Análise para Licenciatura G, Ávila completo, Notas de estudo de Matemática

Baixe Análise para Licenciatura G, Ávila completo e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! nal E GERALDO AVILA y|epl E pl Beta se osso Cr) Catete sor E Ud sies e o spse sta 3º edição revista e ampliada Cp EDITORA EDGARD BLÚCHER © 2001 Geraldo Severo de Souza Ávila 11l edição - 2001 É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autoriiaçiio escrita da editora EDITORA EDGARD SLÜCHER LTDA. Rua Pedroso Alvarenga, 1245 - cj. 22 04531-012 - São Paulo, SP - Brasil Fax: (Oxx11)3079-2707 e-mail: eblucher@uol.com.br Impresso no Brasil Printed in Brazil ISBN 85-212-029.5-4 EDITORA AFILIADA Conteúdo CAPÍTULO O: PRELIt\IINARES DE LÓGICA, Proposições e teoremas, l. Condição necessária e suficiente, 2. Dois princípios de Lógica, 3. Contraposiçâo, 3. Uma aplicaçâo, '1. Demonstração por ab- surdo, '1. CAPÍTULO 1: NÚ~IEROS REAIS 6 Números racionais e representação decimal, 6. Números irracionais, 7 . .j2 é número irracional, 8. Números reais, 8. Exercícios, 9. Respostas, sugestões e soluções, 10. Noções sobre conjuntos, 11. Especificação de conjuntos, 1l. Propriedades gerais, 12. Exercícios, 13. Sugestões e soluções, 14. Conjuntos finitos e infinitos, 14. Conjuntos enumeráveis, 15. A enumerabilidade do con- junto Q, 15. Números irracionais, 16. A não enumerabilidade do conjunto R, 16. Exercícios, 18. Respostas, sugestões e soluções, 18. Grandezas incomen- suráveis, 19. A medição de segmentos, 19. Segmentos incomensuráveis, 20. O retângulo áureo, 22. Urna infinidade de retângulos áureos, 23. Divisão áurea, 23. Exercícios, 24. Sugestões, 24. A crise dos incomensuráveis e sua solução, 25. A teoria das proporções, 25. Desenvolvimento posterior da Matemãtica, 26. Exercícios, 27. Sugestões e soluções, 28. Dedekind e os números reais, 29. Cortes de Dedekind, 29. A relação de ordem, 30. Operações com números reais, 31.0 teorema de Dedekind, 32. Supremo e ínfimo de um conjunto, 33: Exercícios, 35. Sugestões e soluções, 36. Desigualdade do triângulo, 38. Exercícios, 39. Sugestões e soluções, 39. Notas históricas e complementares, 3D. O;; Elementos de Euclides, 3D. O conteúdo dos Elementos, 40. A Geo- metria dedutiva, 4l. As geometrias não-euclidianas, 41. Os Fundamentos da Matemática, 43. Definição de corpo, 44. CAPÍTULO 2: SEQÜÊNCIAS INFINITAS 45 Intervalos, 45. Seqüências infinitas, 45. Conceito de limite e primeiras propriedades, 47. Definição de vizinhança, 48. Seqüências limitadas, 51. Operações com limites, 52. Exercícios, 54. Sugestões e soluções, 55. Seqüências monótonas, 56. O número e, 57. Subseqíiências, 58. Limi- tes infinitos, 59. Seqüências recorrentes, 6l. Exercícios, 62. Sugestões e soluções, 64. Intervalos encaixados, 65. Pontos aderentes e teorema de Bolzano- \Veierstrass, 66. Critério de convergência de Cauchy, 67. Exercícios, 69. Sugestões e soluções, 70. Notas históricas e complementares, 71. A não enumerabilidade dos números reais, 7l. Cantor e os números reais, 7l. Bolzano e o teorema de Bolzano- Weierstrass, 73. CAPÍTULO 3: SÉRIES INFINITAS 75 Primeiros exemplos, 75. O conceito de soma infinita, 76. Propriedades e exemplos, 77. Série de termos positivos; 80. Exercícios, 81. Respostas, su- gestões e soluções, 81. Teste de comparação, 82. lrracionalidade do número e, 83. Exercícios, 86. Sugestões, 87. Teste da razão, 87. Exercícios, 88. Sugestões, 89. O teste da integral, 89. Exercícios, 90. Sugestões, 90. Con- vergência absoluta e condicional, 91. Séries alternadas e convergência condi- cional, 92. Exercícios, 94. Notas históricas e complementares, 94. A origem das séries infinitas, 94. A divergência da série harmônica, 95. Nicole Oresme e a série de Swineshead, 96. Cauchy e as séries infinitas, 97. CAPÍTULO 4: FUNÇÕES, LIMITE E CONTINUIDADE 99 O conceito de função, 99. Terminologia e notação, 100. Vários tipos de função, 102. Exercícios, 103. Sugestões e soluções, 104. Limite e con- tinuidade, primeiras definições, 105. As definições de limite e continuidade, 106. Propriedades do limite, 107. Exercícios, 111. Sugestões e soluções, 112. Limites laterais e funções monótonas, 113. Limites infinitos e limites no infinito, 114. As descontinuidades de uma função, 117. Exercícios, 120. Sugestões e soluções, 121. O teorema do valor intermediário, 122. Exercícios, 124. Sugestões, 125. Notas históricas e complementares, 125. O início do rigor na Análise Matemática, 125. O teorema do valor intermediário, 128. Weierstrass e os fundamentos da Análise, 129. Carl Friedrich Gauss (1777- 1855), 129. CAPÍTULO 5: SEQÜÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 131 Introdução, 131. Seqüências de funções, 132. Convergência simples e con- vergência uniforme, 132. Exercícios, 135. Sugestões e soluções, 136. Con- seqüências da convergência uniforme, 137. Séries de funções, 139. Exercícios, 141. Sugestões e soluções, 142. Séries de potências, 143. Raio de con- vergência, 144. Propriedades das séries de potências, 145. Exercícios, 147. Sugestões, 148. As funções trigonométricas, 148. Exercícios, 150. Suges- tões, 150. Notas históricas e complementares, 150. As séries de potências, 150. Lagrange e as funções analíticas, 151. A convergência uniforme, 152. A aritmetização da Análise, 152. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 153 Capítulo O PRELIMINARES DE LÓGICA1 As noções elementares de Lógica que exporemos a seguir são importantes na linguagem matemática, particularmente em Análise. Mas não pense o leitor que seja preciso fazer um curso de Lógica para estudar Matemática. Isso não é, em absoluto, necessário, nem mesmo para quem faz mestrado ou doutorado. Em verdade, as noções de Lógica dadas aqui costumam ser aprcndidus uaturulmcut c, durante o próprio estudo da Matemática. Lógica e Fundamentos da Matemática são disciplinas milito espccinlizudas, que formam um campo de estudos ele grande importância em Matemática e Epistemologiaé. Mas, no estudo de outras disciplinas matemáticas -·Análise, em particular - bastam os poucos rudimentos que daremos neste capítulo. Proposições e teoremas Proposição significa qualquer afirmação, verdadeira ou falsa, mas que faça sen- tido. Por exemplo, são proposições as três afirmações seguintes: A) Todo número primo maior do que 2 é ímpar. B) A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 1800• C) Todo número ímpar é primo. Observe que dessas três proposições, as duas primeiras são verdadeiras, mas a terceira é falsa, pois 9, 15, 21, etc., são números ímpares que não são primos. Um teorema é uma proposição verdadeira do tipo "P implica Q", onde P e Q também são proposições. Escreve-se, simbolicamente, "P => Q" ,·que tanto se lê "P implica Q", como "P acarreta Q", ou "Q é conseqüência de P". P é a hipótese e Q é a tese do teorema. Por exemplo, a proposição A acima é um teorema, que pode ser escrito na forma D => E, onde D e E são as proposições: D) n é um número primo maior do que 2. lVeja também o artigo de Gilda Palis e laci Malta, na RPM 37. Para o leitor que ainda não sabe, RPM significa Revista do Professor de Matemática, uma publicação da SBM (So- ciedade Brasileira de' Matemática). Essa revista pode ser assinada, e seus números atrasados adquiridos, escrevendo para a Caixa Postal 66281, CEP 05..128-999 São Paulo, SP. 2Veja, no final do capítulo 1, as notas sobre Fundamentos. supondo B verdadeira. Ora, se à não fosse verdadeira, pelo princípio do terceiro excluído, A seria verdadeira; e pela hipótese do teorema (A => B), B seria verdadeira. Mas, pelo princípio da não contradição, não podemos aceitar isto (visto que estamos supondo B verdadeira). Então, não podemos também aceitar que à não seja verdadeira, donde, à é verdadeira, o que conclui a demonstração desejada de que B => Ã. Finalmente, temos de provar a recíproca, isto é, a implicação <=, vale dizer, (B => Ã) => (A => B). Mas isto decorre do que acabamos de provar. De fato, trocando A por B e B por à em (A => B) => (B => Ã) obtemos exatamente (B => Ã) => (A => B). Uma aplicação A contraposição é freqüêntemente usada em demonstrações. Vamos dar um exemplo disso, primeiro provando, por demonstração direta, que "o quadrado de um número par também é par". De fato, número par é todo número n da forma n = 2k, onde k é um inteiro. Então, n2 = 4k2 = 2(2k2), que é da forma 2k', onde k' é o inteiro 2k2. Isto completa a demonstração do teorema. Consideremos agora o teorerna: "se o quadrado de um inteiro n for ímpar, então n também será ímpar". Podemos provar este teorema diretamente, mas isto é desnecessário; basta observar que ele é o contraposto do teorema anterior, já que as proposições "ii é par" e "n. é ímpar" são a negação uma da outra. Demonstração por absurdo As chamadas demonstrações por redução ao absurdo, ou simplesmente demons- trações por absurdo, seguem um roteiro parecido com o das demonstrações por contraposição. Para provar que A => B começamos supondo A verdadeira e B falsa (esta última é a chamada "hipótese do raciocínio por absurdo", uma suposição apenas temporária, até chegarmos a uma contradição, um absurdo. Somos então forçados a remover a hipótese do raciocínio por absurdo e concluir que B é verdadeira). Como aplicação, vamos demonstrar o teorema mencionado atrás, de que Num plano, por um ponto fora de uma reta não se pode traçar mais que uma perpendicular à reta dada. Vimos que esse teorema se escreve na forma A => B, onde A e B são as proposições: A: Num plano é dada uma reta r e um ponto P f/. T. B: No plano dado não existe mais que uma reta s perpendicular a r, tal que P E s. A negação de B é que existe mais que uma perpendicular; ora, para afirmar Capítulo O: Preliminares 5 isto, basta supor que existam duas, assim: B: No plano dado existem duas retas distintas, s e t, perpendiculares a r, tais que P E 8 e P E t. Vamos provar que essa proposição nos leva a um absurdo. Com efeito, sejam Se T os pontos de interseção de s e t com a reta r (faça a figura), sendo que esses pontos são distintos, ou .5 c t não seriam distintas. Ora, os ângulos em S e T são todos retos; mas isto é absurdo, senão a soma dos ângulos do triângulo P ST seria maior do que 180°. Concluímos, pois, que a proposição B é verdadeira. Capítulo 1 NÚMEROS REAIS Como o primeiro alicerce de um curso de Análise é o conjunto dos números reais, é conveniente iniciarmos nosso estudo com a consideração de algumas questões sobre esses números. Portanto, neste capítulo recordaremos inicialmente certas propriedades dos números reais; e, a partir da p. 19, começando com o conceito de "grandezas incomensuráveis", explicaremos como Richard Dedekind fez uma construção rigorosa dos números reais, pressupondo os racionais. Números racionais e representação decimal Como de costume, denotaremos com N o conjunto dos números naturais (in- teiros positivos}", com Z o conjunto dos inteiros (positivos, negativos e o zero), com Q o conjunto dos números racionais e com R o dos números reais. Como o leitor bem sabe, os números racionais costumam ser representados por frações ordinárias, representação essa que é única se tornarmos as frações em forma irredutível e com denominadores positivos. Vamos considerar a conversão de frações ordinárias em decimais, com vistas a entender quando a decimal resulta ser finita ou periódica. Como sabemos, a conversão de urna fração ordinária em decimal se faz dividindo-se o numerador pelo denominador. Se o denominador da fração em forma irredutível só contiver os fatores primos de 10 (2 e/ou 5), a decimal resul- tante será sempre finita; e é assim porque podemos introduzir 'fatores 2 e 5 no denominador em número suficiente para fazer esse denominador uma potência de 10. Exemplos: 3 5 2 x 3 6 2 x 5 = 10 = 0,6; 41 41 41 x 5 205 20 = 22 X 5 = 22 X 52 = 100 = 2,05; lEsses números chamam-se "naturais" justamente por surgirem "naturalmente" em nossa experiência com o mundo físico, já nos primeiros anos da infância. Deste ponto de vista, "zero" está longe de ser um número natural. Aliás, levou muito tempo para os matemáticos concederem ao zero o status de número. No entanto, é freqüente o aluno perguntar: "Professor, zero é número natural?" Isto ocorre porque certos autores incluem o zero entre os naturais. Nada' de errado nisso, é apenas uma convenção, que os algebristas principalmente preferem fazer, por ser conveniente em seu trabalho. Coisa parecida acontece com a exclusão do número 1 como número primo, simplesmente porque isso é conveniente em teoria dos números. Capítulo 1: Os ntimcros reais 9 naturais e os números inteiros são casos particulares de números racionais, de forma que quando dizemos que um número é racional, fica aberta a possibilidade de ele ser um número inteiro (positivo ou negativo) ou simplesmente um número natural. A totalidade dos números racionais, juntamente com os irracionais é o chamado conjunto dos números re.a·is. Exercícios 1. Prove que a dízimn periódica 0,232:323 ... é igual a 23/00. Reduza à forma de fração ordinária as dízimas periódicas dos Exercs. 2 alO. 2. 0,777 ... 3. 1,666 ... 4. O, 170 170 . 5. 1,2727 ... 6. 0,343343. 7. 0,270270 ... 8. 21,4545 ... 9. 3,0202 ... 10. 5,2121 ... 11. Estabeleça a seguinte regra: toda dizima periódica simples ("simples" quer dizer que o período começa logo após a vírgula.) é igual a urna [mçiin ordiruiria, cujo rnuncrodor é ifJlLal a tLTTl.periodo c cujo denominador é consliluido de tanlos 9 quantos são os ,alga/~srnos do período .. 12. Prove que a dfzirna periódica 0,21507507 ... é igual é'I: 21.507 - 21 99900 21486 9990 3581 16.~.~. Reduza à forma de fração ordinária os números decimais dos Exercs, 13 a 16. 13.0,377 ... 14. 0,205 O·) ... 1.5. 3,266 ... 16. 0.0002727 ... 17. Prove que v'3 é irracional. 18. Prove que .jP é irracional. onde p > 1 é um número primo qualquer. 19. Prove que, se p e q forem números primos distintos, então .,fiJq é irracional. 20. Prove que, se p i , ••• , pc forem números primos distintos, então ~ é irracional. 21. Se a e b são números irracionais, é verdade que (a + b)/2 é irracional? Prove a veracidade dessa afirmação ou dê um contra-exemplo, mostrando que ela é falsa. 22. Prove que a soma ou a diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional. Mostre, com um contra-exemplo, que o produto de dois números irracionais pode ser racional. 23. Prove que o produto de um número irracional por um número racional diferente de zero é um número irracional. 24. Prove que se .;. for um número irracional então l/r também o será. 25. Prov~ que se x e y forem nÍlmeros irracionais tais que x2 - y2 seja racional não-nulo, então x + y e .r - y serão ambos irracionais. Exemplo: v'3 + J2 e v'3 - J2. r--x-r-r-r-r-r-: 26. Prove que, se p i , •.• , pr forem números primos distintos, então Jp~l ... p~,. é irracional se algum dos expoentes SI ... , s; for ímpar .. 10 Capítulo 1: Os números reais 27. Prove que um número N é quadrado perfeito se e somente se todos os fatores primos de N comparecem em N com expoentes pares. 28. Prove que um número que não seja quadrado perfeito, tampouco terá raiz quadrada racional. Respostas, sugestões e soluções L Seja x = 0,232323 ... Então, 100x = 23,2323 ... , donde 100x = 23 + x, donde 99x = 23, donde x = 23/99. 3. 1 + 6/9 = 5/3. 9.3 + 2/99. 11. Seja x = O,ala2 ar ala2 ... ar·.· uma dízima periódica simples, cujo período possui os r algarismos ai, a2, ,ar· Multiplicando ambos os membros da igualdade por 10r, obtemos: Isso estabelece a regra formulada, pois l.O"- 1 é um número formado de r algarismos 9: se r = 3, io' - 1 = 999; se r = 4, 10r - 1 = 9999 etc. 12. x = 0,21507507. .. donde 100x = 21 + 0,507507 ... , donde 100x = 21 507 = 21 x 999 + 507 = 21(1000 - I} + 507 = 21507 - 21 + 999 999 999 999' d nd = 21507 - 21 = 21486 o e x 99900 99900· Dividindo numerador e denominador por 6, obtemos, finalmente, x = 13 6 5 6 8 5 10. 