Matematica para Economistas Alpha Chiang.pdf

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(Parte 1 de 6)

MatemMica para Economistas

Bibnoteca Reg'z'onal

Matematica para Economistas traducao da 4a edicao

Alpha C. Chiang Kevin Wainwright

Consultoria Editorial Gerson Lachtermacher

Professor adjunto FCE/UERJ e EBAPE/FGV

Traducao Arlete SimiIle Marques

Revisao Tecnica Rafael José lorbo Jr.

Pesquisador Titular do Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada (IMPA) et; CAMPUS

Para Emily, Darryl e Tracey - Alpha C. Chiang

Para Skippy e Myrtle - Kevin Wainwright

Eiblioteca Regionai'CI IT

Os Autores

Alpha C. Chiang concluiu seu doutorado na Columbia University em 1954, apOs terminar seu bacharelado na St. John's University (Shangai, China) em 1946 e fazer mestrado na University of Colorado em 1948. Em 1954, juntou-se ao corpo academico da Denison University em Ohio, onde assumiu a chefia do Departamento de Economia em 1961. De 1964 em diante, lecionou na University of Connecticut, onde, apOs 28 anos, tornou-se Professor Emerito de Economia em 1992. Foi tambem Professor Visitante do New Asia College, da Chinese University of Hong Kong, da Cornell University, da Lingnan University em Hong Kong e da Helsinki School of Economics and Business Administration. Entre suas publicacOes ha um outro livro sobre economia matematica: Elements of Dynamic Optimization, Waveland Press, Inc., 1992. Entre as honrarias que recebeu figuram premios da Ford Foundation e auxilios da National Science Foundation, eleicao para a presidencia da Ohio Association of Economists and Political Scientists, 1963-1964, e citacao na publicac-ao Who's Who in Economics: A Biographical Dictionary of Major Economists 1900-1994, MIT Press.

KevinWainwright e membro do corpo academico do British Columbia Institute of Technology em Burnaby, B.C., Canada. Desde 2001, ocupa o posto de presidente da associac-ao de docentes e de chefe do programa de Administrac-ao de Empresas. Fez sua pOs-graduac.ao na Simon Fraser University em Burnaby, B.C., Canada, e continua a lecionar no Departamento de Economia dessa universidade. Especializou-se em teoria microeconOmica e economia matematica.

Prefacio

Este livro foi escrito para estudantes de economia que pretendem aprender os metodos maternaticos basicos que se tornaram indispensaveis para urn entendimento adequado da literatura economica corrente. Infelizmente, para muitos, estudar maternatica é assim como tomar urn remedio amargo — absolutamente necessario, mas extremamente desagradavel. Essa atitude, denominada "medo da matematica", tern suas raizes — assim acreditamos — em grande parte, na maneira desfavoravel corn que a matematica geralmente é apresentada aos estudantes. Na crenca de que concisao significa elegancia, as explanacOes oferecidas muitas vezes sao demasiadamente breves para serem claras, o que deixa os estudantes perplexos e lhes passa um sentimento imerecido de inadequacao intelectual. Urn estilo de apresentacao excessivamente formal, quando nao acornpanhado por quaisquer ilustracOes ou demonstracoes intuitivas de "relevancia", pode prejudicar a motivacao. Uma progressao desequilibrada do nivel do material evidentemente pode fazer corn que certos topicos da matematica parecam mais dificeis do que realmente sao. Finalmente, problemas excessivamente sofisticados apresentados como exercicios tendem a destrocar a eonfianca dos estudantes em vez de estimular o raciocinio, que é o que se pretende.

Corn isso ern mente, fizemos um seri° esforco para minimizar as caracteristicas que despertarn o medo. Na medida do possivel, oferecemos explanacOes pacientes e nao misteriosas. 0 estilo é deliberadamente informal e "amigavel ao leitor". Como questao de rotina, tentamos prever e responder a perguntas que provavelmente surgirdo nas cabecas dos estudantes durante a leitura. Para salientar a relevancia da maternatica para a economia, deixamos que as necessidades analiticas dos economistas motivassem o estudo das tecnicas matematicas relacionadas e entao ilustramos imediatamente essas tecnicas corn modelos econornicos adequados. Alem disso, montamos a caixa de ferramentas matematicas segundo um esquema cuidadosamente gradativo, no qual as ferramentas elementares servem de base e degrau para as ferramentas mais avancadas discutidas adiante. Sempre que adequado, ha representacoes graficas que proporcionam urn reforco visual aos resultados algebricos. Os problemas e exercicios de fixacao foram elaborados como treinamento para ajudar a solidificar a compreensao e a reforcar a confianca, ern vez de propor desafios que poderiam inadvertidamente frustrar e intimidar o novato.

