Apostila do Nivelamento

Apostila do Nivelamento

(Parte 1 de 2)

Professores:

Elainne Ferreira Jefferson Silva Lauriano Souza Manoel Ricardo Silvia Viviane

1. Polinômios e Operações com polinômios 2. Funções Polinomiais 2.1. Funções Afins 2.2. Funções Quadráticas 3. Funções Exponenciais e Logarítmicas 4. Funções Trigonométricas 5. Composição de Funções e Funções Inversas

1. Polinômios e Operações com polinômios

Neste curso de nivelamento estamos interessados em estudar polinômios e suas respectivas operações, com o fim de operacionalizar certos cálculos de limites que surgem durante o estudo do primeiro curso de Cálculo Diferencial e Integral.

Definição 1. (Polinômio) Chamamos expressão polinomial ou polinômio, na variável complexa , toda expressão da forma:

em quesão números

complexos, denominados coeficientes, e um número inteiro não-negativo, denominado grau do polinômio, quando .

Por exemplo, as expressões:

são polinômios. Pela definição dada, não são exemplos de polinômios as expressões:

e , pois as potências da variável ou são números negativos ou são fracionários.

Um fato interessante a se observar é que qualquer número complexo, não-nulo, é um polinômio de grau zero, e que o polinômio , denominado polinômio nulo, não possui grau.

A fim de se ter um estudo mais eficiente de polinômios, costuma-se relacioná-los a funções complexas definidas por

( )

as quais são denominadas funções polinomiais. Assim,

1) ( )
2) ( )

são exemplos de funções polinomiais, de graus e , respectivamente, denominadas função afim e função quadrática. Se o grau de uma função polinomial for igual a zero, então a função é definida por ( ) , onde .

referirmos a um polinômio , de grau

A partir de agora, não iremos mais distinguir polinômio de função polinomial, isto é, quando nos estaremos pensando nas funções polinomiais definidas por:

( )

Com a definição dada de polinômio podemos definir operações entre esses respectivos elementos, estas são a adição, multiplicação e divisão de polinômios. Atentarmo-nos somente a operação que será usada com mais frequência no curso de Cálculo, a saber, a divisão de polinômios.

Sejam ( ) e ( ) dois polinômios, com ( ) . Dividir ( ) por ( ) significa encontrar dois polinômios ( ) e ( ), tais que

( ) ou ( )

i) ( ) ( ) ( ) ( ) i) o grau de ( ) não pode ser maior e nem igual ao grau de

seja maior ou igual ao grau deEis

Chamamos ( ) de dividendo, ( ) de divisor, ( ) de quociente e ( ) de resto da divisão. O método mais elementar para se calcular a divisão de dois polinômios é o denominado método da chave. Ele consiste simplesmente em dividir o polinômio ( ) por ( ), supondo que grau de alguns exemplos:

Exemplo 1. Sejam ( )e
( )Determinar

Resolução. Pelo método da chave, temse:

( )()

Logo, .

Em particular,

Exemplo 2. Simplificar as expressões:

a) b)

Resolução.

a) Novamente, pelo método da chave, temos:

Logo, .

b) Observe que o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, a princípio seria impossível simplificar essa expressão, no entanto, usando a relação:

podemos reescrever

Assim, sendo concluímos que

Um fato que ajuda na divisão de dois polinômios é o fato de ambos possuírem as mesmas raízes. A raiz de um polinômio ( ) é um número complexo

tal que ( )Um polinômio
( ) possuir uma raizsignifica que

divisão ( ) é exata (o resto é nulo).

Se dois polinômios ( ) e ( ) possuem uma mesma raiz , então ( ) pode ser fatorado.

Resolução. Note queé raiz de
eAssim, e

Exemplo 3. Simplificar a expressão são divisíveis por ( ( ))

. Calculando, cada divisão pelo método da chave, obtemos:

( )()

Algumas relações nos ajudam a simplificar o processo de divisão entre polinômios, estas relações são chamadas de produtos notáveis:

i)( )( )
i)( )( )
i)( )( )
iv)( )( )
v) ( )
vi) ( )

Exemplo 4. Calcule:

b)

Resolução.

a) Observe que nenhum dos produtos notáveis pode ser aplicado diretamente no quociente dado, para isto é necessário uma substituição bem comum no cálculo de limites.

eAssim, temos

Sejam √ e √ . Então, que:

Aplicando o produto notável dado por i), obtemos:

( )( ) Logo, b) Observe que a soma √ √

semelhante a soma,

assim devemos fazer uma substituição de modo que possamos transformar √ √

em algo semelhante a

Com efeito, tomando √ e

√ , obtemos:

donde

( )()

E, portanto

Outra definição importante a respeito de polinômios, e que constitui um método de resolução de integrais, é a denominada igualdade entre polinômios.

grau deDizemos que e são iguais

Definição 2. Sejam ( ) e ( ) dois polinômios onde o grau de é igual ao se os coeficientes dos termos de mesmo grau são iguais, isto é, se ( ) e ( ) então

( ) ( ) se

Exemplo 5. Determinar valores reais e de modo que:

Resolução.

