K Watari - Mecânica Clássica Vol 2 [2003][140 pgs], Notas de estudo de Física

Baixe K Watari - Mecânica Clássica Vol 2 [2003][140 pgs] e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! MECÂNICA CLÁSSICA AG IROIAS ago itio! 4 » ei toT E] Mecânica Clássica Volume 2 Editora Livraria da Física À Yaeko e aos meus filhos Eyri, Yugo e Ricky com muito amor e carinho Sumário Prefácio 3.1 3.2 3.3 3.4 41 42 43 44 45 51 5.2 5.3 5.4 5.5 Movimentos Bi e Tridimensionais Componentes de Vetor Velocidade e Vetor Aceleração ......... 3.1.1 Coordenadas Cartesianas ...... 3.1.2 Coordenadas Polares . ........ 3.1.3 Coordenadas Cilíndricas . .. cc... 3.1.4 Coordenadas Esféricas . . ... cc... Leis da Conservação ....cccccco 3.2.1 Quantidade de Movimento... .... 3.2.2 Quantidade de Movimento Angular ou Momento Angular ... Trabalho Realizado por uma Força ...ciccccccciccccs Sistema de Duas Partículas . ..iccciccccccsic Forças Centrais Movimento sob a Ação de uma Força Central Lei do Inverso do Quadrado da Distância. Propriedades de um Movimento Confinado... Estabilidade de uma Trajetória Circular ... Lei do Inverso do Cubo da Distância . .... Espalhamento de Partículas Espalhamento de Duas Partículas . . ...... Espalhamento Elástico . ....cccccc. Espalhamento Inelástico . ...ccccccccccccc a Referencial do Laboratório e do Centro de Massa . . coco. Espalhamento de Rutherford ....cccccccccccctics vii K Watari SUMÁRIO D Integral de Linha 97 D.1 Rotação de um Sistema de Coordenadas . ...i.ccccscccto 97 D.2 Campo Escalar e Campo Vetorial... ...ccccccccccccs 99 D.2.1 Gradiente de um Campo Escalar . ...ccccccccccs 102 D.2.2 Expressão do Gradiente em Coordenadas Esféricas e Cilíndricas 105 D.3 Integral de Linha . ..cccciscccccc 107 D.3.1 Propriedades da Integral de Linha ....... D.3.2 Integral de Linha de um Gradiente . cl ccccccsscs 112 E Integral de Superfície 115 E1 Representações de uma Superfície. . lc iccccisccccs 115 E.2 Área de uma Superfície Parametrizada . ........ 116 E.3 Integral de Superfície de um Campo Vetorial 19 E.3.1 Propriedades da Integral de Superfície . . 120 E.4 Rotacional de um Vetor ....ccccccco Ce 122 E.4.1 Rotacional em Diversos Sistemas de Coordenadas . . . ..... 126 F Equações das Cônicas 131 Fl Elipse ..ccccccslci e 131 F2 Parábola. ..... 132 F.3 Hipérbole .... 132 F.4 Identificação da Equ 133 Bibliografia dos Volumes Fe II 135 12 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais onde &; (i = 1,2,3) são as componentes cartesianas do vetor velocidade, já apresen- tadas no capítulo 1 [ ver equações (1.2)]. Portanto, w=i, va = ba e us=êg. (3.3) Para o vetor aceleração tem-se: 3 =etitedotei=> edi, (3.4) 1 ou seja, as suas componentes cartesianas são dadas por m=êi, = e = (3.5) O movimento tridimensional de uma partícula de massa. m sujeita a uma. força resultante F' é governado pela se- gunda lei de Newton: Fig. 3.1: Coordenadas cartesianas de um ponto. m F(r,2,9). (3.6) Em termos das componentes cartesianas, esta equação vetorial é equivalente a um conjunto de três equações diferenciais ordinárias; E = Fi(zi, Toda, dr, da, dat), 133, (3.7) que são, em geral, acopladas. As funções Fj (i = 1,2,3) representam, nestas equações, as componentes sianas da força F. A integração do sistema (3.7) permite obter a descrição do movimento tridimensional da partícula em questão. Exemplo 3.1 Uma partícula de massa m e carga q movimentando-se numa região do espaço onde existem campo elétrico E e campo magnético B sofre uma força conhecida como a de Lorentz dada em sistema MKS por F = gE+gtxB. Para simplificar, considere ambos os campos uniformes com E =e/ E; +e; E» +e; Es e B=e3B. Além disso, para fixar idéias, suponha que q > 0. Em termas das componentes de e, , e» é eg, essa farça pode ser escrita como: F=ei [081 + q (da Ba — és Ba)] +eo [a Er + a(às By ds B3)] + +es[aBs+a(ii Br- do B))] = =e(gE; +qBis) +es(gE>—qB%) +esq Es, uma vez que a componente não nula do campo magnético é Bs = B. Portanto, as equações (3.7) aplicadas a este caso conduzem a: mi =qE1+qBio, miz=qB)-qBár (3.8) e mês =q Es. Suponha que no instante t = O a partícula encontrava-se na posição (x19,720,t30) com uma velocidade (210, 220, 430). A terceira equação fornece &3 = se cuja solução é a : 1 qE; ast=eg+igtr— Le, 2. m 8.1 Componentes de Vetor Velocidade e Vetor Aceleração K. Watari 13 Agora considere as duas equações acopladas. Multiplicanda-se a segunda equação de (3.8) por i e adicionando-se membro a membro à primeira obtém-se m(£y +ião) =q (Ei +iBo) ig B(& +ito). Dividindo-se por m e introduzindo-se as notações u = 71 +izg e E = Ey +i Es, esta equação torna-se; = (3.9) 9B : so mei : 3o é com w = 25, Esta é uma equação linear de primeira ordem cuja solução é m + , = 9€, “as £ - g=eiet[[8E got apa pl- E iot . u)=e [/ no e + BtDe , (3.10) onde D é uma constante. Impondo-se a condição inicial %(0) = io = &1o +i&aa, resulta em: Substituindo-se de volta na equação (3.10), obtém-se: E e (8) = (ta +i> jecietoso, E ut) (ori5)e B (3.11) Introduzindo-se novas constantes: (3.12) e (3.13) a expressão (3.11) pode ser reescrita como: E tt) = Ve Mut-0) . N ú(t)=Veritut iz (3.14) Lembrando-se que e- 8 = cos £ — i sené, à parte real e a parte imaginária de (3.14) fornecem os seguintes resultados: E =V costust — a) + EE (3.15) E; e do=—Vsen(ut- a) — > . (3.16) Integrando-se ambas as equações em relação a t, obtém-se: v Es ml) =— sentut-o)4+ t+ v E: e = — t-a)- t+ Co. aa) = É cos(wt = a) SE t+ Ca As constantes C; e Ca são obtidas pelas condições iniciais e resulta em: Bw do E w Buw v ; Ci=mo 4 E seno = co + (ED) ” o v e Cr=2- É cosa = - w Portanto, a solução do problema proposto é o par de equações horárias; v . a) =D sentot — a) + (io E E Bo (3.47) 14 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais v . e a) = É costut—ay + (am - ÉS de o (3.18) vw w que descreve à projeção do movimento no plano zi72. Qual à trajetória descrita pela partícula? Transferindo-se os últimos termos entre parêntesis das equações (3.17) e (3.18) para o primeiro membro, elevando-se ao quadrado e adicionando-se membro a membro resulta em: A Er JF [ ( &o | E E / ( m— — ++ — “pt =(— fa (eso dE + + o. B +|z2 z20 w + Bw B w Esta é a equação de uma “circunferência” com o centro em 20 Er E: (en des Ds, E a o e raio va = oyo Wow Note que o centro desta “circunferência” desloca-se com velocidade de módulo constante, E» Er 1 , vW=aS e =Z e B2B-e2 EB), que pode ser representada como produto vetorial: 1 va => (EXB). Bla é chamada velocidade de arrasto de Hall. Note também que va é perpendicular a E ea B e é paralela ao plano x: 2». Na direção do eixo 23 0 movimento é uniformemente acelerado com aceleração 225. Compondo com a projeção no plano 2122 forma a trajetória completa da partícula. A seguir, serão analisadas as diversas possibilidades de curvas descritas pela projeção da tra- jetória no plano my 22. a) Em primeiro lugar, observe que se E = 0, tem-se va = 0. À projeção da trajetória no plano a122 é uma circunferência de raio — 2 + 2h e a trajetória é uma hélice de passo cons- Er tante cujo eixa é paralelo ao do 3 , como mostra o esboço da Fig. 3.2(a). Note também que se &1o = àzo = 0, além disso, a trajetória é retilínea e paralela aa eixo do 23. Va NONO V<va (8) Fig. 8.2: (a) Trajetória para E=0. (b) Projeção no plano viz2 para E JO. 3.1 Componentes de Vetor Velocidade e Vetor Aceleração K. Watari 17 unitários e, e e, variam com o ângulo y apesar de serem independentes de p. Além disso, quando derivar com relação a « obtém-se: d q ==" seny+e cosp=ep, (3.25) e =-—e; cosy-— e seny = eg, (3.26) isto é, esses vetores unitários são rodados de 90º no sentido de crescente, estando em concordância com o resultado do Teorema A.1 do volume T, pois, el = =l1e De acordo com (3.21) e (3.22), o vetor de posição é dado simplesmente por r=e,p (3.27) em coordenadas polares. Derivando-se esta expressão em relação ao tempo, obtém-se o vetor velocidade: dr dp dep dp | de, dy de ar de "a tdo de? mediante o uso da derivação em cadeia. Devido a (3.25), chega-se a v=ep+epy. (3.28) Da mesma maneira, obtém-se o vetor aceleração: e 2 a? Tm PP e, ps Se a=e,P e dy de Pr+repdp+eç pé ou seja, a o (b- pp) + es(pb+ 209). (3.29) Portanto, as componentes dos vetores v e a nas direções de e, e de e, são, respec- tivamente, vp = pb, (3.30) — pç, a, =pR+25P; (8.81) v= e Gp conhecidas como componentes polares. Exemplo 3.2 Para ilustrar o uso de coordenadas polares, considere uma partícula de massa m em movimento no interior de um toro muito fino de raio a. O plano do toro é fixado verticalmente numa região onde a força da gravidade é constante e a aceleração devida a ela vale 9. 18 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais As coordenadas polares, para a descrição do movimento deste problema, são convenientemente adotadas tomando-se o centro do tora como origem e 0 eixo polar Ox orientado verticalmente para baixo, coma mostra à Fig. 3.4. A força peso que atua sobre a partícula pode ser decomposta em componentes segundo as direções de e, é de ep. Além do peso, há uma reação R devido ao toro sobre a partícula. Portanto, este movimento é descrito pela segunda lei de Newton representada pelo par de equações diferenciais: mi-mpyl=mgcosp-R e mpp+2p —mg senq; sendo R o módulo da reação. Como a distância do centro do toro até a partícula é fixa, p será uma constante igual a à. Con segiientemente, =0 e j=0, Assim, o movimento será governado pela solução das equações: - R=may? +mg cos y (3.32) e map-+ingsenç=0. (3.33) A equação (3.33) é de segunda ordem não linear que pode ser resolvida empregando-se o método exposto no fina! do capítulo 2 do volume 1. Multiplicando-a por a &, tem-se; ma pp+mgasenpp=0, que pode ser reescrita como: 4 (dma?y?-mgo cos p) = mostrando que a quar 1 3 ma?G?-mga cos y (3.34) é uma constante do moviment: O primeiro termo do membro di- reito desta equação é a energia cinética e o segundo a potencial. Então, esta quantidade denotada por E é a energia mecânica total da partícula que se conserva. A análise qualitativa deste movi- mento em função da energia mecânica E pode ser efetuada como no caso do movimento unidimensional. Convencionando-se que q seja positivo quando a partícula estiver do lado direito da verti- cal e negativo quando estiver do lado esquerdo, a energia potencial Vío) = —mga cos é como o mostrado na Fig. 3.5 no inter- valo -7 <q <r. O seu valor máximo é mga e o mínimo é -mga. Assim, se E > mga, à partícula executa um movi- mento circular ao redor do centro do toro. Se E = -mga, ele fica em repouso na sua posição mais baixa que é a de equilíbrio. Se -mga< E <mga, ele executa um movimento oscilatório entre duas posições da toro descritas pela amplitude angular &. Fig. 3.5: Energia Potencial. O caso mais interessante para se estudar em detalhe é quando o movimento da partícula é escilatório. Neste caso, a sua amplitude angular possui um máximo dado por & e a energia mecânica total tem valores limitados zo intervalo —mga < E < mga, como discutido acima. Nestas condições, tem-se: E=-mgacosd. Combinando com (3.34), a velocidade angular & para uma posição angular genérica q é dada por: poda (cos — cos 9). 3.1 Componentes de Vetor Velocidade e Vetor Aceleração K. Watari 19 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem que pode ser transformada em equação separável. Assim, à solução «(t) é obtida implicitamente pela integral! ” do! t=4 VE f te, 29 Joop VT! — cos & com o sina! (+) valendo para 4 crescente e o (—-) para y decrescente. Utilizando-se a identidade trigonométrica cos 8= 1 — 2 sen? Festa integral pode ser reescrita como: + e 2N9 Joo sen? — sent Introduzindo-se uma nova variável € pela relação sen seng = sen É, (3.35) e considerando-se t = O como o instante que o pêndulo está na sua posição mais baixa (9 = 0), à fase da movimento que q está crescendo é descrita por: q |$ ae! re dE SE, (3.36) 9 Í 1 sent sente 2 A integral (3.36) acima é conhecida como integral elítica de primeira espécie. Ela é uma função que se encontra em forma de tabela em muitos manuais?. Nos dias de hoje é possível efetuar um cálculo numérico por meio de um computador eletrônico com certa facilidade. Uma vez calculada, esta integral, a função «(t) está determinada. Com isso, a reação R(t) (que é uma incógnita do problema) pode ser obtida utilizando-se a equação (3.32), ou seja, Remgcosp+maç?=my(3cosp-—2 cos 8). Note que a reação R do toro depende de t somente por meio da posição angular y da partícula. O seu valor será máximo para 4 = O, que acontece quando a partícula está passando pela sua posição mais baixa. Quando estiver na posição de amplitude angular máxima, o valor de R será mínimo. A fase do movimento que abrange ;p = 0 até y = & corresponde a — do seu período de oscilação. Então, um período completo do movimento de oscilação desta partícula em função da sua amplitude é dado por; a [r? dE a > -(6)=4 Ef - So =4 Es(S). (3.37) 9 do A-sen?? sente 9 2 + onde K (5) é conhecida como integral elítica de primeira espécie completa. Tabela do Período Relativo de Oscilação em Função da Amplitude Angular o (º) | r/2m/a/9 | 8 (0) | c/2nvais | 8 (0) | m/2nvais o 1.0000 70 1.1021 140 1.5944 10 1.0019 so 11375 150 1.7622 20 1.0077 90 11803 160 2.0075 30 LOLITA 100 1.2322 170 24394 40 1.0313 no 1.2953 174 2.7621 50 1.0498 120 1.3729 178 3.4600 60 1.0732 130 1.4698 180 oo 1 Observe que m não está presente na expressão. 