Baixe Fundações por Estacas Projeto Geotécnico - José Carlos A. Cintra, Nelson Aoki e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Física, somente na Docsity! José Carlos A. Cintra | Nelson Aoki José Carlos A. Cintra | Nelson Aoki por estacas VA) projeto geotécnico Fundaçõe a satisfação de publicar este texto, referente a uma parte das da disciplina “Tundações”, que ministramos em dupla por 15 no curso de Engenharia Civil da Escola de Engenharia de São los, da Universidade de São Paulo. a abordagem geotécnica do projeto de fundações por estacas, plica tratar dos tópicos clássicos de capacidade de carga, es e carga admissível, sem deixar de contemplar o novo, de um capítulo de probabilidade de ruína, não dos elementos a: s do estaqueamento (estacas e blocos), mas a probabilidade associada à capacidade de carga geotécnica da fundação por Não consideramos nesta obra o tópico do dimensionamento ral dos blocos de estacas, que, na Escola de Engenharia de Carlos, é ministrado na disciplina “Estruturas de Fundações”, no semestre posterior ao da cadeira de fundações. a elaboração, tentamos atingir quatro predicados para o texto: 2) objetivo, pois o público-alvo são os estudantes de engenharia civil, am da iniciação em fundações, com um conteúdo simples, aço para muitas especulações; 2) prático, como no caso da va de recalques de estacas; 3) didático, como na explicação na trivial para projetistas, mas nebuloso para os estudantes); * inovador, ao introduzir o conceito de segurança abrangente de uma ão por estacas e apresentar o cálculo da probabilidade de ruína estaqueamento. no O foco desta obra é o projeto, não incluímos o tema prova de (estática ou dinâmica), uma vez que, para a grande maioria dos queamentos, não dispomos de resultados desses ensaios na fase rojeto. eramos que esta publicação seja útil aos estudantes de engenharia também aos professores da disciplina de fundações. José Carlos A. Cintra cintrajcosc.usp.br Nelson Aoki nelson.aokiQuol.com,br PREFÁCIO EI semiempíricos......... E BLUPO..........s.sssso Dos de carregamento negativo e efeito Tschebotarioff... Emetros de resistência e peso específico ...... Resolvido 1... ADMISSÍVEL de catálogo. do tipo de esta sodologias de projeto. Ex=rcício Resolvido 3... Exercício Resolvido 4 | Exercício Resolvido 5... FSOSASILIDADE DE RUÍNA... iseseeeasosrmeaeerrsrarnenias . psufciência do fator de segurança global É Waráveis envolvidas ............ 5 Margem de segurança .. Fnsice de confiabilidade > Comprovação da probabilidade de ruína. Welores recomendados E Exemplo de aplicação.. 5 BIDliogrÁfICAS csusnsmeommenias SUMÁRIO E CAPACIDADE DE CARGA ara compreender o significado da capacidade de carga de um elemento de fundação por estaca), em termos geotécnicos, consideremos uma estaca qualquer, de comprimento £, insta- lada no solo (Fig. 1.14). Na sua cabeça, vamos aplicar uma Força vertical P, de compressão, progressivamente aumentada, atingindo os valores P, e P,, conforme representado nas Figs. 1.1B e 1.1€. aplicação gradativa dessa carga, serão mobilizadas tensões entes por adesão ou atrito lateral, entre o solo e o fuste da e também tensões resistentes normais à base ou ponta ca (esses termos são relacionados ao tipo de solo: adesão gila e atrito em areia; porém, predomina o uso da expressão auto lateral, qualquer que seja o tipo de solo). hipótese simplificadora, vamos considerar que primeiro haja ização exclusivamente do atrito lateral até o máximo possí- w=!, para depois iniciar a mobilização da resistência de ponta. Com = evolução do carregamento, os recalques da estaca aumentarão, conforme a ilustração sem escala da Fig. 1.1. No início do carregamento, com P « P,, ocorre uma mobilização arcial (ou incompleta) do atrito lateral ao longo do fuste da estaca. Emaginando a estaca subdividida em segmentos verticais, em cada o] um deles atua um atrito lateral local, de valor variável ao longo da estaca, em função das características geotécnicas das diferentes camadas e sua profundidade. * Uma estaca, sem o solo aoseu redor, não é uma fundação, Por isso, denominamos elemento de fundação por estaca o sistema formado pela estaca (clomento estrutural) eo meciço que a envolve (elemento geotécnico). 