: 84 = 0,8 - 0,X1,456mm) 8 = L3l0mm 4 PROBLEMA RESOLVIDO 2.4 Abarra rígida CDE é presa to apoio E por uín pino, e se apóia no cilindro de latão BD fe 30 mm de diâmetro, Um parafuso de 22 mm de diâmetro passa por um furo na barra em C, é é fixo por uma porca simplesmente ajustada. A montagem, feite à temperatura de 20ºC, não leve nenhuma tensão à estrutura. A temperatura docilindro de latão é aumentada para 50'C, enquanto o parsfuso tem eua temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas condições as tensões no cilindro, Cop 2 Tensão e deformação - carregamento axial “a e p-oss mepos n fE=1 TI Barra AC: aço Cilindro BD: latão E - 200GPa E = 105GPa a =12x 108/C a = 188 x 108/70 045m 03m Condições de equilíbrio. Considerando todo o conjunto como corpo livre, temos: EM = O RA(O6m) - R(08m) 0 Ry m0/Ry e > € EC I0UGE EC > (é 3 E) 3 q (E) ê a 599 ê 909090999 29 X 290 3 3909 SIDODI O ua Resistência dos Moteriais Cop 2 Deformações. Utilizando o mátodo da superposição, vamos considerar R comorenção superabundante. Removeiido-so Ry e aumentando a temperature, o ponta B se deeloca para baixo de um valo: ôp. A reação Rg deve causar então uma deformação y de mesmo velor, para que o deslocamento de B seja sero (Fig. 9). Deslocamento ôr. Devido à elevação da temperetura de Ay = 50"- 20 = = 30'€, o comprimento do cilindro de cobre aumenta de Bp By = (ATO = (0,8mY30CKLE,8 x 10-60) = 169,2 x 10-6m Deslocamento d,. Da Fig. 2 temos que à) = 0,48ç e que b; - 6p + dg;p Pal Rg(0,9 my don = Inimigos gia * 1184 x 10884 t êp = OA0ç = 0,4(6,37 x 10984) = 4,735 x 10-98, 1 ooo = Bai — Bo(08m) , B/D "AE " Ix(0,08mp(os Ga) * 4042 x 10-9Rg | Sabemos de (1) que R, = 0,40R, e escrevemos: d =p + Ban = [A TBS(0ARg) + 4,04285]10-? = 5,986 x 10-9 Rg + ôr=dr 1682x10m= 595» 109R, Ro = 285kN Cap, 2 Tensão e deformação - carregamento axial E Tensões no cilindro Ro 285kN = = TA Gg » 40,8MPa « PROBLEMAS 2.33 Uma coluna de concreto de 1,2m de altura é reforçada por quatro barras de ago, cada uma com 20 mm de diâmetro. Sabendo-se que os módulos de elasticidade para à concreta e para o aça valem 25 MPa e 200 MPa, respectivamente, Determinar as tensões normais no aço e no concreto, quando uma força centrada de 670kN é aplicada na coluna. Fig. P2.38 2.34 Uma barra de 250 mm de comprimento, com seção transversal retangular de 15x 80 mom, consiste de duas lâminas de alumínio (E = 70 GPa), de 5 mm de espessura, eno centro de uma lâmina de latão (E = 105 GPa), com a mesma espessura. Se ela está sujeita a uma força centrada, P = 30 kN, determinar a tensão normal (a) nas lâminas de alumínio; (5) na lâmina de latão. 120 Resistência dos Meteriais Cap. 2 2.47 Resolver o Prob. 2.46; considerando ii . 2.46; consi que os arames amarrados aos pinos A é D são de ago (E = 200 GPa) e têm diâmetro de 2,5 mm, enquanto que os demais são de alumínio (E = 70 GPs) c têm diâmetro de 2mm. 248 As hastes de ligação BC e DE são ambas de de aço (E - 200 GP) e sã de 1,25mm de largura por 6,35imm de espessura. Determinar: (2) a força o cada haste, quando uma força P de 2670 N é aplicada à barra rígida AF, como indicado: (5) a correspondente deflexão no ponto 4. Fig. P248 2.49 Cade um dos parafusos de aço AD e CE (E «- 200 GP; já a = a) tem um dii 8 mme tom us extremidades cuperioresrosqueadas, com rasca simples e do penacie aa a2 mm. Sabendo-se que a porca cm, depais de scr perfeitamente ajustada, é apertada de duas voltas completas, determinar: (a) a traçã ; ponto À da barra Made SEO (a) a tração em cada barra; (b) a deflexão no 2Oomm . SOrim, Flg. P2.49 2.50 Resolver o Prob. 2.49, assumindo que depoi j : 2.49, que depois de ser levemente ajustad em €, e nãe à porca em 4, ela é apertada de duaa voltas completas, "cu A Porca Cop.2 Tensão e deformação - carregamento axial 11 2.51 A barra rígida ABCD é suspensa por três cabos idênticos, como indicado. Sabendo-se que a =5, determinar e tração em cada cabo, causada pela carga P aplicada em 6. 2.52 A barra rígida ABCD é suspensa por três cabos idênticos, como indicado. Sabendo-se que a = 2b, determinar a tração em cada cabo, causada pela carga P aplicada em O Fig. P2.61 e P2,52 2.63 Um trilho de aço (E = 200 GPa; o = 11,7x 10-8"C) de uma estrada de ferro foi estendido a uma temperatura de — 2'C. Determinar a tensão normal no trilho quando a temperature atingir 50'C, considerando que os trilhos: (a) são soldados formando um trilho contínuo; (b) são de comprimento igual a 12m, com uma fenda de 6,35 nim entre eles. 264 A montagem mostrada consiste em um tubo de alumínio (E = 70 GPa; q. = 23,6x 10-58") preenchido com núcleo de aço (E = 200 GPa; a = 11,7x 10-80) e, com ausência de tensão a uma temperatura de 20"C. Considerando somente deforma- ções axiais, determine a tensão no tubo de alumínio quando a temperatura atingir 180º€. = êoomm 2o0mm Alumínio: Fig. Pa.s4 . 8 E GY Cc é CGE Ge € No ESEC ET E eso 3 O Ge EG BROS CSCS 9099099998 4 es t 9999509098 Doo tu É > DD QUIDS 122 Resistência dos Materiais Cap.2 265 Resolver o Prob. 2.54, considerando que o núcleo é feito de latão (E = 105 GPa; a = 20,9x 10-80), ao invés de ago. 2.56 Uma coluna de concreto de L,2 1a é reforçada por quatro barras de aço, cada uma de 20 mm de diâmetro, como indicado. Sabendo-se que para 6 aço E « 200 GPa é 0=11,7x 10-4C e para o concreto E-25GPa e «=9,9%10-5C, determinar as tensões normais induzidas no aço e no concreto, devidas a um aumento de temperatura de sTC. Fig. P2.56 257 Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades. A porção AB é de latão (E « 105 GPu; q = 20,9x L0-6/C) e a porção BC é de aço (E = 200 GP; 2 = 11,7x 10-60), Sabendo-se que & barra está inicialmente sem tensão, determinar: (a) as tensões normais induzidas na porção AB e BC, por uma temperatura aumentada de 30*C; (b) a correspondente deflexão no ponto B. Fig. P257 2.58 Uma barra composta de duas porções cilíndricas AB e BC é engastada em ambas as extremidades, A porção AB é de aço (E = 200 GPa; a = 11,7x 10-80) e a Cap. 2 Tensão é deformação - carregamento axial 18 porção BC é de latão (E = 105 GPa; a = 20,9x 10-66). Satendo-se que a barra está inicialmente sem tensão, determinar: (o) as tensões normais induzidas nas porções AB e BC, por uma temperatura de 50ºC; (b) a correspondente deflexão no ponto B. esdmm | |,-—30mmaiâmero 8 a00mm 50 mm diâmetro Fig. P2.58 2.59 Resolver o Prob, 2.58, considerando que a porção AB da barra composta é de latão e a porção BC ds aço. . 