Abordamos, neste livro, os seguintes tipos principals de analise economica: estatica (analise de equilibrio), estatica comparativa, problemas de otimizacao (urn tipo especial de estatica), dinamica e otimizacao dinamica. Para enfrentar essas analises, sao introduzidos os seguintes metodos matematicos na ocasiao oportuna: algebra matricial, calculo diferencial e integral, equac6es diferenciais, equacoes de diferenca e teoria do controle otimo. Devido a quantidade substancial de modelos economicos ilustrativos — tanto macro quanto micro — que aparecem neste livro, ele tambern devera ser ñtil para quern ja conhece matematica, mas ainda precisa de um guia que o leve do reino da matematica para a terra da economia. Por essa mesma razao, o livro nao deve servir apenas como urn texto didatico para um curso sobre metodos matematicos, mas tambem como leitura suplementar ern cursos como teoria microeconOrnica, teoria macroeconomica e crescimento e desenvolvimento economic°.

Tentamos conservar os principais objetivos e o estilo das edicoes anteriores. Todavia, a presente edicao contem diversas modificacOes significativas. 0 material sobre programacao matematica agora é apresentado mais cedo, em um novo Capitulo 13, intitulado "Topicos Adicionais de Otimizacao". Esse capitulo tern dois temas principais: otimizacao corn limitacOes de desigualdade e o teorema do envelope. No primeiro tema, as condicnes de Kuhn-Tucker sao desenvolvidas de urn modo muito semelhante ao que foi empregado na edicao anterior. Contudo, o topic° foi aprimorado corn diversas novas aplicacoes economicas, entre elas a determinacao de preco de carga de pico e o racionamento de consumo. 0 segundo tema refere-se ao desenvolvimento do teorema do envelope, a funcao de valor maxim° e a nocao de dualidade. Aplicando o teorema do envelope a varios modelos econOmicos, obtemos resultados importantes como a identidade de Roy, o lema de Shepard e o lema de Hotelling.

A segunda maior adicao a esta edicao é urn novo Capitulo 20 sobre a teoria do controle 0 proposito deste capitulo é apresentar ao leitor o basic() do controle 6timo e demonstrar flPrefacio ELSEVIER como ele pode ser aplicado a economia, incluindo exemplos da economia de recursos naturais e da teoria do crescimento Otimo. 0 material deste capitulo aproveita, em grande parte, a discussao da teoria do controle Otimo em Elements of Dynamic Optimization, de autoria de Alpha C.

Chiang (McGraw-Hill 1992, agora publicado por Waveland Press, Inc.), que apresenta um tratamento minucioso tanto do controle Otimo quanto de seu precursor, o calculo de variacOes.

Alem desses dois novos capitulos, ha diversos acrescimos e refinamentos significativos nesta edicao. No Capitulo 3, ampliamos a discussao da resolucao de equacOes polinomiais de grau mais alto por fatoramento (Secao 3.3). No Capitulo 4, foi acrescentada uma nova secao sobre cadeias de Markov (Secao 4.7). E, no Capitulo 5, introduzimos a verificacao da classificacao de uma matriz por meio de uma matriz escalonada (Secao 5.1) e a condicao de Hawkins-Simon em conexao com o modelo de insumo-producao de Leontief (Secao 5.7). No que diz respeito a aplicacOes econOmicas, foram acrescentados muitos novos exemplos, e algumas das aplicacOes existentes foram aprimoradas. Foi incluida uma versao linear do modelo IS-LM na Secao 5.6, e uma forma mais geral do modelo na Secao 8.6 foi ampliada para abranger tanto uma economia aberta quanto uma fechada, demonstrando, assim, uma apficacao muito mais rica da estatica compara- tiva a modelos de funcao geral. Entre outros acrescimos estao uma discussao da utilidade esperada e da preferencia de riscos (Secao 9.3), um modelo de maximizacao de lucros que incorpora a funcao de producao de Cobb-Douglas (Secao 1.6) e um problema de escolha intertemporal de dois periodos (Secao 12.3). Por fim, os problemas e exercicios de fixacao foram revisados e aumentados para dar aos alunos uma oportunidade maior de aprimorar suas habilidades.