15. Seja x = 3,266 ... Então, lOx = 32 + 2/3 = 98/3, donde x = 98/30 = 49/15. 18. A resolução deste exercício e do exercício anterior utiliza o mesmo raciocínio do texto no caso de ,/2. Se .;p fosse racional, teriamos .;p.= m/n, com m e n primos entre si. Então, p = m2/n2, donde ln2 = 1J11.2, Isso most ru que -,n2 é divisível por p; logo, m também é divisível por p, ou seja, m = rp, com r inteiro. Daqui e de m2 = pn2 segue-se que r2p2 = pn2, donde n2 = pr2, significando que n também é divisível por p. Mas isto é absurdo, senão TI! e n seriam ambos divisíveis por p e m/n não seria fração irredutível. O absurdo a que chegamos é conseqüência da hipótese inicial de que ..JP fosse racional. Somos assim forçados a afastar esta hipótese e concluir que ,fP é irracional. 21. Afirmação falsa. Basta tomar a = 10 +,/2 e b = -,/2, que são números irracionais. No entanto, (a + b)/2 = 5.•que é racional. 22. Sejam a um número racional e C< um número irracional. Se x = a + C< fosse racional, então C< = x - a seria racional (por ser a diferença de dois racionais), o que é absurdo. Assim, concluímos que a + C< é irracional. Prove, do mesmo modo, que a - Q e C< - a são irracionais. 23. Sejam C< irracional e a # O racional. Se x = ac< fosse racional, o mesmo seria verdade de Q = x/a, o que é absurdo. Capítulo 1: Os números reais 11 25. Lembramos que (x + y)(x - y) = X2 - y2 Se um dos Ukfatores, digamos, x + y, fosse racional, então x - y também O seria, pois x - y = (x2 - y2)/(x + y). Então, x e y também seriam racionais, pois x = (x + y) + (x - y) 2 (x+y)-(x-y) e y = .. 2 o leitor deve repetir o raciocínio supondoz - y racional. 26. Sugestão: Suponha que os expoentes SI, ... S( sejam ímpares e os demais são pares. Pelo exercício anterior, ~ é irracional. Noções sobre conjuntos Coletamos aqui as noções básicas de conjuntos que serão utilizadas em nosso estudo. Várias delas, certamente, já são do conhecimento do leitor. Todos os conjuntos sob consideração serão conjuntos de números reais, isto é, subconjunios de R. A notação "x E Il" significa que x é um elemento de A e se lê ":I: pertence a A". A negação disto é "x ti- A. Quando todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B, ou que "A está incluso em B", e a notação é "A C B". Observe que podemos ter simultaneamente A C B e B C A, isto significando igualdade de conjuntos, que se escreve "A=B". Diz-se que A é um subcotijunio próprio de B se A C B, porém A =1= B, isto é, existe algum elemento de B que não está em A. Dados dois conjuntos Il e B, define-se a união A U B como o conjunto de todos os elementos fine estão em pelo menos um dos conjuntos li r n, COlHO ilustra o diagrama da Fig. l.la; a interseção A n B é definida como o conjunto de todos os elementos que estão em A e em B simultaneamente (Fig. 1.Ib). Pode acontecer que A e B não tenham elementos comuns, em cujo caso A n B não teria significado. Exceções como essa são evitadas com a introdução do conjunto vazio, indicado com o símbolo 4>; ele é o conjunto que não tem elemento algum. Especificação de conjuntos Um conjunto pode ser definido pela simples listagem de seus elementos entre chaves ou pela especificaçâo de uma propriedade que caracterize seus elementos. Assim, A = {1,3, 5, 7} é o conjunto dos quatro números ímpares de 1 a 7; 14 Capítulo 1: Os números reais Sugestões e soluções 1. Para mostrar que o primeiro membro está contido no segundo, seja x E A U B. Então, ou x E A, ou x E B, ou ambos. Se x E A, então x E B LiA; e também, se x E B, x tem de estar em B U A. Fica assim provado que A U B C B U A. Do mesmo modo prova-se que B uA C A uB. Concluímos então que AuB = B U A. 3. Seja x E A U (B U C). Se x E A, então x E A u B, logo, x E (A u B) U C; e se x E B UC, há duas possibilidades a considerar: x E B ou x E C. x E B implica x E A U B, logo, x E (A u B) u C; e x E C também implica x E (A U B) u C. Fica assim provado que A U (B U C) C (A U B) U C. A demonstração de que (A U B) U C C A U (B U C) é inteiramente análoga. 8. x E B - A *> x E B e x ri. A ç,} x E B e x E AC *> x E B n AC• Isto significa que x E B -A *>x E BnAc, ou seja, B-A = BnAc. 9. x E (A u B)" *> x ri. A u B ç,} x ri. A e x ri. B *> x E AC e x E~Bc *> x E AC n BC• Conjuntos finitos e infinitos O estudo sistemático dos conjuntos, que acabou levando a uma teoria axiomática desse campo de estudos, começou com Georg Cantor (1845-1918), por volta de 1872. Nessa época, Cantor estava iniciando sua carreira profissional e se ocu- pava do estudo da representação de funções por meio de séries trigonométricas. \ Isto fez com que ele investigasse os conjuntos de pontos de descontinuidade de . tais funções, os mais simples dos quais são conjuntos com apenas um número. finito de pontos. Mas o aparecimento de conjuntos cada vez' mais complica-' dos acabou levando Cantor a investigar conjuntos infinitos em sua generalidade. Nesse .estudo ele introduziu um conceito simples, que logo se revelaria da maior importância - o conceito de equivalência de conjuntos. Segundo Cantor, dois conjuntos são equivalentes, ou têm a mesma cardinali- dade, ou a mesma potência, quando é possível estabelecer uma correspondência que leve elementos distintos de um conjunto em elementos distintos do outro, to- dos os elementos de um e do outro conjunto sendo objeto dessa correspondência. Em termos precisos, a correspondência de que estamos falando chama-se bijeção. (Veja a definição de bijeção na p. 102.) Escreveremos A •....•B para indicar que existe uma bijeção entre A e B. . Observe que é essa noção de equivalência que dá origem ao conceito abstrato de número natural. De fato, o que faz uma criança de quatro ou cinco anos ele idade constatar que numa cesta há três laranjas, noutra três maçãs, e noutra ainda três ovos? Ela chega a essas conclusões - mesmo sem perceber - por constatar que é possível "casar" os elementos de qualquer uma dessas cestas com os elementos de qualquer outra de maneira biunívoca. É essa abstração dos elementos concretos dos conjuntos equivalentes ele diferentes objetos que nos leva a formar a noção de número natural, um fenômeno que ocorre muito ceelo em nossas vidas. Capítulo 1: Os números reais 15 Assim, denotando com Fn o conjunto dos primeiros números naturais, F" = {l, 2, 3, ... n}, é precisamente o fato de um conjunto A ser equipo tente a Fn que nos faz dizer que A tem n elementos, ou tem o mesmo número de elementos que F". Daí definirmos: um conjunto .fi se diz [inilo quando existe um número natural n tal que A seja equipotente ao conjunto Fn. Um conjunto se diz infinito quando não for finito. No caso de conjuntos finitos, serem equivalentes corresponde a terem o mesmo número de elementos, de sorte que o conceito de cardinalidade é o re- curso natural para estender, a conjuntos infinitos, o conceito de "número de elementos de um conjunto". Diz-se que dois conjuntos quaisquer A e IJ têm a mesma cardinalidade, ou o mesmo número de elementos, se eles forem equipotentes. Como se vê, essa definição, no caso de conjuntos finitos, não traz nada de novo; mas estende, para conjuntos infinitos, a noção de "número de elementos de um conjunto". Tais números são os chamados números transfinitos. Conjuntos enumeráveis O primeiro conjunto infinito com que nos familiarizamos é o conjunto-N dos números naturais. Chama-se conjunto enumerál'el a todo conjunto equivalente ·aN. Um dos primeiros fatos surpreendentes que surge na consideração de conjun- tos infinitos diz respeito à possibilidade de haver equivalência entre um conjunto e um seu subconjunto próprio. Por exemplo, a correspondência n I-> 2n, que ao 1 faz corresponder 2, ao 2 faz corresponder 4, ao 3 faz corresponder 6, etc., estabelece equivalência entre o conjunto elos números naturais e o conjunto elos números pares positivos. Veja: o conjunto elos números pares positivos é um subconjunto próprio do conjunto N; no entanto, tem a mesma cardinalielade que N, ou seja, o mesmo número de elementos. Este fenômeno é uma peculiaridade dos conjuntos infinitos e em naela contradiz o que já sabemos sobre conjuntos finitos .' A enumerabilidade do conjunto Q Se é surpreendente que o conjunto N seja equivalente a vários de seus subcon- juntos próprios, mais surpreendente é que o conjunto Q dos números racionais também seja equivalente a N, isto é, seja enumerável. De acordo com o Exerc. 4 adiante, para provar isso é suficiente trabalhar com o conjunto Q+ dos racionais positivos. Começamos reunindo as frações em grupos, cada grupo contendo aquelas que são irredutíveis e cuja soma do 16 Capítulo 1: Os números reais numerador com o denominador seja constante. Por exemplo, 1 2 3 4 5 6 6' 5' 4' 3' 2' 1 é o grupo das frações com numerador e denominador somando 7, enquanto 135 7' 5' 3' 7 1 é o grupo correspondente à soma 8. Observe que cada grupo desses tem um número finito de elementos. Basta então escrever todos os grupos, um após outro, na ordem crescente das somas correspondentes, e enumerar as frações na ordem em que aparecem. É claro que todos os números racionais aparecerão nessa lista: 1 2 1 3 1 2 3 4 1 5 i' 2' i' 3 ' i' 4' 3' 2' i ' "5' i'··· Números irracionais O primeiro número irracional com que nos familiarizamos, ainda no ensino fun- damental, é o número 7r, razão do comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro -".Mas, como a demonstração da irr acionalidade desse número está fora do alcance da Matemática do ensino fundamental e médio,o aluno é apenas informado de que a expansão decimal desse número é innniÚl. e não periódica. Um pouco mais tarde, ainda no ensino fundamental, o aluno trava conheci- mento com os radicais; e, novamente, é apenas informado de que números como ,;2, V3, etc., são números irracionais (embora esteja perfeitamente ao seu al- cance entender a demonstração de irracionalidade de ,;2 que fizemos atrás, bem como outras demonstrações dadas nos exercícios). Esse "aprendizado" dos números irracionais pode deixar no aluno a im- pressão de que números irracionais são o 7r e alguns radicais; e ele talvez até forme a idéia de que o conjunto desses números seja bem reduzido, no máximo enumerável. Mas isto não é verdade; trata-se de um conjunto infinito e não enumerável (Exerc. 7 adiante), fato este que segue como conseqüência da não enumerabilidade do conjuri.to dos números reais, que provaremos a seguir. ~ A não enumerabilidade do conjunto R Vimos, um pouco atrás, que o conjunto Q é enumerável. Isto poderia até sugerir que todos os conjuntos infinitos fossem enumeráveis, .como de fato se acreditava fosse verdade. Em 1874 Cantor surpreendeu o mundo matemático com uma de suas primeiras descobertas importantes sobre conjuntos, a de que o conjunto dos números reais não é enumerável, ou seja, tem cardinalidade diferente da do conjunto N dos números naturais. Capítulo 1: Os números reais 19 Grandezas incomensuráveis Historicamente, a primeira evidência da necessidade dos números irracionais ocorre com a idéia de "incomensurabilidade", que explicaremos logo adiante. Comecemos lembrando que na Grécia antiga, os únicos números reconhecidos como tais eram os números naturais 2, 3, 4, etc. O próprio 1 não era considerado número, mas a "unidade", a partir da qual se forrnavarrr os números. As" frações só apareciam indiretamente, na forma de razão de duas grandezas, como, por exemplo, quando dizemos que o volume de uma esfera está para o volume do cilindro reto que a circunscreve como "2 está para 3. Os números que hoje chamamos de "irracionais" também não existiam na Matemática grega. Assim como as frações, eles iriam aparecer indiretamente, também como razões de grandezas da mesma espécie, como comprimentos, áreas ou volumes; e, ao que parece, foram descobertos no século V a.C. Não sabemos se essa descoberta foi feita por um argumento puramente numérico, como o da demonstração da p. 8; pode ser que os gregos tenham utilizado alguma cons- trução geométrica, como a que vamos descrever adiante, envolvendo a diagonal e o lado de um quadrado. \ A medição de segmentos Para bem entender essa questão, comecemos lembrando o problema de comparar grandezas da mesma espécie, como dois segmentos de reta, duas áreas ou dois volumes. Por exemplo, no caso de dois segmentos retilíneos AB e CD, dizer que a razão AB IC D é o número racional tn l n , significa que existe um terceiro segmento E F tal que A B seja m vezes E F e C D n vezes esse mesmo segmento EF. Na Fig. 1.3 ilustramos essa situação com m = 8 e n = 5. A l!I AB 8 =- CD 5 I I C {) F. F Fig. 1.3 Note bem que AB e C D são segmentos, não números. É por isso que "razão" não é o mesmo que "fração". Os gregos não usavam "frações", apenas "razões". E não escreviam A B 1C D para indicar a razão de dois segmentos. Mesmo nos dias de hoje costuma-se escrever AB : C D = m : n, e dizer "AB está para C D assim como m" está para n". Quando indicamos a razão com AB 1C D, em vez de AB : C D, não devemos confundi-Ia com fração. 20 Capítulo 1: Os números reais No tempo de Pitágoras (580-500 a.C. aproximadamente) - e mesmo durante boa parte do século V a.C. -, pensava-se que dados dois segmentos quaisquer, AB e CD, seria sempre possível encontrar um terceiro segmento EF contido um número inteiro de vezes em AB e outro número inteiro de vezes em C D, situação esta que descrevemos dizendo que EF é um submúltiplo comum de AB e CD. Uma simples reflexão revela que essa é uma idéia muito razoável; afinal, se EF não serve, podemos imaginar um segmento menor, outro menor ainda, e assim por diante. Nossa intuição geométrica parece dizer-nos que há de existir um certo segmento E F, talvez muito pequeno, mas satisfazendo aos propósitos desejados. Na Fig. 1.4 ilustramos uma situação com segmento EF bem menor que o da Fig. 1.3. O leitor deve ir muito além, imaginando um segmento EF tão pequeno que nem se possa mais desenhar, para se convencer, pela sua intuição geométrica, da possibilidade de sempre encontrar um submúltiplo comum de AB e CD. A B I IIII1 I II I I I I I I I I I I I I I I I 1I I I I I c () AB 29-- -- CD 26 ~ 1 I I I I II I J I I I I I I I I I I I 1I I I I I I I ,Fig.lA Dois segmentos nessas condições são ditos comensuráveis, justamente por ser possível medi-Ios ao mesmo tempo. com a mesma unidade E F. Entretanto, não é verdade que dois segmentos quaisquer sejam sempre comensuráveis. Em outras palavras, existem segmentos AB e CD sem unidade comum EF, os chamados segmentos incomensuráveis. Esse é um fato que contraria nossa in- tuição geométrica, e por isso mesmo a descoberta de grandezas incomensuráveis ~a antigüidade foi motivo de muita surpresa para todos os matemáticos daquela '(\ ~o~ ~t , ,~' Segmentos incomensuráveis \ ç. 1\/\ n! /'., I'r) ,J ' f , '-<. O lj"-' ( ;,.'f , vV (,,\7\ a: Foram os próprios pitagóricos que descobriram que o lado e Va diagonal de um quadrado são grandezas incomensuráveis. Isso aconteceu provavelmente entre 450 e'400 a.C. Vamos descrever, a seguir, um argumento geométrico que demons- tra esse fato. A Fig. 1.5 ilustra um quadrado cuja diagonal é denotada por ó = AB e cujo lado é ,\ = AC. Suponhamos que ó e À sejam comensuráveis. Então existirá um terceiro segmento (J' que seja um submúltiplo comum de ó e '\. Fazemos agora a seguinte construção: traçamos o arco C D com centro em A e o segmento Capítulo 1: Os números reais 21 c ·Fig. 1.5 F ED tangente a esse arco em D, de sorte que AD ~ AC. Então, nos triângulos retângulos AGE e ADE, os cate tos AG e AD são iguais, e como a hipotenusa AE é comum, concluímos que são também iguais os cate tos CE e DE (= BD). Portanto, ó = AB = AD + BD = À + BD, ,\ = BC = BE + Ec:' = BE + BD, ou seja, Como o segmento (T é submúltiplo comum de {j e À, concluímos, por (1.1), que (T também é submúltiplo de B D. Daqui e de (1.2) segue-se que (T também é subinúltiplo de B E. Provamos assim que, se houver um segmento (T que seja submúltiplo comum de ó = AB e À = AC, então o mesmo segmento (T será submúltiplo comum de B E e B D, segmentos esses que são a diagonal e o lado do quadrado B D E F. Ora, a mesma construção geométrica que nos permitiu passar do quadrado original ao quadrado B D EF pode ser repetida com este último para chegarmos a' um quadrado menor ainda; e assim por diante, indefinidamente; e esses quadrados vão-se tornando arbitrariamente pequenos, pois, como é fácil ver, as dimensões de cada quadrado diminuem em mais da metade quando passamos de um deles a seu sucessor. l2.essa maneir.