260 Resolver o Prob. 2.57, considerando que a porção AB da barra composta é de aço e « porção BG de latão. . 261 Uma barra de alumínio (E = 70 GPs; a = 23,6 x 10-8ºC) é uma haste de aço (E = 200 GPa; qm 11,7 x 10-80) tem as dimensões mostradas, a uma temperatura de 20ºC. A haste de aço é aquecida eté que a barra de alumínio possa ser ajustada livremente nela. A temperatura de toda « montagem é então elevada para 150ºC. Determinar a tensão final: (a) na barra; (b) na haste. Dimensões em mm ais Oseçtoa-a Fig. P2.61 124 Resistêncio dos Materinis Cap. 2 263 A temperatura da barra composta do Prob. 2.43 é aumentada para 80'C. Sabendo-se que, para o aço E = 200 GPae a = 11,7x 10-5PC, pare o latão E = 105 CPae q =20,9x 10-8"C, e que nenhuma força é aplicada em B ou D), determinar: (9) as tensões normais nas porções AC e CE; (b) a deformação na porção AC. 2.63 Abarra AB é de latão (E = 105 GPa; o = 20,9 x 10-8"C)e a barra CD de alumínio (Ea 70 GPa; q =23,6x 10-60). Sahendo-se que a 16ºC a fenda existente entre as extremidades das barras é de 0,5 mm, determinar: (a) a tensãonyrmal em cada barra, depois que a temperatura for aumentada para 80"C; (b) a deformação da barra AB nesse instante. 9,5 mm [mm [5 omm +] 75 mm diâmetro 75 mm diâmetro Fig. P2.63 2.64 Para as barras do Prob. 2.68, determinar: (a) a temperatura à qual a tensão na barra AB deve ser de -138 MPa; (b) a correspondente deformação na barra AB. 2.85 Para as barras do Prob. 2.49, vamos considerar que depois de ser per. . feitamenta ajustada cada uma das porcas 4 e € é afrouzada de meia volta. A temperatura de ambas as berras é:então diminuída de .60ºC. Sabendo-se que E=200GPae a=11,7x 10-S"C, determinar a tensão final: (0) na barra AD; (b) na barra CE. 2.11 COEFICIENTE DE POISSON Vimos, na parte inicial deste Capítulo, que para uma barra delgada e homogênea, carregada sidalmente, as tensões e deformações satisfazem a lei de Hooke, enquanto não for excedido o limite de elasticidade do material. Adotando que a força P tem a diração do eixo x (Fig. 2.874), temos 9, = P/A, onde À é a área de seção transversal da barra. Da lei de Hooke temos E - ae (2.24) onde E é o módulo de elasticidade do material, Cup. 2 Tensão edeformação -corregamentoexial 185 Fig. 237 A Fig. 2.37 mostra que nas faces respectivamente perpendiculares aos eixos y e z temos 0,=0,-0, Esse fato pode levar-nos a imaginar que as deformações específicas e, e e, são tembém iguais a zero. Isto entretanto não ocorre. Em todos os materiais, o alongamento produzido por uma força P na direção dessa força é acompe- mhado por uma contração em qualquer direção transversal (Fig. 2.38)3. Assumimos que o material em estudo é homogêneo, isto é, consideramos que suas várias proprie- dades mecânicas são independentes do ponto considerado. Vamos agora assumir que o material é isotrópico, isto é, consideramos que suas várias propriedades mecânicas são também independentes da direção considerada, Com esta suposição adicional, R deformação específica deve ser a mesma para qualquer direção transversal: £, e €,. Essa valor é chamado deformação específica transversal. O valor absoluto da relação entre a deformação específica transversal e a deformação específica longita- dinal é chamado coeficiente de Poisson (Siméon Denis Poisson, matemático francês, 1781-1840). É normalmente expresso pela letra grega v (ni). Tegaos então: deformação específica sversal * = ldeformação especifica longitudinal (2.25) ou sabe (2.26) para es condições de carregamento da Fig. 2.87. Das Equações 2.24 e 2.26, escrevemos as relações seguintes, que descrevem totalmente as condições de deformações especí- * ficas sob carga axial paralela ao eixo x: 8 — Poderíamos também supor, do modo errado, que 6 volume de barra vai permanecer constante, como resultado dos efeitos simultâneos de slongameno axinl e da contração transvorsal CU GS & 5606 G COUT UCG :€: Ge RES 29996 9009999 298 OO 399990006 34 EFE 130 Resistência dos Materiais Cop. 2 EXEMPLO 2.8 A Fig. 2.42 mosira um bloco de aço submetido à ação de pressão uniforme em todas as faces Mediu-so a variação do comprimento AB, que foi de - 24 um, Determinar: (e) a variação de comprimento das outras duas arestas; (b) ã ie do bloco. Adotar E = 200 GPa e v «0,29. Si prstedo p aplicada da facos Fig. ex242 a) Alteração no comprimento das outras arestas. Substituindo 9,=0,=5,=- p nas Equações 2.28 verificamos que as três componentes de deforma- ção específica tâm um valor comum 4-E-&e -s4 o) (2.29) Como E, = 8,/AB = - 24 um/80 mm - — 300 4 vamos ter &=E26-- 800p donde segue que à, = 8 (BC) = (-800u)(40 mm) = — 13 um à = (BD) = (-3004X60 mm) = - 18 um b) Pressão. Da Equação 2.29 escrevemos * Ee (200GPaX-2004) Proto rogo - 1429MPa Cop.2 Tensão e deformação - carregamento axial 181 *2.13 DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA; MÓDULO DE ELASTICIDADE DE VOLUME * Nesta Seção estudaremos os efeitos causados pelas tensões normais 6, a, é 0, no volume de um clemento de certo material. Consideremos para o estudo o cubo elementar de Fig. 2.41. Enquanto se encontra livre de tensões o elemento tem volume unitário. As tensões G, 0,8 0, 0 levam à forma de um paralelepípedo-retângulo de volume v=(lreM+e +) As deformações específicas são muito menores que a unidade, e os produtos entre elas que aparecem no desenvolvimento da expressão acima podem ser despre- zadas. Temos, então: v=l+6+5,+E A mudança de volume do elemento será, chamada e, que tem valor eav-l=l+e +68, +6-1 ou eoutmra "- (2.39) Como o elemento tinha inicialmente volume unitário, o valor e representa a variação de volume por unidade de valume; e é chamado então de dilatação volumétrica específica: ou dilatação cúbica específica do material. Substituindo (2.28) em (2.80) escrevemos: qa, Pia, + 6, +6) e E - E +89, (2.31) 1-2 ) er E (++) 4 Como a dilatação e representa uma variação de volume, ela deve ser independente da orientação do elomenta considerado. Segue-se dus Equações 2.30 e 2,81 que as quantidades (:, + E, + 6.) 