Baixe Programa para análise de superestruturas de pontes de concreto armado e protendido e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! PROGRAMA PARA ANÁLISE DE SUPERESTRUTURAS DE PONTES DE CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO Tales Simões Mattos TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL Aprovada por: ______________________________________________ Prof. Ibrahim Abd El Malik Shehata, Ph.D. ______________________________________________ Prof. Lidia daConceição Domingues Shehata, Ph.D. ______________________________________________ Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL NOVEMBRO DE 2001 MATTOS, TALES SIMÕES Programa para Análise de Superes- truturas de Pontes de Concreto Armado e Protendido [Rio de Janeiro] 2001 XIV, 167 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc.,Engenharia Civil, 2001) Tese – Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE 1. Pontes de Concreto Protendido 2. Concreto de Alta Resistência I. COPPE/UFRJ II. Título (série) 2 Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) PROGRAMA PARA ANÁLISE DE SUPERESTRUTURAS DE PONTES DE CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO Tales Simões Mattos Novembro/2001 Orientador: Ibrahim Abd El Malik Shehata Programa: Engenharia Civil Este trabalho apresenta um programa para análise de superestruturas de pontes de concreto armado e protendido baseado no programa FRAME, que realiza a análise de estruturas de pórtico plano. O programa desenvolvido realiza a análise automática do efeito da carga móvel e da protensão, que pode ser aplicada em até duas etapas, verificando as tensões normais nas fibras extremas das seções transversais da estrutura em cada fase de carregamento e protensão. O programa permite a mudança automática da seção transversal da estrutura, podendo ser usado para a análise de pontes com vigas pré-moldadas ou pré-fabricadas. Foram anexadas ao programa desenvolvido as rotinas do programa CONSEC, que faz a análise não-linear de seções de concreto armado e protendido, considerando concretos de alta resistência, para a verificação à ruptura. O programa foi utilizado para a análise de duas pontes com características distintas e os resultados foram comparados com resultados de programas para a análise e verificação de pontes como o SALT, VEPRO, PROPONTE E VERRU. 5 Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) PROGRAM FOR THE ANALYSIS OF PRESTRESSED CONCRETE BRIDGES SUPERESTRUCTURES Tales Simões Mattos November/2001 Advisors: Ibrahim Abd El Malik Shehata Department: Civil Engineering This work presents a program named “PÓRTICO” that was developed to analyses prestressed concrete bridge superstructures using a subroutine for the analysis of plane frame structures “FRAME”. This program automates the analysis of the superstructure under the action of loads (including moving loads) and prestressing forces, which can be applied to the structure in two stages. In each stage the stresses of the extreme fibers of bridge sections are checked. The program also allows for the change of cross sections characteristics that match the construction fases. For the section analysis the program uses the subroutine “CONSEC” for the non-linear analysis of reinforced and prestressed concrete sections made with high and normal strength concretes. The program was used to analyzes two bridges and the obtained results were compared with the results of other programs (SALT, VEPRO, PROPONTE and VERRU). 6 ÍNDICE 1 – Introdução....................................................................................................................1 2 – Estruturas de Pontes.....................................................................................................4 2.1 – Definição.......................................................................................................4 2.2 – Breve histórico..............................................................................................5 2.3 – Classificação...............................................................................................13 2.4 – Sistemas estruturais.....................................................................................13 2.4.1 – Pontes em lajes.............................................................................13 2.4.2 – Pontes em vigas de alma cheia.....................................................15 2.4.3 – Pontes em vigas de alma vazada (treliça)....................................16 2.4.4 – Pontes em quadro rígido..............................................................17 2.4.5 – Pontes em arco.............................................................................19 2.4.6 – Pontes pênseis..............................................................................21 2.4.7 – Pontes estaiadas............................................................................21 2.4.8 – Coeficiente de dificuldade...........................................................23 2.4.9 – Relação dos maiores vãos para diferentes tipos de estruturas.....24 2.5 – Sistemas construtivos..................................................................................29 2.5.1 – Superestrutura em concreto armado ou protendido moldado no local.............................................................................................29 2.5.2 – Superestruturas com vigas pré-moldadas e pré-fabricadas..........31 2.5.3 – Sistema em balanços sucessivos...................................................32 2.5.4 – Sistema por empurramentos sucessivos........................................37 2.6 – Carregamentos............................................................................................40 3 – Análise de superestruturas de pontes de concreto protendido (pós-tensão)..............41 3.1 – Modelagem de superestruturas de pontes...................................................41 3.2 – Características das seções...........................................................................45 3.3 – Análise dos efeitos da protensão.................................................................47 3.3.1 – Esforços devidos à protensão......................................................47 3.3.2 – Perdas de protensão......................................................................51 3.3.2.1 – Perdas imediatas............................................................51 3.3.2.1.1 – Perda no macaqueamento e nas placas de ancoragem...............................................................52 3.3.2.1.2 – Perda pela retenção do sistema estrutural........52 3.3.2.1.3 – Perda pelo atrito entre a armadura e bainha............53 3.3.2.1.4 – Perda pela acomodação e deformação da ancoragem.. .................................................................................53 3.3.2.1.5 – Perda pela deformação do concreto decorrente da protensão sucessiva.................................................57 3.3.2.2 – Perdas ao longo do tempo............................................58 3.3.2.2.1 – Perda pela retração do concreto......................58 3.3.2.2.2 – Perda pela fluência do concreto......................60 3.3.2.2.3 – Perda por relaxação do aço.............................61 3.3.3 – Concreto.....................................................................................63 3.3.3.1 – Resistência à compressão..............................................63 7 LISTA DE SÍMBOLOS A área da seção transversal Ab área da seção da barra que simula o aparelho de apoio Ac área da seção de concreto An área em planta do aparelho de apoio As área da seção da armadura passiva Apsp área da seção da armadura ativa A(i) área de cada trapézio i bs(i) base superior de cada trapézio i bi(i) base inferior de cada trapézio i E módulo de elasticidade ex excentricidade da armadura na seção “S” Ec módulo de elasticidade secante do concreto aos 28 dias En módulo de elasticidade longitudinal do aparelho de apoio Ep módulo de elasticidade do aço da armadura ativa Ec(t) módulo de elasticidade tangente do concreto na idade de t dias Ecn módulo de elasticidade nominal do concreto Ec,t módulo de elasticidade secante do concreto na idade de t dias Ec,i módulo de elasticidade secante do concreto da camada i Es,j módulo de elasticidade do aço passivo j Esp,k módulo de elasticidade do aço ativo k Fa força axial no aparelho de apoio Ft força tangencial no aparelho de apoio Fp força de protensão fck resistência à compressão do concreto característica fct resistência à tração direta do concreto fcm resistência à compressão do concreto média aos 28 dias fcn resistência à compressão nominal do concreto fyk tensão de escoamento característica do aço da armadura passiva fuk tensão de ruptura característica do aço da armadura passiva 10 fptk tensão de ruptura característica