Análise Matemática - G. Ávila

Análise Matemática - G. Ávila

(Parte 1 de 7)

© 2001 Geraldo Severo de Souza Ávila

É proibida a reprodução total ou parcial por quaisquer meios sem autoriiaçiio escrita da editora

Impresso no Brasil Printed in Brazil o presente livro foi escrito especialmente para alunos de licenciatura em Matemática, por isso mesmo difere dos livros de Análise direcionados aos cursos de bacharelado. Difere nó conteúdo, por não incluir tópicos mais especializados, como a continuidade uniforme, a teoria da integral e a eqüicontinuidaele, de interesse maior no bacharelado e secundário na licenciatura; mas difere também por incluir, no capítulo 1, uma apresentação de certos tópicos sobre os números reais, relevantes nos cursos de licenciatura. Uma terceira diferença está na maneira de apresentação dos vários assuntos, com atenção maior ao desenvolvimento das idéias e aspectos históricos da disciplina.

O texto não inclui um tratamento de derivadas e integrais, mas pressupõe que o leitor já tenha feito um primeiro curso de Cálculo, onde esses tópicos são tratados. É preciso que o leitor tenha um bom conhecimento de derivadas, integrais e suas técnicas. Por isso mesmo, nos momentos- oportunos do desenrolar do curso, o professor eleve levar seus alunos a uma revisão sistemática desses tópicos elo Cálculo; ou mesmo, dedicar várias semanas iniciais a essa revisão.

Num primeiro curso de Cálculo, as apresentações costumam ser feitas de maneira intuitiva e informal, com pouca ou nenhuma demonstração rigorosa. Esse procedimento é seguido, em parte por razões didáticas; mas também por razões ligadas à própria natureza dos tópicos tratados, cujo desenvolvimento histórico ocorreu primeiro ele maneira intuitiva e informal, desde o século XVII· até aproximadamente 1820. A partir ele então, os avanços da teoria exigiam conceituações precisas das idéias de função, continuidade, derivada, convergência, integral, etc. É precisamente uma apresentação logicamente bem organizada ele toelos esses tópicos do Cálculo que constitui um primeiro curso de Análise.

Por essas razões, um elos objetivos principais ele um curso ele Análise é a prática em demonstrações. Enunciar e demonstrar teoremas é uma elas ocupações centrais de todo professor ou estudioso da Matemática, não sendo admissivel que alguém que pretenda ensinar Matemática sinta-se deficiente nesse mister. Daí uma das principais razões ele uma disciplina de Análise nos cursos ele licenciatura.

Mas, aliada a essa tarefa de praticar a arte de enunciar e demonstrar teoremas, o aluno de licenciatura tem, na disciplina de Análise: a oportunidade de se familiarizar com uma das partes mais importantes da Matemática que se vem desenvolvendo desde o início do século XIX. E para facilitar a compreensão desse desenvolvimento, e dar ao leitor uma visão maisabrangente e enriquececlora de to.cla a Matemática, o presente texto incorpora várias notas históricas e complementares ao final de cada capítulo, como já fizemos em outros livros de nossa autoria.

Conversa com o aluno

Ninguém aprende Matemática ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas e claras que sejam suas preleções, por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso ajuda muito, mas é preciso estudar por conta própria logo após as aulas, antes que o benefício delas desapareça com o tempo. Portanto, você, leitor, não vai aprender Matemática porque assiste aulas, mas por que estuda. E esse estudo exige muita disciplina e concentração; estuda-se sentado à mesa, com lápis e papel à mão, prontos para serem usados a todo momento. Você tem de interromper a leitura com freqüência, para ensaiar a sua parte: fazer um gráfico ou diagrama, escrever alguma coisa ou simplesmente rabiscar uma figura que ajude a seguir o raciocínio do livro, sugerir ou testar urna idéia; escrever uma fórmula, resolver uma equação ou fazer um cálculo que verifique se alguma afirmação do livro está mesmo correta. Por isso mesmo, não espere que o IhTO seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contrário, esse leitor será induzido a uma situação passiva, quando o mais importante é desenvolver as habilidades para o trabalho independente; despertando a capacidade de iniciativa individual e a criatividade. Você estará fazendo progresso realmente significativo quando sentir que está conseguindo aprender sozinho, sem ajuda do professor; quando sentir que está realmente "aprendendo a aprender" .