§,. proyarn.g;;· que o segmento (T deverá ser slIbmlÍltiplo comum do lado e da diagonal de 11m qtladrado tão pequeno quanto desejemos. 9pe é absurdo. Somos, pois, levados a > rejeitar a suposição inicial de comensurabilidade de AC e AB. Concluímos, pois, que o lado e a diagonal de qualquer quadrado são grandezas incomensuráveis, (1. l) :\~ .:.-I (1.2) 24 Capítulo 1: Os números reais c R Fig. 1.8 são os lados de um retângulo áureo, e (1.5) é a razão áurea rP já encontrada anteriormente. É interessante notar que se C1 divide AB em média e extrema razão, e se marcarmos no segmento AB os pontos C2, C3, C4,"" de tal maneira que AC2 = ClB, AC3 = C2Cl, AG4 = C3C2, (Fig. 1.9), então Cn divide AGn-l em média e extrema razão, n = 2, 3, 4, Este resultado segue do que já provamos sobre a seqüência infinita de retângulos áureos, donde segue também que os segmentos AGI e GlB da divisão áurea de AB são incomensuráveis. (Veja o Exerc. 2 adiante e o Exerc. 22 da p. 63.) A B Fig. 1.9 Exercícios L Utililzando o Teorema de Pitágoras e ofato de que o lado e a diagonal de um quadrado são grandezasIncomensuráveis, prove que não existe número racional cujo quadrado seja: 2, 2. Pro~e" geometricamente, que os lados de um retângulo áureo são grandezas incornen- suraveis. ( 3. Desenhe um pentágono regular de lado I e diagonal d. Prove que d]] é a razão áurea (donde segue que esses segmentos são incomensuráveis), (?\Prove, geometricamente, que o lado e a diagonal de um pentágono regular são incomen-\J . 'suraveis. 5. Dado um segmento AB de comprimento a, construa geometricamente um retângulo áureo com lado menor igual ao segmento AR. 6, Utilize a construção do exercício anterior 'para construir, geometricamente, o ponto C que faz a divisão áurea do segmento A B, Sugestões 1. Tome um quadrado de lado unitário e aplique o teorema de Pitágoras. 2. Com referência à Fig. 1.8, suponha que existam um segmento a e números inteiros a e b satisfazendo a condição: AD = (a + b)a e AR = bo: Em conseqüência, todos os números da seqüência (1.4) seriam inteiros. Termine a demons- tração. Capítulo 1: Os números reais 25 3. Sejam ABC DE o pentágono, F e C as interseções das diagonais AD e AC com a diagonal BE. Prove que os triângulos ABE e BCA são semelhantes e utilize essa semelhança. 4. As diagonais de um pentágono regular formam um pentágono regular menor. Raciocine como no caso do quadrado discutido no texto. 5. Sejam ABC D um quadrado, e E o ponto médio de AB. Marque o ponto F no prolonga- mento de AB, de forma que EF = EC ..Aplique o Teorema de Pitágoras ao triângulo EBC e obtenha (a + b)a = ab, mostrando que o retângulo de lados AB e AF é áureo. A ·crise dos incomensuráveis e sua solução A descoberta de grandezas incomensuráveis foi feita pelos próprios pitagóricos; e representou um momento de crise na l\Iatemática, como explicaremos a seguir. Devemos lembrar que Pitágoras notara certas relações numéricas envolvendo o comprimento de uma corda musical e o som por ela emitido. Ao que parece, ele fez observações semelhantes com relação a outros fenômenos, intuindo daí que o número fosse de fato a essência de todos os fenômenos, permeando a Natureza inteira. Sendo assim, era de se esperar que a razão de dois segmentos de reta pudesse sempre ser expressa como a razão de dois números (naturais). Como vimos na p. 19, dizer que a razão de dois segmentos A e B é a fração m/ n significa dizer que existe um segmento a tal que A = mcr e B = no . Ora, com a descoberta dos incomensuráveis, ficou claro que isso nem sempre .seria possível. Como então poderia o número ser o fundamento de todos os fenômenos naturais, se nem sequer eram suficientes para exprimir a razão de dois segmentos? A teoria das proporções Para nós hoje é fácil perceber que a crise dos incomensuráveis seria resolvida com a introdução, na Matemática, dos números fracionários e dos números irra- cionais. Mas os gregos tomaram. outro caminho, inventando um modo de falar em igualdade de razões mesmo no caso de grandezas incomensuráveis. Com isso criaram toda uma teoria das proporções que só dependia dos números naturais." O criador dessa teoria, exposta no Livro V dos Elementos de Euclides.P foi Eu- doxo (408-355 a.C. aproximadamente), matemático e astrônomo ligado à escola de Platão. Como já observamos, os gregos não definiam "razão"; trabalhavam com esse conceito como se fosse um "conceito primitivo". Bastava-lhos saber o significado da igualdade de d~as razões, e isso era feito em termos dos números naturais. Assim, no caso de dois segmentos comensuráveis A e B, Eudoxo deve ter perce- bido que dizer que A está para B assim como m está para n equivale a dizer que "Veja nosso artigo na Rf'M 7. 5Veja a nota sobre o conteúdo dos Elementos de Euclides no final do capítulo. 26 Capítulo 1: Os números reais nA = mE (veja o Exerc. 3 adiante). Então, no caso de quatro segmentos, dizer que A está para E assim como C está para D deveria significar a existência de dois números m e n tais que nA =mB e nC =mD. No caso em que A e B forem incomensuráveis, igualdades do tipo nA =t)~B nunca ocorrerão. Mas, dados dois números m e n, podemos sempre testar se nA>mB, nA=mB ou nA<mB; e igualmente, se nC>mD, nC=mD ou nC<mD; Pois bem, esse teste é o que Eudoxo utiliza para dar uma definição de igualdade de duas razões, A ; B e C ; D, que se aplique sempre, sejam os segmentos comensuráveis ou não. 1.2. Definição (do Eudoxo), Dadas quatro qnnulezas da mesma espécie, A, B, C e D (segmentos, áreas ou volumes), diz-se que A está para B assim como C está para D se, quaisquer que sejam os nÚmeros m en , se tenha: nA> mB Ç} nC > inD; nA = mB Ç} nC == mD; (Y\A < mB Ç} nC < mD. Observe, pelo Exerc. 3 adiante, que no caso em que A e B são cornensu- ráveis, A ; E = m ; n equivale a dizer que nA = mB. Então, de acordo com a Definição de Eudoxo, no caso comensurável, dizer que A ; B = C ; D equivale a dizer que nA = rnB Ç} nC = mD. No caso incomensurável, estas igualdades nunca acontecem; mas Eudoxo continua definindo a igualdade A ; B = C ; D desde que, para todos os números m e n, nA> mB Ç} nC > mD e nA < mB Ç} nC < mD. Desenvolvimento posterior da Matemática Com sua definição de igualdade de duas razões, Eudoxo constrói a teoria das pro- porções, utilizando apenas os números inteiros. Embora tenha sido uma solução genial da crise dos incomensuráveis, ela atrasou por mais de mil anos o desen- volvimento da Aritmética e da Álgebra, pois subordinou essas disciplinas aos estudos de Geometria, como retrata muito bem a exposição feita nos Elementos de Euclides. Capítulo 1: Os números reais 29 5. Imite a demonstração anterior, começando com r2 > 2 e procurando determinar 8 = r-l/n tal que 82 > 2. Veja: 2r n Dedekind e os números reais Vários matemáticos do século XIX cuidaram da construção dos números reais, dentre eles Richard Dedekind, Karl Weierstrass, Charles Méray e Georg Cantor. Mas as teorias dos números reais que permaneceram foram a de Dedekind e a de Cantor. Exporemos, nesta seção a construção de Dedekind, e no capítulo seguinte a de Cantor. Não faremos uma exposição tecnicamente detalhada, antes vamos nos concentrar nas idéias de Dedekind, procurando dar uma boa com- preensão de todo o seu trabalho, principalmente da propriedade de completude dos números reais, expressa nos Teoremas 1.5 e 1.7 adiante. Richard Dedekind (1831-1916) estudou em Côttingen, onde foi aluno de Gauss e Dirichlet. Em 1858 tornou-se professor em Zurique, transferindo-se em 18fi2 para Brnnuschwoig (ali Brunswíck), sua terra natal, onde permaneceu pelo resto de sua vida. Ele conta que no início de sua carreira em ·1858, quando teve de ensinar Cálculo Diferencial, percebeu a falta de uina fundamentação adequada para os números reais, principalmente quando teve de provar que uma função crescente e limitada tem limite (Teorema 4.14, p. 114). E é também ele mesmo quem conta que foi buscar inspiração para sua construção dos números reais na antiga e engenhosa teoria das proporções de Eudoxo. Assim, em 1887 ele escreve: " ... e se interpretamos número como razão de duas grandezas, há de se convir que . tal interpretação já aparece de maneira bem clara na célebre definição dada por Euclides sobre igualdade de razões. Aí reside a origem de minha teoria ( ... ) e muitas outras tentativas de construir os fundamentos dos números reais". Cortes de Dedekind Observe que a definição de Eudoxo associa, a cada par de grandezas, digamos (A, B), dois conjuntos de pares (m, n) de números naturais: o conjunto E ("E" de esquerda) dos pares para os quaismB < nA (que fariam m ln < AI B se AI B tivesse significado numérico) e o conjunto D ("D" de direita) dos pares para os quais mB > nA (que fariam AI B < mf n. se A.I B tivesse significado numérico). Inspirando-se na definição de Eudoxo, Dedekind parece ter notado que o procedimento do sábio grego leva a uma separação dos números racionais em dois conjuntos. Assim, qualquer número racional r efetua um "corte" ou separação de todos os demais números racionais no conjunto E dos números menores do 30 Capítulo 1: Os números reais que T e no conjunto D dos números maiores do que r; O próprio número T pode ser incluído como o maior elemento de E" ou o menor elemento de D. Mas, além desses "cortes" , há outros, como exemplifica O clássico caso de -/2. O processo de encontrar a raiz quadrada de 2 conduz à separação dos números racionais em dois conjuntos: o conjunto E das raízes quadradas aproximadas por falta (aí incluídos o zero e os racionais negativos), e o conjunto D das raízes aproximadas por excesso. Só que agora esse corte não tem elemento de separação; de fato, já vimos (Exercs. 4 e 5 atrás) que o conjunto das raízes por falta não tem elemento máximo e o conjunto das raízes por excesso não tem elemento mínimo. No modo de ver de Dedekind, o número irracional J2 deve ser criado como elemento de separação entre os conjuntos desse corte. Dedekind generaliza esse procedimento, primeiro definindo corte de maneira geral, no conjunto Q dos números racionais. • 1.3. Definição. Entenderemos pOT"corte (ou "corte racional"), todo par (E, D) de conjuntos não vazios de números racionais, cuja união é Q, e tais que todo elemento de E é menor que todo elemento de D. -; (Essa definição permite provar (Exerc. 1 adiante) que o conjunto E é uma semi-reta para -00 e o conjunto Duma semi-reta para +00.) Em seguida Dedekind postula que todo cortepossui elemento de separação, que tanto pode ser incorporado a E como o seu maior" elemento, ou a"D como o seu menor elemento. Suporemos que o elemento de separação seja sempre incorporado a D. Assim, em todo corte, o conjunto D tem mínimo; e os cortes que não são determinados por números racionais dão origem aos números irracionais. Dedekind observa que a existência de cortes sem elementos de separação no conjunto Q dos números racionais é a expressão aritmética da descontinuidade de Q, ao passo que, com a adjunção dos novos elementos - - os números irra- cionais - obtemos o conjunto R dos números reais, que, ao contrário de Q, é agora um "contínuo numérico", pois os irracionais vêm preencher as "lacunas" de descontinuidade então existentes em Q. A relação de ordem Mas não basta apenas juntar a Q os novos elementos para obter R. Este conjunto precisa ter a estrutura que dele se espera, daí termos de definir as operações usuais de adição, multiplicação, etc., e a relação de ordem. E fazer isso de maneira a também provar as propriedades usuais desses números, que já co- nhecemos e usamos desde o ensino fundamental. No que diz respeito à relação de ordem, por exemplo, devemos introduzi-" Ia em R de forma a preservar a ordem já existente entre os racionais. Para isto, sejam Ct e f3 dois números reais quaisquer, caracterizados pelos cortes que Capítulo 1: Os nlÍmeros reais 31 determinam no conjunto Q. Assim, a = (El, Dd e (3 = (E2, D2). Dizemos que a = (3 se El = E2 e a < (3 se El éum subconjunto próprio de E2. Essa ordem, de fato, preserva a ordem já existente em Q, pois se a e (3 forem ambos racionais, a definição que acabamos de dar de que ü < (3 significa que todo valor aproximado por falta de a também o é de (3, mas este tem valores aproximados por falta superiores a todos os de a, que é exatamente como deve ser para preservar a ordem preexistente em Q. Operações com números reais Além da relação de ordem, é necessário definir a adição e a multiplicação de números 'reais, os inversos aditivo e multiplicativo, e demonstrar todas as pro- priedades já conhecidas para os números racionais, bem como demonstrar que tudo o que já valia no conjunto Q permanece válido dentro da nova estrutura de R. Não é nosso objetivo desenvolver aqui todo esse programa. Daremos uma idéia de como isso é feito no caso da adição, indicando ao leitor o capítulo 1 do livro de Rudin, ou o capítulo 28 do livro de Spivak (veja a bibliografia no fim do livro) para um tratamento completo desses tópicos. Notamos que, para simplificar, nessas duas referências o conceito de corte é identificado com apenas o conjunto E das aproximações por faltado número que ele define. De fato, isto é suficiente, como no caso de v'2, cuja caracterização é completa com apenas as raízes aproximadas por falta, que determinam também as raízes por excesso. A maneira natural de definir a soma de dois números reais a = (El, Dd e (3 = (E2, D2) consiste em construir o par (E, D) = a + (3, onde E é o conjunto das somas de elementos de El com elementos de E2, e D o conjunto das somas de elementos de DI com elementos de D2. Todavia, para facilitar as demonstrações, é mais conveniente adotar a definição dada a seguir. 1.4. Definição. Dados os números reais a = (El, DI) e (3 = (E2, D2), definimos sua soma a + (3 como sendo o corte (E, D), onde e D é o conjunto dos demais números racionais. A primeira coisa que temos a fazer após uma definição como esta é provar que o par (E, D) é de fato um corte, isto é, que E e D não são vazios, e que se x E E e y E D, então x < y. Ora, que E i- <p segue do fato de que E1 i- <p e E2 i- fjJ, de forma que existe algum x + y E E. Para provar que D =F fjJ notamos que, tomando x E DI e y E D2, a soma x + y E D, pois x + y é maior que todo elemento de E. , Finalmente temos de provar que todo elemento de E é menor que todo , ..' elemento de D. Para isto, sejam x E E e y E D. Suponhamos, por absurdo, 34 Capítulo 1: Os números reais Este último exemplo ilustra uma situação interessante: o conjunto é limitado superiormente, não tem máximo, mas tem cota superior mínima. Isto sugere a definição de supremode um conjunto, mediante uma das seguintes proposições (que são equivalentes, como veremos logo a seguir): 1.6. Definição. Chama-se supremo de um conjunto C à menor de suas cotas superiores. Chama-se supremo de um conjunto C ao número S que satisfaz as duas condições seguintes: a) c::; S para todo c E C; b) dado qualquer número é> 0, existe um elemento c E C tal que S - é < c. Para vermos que a segunda definição é equivalente à primeira, basta notar que seu item a) nos diz que S é cota superior de C, e o ítem b) está afirmando que não há outra cota menor do que essa; logo, ela é a menor de todas. Uma pergunta natural que se põe é a de saber se todo conjunto limi tado superiormente tem supremo. A resposta, dada a seguir, é afirmativa. 