Agradecimentos

Ha muitas pessoas as quais temos de agradecer pela redacao deste livro. Antes de mais nada, devemos muito a todos os matematicos e economistas cujas ideias originais pavimentam este volume. Em segundo lugar, ha muitos alunos cujos esforcos e perguntas ao longo dos anos nos ajudaram a moldar a filosofia e a abordagem deste livro.

As tres edicOes anteriores beneficiaram-se dos comentarios e sugestoes de (em ordem alfabetica dos sobrenomes): Nancy S. Barrett, Thomas Birnberg, E. J. R. Booth, Charles E. Butler, Roberta Grower Carey, Emily Chiang, Lloyd R. Cohen, Gary Cornell, Harald Dickson, John C. H. Fei, Warren L. Fisher, Roger N. Folsom, Dennis R. Heffley, Jack Hirshleifer, James C. Hsiao, Ki-Jun Jeong, George Kondor, William F. Lott, Paul B. Manchester, Peter Morgan, Mark Nerlove, J. Frank Sharp, Alan G. Sleeman, Dennis Starleaf, Henry Y. Wan, Jr. e Chiou-Nan Yeh.

Na presente edicao, agradecemos sinceramente as sugestoes e ideias de Curt L. Anderson,

David Andolfatto, James Bathgate, C. R. Birchenhall, Michael Bowe, John Carson, Kimoon Cheong, Youngsub Chun, Kamran M. Dadkhah, Robert Delorme, Patrick Emerson, Roger Nils Folsom, Paul Gomme,Terry Heaps, Suzanne Helburn, Melvin Iyogu, Ki-Jun Jeong, Robbie Jones, John Kane, Heon-Goo Kim, George Kondor, Hui-wen Koo, Stephen Layson, Boon T. Lim, Anthony M. Marino, Richard Miles, Peter Morgan, Rafael Hernández Nunez, Alex Panayides, Xinghe Wang e Hans-Olaf Wiesemann.

Nosso profundo agradecimento a Sarah Dunn, que nos atendeu com tanta capacidade e boa-vontade como digitadora, revisora e assistente de pesquisa. Devemos tambem urn agradecimento especial a Denise Potten por sua dedicacao e capacidade logistica no estagio de producao. Por fim, estendemos nossa sincera apreciacao a Lucille Sutton, Bruce Gin e Lucy Mullins, da McGraw-Hill, por sua paciencia e dedicacao na producao deste manuscrito. 0 produto final e quaisquer erros que ainda persistirem sao de nossa exclusiva responsabilidade.

Sugestaes para o uso deste livro

Devido a acumulacao gradativa das ferramentas matematicas propiciada pela organizacao deste livro, o modo ideal de estuda-lo é seguir a risca sua sequencia especIfica de apresentacao. Contudo, ha algumas alteracoes possIveis na sequencia de leitura: apos concluir as equacoes diferenciais de primeira ordem (Capitulo 15), o leitor pode passar diretamente para a teoria do controle Otimo (Capitulo 20). Entretanto, se passar diretamente do Capftulo 15 para o CapItulo 20, seria born que o leitor lesse a Secao 19.5, que trata de diagramas de fase de duas variaveis.

Se a estatica comparativa nao for uma area de preocupacao primordial, o leitor pode omitir a analise estatica comparativa de modelos de funcao geral (Capitulo 8) e passar do Cap Itulo 7 diretamente para o Capitulo 9. Nesse caso, entretanto, seria necessario omitir tambem a Secao 1.7, a parte da Secao 12.5 dedicada a estatica comparativa, bem como a discussao da dualidade no CapItulo 13.