Os exercícios são uma das partes mais importantes do livro. De nada adianta estudar a teoria sem aplicar-se na resolução dos exercícios propostos. Muitos desses exercícios são complementos da teoria e não podem ser negligenciados, sob pena de grande prejuízo no aprendizado. Como em outros livros de nossa autoria, as listas de exercícios são sempre seguidas de respostas, sugestões e soluções. Mas o leitor precisa saber usar esses recursos com proveito, só consultando-as após razoável esforço próprio. E não espere que uma sugestão ou solução seja completa, às vezes é apenas uma dica para dar início ao trabalho independente do leitor.

Ficaremos muito agradecidos a todos os leitores que se dignarem escrevernos, apontando falhas no texto ou fazendo sugestões que possam melhorá-lo em edições futuras. Para isso podem utilizar o endereço da própria Editora .

.Por fim, deixamos aqui consignados nossos agradecimentos ao nosso Editor, Dr. Edgard Blücher, pelo continuado interesse e apoio ao nosso trabalho.

Geraldo Ávila Brasília, maio de 2001

Conteúdo

CAPÍTULO O: PRELIt\IINARES DE LÓGICA,

Proposições e teoremas, l. Condição necessária e suficiente, 2. Dois princípios de Lógica, 3. Contraposiçâo, 3. Uma aplicaçâo, '1. Demonstração por ab-

CAPÍTULO 1: NÚ~IEROS REAIS 6

Números racionais e representação decimal, 6. Números irracionais, 7. .j2 é número irracional, 8. Números reais, 8. Exercícios, 9. Respostas, sugestões e soluções, 10. Noções sobre conjuntos, 1. Especificação de conjuntos, 1l. Propriedades gerais, 12. Exercícios, 13. Sugestões e soluções, 14. Conjuntos finitos e infinitos, 14. Conjuntos enumeráveis, 15. A enumerabilidade do conjunto Q, 15. Números irracionais, 16. A não enumerabilidade do conjunto R, 16. Exercícios, 18. Respostas, sugestões e soluções, 18. Grandezas incomensuráveis, 19. A medição de segmentos, 19. Segmentos incomensuráveis, 20. O retângulo áureo, 2. Urna infinidade de retângulos áureos, 23. Divisão áurea, 23. Exercícios, 24. Sugestões, 24. A crise dos incomensuráveis e sua solução, 25. A teoria das proporções, 25. Desenvolvimento posterior da Matemãtica, 26. Exercícios, 27. Sugestões e soluções, 28. Dedekind e os números reais, 29. Cortes de Dedekind, 29. A relação de ordem, 30. Operações com números reais, 31.0 teorema de Dedekind, 32. Supremo e ínfimo de um conjunto, 3: Exercícios, 35. Sugestões e soluções, 36. Desigualdade do triângulo, 38. Exercícios, 39. Sugestões e soluções, 39. Notas históricas e complementares,

3D. O;; Elementos de Euclides, 3D. O conteúdo dos Elementos, 40. A Geometria dedutiva, 4l. As geometrias não-euclidianas, 41. Os Fundamentos da Matemática, 43. Definição de corpo, 4.

CAPÍTULO 2: SEQÜÊNCIAS INFINITAS 45

Intervalos, 45. Seqüências infinitas, 45. Conceito de limite e primeiras propriedades, 47. Definição de vizinhança, 48. Seqüências limitadas, 51.

Operações com limites, 52. Exercícios, 54. Sugestões e soluções, 5. Seqüências monótonas, 56. O número e, 57. Subseqíiências, 58. Limites infinitos, 59. Seqüências recorrentes, 6l. Exercícios, 62. Sugestões e soluções, 64. Intervalos encaixados, 65. Pontos aderentes e teorema de Bolzano- \Veierstrass, 6. Critério de convergência de Cauchy, 67. Exercícios, 69. Sugestões e soluções, 70. Notas históricas e complementares, 71. A não enumerabilidade dos números reais, 7l. Cantor e os números reais, 7l. Bolzano e o teorema de Bolzano- Weierstrass, 73.