1.7. Teorema.. Todo conjunto não vazio de números reais, que seja /-i- mitado superiormente, possui supremo. (Esta é a propriedade do supremo que mencionamos atrás.) Demonstração. Seja C o conjunto em questão. Seja E o conjunto de todos os números reais o que sejam menores que algum elemento de C, e seja D o conjunto dos números reais restantes. Da própria definição de E e D, vê-se que (E, D) é um corte em R. Seja o o elemento de separação desse corte, portanto, ou o é o maior elemento de E ou o menor elemento de D. Mas o não pode pertencer a E, senão ele seria menor do que um elemento c E C, o mesmo sendo verdade de todos o~ elementos j3 entre Ct e c, donde j3 E E; e Cc não seria o elemento de separação de (E, D) (faça uma representação gráfica, para ajudar na compreensão). Assim, concluímos que o é o menor elemento de D, ou seja, a menor cota superior de C, como queríamos provar. Nessa demonstração não há como saber se o supremo é ou não o máximo do conjunto C. É claro que se o conjunto possui máximo, este é também o seu supremo. Mas o conjunto pode não ter máximo, como no exemplo dado em (1.6). Outro exemplo de conjunto cujo supremo não é máximo é qualquer intervalo aberto à direita, como . [-5, 12) = {x E R: -5::; x.< 12}, que não tem máximo, mas tem 12 como seu supremo. A parte b) da segunda definição de supremo nos diz que qualquer número à esquerda de S, isto é, S - é, terá algum elemento c de C à sua direita. Tal Capítulo 1: Os números reais 35 elemento c pode ser o próprio S, quando este for o máximo do conjunto. Por exemplo, o conjunto {2, 3, 9/2, 5, 6, 13/2, 7} tem supremo 7, que é também seu máximo. Dado e = 1/2, S - e será 13/2; e o único elemento do conjunto à direita de 13/2 é o próprio 7 . .A noção de ínfimo é introduzida de maneira análoga à de supremo. 1.8. Definição. Chama-se ínfimo de um conjunto C à maior de suas cotas inferiores; ou ainda Chama-se ínfimo de um conjunto C ao número s que satisfaz as duas condições seguintes; a) s :<s: c para todo c E C; b) dado qualquer número E: > O, existe um elemento c E C tal que c <s + e . Com a propriedade do supremo prova-se que todo conjunto não vazio de números reais, que seja limitado inferiormente possui ínfimo. (Exerc. 10 adi- ante.) Conjuntos não limitados à direita certamente não possuem supremos finitos. Convenciona-se considerar +00 como o supremo desses conjuntos. Analoga- mente, -00 é considerado o ínfimo dos conjuntos não limitados inferiormente. Observe que se nos ativermos ao conjunto dos números racionais, então não . seráverdade que todo conjunto limitado superiormente tenha supremo ou que todo conjunto limitado inferiormente tenha ínfimo. Já vimos isso com o exemplo clássico de v'2 no Exerc. 4 da p. 28. Observe também que agora, com a propriedade do supremo, podemos demonstrar que o número 2 possui ~aiz quadrada (Exerc. 13 adiante). Lembre- se do que foi dito na p. 8: a demonstração que lá fizemos foi apenas uma demonstração de que não existe número racional cujo quadrado seja 2. Mais do que isso, provamos agora que qualquer número positivo possui raiz n-ésima (Exerc. 14 adiante). Exercícios 1. Dado um corte (E, D), prove que se e E E e x < e, então x E E; e que se d E D e y > d, então y E D. Isso significa que E é uma semi-reta que se estende para -00 e que Duma semi-reta estendendo-se para +00. 2. Seja r um número racional. Prove que.o conjunto E dos números racionais menores do que r não tem máximo; e que o conjunto dos números racionais maiores do que r não tem mínimo. 3. Dados dois números reais quaisquer, Q e {3,prove a chamada lei da tricotomia, que diz: ou Q < {3,ou Q = {3ou Q > .3. ~rove que entre dois números reais distintos há urna infinidade de números racionais. Vrove que entre dois números reais distintos há urna infinidade de números irracionais. 36 Capítulo 1: Os números reais 6. Dados três números reais a, f3 e I, prove que a < f3 e f3 < 1 ~ a < I' 7. Dado um número real a = (E, D), defina o oposto -a tal que a + (-a) =O. 8. Prove que o número 1 é efetivamente o supremo do conjunto definido em (1.6), mostrando que, dado € > O, existe N tal que n 2: N =? 1 - é < n/(n + 1). 9. Considere o conjunto {1/m -1/n: m, n E N}. Prove que -1 e 1são o ínfimo e o supremo desse conjunto, respectivamente, e que eles não pertencem ao conjunto. 10. Prove que todo conjunto limitado inferiormente tem ínfimo. 11. Prove que a > 1 =? c" > a para todo inteiro n > l. 12. Prove que O< a < 1 =? a" < a para todo inteiro n > 1. 13. Use a propriedade do supremo para provar a existência da raiz quadrada positiva de 2. 14. Generalize o exercício anterior, isto é, use a propriedade do supremo para provar a existência da raiz n-ésima positiva de qualquer número a > O,a i 1. 15. Sejam A e B conjuntos numéricos não vazios. Prove que ACB=>infA2:infB e supA~supB. 16. Sejam A e B dois conjuntos numéricos não vazios, tais que a ~ b para todo a E A e todo b E B. Prove que sul' A ~ inf B. Com a mesma hipótese, prove ainda que sul' A = inf B *> qualquer que seja ê > O, existem a E A e b E B tais que b - a < e, 17. Sejam A e B dois conjuntos numéricos não vazios, limitados inferiormente, e r um número tal que r ~ a + b para todo a E A e todo s « B. Prove que r ~ inf A + inf B. Enuncie e demonstre resultado análogo para os supremos. 18. Dados dois conjuntos numéricos limitados A e B, definimos o conjunto A + B = {a + b: aE A, b E B}. Prove que sup(A + B) = supA + sul' B, e inf(A + B) = inf A + inf B. 19. Dado um conjunto numérico limitado A, e um número real qualquer a, definimos o conjunto o A = {aa: a E A}. Mostre então que sup(aA) = o sup A, inf(aA) = o inf A se a 2: O; e sup(aA) = a inf A se a < O. Em particular, sup( -A) = - inf A, ou ainda, sul' A = - inf(-A). Sugestões e soluções 1. Raciocine por absurdo. Veja bem, a negativa da primeira proposição dada é: existem um e E E e um x < e tal que x f/: E, donde x E D. Confronte isso com a definição de corte para encontrar o absurdo. 2. Tem-se de provar que, dado e E E, existe e' E E, e' > e. Para isso, seja e > O um número racional tal que e < r-e. Então, e' = e + é < e + (r - e) = r; logo, e' E E e e' > e. Demonstre a segunda parte. 5. Sejam a e f3 os números reais dados, com a < f3. Se a for racional, os infinitos números a + ../2/n, a + ../2/(n + 1), a + ../2/(n + 2), a + ../2/(n + 3), ... são todos irracionais; e estarão todos entre a e f3, desde que n seja suficientemente grande; por exemplo, basta que a + ../2/n seja menor do que f3, ou seja, n > ../2/(fJ - a). O leitor termine fazendo o caso em que a for irracional. Faça outro raciocínio, servindo-se do resultado do exercício anterior. 7. Seja d o elemento de separação no corte (E, D). d é o menor elemento de D. Sejam E' = D U {d} e D' = D - {d}. Prove que -a = (-D', -E') é realmente um corte, e que satisfaz a condição desejada. Lembre-se de que O= (A, B), onde A é o conjunto dos números racionais negativos e B é o conjunto dos números racionais 2: O. Capítulo 1: Os números reais 39 Deixamos ao leitor a tarefa de demonstrar, como exercícios, as outras de- sigualdades seguintes: Ia - bl ::; lal + Ibl; lal - Ibl ::; Ia ± bl Ibl-Ial::; Ia± bl; Ilal-lbll::; Ia±bl (1.8) (1.9) Uma importante propriedade dos números naturais é o princípio que enunciamos a seguir. Exercícios l. Prove as quatro desigualdades em (i.s) e (l.a). 2. Prove que se a desigualdade [u] - Ibl :'Õ Ia - bl é válida quaisquer que sejam a e b, o mesmo é verdade de Ia + bl :'Õ [c]+ Ibl· 3. Prove por induçâo que IUI + a2 + ... + anl :'Õ lad + 1021+ ... + lanl, quaisquer que sejam os números ali a2,··· I ano 4. Prove que 101+ a2 + ... + anl ~ 1011- la21-·.· - 10nl, quaisquer que sejam os números Sugestões e soluções l. A primeira desigualdade em (1.5) é conseqüência de (1.7) com -:b em lugar de b. Quanto à segunda com sinal negativo} observe, por (1.7), que x < r e - x < r Ç} Ixl < r. lal = I(a - b).+bl ::; Ia - bl + Ibl· Trocando b por -b obtemos a desigualdade com sinal positivo. A primeira desigualdade em (1.9) segue da segunda de (1.8) com a troca de a com b. Finalmente, a segunda desigualdade em (1.9) segue das duas últimas mencionadas; basta observar que 2. Faça a - b = c e observe que se a e b são arbitrários, o mesmo é verdade de b e c. 4. Observe que lal + a2 + ... + anl lal + (02 + ... + OnJl ~ lod - la2 +". + Onl ~ la1l - (1021+" ·10,,1) . la1l - la21- ". - la"l· Notas históricas e complementares Os Elementos de Euclides Temos muito pouca informação sobre Euc1ides, que teria vivido por volta do ano 300 a.C. E esse pouco que dele sabemos nos vem dos comentários de Proc1us (410-485), um autor que viveu mais de 700 anos depois de Euc1ides.· Mesmo Proclus tem dificuldade em determinar a 40 Capítulo 1: Os números reais época em que viveu Euclides. Euclides escreveu várias obras científicas, a mais famosa das quais, conhecida com o nome de "Elementos", é uma coletânea de 13 livros, reunindo quase todo o conhecimento matemático da época em que foi escrita. Em parte por causa disto, e também por tratar-se de uma obra de escol, que reunia a maior parte da Matemática entâo conhecida, as obras anteriores aos Elementos desapareceram. A única exceção são alguns fragmentos atribuídos a Hipócrates de Quio, que viveu no século V a.C. Assim, os Elementos de Euclides são praticamente tudo o que temos da Matemática grega que se desenvolveu desde seu início com Tales de Mileto, que viveu no século VI a.C., até o tempo de Euclides. Trata-se de um período de cerca de 250 anos, aliás, muito pouco tempo para que a Matemática, logicamente organizada, evoluísse do estágio embrionário em que se encontrava com Tales, até o alto grau de sofisticação que transparece nos Elementos. Nâo sabemos se Euclides escreveu os Elementos para uso no ensino, ou apenas para reunir o conhecimento matemático da época. Naquele tempo não havia a preocupação pedagógica dos dias de hoje, de sorte que Euclides alcançou os dois objetivos. E os Elementos foram muito usados no aprendizado da Matemática por mais de dois milênios. No século XIX já havia outros livros de Geometria, didaticamente mais adequados ao ensino, notadamente o livro de Legendre, que teve muitas edições em várias línguas, inclusive o português. Esse livro foi muito usado nas escolas brasileiras por quase todo o século XIX. (Veja nosso artigo "Legendre e o postulado das paralelas" na RPM 22.) Um equívoco que se comete com freqüência é pensar que os Elementos são uma obra apenas sobre Geometria. Na verdade, há muito de Aritmética e Álgebra em vários dos livros dos Elementos. O que é verdade - e isto explica, pelo menos em parte, a origem do equívoco -- é que a Mutenuitica grega na época em que Euclidcs COIllpÕSsua. obra, era toda ela geo- metrizada. De fato, como vimos atrás, a crise dos incomensuráveis e a genial solução que lhe deu Eudoxo, aliada a. urna excessiva preocupação com o rigor, encaminhou toda a Matcuuit.ica para o lado da Geometria. Isso se tornou' tão arraigado que até o início do século XIX os matemáticos costumavam ser chamados de "geômetr as". Era comum, por exemplo) referir-se a Ulll matemático como Henri Poincaré (1854-1912) como "o grande geõmetra francês", embora ele fosse um homem de cultura universal, em Matemática, Física, Filosofia e outros domínios do conhecimento. Ainda hoje certos professores de Matemática de universidades inglesas têm o título de "Professor of Geometry" . Um outro equívoco não menos freqüente é pensar que os fatos geométricos dos Elementos de Euclides sejam expressos numericamente como o são para nós hoje. Para exemplificar, enquanto para nós a área de um triângulo é dada por uma fórmula exprimindo metade do produto da base pela altura, para Euclides a área de um triângulo é metade da área' do pa ralelogramo que se obtém com a junção de dois triãngulos iguais ao triângulo dado; a área do paralelogramo é igual à área de um retângulo de mesma base e mesma altura, e assim por diante. Para nós, hoje, a área de um círculo é 7f1.2, mas para Arquimedes (287-212 a.C.), que viveu algumas décadas depois de Euclides, a área do círculo é igual à área de um triângulo de base igual ao comprimento da circunferência e altura igual ao raio do círculo. Para nós o volume da esfera é 47rr3/3, enquanto o que Arquimedes nos diz é que o volume da esfera está para o volume do cilindro circular reto a ela circunscrito assim como 2 está para 3; e isto é .informaçâo suficiente. Na Matemática 'grega, antes e durante o período helenístico, não havia fórmulas como é tão comum hoje em dia; tudo era dado em termos de proporções, como no caso do volume da esfera que acabamos de mencionar. E isso perdurou no Ocidente por mais um milênio após o declíneo da civilização helenística. o conteúdo dos Elementos Os Elementos, para nós hoje, são uma obra antes de tudo de valor histórico. Sua melhor versão Capítulo 1: Os números reais 41 é a tradução inglesa de Thornas L. Hoath (publicnd.i pela Editora Dover cm três volumes). Isto porque Heath enriqueceu sobremaneira a obra de Euclides com uma excelente introdução, além de inúmeros, valiosos e esclarecedores comentários. O volume I reúne os Livros I e II dos Elementos, o primeiro destes contendo uma boa parte da geometria plana, construções geométricas, teoremas de congruência, áreas de polígonos e o teorema de Pitágoras (que é a Proposição 47). Ainda no volume I de Heath encontra-se o Livro II dos Elementos, sobre o que se costuma chamar de "Álgebra geométrica". Por exemplo, a Proposição 4 desse Livro II é O equivalente, em linguagem geométrica, da propriedade que hoje conhecemos como "quadrado da soma" (igual ao quadrado do primeiro, mais o quadrado do segundo, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo). Euclides enuncia isto geometricamente assim: "se um segmento de reta é dividido em dois, o quadrado construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados sobre os segmentos parciais e duas vezes o retângulo construído com estes segmentos". Euclides nâo fala. ma." de cst.~\.se referindo a áreas, quando diz ~;:..