8(0, 40,4 no são também independentes dessa orientação. Essa propriedade será verificada no Copítulo 6 132 Resistência dos Materiais Cap. 2 Um caso que apresenta interesse especial é o de um corpo submetido à pressão uniforme hidrostática p. corr E] iniforme hidrostática p. Cada componente de pressão é então igusl à —p é a Equação 1-2 ico, (2.82) Adotando a notação be E (1 = Bv) (2.43) a Equação 2.82 se expressa na forma -P “ck (2.84) A constante : é chamada mádulo de elasticidade de volume do material, Ela é expressa nas mesmas unidades do módulo de elasticidade E, em pascal. É lógico concluir que um material estável sujeito à hidrostática só pode contrair seu volume a a dilatação cúbica específica e na Equação 2.34 é negativa. Daí Segue-se que q módulo de elasticidade de volume é um valor positivo. Na Equação 2.33 vemos que 1-2>0, ou v<1. O coeficiênte de Poisson é positivo, e para materiais usuais 1 O<v<i (2.35) . Podemos imaginar um material ideal com vslor de v igual ratórial poderia ser dilatado em qualquer direção sem sofrer contrações Jatereis Boo autro lado, um mataria] ideal que tivesse v = 4, e portanto k = co, seria perfeitamente compressível (e » 0). A Equação 2.81 nos mostra que, para materiais usuais no regime elástico (w < 7), aplicação de um alongamento em uma direção, por exemplo a direção do eixo (0,5 0,0, =, = 0), leva a um aumento do volume (e > 0%. 8 Noxegime plástico, entretanto, o volumo do material permanscs praticamente constante, Cop. 2 Tensão e deformação - carregamento azin) 138 EXEMPLO 2.9 Determinar, para a bloco de ago da Fig. 2.42, a variação de volume AV quando se aplica a ele uma pressão hidrostática p = 180 MPa. Adotar E = 200 GPa 6 v = 0,29. A Equação 2.33 nos fornece o módulo de elasticidade de volume do aço, E 200 GPa R= 3d 2) “3d - 0,58 * 168,7GPa e da Equação 2,34 calculemos à dilatação cúbica específica, P AS0MPa À a er coTaaiGos o blStx 10 O volume do blaco no estado indeformado & V = (80 mm)(40 mm)(60 mm) = 192 x 102 mm? Como e representa a variação de volume por unidade de volume, e = AV/V, teremos então AV = ev = (1194 x 10-H(192 x 102 mm?) AV = —-218mmê 2.14 DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO As Equações 2.28 da Sec, 2.12, relacionando as tensões normais e deformações especificas, foram deduzidas assumindo-se que não havia tensões de cisalhamento envolvidas, A Fig. 2.43 mostra um caso de estado de tensões mais geral, onde estão presentes as tensões de cisalhamento 4, %, & T (DEM como as tensões corres pondentes ta Ts é 1). Essas tonsães não fôm nenhum efeito direto nas deformações específicas, » enquanto as deformações permanecerem pequenas, não vão influenciar a dedução nem a validade das Equações 2.28. As deformações de cisalhamento tenderão a deformar o cubo elementer cm um paralelepípedo oblíquo. : E fo SOC É So 2 3 BEL TOCUSOCOCT 5 € GC € cui sad ad BSCECCUC 3009099994 & o 9900096 8) 2900: e -, — o O 134 Resistência dos Materiais Cop. 2 Fig. 2,43 Tomemos inicialmente um cubo elementar de lado unitário, sujei tensões de cisalhamento x, e 1, aplicadas às faces do cubo, perpendisslaçao eia tivamente, aos eixos x e y (Fig. 2.44), (Sabemos da Ses, 1.7 que t, = t,). O elemento ss defsrma eosumindo a forma de um rombéide de lada unitário (ig 5.45). Dois dis ângulos formados pelas quatro faces do cubo que estão sob tensão se reduzem para o valor &- ty enquanto os outros dois aumentam do velor 4 para o valor 3 +, 4 Fig.244 O pequeno ângulo 4,, (expresso em radianos) define a distorção do cubo e é chamado deformação de cisalhamento correspondente às direções x e 3. Quando a Cap. 2 Tensão e deformação - carregamento axial 185 deformação provoca uma redução no ângulo formado pelas faces orientadas segundo os eixos 1 ey, respectivamente (Fig. 2.45), a deformação de cisalhamento 4,,é positiva; de modo contrário cla é negativa. Fig.2.45 Devemos notar que, como resultado das deformações de elementos vizinhos do material, o cubo elsmentar pode também estar sujeito a uma rotação. Todavia, como no caso já visto das deformações normais, estamos agora interessados cora a estado real de deformação do elemento, e não com qualquer rotação que lhe seja imposta como corpo rígidos. Marcando em um gráfico os valores To é às valores correspondentes de tar obtemos o diagrama tensão-deformação de cisalhamento, para o material em estudo. Issa pode ser conseguido realizanda-se um teste de torção, como veremos no Capítulo 3. O diagrama é semelhante âquele das tensões normais obtido para o mesmo material por um teste de tração, já descrito anteriormente. Todavia, valores tais como tensão da escoamento, tensão última ete., para um certo material, dão em torno da metade dos valores obtidos no ensaio de tração desse material. Como no caso das tensões e deformações específicas normais, a parte inicial do diagrama tensão deformação no cisalhamento é uma linha reta, Para os valores de tensão que não excedam o limite de proporcionalidade no cisalhamento, escrevemos então (nos materiais homogêneos e isotrópicos), 5 Na definição da detorméção de cisalhamento 4,, alguns gutores adotam de modo arbitrário que n deformação real do elemento é acompanhada por uma rotação, de moda que as faces horizontais do cubo elementar não rodero. O ângulo 4, é então representado pelo ângulo segundo