2Ver por exemplo, M. Abramowitz and I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover. 22 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais e também exe. (3.47) =€ Xe, Ce xe, Em coordenadas cilíndricas, o vetor de posição é escrito na forma r=e,p+e,z. (3.48) A velocidade vetorial é obtida derivando-se esta expressão com relação ao tempo e resulta em: v=epte,pp+rei, (3.49) onde foi utilizado (3.45) no segundo termo. Portanto, as componentes cilíndricas da. velocidade são: (3.50) vp =py e vW= > Vo A aceleração, por sua vez, é obtida derivando-se a velocidade em relação ao tempo e o resultado é a=e(b-py?)+e,(0$+204)+e, 3. (3.51) Assim, as componentes cilíndricas da aceleração são: (3.52) Mp =P—pg*, W=pPrZdp e a= Exemplo 3.3 Considere uma partícula de massa m e carga q > O que se move numa região do j j ari a espaço onde existe um campo magnético constante B = Be, e um campo elétrico E = 2 e, onde P a é uma constante. A força resultante sobre a partícula é, então, 1 x a. F=qE+qv x B-e, (ae1 +aBos) eo qBp, em unidades MKS. A segunda lei de Newton para esta força resulta em três equações diferenciais do movimento dessa partícula dadas por; a: 1 . m(P-pç')=ga— +9Bpy, mipé+20P)=-gBp e mi=0. A integração da terceira equação é imediata. A segunda equação pode ser multiplicada por p e rearranjada, resultando em mp? G+2mppç+qBpp=b0, ou seja, d 25448. 2 = m —— =0, az ( elpre 9 que mostra que à quantidade emplo, 4B 2 pe=mplp+p é uma constante da movimento que pode ser determinado à partir das condições iniciais. Ao isolar & desta equação, tem-se: 3.1 Componentes de Vetor Velocidade e Vetor Aceleração K. Watari 23 Pe 90 mp 2m Substituindo-se este resultado na primeira equação diferencial do movimento resulta em: 2 2p2 = PG q2B 1 — + -qa > =0. PomeEtoam "tg Neste ponto, observe que a descoberta de uma constante do movimento tornou possível o desacopla- mento entre as equações, levando a primeira equação diferencial do movimento a ter dependênci apenas de p e sua segunda derivada com relação ao tempo. Esta equação é integrável uma vez, pois, multiplicando-a por ), pode ser reescrita como: a fi ê 2B? q E (Emote Pes -“ganp)=o, 2 2mp? * Bm ou seja, 2 282 mus + e p?-gemp é uma outra constante do movimento que, também, pode ser determinada pelas condições iniciais. Esta equação pode ser transformada em equação separável de primeira ordem e resolvida, pelo menos em princípio. Rearranjando os termos, tem-se; 1 K= qmpl+ 2 d= UK do], (3.53) onde foi definido 4 202 EA 9ºB? 0. A = mpi gm Pocaanp. Observe que (3.53) é uma equação semelhante ao da conservação da energia mecânica discutido na secção 2.7 do volume 1. Com isso, pode-se concluir que o movimento na direção perpendicular ao do eixo xa só é permitido onde K — g(p) > 0. O termo g(p) pode ser considerado como uma espécie de “energia potencial efetiva? e a análise qualitativa do movimento na direção perpendicular ao do eixo 73 pode, também, ser efetuada de mancira análoga à da referida secção. 3.1.4 Coordenadas Esféricas A Fig. 3.8 apresenta as coordenadas esféricas (1,0,7), que são relacionadas com as coordenadas cartesianas por meio das equações de transformação; a =rsenficosy, 2, =r senfseny, (3.54) eg=r cos), com O<r<o,0<9<mre0<gy<2r, au recipro- camente, pela transformação inversa: )2 2 2 2 r= (2 +27+0s , Fig. 3.8: Coordenadas Esfóricas e seus Vetores 4 za Unitários. 9=cos 5 IE (x2 +a7 +22) — ta =tgri 22 P 8 = 24 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais Os vetores unitários e, , eg e e, apropriados para as coordenadas esféricas, mostra- dos também na Fig. 3.8, são definidos pelas relações: gi e senô cos + es senB sen + ez cos 8, (3.56) he Or 1 0r - = — Sp = e cosbcosy+e cos f seny-—es send, (3.57) ho 00 1 Toca seny+es cos, (3.58) onde ôr h=[5-|=1, de= e hy= (3.59) uma vez que o vetor de posição r é dado por r=ejrsenfcosy+esrsenfsenç-tHesrcosA. (3.60) Observe que, embora nenhum desses vetores unitários dependam de r, e € eg dependem de 8 e de q. O vetor unitário e» depende só de «p e é paralelo ao plano z142. A derivada parcial dos três vetores unitários em relação a 8 resulta em de op, del o des q (8.61) e a derivada parcial em relação a ;; em E = e, send, = = e, cos 6 de, (3.62) e dy =-—e, senf — eg cos 8. Além disso, esses vetores unitários são ortogonais dois a dois, isto é, ere=e-e,=e-e,=0 (3.63) e também ee xe, eg =e, xe e e,=e, Xe. (3.64) À equação (3.60), juntamente com (3.56), mostra que a representação do vetor de posição em coordenadas esféricas é dada por: r=er. (3.65) Com isto, a representação do vetor velocidade em coordenadas esféricas é v=e ireprôteçr send (3.66) 3.1 Componentes de Vetor Velocidade e Vetor Aceleração K. Watari 27 É interessante fazer uma análise um pouco mais profunda a respeito do movimento para o caso pe £0. A trajetória da partícula do pêndulo esférico não é necessariamente fechada e está inteira- mente contida na superfície de uma esfera imaginária de raio é com centro no ponto de suspensão. Além disso, essa trajetória está delimitada por duas cir- cunferências cujos planos são perpendiculares ao eixo ver- tical que passa pelo ponto de suspensão, tendo seus cen- tros localizados sobre esse eixo. As duas circunferências são definidas por 8 = 9| e O = 02. Para simplificar a linguagem, essas duas circunferências serão denominadas “latitude” em analogia com a latitude terrestre. O tempo decorrido, 7, para completar uma ida e volta entre as la- titudes 61 e 63 (uma oscilação completa em relação a 9) pode ser obtido de (3.71) resultando em: eve [ o Nesse mesmo intervalo de tempo, | varia de uma quanti dade -— 6 avo! Pê f 1 ao P=Yme ! VESMO se?o) 1 que pode ser deduzida das expressões (3.70) e (3.71). Uma das possíveis trajetórias, quando se compõem os movimen- tosem 8 cem 1, está esboçada na Pig. 3.11. A mesma figura mostra também a projeção dessa trajetória no plano borizontal. Como comentado acima, essa trajetória não é fechada em geral e, então, o movimento não é periódico. Fig. 3.11: Trajetória do Pêndulo Esférico e sua Projeção. Exercícios 3.1) Uma partícula de massa m é lançada. da origem do sistema de referência com uma velocidade inicial v = ey vio + es t30 - Sabe-se que ela se move sob a ação de uma força de gravidade constante —mgeg sofrendo uma resistência proporcional à velocidade — bw. a) Determinar as equações horárias do seu movimento. b) Determinar a equação da sua trajetór c) Mostrar que, no limite b > 0, a equação da trajetória determinada no item anterior reduz-se à de uma parábola. d) À medida que b cresce, a equação da trajetória desvia-se da de uma parábola. Mostrar oi x ao A 4 1 6 que a primeiro termo de correção em relação à parábola é — Sob. Mvijg 3.2) Uma partícula de massa m move-se num plano 2) 22 sujeita a uma força F = —fr. No ão r(0) = estro + ez x20 é tem uma velocidade instante t = 0, a partícula está na posi v(0) — es vio + es vo. a) Prove que a trajetória é, em geral, uma elipse quando 210 v20 É 220 v10 - Qual a condição para que seja uma circunferência? b) Prove que a elipse reduz-se a uma reta quando x10 20 = 720710. 28 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais 3.3) Uma partícula de massa m e carga q > O é abandonada em repouso na origem. Suponha que na vizinhança da origem, suficientemente grande, existe um campo magnético constante B = es B e um campo elétrico E = ez E, também constante. Determine as equações horárias do movimento dessa partícula e mostre que a sua trajetória é um ciclóide no plano «4 23. 3.4) No problema anterior, considere que a partícula fora lançada com uma velocidade v = ey vo a partir da origem. Determine as equações horárias do seu movimento e mostre que à sua trajetória fica confinada no plano 74 22. Discuta e esboce as trajetórias em função das razões entre as magnitudes das forças elétrica e magnética. 3.5) Repita todos os procedimentos e discussões do exemplo 3.2, aplicando as coordenadas polares para o estudo da movimento de um pêndulo simples numa região onde a força da gravidade é constante. O comprimento do pêndulo é £ e a sua massa m. 3.6) No instante t = O, um pêndulo simples de massa m e comprimento £ é abandonado a partir do repouso com amplitude angular & em relação à vertical. Suponha que & é tal que necessite uma correção na aproximação usual de pequenas oscilações, sen = «7, na equação diferencial do movimento. 1 2) Mostre que a correção do período em relação ao de pequenas oscilações é dada por q 42. b) Determine essa correção para as amplitudes angulares de 10º, 20º, 30º, 40º e 59º, Discuta. 3.7) Obtenha a expressão (3.49) do vetor velocidade e a (3.51) do vetor aceleração em coordenadas cilíndricas. 3.8) Considere a partícula do exemplo 3.3. a) Faça uma análise qualitativa do seu movimento em função das constantes do movimento poe K. b) Mostre que p(t) é dada implicitamente por: = E Fa ——— tr o, — réêro — 98 pt rega np! onde 99 é a coordenada p no instante t= 0. c) Mostre que w(t) é dada por: qB dt g=qo- Ley Pe 2m m onde wo é 4 no instante t = 3.9) Obtenha as relações (3.61) e (3.62). 3.10) Obtenha as expressões (2.66) e (3.67) das representações dos vetores velocidade e aceleração em coordenadas esféricas. sm Seja uma função vetorial A de uma variável real t. A representação de A por meio de componentes esféricas é A(t) = e Ar(t)-+eg Ag(t)+ep Ap(t) . Determine as expressões para componentes esféricas da derivada de A em relação a t. 3.12) Refaça todos os detalhes do exemplo 3.4. 3.2 Componentes de Vetor Velocidade e Vetor Aceleração K. Watari 29 3.2 Leis da Conservação Na secção anterior foram discutidos diferentes sistema de coordenadas e algumas de suas aplicações. Dependendo da natureza da força envolvida no problema, escolhe- se aquele sistema que for mais conveniente. Nos exemplos dados observou-se que certas grandezas físicas são conservadas. Nesta secção serão discutidas as condições de conservação da quantidade de movimento e da quantidade de movimento angular (ou momento angular). Cabe enfatizar aqui que a conservação de uma grandeza não necessariamente implica na conservação da outra. 3.2.1 Quantidade de Movimento O movimento de uma partícula é regida pela segunda lei de Newton que fornece a equação: p=F. (3.72) É óbvio que se F = 0 durante o movimento, tem-se p = e, portanto, Pp = constante, (3.73) o que significa que se a resultante de força aplicada à partícula for nula durante o seu movimento, a sua quantidade de movimento é conservada nesse movimento. Mesmo que a resultante da força não seja nula, se existir uma direção fixa dada por um vetor unitário s tal que F-s = 0 durante todo o movimento de uma partícula, tem-se: ps=F:s=0, o que leva a 4 Ps=% (p:s)=0 Disto conclui-se que: p-s= constante. (3.74) Em palavras, conserva-se a componente da quantidade de movimento p naquela direção (fiza) que a componente da força é nula durante o movimento. 