do aço da armadura ativa fct,sp resistência à tração indireta do concreto fct,f resistência à tração na flexão do concreto fck,j resistência à compressão do concreto característica no tempo j Gn módulo de elasticidade transversal do aparelho de apoio h altura fictícia da seção transversal hn altura do aparelho de apoio h(i) altura de cada trapézio ht altura da seção transversal I momento de inércia da seção transversal com relação ao eixo que passa por seu centróide Ib momento de inércia da barra que simula o aparelho de apoio com relação ao eixo que passa pelo seu centróide j(i) momento de inércia de cada trapézio com relação ao eixo que passa pelo seu centróide k perda de tensão por unidade de comprimento devido à curvatura não intencional entre os pontos de fixação da bainha K matriz de rigidez da estrutura L comprimento do elemento lϕ comprimento básico do vão Lb comprimento da barra que simula o aparelho de apoio m carregamento momento distribuído M1 momento isostático de protensão na seção “S1” M2 momento isostático de protensão na seção “S2” Mp momento fletor de protensão na seção “S” n carregamento distribuído axial N1 esforço normal isostático de protensão na seção “S1” N2 esforço normal isostático de protensão na seção “S2” Np esforço normal de protensão na seção “S” nc número de etapas de protensão nd coeficiente de dificuldade q carga distribuída transversal 11 Q1 esforço cortante isostático de protensão na seção “S1” Q2 esforço cortante isostático de protensão na seção “S2” t idade do concreto em dias t1 constante igual a 1 dia U perímetro do elemento em contato com o meio ambiente Vp esforço cortante de protensão na seção “S” y distância do centróide da camada ao eixo z que passa pelo centróide da seção yc distância da fibra de concreto ao eixo z que passa pelo centróide da seção yi distância da fibra extrema inferior da seção ao eixo z que passa pelo seu centróide yp distância do centróide da seção da armadura ativa à fibra inferior da seção ys distância da fibra extrema superior da seção ao eixo z que passa pelo seu centróide ysa distância do centróide da armadura passiva ao eixo z que passa pelo centróide da seção ysp distância do centróide da armadura ativa ao eixo z que passa pelo centróide da seção YcgL(i) distância entre o centróide e a base superior de cada trapézio α ângulo de inclinação entre o cabo e a direção horizontal αE coeficiente que define a influência do agregado no módulo de elasticidade do concreto α(x) soma dos ângulos que determinam cada mudança de direção do cabo entre a ancoragem e a seção β(fcm) coeficiente que determina a evolução da fluência com a resistência do concreto β(t0) coeficiente que determina a evolução da fluência com o tempo βRH função que determina a evolução da retração com a umidade relativa do ar βs(t-t0) função que determina o desenvolvimento da retração com o tempo βsc coeficiente que depende do tipo de cimento 12 1 – INTRODUÇÃO O projeto de uma estrutura envolve algumas etapas que devem ser criteriosamente realizadas para que o sucesso do projeto possa ser alcançado. Estas etapas são: 1) Concepção Estrutural Nesta etapa devem ser definidos o tipo de estrutura, os materiais a serem empregados e o processo construtivo, que dependem de fatores econômicos e técnicos que interferirão direta ou indiretamente na execução da estrutura. Esta etapa depende da criatividade e experiência do engenheiro. 2) Análise Estrutural Depois de concluída a etapa de concepção da estrutura adotando-se o modelo estrutural que melhor represente o comportamento da estrutura sob os carregamentos atuantes. Faz-se a pré-análise da estrutura com suas dimensões arbitradas inicialmente, sendo verificados para cada tipo de ação os esforços solicitantes, as tensões, os deslocamentos e as deformações nos elementos estruturais. 3) Dimensionamento e ou Verificação Uma vez obtidos os esforços e tensões na estrutura, faz-se a verificação ou dimensionamento dos elementos em função dos esforços solicitantes e dos materiais utilizados, devendo ser obedecidas as prescrições de norma. 4) Detalhamento Nesta etapa, a estrutura é detalhada para que possa ser executada, devendo ser resolvidos possíveis problemas nas ligações dos elementos. A concepção e modelagem da estrutura estão condicionadas às ferramentas disponíveis para análise de seu comportamento quando sujeita aos carregamentos atuantes. Antigamente o engenheiro buscava simplificar os sistemas estruturais em função dos escassos meios disponíveis para solucioná-los. Uma estrutura muito complexa exigia uma grande quantidade de esforço para resolvê-la e, por vezes, obrigava o engenheiro a realizar simplificações nem sempre coerentes com o real comportamento da estrutura. 15 A evolução das ferramentas para o cálculo mudou completamente a forma de realizar um projeto estrutural. Da régua de cálculo, passou-se para as máquinas de calcular comuns e programáveis, e chegou-se ao computador pessoal, que efetivamente permitiu a análise matricial de uma estrutura, e à internet, que possibilita a total iteração do projetista com toda comunidade técnica envolvida no projeto. Estas foram mudanças que levaram a modificação no processo de concepção e análise de uma estrutura. Atualmente, o termo “engenheiro calculista” perdeu completamente o sentido; o cálculo não é mais tarefa do engenheiro, é uma tarefa do computador. O engenheiro projetista concentra seus esforços nas tarefas de concepção estrutural, atualmente com muito mais liberdade, e na verificação dos resultados oriundos dos cálculos realizados pelos programas de computador. Pela rapidez de obtenção dos resultados, o engenheiro pode ainda testar várias soluções visando otimizar o projeto estrutural, processo que era difícil no passado e dependia muito da experiência profissional do projetista. Mas apesar de toda evolução, é claro que surgiram problemas e dificuldades. A grande velocidade com que as mudanças ocorreram gerou muitas dificuldades para adaptação e acompanhamento de todo avanço tecnológico. O grande desafio do engenheiro estrutural está em adaptar-se aos novos processos e conceitos da engenharia estrutural decorrentes dessas mudanças. Existe ainda a necessidade de adaptação dos currículos universitários, uma vez que os cursos de graduação não tiveram condições de acompanhar, de uma forma geral, todas as mudanças ocorridas na prática da engenharia. O objetivo deste trabalho é a dar continuidade ao desenvolvimento de um programa de análise de pórticos planos, que realiza a análise pelo método da rigidez, buscando a associação das etapas 2 e 3 de forma automática. O programa inicial foi feito pelo Professor Ibrahim Shehata, tendo sido desenvolvido na linguagem “Visual Basic”. O programa foi complementado para o uso específico em estruturas de pontes e viadutos de concreto armado ou protendido, passando a fazer automaticamente o cálculo das tensões normais devido a cada carregamento, inclusive carga móvel e protensão. O trem-tipo adotado é o rodoviário simplificado da Norma NBR 7188. O programa realiza a verificação à ruptura através da análise não-linear permitindo o uso de concretos de 16 alta resistência, com o uso das curvas tensões de compressão-deformação para o concreto sugeridas pelas normas NBR 6118-2001, NS3453-92 e CEB-FIP MC90 associado ao CEB-FIP boletim 228. O concreto de alta resistência é um material que tem sido muito utilizado em estruturas de pontes tanto pelo aumento da resistência quanto pela sensível melhora na durabilidade da estrutura que normalmente encontra-se em ambientes agressivos. Em 1949, na ponte Walnut Lane, Filadélfia (Russel, 1997), foi utilizado um concreto com resistência à compressão aos 28 dias de 37 MPa , que na época era considerada muito alta. Atualmente, entretanto, concretos com resistências superiores a 100 MPa (Zia, 1997) já tem sido utilizados e apesar do uso de concretos de alta resistência ter-se iniciado há décadas, as pesquisas sobre este material foram intensificadas apenas a partir da década de 80 (Zia, 1997) e alguns países ainda não possuem normas para projeto de estruturas que abranjam concretos com resistência à compressão maior que 50 MPa , que é o caso do Brasil. O programa denominado PÓRTICO, permite mudanças nas características da seção transversal automaticamente, podendo-se realizar a análise de uma segunda etapa de carregamento e protensão atuando após a mudança das características da seção (área e inércia), para o caso da análise de pontes em vigas pré-moldadas ou pré-fabricadas, onde as características da seção transversal se alteram após a consolidarização da laje com a viga. O segundo capítulo deste trabalho ilustra alguns tipos de estruturas de pontes assim como os métodos construtivos utilizados. No terceiro capítulo está descrito o processo para análise e verificação da superestrutura de uma ponte de concreto protendido e os critérios que foram adotados no desenvolvimento do programa; no quarto capítulo está feito um breve resumo do método da rigidez e a descrição do programa desenvolvido com a apresentação das telas do programa. O quinto capítulo descreve as analises feitas com o programa desenvolvido de duas pontes projetadas pela empresa Pontis Consultoria e Projetos LTDA. Os resultados obtidos são comparados com os resultados das análises feitas pelos programas utilizados pela empresa. A conclusão deste trabalho e sugestões para trabalhos futuros estão apresentados no sexto capítulo. 