12 28 POX ese Fic. 1.2 Parcelas de resistência que constituem a capacidade de carga Estacas princípio de projeto, devemos considerar sempre o menor dos dois valores, como veremos no próximo capítulo. No entendimento do problema físico da capacidade de carga, pudemos constatar o desenvolvimento de tensões resistentes ao longo do fuste da estaca e junto à sua ponta, o que nos permite separar a resistência em duas parcelas, em unidades de força: a resistência por atrito lateral ou apenas resistência lateral (R,), e a resistência de ponta (R,), conforme esquematizado na Fig. 1.2, em que D é o diâmetro ou lado da seção transversal da estaca. Para essas resistências, outros autores utilizam simbologia diversa, como P, ou PL, P, ou PP, Pp» Ppur Ste. R Iniciando o equacionamento matemático para deduzir a expressão da capacidade de carga, vamos fazer o equilíbrio de forças: R R=R+B, Para obter a parcela da ponta (R,), basta multiplicar a resistência de ponta, em unidades de tensão (r,), pela área da seção transversal da ponta ou base da estaca (A, ): Rp= To A No caso de estaca pré-moldada de concreto com seção vazada, geralmente podemos considerá-la como estaca maciça, na defini- ção da área de cálculo, por causa do embuchamento que ocorre na cravação. Para perfis metálicos (tipos, Hetc.) e trilhos, dependendo do grau de aderência solo-estaca, a área de cálculo pode variar desde a área real do perfil até a área correspondente ao retângulo envolvente; e, para estacas Franki, a área da ponta (A,) é calculada a partir do volume da base alargada (V), admitida esférica: Air sv po PO 47 1 CAPACIDADE DE CARG. 13 valores usuais de V são apresentados na Tab. 1.1, em função do diâmetro do tubo Franki: Tas.1.1 Valores usuais de V em função do diâmetro do tubo Franki Diâmetro do tubo (cm) Volume da base Vim) 835 018 0,27 0,36 0,45 0,60 para a parcela de atrito (R,), representemos por U o perímetro do :ste e façamos o somatório das forças resistentes por atrito lateral nos diversos segmentos da estaca. Logo: Ri=UZ(tAL) comU=zDouU=4D, para a seção transversal circular ou quadrada do fuste da estaca, respectivamente. Para estacas pré-moldadas de concreto com seção vazada, conside- remos o perímetro externo. Em perfis metálicos (tipos I, H etc) e rrilhos, geralmente utilizamos o perímetro desenvolvido ao longo das faces em contato com o solo, mas há solos em que devemos contar apenas com a superfície das mesas, por causa do vazio que se forma entre o solo e a alma do perfil. No caso de estacas com Base alargada, como a Franki, a NBR 6122:1996 prescrevia despre- zer o atrito lateral no trecho inferior do fuste, com altura igual ao diâmetro da base. nalmente, com a adição das duas parcelas, temos: R=ULZ(rA)+r,A, que é a expressão da capacidade de carga do elemento de fundação por estaca, na qual observamos as variáveis geométricas da estaca (U, 4, e A,) e as variáveis geotécnicas r, e r,. Por essa expressão, conhecido o comprimento L da estaca (subdividido em segmentos EE FUNDAÇÕES 20R FSTACAS + com diferentes alturas A;), determinamos a capacidade de carga R do elemento de fundação. Porém, dependendo da metodologia de projeto (tema do próximo capítulo), primeiro adotamos a capacidade de carga para depois pesquisarmos o comprimento da estaca. A existência desses dois conjuntos de variáveis torna inadequado nos referirmos à capacidade de carga da estaca ou à capacidade de carga do solo, como vemos habitualmente na literatura. Trata-se, portanto, da capacidade de carga do elemento de fundação, o qual representa um sistema formado pelo elemento estrutural (estaca) e pelo elemento geotécnico (maciço que envolve a estaca). Ao término