3.2.2 Quantidade de Movimento Angular ou Momento Angular Pré-multiplicando vetorialmente por r, ambos os membros de (3.72), obtém-se: rxp=rxF, ou seja, p= Steepj=rxP. 32 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais ou seja, B qmb-gqmiã= [Par (3.79) A onde va = víta) e vp = v(ts). Este resultado mostra que a variação da energia cinética da partícula entre as posições A e B é igual ao trabalho realizado pela força F(r,r,t) no movimento desta partícula sobre o caminho C que conecta os pontos A e B da região 1. O trabalho realizado pode depender do caminho C que conecta os pontos 4 e B da região “2, quando uma força genérica pode depender da posição r, da velocidade v e do tempo t. Se a força depender explicitamente de t, o trabalho realizado por essa. força varia, com o tempo. Quando essa partícula movimenta-se sobre um outro caminho C”, diferente de €', o trabalho realizado é, em geral, diferente. O resultado (3.79) continua valendo mesmo quando uma força depende apenas da posição, isto é, mesmo que F = F(r), a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado pela força no movimento da partícula sobre a trajetória C' que une os pontos 4 e B da região ft. Cabe enfatizar também que, mesmo neste caso, se a partícula mover num outro caminho C” o trabalho realizado pode ser diferente. B Se F(r) tiver a propriedade que / F. dr independe B A do caminho, isto é, se fe dr tem o mesmo valor, qual- Cc quer que seja o caminho €' escolhido para levar uma partícula da posição A até a B, como ilustrado na 4 3 Fig. 3.12, então o trabalho realizado por essa força só depende dos pontos 4 e B, Neste caso, pode-se definir Fig. 3.12: uma função energia potencial de um ponto P da região 92 como: p VIP) = — fe dr, (3.80) R isto é, como o negativo do trabalho realizado pela força F(r) no movimento da partícula de um ponto de referência R até o ponto P em questão por um caminho qualquer que os une. Já que o trabalho realizado por essa força depende só dos pontos extremos escolhidos, para uma escolha diferente de ponto de referência tem-se: P R ep frear friárs fra, R R R 3.3 Trabalho Realizado por uma Força K. Watari 33 pela propriedade de integral de linha. Portanto, a energia potencial é definido a menos de uma constante aditiva. Uma força cujo trabalho realizado independe do caminho é denominada força conservativa. Suponha, agora, que uma partícula move-se do ponto 4 para o B pelo caminho 1 da Fig. 3.12, por exemplo, e retorne ao ponto A pelo caminho 2 da mesma figura. Nesta situação, essa partícula executou um movimento por um caminho fechado. Como a integral de linha de 4 a B independe do caminho, o trabalho realizado no caminho 1 é igual ao realizado no caminho 2. Mas, o caminho 2 foi percorrido no sentido contrário e, portanto, troca o sinal. Somando-se as duas parcelas tem-se o trabalho total realizado pela força nesse movimento dado por: w= fra [rdo= frodooo, c 1 2 onde €' é o caminho fechado composto de 1 e de 2. Os pontos 4 e B foram esco- lhidos arbitráriamente. Como consegiiência, o trabalho realizado por F(r) depende somente da escolha dos pontos extremos e o resultado acima vale para. qualquer cami- nho fechado. Assim, pode-se definir uma força conservativa como aquela que satisfaz a condição f F-d=0 (3.81) c para qualquer caminho fechado C'. Além disso, o teorema de Stokes (ver Apendice E) fornece a igualdade: fexrnda= F-dr, Cc s onde S é uma superfície delimitada pelo caminho fechado C', Então, para garantir a condição (3.81), a força deve ser irrotacional, isto é, VxF=0. (3.82) Exemplo 3.6 Uma partícula mave a partir da origem até o ponto (1,1,1) sob a ação de uma força F(r) = — kr. Se essa partícula executa o seu movimento pelo segmento de reta que une esses dois pontas, r pode ser parametrizado como r = ej£ +ezf +esf, com OS E<1. Assim,o trabalho realizado por esta força nesse caminho é dado por: w=-( fera [eras Pera) = 5 Por outro lado, se o movimento ocorrer pelo caminho composto de segmentos (0,0,0) — (1,0,0), (1,0,0) — (1,1,0) e (1,1,0) — (1,1,1), o trabalho realizado será: w= F.dr + Pedr + / F.dr= (0,0,0)=+(1,0,0) (1,0,0)5(1,1,0) (LOS, 1,1) 1 a 1 3 =-k (y ada + ados+ [ mdas)=-Sk o o o 2 34 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais Observe que o trabalho realizado nos dois caminhos distintos foi o mesmo. De fato, o trabalho realizado por esta força deve ser o mesmo, qualquer que seja o caminho, unindo os dois pontos extremos, pois, vxr-e (28 - E) ves (SE . 289) os (28 o SE Yo “Nou Das ôz3 Om ôm das uma vez que Fi= km, Eb=—hap é Fy=—kza. Assim, esta é uma força conservativa. Exemplo 3.7 se F = -e;kz> +ezkz; + eskas fosse a força aplicada sobre a partícula do exemplo anterior o trabalho realizado no segmento de reta que une (0,0,0) a (1,1,1) fica w=e(- [Uoat+ [cats fede) =5., ao passo que no caminho composto de segmentos (0,0,0) — (1,0,0), (1,0,0) —» (1,1,0) e (1,1,0) — (1,1,1) resulta em: mon(o-[aç+ [eac) =. Como se pode observar, o trabalho realizado por esta força foi diferente nos dois caminhos. De fato, esta força não satisfaz a condição (3.82), pois, 9F3 =) . (SA E) (SE Fi - 2 es -—— | =es2k 70. dao Br) O da Ser) corr? za 921 vxE-e( Deve ser enfatizado neste ponto que não basta verificar que o trabalho realizado seja coincidente apenas em dois caminhos distintos, como foi feito no exemplo 3.6, para afirmar que a força é conservativa. A coincidência deve ser verificada para todos os possíveis caminhos que une os dois pontos. Assim, provar que a força é conservativa por meio do cálculo de trabalho realizado é inviável, pois, o número de caminhos a ser verificado é infinito. Portanto, deve-se utilizar a condição (3.82) para provar. Num sistema conservativo, uma vez dada a energia potencial V(r) de uma partí- cula, a força F(r) agindo sobre cla pode ser obtida por: F=-VYV, (3.83) por causa da definição de V(r) [ ver equação (3.80) e secção D.3.2 na página 112]. A propriedade VxVV=0 mostra que a força dada por (3.83) satisfaz a condição (3.82). Suponha, agora, uma força F(r) conservativa. O trabalho realizado por cla entre os dois pontos 4 e B pode ser escrita como: B R B fear frear frear= via vem. A A R Substituindo-se na equação (3.79) obtém-se; 1 1 , . 3 moh - mA =V(4)- V(B), 3.4 Sistema de Duas Partículas K. Watari 37 3.4 Sistema de Duas Partículas Para concluir este capítulo, serão discutidas as equações diferenciais do movimento oriundas da segunda lei de Newton para um sistema de duas partículas. Considere, então, um sistema de duas partículas isoladas, de massas my e ms, tendo apenas a interação mútua entre elas. A segunda lei de Newton aplicada a cada uma delas, em relação a um referencial fixo em O, fica ma E = Fi e mato =Fo, (3.86) onde Fi2 é a força sobre a partícula 1 devida a 2 e Fy é a força sobre a partícula 2 devida a 1. Somando-se estas duas equações, membro a membro, resulta em: mi +mi=Fo+F=0. 3” lei de Newton Assim, q (my ty + moto) ag (Ma Ei ato Portanto, my &y + ma ?> = constante, ou seja, Pi + po = constante, (3.87) quando as duas partículas estão isoladas (não há forças externas aplicadas). Em palavras, a equação (3.87) mostra que a soma das quantidades de movimento de duas partículas é conservada durante o movimento de ambas quando existe apenas a interação mútua entre elas. Considere, agora, a posição do centro de massa R e a ma posição relativa r definidas respectivamente por: rn r mr Amar Ro timer (3.88) ma + ma Õ CM e r=r,—T3. (3.89) 2 Resolvendo-se este sistema para r; e ro têm-se ma m n=R+4—22. (3.90) Fig. 3.14: my + ma m e m=R--———— 3.91 2 ma + ma (8.91) Derivando-se a equação (3.88) em relação ao tempo, obtém-se: tm tmo)R= mi +maio =p, + po. Se se definir a quantidade de movimento do centro de massa como P = (m, +my)R, esta equação pode ser escrita como: P=p+ps. (3.92) as é 38 K. Watari Movimentos Bi e Tridimensionais Isto permite reescrever (3.87) como P = constante, (3.93) ou seja, a quantidade de movimento do centro de massa (que nada mais é do que a quantidade de movimento do sistema de duas partículas) é conservada. O significado deste resultado é que o centro de massa de duas partículas está executando um movi- mento retilíneo e uniforme ou está em repouso com relação a um referencial externo fixo em O. Então, o sistema de duas partículas isoladas como um todo tem este comportamento. Voltando-se novamente às equações (3.86), se subtrair a segunda multiplicada por my da primeira multiplicada por ma, obtém-se: ma ma(iy = E) =moFy om Fo. (3.94) Lembrando que F5, = — Fi>, a equação (3.94) torna-se: ma ma(Ey — Fo) = (my + mo)Fis (3.95) Definindo-se F = F,, e a massa reduzida” mama =————— 3.9 1 mo? (3.96) levando-se em conta (3.89), a equação (3.95) toma a forma: ui=P. (3.97) Esta equação descreve, então, o movimento relativo das duas partículas sob interação mútua, Ela pode ser interpretada como se fosse o movimento de uma partícula única vue massa il sujea duma Força E cujo centro esta em uma dás partículas. erve, então, que as equaçi do movimento do sistema de duas partículas isoladas foram decompostas em duas: 1) uma que descreve o movi- mento do centro de massa como se fosse o de uma única partícula concentrado nele, de massa m; + mo , executando um movimento uniforme (ou estando em repouso) com relação a O; 2) uma outra equação que descreve o movimento de uma das partículas em relação à outra como se fosse uma partícula única de massa | sujeita à força de interação mútua F. A força de interação mútua F é dirigida ao longo da reta que une as du partículas. Em muitos casos, a intensidade dessa força depende apenas da dis cia entre as duas partículas e sempre tem a direção do raio vetor r. Por iss chamada força central e pode ser expressa como: F=F(r) =. (as A massa reduzida é um conceito que aparece em problema de duas partículas. 3.4 Sistema de Duas Partículas K. Watari 39 Para forças desse tipo, a equação (3.97) torna-se: pi =Ft(r) - . (3.99) Em alguns casos a massa de uma das partículas é muito maior do que a da outra. Quando isto acontecer, o centro de massa está praticamente em cima da partícula de massa maior. Como exemplo disso, pode ser citado o sistema Sol e planeta, o átomo de Hidrogênio (que é constituido de um próton e um elétron) etc. Se supor que ma >> my, a massa reduzida é px m,. Esta hipótese será adotada no próximo capítulo e o movimento sob a ação de uma força central estudado em detalhe. Quando esse mesmo sistema de duas partículas não estiver isolado, mas sujeito a uma influência de forças externas aplicadas a ambas as partículas, as equações (3.86) tornam-se: ma E = Fi + Pç e Fat Pg, (8.100) onde F$?! é a força externa aplicada à partícula 1 e F$"* à partícula 2. Somando-se ambas as equações, membro a membro, obtém-se: my + maio =p +po = FF +PEtA Pg, =0 pese Considerando (3.92), esta equação torna-se: P=FS, (3.101) onde FS?! = P$rt + P$ºt é à resultante das forças externas aplicadas ao sistema de duas partículas. Este resultado mostra, uma vez mais, que o movimento do sistema de duas partículas como um todo em resposta às forças externas aplicadas ocorre como se fosse o de “uma partícula única de massa my + m> concentrado no centro de massa sujeita a uma força externa resultante FS?! aplicada nela”. Note que a força de interação mútua não exerce influência alguma sobre o movimento do sistema como um todo. Agora, multiplicando-se a primeira das equações (3.100) por mz e a segunda por ma e subtraindo-se membro a membro, resulta em: ma ma(Ey — Ea) = mo Fio — my For temo PS! my R$. Lembrando-se de (3.89) e que F = Fjy = — F», esta equação reduz-se a (3.97) contanto que a igualdade ma Ff! = ma F$P! (3.102) seja satisfeita, Assim, desde que a hipótese (3.102) seja satisfeita, o movimento do sistema de duas partículas pode ser decomposto em movimento de uma partícula única, 42 K. Watari Forças Centrais Exemplo 4.2 Uma das forças centrais mais importantes é aquela cuja intensidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância, isto é, F = =, onde K é real. Quando se trata de força gravitacional, tem-se K = —G Mm, sendo G a constante universal de gravitação, M e m são as massas de duas partículas interegentes. Frequentemente uma dessas massas é muito maior que a outra, como no caso do Sol interagindo gravitacionalmente com os planetas do seu sistema. Nesse caso, a partícula que tem a sua massa muito maior que a da outra pode ser considerada fixa na origem do referencial e será o centro dessa força. Se se tratar de força eletrostática a constante é K = ae cm sistema MKS, sendo q1 é q» cargas das partículas interagentes e q a permissividade do vácuo. Observe que a força elétrica é atrativa se q; € q3 tiverem sinais opostos e repulsiva se tiverem sinais iguais. Um átomo de hidrogênio é constituído de um próton com um elétron movendo-se ao seu redor. Como à massa do próton é cerca de 1836 vezes maior que a massa do elétron, o próton pode ser considerado em repouso na origem do campo de força centra? que age sobre o elétron. Algumas grandezas relacionadas a uma partícula movendo-se sob a ação de uma força central são conservadas. À conservação destas grandezas será demonstrada e as suas consegiiências sobre o movimento dessa partícula serão exploradas. A quantidade de movimento angular (ou, simplesmente, momento angular) de uma partícula de massa m em relação à origem do sistema de referência é definida, como L=rxp=rxmv. À sua derivada em relação ao tempo t é L= Glrxmy=ixmveremi=rxP rx 6) onde a segunda lei de Newton, mw = F, foi utilizada na expr Este resultado, L = 0, leva a concluir que L = constante. (4.2) Portanto, em movimentos de umo partícula sob a ação de uma força central qualquer, a sua quantidade de movi- mento angular é conservada. Essa constância de L tem uma consegiência imediata muito importante: a tra- jetória da partícula fica inteiramente contida num plano perpendicular a L. De fato, por causa da definição, o vetor de posição r é sempre perpendicular a L. Se L é constante, os pontos varridos por r estarão sempre conti- dos num plano perpendicular a L que passa pela origem. Sendo assim, a trajetória fica inteiramente contida nesse Fig. plano, conforme ilustrada na Fig. 4.1. Já que a intensidade da força central depende apenas da distância do seu centro à partícula e a sua trajetória está inteiramente contida num plano, o movimento pode ser descrito por meio de coordenadas polares nesse plano (que é um caso particular de coordenadas cilíndricas com z = ou de coordenadas esféricas com q = 90º) com a origem no centro de força. Em coordenadas polares (por conveniência, será adotado 4.1 Movimento sob a Ação de uma Força Central K. Watari 43 o caso particular de coordenadas esféricas com q = 90º) com a origem no centro de força, a quantidade de movimento angular é L=rxmv=re,xm(te,+rbe)=mribe, xe, ou seja, L=mr?