17 As primeiras grandes pontes realizadas foram feitas com madeira e pedras. Oficialmente, a ponte mais antiga de que se tem registro é a ponte de madeira “Sweet Track”, com 1100 metros de comprimento, feita na Inglaterra em 3806 A.C. (segundo www.sbi.se/bridges.htm#arch). A forma estrutural mais utilizada em pontes ao longo do tempo é a de arco. Os simérios parecem ter sido os primeiros a construírem pontes em arco, antes de 3.200 A.C. (segundo www.argonet.co.uk). Os romanos também fizeram muito uso deste tipo de estrutura para construção de pontes e aquedutos. Dois exemplos destas estruturas são a Ponte de Sant´Angelo, originalmente conhecida como “Pons Aelius”, tendo sido construída pelos romanos em torno de 135 A.C., (Foto 2.2) e o aqueduto conhecido como “Pont du Gard” (Foto 2.3), localizado próximo de Nímes, na França, construído pelos romanos há aproximadamente 2000 anos atrás (segundo www.argonet.co.uk). Foto 2.2 – “Pons Aelius” (www.absi-assoc.org) Foto 2.3 – Aqueduto “Pont du Gart” (www.pbs.org) 20 Os materiais predominantemente utilizados na construção destas obras foram as rochas, até o surgimento do aço, que permitiu a construção de estruturas mais leves com vãos maiores. A primeira ponte deste material foi feita em 1779 na Inglaterra e tinha 30 m de comprimento, localizada em Shropshire (Foto 2.4). Esta ponte ficou conhecida como Ponte de Aço (www.civilengineer.about.com/science/civilengineer). Foto 2.4 – Ponte de Aço (www.civilengineer.about.com/science/civilengineer.library) Com a evolução do aço como material de construção e o surgimento do concreto armado e protendido, as pontes em arco puderam ter vãos cada vez maiores. Como exemplos mais recentes destas pontes podem ser citadas a ponte “The New River” com um vão de mais de 500 m (Foto 2.5) e a ponte “Natchez Trace” (Foto 2.6), nos Estados Unidos da América. Foto 2.5 – Ponte “The New River” (www.pbs.org) Foto 2.6 – Ponte “Natchez Trace” (www.pbs.org) 21 Um exemplo da evolução do aço como material de construção é a ponte sobre o Rio “Guadalquivir” em Sevilha (Foto 2.7), uma estrutura muito esbelta que faz a perfeita associação com uma obra de arte. Foto 2.7 – Ponte sobre o rio “Guadalquivir” ( fib, 2000 ) Esses materiais propiciaram o surgimento de novos tipos de estruturas de pontes, com comprimentos e vãos ainda maiores. Além das em arco e em vigas, surgiram as pontes em treliça, suspensas, estaiadas e mistas. A Foto 2.8 mostra o viaduto “Goethals”, que exemplifica uma estrutura em treliça metálica. Ele foi aberto ao tráfego em 1928 e tem 2130m de comprimento e vão central de 200m (segundo www.argonet.co.uk/users/deano/bridges/beam ). Foto 2.8 – Viaduto Goethals (www.argonet.co.uk) 22 Foto 2.12 – Simulação da Ponte de Messina (www.estrettodimessina.it) Na Foto 2.13 vê-se a Ponte da Normadia construída na França em 1995. Ela é uma ponte estaiada com vão central de 856m, que é o segundo maior vão em pontes estaiadas. Foto 2.13 – Ponte da Normandia (www.matsuo-bridge.co.jp) A ponte “Skarnsundet” na Noruega (Foto 2.14) possui 530 m de vão e o tabuleiro feito em concreto. 25 Foto 2.14 – Ponte Skarnsundet ( fib, 2000 ) A ponte “Charles River”, que está sendo construída em Boston, nos Estados Unidos da América (Foto 2.15), com previsão para ser completada entre o final de 2001 e o início de 2002, será a primeira obra a utilizar a combinação de ponte suspensa com ponte estaiada. Ao ser completada, terá um comprimento de 444m com um vão central de 227m (segundo www.civilengineer.about.com/science/civil engineer). Foto 2.15 – Ponte “Charles River” (www.civilengineer.about.com/science) 26 A Figura 2.4 ilustra a maquete eletrônica de uma ponte estaiada que está sendo construída sobre o rio Guamá no Pará que terá 582,4m de vão estaiado (www.setran.pa.gov.br/SIP). Figura 2.4 – Maquete eletrônica da Ponte sobre o Rio Guamá (www.setran.pa.gov.br/SIP) 2.3 – Classificação Quanto à utilização, as pontes podem ser classificadas em rodoviárias, ferroviárias, para pedestres (passarelas), aquedutos, oleodutos, etc. Elas podem ser de madeira, que atualmente são mais utilizadas como obras provisórias, de pedra, de concreto armado ou protendido, de aço ou mistas. Estas últimas são normalmente compostas pela associação do concreto com o aço ou com a madeira. E quanto ao tipo estrutural, as pontes podem ser em laje, em arcos ou abóbadas, em vigas retas de alma cheia ou vazada (treliças), em quadros rígidos, pênseis (suspensas) ou estaiadas. 2.4 – Sistemas Estruturais 2.4.1 – Pontes em Laje As pontes em laje possuem a seção transversal desprovida de qualquer vigamento, podendo ter um sistema estrutural simplesmente apoiado ou contínuo. A Figura 2.5 27 A Figura 2.6 (a) mostra a laje de transição, que tem a função de evitar que, ao ocorrer um eventual deslizamento do solo na proximidade da ponte, exista um degrau entre a estrada e a ponte, o que poderia ocasionar graves acidentes. 2.4.3 – Pontes em Viga de Alma Vazada (Treliças) Nestas pontes, o tabuleiro com a pista de rolamento pode estar na parte superior ou inferior da treliça. São comumente feitas de aço e de madeira, possuindo a característica de ser uma estrutura leve e de rápida execução. Entretanto, podem se tornar estruturas complexas e de grande porte, apesar de leves. A Foto 2.16 mostra a ponte “Forth Railway”, completada em 1889, cujo vão de 513m foi o maior vão construído da sua época (www.civilengineer.about.com). Foto 2.16 – Ponte “Forth Railway” (www.civilengineer.about.com/science) As treliças são classificadas pela disposição de suas hastes, sendo as formas mais representativas a treliça Warren (Figura 2.7(a)), a treliça Pratt (Figura 2.7(b)) e a treliça Howe (Figura 2.7(c)). A treliça Warren é a forma mais simples, sendo normalmente utilizada para vãos entre 50 e 100m de comprimento. A treliça Howe, patenteada por William Howe em 1840 apresentou a inovação de associar hastes de aço verticais com elementos diagonais de madeira (www.howstuffworks.com). 30 (c) (b) (a) Figura 2.7 – Esquemas de pontes em treliças (www.matsuo-bridge.co.jp) 2.4.4 – Pontes em Quadro Rígido Nestas pontes a superestrutura e a mesoestrutura estão monoliticamente ligadas, eliminando-se o uso de aparelhos de apoio. Isto é conveniente no caso em que há pilares esbeltos onde existe a necessidade da redução do comprimento de flambagem (o pilar bi-engastado tem menor comprimento de flambagem), ou quando se deseja ter manutenção mínima, uma vez que inexistem articulações e aparelhos de apoio. Existem várias formas de pontes em quadro rígido. A Figura 2.8(a) exemplifica uma forma muito usada para pontes sobre rios e vales profundos, por dispensar apoios 31 intermediários e pilares extremos e, a Figura 2.8(b) ilustra uma outra forma em que uma única fundação é utilizada para dois elementos de apoio do tabuleiro. (b) (a) Figura 2.8 – Esquemas de pontes em quadro rígido (www.matsuo-bridge.co.jp) A ponte St. Goustan (Foto 2.17), na França, é um exemplo deste tipo de estrutura. Foto 2.17 – Ponte St. Goustan ( fib, 2000 ) 32 2.4.6 – Pontes Pênseis De todos os tipos estruturais, as pontes pênseis ou suspensas, junto com as estaiadas, são aquelas que possibilitam os maiores vãos. Nelas o tabuleiro contínuo é sustentado por vários cabos metálicos atirantados ligados a dois cabos maiores que, por sua vez, ligam-se às torres de sustentação. A transferência das principais cargas às torres e às ancoragens em forma de pendurais é feita simplesmente por esforços de tração. Os cabos comprimem as torres de sustentação, que transferem os esforços de compressão para as fundações. A ponte pênsil, quando sujeita a grandes cargas de vento, apresenta movimentos do tabuleiro que podem tornar o tráfego desconfortável e até perigoso e, por esta razão, exige-se que o tabuleiro seja projetado com grande rigidez à torção para minimizar este efeito. A Figura 2.10 exemplifica esta estrutura. Figura 2.10 – Esquema de ponte pênsil tabuleiro pendurais torre de sustentação 2.4.7 – Pontes Estaiadas As pontes estaiadas diferem das pontes pênseis principalmente na maneira como os cabos são conectados às torres. Nas pontes pênseis os cabos passam livremente através das torres e, nas pontes estaiadas os cabos são