Somando as frações do lado direito da igualdade e as igualando a fração do lado esquerdo, obtemos:

( ) ()
obtemos ( ) e ()
ee, portanto

Donde, por igualdade de polinômios, e assim os valores para e serão

Exercícios. 1) Calcule:

√ √

c) b) √ √ d)

2) Determine os valores de , e a fim de que se tenha:

b)

2. Funções Polinomiais 2.1 Funções Afins

As funções afins descrevem uma grande diversidade de fenômenos nas Ciências Exatas, Sociais e Biológicas. Em particular, nos cursos de Exatas o seu estudo é necessário a fim de se compreender vários fenômenos físicos.

funçãochama-se afim quando
existem constantestais que
( )para todo . Em
particular, quando ( )dizemos

Definição 2. (Função Afim) Uma que é uma função linear, e quando ( ) dizemos que é uma função constante.

Exemplo 5. A função,

definida por ( ) , denominada função identidade, é uma função afim. O gráfico que descreve está função é ilustrado na figura abaixo.

Exemplo 6. Uma partícula que se desloca em um MRU, conforme a lei

( ), onde ( ) é sua

posição no instante , tem o gráfico de sua posição e velocidade ( ) dados, respectivamente, por:

Os coeficientes e explicitam o comportamento do gráfico de uma função afim. Seja uma função afim

dada por ( )
deQuando , a reta é
crescente, e quandoa

i) O valor é a inclinação da reta que descreve o gráfico reta é decrescente. Caso , a reta é constante e

será paralela ao eixo
. O número( )
exemplo 6, quando, a

i) O valor é o valor que a função assume quando às vezes é chamado de valor inicial da função. No posição inicial da partícula

era ( )

A variação do valor na função afim indica uma translação do seu gráfico.

2.2 Funções Quadráticas

As funções quadráticas surgem naturalmente em diversos fenômenos físicos, em especial, nos fenômenos que descrevem valores extremantes como, por exemplo, a altura máxima atingida por uma bola chutada na horizontal ou a velocidade mínima de uma partícula que descreve um MRUV.

funçãochama-se quadrática
quando existem números reais,
com, tais que
( )
para todoSua representação no

Definição 3. (Função Quadrática) Uma plano cartesiano é uma curva denominada parábola, conforme é exemplificado nas figuras abaixo.

A abertura da parábola é denominada concavidade, por sua vez, esta abertura estará voltada para cima ou para baixo dependendo do sinal do número real

na expressão do trinômio
( )

Parábola com concavidade voltada para cima Parábola com concavidade voltada para baixo

i)Quando , a

i) Quando , a concavidade da parábola é voltada para cima. concavidade da parábola é voltada para baixo.

O ponto da parábola onde o valor da função quadrática é o maior ou menor valor possível é chamado de vértice da parábola. O vértice da parábola, que descreve o gráfico da função

( )é o ponto de

coordenadas:

onde o número realé

denominado discriminante do trinômio

tal que ( )A relação entre o

. O valor do discriminante indica se o gráfico da parábola intercepta ou não o eixo das abscissas no plano cartesiano. A abscissa do ponto de interseção do gráfico da função quadrática com o eixo é denominada de raiz do trinômio , isto é, é o número real valor do discriminante e as raízes do trinômio é descrita a seguir:

i) Quando, o gráfico da

função quadrática intercepta dois pontos do eixo , cujas abscissas são √

Assim, neste caso, o trinômio possuirá duas raízes reais e distintas.

i) Quando, o gráfico da

função quadrática intercepta um único ponto do eixo , cuja abscissa é

Neste caso, o trinômio possuirá apena uma raiz real.

i) Quando, o gráfico da
não possui raiz real alguma

função quadrática não intercepta o eixo das abscissas. Assim, o trinômio

Exemplo 6. No movimento retilíneo uniformemente variado de uma partícula, sua posição tem uma variação descrita por uma função quadrática.

Seja ( ) a função

posição de uma partícula no instante

O gráfico da posição da partícula no

instanteé apresentado abaixo.
Cada coeficientee tem um

significado na equação que descreve um

verifica queé a posição da partícula
no instanteO valor representa
a velocidade da partícula quando

MRUV. Conforme o gráfico acima, se (pois no MRUV, a velocidade é descrita

por ( )).

Em particular, a reta que descreve o gráfico da velocidade é tangente ao gráfico da posição , e a inclinação

dessa reta é o valor da aceleraçãoda
partícula no instanteAlém disso, a

concavidade dessa parábola, que descreve a variação de posição, é também determinada pelo sinal da

aceleração

Exercícios.