ôn; (4.3) sendo n = e, x eg paralelo a L e normal ao plano definido pelos vetores unitários e, e eg. Então, a quantidade L=mr?6, (4.4) que representa a magnitude de L, é uma constante do movimento. Esta equação mostra que r e Ô variam de uma maneira que mantenha o produto r2Ô constante. Isto quer dizer que as variações de r e 8 não ocorrem de maneira independente. Por outro lado, quando a posição angular da partícula variar de um ângulo pequeno AB,o raio vetor varre uma área ÀS dada por: AS SrAGA SrABAr, conforme ilustrada na Fig. 4.2. Dividindo-se esta equação por Àt, obtém-se: . AS 10 A8 Fig. 4.2: araras alas Como Ar > O quando se faz At > 0, último termo desta equação tende a zero. Assim, a taxa de variação da área varrida pelo raio vetor é dS Ls; = =>r"0. ao 2” Levando-se em conta (4.4), o resultado final é as L = constante (4.5) di O Qm : 2 Este resultado diz que “o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais” (lei das áreas). Quando F(r) = — Gm essa lei é conhecida como segunda lei de Kepler. Observação: As conclusões acima a respeito da conservação da quantidade de movi- mento angular e da lei das áreas são válidas mesmo que a intensidade de F não dependa apenas da distância. Basta que sempre tenha a direção do raio vetor r Em termos de coordenadas polares, a energia cinética é escrita como: 1 1 . à 2 T=qmvv=qm(te-+rôes) = 1 1 ; 1 Lº = qm qmrdê qmi+ Smro? 44 K. Watari Forças Centrais ou seja, (4.6) Note que a energia cinética escrita desta forma eliminou a dependência em ô, passando a depender apenas de 7 e de sua derivada com relação ao tempo. O módulo do momento angular! L, passou a fazer parte integrante da energia cinética como parâmetro. Isto é uma consegiiência da dependência entre É e r imposta pela con- servação do momento angular e representada pela equação (4.4). Conforme deduzida na secção 3.4, a energia potencial para uma partícula em movimento sob a ação de uma força central é obtida por: V(r) =— fritar. (4.7) Tre Reciprocamente, se V(r) for dada, a força pode ser obtida simplesmente como: dV Fij=-—. (4.8) Assim, a energia mecânica total, E = T+V, de uma partícula, movendo-se num campo de força central é escrita como: 2 Lo. L quis tV(). (4.9) E=5 Observe-se que a expressão da energia potencial (4.7) depende apenas da variável r. Já que a energia cinética só depende de r e 7, E também depende apenas delas. Além disso, a constante £ aparece como parâmetro. Derivando-se a energia mecânica total (4.9) em relação a t tem-se: Bd 2 db amis si + vio) = di dt ld 2m = mir er 4 SF Ê 2 2mr5" ar À componente r da equação my = F escrita em termos de coordenadas polares fornece Lº == Fr), (4.10) mi-mr02=mi-mr 1 As expressões momento angular e quantidade de movimento angular são denominações usuais de uma mesma grandeza física. A partir de agora, será dada preferência à expressão momento angular. 4.1 Movimento sob a Ação de uma Força Central K. Watari 47 vez determinado r(t), integra-se a equação E = + para se obter 6(t), che- gando-se em: t 6=m+ [eme de, (4.18) do mlnenp com 9(0) = 0. Exemplo 4.4 Considere uma partícula em movimento sob a ação da força do exemplo 4.3. A equação (4.17) para este caso é dada por: NE aeee O um onde será considerado o sinal (+) se r estiver crescendo a partir de ro € o sinal (—) se estiver decrescendo. O denominador pode ser manipulado, para fazer uma mudança de variável, como segue: L2 & Lº 2B sal = 2mr? 2r2 | mk k e [E 1? 2E o, E? = = - rip = 2r2 [k2 mk pr tão 23 (6) (-48) (0-2) ]- RO Na última expressão utilizou-se r e 72 obtidos no exemplo 4.3. Quando r vaxiade mr a r2,0 último terma entre parêntesis varia de — 1 a 1. Então, a mudança de variável pode ser 272 -(r2+ry) m , seng= Da, com -S<tst Substituindo-se todas essas transformações em (4.19), resulta em: 1 í cos E dE 1 p=+ —Sostde (eg); Zu | (TT sen é o (8 — 80) Pr onde £o = arcsen (Eita) e wo =) É. Assim, o resultado final para r(t) é Tr] m 1 D=45 [2 + rD+( r$) sen (to = 2wo t)) Substituindo-se este resultado em (4.18) tem-se: L pat! Lia )=n+D f Ot = + f :; (= + [Er UR ri) sento Dando) UÉ mas | TrEsno o sendo (=EoH2uwat,a=r] +rfeb=r2-r2. Noteque a >b. A primitiva da última integral pode ser abtida mediante algumas mudanças de variáveis sucessivas a seguir. 48 K. Watari Forças Centrais / dg -f ade, a sec? É dt e e+bsenç a3+2absenfcasS J olsulfdabtes [a of aZ+a?tg? É +2ba tg É a2+n2+2bn q+b ) dn 2 ( E [pa sendo n=a tg (É) - Substituindo-se €, a c b, o resultado final para 0(t) é (r2+r2) te (SL wont) + (rZ->r2) ma 242 nodos (aco Er?) te( ) Do arctg (rinite de (rir) 2mro 2m 2 O tempo pode ser eliminado da equação (4.18) reescrevendo-a como r r L dry Lo, LO, 0-0+ [Es (4) dr - [Es ar ro vo e substituindo-se * obtido em (4.16). Com isso, obtém-se a eguação da trajetória na forma integral dada por 0=0+4 5 [ds mari = (E — Vtr para o movimento de uma partícula num campo de força central. 12 -1/2 - ma) dr! (4.20) Exemplo 4.5 Para a partícula do exemplo 4.3, a equação (4.20) torna-se: mL 1 Lote o=m=/— [o - kr? ) A “Ea Pain (z 20" am? a 7 Para se efetuar uma mudança de variável no integrando, o rearranjo algébrico abaixo no denominador é conveniente. L? mk? PLt a dt Lt 2mr? oLIr2 | mk? mk mk? mk? (£ Yo EL2N a (Er No TBLir? mE? k mk o 2» a? 2 = Ss (54 É ) -(Uégrê rortoê) | > = mk? (Eis 1 (Césrri cart ) . 2.º 2 (rã -rdDr? 1 E- kr? tr 4.1 Movimento sob a Ação de uma Força Central K. Watari 49 2 jr? ar2r2 rê4ridrº—-2rir . e fria rbr!2riri 7 O 5 SITÊ do último termo é —1 quando r=r1 e +1 quando r=r2. r2- rr Assim, uma mudança de variável pode ser A expressão (a +rtyr? -2rprê [Ro Substituindo-se na expressão de 6, obtém-se: o=ma 1 [ Arêriar! 1 (eres artetyj - 2 bro (ri ori) seng= , com -S << € cosEtde! 2 Je, 1 — senZé” seng = sen [fo +2(9 —09)], GR erBrg-2rirê (i-rro eo (-) quando estiver decrescendo. Se tomar à posição de maior afastamento dessa partícula como =m4 =>(8-6), ou seja, onde £o = aresen . O sinal (+) é considerado quando r estiver crescendo sendo (ro,80), então, ro => e 69 = 0. Com isso, & = = Substituindo-se estes valores na expressão de sen£ acima tem-se: (rir 3 para r crescente ou decrescente. Com um rearranjo algébrico chega-se a: rº[rê (1 +cos 20) + r2(1-cos20)] =r2[2r2 cos? 8 + 277 sen? 6] = 272 rj. ar? =2rrê TB? = sen (5 +20) =cos 20 Como m = cos 6 e xo = sen, essa equação pode ser reescrita na forma que representa uma elipse com centro na origem do sistema de coordenadas. Portanto, a trajetória dessa partícula é uma elipse de semi-cixo maior r2 com seu centro coincidindo com o de força. Dependendo da natureza da força central, é mais conveniente uma equação dife- rencial da trajetória em vez da equação integral (4.20). Para obetê-la, considere uma = 1 . mudança de variável r = w Derivando-a em relação a t, tem-se: du 1 du s; da L du — [== — ro =—-— 5 dt u? d8 do m do ' bjdu LL du Ls diu mao Tmmr? do? Om" qo Substituindo-se este resultado na equação diferencial (4.10), isto é, em obtém-se n( 52 K. Watari Forças Centrais Considere, agora, o eixo polar Oz de tal forma que a direção de maior aproxi- mação corresponda a 9 = 0, como ilustrado na Fig. 4.7. A equação diferencial da trajetória (4.21) para a força em questão fica: ponto de maior du mK aproximação qo tu= "5 (4.27) / e a sua solução geral é mk 5 A ul) = A cos 0 + B seng + 1 Uma das condições iniciais para u(9) é dada por Pig 4.7: 1. mk mk 2mE mk Om = e mi(Ta) +20 am, uma vez que a maior aproximação ocorre em 8 = 0 por escolha do sistema de coor- denadas dessa forma. Assim, ac d(mK Po 2mE mk 14 22º E IT po COI Vit ano ' da, d . . Pela razão acima aludida, a outra condição inicial é Sata) =0. Com isso obtém-se B=0. Portanto, a equação da trajetória é K + yl+ . (4.28) À trajetória descrita por esta equação pode ser circunferência, elipse, parábola ou hipérbole conforme a energia mecânica E como segue: mk? cetória é (5 . L2 e in 1. Se E=— LT a trajetória é circular de raio r = mA como já discutido : mm a; à L mk? . : 4 anteriormente. Além disso, 9 = mr — “LT e, por isso, o movimento é 72 circular e uniforme. md? trio 4 j o or é 2. Se — “LT <E<o0,a trajetória é uma elipse, onde o semieixo maior é > 9BL212 pdf 2= 570 ea excentricidade é ce = 1+>"— = 1- 2(- E) mk? mia (ver secção F.4 na página 133). 3. Se E=0, a trajetória é uma parábola com a = 2 —. mk 4. Se E>0,atrajetóriaéo ramo (+) de uma hipérbole sendo os seus parâmetros: 2ELº)“2 pq" Pes] mk? 2 K =h 1=5E CE= + 4.2 Lei do Inverso do Quadrado da Distância K. Watari 53 O movimento confinado numa. região ocorre para V/) < E <D ea trajetória é uma elipse, conforme a conclusão acima. Aplicando-se a aquação (4.5) para o caso da, elipse, tem-se: área da elipse = L T; área, Pe = 559 75 onde 7 é o tempo necessário para completar uma revolução ao redor do centro de força numa trajetória elíptica. Por outro lado, 2(- EL mk? PE) 1º fr =Taê =7a? . re K mk "ºVmka Comparando-se o quadrado dessas duas expressões para a área da elipse, obtém-se: L2 am área da elipse = tab= ra? Lº? 244 =mºa . mkKa Após simplificações algébricas, chega-se ao resultado: 72 om - e, (4.29) 2 r mostrando que a razão 3 é uma constante para a partícula de massa m. No caso cional, K = G Mn m. Dessa forma, (4.30) 2 . TÊ 4 o que quer dizer que — é a mesma constante para todos os planetas. O resultado (4.30) é conhecido como a terceira lei de Kepler. Observações: 1. A segunda lei de Kepler, que se refere à conservação da velocidade areal [ver (4.5)], é um resultado válido para qualquer força central genérica. Entretanto, a primeira lei, que expressa o fato que os planetas movem-se em órbitas elípticas com o Sol num dos focos (ver conclusão 2 da página 52), e a terceira lei são específicas de uma força que obedece a lei do inverso do quadrado da distância. 2. Nesta secção, as leis de Kepler foram obtidas partindo-se das leis de Newton aplicadas a uma força central proporcional ao inverso do quadrado da distância. Mas, se se conhecer a equação da trajetória, pode-se determinar a natureza da força central por meio da equação (4.21). Por exemplo, substituindo-se a equação da trajetória (4.28) em (4.21) tem-se: MK h 2 agp MK mk 2 go mo p(! L? mk? 1 025 VÍ? TO pur a) 54 K. Watari Forças Centrais K Procedendo-se as simplificações obtém-se F(r) = — —-. Parece que Newton obteve uma. força que obedece a lei do inverso do quadrado da distância dessa maneira. 3. Espera-se que tanto a primeira como a terceira lei só tenham validade apro- ximada, uma vez que os planetas do sistema solar estão sujeitos às atrações mútuas, além da atração do Sol. Por causa disso, as forças que agem sobre os planetas não obedecem exatamente a lei do inverso do quadrado da distância. Entretanto, observações mostram que os desvios dessa. lei nesses movimentos são pequenos, embora, mensuráveis. Com as correções minuciosas introduzidas para prever esses desvios, descobriram-se os planetas Netuno e Plutão. 4. Naturalmente, se L = 0, a partícula executa um movimento retilíneo ao longo de uma reta que passa pelo centro da força. Exercícios 4.1) De acordo com a teoria das forças nucleares de Yukawa, a atração nuclear entre um nêutron e um próton obedece à força cuja energia potencial é V(r) = — K , onde a e K são constantes positivas. : : . K a) Determine a força devida à esta energia potencial e compare-a com — =. r b) Se uma partícula de massa m move-se sob a ação desta força, quais os tipos de movimentos possíveis? <) Determine L e E para que o movimento seja circular de raio a 4.2) Um corpúsculo de massa específica p move-se na sistema solar sob influência combinada da atração gravitacional do Sol e da força repulsiva devida a radiação solar. Se P, for à potência de radiação emitida pelo Sol com uma velocidade e, a força devida à pressão da radiação r = —, sendo A a área so L a Po dac rr da projeção do corpúsculo no plano normal à direção que une ele ao Sole r o seu vetor de posição em relação ao Sol. Como o corpúsculo é muito pequeno, supor que ele seja esférico de raio R é uma aproximação razoável. Desconsidere as interações com os planetas. 3P, — És — onde M é lôxcGph ' Onde MM ta massa do Sole G é a constante de gravitação, serão sopradas para fora do sistema solar sobre o corpúsculo que dista 7 do Sol é expressa por Fp = a) Mostre que todos os corpúsculos com raio menor do que Rg = b) A potência irradiada pelo Sol é x: 3,8 x 102º watts. Estime a ordem de grandeza do raio crítico, Ro. c) Para as partículas de raio maior que Ro, descreva os tipos de movimento possíveis em termos de momento angular L e de energia mecânica tora] E. 4.3) A força de Morse dada por F(r) = 2a Vo (e -2er gra 9 é muito utilizada nos estudos de propriedades das moléculas diatômicas. a) Determine a energia potencial V(r) devida a esta força. b) Descreva os tipos possíveis de movimento em termos de L e de E para uma partícula de massa 1m sob a ação desta força. 