de um estaqueamento, cada elemento de fundação por estaca oferece uma capacidade para resistir cargas verticais até o limite da condição representada pela ruptura iminente, a chamada capacidade de carga R. Esta é, portanto, uma resistência máxima disponível, e toda vez que se aplica uma carga P, inferior a R, temos uma mobilização parcial da capacidade de carga, restando uma espécie de reserva de resistência. Neste capítulo, veremos os métodos de cálculo para previsão dos valores de R, na fase de projeto. Essa capacidade de carga prevista poderá ser confrontada com valores experimentais obtidos em ensaios estáticos ou dinâmicos - as chamadas provas de carga - geralmente realizados durante ou após a conclusão do estaque- amento. Conhecidas as parcelas de resistência (R, e R,), podemos exprimir o valor da carga P, em qualquer fase do carregamento aplicado à P<R), em função dessas parcelas: estaca até a ruptura (O P=aR +bR, em que a e b são fatores porcentuais de mobilização, ambos variando de 0% a 100%. Observações experimentais de diversos pesquisadores revelam que a condição de mobilização máxima do atrito (a = 100%) é atingida 1 CAPACIDADE DE CARGA E E " m se tratando de fundações profundas, porém, tal modelo de comportamento físico é inaplicável. Existem diversas tentativas " de equacionar o problema, mas que ainda não são eficazes, sobre- ão para estacas em areia. Isso justifica, na prática de projeto de dações por estacas, o uso restrito - ou com cautela - de fórmu- teóricas para previsão de capacidade de carga. & seguir, em vez de detalhar alguns dos muitos métodos dispo- míveis na literatura, apresentaremos apenas o que pode ser considerado como o encaminhamento de uma formulação teórica d= capacidade de carga de elementos de fundações por estacas, sos particulares de solos puramente argilosos ou arenosos. 1.11 Estacas em argila Conforme já assinalado, na equação de capacidade de carga do elemento de fundação por estaca, as variáveis geotécnicas são mas: r, €r,. = caso de solo argiloso, r, representa a tensão de adesão do solo =o fuste da estaca, em termos de valor local, para um segmento gu=iquer da estaca, e pode ser calculada em função da própria coesão não drenada (c) da argila situada ao redor desse segmento: em que q é um fator de adesão entre o solo e a estaca. Os ábacos da Fig. 1.3 mostram que o valor de a diminui com o sumento da coesão. 1 Assim, a resistência lateral, em unida- das de força, atuante naquele segmento ds estaca, com comprimento 4, e o Curva média N para estacas sx de concreto Fator de adesão « 4 Curva média para) * É . todas estacas - gerimetro U, é dada pelo produto: | dis 025 EEE | U-a-c-AL g o 25 50 75 “100 125 150 . Coesão (Pa) Ne prática, geralmente o terreno se =presenta estratificado, com camadas Fi:1.3 Fator de adesão o (Tomlinson, 1957) E FUNDAÇÕES POR ESTACAS a de valores distintos de coesão. Então, interpretamos A, como a espessura de cada camada e obtemos a parcela de resistência lateral (R,) por meio do somatório das forças de adesão ao longo da estaca: R=UZ(ucAL) Por sua vez, a resistência de ponta (r,) pode ser considerada como a capacidade de carga de uma fundação direta de mesma base, que, em solos argilosos, pode ser calculada pela equação de Skempton (1951): T=CN+q na qual: q - sobrecarga (tensão vertical efetiva na cota de apoio da base da estaca); N, — fator de capacidade de carga, que pode ser considerado igual a 9 para fundações profundas. Portanto, em unidades de força, a parcela de resistência de ponta (Ry) é dada por: Re=(9c+9)A, em que: c— valor médio da coesão não drenada da camada de apoio da ponta ou base da estaca; A,- área da base. 1.1.2 Estacas em areia De maneira análoga à seção anterior, o problema é quantificar as duas variáveis geotécnicas, r, e r,, da equação de capacidade de carga do elemento de fundação por estaca. No caso de areia, homogênea com a profundidade, r, representa a tensão de atrito lateral