é igual..." O volume II de Heath contém os Livros III a IX dos Elementos, tratando do círculo (Livro llI), construção de certos pollgonos regulares (Livro IV), teoria das proporções de Eudoxo (Livro V), Semelhança de figuras (Livro VI) e teoria dos nrneros (Livros VII-IX). Por exemplo, a Proposição 20 do Livro IX é o famoso teorerna: "existem infinitos números primos". Mas Eu- clides não fala "infinitos" , já que os gregos não admitiam o que Aristóteles chama de "infinito atual", apenas o chamado "infinito potencial". Em liuguagern de hoje ele diz o seguinte: "Dado qualquer conjunto (finito, entenda-se bem!) de números primos, existe algum número primo fora desse conjunto", E a demonstração, novamente, é geométrica. Segundo o matemático inglês Godfrey Harold Hardy (1877-1947). trata-se de uma das mais belas demonstrações da Matemática. Finalmente, o volume III de Heath contém os Livros X-XIII, onde são tratados a incomen- surabilidade, geometria espacial e os poliedros regulares. O leitor pode 'ler mais sobre os Elementos no excelente trabalho do Prof. João Bosco Pitombeira sobre essa obra, publicado como volume 5 dos Cadernos da RPM; ou no livro de Asgar Aaboe, intitulado "Episódios da História Antiga da Matemática", traduzido e publicado pela SBM. A Geometria dedutiva Foi no século VI a.C. que Tales de Mileto inaugurou na Matemática a preocupação demons- trativa. A partir de então a Matemática grega vai assumindo o aspecto de um corpo de proposições logicamentc ordenadas: cada proposição é demonstrada n partir de proposições anteriores, estas a partir de outras precedentes, e assim por diante, UI11 prOCC!:iSO que não teria fim. Mas os gregos logo perceberam isso e viram que era necessário parar o processo em certas proposições iniciais, consideradas evidentes por si meSOHLS; a partir destas todas aH outras são dernoustrudas. As proposições evidentes por si mosmns, silo hoje designadas, indiferentemente, "postulados" ou "axiomas". O aspecto mais importante dos Elementos é essa organização dos fatos, num admirável encadeamento lógico-dedutivo em que um reduzido número de proposições e definições iniciais são o bastante para se demonstrar, uns após outros, todos os teoremas considerados. Historicamente, os Elementos são a primeira corporificação desse "método axiornático", de que voltaremos a falar mais adiante. As geometrias não-euclidianas Embora muito admirado e aplaudido, o modêlo axiornático dos Elementos, no que se refere ao 52.postulado, ou postulado das paralelas, suscitou questionamentos .. Já na antigüidade vários matemáticos acreditavam que ele pudesse ser demonstrado com base nos outros postulados, e Capimlo 1: Os números reais conseqüência deste seu outro resultado, conhecido como o teorema da incompletude: se uma teoria formal abrangendo a Aritmética for consistente, ela necessariamente será incompleta, o que significa dizer que haverá alguma proposição sobre os inteiros que a teoria será incapaz de decidir ser verdadeira ou falsa. Seria errôneo pensar que os estudos de Fundamentos terminam com os resultados de Gôdel, ou que esses resultado, pelos seus aspectos negativos, condenam a Matemática a uma posição inferior no contexto do conhecimento humano. O resultado de Gõdel certamente mostra que é falsa a expectativa acalentada desde a antigüidade de que o conhecimento matemático, com seu caráter de certeza absoluta, possa ser ciscunscrito nos limites permitidos por um sistema axio- mático. Além de revelar as limitações do método axiomático, os resultados de Gõdel mostram, isto sim, que as verdades matemáticas, na sua totalidade, escapam aos figurinos formais dos sistemas axiomáticos. Hermann Weyl (1885-1955), que está entre os maiores matemáticos do século XX, disse, espirituosamente: Deus existe porque certamente a Matemática é consistente; e o demônio existe porque somos incapazes de provar essa consistência. Definição de corpo O leitor encontrará, em livros sobre estruturas algébricas exposições sobre a teoria de corpos. Daremos aqui apenas a definição de corpo, sem entrar em maiores detalhes. Um corpo (comututivo) é um conjunto não vazio C, munido de duas operações, chamadas adição e m·ultipl-icação, cada uma delas fazendo corresponder um elemento de C a cada par de elementos de C, as duas operações estando sujeitas aos axiomas de corpo listados a seguir. A soma de x e V de C é é indicada por x + y e a multiplicação de x e y é indicada por xV. OS axiomas de corpo são: 1-, (Associatividade) Dados quaisquer x, v, z E C, (x + V) + z = x + (y + z) e (xy)z = x(yz); 2. (Comutatividade) Quaisquer que sejam z , y E C, x + y = y + x e xy = yx; 3. (Distributividade da multiplicação em relação à adição) Quaisquer que sejam z , y, z E C, x(V+z) =xy+xz; 4. (Existência do zero) Existe um elemento em C, chamado "zero" ou "elemento neutro", indicado pelo símbolo "O", tal que x + O = x para todo x E C. 5. (Existência do elemento oposto) A todo elemento x E C corresponde um elemento z' E C tal que x + x' = O. (Esse elemento x', que se demonstra ser único para cada x, é indicado por -x.) 6. (Existência do elemento unidade) Existe um elemento em C, designado "elemento unidade" e indicado com o símbolo "1", tal que ·lx = x para todo x E C. 7. (Existência do elemento inverso) A todo elemento x E C, x t= O, corresponde um elemento z" E C tal que zz" = 1. Esse elemento x" , que se demonstra ser único para cada x, é indicado com X-I ou l/x. O corpo se diz ordenado se nele existe um subconjunto P, chamado o conjunto dos ele- mentos positivos, tal que: a) a sornae o produto de elementos positivos resulta em elementos positivos; b) dado x E C, ou x E P, ou x = O, ou ·-x E P. Capítulo 2 .. ~ SEQUENCIAS INFINITAS Intervalos Antes de entrarmos propriamente no assunto deste capítulo, vamos rever algu- mas definições sobre intervalos numàicos, que serão usadas neste e nos capítulos seguintes. Dados dois números a e b, com a <' b, chama-se intervalo aberto de extremos a e b, denotado por (a, b), ao conjunto (a, b) = {x E R: a < x < b}. Se incluirmos os extremos a e b no intervalo, então ele será denominado intervalo fechado e indicado COIll o símbolo [a, b]: [a,b]={xER: a:Sx:Sb}. o intervalo pode também ser semifechado ou semi-aberio, como nos exemplos seguintes: [-3,1) = {x E R: -3:S x < i}; (3, .51= {x E R: 3 < x :S 5}. Introduzindo os símbolos -00 e +00, podemos considerar todo o eixo real como um intervalo: (-00, +00) ={x: -00 < x < +oo}. Adotamos notação análoga para serni-eixos fechados ou abertos na extremidade finita, como [7, +00) = {x: 7:S x < +oo}; (-oc, 3) = {x: -00 < x < 3}. Sempre que nos referirmos aos intervalos (a, b), [a, b], (a, b] ou [a, b), a e b serão números finitos, com a < b. Seqüências infinitas Uma seqüência numérica al, a2; a3,.'" an,··· é uma função f, definida no conjunto dos números naturais N: f: n f-> f(n) = ano O número n que aí aparece é chamado o {ndice e an o n-ésimo elemento da seqüência, ou termo geral. Um 46 Capítulo 2: Seqüências infinitas exemplo de seqüência é dado pela seqüência dos números pares positivos, an = 2n, n = 1, 2, 3, ... A seqüência dos números ímpares positivos também tem uma fórmula simples para o termo geral, que é an = 2n -1, com n = 1, 2, 3, ... ; ou an = 2n + 1, com n 2: o. Mas nem sempre o termo geral de uma seqüência é dado por uma fórmula, embora, evidentemente, sempre haja uma lei de formação bem definida que permite determinar o termo geral da seqüência. É esse o caso das aproximações decimais por falta de V2, que formam a seqüência infinita a5 = 1,41421, a6 = 1,414213, ... aI = 1,4, a2 = 1,41, a3 = 1,414, a4 = 1,4142, Outro exemplo é a seqüência dos números primos, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, n 29, 31, 37, 41, ... ; Como é bem sabido, não existe fórmula para seu termo geral, mas todos os termos estão determinados. A notação (an) é muito usada para designar urna seqüência. Também se es- creve (an)nEN,. (aI, a2, a3,·.·) ou simplesmente an0 Alguns autores costumam escrever {an} em vez. de (an), mas preferimos reservar essa notação para o con- junto de valores da seqüência. Essa distinção é importante, pois uma seqüência possui infinitos elementos, mesmo que seu conjunto de valores seja finito. Por exemplo, a seqüência {an} = {-I, +l}. 1, -1, 1, -1, 1, -1, ... é infinita, com elemento genérico a" = _(_I)n = (-I)n-\.mas seu conjunto de valores possui apenas dois elementos, +1 e -1, de forma que, segundo conven- cionamos, Pela definição, uma seqüência (an) é indexada a partir de n = 1, de forma que aI é seu primeiro termo. Mas, às vezes, é conveniente considerar seqüências indexadas a partir de um certo n i' 1; é esse o caso da seqü~ncia an = ~, que só faz sentido para n = 6, 7, 8, ... , de forma que a6 é o primeiro termo dessa seqüência. Mas, mesmo nesses casos, com uma translação de índices, pode-se fazer com que a seqüência tenha primeiro índice n = 1. Assim, no exemplo que demos, é só definir bn = an+5 = v'Tl=l para que a seqüência fique definida a partir de n = 1. Capítulo 2: Scqiiêllcias inii nitns 49 particular que seconsidere, Ao contrário, se dermos um é muito grande, pode até acontecer que não haja qualquer condição no índice n; é o que acontece com é = 2 no exemplo que estamos considerando, que resulta em N = -6. O raciocínio usado em (2.2) permite escrever: . 12lan - 11< é <* n > - - 12. é No entanto, poderíamos também ter racionado assim: , 12 12 12lan - 11= -- < - < é <* n > ti + 12 n é (2.3) Mas então a equivalência indicada é apenas entre as duas últimas desigualdades, não sendo mais verdade que 12lan - 11< é <* n > O correto agora é a implicação (numa só direção) 12 n> - :} lan - 11 < é, é que também é suficiente para a comprovação de que 1 é o limite. Perdemos a implicação contrária por causa da primeira desigualdade em (2.3), em con- sequência do que 12/(n + 12) < é não implica n > 12/é; pode agora ocorrer 12/(n + 12) < é com n < 12/é, desde que seja n > 12/10 - 12. Veja: com é = 1/10, 12/10 = 120 e 12/10 - 12 =108. 2.3. Exemplo. Consideremos a seqüência / 3n an:= n + sen2n É fácil ver que seu limite deve ser 3. Para evidencia;1 isso dividimos o numerador e o denominador por n e notamos que (sen 2n)/n --+ O. Assim, 3 an = ---:----,--:--:- 1 + (sen 2n)/n O que fizemos foi descobrir o limite; devemos agora demonstrar que 3 é realmente o limite, usando a Definição 2.1. Começamos observando que lan - 31 = 31sen 2nl:s 3 :S 3 :S _3_, (2.4)In + sen 2nl In + senZn] n - [sen 2nl n - 1 50 Capítulo 2: Seqiiências infinitas as duas últimas desigualdades havendo sido obtidas graças às desigualdades [n + sen 2n 1 ~ n - [sen 2n 1 ~ n - 1. Fazendo agora intervir o número é, obtemos uma desigualdade fácil de resolver em n: 3 3lan - 31 ::; --.- < é <=> n > 1+ - n -1 é (2.5) de sorte que n> 1+ 3/c =? lan - 31 < é, (2.6) que estabelece o limite desejado. O leitor deve notar, nas passagens efetuadas em (2.4), que procuramos chegar a uma expressão simples, como 1/ (n - 1), para depois fazer intervir o é, obtendo então uma desigualdade fácil de resolver, como em (2.4). Não fizéssemos tais simplificações e teríamos de enfrentara. intratável inequação 31sen 2nl ..,.--'------'---, < é . In+ sen2nl É claro que as transformações feitas só permitem, em (2.6), a implicação no sentido aí indicado, que é suficiente para nossos' propósitos. 2.4. Exemplo. É fácil descobrir o limite do quociente de dois polinômios de mesmo grau, dividindo numerador e denominador pela maior potência de n. Assim, 3n2+4n 3+4/n an = n2 + n _ 4 = 1 + l/n - 4/n2 claramente tende a 3, já que 4/n, l/n e 4/n 2 tendem a zero. Para provar isso diretamente da definição de limite, notamos que, a partir de n = 2 (que implica n2 + n - 4> O), 1 1 - n + 12 n + 12an-3 - < on2+n-4 n2-4' e a partir de n = 12, n + 12::; 2n e 4 < n2/2, de sorte que n2 - 4> n2 - n2/2 = n2/2. Assim, 2n 4· lan - 31 < ?/2 = - < é,n- n desde que n seja maior que o maior dos números, 4/é e 12, isto é, n> N = max{4/é, 12}. Capítulo 2: Seqüências infinitas 51 Isso conclui a demonstração. Este último exemplo mostra, em particular, que, com n tendendo a infinito, os termos com maior expoente no numerador e no denominador são dominantes sobre os demais. Seqüências limitadas o cálculo de limites pode tornar-se mais e mais complicado, se insistirmos em fazê-Io diretamente da definição de limite. Felizmente, com essa definição pode- mos estabelecer as propriedades tratadas logo adiante, no Teorema 2.8, as quais permitem simplificar bastante 6 cálculo de limites. Demonstraremos primeiro dois teoremas de importância fundamental, o primeiro dos quais envolvendo a noção de "seqüência limitada". Diz-se que uma seqüência (an) é limitada à es- querda, ou limitada inferiormente, se existe um número A tal que A ::; an para todo n; e limitada à direita, ou limitada superiormente, se existe um número B tal que an ::; B para todo n. .Quando a seqüência é limitada à esquerda e à direita ao mesmo tempo, dizemos simplesmente que ela é limitada. Como é fácil ver, isso equivale a afirmar que existe um número AI tal que lanl ::; /lI para todo n. )t. 2.5. 'Teorema. Toda seqüência convergente.é limitada. Demonstração. Dadoqualquer z> 0, existe um índice N tal que n > N =} L - é < an < L + é, Isto nos diz que, a partir do índice n ='N + 1, a seqüência é limitada: à direita por L + é e à esquerda por L - e. Para englobarmos a seqüência inteira, basta , considerar, dentre todos os números aquele que é o menor de todos, digamos, A, e aquele que é o maior de todos, digamos, B; então será verdade, para todo n, que A::; an::; B, o que completa a demonstração. Podíamos também ter atalhado um pouco, como é costume, procedendo assim: seja " I f) " f ~ I fl 54 Capítulo 2: Seqüências infinitas logo, f/ã = 1 + hn, onde b-, é um número positivo conveniente. Utilizando a desigualdade d~ BernoulliJ_ teremos: ~~) [Y= (1 +hn)n 2: 1+3> ~hn. n".t:. E:-r Assim, »; = rf/ã -~<a/n e isso será menor do que quakluer_L>_~ado de antemão, desde que n > a/é. No caso O < a < 1, temos que l/a> 1, donde 1/ ifã:"" 1. Então, pelo item d) do Teorema 2.8, concluímos que f/ã -> 1. 2.10. Exemplo. vn -> 1. Ainda aqui temos que vn = 1 + hn, onde hn novamente é um número positivo conveniente. Mas agora a desigualdade de Bernoulli é insuficiente para nossos propósitos, pois, com ela, e essa desigualdade não basta para provar que hn tende a zero. Apelamos para a fórmula do binômio, que permite escrever, já que hn > O: n n(n - 1) 2 n n(n - 1) 2 n = (1 + hn) = 1 + nhn + 2' hn + ... + hn > 2 hn, donde h~ < 2/(n...., 1}. Agora sim, dado E; > O, 2/(n -1) será menor do que&! desde que n seja maior cio que 2/ é2 + 1 = N ,Conseqüentemente, . n > N =? I vn - 11 = h~ < E;, provando o resultado desejado. /~ Exercícios 1. Escreva os cinco primeiros termos de cada uma das seguintes seqüências: a) an = _n_;n+l n c) an = n2 + 1 ; (_1)" d) a" = --'-. n+2 2. Em cada um dos casos seguintes, são dados os primeiros termos de uma seqüência. Supondo que persista a tendência observada em cada caso, escreva a forma geral de cada uma das seqüências. a) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ... ; ;b)l, -1/2, 1/3, -1/4 ... ; c) 1, 1/4,· 1/9, 1/16, ... ; d) 1, -1/2, 1/6, -1/24, 1/120, ... 3. Use a Definição 2.1 para provar que a) lim ---.!!- = O; n- + 1 2n2 b) lim n' + 7 = 2; c) lim 3nvfn = 3.nvfn+5 Capítulo 2: Seqüências infinitas 55 4. Descubra o limite de cada uma das seqüências seguintes e,· em seguida, demonstre que o suposto limite satisfaz a Definição 2.1. n cosJn'I+7 a) an = n2 + 1 yTi(l+ 8yTi) 4,. - 1 ~ 5. (Unicidade do limite) Prove que uma seqüência só pode convergir para um único· limite. ~ 6. Prove que se a" tem limite L, então la"1 tem limite ILI. Dê exemplo de uma seqüência (an) tal que la"1 converge, mas não ano 7. Sejam (a,,) e (o") duas seqüências tais que Ia" - ai < Clb"l, onde a é um certo número real e C uma constante positiva. Usando a definição de limite, mostre que se b« -+ O então an --+ a. (j)Prove que se (a") é uma seqüência que converge para zero e (b") uma seqüência limitada, não necessariamente convergente, então (anb") converge para zero. r' --@prove que a seqüência a" = jn + h - yTi tende a zero . ., tO. Faça o mesmo para a seqüência an = a". onde O < a < 1. 11. S~pondo que' an ::o: O para todo n e a" -+ O, prove que ..;a;; -+ O. 12. Supondo que a" -+ x > O, prove que a" > O a partir de um certo N. 13. Prove os itens a) e b) do Teorema 2.8. Generalize a propriedade da soma, provando que o limite de uma soma qualquer de seqüências convergentes é a soma dos limites. Generalize também a propriedade do produto para o caso de vários fatores. 14. Prove que se (an) é uma seqüência convergente, COIU ar1 ~ b, então lim an ~ b. Mostre CQIn contra-exemplo que, mesmo que seja fin < b, não é verdade, em geral, que tini an «b. Enuncie e demonstre propriedade análoga no caso a" > b. . 