4.3 Propriedades de um Movimento Confinado K. Watari 57 torna-se um anel descrito por rmin <T < Tmos (Fig. 1.6(b) e Fig. 4.8(b)]. As posições de maior aproximação ou de maior afastamento são denominadas “pontos de retorno” [Fig. 4.8(a) ] em analogia com os do movimento unidimensional. Apside é também a denominação dada aos “pontos de retorno” (ou seja, posições de maior aproximação ou de maior afastamento) de um movimento confinado sob a ação de um campo central [Fig. 4.8(b)]. As distâncias de maior aproximação e de maior afastamento são chamadas distâncias apsidois. Existem só duas distâncias apsidais (rmin € Taz) em um movimento confinado não circular que uma partícula. executa, numa região anelar, conforme ilustrado na Fig. 4.8. Ver apside Fig. 4.8: (a) “Pontos de Retorno”. — (b) Trajetória e suas Apsides. À posição de maior aproximação é também conhecida como pericentro e a de maior afastamento como apocentro. Perihélio e perigeu são as denominações do pericentro quando os centros de força forem, respectivamente, o Sol e a Terra. Por outro lado, o apocentro é chamado aphélio e apogeu para o Sol e a Terra, respectivamente. Fregiientemente, a direção de uma apside é escolhida como sendo a direção polar. Nesse caso, as condições iniciais para. a solução da. equação diferencial da trajetória d (4.21) são u(0) = u9 é Sa (0) =0, onde — pode ser rmin OU Tas dependendo o de qual apside for considerada. Essas condições iniciais e a equação diferencial (4.21) não são afetadas se trocar O por — 8. Isto significa que a trajetória é simétrica sob reflexão em relação à reta que passa pelo centro de força e apside. O ângulo entre duas apsides consecutivas é denominado ângulo apsidal [1 na Fig. 4.8(b) ]. Essa separação angular depende da natureza da força central que rege o movimento em questão e tem um papel fundamental na discussão de uma trajetória; ser ou não fechada. Executando-se uma revolução completa ao redor do centro de força, a partícula pode não voltar à sua posição original. Uma vez que uma trajetória deve ser simétrica com relação a direção de qualquer apside, os ângulos apsidais de um movimento com trajetória fechada devem ser iguais, ou seja, uma fração racional de 2x (por exemplo, para movimento elíptico é x). Assim, conhecendo-se o trecho de uma trajetória fechada entre duas apsides consecutivas, o restante pode ser construído por reflexões sucessivas até ela fechar. 58 K. Watari Forças Centrais Exemplo 4.6 A Fig. 4.9(a) mostra um esboço de uma trajetória quando o ângulo apsidal é igual 2 ctária sé . a a =. Observe que essa trajetória só fecha após duas revoluções completas ao redor do centro de força. Tmas Fig. 4.9: (a) Trajetória Fechada. (b) Precessão das Apsides. Se o ângulo apsidal não for uma fração racional de 27, a trajetória não é fechada, pois a partícula nunca retorna à sua posição de origem. Existem, entretanto, tra- jetórias que são quase fechadas. Nesses casos, os apsides precessionam lentamente no plano do movimento, como esquematizado na Fig. 4.9(b). Para uma força, central cuja intensidade é inversamente proporcional ao quadrado da distância em relação ao seu centro, uma trajetória limitada é necessariamente fechada. Se os apsides precessionarem lentamente indica que a intensidade da força não varia exatamente dessa maneira, isto é, difere ligeiramente do comportamento de + (ver exercício 4.19 abaixo). Newton argumentou que a dependência temporal dos perihélios dos planetas seria um teste da validade da lei do inverso do quadrado da distância. De fato, esse desvio é esperado nos planetas do sistema solar devido à interação mútua entre eles. Contudo, o efeito é muito pequeno e somente precessões lentíssimas nos seus perihélios foram observadas. A maior delas, que é a do perihélio do Mercúrio, avança somente cerca de 574 segundos de arco (= 9,6") por século. Um cálculo detalhado dá uma previsão de 531 segundos de arco por século (um erro percentual da ordem de 7,5 % em relação ao valor observado). Essa diferença de 43 segundos de arco é uma, dificuldade não resolvida na mecânica newtoniana. Exercício . - K 4.19) Uma partícula de massa m move-se sob a ação de uma força central F(r) = — + So , onde E K é uma constante positiva e a é uma constante pequena. Considere o caso do movimento confinado com L2 > ma, sendo L o momento angular da partícula.  4.4 Estabilidade de uma Trajetória Circular K. Watari 59 1a s 20 a) Mostre que a trajetória é dada por uma equação do tipo — = dir que representa To ad-e? uma elipse que precessiona. Dê as expressões de a, de : e de em termos de m, K, L, acE b) Determine o sentido da precessão para « > 0 e a <0. 4.4 Estabilidade de uma Trajetória Circular Num campo central atrativo sempre é possível contrabalançar a atração por meio de uma força centrífuga. escolhendo-se L apropriadamente. De fato, lembrando-se da expressão (4.12) que define Voy(r), a equação (4.10) pode ser reescrita como mi =- ds (r). Então, uma trajetória circular em r = com é = 0 para todo r t é possível se ddr =0. Como dVos Lo dy L? SE = Cos Lc rt), dr mr3 + dr mr? (1), deve-se ter av 1 (e) =" —F(=o0, dr hs mr o que significa que, para r =, a condição (4.31) deve ser satisfeita para que exista uma trajetória circular de raio 7. Portanto, sempre são possíveis ter-se trajetórias ulares se se escolher L que satisfaça a condição (4.31). Mas, nem sempre são estáveis. Somente quando V.; possuir um mínimo em T resultar-se-á numa trajetória circular estável de mesmo raio. Em outras palavras, as condições AV Ver qo = (M=0 e =" 0>0 (4.32) devem ser satisfeitas simultaneamente. Exemplo 4.7 Suponha que uma partícula de massa m esteja em movimento sob a ação de uma força central P(r) = — oo com K>0 e n inteiro. À energia potencial correspondente é dada 1 K a , 1 K Lº . . por V(r)=— 4 cn=r * Com isso, Ves(r) = — sã Então, a condição de existência de trajetória circular (4.31) fornece K Lº o raio da trajetória circular é (542) Co nK (312 =" tos ar? TE mr 62 K. Watari Forças Centrais v fechada. Da mesma maneira, para n = 0 o êngulo apsidal é q = 7/V3 e também não é fechada. T/V'2, isto 6, 0 ângulo apsidal não é uma fração racional de 27. Por isso a trajetória não é Quando n = —1, a força é o de um oscilador harmônico isotrópico e resulta num ângulo apsidal w==/2. A trajetória, neste caso, é fechada e trata-se, na realidade, de uma elipse na qual o seu centro coincide com o centro da força. Outros valores de n que levam a trajetórias fechadas são n=6,-13,-22 etc. O esboço de trajetórias para esses casos fica como exercício para o leitor. Exemplo 4.10 No caso de Mercúrio, a aproximação do Sol como uma partícula puntiforme ou como uma esféra homogênea não é muito boa devido à sua proximidade. Uma correção possível para este fato pode ser representado por uma força central do tipo K K' rn--S-E, onde 0 < K' « K Para esta força, Sendo m a massa de Mercúrio e M a massa do Sol, aqui K = GMm. PM 2KT244K! 2K' KT + CORTAR Portanto, o ângulo apsidal neste caso é dado por: ak ris CKPL 7] = a 1/2 Lembrando que (1 tw) lx 1-z+--. para 2 < 1, esta expressão pode ser reescrita como nu A SR qn (rs) =afio is to] : uma vez que K! < KF?, Finalmente, utilizando-se (1+2)? a Ivz+--- para 2 < 1, obtém-se: pasa [14 É bRT Rr] Este resultado mostra que à órbita de Mercúrio possui um ângulo apsida! ligeiramente maior do Da RT a cada indi, E inélio cri s qK que 7, 9 que indica uma pequena precessão do perihélio cujo avanço é dado por E revolução ao redor do Sol. Exercícios 4.20) Determine o período da movimento circular de raio « e a freaiiência de pequena oscilação radial na vizinhança dessa trajetória de uma partícula do exercício 4.1. Mostre também que, se aa <1,a trajetória é quase fechada e que as apsides avançam xa 2a? a cada revolução ao redor do centro de força. 4.21) Considerando uma partícula movendo-se sob a ação de uma força de Morse do exercício 4.3, determine o período do movimento circular de reio a c à fregiiência de pequena oscilação radial na vizinhança dessa trajetória, Mostre também que a trajetória é quase fechada quando aa «1 e que as apsides avançam a cada revalução ao redor do centro de força. 4.22) As trajetórias quase fechadas, referidas nos exercícios 4.20 c 4.21, são elipses que se preces- sionam. Em relação a essas elipses, onde estão situados os centros de força em cada um dos casos? 4.5 Lei do Inverso do Cubo da Distância K. Watari 63 4.5 Lei do Inverso do Cubo da Distância Geralmente, a discussão dos movimentos de uma partícula sob a ação de uma força inversamente proporcional ao cubo da distância é tratada de maneira muito su- perficial ou é deixada, simplesmente como exercício nos livros textos. Aparentemente, isto se deve ao fato de que não foi encontrada na natureza uma força. predominante deste tipo governando os movimentos das partículas. Entretanto, em 1998, um grupo de pesquisadores da Áustria? criaram artificialmente uma força atrativa que obedece essa lei. Utilizando-se os átomos esfriados com a técnica de confinamento magneto- óptico? como partículas de prova, estudaram os seus movimentos. Assim, uma dis- cussão aprofundada do movimento de uma partícula sob a ação desse tipo de força é interessante. Considere, então, uma força central atrativa, inversa- mente proporcional ao cubo da distância, representada pela função: Ves K Flj=—. (4.42) A energia potencial de uma partícula em movimento no , K campo desta força é V(r) = — 37 8 portanto, a r energia potencial efetiva, fica. Lº-mk 1 Fig. 411: Vio= om Conforme ilustra o gráfico de Voy em função de r da Fig. 4.11, existem três casos a considerar para se analisar o movimento do ponto de vista qualitativo. 1. Se L?>mkK, Veg(r) é sempre positiva e monotonicamente decrescente. A energia mecânica total (E) da partícula para este caso só pode ser positiva e o movimento é ilimitado. Porém, existe uma região interna de uma circunferência. L2-mkK de raio Pmin = e centro na origem que não é “acessível” para a 2mE partícula. Note que o raio desta circunferência é também a distância de maior aproximação não nula dela em relação ao centro de força. 2. Se L?<mkK, Ves(r) é sempre negativa e monotonicamente crescente. Neste caso, a energia mecânica total pode ter valores desde — 00 a 00. Para E >0 o movimento é ilimitado, isto é, a partícula pode “acessar” qualquer ponto do plano do movimento, inclusive o centro de força. Quando E < 0 o movimento mK-L? 2m ) Este raio representa também a distância de maior afastamento da. partícula em relação ao centro de força. Note que o centro de força também é “acessível” para ela. é confinado num círculo de raio rmaz = e centro na origem. 2J. Denschlag, G. Umshaus, and J. Schmiedmayer, Physical Review Letters 81, 737-41(1998). ê“The 1997 Nobel Prizes in Science”, Scientific American, January 1998. 64 K Watari Forças Centrais 3. Se L?=mkK, Ve(r) é identicamente nula. Agora a energia mecânica total tem apenas a restrição de ser maior ou igual a zero. Todos os pontos do plano do movimento, incluindo o centro de força, é “acessível” à partícula. O fato de se ter Yeg(r) = O para qualquer r, significa que a força centrífuga está equilibrando a força atrativa em qualquer posição do plano do movimento. A equação diferencial da trajetória (4.21) para a força (4.42) fica 2 (88) (9 que deve ser resolvida para os três casos do momento angular discutida anteriormente. Note que esta equação foi escrita diretamente em termos de r e 8. K 1. [L2>mkK |: Definindo-se 82=1- ds a equação (4.43) torna-se: a (1 (1 aos (5) eo" (5) 0. As duas soluções independentes são: 14 (9)= : (4.43) cos 86 Fig. 4.12: Trojetórias para o caso L2> mk. (a) A primeira solução, 7: (9), tem o intervalo de sua validade definida por — 57 <8< 25" Ambos os limites deste intervalo representam as direções das assíntotas dessa, trajetória. Uma vez que 5 < 1, tem-se m ” 35 > 7 como ilustrados na Fig. 4.12. O esboço da Fig. 4.12(a) é para 1 ocaso 3 < —. Note que a trajetória forma um laço ao rodor do centro de força e a posição de maior aproximação está na direção 0 = 0. A Fig. 4.12 (b) mostra o esboço para o caso 3 > 2" Desta vez a partícula apenas contorna o centro de força sem formar laço na trajetória e, como antes, a posição de maior aproximação está na direção 9 = 0. Finalmente, o esboço da Fig. 4.12(c) é para 3 = 3 que representa a situação de Capítulo 5 Espalhamento de Partículas Os movimentos confinados de uma partícula sob a ação de uma força central atrativa foram discutidos minuciosamente no capítulo 4. Devido à restrição que a partícula deve permanecer na vizinhança do centro de força, aqueles movimentos po- dem ser classificados como “ligados”. Entretanto. os movimentos não “ligados” sob a a de for: centrais, tanto atrativas quanto repulsivas, são também importantes. Eles tiveram um papel de destaque na descoberta de núcleos atômicos, por exem- plo. Sugerido por Rutherford, Geiger e Mardsen realizaram uma experiência fazendo partículas a incidirem sobre uma folha de ouro. À análise dos ângulos onde essas partículas espalhadas foram detectadas levou Rutherford a sugerir que átomos eram constituídos de núcleo com carga positiva distribuída em uma dimensão muito pe- quena com quase toda a massa concentrada nele e de elétrons orbitando 2o seu redor como uma nuvem. Esta foi a única maneira de explicar satisfatóriamente o fato de existirem partículas w espalhadas na direção que formam um ângulo grande com relação à de sua incidência (denominado ângulo traseiro), pois, o modelo atômico de Thomson (elétrons incrustados numa esfera homogênea de carga positiva com diâmetro de um átomo) aplicado para se analisar esse resultado não conseguia dar nenhuma previsão de se encontrar partículas « com desvios tão grandes quanto aos observados. Depois desse evento, a colisão entre partículas tornou-se uma das técnicas fundamentais para se estudar a estrutura da matéria. As décadas de sessenta e se- tenta do século XX tiveram uma predominância muito forte do emprego da técnica de colisão de partículas nos estudos teóricos ou experimentais de diversos sistemas. Neste capítulo será discutido, basicamente, a colisão entre duas partículas e, particu- larmente, o assim chamado espalhamento de Rutherford. 