CAPÍTULO 3: SÉRIES INFINITAS 75

Primeiros exemplos, 75. O conceito de soma infinita, 76. Propriedades e exemplos, 7. Série de termos positivos; 80. Exercícios, 81. Respostas, sugestões e soluções, 81. Teste de comparação, 82. lrracionalidade do número e, 83. Exercícios, 86. Sugestões, 87. Teste da razão, 87. Exercícios, 8. Sugestões, 89. O teste da integral, 89. Exercícios, 90. Sugestões, 90. Convergência absoluta e condicional, 91. Séries alternadas e convergência condicional, 92. Exercícios, 94. Notas históricas e complementares, 94. A origem das séries infinitas, 94. A divergência da série harmônica, 95. Nicole Oresme e a série de Swineshead, 96. Cauchy e as séries infinitas, 97.

CAPÍTULO 4: FUNÇÕES, LIMITE E CONTINUIDADE 9

O conceito de função, 9. Terminologia e notação, 100. Vários tipos de função, 102. Exercícios, 103. Sugestões e soluções, 104. Limite e continuidade, primeiras definições, 105. As definições de limite e continuidade, 106. Propriedades do limite, 107. Exercícios, 1. Sugestões e soluções, 112. Limites laterais e funções monótonas, 113. Limites infinitos e limites no infinito, 114. As descontinuidades de uma função, 117. Exercícios, 120. Sugestões e soluções, 121. O teorema do valor intermediário, 122. Exercícios, 124. Sugestões, 125. Notas históricas e complementares, 125. O início do rigor na Análise Matemática, 125. O teorema do valor intermediário, 128. Weierstrass e os fundamentos da Análise, 129. Carl Friedrich Gauss (1777- 1855), 129.

CAPÍTULO 5: SEQÜÊNCIAS E SÉRIES DE FUNÇÕES 131

Introdução, 131. Seqüências de funções, 132. Convergência simples e convergência uniforme, 132. Exercícios, 135. Sugestões e soluções, 136. Conseqüências da convergência uniforme, 137. Séries de funções, 139. Exercícios, 141. Sugestões e soluções, 142. Séries de potências, 143. Raio de con- vergência, 144. Propriedades das séries de potências, 145. Exercícios, 147. Sugestões, 148. As funções trigonométricas, 148. Exercícios, 150. Suges- tões, 150. Notas históricas e complementares, 150. As séries de potências, 150. Lagrange e as funções analíticas, 151. A convergência uniforme, 152. A aritmetização da Análise, 152.

BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 153

Capítulo O

PRELIMINARES DE LÓGICA1

As noções elementares de Lógica que exporemos a seguir são importantes na linguagem matemática, particularmente em Análise. Mas não pense o leitor que seja preciso fazer um curso de Lógica para estudar Matemática. Isso não é, em absoluto, necessário, nem mesmo para quem faz mestrado ou doutorado. Em verdade, as noções de Lógica dadas aqui costumam ser aprcndidus uaturulmcut c, durante o próprio estudo da Matemática.

Lógica e Fundamentos da Matemática são disciplinas milito espccinlizudas, que formam um campo de estudos ele grande importância em Matemática e Epistemologiaé. Mas, no estudo de outras disciplinas matemáticas -·Análise, em particular - bastam os poucos rudimentos que daremos neste capítulo.

Proposições e teoremas

Proposição significa qualquer afirmação, verdadeira ou falsa, mas que faça sentido. Por exemplo, são proposições as três afirmações seguintes:

A) Todo número primo maior do que 2 é ímpar. B) A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180 C) Todo número ímpar é primo.

Observe que dessas três proposições, as duas primeiras são verdadeiras, mas a terceira é falsa, pois 9, 15, 21, etc., são números ímpares que não são primos.