local que se desenvolve entre o solo e o fuste de um segmento qualquer da estaca, na condição de máxima mobilização, e pode ser calculada pela expressão: 1 CAFAGIDADI DE CARCA E EN r=otgô | em que: =. — tensão horizontal no segmento de estaca; =35 - coeficiente de atrito estaca-solo; 5 — ângulo de atrito entre o solo e a estaca. Considerando que qa=Ko, =m que K é o coeficiente de empuxo e o,, a tensão vertical, temos: n=Eo,tgô Firalmente, com em que: => — peso específico efetivo da areia; = — profundidade; CH=gamos a uma função linearmente crescente com a profundi- dade: r=Kyztgô Focsvia, observações experimentais indicam que, em razão do Esso de arqueamento nas areias, o atrito lateral local não cresce ==cSeínidamente com a profundidade, atingindo um valor crítico 79 na profundidade de 10 ou 20 vezes o diâmetro da estaca, respec- =Exemente para areia fofa ou compacta. Ds acordo com Moretto (1972), para o cálculo prático, podemos supor que, qualquer que seja a compacidade relativa da areia, o atrito lateral local aumenta linearmente até uma profundidade “gual a 15 vezes o diâmetro (D), permanecendo constante e igual =o valor crítico para profundidades maiores (Fig. 1.44). Logo: nº=Ky(15D) tg 8 | DE BEER NESTE: BEREZANIZEV 1.000 JÁkY Ria MEYERHOF Z g E 5 o 3 3 E g É Eu E 5 o 3 8 100- = & SKEMPTON| YASSIN BISHOP — TERZAGHI 2 30 35 19 45 30 Ângulo de atrita interno 4 Fic.1.5 Valores de NS de vários autores (Vesic, 19674) Em razão disso, os métodos teóricos de capacidade de carga de fundações por estacas têm pouca utilização em projetos, sendo preteridos em prol dos métodos semiempíricos. Métodos teóricos de capacidade de carga de fundações por estacas ainda são um tema em aberto na geotecnia, merecendo novas pesquisas. 1.2 MÉTODOS SEMIEMPÍRICOS Uma vez que as fórmulas teóricas geralmente não são confiáveis na previsão da capacidade de carga de fundações por estacas, muitos autores têm proposto métodos bascados em correlações empíricas com resultados de ensaios in situ e ajustados com provas de carga. 1 CAPACIDADE DE CARGA E em A seguir, apresentaremos três métodos semiempíricos brasileiros: ei Aoki-Velloso (1975), Décourt-Quaresma (1978) e Teixeira (1996), que são amplamente utilizados nos escritórios de projeto de funda- ções, inclusive no exterior. 1.21 Método Aoki-Velloso (1975) Eetomando a Fig. 1.2 e a dedução da equação de capacidade de carga, temos: R=R+8R, com as parcelas de resistência lateral (R,) e de ponta (R,) dadas, respectivamente, por: m ou seja, a capacidade de carga (R) igual a R=UL(rA)+n5A, m quer, er, são as incógnitas geotécnicas. Pelo método Aoki-Velloso, essas duas incógnitas são inicialmente relacionadas com ensaios de penetração estática CPT(), por ?Aépocada meio dos valores da resistência de ponta do cone (q.) e do atrito Publicação do método, utilizava- teral unitário na luva (f,): se o cone mecânico, no qual foi incorporada a luva ra de Begemann para a medida do atrito lateral. Atualmente f predomina o r -Je emprego do cone elétrico e do N piezocone, que em que F, e F, são fatores de correção que levam em conta o efeito propiciam a medida direta do atrito lateral, simultânea (protótipo) e o cone do CPT (modelo), e também a influência do aleitura da resistência de ponta escala, ou seja, a diferença de comportamento entre a estaca método executivo de cada tipo de estaca. Todavia, como no Brasil o CPT não é tão empregado quanto o SPT, o valor da resistência de ponta (q.) pode ser substituído por uma correlação com o índice de resistência à penetração (Nspr): E FiNDAÇÕES POR ESTACAS a G = K Nr em que o coeficiente K depende do tipo de solo. Essa substituição possibilita exprimir também o atrito lateral em função de Ns com a utilização da razão de atrito (a): Logo: f=0q=aK Nor em que q é função do tipo de solo. Na literatura especializada sobre cone, a razão de atrito é tradicio- nalmente representada por Re é utilizada para identificar o tipo de solo. No