ancorados nas torres (Morrissey, 35 www.howstuffworks.com). O sistema estrutural consiste de um vigamento de grande rigidez à torção que se apóia nos encontros e nas torres de ancoragem e de um sistema de cabos retos esticados, denominados estais, partindo dos acessos do vigamento, passando sobre uma ou duas torres de ancoragem e dirigindo-se ao vão central para ancorá-lo e sustentá-lo. As torres ou pilones podem ser projetadas com grande esbeltez porque os estais transmitem apenas pequenas forças provenientes do vento e contribuem em muito para a segurança contra a flambagem. Com relação às pontes pênseis, as pontes estaiadas possuem pendurais mais rígidos, menor rigidez à flexão das vigas, maior eficiência com relação à carga móvel, não apresentam instabilidade aerodinâmica, seu tabuleiro pode ser de concreto armado ou protendido e apresentam menores flechas. A Figura 2.11 ilustra as principais disposições dos estais. (b) Leque Figura 2.11 – Esquemas de pontes estaiadas (a) Harpa A Foto 2.20 ilustra a ponte “Sunshine Skyway” localizada na Flórida. Esta ponte foi uma das primeiras pontes estaiadas em que os cabos são ancorados no centro do tabuleiro, ao contrário da ponte ilustrada na Foto 2.21, localizada perto de Savanah, Geórgia, em que o tabuleiro é sustentado por um grupo de cabos em cada extremidade. 36 Foto 2.20 – Ponte “Sunshine Skyway” (www.pbs.org/wgbh/nova/bridge) Foto 2.21 – Ponte localizada próximo à Savanah, Geórgia (www.howstuffworks.com/bridge) 2.4.8 – Coeficiente de dificuldade A fib (2000) define um coeficiente de dificuldade “nd” para cada tipo de estrutura, que se baseia nos seguintes critérios: • Grau de responsabilidade e risco assumidos pelo engenheiro; • Dificuldade de cálculo e dificuldade técnica para construção; • Complexidade das tarefas; • Dificuldade para execução do projeto; • Condições climáticas, topográficas, geológicas, geo-técnicas e hidrológicas; • Extensão do trabalho necessário. A Tabela 2.1 contém a magnitude do índice em função do sistema estrutural da ponte. 37 Tabela 2.4 – Pontes em Arco de Concreto com Maiores Vãos Ponte País Vão (m) Ano Wanxian China 425 1997 Krk-1 Croácia 390 1980 Jiangjiehe China 330 1995 Yongning China 312 1998 Gladesville Austrália 305 1964 Ponte da Amizade Brasil / Paraguai 290 1964 Bloukrans África do Sul 272 1983 Arrábida Portugal 270 1963 Sando Suécia 264 1943 Chateaubriand França 261 1991 Tabela 2.5 – Pontes em Arco de Aço com Maiores Vãos Ponte País Vão (m) Ano New River George Estados Unidos 518 1977 Bayonne Estados Unidos 504 1931 Sydney Harbor Austrália 503 1932 Fremont Estados Unidos 383 1973 Port Mann Canadá 366 1964 Yajisha China 360 2000 Thatcher Ferry Panamá 344 1962 Laviolette Canadá 335 1967 Zdákov República Tcheca 330 1967 Runcorn-Widnes Reino Unido 330 1961 40 Tabela 2.6 – Pontes em Concreto Protendido com Maiores Vãos Ponte País Vão (m) Ano Stolmasundet Noruega 301 1998 Raftsundet Noruega 298 1998 Humen China 279 1998 Boca Tigris - 2 China 270 1997 Varodd Noruega 260 1994 Gateway Austrália 260 1986 Chongqing Huanghuayuan China 250 1999 Confederação Canadá 250 1997 Skie Reino Unido 250 1995 Ponte São João Portugal 250 1991 Schottwien Austria 250 1989 Tabela 2.7 – Pontes em Caixão Metálico com Maiores Vãos Ponte País Vão (m) Ano Costa e Silva Brasil 300 1974 Neckartalbruecke-1 Alemanha 263 1978 Sava-1 Iuguslávia 261 1956 Ponte de Vitória - 3 Brasil 260 1989 Zoobrucke Alemanha 259 1966 Namihaya Japão 250 1994 Kaita Japão 250 1991 Sava-2 Iuguslávia 250 1970 Auckland Harbour Nova Zelândia 244 1969 Trans-Tokyo Bay Japão 240 1996 41 Tabela 2.8 – Pontes em Treliças Metálicas com Maiores Vãos Ponte País Vão (m) Ano Québec Canadá 549 1917 Firth of Forth Escócia 521 1890 Minato Japão 510 1975 Commandore Barry Estados Unidos 501 1975 Greater New Orleans - 1 Estados Unidos 480 1958 Greater New Orleans - 2 Estados Unidos 480 1988 Howrah Ìndia 457 1943 Veterans Memorial Estados Unidos 445 1995 Transbay Estados Unidos 427 1936 Ikitsuki Japão 400 1991 O gráfico 2.1 relaciona os vãos das pontes com o ano de construção, de acordo com o tipo estrutural. O gráfico evidencia que as pontes pênseis possuem os maiores vãos, seguidas pelas pontes estaiadas. 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Vã o (m ) Suspensas Estaiadas A rco de C oncreto A rco M etálico C oncreto P rotendido C aixão M etálico Treliça M etálica Ano Gráfico 2.1 – Relação dos vãos das pontes com o ano de construção de acordo com o tipo estrutural 42 2.5.2 – Superestruturas com Vigas Pré-moldadas e Pré-fabricadas Nestes sistemas, as vigas são executadas em baias e posicionadas com o auxílio de treliças de lançamento ou guindastes. Normalmente as vigas são de concreto protendido, sendo bastante usual a adoção de duas etapas de protensão; a primeira pouco após a concretagem, ainda na baia, apenas para que a viga suporte o peso próprio e os esforços decorrentes do lançamento da viga, e a outra após o término da construção da laje. Este sistema permite a industrialização do processo construtivo, criando-se um canteiro onde se pode executar as vigas de uma forma muito rápida com o uso de fôrmas metálicas. Após o lançamento das vigas faz-se a concretagem da laje, sendo seu escoramento modernamente efetuado com o auxílio das pré-lajes que, além de servirem de escoramento, também podem conter as armaduras positivas da laje, servindo como elemento estrutural (Almeida, 1996). Quando as vigas são executadas com concreto protendido, faz-se necessária a análise da protensão de acordo com cada fase de carregamento, observando a mudança de característica da seção transversal ao longo da construção. Este sistema apresentava a desvantagem de precisar de juntas de dilatação, que representam uma descontinuidade no tabuleiro da obra e criam um local de futuros problemas e patologias, além do desconforto para o usuário. Modernamente utilizam-se as lajes de continuidade ou lajes elásticas que dispensam o uso de juntas de dilatação em obras de até 150m de comprimento. Este comprimento é limitado para que os efeitos de temperatura no tabuleiro da ponte não sejam excessivos (Almeida, 1994). Segundo Almeida (2000), este sistema construtivo é adequado para vãos entre 25 e 45m, sendo sua aplicação muito vantajosa quando ocorrem os seguintes fatores (isolados ou simultâneos): elevada altura de escoramento; grande comprimento, o que resulta em grande quantidade de vigas, justificando a instalação de um canteiro de fabricação; caixa de rio muito profunda e rios sem regimes definidos; cronograma apertado, exigindo a execução simultânea de superestrutura e mesoestrutura. 45 As vigas pré-fabricadas diferem das vigas pré-moldadas principalmente quanto ao canteiro de fabricação. Enquanto as vigas pré-moldadas são executadas em canteiros temporários e específicos para uma obra, as vigas pré-fabricadas são produzidas em uma fábrica, onde o canteiro de fabricação possui instalações fixas. As principais vantagens do uso das vigas pré-fabricadas são: rígido controle de qualidade das peças; redução do canteiro de obras; rapidez de execução; perfeito acabamento obtido pelo uso de fôrmas metálicas ou de concreto; uso de mão-de-obra especializada; uso de protensão aderente, o que dispensa as operações de protensão no canteiro e injeção das bainhas. Este sistema permite ainda que toda a superestrutura seja pré-fabricada, uma vez que a fábrica pode produzir as vigas, as lajes e o guarda-rodas. Normalmente as vigas são feitas de concreto protendido pré-tracionado, (cordoalhas tracionadas antes da concretagem da viga). O traçado do cabo é retilíneo, e para que não ocorra o excesso de compressão nas regiões próximas aos apoios costuma-se eliminar a aderência do concreto com o cabo nestas áreas, que é feita com o revestimento do cabo com tubos de plástico, permitindo a livre deformação do cabo quando liberado. Uma das desvantagens deste processo é a necessidade de ajustá-lo aos perfis de vigas padronizados pelas fábricas, o que pode até inviabilizar o seu uso. 2.5.3 – Sistema em Balanços Sucessivos Este sistema construtivo foi criado pelo engenheiro brasileiro Emílio Baumgart, para a construção do vão central da Ponte de Herval sobre o rio Peixe em Santa Catarina, em 1930 (Almeida, 2000). O processo consiste da construção da obra em segmentos, denominados de aduelas, que podem ser pré-moldadas ou moldadas no local, constituindo balanços que avançam sobre o obstáculo a ser vencido. As aduelas pré-moldadas são fabricadas no canteiro e transportadas por meio de treliças metálicas até a extremidade do balanço, onde são protendidas longitudinalmente. Entre as aduelas pode-se usar ou não cola à base de resina epóxi, que serve para lubrificar a superfície, diminuir os efeitos das imperfeições 46 das juntas entre as aduelas, impermeabilizar a junta e contribuir para a transmissão das