Alpha C. Chiang Kevin Wainwright

Sumkio

PARTE 1 Introdu o 1

Capitulo 1 A natureza da economia matemMica 3

1.1 Economia matemkica versus economia n50-matemkica3 1.2 Economia matemkica versus econometria4

Capitulo 2 Modelos econmicos 7

2.1 Componentes de um modelo matemkico7

Vardiveis, constantes e parametros7 Equacaes e identidades8 2.2 0 sistema de nUmeros reais9 2.3 0 conceito de conjunto10

Notacao de conjunto10 Relacao entre conjuntos11 Operacaes com conjuntos12 Leis das operacaes com conjuntos14 Exercicio 2.315 2.4 RelaQ5es e funes16

Pares ordenados16 Relacaes e funcaes17 Exerckio 2.420

2.5 Tipos de fun5o20

Funcaes constantes 20 Funcaes polinomiais 21 Funcaes racionais22

Funcaes nao-alOricas 2 Uma digress ao sobre expoentes22 Exerckio 2.525 2.6 Funes de duas ou mais vari5veis independentes25 2.7 Niveis de generalidade27

PARTE 2 AnMise esthtica (ou de equilibrio)29

Capitulo 3 AnMise de equilibrio em economia31

3.1 0 significado de equilibrio31

3.2 Equilibrio parcial de mercado — um modelo linear32 Construcao do modelo32

Solucao por eliminacao de vardweis33 Exerckio 3.235 3.3 Equilibrio parcial de mercado — um modelo n-ao-linear35

Equacao quadratica versus funcao quadrcffica36 A firmula quadratica37 Uma outra solucao grafica38 Equacaes polinomiais de grau mais alto38 Exerckio 3.340

Sumario ELSEVIER

3.4 Equilibrio geral de mercado41

Modelo de mercado de duas mercadorias41 Exemplo numerico42 Caso de n mercadorias43 Soluccio de urn sistema geral de equacoes44 Exercicio 3.445 3.5 Equillbrio na analise da renda nacional46 Exercicio 3.547

Capitulo 4 Modelos lineares e algebra matricial49

4.1 Matrizes e vetores50

Matrizes como arranjos50 Vetores como matrizes especiais51 Exercicio 4.152 4.2 OperacOes corn matrizes52

Adica o e subtracdo de matrizes52 Multiplicaccio escalar 53 Multiplicacao de matrizes53 A questa° da divisao57 A notacao E57 Exercicio 4.258 4.3 Notas sobre operacoes vetoriais59 Multiplicaccio de vet ores59

Interpretacao geometrica de operacoes vetoriais60 Dependencia linear 62

Espaco vetorial63 Exercicio 4.365

4.4 Leis comutativas, associativas e distributivas66

Adicdo de matrizes66 Multiplicacdo de matrizes67 Exercicio 4.469

4.5 Matrizes identidades e matrizes nulas70

Matrizes identidade 70 Matrizes nulas71 Idiossincrasias da algebra matricial71 Exercicio 4.572

4.6 Transpostas e inversas72 Propriedades das transpostas73

Inversas e suas propriedades74

Matriz inversa e solucao de sistema de equaciies lineares76 Exercicio 4.677

4.7 Cadeias finitas de Markov77

Caso especial: cadeias de Markov absorventes79 Exercicio 4. 780

Capitulo 5

Modelos lineares e algebra matricial (CONTINUAcA0)81

5.1 Condicoes para a invertibilidade de uma matriz81

Condic5es necesscirias versus condicoes suficientes81 Condicoes para a invertibilidade83 Posto de uma matriz84

Exercicio 5.186

5.2 Teste de invertibilidade utilizando determinante87

Determinantes e invertibilidade87 Cdlculo de um determinante de terceira ordem88 Cdlculo de um determinante de n-esima ordem por expansdo de Laplace89

Exercicio 5.291

5.3 Propriedades 13sicas de determinantes92

Criterio com determinantes para a invertibilidade94 Redefinicdo do posto de uma matriz95 Exercicio 5.396

5.4 Encontrando a matriz inversa97 Expansdo de um determinante por cofatores espqrios97

Inversdo de matriz98 Exercicio 5.4100

5.5 Regra de Cramer101

Dedução da regra101 Observacdo sobre sistemas homogeneos de equacdes103 Tipos de solucdes para um sistema de equacdes lineares104

Exercicio 5.5105

5.6 Aplicac-ao aos modelos de mercado e de renda nacional105

Modelo de mercado105 Modelo de renda nacional106 0 modelo IS-LM: economia fechada107 iilgebra matricial versus eliminacdo de varidveis109 Exercicio 5.6109 5.7 Modelos de insumo-produto de Leontief110 Estrutura de um modelo de insumo-producdo 110

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