o qual redaram as outras duas faces (Fig. 2.46). Outros ainda adatam uma rotação de tal maneira que as faces horizontais girem no sentido anti-horário de um Angulo 1/2y,, é &s faces verticais girem no mesmo valor 1/2, no sentido korário (Fig. 2.49) As duas suposições são desnecessários e podem levar a confusõos. Assim, preferimos neste texta associar a deformação de cisalhamento y,, com uma muslanga no ângulo formedo por duas faces, ao invés de considerá-la como a rotação de uma certa face sob condições restritivas. o Resistência dos Materiais Cop 2 £ > Lg É 3-r [0] Fig. 2,51 Não deve causar surpresa o fato de um carregamento axial causar deforma- gões de cisalhamento junto com a deformação específica axial, uma vez que a Sec. 17 mostrou que uma força axial P causa tensões normais e de cisalhamento de mesmo valor nas quetro faces de um elemento orientado a 45º em relação ao eixo da barra. Isso foi mostrado na Fig. 1.86, que é repetida aqui por conveniência. Na Sec. 1.6 também se mostrou que a tensão de cisalhamento máxima ocorre em um Plano que forma ângulo de 45º com o eixo da força. Segue-se de Lei de Hooke, aplicada a tensões e deformações de cisalhamento, que à deformação de cisalha. mento y' referente ao elemento da Fig. 2.51b também é máxima: y = 17. Fig. 1.36 (repetida) Um estudo mais detalhado da variação das tensões de acordo com « seção considerada será deixado para o Capítulo 6. Por ora, vamos deduzir uma relação entre a méxima deformação de cisalhamento y' = y, referente po elemento da Fig. 2.515, e à deformação específica normal e, na direção do carragamento. Para essa propósito, vamos considerar o elemento prismático obtido quando se intercepta o tubo elementar da Fig. 2.51a por um plano diagonal (Pigs. 2.590.5). Esse nova elemento, inicialmente com a forma apresentada na Fig. 2.520, se deforma até se transformar no elemento da Fig. 2.52e, que tem lados horizontal e vertical, respectivamente, 1 ++, € L-ve, O Cap: Tensão e deformação - carregamento axiol 141 êngulo formado. pela (ace oblíqua e pela face horizontel do elemento da Fig. 2.52b 6 - exatamente metade do ngulo reto do cubo elementar da Fig. 2.51%. O ângulo f no qual este ângulo se transforma deve ser então metade de 1/2 - tm. Escrevemos então: Em P-402 1 1 t-va 1 1 1+5 fa) tb) (o) Fig. 252 Da expressão trigonométrica da diferença de dois ângulos temos, para tan- gente: Im 1-tg 2 1+ tarte Ym ico teb= a (2.39) 1 2 Da Fig. 2.52% podemos ver que: igbel (2.40) l+e, Igualando (2,39) e (2.40) e isolando 4, escrevemos: (+ ve Tm =" GEC o o) o S as 5 sy Be Cc 299996 3999 aos O o G SO o 9909909990 O) E) É 300 12 Resistência dos Materiais Con. Z Como 6, << 1, o denominador da expressão acima pode ser adotado igual a 1; teremos então: me (14 ve (2.41) que é a relação procurada entre a deformação de cisalhamento máxima 4, é a deformação específica axial e,. Para obter uma relação entre as constantes E, ve 6, lembramos que, pela Lei de Hooke, yy = Tn/G, & que, para carga axial, e, = 0,/B. A Equação 2.41 será escrita como: Em Ra E U+F Resolvendo para G, temos G- Em (2.42) leva, Da Fig. 1.36 vemos que q, = P/A e que x « P/ZÁ, onde A é a área da seção transversal da barra. Dessa maneira temos t,,/0, » 1/2. ca E (2.43) S- me que exprime o módulo de elasticidade transversal G em função do módulo de elastici- dade E e do coeficiente de Poisson v. PROBLEMA RESOLVIDO 25 Um efreulo de diâmetro d - 230 mm é desenhado em uma placa de alumínio sem tensões, de espessura é = 20 mm. Aplicam-se então forças que afitam no plano da placa, causando as tensões normais 0, = 84MPa e q, = 140 MPa. Adotando-se v.= 1/3 € E » 70 GPs, determinar as variações que ocorrem: (a) no comprimento do diêmetra AB; (b) no comprimento do diâmetro CD; (c) na espassura da placa; (d) no volume da placa. Cap. 2 Tensão e deformação - carregamento axiol 143 Lei de Hooke. Notamos que c, = 0. Utilizando as Equações 2.28, determi- namos 4 deformsção específica na direção de cada eixo coordenado: de Ny Vê 1 1140) - +0,533x 10-2m/ TEST (8-0-[140)-+0,588% im aee vo vo, 1 . peca 1 —3 84 + 0 - 7140) - - 1,087x 19: mim q 1 1 EI - 103 E "ox gd (-7 8440 + 140) = + 1,800 x 10-S zm a) Diâmetro AB. A variação no comprimento é 8,4=, É ôpa = Ed a (0,583 x 10-3)/(230) daam + 1226x 10mm b) Diâmetro CD dep = ed = (1,60 x 10-3(280) dep - + 368 x 10?mm c) Espessura. Temos t = 20 mm, à 8 = 8 É = (1,067 x 10-3) (20) & =-21,3x10%mm + 144 Resistência dos Materiais Cap. 2 d) Volume, Utilizando a Equação 2.30 escrevemos: CE +6 +68 = (+0,5589 - 1,067 + 1,600104 = 1,067 x 105 4V = cV = + 1,067 x 10-2(380)(380)(20)) AV=-+308m? PROBLEMAS 2.68 Em um teste de tração, uma barra de alumínio de 20mm de diã E a le diâmetro é submetida a uma força P de 80 kN. Sahendo-se que E = 80 GPae v - 0,35, determinar: ta) o alongamento da barra, em um tracho central de 150 ; iaçã diâmetro da barra. º cos (+ variação do i 20mnceiâmetro 180mm| Fig. P2.66 e Fig. P2,67 2.67 Em um teste de tração, uma barra de 20 m de diâmetra, feita de um plástico que acaba de ser desenvolvido, € submetida a uma força P de intensidade 6 kN, Sabendo-se que um alongamento de 14 mm e um decréscimo de 0,85 mm ho diâmetro são observados, em um trecho central de 160 mm da comprimento, determinar: q módulo de elastiridade longitudinal (E), o módulo de elasticidade transversal (G) e o coeliciente de Poisson (v) do material. . Cop.2 Tensão e deformoção carregamento axial 145 2.68 Uma linha de inclinação 4:10 é desenhada sobre uma place de latão-amarelo de 150 mm de largura e 6,85 mm de espessura. Usando a tabela do Apêndice B, para esse material, determinar a inclinação da linha quando a placa é submetida a uma carga axial centrada de 200 kN, como indicado. 