tensões cisalhantes. Quando as aduelas são moldadas no local, a concretagem é executada com o auxílio de fôrmas deslizantes escoradas nos trechos já construídos e, na idade apropriada, as aduelas são protendidas. Mesmo no sistema de aduelas pré- moldadas, o primeiro trecho do balanço, denominado arranque, é moldado no local e o escoramento de sua fôrma feito sobre o apoio. O vão é construído em balanços sucessivos, partindo de cada apoio do vão até a metade do vão, onde é feito o fechamento central evitando articulações que seriam locais de possíveis patologias futuras. A execução deve ser muito bem controlada, principalmente com relação às deformações, para que os trechos cheguem ao centro do vão simultaneamente e coincidentemente. Normalmente, a concretagem do trecho central é realizada nos períodos com menor variação de temperatura, para que os efeitos térmicos não provoquem esforços no trecho até o endurecimento do concreto. Após a concretagem do fechamento central surge um esforço denominado de momento de restituição ou hiperestático da deformação lenta. Este esforço ocorre em função da alteração do sistema estrutural que impede a deformação diferida do concreto que prosseguiria até sua estabilização final. Com a continuidade central o aumento da rotação diferida na seção é impedido surgindo assim o esforço hiperestático. Este esforço é nulo no instante da ligação crescendo progressivamente até um limite em função do fenômeno da relaxação (Mason, 1977). Sempre que possível, projeta-se a obra para que os balanços sejam feitos simetricamente em relação ao apoio, evitando grandes desequilíbrios entre as cargas. Quando os balanços são desiguais ou há balanço em apenas em um vão, pode-se utilizar lastro no vão anterior ao balanço ou até mesmo estais ajustáveis ao desenvolvimento do vão, suportados por torres provisórias e ancoradas no apoio anterior. A Foto 2.22 ilustra uma ponte em arco sendo construída em balanços sucessivos que são sustentados por cabos ancorados em uma torre provisória. 47 Este sistema construtivo é recomendado quando ocorrerem os seguintes fatores: existência de dificuldades de escoramento direto (rios profundos, greides elevados); necessidade de grandes vãos, seja por imposição de gabaritos ou para evitar fundações muito dispendiosas (vãos entre 60 e 240m); execução de viadutos sem a interdição do trânsito em zona urbana. O comprimento das aduelas deve ser constante para facilitar a fôrma, sendo determinado em função da capacidade portante da treliça de escoramento. Na Foto 2.26 vê-se o içamento de uma aduela pré-moldada. Foto 2.26 – Aduela pré-moldada ( fib, 2000 ) A execução em aduelas pré-moldadas pode ser por dois processos distintos, o sistema SHORT-LINE e sistema LONG-LINE. No sistema SHORT-LINE as aduelas são fabricadas com o uso de apenas uma fôrma metálica, sendo esta fôrma muito sofisticada e cara, para atender a todas as diferenças e mudanças entre as seções transversais das aduelas, assim como as conformações em planta e perfil do projeto geométrico da 50 estrutura. No sistema LONG-LINE é fabricada a fôrma para todo o vão, podendo ela ser reaproveitada para outros vãos que sejam iguais. A fôrma e a armação são montadas sobre um escoramento metálico ou sobre uma pista de concreto que poderá servir de fôrma de fundo. As aduelas são concretadas de maneira a garantir a perfeita acoplagem entre si, onde cada aduela concretada na etapa anterior serve de forma para a próxima (Almeida, 2000). A Figura 2.12 ilustra o método de construção em aduelas pré-moldadas. 2.5.4 – Sistema por Empurramentos Sucessivos Este método foi desenvolvido em 1961 pelos engenheiros Leonhardt e Andrae, sendo utilizado pela primeira vez na construção da ponte sobre o Rio Caroni, na Venezuela, realizada entre 1962 e 1964 (Souza, 1983). Neste método, a superestrutura é fabricada nas margens e empurrada para sua posição ao longo dos vãos, funcionando em balanço à medida que vai avançando, até encontrar Figura 2.12 – Formas de lançamento da aduelas pré-moldadas ( fib, 2000 ) 51 o próximo apoio. Cada segmento é executado sobre fôrmas metálicas fixas, sendo concretado contra o anterior já concluído, o que permite a continuidade da armadura na região das juntas. A estrutura é empurrada por macacos hidráulicos e sobre aparelhos de apoio deslizantes de teflon sobre os pilares, que podem ser permanentes ou provisórios, dependendo do tamanho do vão. Uma vez que o trecho dianteiro da estrutura fica em balanço até alcançar os apoios, utiliza-se uma treliça metálica fixada no trecho dianteiro que alcança o apoio antes da estrutura, diminuindo o balanço e reduzindo o momento negativo durante a fase construtiva. A Figura 2.13 ilustra o processo de construção por módulos empurrados sucessivamente. Este processo apresenta as seguintes vantagens: eliminação do escoramento; redução das fôrmas; redução de mão de obra; rápida execução da superestrutura; industrialização da construção. Recomenda-se o uso do método quando existirem os seguintes fatores: obra com greide elevado; travessia em rios ou vales profundos; obras com grande extensão; vãos de até 50 metros para evitar a execução de pilares provisórios (Souza, 1983). Recomenda-se, para aplicação do método, modular os vão intermediários com comprimentos iguais, e os vãos extremos com comprimentos iguais a 75% dos comprimentos dos vãos intermediários. Este procedimento e a adoção de segmentos com comprimentos iguais à metade do comprimento dos vãos intermediários assegura que as emendas dos diversos segmentos coincidam com os quartos do vão, região em que os esforços internos são menores. Figura 2.13 – Esquema de construção de pontes por empurramentos sucessivos aparelhos de apoio teflon usina de fabricação elemento sendo fabricado 7 6 5 4 3 2 1 52 3 – ANÁLISE DE SUPERESTRUTURAS DE PONTES DE CONCRETO PROTENDIDO (PÓS-TRAÇÃO) 3.1 – Modelagem de superestruturas de pontes Normalmente a análise da superestrutura, quando realizada em um único plano, é feita considerando-a como uma viga, principalmente quando ela se encontra apoiada em aparelhos de apoio, que efetuam o desligamento da superestrutura com a mesoestrutura. A modelagem da superestrutura para estes casos torna-se muito simples, consistindo apenas em dividir os vãos da superestrutura para a análise das seções transversais. Esta divisão, normalmente, é feita em décimos de vãos, podendo até ser feita em vigésimos de vãos, para vãos muito grandes. A Figura 3.1 exemplifica a modelagem de uma ponte com dois vãos que foi representada por uma viga contínua. Quando a estrutura não possui aparelhos de apoio, tendo-se o sistema de quadro rígido, a modelagem da superestrutura pode ser feita como pórtico plano que permite a análise dos pilares da mesoestrutura (Figura 3.2). L L L L L L L L L L LL LL L LLL L L LLL LL L LLLL L L L LLL LL L L 55 elementos nós Figura 3.1 – Modelagem de uma superestrutura em viga contínua Figura 3.2 – Modelagem de uma superestrutura em pórtico plano nós elementos Pode-se realizar a modelagem das estruturas de pontes apoiadas em aparelhos de apoio de neoprene na forma de pórtico plano. Esta modelagem é empregada para a análise das superestrutura e mesoestrutura verificando a distribuição dos esforços horizontais atuantes na superestrutura (Figura 3.3). LLL L L LLL L LLL LL L LL L LL Na Figura 3.3, a barra 21 representa o aparelho de apoio de neoprene. As características geométricas desta barra podem ser obtidas pela igualdade entre a deformação devida à distorção do neoprene por atuação de um esforço tangencial unitário e a deformação axial produzida por um esforço normal unitário na barra. A Figura 3.4 ilustra a atuação de forças unitárias em um aparelho de neoprene e as deformações correspondentes, δ a e δ t, obtidas pelas equações 3.1a e 3.1b. Figura 3.3 – Modelagem de uma ponte com apoios de neoprene elementos nós n a nnn n a n hA F δ εσ ⋅=⋅== E E Figura 3.4 – Deformação de um aparelho de apoio de neoprene δ a hn Fa = 1 hn Ft = 1 γ Ft = 1 δ t 56 com Fa = 1 E nn n a A h ⋅ =δ (3.1a) e, n t n n t t h G A F δ τ γ ⋅=⋅== Gn com Ft = 1 nn n t AG h ⋅ =δ (3.1b) A Figura 3.5 mostra a atuação de uma força axial unitária na barra equivalente, que simula o aparelho de apoio, e a deformação correspondente determinada com a equação 3.2. Figura 3.5 – Deformação axial da barra FL = 1 FL = 1 δa Lb L EE A F b a bb b L δεσ ⋅=⋅== Como FL = 1 : bb b a AE L ⋅ =δ (3.2) 57 ( ) ( ))()(3 )(2)()()( ibiibs ibiibsihiycgL +⋅ ⋅+ ⋅= , quando bs ( i ) > bi ( i ) (3.7) ( ) ( )     +⋅ ⋅+ −⋅= )()(3 )(2)(1)()( ibiibs ibiibsihiycgL , quando bs ( i ) < bi ( i ) (3.8)       + +⋅⋅+ ⋅= )()( )()()(4)( 36 )()( 223 ibiibs ibiibiibsibsihij (3.9) onde: A ( i ) é a área de cada trapézio ycgL ( i ) é a distância entre o centróide de cada trapézio e a base superior j ( i ) é o momento de inércia de cada trapézio