15. Sejam (an) c (bn) seqüências convergentes, com an :::; bn. Prove que lim (Ln ::; lim "n. Mostre por meio de contra-exemplo que também aqui pode ocorrer a igualdade dos limites mesmo que seja a" < b«. [Observe que o exercício anterior é um caso particular deste, com seqüência (bn) =. (b, b, ... ).J ~ (Cdtédo de confronto ou Teorema da seqüência intercalada.) Sejam (an), (bn) e (eu) três seqüências tais que nu ::; bn ~ Cnl (au) e [c») convergindo para o mesmo limite L. Demonstre que (bn) também converge para L. ~~pro~.: ..que fln -+ 1. 18. A nega~J5efinição 2.1 é "an não converge para L". Mas como escrever essa nel,latição em termos de é e N? Sugestões e soluções 2. a) n/(n + 1), n ?: 1; b) (_I)n+l/n, n?: 1, ou (-I)"/(n + 1),n::O: O; d)-.(-I)"/n!, n::O:1. 14 14 b) lan - 21= n2 + 7 < n2; . 15 15 c) lan - 31 = --;:;- < r.::" nyn+5 nyn I - 21- yTi + 2 yTi+ 2yTi _ J...- 4. b) an - < -. 4n - 1 - 4n - n yTi 56 Capítulo 2: Seqüências infinitas 5. Suponha existirem dois limites distintos, L e L' e tome é < IL - L'I/2. Então, lan - LI < é a partir de um certo NI e lan - L'I < é a partir de um certo N2. Seja N = max{NI, N2}, de forma que n > N acarreta simultaneamente n > NI e n > N2. Assim, n > N acarreta IL - L'I = I(L - an) + (an - L')I ::; lan - LI + lan - L'I < 2õ < IL - L'I, o que é absurdo. 9. Multiplique numerador e denominador pela soma das raizes que aparecem na definição da seqüência. 10. Como b = l/a> 1, b = 1 + e, com e> O. Então, n 1 ( )nb = an = 1+ c > 1+ ne > ne; logo, an < 2..ne Outro modo, utilizando o logaritmo, baseia-se no seguinte: n ~gé a < é Ç} n log a < log é Ç} n > -1 -. oga Nessa última passagem, ao dividir a desigualdade por log a, levamos em conta que esse número é negativo, daí a mudança de sinal da, desigualdade. 11. Deseja-se provar que .;u:;: < é'a partir de um certo N. Observe que isto equivale a an < é2 12. Use o Teorema 2.6. 13. I(an + bn) - (a + b)1 ::; lan - ai + Ibn - bl· 17. Use o critério de confronto, notando que 1::; ffn::; vIn· ís. "Existe um é > O tal que, qualquer que seja o número natural N,.existe um índiceri > N tal que lan - LI > i;:u. Isto é' o mesmo que:' "Existe' um é > O talque, qualquer que seja o número natural N, existe uma infinidade de índices n > N tais que lan - LI> s". Seqüências monótonas Há pouco vimos que toda seqüência convergente é limitada. Mas nem toda seqüência limitada é convergente, como podemos ver através de exemplos sim- ples como os seguintes: 1) an = (_l)n assume alternadamente os valores +1 e -1, portanto, não converge para nenhum desses valores; 2) an = (-l)n(l + l/n) é um exemplo parecido com o anterior, mas agora a seqüência assume uma infinidade de valores, formando um conjunto de pontos que se acumulam em torno de -1 e +1. Mas a seqüência não converge para nenhum desses valores. Se ela fosse simplesmente 1 + l/n, então convergiria para o número 1- Veremos, entretanto, que há uma classe importante de seqüências limitadas - as chamadas seqüências "monótonas" - que são convergentes. .. 2.11. Definições. Diz-se que uma seqüência (an) é crescente se aI < a2 < '" < an < ... e decrescente se aI > a2 > ... > an > ... Diz-se que a seqüência é não decrescente se aI ::; a2 ::; ... an ::; ... e não crescente se Capítulo 2: Seqüências infinitas 59 mesmo é verdade da seqüência dos números ímpares positivos; da seqüência dos números primos; ou da seqüência 1, 3, 20, 37, 42, 47, ... , isto é, ai = 1, a2 = 13, a3 = 20, an = 5n + 17 para n 2: 4. Uma definição precisa desse conceito é dada a seguir. 2.13. Definição. Uma subseqüência de uma dada seqüência (an) é uma res- trição dessa seqüência a um subconjunto infinito N' do conjunto N dos núme;;' naturais. Dito de outra maneira, uma subseqüência de (an) é uma seqüência do ~ r- t,ipo (bj) = (anj~' onde ~é uma seqüência crescente de inteiros positivos, isto e, nl < n2 <-: .. Como conseqüência dessa definição, 1 :s nl, 2 :s n2,· .. , e, em geral~D Mas, como j < nj para algum j (a não ser que a subseqüência seja a pro . seqüência dada), esta desigualdade permanecerá válida para todos os índices subseqüentes ao primeiro índice para o qual ela ocorrer. / [: A seqüência (an) = (-1)"(1 + l/n) tem subseqiiências (a2n),· (a4n), (a6n) etc., todas convergind.o para 1; e subseqiiências (a2n-d, (a4n-I), (a6n-d ~ etc., todas convergindo para -1. Mas tem também suoseqüências divergentes, como (an2) = (aI, a4, a9, 0~6, ... ) = (-2, 5/4, -10/9, 17/16,). --- ~y 2.14. Teorema. Se uma seqüência (an) converge para um limiteJ;,., então toda sua subseqüência (an .') também converge para L. ' . ~ } - . Demonstração. De' an ~ L segue-se que, dado qualquer é > O existe N tal que n > N :=:} lan - LI < é. Como vimos acima, nj '2: j, de forma que j > N :=:} (nj> N:=:} la~j - LI < é), o que completa a demonstração,/ ~- / -Limites infinitos Certas seqüências, embora não convergentes, apresentam regularidade de com- portamento, o termo geral tornando-se ou arbitrariamente grande ou arbitraria- mente pequeno com o crescer do índice, Diz-se então que a seqüência diverge para +00 ou para -00 respectivamente. Damos a seguir as definições precisas desses conceitos. 2.15. Definições. Diz-se que a seqüência (On) diverge (ou tende) para +00 e escreve-se lim an = +00 ou lim an = 00 se, dado qualquer número ositivo k, ~iste N tal que n > N :=:} an2.3.\Analoga,mente, (an) diverge (ou tende) pa;a -00 se, dado qualquer número 'negativo k,(existe N tal que n > N :=:} an < k; neste caso, escreve-se lim an = .::00. _. Por exemplo, é fácil verificar, á luz dessas definições, que as seqüências an = n, an = n2 + 1 e an = ,;n tendem, todas elas, a +00, enquanto que an = -n, an = 3 - n2 e an = 6 - ,;n tendem a -00, '""j c• i; 60 Capítulo 2: Seqüências infinitas As propriedades relacionadas no teorema seguinte são de fácil demonstração e ficam para os exercícios. ~ 2.16. Teorema. a) an -> +00 Ç} -an -> -00. b) Seja (an) uma seqüência não limitada. Sendo não decrescente, ela tende a +00; e sendo não crescente, ela tende a -00. .1 '"")fi c) Se lim c., = ±oo, então l/an tende a zero. ./ lrf-<'- _~Q) Se lim c., = 9, então l/an tende a +00 se an > of e tende a -00 se an < O'-V Y\.7)./G) Se (bn) é uma seqüência limiuuui'e an -> +00 ou a -00, então a seqüência (an + bn) tende a +00 ou a -'00 respectivamente. f) Se an -> +00 ~ bn;.5 onde c é um número positivo, então anbn -> +00. (Ein particular', a" c-'t. 00 e b« -> +00 => anb" -> +00.) Formule e de- monstre as outras possibilidades: an -> +00 e bn ::; c < O, an -> -00 e bn 2 c > O, an -> -00 e bn ::;c < O. ______ ~g)~S~e~a~n-->~~+~00~~e~a:1:'~<~b:n~,~e~n~t~ã;o~b~n~->_.~'~+~ o~. ~ 2.17. Exemplo. A seqüê 1?a an com a ). O < l/a < 1, de forma que, pelo Exerc.lGda p. í$ff; ~ ',"'.lo'go', pelo item d) do teorema an~r,/a---=, 00. . -Podemos também raciocinar assim: a = 1 + h, onde h > O. Então an ~l +',;)n' > I + nh > rili > k Ç} n >·Zh. . ----- Outro modo de tratar esse limite. faz uso do logaritmo, assim: tende a infinito. De fato, l/a)n = l/an tende a zero; lÍog k an > k Ç} n log a > log k <=} n > -- . ~a/ Outra maneira ainda apóia-se na igualdade Ian = ~-.(loga)n, pressupondo o conhecimento da função exponencial e de suas propriedades; em particular, a propriedade segundo a qual e(loga)x tende a infinito com x -> 00. Como a seqüência em pauta é uma restrição dessa função ao dominio dos números na- turais, é claro que ela também tende a infinito. 2.18. Exemplo. A seqiiência.c., = nk, onde k é um inteiro positivo, tende a infinito por ser o produto de k fatores que tendem a infinito. No entanto', ela ____ tende a infinito "mais devagar" do que a~ X. eVldendenterríêii'@. Podemos ver isso considerando a razão rn = nk/an como restrição da função a qual, como sabemos do Cálculo, tende a zero com x -> 00. Concluímos assim que rn tende a zero, e é isso ° significado preciso de dizer que p numerador nk tende a infinito "mais devagar" do que ano / / Ceoituío 2: Scqiiências infinitas 61 L r-- an (a a ~)-n;T < "1'"2 ... -N/i /= 2 c, ~-----c../. onde c = (2a)N / N! é uma, constante que só depende de N, que já está fixado. Essa desigualdade prova então que a razão de an para n! tende a zero, signi- ficando que a primeira dessas seqüências tende a infinito mais devagar qi.le:,a;;,.,: segunda. ), :',../ .:' ., \ . 2.20. Exemplo. Provemos finalmente que a seqüência n! é ainda mais vagarosa que n": De fato, basta notar que n! 1 2 n 1 - = - . - ... - < - -t O. nn n n n 11 Em vista dos três últimos exemplos acima, vemos que (sendo a > 1), nk lim-=O' a'tt ' .. an hm, = O; n. n! lim-=O.nn (2.10) Na linguagem sugestiva que vimos usando, isso significa que, embora as quatro seqiiências nk, an, n! e n" tendam todas a infinito, cada uma tende a infinito mais devagar do que a seguinte. Seqüências recorrentes Freqüentemente o termo geral de uma seqüência é definido por uma função de um ou mais de seus termos precedentes. A seqüência se chama, então, apropri- adamente, indutiva ou recorrente. Veremos a seguir um exemplo interessante de seqüência recorrente. Outros exemplos são dados nos exercícios. Exemplo 2.21. Consideramos aqui uma seqüência q\le tem origem num método de extração da raiz quadrada, aparentemente jl\ conhecido na &1 Capítulo 2: Seqiiências infinitas para os primeiros valores de n, vale a relação: an = (-I)nUn_2 - 'PIn-t), onde an é a seqüência do exercício anterior. Prove, por indução, que essa relação é válida para todo n 2': 2. Prove que a seqüência x" = InlIn+1 é convergente e seu limite é a razão áurea. Sugestões e soluções 4. A seqüência a2" = -3 e a2n+1 = 8 resolve. Construa outro exemplo. 5. Dado n E N, seja 1'n o resto de sua divisão por 3. Verifique que an = 1'" resolve o problema. 6. Seja rn o resto da divisão de n por k. aI. = Lr" resolve; explique por quê. 7. Construa a seqüência assim: 1; depois 1, 2; depois 1, 2, 3; depois 1, 2, 3, 4; e as- sim por diante, de forma que a seqüência é: 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, ... Outro modo: decomponha o conjunto dos números naturais N numa união de conjuntos infini- tos e disjuntos N" N2, ... Por exemplo. N, pode ser O conjunto eLosnúmeros ímpares, lV2 = 2Nl, lV'j = 22Nt",,; C, em geral, Nç, = 2H-1Nt. Verifique que esses lVn são real- mente disjuntos e todo número natural está em um deles. Em seguida defina a seqüência assim: an = T11 se n E Nm. Outro modo: considere urna seqüência 1'1, 1"2, T3, .. '} obtida por enumeração de todos os números racionais. Observe que este exemplo também responde às exigências dos Exercs. 4 a 6. Observe também que as soluções dadas naqueles exercícios resultavam em subseqüências constantes, ao p~so que os termos de r" são todos diferentes entre si. 8. A seqüência (r-,) do exercício anterior resolve. Outra solução, ainda com a notação do exercício anterior: defina an = rm se n E N,«. 10. Utilize o Teorema 2.6, tomando, por exemPlo.,~ . 14. Observe que p(n) = aknk(1 + ... ) == aknkb", ,onde b« é a expressão entre parênteses, ,que tende a 1. 17.0bserve que vnT > 1( Ç} n! > 1(". Agora lembre-se de que n! tende a infinito mais depressa do que [(", qualquer que seja K, 18. Supondo por um momento que (an) convirja para um certo L, passamos ao limite em a~ = 2 + a"_I, resolvemos a equação resultante e achamos L = 2. (Mas é preciso provar a existência do limite! Veja este exemplo: a seqüência 1, 3, 7, 15, 31, ... ; em geral, a" = 2a"_1 + 1, evidentemente não converge, logo, não podemos simplesmente passar ao limite nessa última igualdade para obter L = 2L + 1, ou L = -1.) Prove que a seqüência dada é crescente e limitada superiormente por 2. 19. Seja b = max{a, ,fã., 2}. Claramente, ai :s; b e, supondo a" :s; b, teremos a,,+1 :s; J a + b :s; "f2b :s; 2b. Isso prova que a seqüência é limitada superiormente. Prova-se também que ela é crescente, notando que a2 >, ai e que, supondo an > an-I, então a"+1 = Ja + an > Ja + an-I = ano Agora é só passar ao limite na fórmula de definição e achar a raiz positiva de L2 = a + L, isto é, L = (1 + ~)/2. 20. Por um cálculo simples, ai - ../Fi = (a - ../Fi) 212a. Isto prova que ai > .JN (mesmo que a < ../Fi). Além disso, se a > ../Fi, rt; (a - ../Fi) 2 a - ../Fi rz: 1 rt: , rt: ai - V N = = ---(a - v N) < -(a- V N) < a - V N, . 2a 2a 2 mostrando que ../Fi < ai < a. Com o mesmo tipo de raciocinio, mesmo que a seja menor do que .JN, prova-se que ../Fi < an+1 < an < ... < ai e que .JN 1 .JN ai - ../Fi 0< a"+, - N < 2'(a" - N) < ... < 2" Capítulo 2: Seqiiências infinitas 6.5 22. Das definições dadas segue-se que mostrando que A2 divide OAl na razão áurea. Com raciocinio análogo prova-se, por indução, que An divide OAn_l na razão áurea. Para provar que an ...-. O, prove que aI a2 a3 an tp = -' = - = - = 0.0 = --, ao aI a2 an-l e conclua que a" = .p": 23. Como já observamos, a relação an = (-1)" (1"-2 - 'P / n- tl é válidn para os primeiros valores de 11; na verdade, basta saber que vale para" = 2. Vamos provar que se ela valer -para 11 = 2, 3, ... , 1.:,ela deve valer para 11 = k + 1. Por definição, Uk+l = ak-l - ak; e como a relação que desejamos provar vale para n = 2, 3, ... , k, temos: ak+l = ak-l - ak = (-I)k-l(h_J - 'Ph-2) - (-I)k(h_2 - <Ph-l); mas (_I)k-l = (_I)k+l e (_I)k = _(_I)k+1, de forma que ak+l (_I)k+l(h_3 - 'Ph-2 + h-2 - <p/k-tl (_I)k+l [h-J + h-2 - <p(h-2 + h-di (-l)k+L(h_l - <p/d, o que completa a dl:1I10Ilsl,rac;ào. A. parl(~ filial do exercício íicn por contu do leitor. Intervalos encaixados Veremos, a seguir, uma importante conseqüência da propriedade do supremo. Q 2.22. Teorema dos intervalos encaixados. Seja I n = [a", b,,], n 1, 2, ... , uma família de intervalos fechados e encaixados, isto é, 11 :::> 12 :::> ... :::> In :::> .... Então existe pelo menos um número c pertencendo a todos os intervalos L; (ou, o que é o mesmo, c E In n 12 n ... n In n .. .). Se, além das hípóteses feitas, o comprimento IInl = bn - an do n-ésimo intervalo tender a zero, então o número c será único; isto é, 11 n 12 n ... In n ... = {c}. vemos que (an) é limitada à direita por bl e (bn) é limitada à esquerda por c j : logo, essas duas seqüências possuem limites, digamos, A e B respectivamente. Como an < bn, é claro que ~JÍm.1o 2: Seqüênciasiniinir.as Isso significa que [A, BJ C I« para todo n. Então, se A < B, -a interseção dos intervalos In é o próprio intervalo [A, BJ; e se A = B, como é o caso se bn - an tende a zero, essa interseção é o número c = A = B. Isso completa a. <--- demonstração. A condição de que os intervalos In sejam fechados .é essencial no teorema anterior. Por exemplo, os intervalos In = (O, l/n) são encaixados e limitados, mas não são fechados. É fácil ver que sua interseção é vazia, não havendo um só número que pertença a todos esses intervalos. É também essencial que os intervalos sejam limitados. Por exemplo, In = [n, 00) é uma família de intervalos fechados e encaixados, mas sua interseção é vazia; eles não são limitados. Pontos aderentes e teorema de Bolzano- Weierstrass Já vimos que se uma seqüência converge para um certo limite, qualquer sub- seqüência sua converge para esse mesmo limite. Quando a seqüência não con- verge, nem tende para +00 ou -00, diz-se que ela é oscilante. De fato, como veremos, nesse caso ela sempre terá várias subseqüências, cada uma tendendo para um limite diferente. Por exemplo, as seqüências (_l)n, (-l)n(1 + l/n), e (-l)n(l - l/n) possuem, todas elas, subseqüências convergindo ou para +1 ou para -1. Esses números são chamados "valores de aderência" da seqüência sob consideração. 