15 | baonmml Fig. P2.68 2.69 Um tubo de aço de 1,8m de comprimento, 300 mm da diâmetro externo e 13mm de espessura é usado como uma pequena coluna e suporta uma carga axial centrada de 1335 kN. Usando a tabela do Apêndice B, para aço estrutural, determinar: (a) a variação de comprimento do tube; (b) a variação do diâmetro externo da tubo; (e) a variação da espessura da parede do tubo. 18m Fig. P269 2.70 Um quadrado de 20 mm de lado é dessanhado na parede de um vaso de pressão de aço de grandes dimensões. Depois de pressurizado o estado biaxial de tensões no quadrado é como o mostrado. Usando a tabela do Apêndice B, para o aço estrutural, determinar a variação do comprimento: (a) do lado AB; (b) do lado BC; (e) da diagonal AB. (4 € CCUGUU E o 5 &) BOGTUCCÊCo 999094 2290999959 “3 30900 É m t É to 200050989 309) é. 2 150 Resistência dos Moterivis Cop. 2 Simansões emmm so df n Fig. 2.84 2.85 Qual carga P poderia ser aplicada à placa do Prob. 2.84, ; deflexão vertical de 1,5mm? Ê vob did, para producis tama 2.86 Dois blocos de borracha com um médulo de elasticidade transversal G» 12 MPa são coladas aos suportes rígidos e à placa AB. Sebendo-se que c=100mm e P= 46N, determinar as menores dimensões para e b dos blocos, se a tensão de cisalhamento para a borracha não deve exceder a 1,45 MPa e a deflexão da plsca deve ser pelo menos de 4,7mm. . Fig. P2.66 e Fig. P2.87 2.87 Dois blocos de borracha com um médulo de elasticidade transversal (= 10,3MPa' são colados nos suportes rígidos é à placa AB, Sabendo-se que Cop. 3 Tensão e deformação - carregamento axial 151 b = 200 mam e c = 126 mun, determinar a maior carga P admissível para os blocos, se a tensão de cisalhamento na borracha não deve exceder 1,45 MPa é a deflexão du placa deve ser pelo menos da 6,4 mm. +288 Um suporte isolador de vibração consiste em uma barra 4 de raio R= 10 mm e um tubo B de raio interno R; = 25 mm, fixados a um tubo de borracha central de B80mm de comprimento e com módulo de elasticidade transversal G= 12 MPa Determinar a meior força P admissível que pode ser aplicada à barra 4, sendo que a deflexão não pode exceder a 2,50 mm. Fig. P2.88 a Flg. P2.89 *2.89 Um suporte isolador de vibração consiste em uma barra A de raio Rj e um tubo B de raio interno Rs, fixados a um tuba de borracha central de 80 mm de comprimento e com módula de elasticidade transversal G = 10,93 MPa. Determinar o valor necessário da relação R$/R,, se uma força P de 10 kN causa uma deflexão de 2mmns barra 4. *2.90 Mostre que, para qualquer material dado, a relação G/E, mádulo de elastici- dade transversal pelo módulo de elasticidade longitudinal, é sempre menor do que 1/2, porém maior do que 1/3. (Sugestão: Consulte a Equação (2.43) e a Sec. 2.13.) “292 As constantes dos meteriais E, G, k e v são relacionadas pelas Equações, (2.83) e (2.43). Mostre que qualquer uma destas constantes pode ser expressa em tarmos de qualquer cutra duas constantes. Por exemplo, mostre que:(a) k = GEXDG - 3E) e (b) v = (8k - 26)6L + 26). 152 Resistência dos Materiais Cop. 2 2.16 DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES E DEFORMAÇÕES ESPECÍFICAS CAUSADAS POR CARREGAMENTO AXIAL; PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT Adotamos até este ponta que as tensões normais são uniformemente distribuídas em qualquer seção transversal perpendicular ao eixo de uma barra, no caso de força axial. Coma vimos ne Sec. 1.2, essa suposição não se verifica ne vizinhança do ponto de aplicação da força, e a determinação da tensão real em qualquer seção é um problema estaticamente indeterminado. 4 Sec. 2.9 mostrou como resolver um problems estaticamente indeterminado, envolvendo a determinação dc forças, por meio de considerações sobre as deforma. Sães causadas por essas forças. É razoável concluir então que na determinação de tensões em uma barre devemos analisar as deformações específicas produzidas na barra. por essas tensões. Esse é o enfoque enconirado am textos meis avançados, onde a teoria matemática da clasticidade é usada na determinação da distribuição de tensões correspondente à vários casos de aplicação das forças nas extremidades de barras. Neste texto, empregando os métodos matemáticos que supomos ao aleance de vim curso básico, determinaremos apenas a distribuição de tensões para o caso em que são utilizadas duas placas rígidas para a transmissão das forças à barra (Fig. 2.53). . t. Fig.2,53 Cop. 2 Tensão e defarmação - carregamento axial! 152 Se as forças são aplicadas na centro das placas$, estas deverão se mover uma em direção a outra sem rotação, provocando um encurtamento da barra e um aumento na largura e na espessura. É lógico assumir que o eixo da barra se mantém retilíneo, que as seções planas se mantêm planas e que todos os elementos sa defarmam de mesme maneira, Essa suposição é compatível com as condições das extremidades da barra. O que foi dito está ilustrado na Pig. 2.54, que mostra ujá modelo de borracha antes e depois do carregamento!O, Desde que todos os elementos se deforimam da mesma maneira, a distribuição de deformações específicas ao longo do material deve ser uniforme, A deformação aspecífica axial +, e a deformação específica transvarsal & = - v6, são constantes. A Lei de Hooks pode ser aplicada se o muterial não ficar sujeito 8 tensões que excedam o limite de proporcionalidade. Podemos escrever q, = Ee, donde se deduz que a tensão q, também é constante. Então, a distribuição de tênsães é uniforme ao longo da modelo, e em qualquer ponto, P "ua" 4 p Fig. 2.54 8 — De modo maia preciso, podermos dizer qua a linha de ação das Forças passa pelo centróide da seção transveraal (of. See. 1.9). 