método Aoki-Velloso, os autores procedem de maneira inversa, pois, a partir do tipo de solo, conhecido pela sondagem SPT, inferem o valor da razão de atrito. Podemos, então, reescrever as expressões anteriores para Ten: KEN Pp emqueN,eNsão, respectivamente, o índice de resistência à penetra- ção na cota de apoio da ponta da estaca e o índice de resistência à penetração médio na camada de solo de espessura 4,, ambos valores obtidos a partir da sondagem mais próxima. Portanto, a capacidade de carga (R) de um elemento isolado de fundação pode ser estimada pela fórmula semiempírica: a rms KN EE Al E F Pp R= (2 KNy AL) NT com os valores de K e de a dados na Tab. 1.3, propostos pelos autores com base em sua experiência e em valores da literatura. Os fatores de correção F, e F, foram ajustados com 63 provas de carga 7 CAPACIDADE DE CARGA E 1.2.2 Método Décourt-Quaresma (1978) As parcelas de resistência (R, e R,) da capacidade de carga (R) de um elemento de fundação por estaca são expressas por: R=nUL Ro=",A, A estimativa da tensão de adesão ou de atrito lateral (r,) é feita com o valor médio do índice de resistência à penetração do SPT ao longo fuste (N,), de acordo com uma tabela apresentada pelos autores, m nenhuma distinção quanto ao tipo de solo. No cálculo de N,, otam os limites N,»3eN, < 15 e não consideram os valores que ão utilizados na avaliação da resistência de ponta. court (1982) transforma os valores tabelados na expressão: | (Ni n=10 3 + 1) (kPa) estende o limite superior de N, = 15 para N, = 50, para estacas deslocamento e estacas escavadas com bentonita, mantendo < 5 para estacas Strauss e tubulões a céu aberto. * capacidade de carga junto à ponta ou base da estaca (r,) é imada pela equação: t=CN em que: = - valor médio do índice de resistência à penetração na ponta ou se da estaca, obtido a partir de três valores: o correspondente o nível da ponta ou base, o imediatamente anterior e o imediatamente posterior; “Tas. 1.6 Coeficiente característico do solo ?- coeficiente característico do solo (Tab. 1.6), Tipo de solo (kPa) =justado por meio de 41 provas de cargareali- Meia 120 zadas em estacas pré-moldadas de concreto. Silaanloso * aee Site arenoso * 250 Areia 40 Nas provas de carga que não atingiram a E EE e o * alteração de rocha (solos residuais) ruptura, os autores utilizaram como critério Fonte: Décourt e Quaresma ( 9/8). 1. E FUNDAÇÕES POR ESTACAS % q de ruptura a carga correspondente ao recalque de 10% do diâmetro da estaca. Esse critério está associado ao modo de ruptura conven- cional. Décourt (1996) introduz fatores q e f, respectivamente nas parce- las de resistência de ponta e lateral, resultando a capacidade de carga em: R=0CNp Ap +p10 (Nesajus (3 a) para a aplicação do método a estacas escavadas com lama bentoní- tica, estacas escavadas em geral (inclusive tubulões a céu aberto), estacas tipos hélice contínua e raiz, e estacas injetadas sob altas pressões. Os valores propostos para « e B são apresentados nas Tabs. 1.7e 1.8.0 método original (« = p= 1) permanece para estacas pré-moldadas, metálicas e tipo Franki. Tas.1.7 Valores do fator q. em função da tipo de estaca e do tipo de solo Tipo de estaca Escavada em Escavada Hélice a Injetada sob E Raiz E geral (bentonita) contínua altas pressões 085 0,85 03* 0,85* 19º Solos intermeciários 06 06 03+ q,6* Dt 05 us 0,3% 0,5% 1% + valores apenes orientalivos diante do reduzido número de dados disponíveis Fonte; DécoLr! (1996). Tas. 1.8 Valores do fator em função do tipo de estaca e do tipo de solo Tipo de estaca Tipo de solo E : 'scavada em Escavada ' & ' Injetada sob geral (bentonita) Helice continua Raiz pas pressões “Argilas “oa 0,9% 10% 15% AR Solos intermediários 0,65* 0,75+ 10* 15" ue Areias 05 0,6* 10 15 3,0* *valores apenas or'entativos diante do reduzido número de dados disponíveis Forte: Décourt (996). Por ocasião do ESOPT' II (Second European Symposium on Penetration Test), realizado em Amsterdã, em 