5.1 Espalhamento de Duas Partículas A teoria de espalhamento entre duas partículas é desenvolvida supondo que antes e depois da colisão as duas partículas estão separadas por uma distância muito grande. Em outras palavras; a interação mútua entre elas é desprezível tanto na situação inicial 68 K. Watari Espalhamento de Partículas quanto na final. Considere, então, uma partícula de massa m e outra de massa m> separadas, inicialmente, por uma distância muito grande. Ambas as partículas movem-se em direção a uma certa região do espaço que será denominada região de interação, como ilustrado na Fig. 5.1. A partir do momento que elas adentram essa, região começam a interagir. Com a hipótese de que as forças de interação mútua são muito maiores que as forças externas na região de interação, as últimas são despre- zadas. Por esse motivo, considera-se esse sistema. de duas partículas isolado. Além disso, suponha-se que as forças consideradas obedecem a terceira lei de Newton. Após passarem por essa região, cessa, a interação e as partículas estão novamente separadas por uma distância muito grande (Fig. 5.1). Durante a passagem das partículas na região de interação é dito que elas estão colidindo. Após sairem dessa região é dito que elas foram espalhadas. Todas as condições descritas até aqui são as hipóteses búsicas para o estudo de espalhamento entre duas partículas. antes da É ro MeatÃo de: depois da colisão É interação 4 coli vz add Fig. 5.1: Espalhamento de Duas Partículas. Na situação inicial e final as partículas não interagem. As forças envolvidas na o de interação obedecem a terceira lei de Newton. Assim, de acordo com a discussão da secção 3.4 e a equação (3.87), a quantidade de movimento deste sistema é conservada, isto é, pot pm=Pp + pm. (5.1) antes da colisão depois da colisão Os momentos angulares das duas partículas em relação à origem O do sistema de referência são definidos como Lo =r; xp: e Los =ro xpo. onde os vetores de posição r; e r», assim como as velocidades vi; € vo estão ilustra- dos na Fig. 5.2. Derivando-se cada um deles em relação a t, resulta em: Lo =hxp+mxb A 1=11 XFio 5.1 Espalhamento de Duas Partículas K. Watari 69 e Loz=i2xpa+raxpa=r2xFo. JS o Agora, somando-se as duas equações membro a membro, obtém-se Lo + Lo =r;xFi +raxFa= (rr) xFi=0. a paralelo a Fiz Definindo-se o momento angular do sistema de duas partículas relativos à origem O como Lo = Lo: + Los, (5.2) tem-se Lo = Lo + Loo =0, 2 o que mostra que Lo = constante, isto é, Fig. 5 Lo + Lo;= + Lô. (5.3) DU — antes da colisão depois da colisão ou seja, o momento angular, em relação à origem O, do sistema de duas partículas isoladas é conservado no processo de espalhamento. Suponha que as forças sobre as partículas 1 e 2 sejam Fi(ri,r3) e Fo(ri,ro), respectivamente, e que sejam devidas apenas à interação mútua entre elas (forças internas). Observe que essas forças sobre qualquer uma das partículas podem depen- der de coordenadas de ambas, r; e ro. Suponha também que exista uma função s forças sobre cada uma das partículas possam energia potencial V(r;,r3), tal que, ser obtidas por Fi(ror)=—-ViVrro) e Folrro)=—VoVíryro), (5.4) onde V; V significa calcular o gradiente de W em relação às coordenadas da partícula. k. Então, as equações diferenciais oriundas da segunda lei de Newton para este sistema são dadas por dv, dvs ma So VaV e ma =-Vov. (5.5) Multiplicando-se escalarmente ambos os membros da primeira equação por v: e da segunda por v chega-se, após manipulações algébricas, a d/1 > » o dm de (qm?) + vi 2-0 aa 3 , dr, e de (Gmvi) var dê 0. 72 K. Watari Espalhamento de Partículas Nesta equação, o parâmetro b = 7; sena, onde o é o ângulo entre p; e rs, seria a distância de maior aproximação entre as duas partículas se não houvesse interação entre elas e é denominado parâmetro de impacto [ Fig. 5.31. Se b = 0, a colisão é frontal e o momento angular é nulo nesse caso. Devido ao fato de Pi. P/ e pó estarem no mesmo plano, r;, r; € r; também estão. Além disso, r; Xp:, rt; xp; e r; xp; têm a mesma direção e sentido se o espalhamento ocorrer no semiplano dianteiro em relação a O. Nessa condição, a equação (5.12) pode ser escrita como pb=pibitpiba ou mb=myv/bj +mavjbi, (5.13) onde b/ e b; são as distâncias das assíntotas das trajetórias após o espalhamento com as retas paralelas que passam pela origem O, como ilustrados na Fig. 5.3 (b). Se ma > ma, à partícula em repouso na origem praticamente não sai do lugar. Por isso, dim 0 e bj=b. Além disso, se F = F(ir —r3)), como por exemplo, F = F(r) - ; com r=r; — >, a interação que governa o espalhamento é força central. As equações (5.9), (5.11) e (5.13) envolvem dez parâmetros: my, mo, Pi, Pi, p3, 81,82, b, bj e bi. Para resolvêlas é necessário conhecer seis desses parâmetros. Mesmo que não se resolva essas equações completamente, é possível compreender as características gerais do movimento dessas partículas no processo de espalhamento. Da equação (5.10) obtém-se: pi=p sp +2pi pa = pr + py? +2p/ pi cos(di + 05). Por outro lado, a equação (5.9) fornece a identidade 2924 Ma =p? + pt. Pi 1 a P2 Comparando-se as duas equações para py chega-se a: , cos(, 4.60) = (at. 1) PÉ (5.14) 1 Se my = mo, esta expressão mostra que cos(81 + 83) = 0, o que significa Bri=5. (5.15) Em palavras, os duas partículas são espalhadas em direções perpendiculares quando elas têm massas iguais e uma delas está, inicialmente, em repouso na origem. A segunda equação de (5.11) juntamente com (5.15) fornece o seguinte: p=pi ted. Substituindo-se na primeira equação de (5.11), levando-se em conta (5.15), tem-se pi =p; cosb e pp send. (5.16) 5.2 Espalhamento Elástico K. Watari 73 Portanto, se se conhece p; e 61, pode-se determinar py e p; quando ma = mg. Além disso, os resultados (5.15) e (5.16) mostram que, neste caso, as duas partículas são espalhadas somente para o semiplano dianteiro em relação a origem. Reescrevendo-se as equações (5.11) como pi — pj cos6y = pj cos0a e pj send, = po sendo, elevando-se cada uma delas ao quadrado e adicionando-se membro a membro, obtém- se: pê+pi? -2p pj cos =py?. Mas, a equação (5.9) pode também ser reescrita na forma: (pi — pi?) = po”. ma onde 3 = a 1 ções chega-se a - Manipulando-se algebricamente após a comparação das duas equa- 2p; cos by 1-8, 12 r 2 e a 0 ! 1+8 agr . cuja solução para pj é ty PRq4g s 014/92 50026, |. Uma vez conhecida pi, 01 e 3, pode-se determinar p; e 9) com o restante das equações de conservação. Note que para (5.17) ser real, a condição |sen01] < 2 deve ser satisfeita. Há dois casos distintos discutidos a seguir. * Quando mz > ma, a condição acima, é sempre satisfeita porque ) > 1 c só a solução ' Pp n=740 [cos 94+ 48º — sen261 ] (5.18) é considerada, pois, a outra leva a p/ negativo uma vez que B2- sen? =v92-1+cos? 0, >cos&. Como a solução não impõe restrição, o intervalo de valores permitidos para 0, é0<6 <r. Significa, então, que se mz > m existe a possibilidade de um “espalhamento traseiro” (a: > 5) , isto é, da partícula incidente ser espalhada de volta. O limite entre os espalhamentos dianteiro (a < 5) e traseiro ocorre 8-1 : 28 gar Pora. ” r quando 04 = 2 e, nesse caso, tem-se p; = 7 K. Watari Espalhamento de Partículas e sento = Fa - Quando 0, = 0, não há colisão. Assim, p/ =p € 1 3 enliaã 1 8-1 p;=0. O caso 8, =x corresponde à colisão frontal e tem-se pj = a Po f 28 j=DL. Pp = Br e 9 * Sem <mi,tem-se 8<1 e implica que existe um valor máximo 87” permi- tido para o ângulo de espalhamento 8; dado por: 9” — arcsen 8. (5.19) Se mo «ms, 67? é muito pequeno. Para, qualquer 0, < 9f” tem-se cosdi > 3º — sen?0 = 4/82 -1 4 cos? & e as duas soluções dadas por (5.17) são válidas. Elas correspondem a espalha- mentos com parâmetros de impacto diferentes. Exercícios 5 , mo io 5.1) Obtenha p/ e pj em termos de py e = para uma colisão frontal quando ms < my. ma Quais são os ângulos 61 e 6» correspondentes ? Pp: 5.2) Uma partícula de massa my e energia cinética 71 sofre um espalhamento elástico com uma outra de massa mz em repouso na origem do sistema de referência. Sabendo que a energia cinética da partícula de massa ma depois do espalhamento é T/, mostre que numa colisão frontal, a razão = é dada por: 7 27; 2 Ta (E -1)s ( > -1) - ma Ty Ty; Observação: Admitindo-se que uma das massas é conhecida e que as duas energias cinéticas podem ser medidas, esta equação pode ser utilizada para se determinar a massa da outra partícula. 5.3 Uma emulsão fotográfica mostra o traço de uma partícula incidente que colide com outra (alvo) e é espalhada de um ângulo 61 em relação à direção de incidência. Mostra também 9 traço da partícula alvo formando um ângulo 0» após o espalhamento. Determine a razão a 2 ns a em termos de 64 e 0», supondo que a partícula alvo estava inicialmente em reponso e mm que o espalhamento fora elástico. 54 Partindo das equações (5.9) e (5.10) num espalhamento elástico de duas partículas de massas iguais, mostre que p/-p4 =0. Qual o significado deste resultado? 5.5) Considere o espalhamento elástico entre a partícula incidente de massa my e o alvo de massa m> em repouso na arigem. Mostre que se m> >> my (significa que o alvo permanece em repouso após a colisão) tem-se |v/| = [vi]. O que acontece com o momento angular? 5.4Referencial do Laboratório e do Centro de Massa K. Watari 77 Fig. 5.4: Espalhamento Descrito no Referencial do Centro de Massa. Isto implica também que: pSl=|pí e jpiS|= [pi] (5.26) Se, além disso, o espalhamento for elástico, tem-se a conservação da energia cinética que pode ser escrita como: E? WE (OP mo 2m Im Zm 2ma 66.27) Devido a (5.25) ou (5.26), (5.27) pode ser reescrita como cy2 E (m (tm) ou seja, (pr)? = (pi)? ou = |p;º|. (5.28) Em palavras, num espalhamento elástico deserito no referencial fixo no centro de massa, o módulo da quantidade de movimento de cada uma das partículas é mantido constante (conservado). Como consegiiência disso, o parâmetro de impacto, b, entre as duas partículas é também mantido inalterado. Suponha, agora, que um sistema de referência fixo no centro de massa está se movendo com uma velocidade constante V em relação a um referencial fixo no laboratório. O vetor de posição de uma partícula tem a relação dada pela equação rl=r0+ vie. (5.29) O índice L nesta equação é para enfatizar que se refere ao referencial do labora- tório e, como antes, o €' ao do centro de massa. Derivando-se (5.29) em relação 78 K. Watari Espalhamento de Partículas a t,a velocidade da partícula transforma-se como vL=yvt4 ve, (5.30) Escolhendo-se V “ na direção do eixo z, como mostra a Fig. 5.5, as componentes; paralela e perpendicular a esse eixo, são dadas por: vi cosgl =vl cospl + vt e vl sengl = ul sengl. Dividindo-se a segunda equação pela primeira, resulta em sengo tgol=—" DD — a os 0E Tr" (5.31) onde foi introduzido a quantidade adimensional vi 1=—. (5.32) Valendo-se da identidade trigonométrica, cos £ = a equação (5.31) 1 Vl + tee pode também ser escrita como: cos 80 +7 L- cos 8! = (1+27 cos 00 + q2)1/2 (5.38) À equação (5.31) ou (5.33) relaciona. o ângulo de espalhamento medido no referencial do laboratório em relação ao medido no referencial do centro de massa. é interessante relacionar os referenciais do laboratório e do centro de m: sob um outro aspecto. Para isso, considere uma partícula de massa m incidindo com uma velocidade ve na direção de uma partícula alvo de massa ms em repouso na. origem, como esquematizado na Fig. 5.6(a) na página 79. Na mesma figura está, também, esquematizada a situação após o espalhamento, onde a partícula incidente é espalhada na direção que forma um ângulo 9£ e o alvo na direção 6£. A Fig. 5.6(b) é o mesmo sistema sob o ponto de vista do referencial fixo no centro de massa. Derivando-se a equação (3.88) em relação ao tempo, obtém-se a velocidade do centro de massa dada por: ma vi +mo ve my + ma Vvi= Mas, antes do espalhamento tem-se ve =0. Assim, a velocidade do centro de massa em relação ao referencial do laboratório é dada por m t=-—olyt (5:34) ma — ma 5.4Referencial do Laboratório e do Centro de Massa K. Watari 79 Fig. 5.6: neste problema. À velocidade da partícula de massa m em relação à de massa ma é obtida derivando a equação (3.89) em relação a t e o resultado é v = vL — vt Em relação ao centro de massa, a velocidade da partícula alvo é obviamente -vt=- —tu L . ——>>— ví. 35 m tm 1 (5.35) Combinando-se (5.23) e (5.35), a velocidade da partícula incidente em relação ao centro de massa fica mo . — E vt. (5.36) ma + ma A energia cinética do sistema, antes da colisão, calculada em relação ao sistema de referência fixo no laboratório é T.