10 Para barras longas e delgndas ocorre outra configuração de deformação s» a força é euficiontemente grande; ocorre a Hambagem da barra, que assume uma forma curva. Este assunto será visto no Capítulo 11. Cr Ç Ç GUCOSCCOUCSUCO o Gere n BeOCEcCeEScUccCE Sa a q O & & G Q € r 5999009 í a 200) 3 IDE 9200 14 Resistência dos Materiois Cop. 3 Se as cargas são concentradas, como mostra a Fig, 2.55, os clementos da visinhança dos pontos de aplicação das forçes ficam submetidos a grandes tensões, enquanto outros elementos próximos às faces do modelo não são afetados pelo carre- gamento. Grandes valores de tensões e deformações específicas são observados nas vizinhanças do ponto de aplicação das forças, enquanto não ocorre deformação alguma nos vértices do modelo. À medida que analisamos elementos mais e mais afastados das extremidades da barra, notamos uma progressiva equalização das deformações, conduzindo a uma distriburição mais uniforme de tensões e deformações específicas aa longo da seção transversal. Esse fato fica bem caracterizado na Fig. 2.56, que mostra es resultados obtidos no estudo da distribuição da tensões em uma placa retangular fina, sujeita à carga concentrada, resultados esses obtidos por meio de métodos matemáticos avançados. Notamos que a uma distância b de qualquer borda da placa, sendo b a largura desta, a distribuição de tensões so longo da seção transversal é praticamente uniforme, Pademos então assumir o valor da tensão normal em qualquer ponto daquela seção transversal como senda a tensão média q, = P/A. Assim, para as seções transversais situadas a uma distância igualou maior que 6 da extremidade da barra, a distribuição de tensões na seção transversal é a mesma, quer a barra tenha sida carregada como indicado na Fig. 2.65 ou na Fig. 2.54, Em outras palavras, com exceção dos pontos na vizinhança do ponto de aplicação da força, a distribuição de tensões pode ser adotada independentemente do modo como se aplica o carregamento. Este resultado, que não se aplica somente a carregamento axial, mas a qualquer tipo de carregamento, é conhecido como princípio de Saint-Venant (Adhémar Barré de Saint-Venant, matamático é engenheiro francês, 1797-1886). Fig. 2.55 Cap.2 Tensão e deformação — carregamento axial 155 E po! : t TA Som =] 5 | 1 . L iii Dur rá in = 0,973 mãos Gin = 0.6680,não Ort = 0.1980mãa Omi L027Onga Cmte = 1387Orãa Omi = 25750çã - Fig. 2.56 O princípio de Saint-Venant torna possível substituir um certo carregamento por eutro mais simples, por ocasião de calcular as tensões em uma pega estruturel. Devemos ter em mente, no entanto, dois pontos importantes para aplicação da princípio: 1. Gesrregamento real eo carregamento usado na determinação das tensões devem ser estaticamante equivalentes. : 2. Nas proximidades dos pontos de aplicação das forças a determinação das tensões se faz por meio de métodos matemáticos avançados ou métodos experimentais, não podendo ser usada a simplificação acima. Devemos observar que as placas utilizados para distribuir as tensões de maneira uniforme (Fig. 2.54) devem permitir a livre deformação da barra na direção lateral. Assim, as placas não devem ser coladas à barra, mas devem apenas ser colocadas em contato com ela; devem também ser suficientemente lisas para não impedir a expansão lateral. Tais condições podem ser obedecidas para barras sujeitas a forças da compressão, mas não podem ser cumpridas para materiais sujeitos à tração. Mas mesmo que não se possa fazer ou usar ligações reais que levem a uma distribuição uniforme das tensões, é importante podermos idealizar um modelo que permita a distribuição das tensões de maneira uniforme, Tendo em mente esse modelo ” ideal, podemos então compará-lo com as condições reais de carregamento encontradas na prática. . 10 Resistência dos Materiais Cap.2 EXEMPLO 2.12 Uma barra de comprimento L - 500 ram é área da seção transversal À = 60 mm? é feita de msteriel elastoplástico, com módulo de elasticidade.Z = 200 GPa na zona elástica é tensão de escoamento 0, = 300 MPs. A barra está submetida à carga axial até que seu alongamento atinja o valor de 7 rum, quando 6 carregamento é ramovido. Qual é a deformação permsnente resultante? Voltando ao diagrame da Fig. 2.60, vemos que a máxima deformação espeef. fica, representada pela abscissa do ponto C, é %e Imm Ss ce TS Todas" é x 10 Por outro lado, a deformação específica no escoamento representada pela abscissa do ponto Y, é Se 300 x 108Pa 3 “E “200 x loPa * 15x 10 4 deformação específica após o descerregamento é representada pela absciasa £p do ponto D. Vemos, pela Fig. 2.60, que p-ADo YO=t-s = 14x 103 1,5x 1030 12,6.x 1003 À deformação permanente é ôp, correspondente à deformação específica sp. Temos dp = ep L = (12,5 x 10-%500mm) = 6,25mm EXEMPLO 2.13 Uma barra circular de 800mm de comprimento e área de seção transversal Ap = 45 min? é colocada dentra de um tubo de mesmo comprimento à área de seção transversal 4, » 60 mm?, As extremidades do tubo e da barra são presas a um apoia fio e a uma placa rígida como mostra a seção longitudinal da Fig. 2.61. À barra e o tubo são de material elastoplástico, com módulos de elasticidade E, = 200 GPs e E,» 1D0 GPa, e tensões de escoamento (05), = 200 MPa e (0,), = 250 MPa. Desenhãr o disgrama força-deformação do conjunto barra-tubo, quando uma força P é aplicada à placa, Cop. 2 Tensão e deformação = carregamento axial 161 Inicialmente determinamos o esforço interno e o alongamento da barra quando começa o escoamento: (Pode = (os)oAb = (200 MPat45 mom?) = 9 kN (op) 200 MPa oo = (ok = DEL = SopMbo (800 mm) « 0,8 mm Tubo é Plata | Barra q -800 no Flg.ex.2.61 Como o material é elastoplástico, o diagrama força-deformação da barra consiste em uma reta inclinada e uma reta horizontal, como mostra a Fig. 2.620. Adotando a mesma sequência para o tubo, temos , (Pe = (oiee = (250 MPaX60 mm?) = 154N (de, . 