com relação ao eixo Zi (paralelo ao eixo Z) que passa pelo seu centróide bs ( i ) é a base superior de cada trapézio bi ( i ) é a base inferior de cada trapézio h( i ) é a altura de cada trapézio As características da seção são obtidas de: ∑= )(iAA (3.10) [ ]∑∑ ⋅+= )()()( 2 iyiAijI cgG (3.11) [ ] ∑ ∑ ⋅= )( )()( iA iyiA y cgGs (3.12) sti yhy −= (3.13) onde: A é a área da seção transversal ht é a altura da seção transversal I é o momento de inércia da seção transversal com relação ao eixo Z que passa pelo seu centróide ys é a distância do centróide da seção à fibra superior 60 yi é a distância do centróide da seção à fibra inferior 3.3 – Análise dos efeitos da protensão 3.3.1 – Esforços devidos à protensão Se Fp for a força de compressão produzida pela armadura protendida em uma dada seção “S” (Figura 3.9), os esforços seccionais produzidos são os mostrados na Figura 3.9. onde: yp é a distância, na seção “S”, do centróide da seção do cabo ao bordo inferior da seção ex é a excentridade do cabo com relação ao centróide da seção “S” Np é o esforço normal de protensão na seção “S” Vp é o esforço cortante de protensão na seção “S” Mp é o momento fletor de protensão na seção “S” 61 α yp ex Figura 3.9 – Esforços seccionais devidos à protensão Mp = Np⋅ex S Vp Np α Fp S Mp < 0 Vp > 0 Np > 0 Vp = Fp⋅sen(α) Np = Fp⋅cos(α) Estes esforços seccionais representados na Figura 3.9, normalmente denominados de esforços isostáticos, quando aplicados à estrutura produzem outros esforços que surgem em função dos vínculos da estrutura que está sendo protendida, que tendem a impedir o deslocamento da estrutura provocado pelos esforços isostáticos de protensão. A obtenção desses esforços era feita principalmente pelo método das forças ou pelo processo de Cross, priorizando as solicitações de flexão, onde os momentos de engastamento inicialmente utilizados foram propostos por Khachaturiam . Em 1983, Leonhardt propôs outra forma para obtenção dos momentos de engastamento que superpunha os efeitos isostáticos e hiperestáticos de protensão (Perlingeiro, 1998). Lin (1980), para um trecho genérico do cabo considerado parabólico, transformou os efeitos de protensão em carga distribuída vertical e obteve os esforços de protensão a partir desta carga distribuída, conhecido como método das cargas equivalentes. Este método pode ser aplicado em vigas com inércia variável, mas também não considera a variação da tensão no cabo ao longo de seu comprimento e o traçado do cabo deve ser parabólico. Collins e Mitchel (1991) desenvolveram formulações para os momentos de engastamento que consideram o efeito dos esforços cortantes. Mas este método, assim como os outros, não leva em conta a variação da tensão no cabo ao longo do seu comprimento. As formulações foram desenvolvidas para vigas com inércia constante e a trajetória do cabo definida por uma parábola. Perlingeiro (1998) propôs um método para a análise dos esforços de protensão baseado na transformação dos esforços de protensão em cargas equivalentes, que pode ser usado para cabos com qualquer posição ao longo da viga. A precisão dos resultados depende da discretização do cabo; quanto maior a curvatura do cabo maior deve ser sua discretização. Este processo considera a tensão ao longo do cabo continuamente variável em cada intervalo, e ao contrário dos outros métodos, e é de fácil automatização. A seguir é feita breve descrição desse método. 62 Onde M1 M2 L Qe Qd Figura 3.12 – Momento isostático de protensão L )21( MMQQ ed − =−= (3.17) Os esforços resultantes são apenas os esforços hiperestáticos de protensão (caso existam). 3.3.2 – Perdas de protensão A força de protensão aplicada na extremidade do cabo sofre perdas ao longo do comprimento relacionadas com posição do cabo em cada seção, com o sistema estrutural, com a fluência e a retração do concreto e com a relaxação do aço ao longo do tempo. Estas perdas classificam-se em perdas imediatas e lentas. 3.3.2.1 – Perdas imediatas As perdas imediatas, que ocorrem quando o concreto é protendido, no sistema de pós- tração são: 65 - Perda no sistema de macaqueamento e nas placas de ancoragem; - Perda devido a rigidez do sistema estrutural; - Perda pelo atrito entre a armadura e a bainha; - Perda pela acomodação e deformação das ancoragens; - Perda pela deformação instantânea do concreto decorrente das protensões sucessivas. 3.3.2.1.1 – Perda no macaqueamento e nas placas de ancoragem No ato da protensão ocorrem perdas na transmissão da força pelo macaco hidráulico ao cabo em função da eficiência do equipamento e também pelo atrito na acomodação das placas de ancoragem. Estas perdas são determinadas por processos empíricos e em conjunto. O valor medido varia entre 3,5% e 8,0% da força aplicada ao cabo e faz-se a compensação desta perda pela majoração da força. Uma vez que esta perda é compensada no ato da protensão pelo aumento da pressão manométrica aplicada no macaco hidráulico, ela não interfere no processo de cálculo da distribuição de tensões ao longo do cabo. 3.3.2.1.2 – Perda pela retenção do sistema estrutural Esta perda ocorre em função do sistema estrutural e do elemento estrutural que será protendido, ocorrendo na aplicação da protensão. Para entender sua existência seja o exemplo de uma viga engastada em um pilar com uma rigidez muito maior que a da viga. Quando a protensão for aplicada à viga, a força de protensão não será totalmente transmitida à viga uma vez que esta se encontra impedida de se deslocar, ficando a força de protensão retida no pilar. A análise da protensão pelo método das cargas equivalentes é a única forma de considerar essa perda, uma vez que aplica o efeito da protensão como um carregamento ao sistema estrutural. 66 3.3.2.1.3 – Perda pelo atrito entre armadura e bainha Esta perda depende do traçado do cabo por despertar o atrito nos pontos de contato com a bainha. A tensão σx na armadura em uma seção que se encontra a uma distância “x” da ancoragem ativa, onde é aplicada a tensão inicial σi ao cabo, levando em consideração as perdas por atrito entre o cabo e a bainha é dada, segundo o CEB-FIP MC 90 e a NBR 6118-2001 é dada por: ))(( xkx ix e ⋅+⋅−⋅= αµσσ (3.18) onde: µ é o coeficiente de atrito entre o cabo e a bainha; α(x) é a soma dos ângulos que determinam cada mudança de direção do cabo, em radianos, entre a ancoragem ativa e seção considerada; k é a perda de tensão por unidade de comprimento devido à curvatura não intencional entre os pontos de fixação da bainha. Os valores numéricos de µ e k são determinados experimentalmente. Segundo a NBR 6118 – 2001, k = 0,010 m-1 e os valores de µ são: µ = 0,50 entre cabo e concreto ( sem bainha ); µ = 0,30 entre barras ou fios com mossas e saliências e bainha metálica; µ = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica; µ = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada; µ = 0,05 entre cordoalhas e bainha de polipropileno lubrificada; 3.3.2.1.4 – Perda pela acomodação e deformação da ancoragem A extremidade dos cabos que são ancorados por cunhas sofre até a fixação definitiva um deslizamento δ que provoca uma diminuição do alongamento estabelecido pela protensão. O valor deste deslizamento é função do tipo de ancoragem e da armadura 67 onde Ω* = Ωaf / 2 Uma vez determinado o trecho j, de acordo com a Figura3.16, determinam-se os valores de Xaf e de σx,i. σx x1 σi σ1Ω1 x σ2 σ3 σ4 σj-1 σj x2 x3 x4 xj-1 xj Ω2 Ωj Figura 3.15 – Diagrama de tensões Figura 3.16 – Determinação de σx,i ∆Ω* xac xj σx σj-1 σj x σx,i xj-1 ∆xj ∆σj 70 Assim: )32.3( )31.3( )30.3()( : )29.3( )( )28.3( 2 1 1 121** , *2 1 jjj jjj j j acjj jix j j jac xxx onde x xx x xx σσσ σ σσ σ −=∆ −=∆ Ω+Ω+Ω−Ω=∆Ω ∆ −⋅∆ += ∆ ∆⋅∆Ω⋅ += − − − − L 3.3.2.1.5 – Perda pela deformação instantânea do concreto decorrente da protensão sucessiva Ao se protender uma estrutura de concreto, a mesma sofre uma deformação (encurtamento) que faz com que ocorra um afrouxamento nos cabos previamente puxados. Desta forma, a perda do alongamento nos cabos devida à não simultaneidade da protensão provoca uma perda de tensão em cada cabo. E pela ordem de protensão, o primeiro cabo protendido sofre a maior perda e o último não sofre nenhuma. Considerando-se que, ao protender o último cabo, não houve a injeção da nata de cimento na bainha dos demais, admite-se que a perda de tensão é igual para todas as armaduras que atravessam uma mesma seção da peça, correspondendo a uma fração (nc – 1) / 2nc da deformação instantânea εc ( p+ g1 ) que sofre na seção a fibra longitudinal da peça no nível do centróide das armaduras, sob a ação da totalidade da força de protensão inicial e da parcela g1 de carga permanente da peça que atua no instante da protensão. Desta forma, a perda de tensão nos cabos pela cravação sucessiva é: ppcsp E⋅∆=∆ εσ , (3.33) onde )1(2 1 gpc c c p n n +⋅⋅ − =∆ εε (3.34) 71 com tc gpcp gpc E , )1( )1( + + = σ ε (3.35) onde nc é o número de etapas de protensão, Ec,t é o módulo de elasticidade ( secante ) do concreto na idade de t dias em que ocorre a protensão e σcp (p+g1) é a tensão no nível do centróide das armaduras provocada pela protensão e pela parcela g1 de carga permanente que atua no instante da protensão (Hecksher, 1981). 