= à ma (vP)”. (5.37) Por outro lado, em relação ao referencial fixo no centro de massa, essa mesma energia cinética é dada por ma(m + mo) Lim (62, 2,1 2 ma (00) + ma (07) = mma To = E 1 2 onde foram utilizadas (5.35) e (5.36). Portanto, a energia cinética do sistema, antes da colisão, calculada nos refereciais fixos no laboratório e no centro de massa estão relacionadas mediante a equação m; , Te=—"2— Tr. (5.38) ma + ma Observe, neste resultado, que a energia cinética do sistema calculada no referencial do centro de massa é menor que a calculada no referencial do laboratório. Neste ponto surge, então, uma pergunta. O que aconteceu com a diferença de energia 82 K. Watari Espalhamento de Partículas ou seja, 84 = 1 (90 - 7). Uma vez que 0< 0º <7,o ângulo 0€ - a é sempre negativo exceto quando 9º =. Considerando-se, então, o ângulo medido no sentido anti-horário como positivo em relação ao eixo z positivo, 6 — a < O significa que o ângulo está sendo medido no sentido horário. Ora, se medir o ângulo, que está subtraindo x a partir de 6º, no sentido horário a partir do eixo z positivo, sem se importar com o sinal, resultará em 7 — 9º. Este é exatamente o ângulo de espalhamento da partícula alvo, 9$ , medido no referencial fixo no centro de massa, (Fig. 5.4). Portanto, a relação obtida pode ser expressa como 1 0% = 3 (r-09), (5.46) lembrando que 7 — 8º está sendo medido, sem considerar o sinal, a partir do cixo 2 positivo do referencial fixo no centro de massa. Ángulo de recuo do alvo é a denomi- nação de 04. O parâmetro 7 foi obtido de duas maneiras. Isto foi importante para enfatizar a dependencia entre as velocidades das partículas em relação aos referenciais do labo- ratório e do centro de massa. Dependendo desse 7, a variação de 6! em relação a 9€ é diferente. Basicamente, são os três casos seguintes: a) [7 <1 |- Derivando-se a equação (5.31) em relação a 0º, obtém-se dtgol 1+rcosos “doe (cos 8 +71)? (5.47) (3) 6b) Fig. 5.7: (a) Vi <uo; (b) Vi=v (e) Vi sue, Para 7 <1, que é o presente caso, esta expressão é sempre positiva. Isto significa que tg9L é sempre crescente com 9º. Assim, quando 9€ varia no intervalo 0<9€ <a, 6” também varia no intervalo 0 < 0! <. Em particular, quando 7-0 tem-se 0! + 8º. Esta relação pode ser vizualizada melhor pelo diagrama, esquematizado na Fig. 5.7 (a). Neste diagrama, a ponta do vetor vº descreve uma circunferência à medida que 6º varia. Construindo-se a soma vetorial (5.30) neste mesmo diagrama, a relação entre 82 e 9º é evidente. 5.5 Espalhamento de Rutherford K. Watari 83 - Utilizando-se as identidades trigonométricas 1 + cos £ = 2 cos? £ [e ge seng = 2 sen & £ cos £ 5, para este caso, a equação (5.31) torna-se tg9L = tg z Portanto, para 7 = í a relação torna-se gt = 2E a 48) Assim, enquanto 9º varia no intervalo 0 < 00 < x, 9£ varia no intervalo ” o<o!< 7º que está evidente no diagrama da Fig. 5.7 (b). Pelo diagrama da Fig. 5.7 (c), fica claro que há dois ângulos 8º que leva ao mesmo 94 neste caso. Quer dizer, 9” cresce de O até um 9L,, e decresc: até chegar novamente a 0, à medida que 9€ cresce de O até 7. De acordo com c 1 a equação (5.47), 0L,, ocorre para O O = arccos [— 1) . Dado um 92 fixo, T . 5 7 c : existe um ângulo og menor do que 8 que corresponde a uma determinada velocidade da partícula no referencial do laboratório. Para o mesmo 94, existe A ' 5 e . um outro ângulo [4 maior do que & ” correspondendo a uma outra velocidade da partícula, de módulo menor, no referencial do laboratório. Exercícios 5.8) Esboce, numa mesma folha, gráficos de 9? em função de 6º, no intervalo [0,7], para 7=0,7=0,1,7=0,5,7=0,8,7=1,7=12,7=1,5,7=2e7=5. Discuta. 5.9) Qual o comportamento de 8 quando 7 + oc? Discuta. 5.5 Espalhamento de Rutherford A especulação referente a, estrutura de um átomo já havia começado no início do século XIX. Mas, somente com a descoberta de elétrons, em 1897, é que a existência de partículas com cargas elétricas negativas e de cargas positivas constituindo a estru- tura interna de um átomo começou a ser considerada. Com as diversas informações disponíveis até o início do século XX, J. J. Thomson propos um modelo atômico que consistia em uma esfera gelatinosa, bastante elástica, com carga positiva distribuída. uniformemente nela. Esta esfera tinha o diâmetro de um átomo e uma massa que era quase toda a massa do átomo. Os elétrons, de massa muito pequena, ficavam incrustados nela, distribuidos de maneira que mantivesse a neutralidade do átomo e o equilíbrio eletrostático. Naquela época, este modelo, que ficou conhecido como o de “pudim de ameixas”, foi muito útil em propor experiências para tentar descobrir propriedades adicionais dos átomos. Conforme mencionado na introdução do presente capítulo, Geiger e Mardsen rea- lizaram uma experiência onde fizeram as partículas q incidirem sobre uma folha 84 K. Watari Espalhamento de Partículas delgada. de ouro, como ilustrado no esquema da Fig. 5.8. Segundo a previsão feita pelo modelo atômico de Thomson, as partículas a deveriam passar quase sem serem defletidas, isto é, as deftexões que elas sofreriam seriam muito pequenas. O resultado da experiência, contudo, foi totalmente diferente. Apesar da grande maioria das partículas a incidentes passarem com pequena ou nenhuma, deflexão, as sofridas por algumas delas eram muito grandes. Até partículas o espalhadas de volta foram encontradas. Diante deste resultado experimental e da previsão errônea do modelo de Thomson, levou Rutherford a formular um modelo atômico completamente novo. tela revestida de sulfeto de zinco colimador previsto pelo modelo de Thomson material feixe de radiativo partículas a folha de ouro Fig. 5.8: Esquema da experiência de Geiger e Mardsen. Rutherford supos que um núcleo carregado positivamente era uma parte do átomo. Esse núcleo possuia uma massa que representava quase a totalidade da massa de um átomo. Supos também que a sua dimensão é muito pequena (ele levou esta hipótese ao extremo tomando o raio do núcleo menor do que o raio clássico do elétron que é 2,8 x 10-13 cm) a ponto de poder considerá-lo como puntiforme. Para neutralizar a carga do núcleo, os elétrons de massa muito pequena orbitavam ao redor dele como uma nuvem. Agora, o problema teórico da colisão de partícula a com átomo de ouro consiste em resolver o de duas partículas puntiformes interagindo-se mutuamente com força eletrostática. O efeito dos elétrons, que em princípio estariam no caminho, sobre o movimento final é desprezível porque as suas massas são muito menores que a da partícula a. Considere, então, um átomo de ouro em repouso na origem do sistema, de referância, fixo no laboratório e uma partícula a incidindo com uma velocidade v, é parâmetro de impacto b. Esta situação é a mesma que está ilustrada na Fig. 5.3 (a) para duas partículas genéricas. A Fig. 5.3(b) ilustra o movimento de partícula a e átomo de ouro no processo de colisão. A Fig. 5.9 (a) abaixo reproduz a ilustração da Fig. 5.3 (b), destacando os parâmetros de interesse envolvidos nesse problema. O índice 1 refere- se à partícula a e o índice 2 ao átomo de ouro, Considerando-se, então, ambos puntiformes e a interação entre eles eletrostática, as equações do movimento são dadas, em unidades cgs, por: Tora (5.49) nl 5.5 Espalhamento de Rutherford K. Watari &7 As constantes de integração 4 e B podem ser determinadas escolhendo-se a direção polar como sendo a de maior aproximação. Assim, Ad e DI nO) min av ro) Com essas duas condições têm-se: A= Zi Ze? uvib 2 uvpb2 Z1Z2e? e B=0. Portanto, a trajetória da partícula a é descrita pela equação 1 Ae? Ze? uvpd «= AGO AGO (fo 5.5 7 avê + aviB3 + Ze cos d, (5.58) que, de acordo com a secção F.4, representa o ramo (—-) de uma hipérbole. Quando r> 00, tem-se ) > O em (5.58). Assim, Abe? Ze? 2»? - Atoel | fre vb cos g=0. nopb? pod Z1Z9e? Disso obtém-se: 1 ;2 2 — o = t+ (EO b . cos O Zy2Z,e? 1 Pela identidade trigonométrica 1 + tg?£ = casi go esa igualdade pode, também, ser expressa como: > uv; db < tg9= 1, 5.59 g Ze (5.59) Conforme as discussões da secção 4.3, a trajetória de uma partícula em movimento sob a ação de um campo central deve ser simétrica em relação à reta que passa pela posição de maior aproximação e centro de força. Por esse motivo, o ângulo « deve ser igual ao ) na Fig. 5.9(b). Por sua vez, a = O porque ambos são ângulos colaterais de duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Portanto, o ângulo de espalhamento O tem uma relação com O dada por LA (5.60) S=703 Substituindo-se esta igualdade em (5.59), chega-se a: . 0 uvb cotg (5) 2 A lgel (5.61) 88 K. Watari Espalhamento de Partículas De acordo com a equação (5.61), conhecendo-se o parâmetro de impacto b deter- mina-se 9, uma vez que uvÊ é medido e Z; Z)€? é conhecido. Como foi adotado um sistema de referância fixo na partícula alvo, o ângulo de espalhamento 9 é o mesmo visto do referencial fixo no centro de massa. Para se encontrar o ângulo de espalhamento em relação ao referencial fixo no laboratório é necessário acrescentar-se o movimento do centro de massa descrito em relação ao último sistema de referência. Antes de fazer isso, note que em muitas experiências feitas no laboratório tem-se a 2 Ma : : relação — suficientemente grande, de forma. que o centro de massa, juntamente m com a partícula alvo, pode ser considerado sempre em repouso na origem. Para o espalhamento de partículas o com ouro, mau pode ser considerado muito maior do que mo e, além disso, os núcleos de ouro estão presos a uma matriz de cristal da folha de ouro. Assim, a aproximação de se considerar o centro de massa em repouso na, origem é muito boa e isto será adotada por ora. Uma vez adotada a aproximação referida acima, a massa reduzida u será = m, eo ângulo de espalhamento 9 coincidirá com o medido no referencial fixo no laboratório. Assim, determinando-se b, automaticamente está determinado 6 mediante a equação (5.61). Nesta equação, 8 — 7 quando b —» 0. Agora fica claro que pode haver ângulos de espalhamento grandes, como foi observado na experiência, uma vez que eles correspondem a parâmetros de impacto pequenos. No outro extremo, 6 — O quando b + co, 0 que significa que as partículas a que passam longe do núcleo de ouro sofrem deflexões pequenas. Mas, nessa experiência não é possível medir o parâmetro de impacto diretamente por envolver distâncias da. ordem do tamanho de um átomo ou menor. Além disso, pela natureza das componentes da experiência envolvida, é impossível medir b para cada 8. Qual é, então, o significado do parâmetro de impacto nesse caso? A obtenção da equação (5.61) foi um trabalho inútil? Não. Não foi um trabalho inútil porque essas dificuidades foram contornadas introduzindo-se a idéia de seção de choque que será discutida a seguir. O caso ma > my será discutido antes. Então, o movimento será o esquematizado na Fig. 5.9(b). As partículas que passam por uma área da, da região anterior ao espalhamento, sofrem deflexões e serão colhidas numa área d A subtendido num Fig. 5.10: ângulo 9 após o espalhamento [ver esquema da Fig. 5.10 (a)]. Esta área dA define um ângulo sólido d'2 subtendido por ela. Na Fig. 5.10 (a) não está aparente para não 5.5 Espalhamento de Rutherford K. Watari 89 sobrecarregar a figura, mas tanto a região de área da quanto a de dA necessitam também da coordenada angular «o para serem localizadas. Se I é o número de partículas incidentes por unidade de área e dN é o número de partículas espalhadas que chegaram em uma região de área unitária na direção (8,4) que subtende um ângulo sólido d9, a seção de choque diferencial é definida como (9) = + 5 (0,0), (562) d ou seja, 1 Lo d9 é o número de partículas que foram espalhadas na direção (8,2); segundo um ângulo sólido d92. Se a interação entre as partículas é devida a uma, força central, existe uma simetria (axial no caso) e o ângulo sólido pode ser escrito como d9=27 sengdo, representado geométricamente por dois cones de mesmo vértice e ângulos de meia abertura 6 e 9 + df, como esquematizado no lado direito da Fig. 5.10(b). Então, o número de partículas que passarem antes do espalhamento por uma. região anelar de raio b e b+db, como mostrado do lado esquerdo da Fig. 5.10(b), é I2xbdb queé o mesmo número de partículas que devem chegar na região anelar subtendido pelo cone duplo do ângulo sólido d2, da mesma figura, após o espalhamento. Assim, tem-se do 27 =-1- 27 I2rbdb Tam? sendo, : = a db sendo que o sinal (—) aparece nesta equação por causa da suposição que a <0 devido à lei da força que impõe que o ângulo de deflexão diminua a medida que b cresça. Portanto, a seção de choque diferencial é dada por: b l|db EO )= “send [55|- (5.68) Note que devido à simetria axial, ela depende, agora, apenas de 9 que é a direção do espalhamento em relação à de incidência. 