260MPa . Ci = (dl = “GEL - oo gpa (800 mm) - 2mm CÍ :€ Ç SIGOCCODESCO 3 2065 E 656 & PEIES E CC GSEC 3 a 39908€ 39909099 r 99909999 2309 m O) E] a :9:9 JEI LS 162 Resistência dos Materiais Cap.2 0 08 5 mm) ta) P(A) 24] 0 08 20 E (mm to Fig. ex.2.62 O diagrama carga-deslocamento apenas do tubo é mostrado na Fig 2.62b. É fácil ver que a carregamento e o alongamento do conjunto barra-tubo são, respecti- vamente, P-B+P, 3=3=5 Desenhamos então o diagrama força-deslocamento desejado somando as coor- denadas dos diagramas para a barra é para c tubo separadamente (Fig, 2.630). Os pontos e, e e, correspondem ao iníeio do escoamento na barra e no tubo, respectiva- mente. " EXEMPLO 2,14 Se a carga P aplicada ao conjunto berra-tubo do Ex. 2.13 aumenta de zero até 19,5kN e decresce novamente até zero, determinar: (a) o máximo alongemento do conjunto; (b) a deformação permanente após a remoção do carregamento. Cop. Tensão e deformação = carregamento exial 163 a) Alongamento máximo. Recorrendo à Fig. 2.62, observamos que a carga Préx = 19,6 kN corresponde a um ponto localizado no segmento Y,Y, do diagrama carga-deformação do conjunto. Assim, a barra atingiu a zona plástica, com P, = (Pi) = 9 kN e (cs,)y = 200 MPa, enquanta a tubo ainda está em regime elástico com P=P-P,=195kN-9kNc= 10,5kN q = Pt MEN tC A" 60mmê = 175 MPa L 175 MPa E - “Too GPa (800 mm) = 1,40mm &-aL= O máximo alongamenta do conjunto é, então, disc = B = 1,40mm b) Deformação permanente. Fazendo agora a farça P desrascer da 19,5kN até zero, os esforços internos P, e P,-decrescem segundo uma linha reta, mostrada nas Figs. 2.64a e b, respectivamente. A força P, decresce segundo a linha CD paralela à porção inicial da curva de carregamento, enquanto a força P, decresce ao longo da curva de carregamento briginal, uma vez que o ponto de escoamento não fot atingido para o tubo. Sua soma P, então, irá decrescer ao longo da linha CE, paralela à linha 0%; da curva força-deformação do conjunto (Fig, 2.64). Da Fig. 2.62 podersos calcular a declividade de 0%, e de CE, que é m = 15/0,8 = 18,75. Na Fig. 2,64c,0 segmento FE representa a deformação ô' do conjunto durante o descarregariento, e o segmento OE representa a deformação permanente 3, após a retirada da carga P. Do triêngulo CEF, temos 0 Pinéx 19,60 dorm 018,76" hOtmm A deformação permanente é então do = mix + 5º = 1,40 - 1,04 - 0,38mm 154 Resistência dos Materiais Cop, 2 PN) Fig. ex.2,63 ., A discussão sobre concentrações de tensões da Sog. 2,17 foi conduzida assu- minda-se pera o material uma relação tensão-deformação linear. As distribuições de tensõesmostradas nas Figs. 2,57 e 2.68, bem como os coefíciei e ntes de concentração detensões de Fig. 2.58, não podem ser usados quando ecorrem deformações plásticas, isto é qu : S á sm sendo o valor de Og, Obtido dessas figuras ultrapassa a tensão de ascoa, Considerando novamente a placa da Fig. 2.57 « i : ig. 2.57 com um furo circular, va adotar que o material que a constitui é clustoplástico, ou seja, que o dizgrama tensão deformação específica é aquele da Fig. 2.60. Enquanto não acontecem defor- mações plásticas, a distribuição de tensões segue o modelo da See. 2.17 (Fig. 2.64), A área limitada pela curva de distribuição das tensões, de valor foda, é igual à intensidade da força P. Assim, a área e o valor máximo O,.6, da tensão devem crescer com o aumento da força P. Enquanto rs, £ O, às distribuições de ô ivas, obti À ma a gi tensões suces: e sivas, obtidas com q vão apresentar sempre a mesma forme mostrada na Fi 7 o emp ig 2.576 repetida na Pig. 2.644. Tina vez atingido o valor P,, ou ultrapassado esse valor, a ea Cap. 2 Tensão e deformação - carregamento axial 165 distribuição de tensões começa à se alterar na vizinhança do furo. 4 maior tensão que pode ocorrer no material é Qmis = Gps € 08 pontos rãs proximidades do furo passam a apresentar esse valor para a tensão (Figs. 2.64 ec). Isso significa que o material está se escoando na vizinhança da descontinuidade da placa, Se a carga P continuar aumentando, a região atingida pelas tensões de escoamento sc expande até atingir as bordas da placa (Fig. 2.64d), Nesse ponto, a distribuição de tensões torna-se constante ao longo da seção da placa, & = 9, € o correspondente valor de P é o maior valor que pode ser utilizado sem causar a ruptura da chapa (P =Py). É interessante comparar o valor méxifho P, da força que pode ser aplicada quando não se desejam deformações permanentes, cori o valor P, que causa a ruptura da barra. Tomendo a expressão da tensão média, Oéa = PIA, senda À a área da seção transversal, e lembrando a definição de coeficiente de concentração de tensões, K - Orts/Orotás EStrEVemOS (2.45) pera qualquer valor de Gogx P,e da Equação 2.45 - que não exceda q, Quando Cnge= 0, (Fig, 2.646), temos Pp, (2.48) Por outro lado, quando P = Pr; (Fig. 2.645), temos Gg = G., & então Pyeoà (247) Comparando as Equações 2.46 e 2.47, concluímos que (2.48) *2.19 TENSÕES RESIDUAIS No Exemplo 2.12 da Seção anterior, consideramos uma barra que sofreu alongamento além da deformação-correspondente ao início do escoamento. Ao retirarmos o carre- gamento, a barra não recuperou o seu comprimento inicial, permanecendo deformada permanentemente. No entanto, ao retirarmos o carregamento, todas as tensões desa- pareceram. Esse caso não deve ger encarado como um fata geral. Cote Cod Co (3 6 Ee tes ECO 65 € € “ay 3 € E E E 3 E BE ECE E Os o o c o O e o 99009 290 3 e 395990 17” Resistência dos Materinis Cap. 2 Se, . | S00MPa da tbm FE * (MODGPs) (em) - âmm Como Pçg = Pap = 120 kN, a deflexão correspondente no ponto C ocorre quando Po 120kN A" EOommé * 240 MPa 240 MP: 2006Pa a do, = eb Fu (5m) = êmm flémm O Em Barra AD Bara CE Diagramas forga-deformação co ponte 0 (8) Deflexão final Cop.2 Tensão e deformação - cerregamento azia! 171 A deformeção correspondente em B é dg, = 164, + do) = H8mm + 6mm) = 45mm a Como devemos ter 3, = 10 mm, concluímos que devem ocorrer deformações plásticas. Deformações plásticas, Deformações plásticas ocorrem na barra AD para Q = 240KN, sendo a4p = 300 MPa. Como a tensão na barra CE está na regime elástico, ôp permanece em 6 mma. 4 deflexão à, necessária pare levar 8g 2o valor de 10 mm é dp, = 10mm = i(ôy + 6mm) d4 - 14mm Descarregamento. Enquanto a força Q é gradualmente removida, a força Pap decresce ao longo da linha Hd paralela à porção inicial do diagrama força-defor- mação da berra AD. À deflexão final do ponto 4 é da, = 1mm - mm - llmm Como a tensão na barra GE se manténi no regime elástico, vemos que a deflexão final no ponta C é zero. PROBLEMAS 2.92 Sabendo-se que a tensão normal admissível para o aça da barra mostrada vale 150 MPa, determinar a máxima força P admissível, axial e centrada, que pode ser aplicada à barra. 