3.3.2.2 – Perdas ao longo do tempo Após a aplicação da protensão, inicia-se, junto com as perdas imediatas, um processo de perda de protensão estendendo-se por grande parte da vida útil da estrutura, devida à fluência e retração do concreto e à relaxação do aço. A fluência e a retração do concreto ocasionam perdas de protensão pelo fato da armadura estar aderida ao concreto (em cada região a armadura sofre as mesmas deformações que o concreto adjacente). A perda de protensão pela relaxação do aço de protensão ocorre pelo efeito da variação de tensão no cabo quando mantido sob deformação constante, não ocorrendo relaxação pura do cabo por causa da variação de seu comprimento em função das deformações lentas do concreto. 3.3.2.2.1 – Perda pela retração do concreto A retração é a diminuição de volume sofrida pelo concreto, que depende basicamente da umidade relativa e temperatura do ambiente, das dimensões da peça estrutural analisada, da relação água/cimento do concreto. O valor da deformação específica de retração do concreto desde o tempo t0 inicial até um determinado tempo t, segundo o CEB-FIP MC90, é dado pela expressão 3.36. Este método de cálculo está sendo adotado por ser de mais fácil implementação computacional que a nova NBR 6118-2001, similar ao do CEB-FIP 78. ( ) )()(; 00 ttftt sRHcmscs −⋅⋅= ββεε (3.36) 72 dias h h RH RH o H 1500250)(2,11150 0 18 ≤+⋅      ⋅+⋅=β (3.48) 3.3.2.2.3 – Perda por relaxação do aço Este fenômeno equivale à queda de tensão, ao longo do tempo, da resposta elástica das armaduras alongadas, mantidas sob comprimento constante (relaxação pura). Como as peças de concreto sofrem um encurtamento pela retração e fluência, uma vez que o cabo encontra-se aderido ao concreto ele também sofre este encurtamento e, conseqüentemente, não ocorre a relaxação pura e sim uma relaxação relativa, que provoca uma perda de tensão de menor intensidade. A intensidade da relaxação do aço é determinada pelo coeficiente ψ(t,t0), igual a: pi pr tttt σ σ ψ ),( ),( 00 ∆ = (3.49) onde: ∆σpr(t,t0) é a perda de tensão por relaxação pura do instante t0 até o instante t σpi é a tensão na armadura no ato da protensão após as perdas imediatas Os valores da relaxação medidos após 1000 horas sob temperatura de 20ºC, de acordo com CEB-FIB MC90, estão na Tabela 3.3. Tabela 3.3 – Valores de ψ1000, em (%) Cordoalhas Barras Tensão inicial RN RB 0,5 fptk 0,0 0,0 0,0 0,6 fptk 4,0 1,0 2,0 0,7 fptk 8,0 2,0 4,0 0,8 fptk 12,0 4,8 7,0 RN – aços de relaxação normal RB – aços de baixa relaxação fptk – tensão de ruptura característica do aço 75 Para tempos diferentes de 1000 horas e temperatura de 20ºC, tem-se qttt      ⋅= 1000 ),( 10000 ψψ (3.50) Onde )(log 1001000 ψψ≈q (3.51) com ψ (3.52) 1000100 7,0 ψ⋅= A perda de tensão provocada pela interdependência dos efeitos de retração, fluência e relaxação do aço, entre as idades ts e t, pode ser obtida pela expressão 3.53 proposta pelo CEB-FIP 78 semelhante à expressão proposta pela nova NBR 6118-2001.     +⋅+ +⋅⋅+∆+⋅ =∆ ++ 2 ),(11 )(),(),(),( 0 00 tt ttttEtt spo pi picgprsscs rsPc φ σ σ η σσφησε σ (3.53) onde ∆σPc+s+r é a perda total de tensão decorrente da interdependência das perdas lentas c p E E =η (3.54) σcg é a tensão no concreto devida às cargas permanentes no nível do centróide da armadura de protensão σcpo é a tensão no concreto devida à força inicial de protensão (após as perdas imediatas) no nível do centróide da armadura de protensão Para o cálculo da relaxação pura ∆σpr (t,t0) é recomendada para o cálculo da tensão no aço de protensão a expressão (Vasconcelos, 1980) rsPcpip ++∆⋅−= σσσ 30,0 (3.55) onde σp é a tensão no aço de protensão após as perdas de protensão 76 Desta forma, inicialmente deve-se estimar o valor de ∆σPc+s+r e por iterações sucessivas obter o valor final das perdas diferidas. 3.3.3 – Concreto 3.3.3.1 – Resistência à compressão A NBR 6118 - 2000 determina que o menor valor para a resistência à compressão seja de 25 MPa para concretos com armadura ativa. Para tensões de compressão menores que 0,5fc admite-se uma relação linear entre tensões e deformações, sendo utilizado para o módulo de elasticidade o valor secante. Segundo o CEB-FIP MC90, a resistência à compressão do concreto na idade de t dias à temperatura média de 20ºC pode ser estimada pela expressão 3.56, que é também proposta na nova NBR 6118-2001. cmcccm fttf ⋅= )()( β (3.56) com         −⋅ = 1 28 1 )( tt s cc etβ (3.57) Onde s = 0,20 para cimentos de alta resistência inicial ( CP V ) s = 0,25 para cimentos de endurecimento normal e rápido ( CP I e CP II ) s = 0,38 para cimentos de endurecimento lento ( CP III e CP IV ) 3.3.3.2 – Resistência à tração A resistência à tração do concreto normalmente é avaliada a partir da resistência característica à compressão por expressões empíricas. De acordo com a NBR 6118 – 2001, a resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9fct,sp ou 0,7fct,f ou, na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f , pode ser avaliada por meio das equações 77 A Figura 3.17 mostra os diagramas tensão de compressão-deformação para diferentes valores de fck. O CEB-FIP, no boletim 228 (1995) propõe outro tipo de relações tensão-deformações para concretos com 50 MPa < f < 100 MPa: ck Para εc < εco n co c ck c f        −−= ε εσ 11 85,0 (3.68) Para εco < εc < εcu 1 85,0 = ck c f σ (3.69) com: n = 2 – 0,008 ( fck – 50 ) fck em MPa (3.70) εco = [ 2 + 0,005 ( fck – 50 ) ] %o fck em MPa (3.71)             −⋅+= 100 125,2 ckcu f ε %o fck em MPa (3.72) A Figura 3.18 mostra os diagramas tensão de compressão-deformação para alguns valores de fck segundo a proposta do boletim 228 (1995). 0 1 2 3 4 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 fc k = 2 0 M P a fc k = 3 0 M P a fc k = 5 0 M P a fc k = 7 0 M P a fc k = 8 0 M P a σ c (M P a ) ε c (% 0 ) M C 9 0 Figura 3.17 – Diagramas tensão de compressão-deformação segundo o CEB-FIP MC90 80 0 1 2 3 4 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 fc k = 2 0 M P a fc k = 3 0 M P a fc k = 5 0 M P a fc k = 7 0 M P a fc k = 9 0 M P a fc k = 1 0 0 M P a σ c ( M P a ) ε c ( % 0 ) C E B Figura 3.18 – Diagramas tensão de compressão-deformação segundo o boletim 228 do CEB-FIP (1995) A curva tensão-deformação da norma Norueguesa NS-3473 E (1992) pode ser usada para concretos com fck < 94 MPa e suas expressões são: Para 0 < σc < 0,6 fcn cn c cn c f ε εσ = (3.73) Para 0,6 fcn < σc < fcn α ε ε ε ε ε ε ε εσ             − − ⋅      −−= 6,0 6,0 1 cn co cn c cn co cn c cn c f (3.74) com: 1 6,0 − − = cn co cn c ε ε ε ε α (3.75) cn cn cn E f =ε (3.76) Os valores nominais do módulo de elasticidade, da resistência à compressão do concreto, da deformação do concreto referente ao início do patamar do diagrama e da deformação última são dados pelas expressões abaixo: 81 3,01000 cncn fE = (3.77) 8,270,0 += ckcn ff , para fck < 44 MPa (3.78-a) 96,856,0 += ckcn ff , para 44 MPa < fck < 94 MPa (3.78-b) )004,09,1( cnco f+=ε %o (3.79) ( cncncocu Ef5,15,2 −= εε ) (3.80) com fcn , Ecn e fck em MPa. A Figura 3.19 ilustra os diagramas tensão de compressão-deformação, para alguns valores de fck, dados pelas equações da norma norueguesa NS-3473 E (1992). 0 1 2 3 4 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 fc k = 2 0 M P a fc k = 3 0 M P a fc k = 5 0 M P a fc k = 7 0 M P a fc k = 9 0 M P a σ c ( M P a ) ε c ( % 0 ) N S Figura 3.19 – Diagramas tensão de compressão-deformação segundo a NS 3473 E 3.3.4 – Aço de armadura passiva Em cálculos para os estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama simplificado da Figura 3.20 para os aços com ou sem patamar de escoamento, que é válido para intervalos de temperatura entre –20º e 150º C e pode ser aplicado tanto para tração quanto para compressão (NBR 6118-2001). 