Um teorema é uma proposição verdadeira do tipo "P implica Q", onde P e

Q também são proposições. Escreve-se, simbolicamente, "P => Q" ,·que tanto se lê "P implica Q", como "P acarreta Q", ou "Q é conseqüência de P". P é a hipótese e Q é a tese do teorema. Por exemplo, a proposição A acima é um teorema, que pode ser escrito na forma D => E, onde D e E são as proposições:

D) n é um número primo maior do que 2.

lVeja também o artigo de Gilda Palis e laci Malta, na RPM 37. Para o leitor que ainda não sabe, RPM significa Revista do Professor de Matemática, uma publicação da SBM (Sociedade Brasileira de' Matemática). Essa revista pode ser assinada, e seus números atrasados adquiridos, escrevendo para a Caixa Postal 66281, CEP 05..128-9 São Paulo, SP. 2Veja, no final do capítulo 1, as notas sobre Fundamentos.

2 Capítulo O: Preliminares

E) n é um número ímpar. Outro exemplo de teorema:

S d f - [b /d- a c a + ce uas raçoes a e c sao ujuais, entao b = d = b + d.

Esse mesmo teorema pode também ser escrito assim:

a c a c a+c

Chama-se Lema a um teorema preparatório para a demonstração de outro teorerna. Oorotârio é um teorema que segue como conseqüência natural de outro.

Muitos autores utilizam a palavra "proposição" para designar os teoremas de uma certa teoria, reservando a palavra "teorema" para aqueles. resultados que devem ser ressaltados como os mais importantes.

Condição necessária e suficiente

PAssim, com referência às proposições atrás, D é condição suficiente para que

Num teorema "P '* Q", diz-se que a hipótese P é uma condição suficiente de Q (suficiente para a validade de Q), ou que a tese Q é condição necessária de

E seja verdadeira, e E é condição necessária de D; quer dizer; valendo D, tem de valer E, ou seja, é necessário valer E.

A reciproca de um teorema P '* Q éa proposição Q '* P, que também se escreve P {:= Q. A recíproca de um teorema pode ou não ser verdadeira. Por exemplo, a recíproca do teorema "todo número primo maior do que 2 é ímpar" é "todo número ímpar é primo maior do que 2", Isto é falso, pois nem todo número ímpar é primo. Como exemplo de teorema cuja recíproca é verdadeira considere o teorema de Pitágorus:

Se ABC é um triângulo retângulo em B, então AC2 = AB2 + BC2.

Sua recíproca também é verdadeira, e assim se enuncia:

Se ABC é um triângulo, com AC2 = AB2 + BC2, então ABC é retângulo em B.

Quando a recíproca de um teorema é verdadeira, escrevemos o teorema, juntamente com sua recíproca, na forma P <=} Q. Neste caso, qualquer uma das proposições P e 9 é ao mesmo tempo necessária e suficiente para a validade da outra.

Observe que P '* Q é o mesmo que "vale Q se valer P"; ou ainda, "vale P somente se valer Q". Por isso é costume enunciar um teorema com sua recíproca, p <=} Q, dizendo "P se e somente se Q". P,* Q é a parte "P somente se Q", e Q '* P é a parte "vale P se valer Q" , proposição esta que também costuma ser

Capítulo O: Preliminares 3 escrita mais abreviadamente na forma "P se Q". Note ainda que a proposição P Ç} Q significa que P e Q são proposições equivalentes.

No caso do teorema de Pitágoras, podemos juntar o teorema e sua recíproca num só enunciado, das diversas maneiras seguintes:

A condição necessária e suficiente para que um triângulo ABC seja retângulo em B é que AC2 = AB2 + BC2;

Seja ABC urn. triângulo. Então, ABC é retânqulo em B Ç} AC2 = AB2 + BC2;

Um triângulo ABC é retângulo em B se e somente se AC2 = AB2 + BC2.

Dois princípios de Lógica

A negação de uma proposição A será denotada por Ã. Por exemplo, a negação da proposição "todo número primo é ímpar" tanto pode ser "nem todo número primo é ímpar", ou "existe um número primo que não é ímpar", ou ainda "existe um número primo par" .

Estas duas últimas formas são preferíveis à primeira por serem afirmativas.

A negação da proposição "todo homem é mortal" é "nem todo homem é mortal" ; mas, em forma afirmativa, deve ser "existe um homem imortal". Como veremos, oportunamente, em nosso estudo de Análise, nem sempre é fácil construir. a negação de uma proposição. (Veja, por exemplo, o Exerc. 18 da p. 5.)

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