1) Esboçar o gráfico das seguintes funções.

(a) ( )
(b) ( )
(c) ( )
(d) ( )
(e) ( )
(f) ( )

(g) ( )

(h) ( )

instante , por ( ),
posição no instante

2) Dada a posição de uma partícula, no esboçar o gráfico da posição e velocidade. Desenhar em um mesmo gráfico a posição e a velocidade, mostrando que a reta que descreve a velocidade tangencia o gráfico da

3. Funções Exponenciais e Logarítmicas

Vários fenômenos físicos e químicos que ocorrem na natureza têm comportamentos que necessitam ser descritos ao longo de grandes ou curtíssimos espaços de tempo. A variação de temperatura, segundo a lei de resfriamento de Newton, é um exemplo de fenômeno que ocorre rapidamente em pequenos intervalos de tempo. A desintegração radioativa de um determinado elemento químico ou material orgânico é um fenômeno que ocorre em grandes períodos de tempo gradativamente. Todos os fenômenos exemplificados podem ser descritos através de funções exponenciais.

3.1. Função Exponencial

funçãodada por ( ) ,
come , é denominada

Definição 4. (Função Exponencial). A função exponencial de base e definida para todo real.

exponencial. Quandoa função

O valor do número real define a forma como se comportará a função será crescente, isto é, seu gráfico será uma curva ascendente, e quando a função será decrescente, isto é, seu gráfico será uma curva descendente.

exponenciais são ( )( )
e ( )Não são

Alguns exemplos de funções exemplos de funções exponenciais as funções dadas por ( ) ( ) ,

( ) , ( )

, pois não é

definida para todo, é um
polinômio e não é da forma
Na função exponencial ( )

temos:

i) Seentão ( ) , isto é
para todo o (e ).

o par ordenado (0,1) satisfaz a lei

Isso quer dizer que o gráfico de qualquer função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1.

i) Seentão a função é crescente
se
i) Seentão a função é
decrescente se
( )é crescente. De fato, para
, tem-seAssim, a

Exemplo 7. A função que descreve a população de bactérias em cada instante de hora , em uma amostra, dada por população de bactéria cresce a cada unidade de hora de tempo.

Dentre todas as bases para uma função exponencial, há uma que é mais

aproximadamente). Este número
exponencial de base como ( )
ou ( )

conveniente para todos os propósitos do Cálculo. Esta base é dada pelo número de Euller “ ” (que vale surge naturalmente em diversos fenômenos da natureza que possam ser descritos através de funções exponenciais. A partir de agora, daremos preferência a essa base no decorre ao estudo de funções exponenciais. Escreveremos a função 3.2. Funções Logarítmicas

de um número positivona base
base para obter o númeroEscreve-
se:Em
particular, quandoescreveremos
simplesmente

Dado um número real , tal que , define-se como logaritmo ao expoente a que se deve elevar a

função* + dada por
( ), com e , é

Definição 5. (Função Logarítmica). A denominada função logarítmica de base e é definida para todo real positivo.

logarítmica. Quandoa função

O valor do número real define a forma como se comportará a função será crescente, isto é, seu gráfico será uma curva ascendente, e quando a função será decrescente, isto é, seu gráfico será uma curva descendente.

( )( ) e
( )Não são exemplos de

Exemplos de funções logarítmicas são funções logarítmicas as funções dadas

por ( )e ( ) ,

pois não tem base positiva e não é

da forma( ). Em particular,
( )se, e somente se,
( )
Na função logarítmica ( )

i) Os gráficos das funções logarítmicas sempre cortam o eixo no ponto ( ).

i) Quando a base é maior que , os números maiores que tem logaritmos positivos e os números entre e tem logaritmos negativos.

i) Quando a base é menor que , os números maiores que tem logaritmos negativos e os números entre e tem logaritmos positivos.

Assim como para a função exponencial há uma base que é mais conveniente no estudo Cálculo, também haverá uma base que é conveniente à função logarítmica. Esta base também será dada pelo número “ ” A partir de agora, daremos também preferência a essa base no decorrer do estudo do Cálculo. Escreveremos a função logarítmica de base como ( )

().

Exemplo 8. O número, em centenas de indivíduos, de um determinado grupo de animais, dias após a liberação de um predador em seu ambiente, é expresso pela seguinte função:

( )√ ( )

Após cinco dias da liberação do predador, qual o número de indivíduos desse grupo existirá no ambiente?

Resolução. Devemos calcular o valor de ( ), pois esse número representará o número de animais existentes após o predador ser libertado após dias. Ora, temos que:

( )√ ( ) ( √ )

Donde obtemos:

E, portanto ( )

Exercícios.