10%o Figura 3.20 – Diagrama tensão-deformação do aço εs fyd fuk σs 82 00,1007.04,1 ≥⋅−= ϕϕ li (3.81) onde lϕ é o comprimento do vão 3.5– Análise não-linear física Para verificação da resistência da seção de concreto protendido faz-se a análise não- linear física executando o cálculo das tensões e deformações em camadas da seção transversal e exprimindo a deformação axial em função da curvatura do eixo do elemento. São normalmente assumidas as seguintes hipóteses: as seções são planas antes e depois da deformação das mesmas; a resistência do concreto à tração é nula; há aderência perfeita entre a armadura e o concreto. Na Figura 3.23 vê-se a seção transversal discretizada em camadas. A protensão é considerada como um campo de deformações iniciais. Para a seção de concreto armado e protendido, em que o concreto resiste apenas às tensões de compressão e o aço às tensões de tração e de compressão, as equações de equilíbrio, quando a seção está sujeita a flexão composta, são: Figura 3.23 – Discretização da seção transversal C.G. yc, i εc, i ys, j εC.G. εs, j 85 ∫∫∫ ⋅+⋅+⋅= spsc A spsp A ss A cc dAdAdAN σσσ (3.82) ∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= spsc A spspsp A ssas A ccc dAydAydAyM σσσ (3.83) onde: σ é a tensão no nível do centróide da área (dA), y é a distância da área (dA) ao centróide da seção, Ac é a área de concreto da seção resistindo a tensões de compressão, As é a área de armadura passiva na seção, Asp é a área de armadura ativa na seção. As equações 3.82 e 3.83 podem ser substituídas pelas equações 3.84 e 3.85, onde as integrais são substituídas por somatórios. ∑∑∑ ∆⋅+∆⋅+∆⋅= k kspksp j jsjs i icic AAAN ,,,,,, σσσ (3.84) ∑∑∑ ∆⋅⋅+∆⋅⋅+∆⋅⋅= k kspkspksp j jsjsjs i icicic AyAyAyM ,,,,,,,,, σσσ (3.85) onde: i = 1,2, .... , n camadas de concreto submetido a compressão, j = 1,2, .... , m camadas de armadura passiva, k = 1,2, ... , l camadas de armadura ativa. A deformação de qualquer camada da seção é dada pela equação abaixo. yCG ⋅−= ϕεε (3.86) onde: ϕ é a rotação por unidade de comprimento do eixo da viga, y é a distância do centróide da camada ao centróide da seção, εCG é a deformação ao nível do centróide da seção. As relações constitutivas dos materiais fornecem as tensões em cada material, sendo iguais a: 86 icicic E ,., εσ ⋅= (3.87) jsjsjs E ,,, εσ = ⋅ ⋅ ⋅ (3.88) kspkspksp E ,,, εσ ⋅= (3.89) onde: Ec,i é o módulo de elasticidade secante do concreto da camada i Es,j é o módulo de elasticidade secante do aço passivo j Esp,k é o módulo de elasticidade secante do aço ativo k Com 3.86 nas equações 3.87 a 3.89 e com estas nas equações 3.84 e 3.85, as equações de equilíbrio tomam a forma: ϕε +⋅=− 2,11,1 KKNN CGP (3.90) ϕε +⋅=+− 2,21,2 KKMM CGP (3.91) onde: ∑ ∆⋅⋅= k kspkspkspP AEN ,,, ε (3.92) ksp k kspkspkspP yAEM ,,,, ⋅∆⋅⋅= ∑ ε (3.93) ∑ ∑ ∑ ∆⋅+∆⋅+∆⋅= i j k kspkspjsjsicic AEAEAEK ,,,,,,1,1 (3.94) 2 ,,, 2 ,,, 2 ,,,2,2 ksp i j k kspkspisjsjsicicic yAEyAEyAEK ⋅∆⋅+⋅∆⋅+⋅∆⋅= ∑ ∑ ∑ (3.95)       ⋅∆⋅+⋅∆⋅+⋅∆⋅−= ∑ ∑ ∑ ksp i j k kspkspjsjsjsicicic yAEyAEyAEK ,,,,,,,,,2,1 (3.96) K2,1=K1,2 (3.97) ou, na forma matricial,             =      +− − ϕ ε CG P P KK KK MM NN 2,21,2 2,11,1 87 As incógnitas são os deslocamentos nodais da estrutura, excetuando aqueles definidos pelas condições de contorno da estrutura, e a solução do problema consiste na obtenção destes deslocamentos satisfazendo as condições de equilíbrio de cada elemento da estrutura assim como de toda a estrutura. Um elemento de pórtico plano (Figura 4.1) possui três incógnitas nodais: duas translações, u e v; e uma rotação θ. A matriz de rigidez global da estrutura é geralmente montada a partir da matriz individual de cada elemento [KL], que inicialmente é obtida no sistema de coordenadas locais (plano XY). Para o caso de elementos de pórticos planos ela reduz-se a: y xu1 u2 θ1 θ2 v1 v2 1 2 L Figura 4.1 – Elemento de pórtico plano                               − −−− − − − − = L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L AE L AE L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L EI L AE L AE KL 460260 61206120 0000 260460 61206120 0000 ][ 22 2323 22 2323 onde: A é a área da seção transversal do elemento, E é o módulo de elasticidade do material do elemento, I é o momento de inércia do elemento com relação ao seu eixo Z (Figura 4.1), 90 L é o comprimento do elemento. A partir da matriz de rigidez de cada elemento, as forças que atuam nas extremidades do elemento podem ser obtidas por: {Fi} = [ Kij ]L {Uj} (4.2) Para a montagem da matriz de rigidez global da estrutura, os deslocamentos e a matriz de rigidez de cada elemento são transformados para o sistema global de coordenadas usando-se a relação geométrica entre os sistemas de coordenadas (Figura 4.2). n θx Y z y x X Z Figura 4.2 – Sistemas de coordenadas Pela relação geométrica entre os eixos pode-se definir a matrix de transformação de coordenadas [T], também definida como matriz de rotação, que transforma as deformações locais dos elementos em deformações globais pela relação: [ Uj ]G = [ T ] { Uj }L (4.3) A matriz de rigidez global do elemento é: [ Kij ]G = [ T ]-1 [ Kij ]L [ T ] (4.4) onde, para pórticos planos, a matriz de transformação [ T ] é igual a: [ ]                     − − = 100000 0cossen000 0sencos000 000100 0000cossen 0000sencos θθ θθ θθ θθ T 91 A matriz de rigidez da estrutura é formada pela superposição das matrizes de rigidez dos elementos em função dos elementos que estão conectados entre si. A matriz de rigidez da estrutura é uma matriz da seguinte forma: K = Superposição dos componentes dos elementos conectados entre si Componentes do elemento 1 Componentes do elemento 2 Componentes do elemento 3 Componentes do elemento 4 Com a matriz de rigidez da estrutura definida e a associação das condições de contorno, pode-se calcular os esforços e deslocamentos na estrutura para cada carregamento atuante. 92 15 – Caso haja outro conjunto de carregamento “Y” vai-se para a etapa 6, caso contrário “N” e encerra-se o bloco de dados. 4.1.4 – Fluxograma do programa O fluxograma do programa está representado na Figura 4.4. 95 Figura 4.4 – Fluxograma do programa inicial. ARQUIVO DE ENTRADA DE DADOS ROTINA FRM GERA A MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DA ESTRUTURA VERIFICA ALTURA DA BANDA h < 45 ? NÃO ENCERRA O PROGRAMA SIM REARRANJA A MATRIZ DE RIGIDEZ ROTINA INTR TRIANGULIZA A MATRIZ DE RIGIDEZ ROTINA TRIANG EXISTEM CARGAS NODAIS? LEITURA DOS NÓS CARREGADOS E VETORES DE CARGA ROTINA JLOADNÃO EXISTEM CARGAS NO ELEMENTOS? SIM LEITURA DOS ELEMENTOS, VETORES E TIPOS DE CARREGAMENTOS E GERAÇÃO DAS CARGAS NODAIS ROTINA FEFF ORDENA O VETOR DE CARREGAMENTOS ROTINA ORDER RESOLVE O SISTEMAS DE EQUAÇÕES ROTINA BKSUB CALCULA OS ESFORÇOS NOS EXTREMOS DOS ELEMENTOS ROTINA FMEF EXISTE OUTRO CARREGAMENTO? SIM NÃO NÃOSIM CONCLUI O ARQUIVO DE RESULTADOS E TERMINA O PROGRAMA 4.1.5 – Tela do programa O programa possui uma tela principal (Figura 4.5) onde são mostradas as principais características da estrutura analisada como: o nome e localização dos arquivos de entrada e saída de dados; o título do trabalho; número de nó, elementos e restrições da estrutura; tempo de execução; um campo de texto com o resultado da análise da estrutura. Figura 4.5 – Tela do programa inicial. 4.2 – Programa desenvolvido O programa “FRAME” foi ampliado, implementando-se a análise para carga móvel, assim como o cálculo das tensões normais para cada carregamento atuante na estrutura, orientando o programa para o cálculo de estruturas de pontes protendidas, verificando o efeito da protensão e também a possibilidade de duas etapas de carregamento e/ou protensão com a implementação da mudança automática das características das seções. 96 Inicialmente foi feita a construção de telas que permitem a entrada dos dados e em seguida a implementação da mudança automática das características das seções, da análise dos carregamentos que atuam após essa mudança e das tensões normais nas fibras extremas das seções para cada carregamento. A seguir foi feita a implementação para a análise da carga móvel, e da protensão. O passo seguinte foi anexar algumas rotinas do programa “CONSEC”, de autoria do Prof. Ibrahim Shehata e co-autoria dos alunos Tales Simões Mattos e Breno Ferreira Grossi. O programa faz a análise não-linear e otimização de seções de concreto armado e protendido. As rotinas anexadas foram apenas as relacionadas à análise não-linear. 4.2.1 – Mudança das características das seções As seções podem ser discretizadas de duas formas: diretamente por seus valores (área, inércia, distância do centróide à fibra extrema superior e distância do centróide à fibra extrema inferior) ou através de trapézios, triângulos e retângulos. Neste último caso, o programa faz o cálculo automático das características de acordo com as formulações descritas no item 3.2. As seções da estrutura podem ser associadas aos elementos ou nós da estrutura. Na segunda alternativa, o programa considera para área e a inércia de cada elemento a média aritmética das características das seções nos extremos do elemento. Deve-se associar as seções que atuam na primeira etapa de carregamento e/ou protensão e as seções que atuam na segunda etapa (quando houver). 4.2.2 - Segunda etapa de carregamentos Inicialmente é feito o cálculo das tensões normais para cada carregamento que atua na estrutura. As tensões normais para os carregamentos que atuam na primeira etapa de protensão são calculadas nas fibras indicadas na Figura 4.6a e as tensões normais para os carregamentos que atuam na segunda etapa são calculadas nas fibras indicadas na 97