2.98 Uma força axial e centrada, de intensidade P = 40 kN, é aplicada à barra de aço mostrada. Determinar o máximo valor da tensão normal: («) em A; (b) em B. Fig. P2.92 6 Fig. P2.93 1" Resistência dos Materigis Cap. 2 2:94 Uma força axis] e centrada, de intensidade P = 270kN é aplicada: à barra de aço mastrada. Determine o máximo valar da tensão normal na barra, sabendo-se que: (a)d=120mmer=15mm;(b) d = 100mmer-25mm; (dd=TGmmer=40mm. 2.95 A tensão normal admissível para o aço da barra mostrada vale 125 MPa Determinar a máxima força P admissível, exiel e centrada, que pode ser aplicada à barra, sabendo-se que d = 100 mm e: (a) r = 15 mio; (b) = 25 mm. Flg. 2.946 Fig. 2.95 286 O corpo de prova de alumínio mostrado é submetido a duas forças centradas e axiais iguais e opostas, de intensidade P. Pede-se: (a) Sabendo-se que E = 70 GPae Oaim = 200 MPe, determinar o máximo valor admissível de P e o correspondente alongamento para & &mostra total; (6) resolver o item a, considerando que o corpo de prova fai substituído por uma barra de alumínio de mesmo comprimento, mas de seção transversal retangular uniforme de 60 x 15 mm. Dimensões em mm Fig. 2.96 2.97 Para o corpo de prova da Prob. 2.96, determinar 0 máximo valor da tensão normal correspondente ao alongamento tokal de 0,75 tam. Cap. 2 Tensão e deformação - carregamento axial 173 2.98 Uma força axial e centrada P é aplicada à barra de aço mostrada. Sabendo-se que Ogam = 165 MPae b = 75 mia, determinar: (a) o maior valor admissível para P; (b) o menor valor permissível de rp para que no arredondamento e tensão normal admissível não seja excedida com a aplicação da carga P encontrada no item a. 2.99 Uma força axial centrada P, de intensidade P = 90 kN, é aplicada à barra de aço mostrada. Sabendo-se que à - 90 mm, determine: (a) a máxima tensão normal no furo; (b) o menor valor permissível de rg se a méxitna tensão normal no arredonda- mento não deve exceder a máxima tensão normal-no furo. ismm Fig. P2.88 é Fig. P2.98 2.100 Uma barra cilíndrica AB tem um comprimento L de 1,83m e um diâmetro de 32 mm. Ela é feita de um aço dose, que é assumido ser elastoplástico com E = 200GPa e 0, = 250 MPa. Uma força P é aplicada na barra até a sua extremidade A descer de um valor ô,. Determinar o máximo valor da força P e deformação permanente da barra, depois que a força for removida, sabendo-se que: (a) - e dm = 8,2 mm; (6) do = 6,85 mm. 2,101 Uma barra cilíndrica AB tem um comprimento L de 1,50 m e um diâmetro de 20mm. Ela é feita de um aço doce, que é assumido ser elastoplástico com E = 200 GPae q, - 250 MPa Uma força P é aplicada à barra e depois removida, dando a ela uma deformação permanente 8,. Determinar o máximo velor da força P e da deformação d,, para que a barra seja alongada, produzindo um valor ô, desejado de: (a) 2,5 mm; (b) 5,0 mm. “A ts 5 €3 Ec & 9 GGCsS vSS E Ge y = CCOCECCESUS PGEGE 9963996 S9999099999999095 G 174 Resistência dos Materiais Cap. 2 Fig. P2.100 e Fig. P2.101 2.102 Aburra ABC consiste em duas porções cilíndricas AB e BC; ela é feita de um aço doce, que é assumido ser elastoplástico com E = 200 GPae q = 250MPa Uma. força P é aplicada à barra e depois removida, dando a ela uma deformação perma- nente 5, » 2mm. Determinar o máximo valor da força P e o máximo valor ô,, para que a barra seja alongada, produzindo a deformação permanente desejada. 2.108 Abarra ABC consiste em duas porções cilíndricas AD e BC. Ela é feita de um ago doce que é assumido se elastoplástico com E = 200 GPa.e q, = 250 MPa. Uma força Pé aplicada à barra até que sua extremidade À se mova para baixo, de um valor igual a ô, = 5 mm. Determinar o máximo valor da força P e a deformação permanente na barra depois da força ser removida. 40 mm diâmeiro somm diâmetro Fig. P2.102 e Fig. P2.103 2.104 A barra AB consiste em duas porções, AC e CB, cada uma com 200mm de comprimento c 1986 mm? de área da seção transversal. A porção AC é feita de um aço doce com E = 200GPa E o, -250MPs, a porção CB, de um àço rápido com E =200GPae a, = 350 MPa Uma carga P é aplicada em €, como indicado. Pede-se: (x) Assumindo que ambas os aços são elastoplásticos, desenhe o dingrama carge-de- flexão para q ponto C; (6) Se P cresce gradualmente desde zero, determinar a máxima deflexão em C, a máxima tensão em cada porção da barra e a deflexão permanente do ponto C. Cap.2 Tensão e deformação - carregamento axial 175 Fig. P2.104 2.105 Para a barra composta do Prob. 2.104, se P cresce gradualmente desde zero até a deflexão do ponto O atingir um valor máximo , e, depois, retorna a zera, pede-se determinar o máximo valor de P, a máxima tensão em cada porção da barra, e a deflexão permanente em €, quando: (2) à, = 0,28 mm; (b) 8, = 0,38 mm. 2.108 Uma barra de 300mm de comprimento e seção transversal retangular de 20 x 50 mm consiste em duas lâminas de aço doce, cada uma com 6 mun de espessura coladas a uma lâmina central de 8 mm de espessura, de aço temperado. Esta barra composta é submetida a uma carga axial central de intensidade P. Assume-se que ambos os aços são elastoplásticos com E = 200 GPa e com tensão de escoamento de 250MPa e 680MPa, respectivaménte para o aço doce e para o aço temperado. Desenhe o diagrama carga-deflexão pers a barra composta. Usando este diagrama, determinar o máximo valor de P, à máxima tensão em cada lâmina, e a deformação permanente na barra quando P cresce gradualmente desde zero até a deformação da barra atingir um valor máximo à, & então retornar a zero, considerando: (a) Bm = 0,621mm; (6) 8, = 1,242mm. -- s00mm Flg. P2.106