2.23. Definição. Diz-se qúe L é um valor de aderência o'u ponto de aderência de uma dada seqüência (an) se (an) possui uma subseqiiêticia con- uerqituio para L. Quando a seqüência não é limitada, seus elementos podem se espalhar por toda a reta, distanciando-se uns dos outros, como acontece com an = n, an = 1 - n ou an = (-1)n(2n + 1). Em casos como esses não há, é claro, pontos aderentes. Se a seqüência for limitada, estando seus elementos confinados a um inter- valo [A, B], eles são forçados a se acumularem em um ou mais "lugares" desse intervalo, o que resulta em um ou mais pontos aderentes da seqüência. Esse é o conteúdo do "teorerna de Bolzano-Weierstrass", considerado a seguir. O leitor pode observar que sua demonstração está baseada na propriedade do supremo, via teorema dos intervalos encaixados . • 2.24. Teorema (de Bolzano- Weierstrass). Toda sequencia l-i mitada (an) possui uma subseq'üência convergente. (Veja a versão original desse teorerna na p. 129.) Demonstração. Vamos utilizar o chamado método de bisseção, que ex- plicaremos a seguir, no contexto da demonstração. Seja (an) uma seqüência Capítulo 2: Scqiiências infinitas 69 Em geral, Xn = f(xn-I), com n =' 2, 3, 4, ... Se for possível provar que essa é uma seqüência de Cauchy, saberemos que ela converge para um certo xa. Em seguida procura-se provar que xa é solução da equação dada, os elementos Xn sendo valores aproximados da solução O esquema que acabamos de descrever é, na verdade, um poderoso instru- mento de cálculo numérico (conhecido como "método das aproximações suces- sivas"), além de ter também uma enorme importância teórica em várias teorias matemáticas. Exercícios 1..Prove que uma seqüência converge paraL se e somente se L é seu único ponto de aderência. 2. Prove que uma seqüência limitada que não converge possui pelo menos dois pontos aderen- tes. 3. Prove que L é ponto de aderência de uma seqüência (<tn) se e somente se, qualquer que seja e > 0, existem infinitos elementos da scqüôncia no intervalo IL - E, L + s]. (Note 'lHO. esta última afirmação não significa que os infinitos elementos sejam todos distintos, podem até ter todos o mesmo valor.) 4. Construa uma seqüência com elementos todos distintos e que tenha pontos de aderência em -1, 1e 2. 5. Construa uma seqüência com uma infinidade de elementos inferiores a 3 e superiores a 7, mas que tenha 3 e 7 como pontos aderentes e somente estes. 6. Construa urna seqüência com elementos todos distintos entre si, tendo como pontos de . aderência k: números distintos dados, LI < ... < Li; e somente esses. 7. Sabemos que o conjunto Q dos números racionnis é cnumcnivcl. Seja (l'n) uma seqüência desses números numa certa enumeração, isto é, uma seqüência com elementos distintos, cujo conjunto de valores é Q. Prove que todo número real é ponto de aderência dessa seqüência, 8. Seja (an) uma seqüência tal que toda sua subseqüência possui urna subseqüência con- vergindo para um mesmo número L. Prove que (an) converge para L. 9. Prove que uma seqüência (an) que não é limitada possui uma subseqüência (anj) tal que l/anj - a. 10. Dê exemplo de uma seqüência não limitada que tenha subseqüências convergentes; e de seqüência não limitada que não tenha uma única subseqüência convergente. 11. Vimos que a propriedade do supremo tem como conseqüência a propriedade dos inter- valos encaixados. Prove que esta últirria propriedade implica a propriedade do supremo, ficando assim provado que a propriedade do supremo equivale à propriedade dos intervalos encaixados. 12. Prove que se postularmos que "toda seqüência não decrescente e limitada é convergente" conseguiremos provar a propriedade dos intervalos encaixados, portanto, também a pro- priedade do supremo, estabelecendo assim que esta. propriedade é equivalente a afirmar que "toda seqüência não decrescente e limitada converge." 13. Prove, diretamente da Definição 2.26, que as seguintes seqüências são de Cauchy: 1 a) an = 1 + -; n 70 Capítulo 2: Seqüências infinitas 14. Prove, diretamente da Definição 2.26, que se (an) e (bn) são seqüências de Cauchy, também o são (an + bn) e (anbn). 15. Sejam (an) e (bn) seqüências de Cauchy, com b.; ~ b > O. a) Prove que (a,,/b,,) também é de Cauchy, b) Dê um contra-exemplo para mostrar que isto nem sempre é verdade se bn -+ O. 16. Dados ai e a2, com ai < a2, considere a seqüência assim definida: a" = (an-I + an-2), n = 3,4,5, ... a) Prove que ai, a3, cs , ... é seqüência crescente e limitada; e que a seqüência de índices pares, a2,a4, a6, ... , é decrescente e limitada. b) Prove que (an) é seqüência de Cauchy. 17. Observe que o Teorema 2.25 nos mostra que a propriedade do supremo tem como con- seqüência que toda seqüência de Cauchy converge. Prove a recíprova dessa proposição, isto é, prove que se toda seqüência de Cauchy. converge, então vale a propriedade do supremo, ficando assim provado que essa propriedade é equivalente a toda seqüência de Cauchy ser convergente. Sugestões e soluções 1. Comece provando que an convergir para L significa que, qualquer que seja e > O, só existe um número finito de elementos da seqüência fora do intervalo [L - e, L + e]. 4. Eis um modo de fazer isso: considere três seqüências distintas, -1+1/n, l+l/n e 2+1/n, as quais convergem para -1, 1 e 2, respectivamente. Em seguida "misture" convenientemente essas seqüências; por exemplo, tomando um elemento de cada uma delas em sucessão e repetidamente, construindo a seqüência (a>;», assim definida: n3n ==-1 +. 1/3n; a3n+1 = 1 +.1/(3n + 1); a3n+2 ==2 + 1j(3n + 2), 6, Reveja o Exerc. 6 da p. 63. 8. Se (an) não converge para L, existe um e > O e uma infinidade de elementos an tais que lan - LI> e. 11. Seja C um conjunto não vazio e limitado superiormente. Queremos provar que C possui supremo. Seja ai ~ algum elemento de C e bl > ai uma cota superior de C. Seja a== (ai + bd/2 e seja [a2, b2] aquele dos intervalos [ai, a] e [a, bI] tal que a2 ~ algum elemento de C e b2 é cota superior de C. Assim prosseguindo, indefinidamente, construimos uma família de intervalos encaixados L; = [a", bn], cuja interseção determina um número real c. Prove que c é o supremo de C. 12. Prove primeiro que toda seqüência não crescentee limitada converge. . p 1 13. a) Observe que Ia" - an+pl = -(---) < -. Quanto à parte b), observe que lan - a,,+pl n n+p n é menor do que o Rn da p. 83. 14. Observe que anbn - ambm ==an(bn - bm) + bm(an - a",) e que (an) e (bn) são seqüências limitadas. 15. Observe que I an _ am I = lanbm - ambnl < lan(bm - bn) + bn(an - am)1bn bm bnbm - bnbm.' que bnbm ~ b2 e que as seqüências originais são limitadas. Capítulo 2: Seqüências infinitas 71 16. a) Comece fazendo um gráfico representando a" a2, a3. a4, as, a6, aJ, etc. Percebe-se que (a2n) é seqüência decrescente e (a2n+l) é crescente. Prove isso. b) Prove que Observe também que 17. Basta provar que vale a propriedade dos intervalos encaixados. Notas históricas e complementares A não enumerabilidade dos números reais O Teorema 2.22 permite dar outra demonstração de que o conjunto dos números reais não é enumerável, como, faremos agora. Raciocinando por absurdo, suponhamos que todos os números reais estivessem contidos numa seqüência (Xn). Seja 1, = [a" b,] um intervalo que não contenha z i . Em seguida tomamos um intervalo h = [a2, b2) C I i, que não contenha X2; depois um intervalo 13 = [a3, bJ) C h, que não contenha XJ; e assim por diante. Dessa maneira obtemos uma seqüência (J n) de intervalos fechados e encaixados, tal que nl n conterá ao menos um número real c. Isso contradiz a hipótese inicial de que todos os números reais cHtiio na scqiióucia (1:n), visto que :1:" rt nI". 8011105, pois, forçados u uhnudouur n hipótese inicial e concluir que o conjunto dos números reais não é enumerável. Cantor e os números reais Vimos, no Capítulo 1, como Dedekind construiu os números reais a' partir dos racionais. Ex-" poremos agora a construção dos reais feita por Cantor. Georg Cantor (1845-1918) nasceu em São Petersburgo, onde viveu até 1856, quando sua família transferiu-se para o sul da Alemanha. Doutorou-se pela Universidade de Berlim, onde foi aluno de Weierstrass, de quem teve grande influência em sua formação matemática. Toda a sua carreira profissional desenvolveu-se em HaJle, para onde transferiu-se logo que terminou seu doutorado em Berlim. Como no método de Dedekind, também no de Cantor partimos do pressuposto de que já C:::ital110S de posse dos números racionais, com todas as suas propriedades. COlneçUl110S com a seguinte definição: diz-se que uma seqüência (c.,) de números racion~ís é um.a seqüência de Cnuclu) se, qualquer que seja o número (racional) é > O, existe N tal que n, m > N => lan - aml < é. Uma tal seqüência costuma também ser chamada "seqüência fundamental." O próprio Cantor usou essa designação: Observe que existem pelo menos tantas seqüências de Cauchy quantos são os números racionais, pois, qualquer que seja o número racional r, a seqüência constante (rn) = (r, r, r, ... ) é de Cauchy. Dentre as seqüências de Cauchy, algumas são convergentes, como essas seqüências constantes, uma seqüência como (1/2, 2/3, 3/4, ... ) e uma infinidade de outras mais. Mas há também toda uma infinidade de seqüências de Cauchy que não convergem (para número racional), Gomo a seqüência das aproximações decimais por falta de ../2, (rn) = (1,14,1,41,1,414,1,-1142 ... ), (2.13) ou a sequencia a;' (1 + l/n)n que define o número e. Como se vê, essas seqüências só não convergem por não existirem ainda os números chamados "irracionais." Para criá-los, podemos simplesmente postular que "toda seqüência de Cauchy (de números racionais) converge". Feito isso teremos de mostrar como esses novos números se juntam aos antigos (os racionais) de forma 74 Capítulo 2: Seqüências infinitas 1 17, pouco divulgado; e posteriormente num livro de Cauchy de 1821 (de que falaremos mais nas pp. 97 e 128), que teve grande divulgação e 'infiuência no meio matemático. Bernhard Bolzano (1781-1848) nasceu, viveu e morreu em Praga. Era sacerdote católico que, além de se dedicar a estudos de Filosofia, Teologia e Matemática, tinha grandes preo- cupações com os problemas sociais de sua época. Seu ativismo em favor de reformas educa- cionais, sua condenação do militarismo e da guerra, sua defesa da liberdade de consciência e em favor da diminuição das desigualdades sociais custaram-lhe sérios embaraços com o gover- no. As idéias de Bolzano em Matemática não foram menos avançadas. É até admirável que, vivendo em relativo isolamento em Praga, afastado do principal centro científico da época, que era Paris, e com outras ocupações, ele tenha tido sensibilidade para problemas de vanguarda no desenvolvimento da Matemática. Infelizmente, seus trabalhos permaneceram praticamente desconhecidos até por volta de 1870. Seu trabalho de 1817 (com o longo título de Prova puramente analítica da afirmação de que entre dois valores que garantem sinais opostos (de uma função) jaz ao menos uma raiz da equação [função]) representa um dos primeiros es- forços na eliminação da intuição geométrica das demonstrações. Seu objetivo era provar o teorerna do valor intermediário (p. 122) por meios puramente analíticos, sem recorrer à in- tuição geométrica. E é aí que aparece, pela primeira vez, a proposição que ficaria conhecida como "critério de Cauchy" (veja o comentário sobre Cauchy no final do próximo capítulo), formulado para o caso de uma seqüência de funções, nos seguintes termos: "Se uma seqüência de grandezas Fl(X), F2(X), .. " Fn(x), ... , Fn+r(x), ... está sujeita à condição de que a diferença entre se'u n·ésimo membr'o Fn(x) e cada membro sequinle Fn+r(x), não importa quiio distante do n-ésimo termo este último possa estar, seja meno',' do que qualquer quantidade dada, desde que n seja tomado bastante qraruie; então, existe uma e somente uma determinada qraruleza, 'da qual se aproximam mais e mais os membros da seqüência,' e da qual eles podem se tornar tão próximos quanto 'se deseje, desde que a seqiiêncio. seja levada bastante longe". Como se vê, essa proposição é O enunciado de uma condição suficiente de convergência da seqüência. A necessidade da condição fora notada por vários matemáticos antes de Bolzano e Cauchy. A demonstração tentada por Bolzano é incompleta; e não podia ser de outro modo, já que ela depende de uma teoria dos números reais, que ainda não estava ao alcance de Bolzano. Ele usa essa condição para demonstrar outra proposição sobre existência de supremo de um certo conjunto, a qual, por sua vez, é usada na demonstração do teorema do valor intermediário. O método de bisseção que Bolzano utiliza na demonstração dessa proposição é também usado por Weierstrass nos anos sessenta para demonstrar o teorema que ficaria conhecido pelos nomes desses dois matemáticos. É interessante notar que praticamente o mesmo enunciado de Weierstrass aparece num trabalho de Bolzano de 1830, Théorie des fonctions, só publicado cem anos mais tarde, muito depois de se haver consagrado o nome "teorerna de Bolzano- Weierstrass" , Capítulo 3 , SERIES INFINITAS Primeiros exemplos Vamos iniciar nosso estudo das séries infinitas com exemplos simples. Essas séries' surgem muito cedo, ainda no ensino fundamental, quando lidamos com dízimas periódicas. Com efeito, uma dízima como 0,777. " nada mais é do que uma progressão geométrica infinita. Veja: ( 1 1 1 )0,777... = 7 x 0,111... = 7 10 + 100+ 1000+ ... = 7e 1 0 + 1~2+ 1~3+ ... ) = 7(1_ ~/10 -1) = 7eg O -1) =~. Mas quando se ensinam essas dízlmas, não é preciso recorrer às séries in- finitas, pode-se usar o procedimento finito que utilizamos no Capítulo 1, assim: _ 7 x = 0,777... =} 10x= 7,777... = 7+ x =} gx = ( =} x = -.. . . g Voltando às séries infinitas..» que significa "soma infinita"? Como somar um número após outro, após outro, e assim por diante, indefinidamente? Num primeiro contato com séries infinitas, particularmente séries de termos posi- tivos, a idéia ingênua e não crítica de soma infinita não costuma perturbar o estudante. Porém" encarar somas infinitas nos mesmos termos das somas fini- tas acaba levando a dificuldades séries, ou mesmo a conclusões irreconciliáveis, como bem ilustra um exemplo simples, dado pela chamada "série de Grandi": 5=1-1+1-1+1-1+ ... Esta série tanto parece ser igual a zero como igual a 1, dependendo de como a encaramos. Veja: 5 = 1- 1+ 1 - 1+ 1- 1+ ... = (1 - 1)+ (1 - 1)+ (1 - 1)+ ... = O. Mas podemos também escrever: 5 = 1- 1+ 1 - 1+ 1- 1+ ... = 1- (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1)- ... = 1. E veja o que ainda podemos fazer: 5 = 1- 1+ 1- 1+ 1- 1+ ... = 1- (1 - 1+ 1- 1+ ...) = 1- 5, 6 Capítulo 3: Séries Infinitas donde a equação S = 1 - S, que nos dá S = 1/2. Como decidir então? Afinal, S é zero, 1 ou 1/2? Para encontrar uma saída para dificuldades como essa que vimos com a série de Gradi, temos de examinar detidamente o conceito de adição. Somar números, sucessivamente, uns após outros, é urua idéia concebida para uma quantidade finita de números a somar. Ao aplicá-Ia a somas infinitas, por mais que somemos, sempre haverá parcelas a somar; portanto, o processo de somas sucessivas não termina, em consequência, não serve para definir a soma de uma infinidade de números. o conceito de soma infinita o conceito de soma infinita é formulado de maneira a evitar um envolvimento direto com a soma de uma infinidade de parcelas. Assim, dada uma série infinita (3.1) contentamo-nos em considerar as somas parciais Em geral, designamos por Sn a sorria dos primeiros nelementos da seqüência (an), que é chamada a soma parcial ou reduzida de ordem n associada a essa seq íiência: n Srt = ai + a2 + «a + ... + a" = 2=: aj r=t. Desse modo formamos uma nova seqüência infinita (Sn), que é, por definição, a série de termos an . Se ela converge para um número S, definimos a soma infinita indicada em (3.1) como sendo esse limite: (3.2) n 00 ai + a2 + a3 + ... = S = limSn = lim 2=:aj = L an j=l n=l Esse último símbolo indica a soma da série, ou limite S de Sn. Mas é cos- tume indicar a série (Sn.) com esse símbolo mesmo que ela não seja convergente. Freqüentemente usamos também o símbolo simplificado Lan com o mesmo sig- nificado. A diferença S - Sn = Rn é apropriadamente chamada o resto de ordem n da série. Às vezes, quando consideramos certas séries particulares, a reduzida de ordem n pode não conter exatamente n termos, dependendo do índice n onde começamos a somar. Por exemplo, na série geométrica abaixo começamos a so- mar em n = O e a reduzida Sn contém n + 1 termos. Dependendo de onde se começa a somar, a reduzida Sn pode conter mais ou menos que n termos. Cnpicuto 3: Séries Infinitas 79 crescente. Basta, pois, exibir uma subseqüência de reduzidas tendendo a infinito. É esse o caso da subseqüência + Substituindo os denominadores de cada um dos termos deste último parênteses por 2j, obtemos . n 1 LI"l nS2n > I + - + ~(2J - 2)- ) = I + -. - 2 . 