1) Esboçar o gráfico das seguintes funções:

(a) ( )
(b) ( )
(c) ( )
(d) ( )
(e) ( )
(f) ( )
(g) ( )
(h) ( )

2) Segundo a lei do resfriamento de Newton, a temperatura de um corpo colocado num ambiente cuja temperatura é obedece à seguinte relação: . Nesta relação, é medida na escala Celsius, é o tempo medido em horas, a partir do instante em que o corpo foi colocado no ambiente, e e são constantes a serem determinadas. Considere uma xícara contendo café, inicialmente a 100°C, colocada numa sala de temperatura 20°C. Vinte minutos depois, a temperatura do café passa a ser de 40ºC.

a) Calcule a temperatura do café 50 minutos após a xícara ter sido colocada na sala.

b) Considerandoe

, estabeleça o tempo aproximado em que, depois de a xícara ter sido colocada na sala, a temperatura do café se reduziu à metade.

4. Funções Trigonométricas

As funções trigonométricas surgem naturalmente em fenômenos físicos que descrevem comportamentos oscilatórios ou periódicos. A oscilação de um pêndulo, de uma massa presa a uma mola sob a ação de uma força e a variação de carga e corrente num circuito elétrico, cuja voltagem externa oscila, são exemplos de fenômenos descritos por funções trigonométricas.

4.1. Função Seno

número real o valoré chamada
( )Alguns aspectos

A função que associa a cada de função seno e é definida pela lei importantes da função seno são:

intervalo ,-, isto é, o
limitado pelos valorese
a( ) ( )

i) O domínio é toda a reta real , isto é, todo número real possui valor de seno; i) A imagem de seno é o seno de todo número real é . i) A função seno é periódica e o seu período é , ou seja, iv) O gráfico da função seno é uma curva denominada senóide.

é,( ) .

v) A função seno é ímpar, isto vi) Observando o gráfico da função seno verifica-se que esta é crescente nos e 1o e 4o quadrantes e decrescente nos demais quadrantes.

4.2. Função Cosseno

número real o valoré chamada
( )Os aspectos essenciais da

A função que associa a cada de função cosseno e é definida pela lei função cosseno são:

intervalo ,-, isto é, o
é limitado pelos valores
e
, isto é, a( )

i) O domínio é toda a reta real , isto é, todo número real possui valor de cosseno; i) A imagem de cosseno é o cosseno de todo número real i) A função cosseno é periódica e o seu período é

( ) iv) O gráfico da função cosseno é uma curva denominada cossenóide.

é,( ) .

v) A função cosseno é par, isto vi) Observando o gráfico da função cosseno verifica-se que esta é crescente nos e 3 o e 4o quadrantes e decrescente nos demais quadrantes.

4.3. Função Tangente

número real ao valoré chamada
lei ( )Os aspectos mais

A função que corresponde cada de função tangente e esta é definida pela importantes da função tangente são:

i) O seu domínio é o conjunto dos números reais

{
, daí( ) ( )

i) A imagem da função tangente é toda reta real, em particular, todo número real é a tangente de algum outro número real. i) A função tangente é periódica e o seu período é iv) O gráfico da função tangente é uma curva denominada tangenóide.

isto é,( ) . De
fato,( )

v) A função tangente é ímpar, ( ) vi) A função tangente é crescente no 1o e 3o quadrante, e decrescente no

2o e 4o quadrante.

4.4. Outras funções trigonométricas

Funções trigonométricas que são obtidas diretamente das funções seno, cosseno e tangente e que tem grande utilidade no curso de Cálculo são descritas a seguir.

( )
onde

i) Função Secante ,

( )
onde
,

i) Função Cossecante

( )
onde

i) Função Cotangente

4.5. Relações Importantes da Trigonometria

Apresentamos a seguir algumas relações trigonométricas que surgirão com frequência e que naturalmente serão bastante aplicadas no decorrer do curso de Cálculo.

1)
2)
3)
4)
5)( )
6)( )

Exemplo 9: Demonstrar as seguintes relações:

a)
b)
c)
a) Fazendona relação 5)
b) Fazendona relação 6)

Resolução. obtemos o resultado. obtemos o resultado. c) Somando as relações:

obtemos

donde segue o resultado.

Exercícios: 1) Prove as seguintes relações:

a)
b)
c) √

d)

5. Composição de Funções e Funções Inversas

5.1. Funções Compostas

A composição entre duas funções e consiste em combinar estas funções a fim de se gerar novas funções, chamadas de compostas, as quais geralmente são mais complexas dos que as originais. Isto é, uma função aparamente complexa (uma função elementar que não seja elementar), pode ser reescrita como a composta de funções mais simples.

a função composta,(também

Definição 6. Dadas duas funções e , chamada de composição de e ) é definida por ( )( ) ( ( )).

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