4 seção de choque tem dimensão de área e do é medida em unidades usuais (cm 2, A? etc.). Desta forma, So (8) representa uma fração de partículas incidentes que são espalhadas para uma nssão com área unitária subtendida por um ângulo sólido d) na direção 6. Da equação (5.61) obtém-se: Zy Ze? 9 b= OO 2). Ta UZ cots (5) (5.64) Então, db AB 1 do mov? sen?(9/2) 92 K. Watari Espalhamento de Partículas sei (9!) d NL. Os ângulos sólidos dQS e dO! subtendem uma mesma região do espaço que cada um descreve no seu próprio referencial. Portanto, o número de partículas que alcança essa região deve ser a mesma qualquer que seja o referencial adotado para descrevê-lo. Assim, do ane Lembrando-se das as expressões de d” e d LS e tendo em conta (5.33) [ou (5.44)] tem-se: num ângulo sólido dO” = 2x sen9L do! é T do gmant Sano rar onant=1 EANC. ant sengldol deosot 1+7 cos 6€ dO É senplaoo T dcosoo — (1427 cos 00 q r2)'? : Substituindo-se na equação da igualdade de partículas espalhadas, obtém-se: do gr. do (1+27 cos 00 + 12)? ant ano 1+7 cos 0o ? que é a equação que transforma a seção de choque diferencial relativo ao referencial fixo no centro de massa para o referencial fixo no laboratório. (9º) (5.69) O conceito de seção de choque desenvolvido nesta seção não se restringe interação eletrostática que obedece a lei do inverso do quadrado. Em princípio, é aplicável a interação mediante qualquer tipo de lei de força. Particularmente, a equação (5.63) para seção de choque diferencial vale para interação por meio de forças centrais qu quer. Se a interação não obedecer a lei do inverso do quadrado da distância, a relação entre o parâmetro de impacto b e o ângulo de espalhamento O é diferente daquela dada pela equação (5.64). O que difere é, então, a determinação de b(9) para depois substituir na equação (5.63). Exemplo 5.3 Determinar a seção de choque diferencial para uma partícula com velocidade inicial [vil = e massa m que incide sobre um alvo, de massa muito maior que m. À interação entre a partícula incidente e o alva é dada por uma força central cuja energia potencial é a) se r<a Vir)= , , (9) ( 0, se r>a, onde Vo e a são constantes positivas. a dv ietóri J Solução: Como F(r)=— —— = santo para r < quanto para r > a, à trajetória da partícula. incidente deve ser retilínea em ambas as regiões. A energia potencial muda abruptamente de uma quantidade To quando se atravessa a superfície da esfera » = a. Então, T= (a) £ O e deve existir r uma força atrativa normal à superfície da esfera nesses pontos. Assim, quando a partícula incidente alcança qualquer ponto da superfície da esfera 1 = a a sua trajetória soire uma “refração”, como esquematizado na Fig. 5.11. Quando a partícula entra na região r < a o módulo da sua velocidade . a . 1 1 . passa de vw para vs. Como a energia mecânica total é conservada, tem-se z mv? = z mui -Vo. Portanto, (5.70) 5.5 Espalhamento de Rutherford K. Watari 93 é a velocidade na região interna à esfera centrada na origem. Como fai dito acima, a força é normal à superfície da esfera no momento da passagem por ela. Assim, na direção tangencial a essa mesma superfície não há ação de força e à componente tangencial da quantidade de movimento é conservada. Então, mw sena = mz sen e disso resulta em: 2Vo sena va =2..h send * w + Fig. 5.11: onde (5.70) foi utilizada. Quando « partícula entra na região r <a a sua trajetória é desviada de um ângulo «— 8. Quando volta a emergir da esfera sofre um segundo desvio de a— 3, como mostra a Fig. 5.11. Então, o ângulo de desvio total é 0 = 2(a — 5) que é o ângulo de espalhamento. Por isso, $=a-— e 2 seng sen(a-8/2) — senacos0/2 sena sena o sena 9º cosa º cos — sen =>, 2 sena 2 q Ainda pela mesma figura, é evidente que b=a sena. Daí, cosa — e a substituição na expressão acima leva a sê ato semêçopa) w2+1- 2% cos(0/2) Derivando-se esta expressão em relação a 8, chega-se, depois de manipulações algébricas, a a2y? sen(0/2) [9 cos(8/2)] [y cos(8/2) — 1] 2 [42 +1- 24 cos(a/2)]? Substituindo-se em (5.63), obtém-se: do cos (8/2)] [+ cos (8/2) df? ácos(0/) [24124 cos(9/2)]? do a?y? Observação: Se se utilizar equação integral da trajetória, em vez de equação dife- rencial, na obtenção de (5.59), tem-se a relação oo b 2ABe2 1 py 2 o=[ 5 (o | dr, Tmin 94 K. Watari Espalhamento de Partículas onde rmin é dado por (5.57). Para se calcular esta integral, reescreve-se o radicando do denominador como: 2Z1Z0e2 1. db? q. 2212260 do bo uv? ro vãS 2 252 nvfb 1 (2202y 1+( noto NO do | itaim + nvPb ZZpe? eão NE 1 (sto) seguida de mudança de variável cos £ Com isso deve-se chegar à expressão do cos O já obtida na página 87. Exercícios 5.10) Partindo-se da conservação da quantidade de movimento, determine a velocidade constante, ., da centro de massa do sistema de duas partículas em espalhamento discutido nesta seção. O que acontece no caso de mo >> m) ? Interprete. 5.11) No mesmo sistema do exercício anterior, mostre que a quantidade de movimento angular (momento angular) do movimento relativo tem o módulo dado pela equação (5.53). 5.12) Mostre que a equação da trajetória (5.58) representa o ramo (—) de uma hipérbole e determine os seus parâmetros c e a. 5.13) Considerando mz >> my, refaça todos os cálculos que levaram ao resultado (5.61). O que muda em relação ao desenvolvimento feito nesta secção? A interpretação continua à mesma? Discuta. 5.14) No caso do exercício anterior, mostre que a variação da quantidade de movimento é dado em módulo por Ap =2my vi sen . 5.15) Considere o sistema partícula a e ouro do exemplo 5.1 a) Calcule a distância de maior aproximação entre a partícula a: e o núcleo de ouro. b) Qual a fração de partículas o que sofreram deflexão de ângulo maior ou igual a 90º? c) Considere uma colisão frontal com a mesma energia e estime o limite superior para o raio do núcleo de ouro, d) Considerando a questão do item c), qual seria esse limite sc a energia da partícula a incidente fosse 7,7 MeV? 5.16) Mostre que as partículas a espalhadas por uma folha de ouro entre os ângulos de 60º e 90º é o dobro daquelas espalhades de um ângulo maior ou igual a 90º. 5.17) Determine a fração de partículas a de 7,7 MeV que incide sobre uma folha de ouro de espessura igual à 3x 1075 cm, que é espalhada de um ângulo menor ou igual a 1º, 2º, 5º, 10º, 20º, 30º e 40º, Esboce um gráfico e discuta. 5.18) No problema do exemplo 5.1, determine o ângulo de espalhamento da partícula a e de recuo do núcleo de ouro em relação ao sistema de referência de laboratório, supondo que o centro de massa não possa ser considerado em repouso na origem. Determine também a seção de choque em relação ao referencial da laboratório é expresse a diferença em porcentagem. 98 K. Watari Integral de Linha A transformação inversa de (D.1) [ ou de (D.2)] é dada por: zm =ant ant; +og ai, To = Mot] Ham ity +aga ms, (D4) Ty = at + at Haga ti, ou de forma compacta, (D.5) Derivando-se a equação (D.2) em relação a x; ou a (D.5) em relação a aj obtém-se: (D.6) que é uma relação importante para o uso futuro. Exemplo D.1 Para simplificar a visualização, considere o caso de um vetor de posição r de um ponto P no plano visto do dois sistemas de coordenadas $ c S!, um rodado em relação ao outro. Em relação ao sistema S, as componentes 21 e x2 do vetor de posição r são especificadas por (D.7) Tm =rcos8, a =r send, sendo r = |r| e O o ângulo entre » e oeixo x; Em relação ao sistema S!, rodado de um ângulo q no sentido anti-horário em relação a S (ver Fig. D.2), o mesmo vetor r tem as componentes w/ e x4 dadas por: (Ds) Fig. D.2: Sistemas aj=rcos(9-q)=rcosbcos yr sen sen, sj=rsen(0-)=-rcos 8 sen r senb cos p. Bidimensionais. Substituindo (D.7) em (D.8), a relação das componentes do vetor r no sistema S! em função das componentes do r no sistema S é torna-se: e/=m cosp+z sen, ! ? ” Da 2$=-a senç+ao cos p. Suponha, agora, que o sistema S seja visto como q sistema rodado de um ângulo q no sentido horário em relação à $!. Por meio de célculos análogos obtém-se a transformção inversa de (D.9) que pode ser escrita como: (nza cos ww 2; sen, (Dao) 22 =] senp+zicosp. Observe que na primeira equação de (D.9), cos 4 = cos(Z7,21) e senp = cos( 5 9) = cos(ai 25) são, respectivamente, os cossenos diretores do eixo zj em relação à «y e x2. Na segunda equação de (D.9), — seny — cos(-— +) = cosG£7) e cos = cos(z/,03) são, respectivamente, os cossenos diretores do eixo 24 em relação a q e x. Assim, identificando esses cossenos diretores como: an =cos p, 1» = sen, (Das) am =—seny, ao) = cos (7, D.2 Campo Escalar e Campo Vetorial K. Watari 99 a transformação (D.9) torna-se 2 vi=D at, i=1,2, ea sua inversa (D.10) ms =D oyzi, j=1,2. í Observe ainda que as relações (D.3) são obedecidas pelos cossenos diretores dados por (D.11). Exercício D.) Utilizando-se a relação (D.6), demonstre as relações (D.3). D.2 Campo Escalar e Campo Vetorial Definição D.1 Um conjunto de certa quantidade escalar & definida em todos os pontos de uma região 92 do espaço é chamado campo escalar, como por exemplo, a temperatura em cada ponto da atmosfera, a densidade de matéria distribuida em todos os pontos do interior de um fluído, o potencial eletrostático no espaço devido a uma distribuição de cargas etc. Em um sistema de eixos S, um campo escalar pode ser representado por uma função B(x;, 23,23) ao passo que 4 representado por uma outra função &'(z/, 24,24) num outro sistema de eixos sr. Num ponto P do espaço localizado pelas coordenadas (x1,22,23) em S e por (z/,04,73) em S” as funções Dx, vo,23) e 6'(x/,23,23) devem ser iguais, pois, um campo lar é um ente intrínseco com significado físico independente do sistema de referência adotado para descrevê-lo. Assim, D'(evj, mo, 03) = Plxr to to). (D.12) Em outras palavras, ele é invariante com a rotação do sistema de eixos. Esta igualdade de funções mostra que &'(x/,25,23) é obtida de &(x1,x>,73) mediante substituição de 71, z3 e 23 pelos segundos membros de (D.5), isto é, Sei, 02,25) = Plim (vi, 4,23), moloi, 24,05), ta(ei cs, v3)). (D.13) Exemplo D.2 Uma carga puntiforme q colocada na origem do sistema de eixos gera um poten- cial eletrostático q Vet+redra? 3.3 3 =D (Bono) aja & í onde a relação (D.3) foi utilizada no penúltimo termo, o potencial eletrostático devido a esta mesma carga é dado no sistema Sº por Vamo ma) em unidades cgs. Como 100 K. Watari Integral de Linha Vim nges) == . Vora? rag? Note que este é um exemplo onde a forma funcional que representa o campo escalar é também invariante com a rotação do sistema de eixos. Exemplo D.3 Considere uma lâmina de faces paralelas de espessura L, com uma das faces mantida à temperatura «o e a outra a «1. Em um sistema S com eixos 71 e 22 perpendicular e paralelo, respectivamente, às faces da lâmina, a distribuição de temperatura no seu interior pode ser 2 representado pela função u(x1,22) = ug + (11 — ug), Esta mesma distribuição de temperatura descrita em relação a um sistema S”, rodado de um ângulo « no sentido anti-horário em relação a 4 a r cu r S, será representada pela função 'u'(z/, 24) = u9 + + (2 cos p — x4 senç) . Naturalmente, u(zi,2o)=u'(m/,u3) Num estudo avançado, a definição geométrica de vetor como uma quantidade com magnitude, direção e sentido não é suficiente. Encontra-se grandezas tais como constantes elásticas, índices de refração, condutividade elétrica etc. em cristais ani- sotrópicos que têm magnitude, direção e sentido mas não são vetores (são tensores). Por esta razão, torna-se necessária uma nova definição para vetor. Uma das maneiras é definilo algebricamente por meio de componentes em relação a um sistema de re- ferência. Entretanto, os resultados obtidos para uma descrição do mundo físico, por meio da matemática, não devem depender da escolha do sistema de coordenadas (re- ferência). Observe que as componentes de um vetor de posição r são representadas pelas coordenadas de um ponto e, como tal, elas transformam-se como as coordenadas de um ponto sob a rotação de um sistema de eixos [ver equações (D.2)]. As compo- nentes de um vetor qualquer são proporcionais às coordenadas de um ponto. Assim sendo, as componentes de um vetor devem transformar-se como as coordenadas de um ponto sob rotação do sistema, de eixos. Com isso em mente, um vetor pode ser definido como segue. Definição D.2 Se qualquer terna de quantidades (Vi, Vo, Va) no sistema S trans- forma-se em (Vi, Vo, V/) no sistema S', rodado em relação a S, segundo a mesma transformação! de (m, 22,73) para (x/, us, ei), isto é, Vv; 3 Dam, i=1,23, (D.14) então, Ni, Va e V3 são componentes de um vetor V. Se esta terna não apresentar este comportamento, então, estas quantidades não são componentes de um vetor. Exemplo D.4 Um par de quantidades dadas por (1,0) no sistema de eixos x, e 2) em S v2 vê transforma-se em par no sistema de eixos vj e x; em S! rodado de 45º no ver equação (D.2)