2) 2')=2 que prova o resultado anunciado. 3.4. Teorema (Critério de Cauchy para séries). Uma condição necessária e suficiente para que uma série 2::::: anseja convergent-; é que dado -qualque'r é > 0, exista N taL que, par'a todo' inteiro positivo p,- -' Este teorerna é uma simples adaptação do Teorema 2.12 da p. 57 à seqüência de somas parciais Sn- Basta notar que 3.5. Teorema. Se as séries 2::::: an e 2::::: bn convergem e k é um número qualquer, então 2::::: ka-, e 2:::::(an+ bn) convergem e Este teorema é uma conseqüência imediada de propriedades análogas já estabelecidas para seqüências (Teorema 2:8, p. 52). Dele segue, em particular, que se verificarmos a convergência de uma série, considerada somente a partir de um certo índice N, então a série toda é convergente e vale 11 igualdade 00 00 Lan = SN + LaN+n, n=l n=l 80 Capítulo 3: Séries Infinitas que decorre da seguinte observação: 00 lim SN + lim(aN+l + ... + aN+n) = SN +L aN+n· n=l Séries de termos positivos Suponhamos que LPn seja uma série de termos positivos (ou não negativos). Então, a seqüência de somas parciais Sn = Pl + P2 + ... + Pn, é não decrescente. Em conseqüência, a sene converge ou diverge para +00, conforme essa seqüência seja limitada ou não. Suponhamos que os termos da série sejam reindexados numa outra ordem qualquer, p~ + p~ + ... + p~ + ... Assim, p~ pode ser, digamos, o elemento P5 ,p~ pode ser P9, P3 pode ser Pl etc. Então, como os termos são todos não negativos, a nova soma parcial, será dominada por alguma soma parcial Sm com m > n. Se a série original converge para S, teremos S~ S; Sm S; S, isto é, as sornas parciais S~ formam uma seqüência não decrescente e limitada, portanto, convergente. Seu limite . S' é seu supremo, de sorte que S' S; S. Mas a série original também pode ser interpretada como obtida de L P;, por reindexação, portanto, o mesmo raciocínio nos leva a S S; s'. Provamos assim o teorerua que enunciamos a seguir. 3.6. Teorema. Uma série convergente de termos não negativos possui a mesma soma, independentemente da ordem de seus termos. É fácil ver também que se a série diverge, ela será sempre divergente para +00, independentemente da ordem de seus termos. A noção de "série convergente, independentemente da ordem de seus ter- mos" pode ser formalizada facilmente. Basta notar que mudar a ordem dos termos corresponde a fazer uma "permutação infinita" desses termos, através de uma bijeção ou correspondência bilmívoca de N sobre N. (Veja a definição desses conceitos na p. 102.) Seja f uma tal bijeção e ponhamos p~ = P f(n)' Capítulo 3: Séries Iniinit.es @) Diz-se então que a série L Pn é com utaiiutimentc convergente se for convergente a série L P~ = L P I(n) e L P~ = L P,,, qualquer que seja a bijeção j . Exercícios (DDada a .seqüência SOl de reduzidas de uma série, construa a seqüência original de termos a,t da serre. 2. Dada urna série convergente L a", com soma S e reduziu a SOl' prove que seu resto R" é a soma da série a partir do índice n + 1. 3. Chama-se série harmônica, em geral, toda série cujos inversos de seus termos formam uma progressão aritmética, isto é, toda série da forma 00 La:n,., T ;60. n=l , Demonstre que uma tal série é divergente. ~Obtenha a reduzida da série ~_(_l_._) e mostre que seu limite (soma da série) é 1. ~ "=lnn+1 1- ~ Lo o 1 l' .• ~-tA 5. Mostre que ()( ) = -. li )a+n a+n+l a n;::lG O termo geral da séri~ L log(l + l/n) tend~ a zero. Mostre, todavia, que ela é divergente, obtendo uma forma simples para sua reduzida SOl . 7. Dada uma série convergente L a" euma seqüência 'crescente de números naturais ·111 < n2 < ... , defina b1 = aI + ... + aTlll b2 = anl +1 + ... + an2! b3 = a",+l + ... + a"3 etc. Prove que a série L bn converge e tem a mesma soma que a série original. 8. Use o critério de Cauchy para provar que o termo geral de uma série convergente tende a 3 zero. :l 9. Use o critério de Cauchy para provar que L a" converge se L la,,1 converge. @calcule a reduzida SOl da série f n ~ 1 e mostre que seu limite é 1. . n=2 ~ 00 ( l)"(n+2) 00 ( W-I ~ ~ Mostre que L -n(n + 1) = 1- 3(log2), sabendo que log2 = L~' ~ ...-.,. n=1 00 (-1)n(2n + 5) n=1 ~Calcule a soma L (n + 2)(n + 3) 2 n=O ~n2 -n-1 13. Mostre que a série L n! tem soma igual a 2. n:2 Respostas, sugestões e soluções 84 Capítulo 3: Séries Infinitas boa aproximação de e, mesmo para 71 não muito grande. Por exemplo, n = 10 já nos dá um erro inferior a 10-7. Euler calculou o número e com 23 casas decimais, obtendo e = 2,71828182845904523536028. -i' 3.9. Exemplo. Mostraremos agora que a série L l/nx é convergente se x > 1 e divergente se x :s: 1. Este último caso é o mais fácil, pois então a série dada majora a série harmônica, visto que x :s: 1 => nX :s: 71, logo, 1/nx ~ 1/71. Suponhamos agora que x > 1. Usaremos um raciocínio parecido com o que usamos no caso da série harmônica. Temos: n(1 1 1) 1 + j; 2jx + (2j + 1)'" + ... + (2j+l _ 1)'" 1+ ..ç.... ~(2j+l _ 2j) = 1+ ~ _1_. c: 2)'" c: 2(x-l)) j=1 j=1 n ( l)j 00 ( 1)1 2x-1L 2",-1 < L 2"'-1 = 2"'-1 - 1. )=0 )=0 - Vemos assim que a sequencia de reduzidas da sene dada, que é uma seqüência crescente, possui uma subseqüência limitada, portanto convergente. Concluímos que a seqüência de reduzidas converge para o mesmo. limite (Exerc. 1 da p.62). Isso prova que a série original é convergente, como queríamos demonstrar. < o exemplo que acabamos de discutir nos mostra que a serre harmônica está compreendida entre as séries convergentes L 1/n'" com x > 1 e as séries divergentes L 1/71'" com x :s: 1, situando-se, ela mesma, entre estas últimas. É claro que a série L 1/71'" define uma função de z , a qual é chamada junção zela de Riemann: 1 1 00 1 ((x) = 1+ - + - + ... = "'-.2'" 3x c: n'" n=l (3.3) Embora conhecida por Euler (1707-1783) desde 1737, suas propriedades mais notáveis só vieram a ser descobertas por Riemann (1826-1866) em 1859, num memorável trabalho sobre teoria dos números. Ao lado da série geométrica, a série (3.3) é muito usada como referência para testar se uma dada série converge ou diverge. Isso é possível quando o termo geral da série dada comporta-se como 1/71'" para 71 tendendo a infinito, """ 3.10. Exemplo. A série 1 1 00 1 1+;-:;+:"2+"'=2..::1' 2-:3 n=ln Capítulo 3: Séries Infinitas 85 é evidentemente convergente e representa o valor ((2). Euler mostrou que a soma dessa série é 7[2/6.1 Vamos provar apenas que 1 < L l/n 2 < 2. Para isso observamos que 00 1 001 001 oo 1 1 = L ( )< L 2 = 1 + L2 < 1 + L ( )' n=l n n + 1 tt ee I n ,,=2 n n=2 n - 1 n Nesta última série fazemos a mudança n - 1 = m, donde n = m + 1. Então, 00 1 00 1 1< L 2 < 1+ L ( )= 2, n=1 n m=l m m + 1 que é o resultado desejado. o teste de comparação é muito usado para verificar a convergência de séries cujos termos gerais a" são complicados, mas para os quais é relativamente fácil verificar que an :S bn, sendo bn o termo geral de uma série convergente. Essa situação é ilustrada no exemplo seguinte. G 00 15n+ v'n2-=13.11. Exemplo. A série L .,\ 0tTI é convergente. Paran=15'/1.' -I- 2n ti -I- 1 - 17 vermos isso notamos que seu termo geral an é tal que 2 15n3 + n2Jn2 - 1 16n an = --;:----;:==,..-- -> - 5n3 + 2nVn+1 - 17 5 . de sorte que (Teorerna 2.6, p. 52), a partir de um certo índice N, teremos 2 < n 2an < 4; logo, a partir desse índice N, a série é positiva e dominada pela série de termo geral 4/n2. Como esta série é convergente, também o é a série original. 3.12. Exemplo. Usaremos o teste de comparação na ordem inversa para provar que a série ~nVn+1 L- n2 - 3~1 • é divergente. Para isso basta notar que, sendo an o termo geral da série, então man -> 1, de sorte que, a partir de um certo N, an > l/2m e este número é o termo geral de uma série divergente. 3.13. Exe~plos. Mostrarernosque, sendo k inteiro positivo e a > 1, as séries ~~.L- nn n=1 (3.4) IVeja nosso artigo na Revista Matemática Universitária, Nº 3, Junho de 1986). co rergentes, De fato, pelo que vimos no Exemplo 2.18 (p. 60), nk+2 / an -> 0, de sorte que nk [o" < 1/n2 a partir de um certo N. Isso prova que a primeira das séries em (3.4) é convergente por ser dominada, a partir de N, pela série convergente L1/n2. No Exemplo 2.19 provamos que an/n! < c/2n, o que mostra que a se- gunda das séries em (3.4) é convergente por ser dominada pela série convergente Lc/2n. Finalmente observe que, sendo n > 2, e aqui também podemos concluir que a terceira das séries em (3.4) é convergente. ~ ~ xerCíCiOS . 1. Prove que se L a" é uma série convergente de termos positivos, entiio L n;, é convergente. 2. iejam La" uma série convergente de termos positivos e (bn) uma seqüência limitada de elementos positivos. Prove que L anbn converge, ) 3. Sendo a" ::::O e i; ::::O, prove que, se as séries L a~ e L b~ são convergentes, então a série Lanbn também é convergente. 4 Prove que se an ;:::Oe L a~ converge, então L an/n converge. ::í Verifique, dentre as séries seguintes, qual del~conv ge, qual delas diverge: . I-, ia) ~ IogA b) ~ _1 ~c) ~ _1_; d) ~ 1L.. n L.. logn L.. Jn3 + 1 L.. 'l'n2 + 1; n=2 n=2 n=l n=l '" n 2 - 23" + 9 ~ 2 - sen23n '" 1 e) L.. 4n3J;:l+7-2n+cos3n2 L.. 2n+n2+1' g) L.. (Iogn)k: n=l n=l n=2 h)~ _1_. ~ (logn)rt' n=2 6. Sejam Pk(n) e Pr(n) polinômios em n de graus k e r respectivamente. Prove que se r-k ::::2 a série LPk(n)!Pr(n) é convergente, e se r - k :::;1 ela é divergente. 7. Sendo a > b > O,mostre que a série de termo eral a" = (c" - bn)-l é convergente se a> 1 e divergente se a :::;1. 8. Supondo an ::::Oe a" ~ O,prove que La" converge ou diverge se, e somente se, L n,,/( 1+ an) converge ou diverge, respectivamente. 9. Prove que, se a" ::::O e Lan converge, então La;,/(1 + a;,) converge. Construa um exemplo em que a primeira dessas séries diverge e a segunda converge; e outro exemplo em que ambas divergem. 10. Prove que, sendo c > O, a série L sen(c/n) é divergente. Capítulo 3: Séries Infinitas 89 9. Sejam L a" e L bn séries de termos positivos, esta última convergente. Suponhamos que exista N tal que n > N =} an+l/an ::; bn+l/bn. Prove que Lan converge. 10. Obtenha a primeira parte do Teorema 3.14 como conseqüência do exercício anterior. Sugestões 2. an+1 = ~J1+ ..!:.. an 2 n (2n + 1)(2n + 2) . n24 an+1 _ ~ a__ . a" - 2(n+1)2 - (2n + 1)' 5 an+1 _ a[(n + 1)!J22,,2 a(n + 1)2 . a" - (n!)22("+1)2 = 2(2n+1) . 6. O < a" ::; 5.8 ... (3n _ 1) = b«, b,,+l 2(n + 1) 2 -;;;: = 3n + 2 -> 3' bn+1 3(n + 1) 3 -;;;: = 2n + 1 -> 2' 9. Escreva a desigualdade do enunciado para os Índices N, N +1, ... , n e multiplique, membro a membro, as desigualdades obtidas. n+1 10. Sendo L < c < 1, an+1 ::; c::; ~, a partir de um certo N. an c o teste da integral Um outro teste de convergência de séries de muita utilidade é o chamado teste da integral, porque baseado na comparação da série com a integral de uma função. 3.17. Teorema. Seja f(x) uma função positiva, decrescente e an = f(n). Então f(2) + ... + f(n) < lnf(x)dx <: f(l) + ... + f(n - 1). (3.5) Em conseqüência, a série L an converge ou diverge, conforme a integral que aí aparece seja convergente ou divergente, respectivamente, com n -+ 00. Demonstração. Imediata, pois a desigualdade em (3.6) é obtida da soma de fU) < 1~1f(x)dx < fU - 1), j variando de 2a n. 3.18. Exemplos. 00 1 A série :L --1-- é divergente, pois n=2 n ogn l" _ldX = loglOgXln -+ 00. )2 x og x 2 90 Capítulo 3: Séries Infinitas É interessante observar que se aumentarmos, por pouco que seja, o logaritmo no denominador, obteremos uma série convergente. Assim, dado e > Opor pequeno que seja, -:-:-_1---:-1'11--> €(log x)" 2 d d 1 ' -- ~ 1 ,on e cone uimos que a serre L (1 )1+< e convergente. '11=2 n ogn - ('li dx J2 x(log x)1+ô 1 Exercícios l' 2:Use o teste da integral para mostrar que a série harmônica é divergente. "-0 Faça o mesmo para mostrar que a série 2:= 1/11" é convergente se x > 1 e divergente se x<l. 3. Estabeleça as seguintes desigualdades: a)f:z < 2; n=l 4. Mostre, pelo teste da integral, que as séries seguintes são convergentes: 00 a) I>-n; b) Lne-n'; ,ç) Lne-n; n"=l n=l n=l Neste último exemplo k é um número real qualquer. 5, Estabeleça a convergência da série I;(e/n)n e prove a convergência da integral [0 (e/x)"dx. oc 6, Estabeleça a convergêuciu da série L j , n=:2 (Iogn)log H 7. Sendo f(x) uma função crescente em x 2: 1, prove que fel) +.,. + f(n - 1) < Jn f(x)dx < f(2) + ... + f(n). 8. Fazendo f(x) = logx no exercício anterior, prove que donde segue, em particular, que ::;:;;f/n ~ l/e. 9. Verifique que o teste 'da razão não permite saber se a série 2:= enn!/nn converge ou não. Prove que esta série é divergente, usando o resultado do exercício anterior. Sugestões 3. Integre, em cada caso, uma função f(x) apropriada. Capítulo 3: Séries Infinitas 91 5. A convergência da série pode ser obtida como conseqüência da convergência das duas últimas séries em (3.4) (p. 85), pois (e/nY = (e" /n!)(n!/nn). 6. Basta provar que é convergente a integral, ele 2 a 00, da função J(.I:) = (logx)-IOg x = C-(lo~x)loglogx = C-9(I), onde g(x) tem:significado óbvio. (É fácil verificar que J(x) é decrescente a partir de um certo xo. pois g'(x) = x-1(loglogx + 1) > O a partir de um certo xo.) Para isso fazemos a substituição y = log z , donde {OOJ(x)dx = 100(e/y)"dy, J2 log 2 integral esta que sabemos ser convergente pelo exercício anterior. Convergência absoluta e condicional Diz-se que uma série L an converge absolutamente, ou é absolutamente conver- gente, se a série L lanl é convergente. Pode acontecer, como veremos adiante, que I: an seja convergente e I: lanl divergente, em cujo caso dizemos que a série I:an"e condtcionalmente convergente. - 3.19. Teorema. Toda série absolutamente convergente é convergente. M ais do que isso, é com··uto.tivo.menteconvergente, isto é, o. soma do. série dada independe do. ordem de seus termos. Demonstração. Sejam Pr a somados termos ar 2': O e gr a soma dos valores absolutos dos termos a,. negativos, onde, em ambos os casos, r S; n. Então, as reduzidas das séries L lanl e I: an são dadas por (3.6) e (3.7) respectivamente. As seqüências (Tn), (Pn) e (qn) são não decrescentes, a primeira das quais converge, por hipótese. Seja T seu limite. Temos que Pn S; Tn S; Te qn S; T« S; T, donde concluímos que (Pn) e (qn) convergem. Sejam p e q seus respectivos limites. Então Sn também converge: Sn = Pn - qn -+ P - q. Isso completa a demonstração da primeira parte do teorema. Para ver que a soma da série dada independe da ordem de seus termos, basta notar que Pn e qn são reduzidas de séries de termos não negativos, e as somas dessas séries independem da ordem em que se considerem seus termos, como vimos no Teorema 3.6 (p. 80). Outro modo de provar a convergência da série utiliza o critério de Cauchy. Para isso observamos que lan+! + ... + an+pl S; lan+!1 + ... + lan~pl·