1982, promoveu-se um “concurso” ernacional para previsão da capacidade de carga de um elemento solado de fundação. Uma estaca foi cravada próxima do local do =vento e, dos mais de 700 congressistas, 25 candidataram-se ao desafio, recebendo, com antecedência, os resultados da investiga- o geotécnica completa do terreno, incluindo diversos ensaios in 1 (SPT, CPT etc.) e de laboratório, além das informações sobre a aca e sua cravação. Durante o congresso, realizou-se a prova de sa na estaca, encontrando-se a carga de ruptura entre 1.150 e 00 kN. A melhor previsão foi a apresentada pelo Eng.º Luciano D<court (1.180 EN), que utilizou o método do qual é coautor. 1.23 Método Teixeira (1996) Com base na utilização prática e contínua de diversos métodos, como Aoki-Velloso, Décourt-Quaresma e outros, Teixeira (1996) opõe uma espécie de equação unificada para a capacidade de a, em função de dois parâmetros, a e 6: R=R,+R=0N,A,+BN,UL que: - valor médio do índice de resistência à penetração medido no rvalo de 4 diâmetros acima da ponta da estaca e 1 diâmetro ixo; e da estaca. lores sugeridos para o parâmetro a, relativo à resistência de ta, são apresentados na Tab. 1.9, em função do solo e do tipo estaca. = o parâmetro f, relativo à resistência de atrito lateral, independe “po de solo, e seus valores sugeridos são apresentados na 1.10, em função do tipo de estaca. D autor adverte que o método não se aplica ao caso de estacas é-moldadas de concreto flutuantes em espessas camadas de las moles sensíveis, com Nm normalmente inferior a 3. Nesse . a tensão de atrito lateral (r,) é dada pela Tab. 1.11, em função natureza do sedimento argiloso. E FUNDAÇÕES POR LStACAS a q superior à unidade, inclusive porque contar com uma resistência aumentada por causa do efeito de grupo implica a ocorrência de recalques também aumentados. Assim, na prática, calculamos a capacidade de carga apenas do elemento isolado de fundação, com a hipótese de que tenhamos n = 1. Na resistência do grupo de estacas também há a contribuição do próprio bloco de coroamento das estacas, pois uma parcela da carga total aplicada ao grupo é transmitida ao solo diretamente pelo bloco. Em blocos usuais, essa contribuição é de, no máximo, 20% (Chen, Xu e Wang, 1993; Senna Jr. e Cintra, 1994), para estacas cravadas e escavadas, e costuma ser negligenciada em projetos. Outro aspecto em relação aos grupos de estacas é que a distribui- ção de carga pode não ser uniforme: as estacas centrais podem receber mais carga do que as de periferia, em areia, ou ser menos carregadas, em argila. No caso de estacas cravadas em areia, temos a influência da sequência de cravação, pois as últimas estacas cravadas de um grupo recebem mais carga do que as precedentes. 1.4 OUTROS TIPOS DE CARREGAMENTO Até aqui tratamos exclusivamente da capacidade de carga dos elementos de fundação por estaca submetidos a uma carga vertical de compressão. Há, contudo, outros tipos de carregamento: o caso de estacas tracionadas, típico nas torres de transmissão de energia e de telefonia celular, e o de estacas cujas cabeças são submetidas a esforços horizontais ou de flexão, como em cais, pontes, estrutu- ras offshore etc. Para a capacidade de carga a tração, há métodos teóricos especí- ficos, que podem ser consultados em Campelo (1995). Para um cálculo prático, no caso de estacas cilíndricas ou prismáticas (sem base alargada), podemos calcular o atrito lateral a compressão pelo método Aoki-Velloso, por exemplo, e, em seguida, utilizar a indica- ção de Velloso (1981), pela qual o atrito lateral a tração é cerca de 70% do atrito lateral a compressão. Obviamente, a resistência de ponta é nula. 1 CAZACIDADE DE CARGA E O senso comum parece indicar que o atrito lateral a tração seja superior ao da compressão; todavia, na transferência de carga da estaca para o solo, tema que será visto no Cap. 3, ocorre uma espécie de confinamento do solo, quando a estaca é comprimida, enquanto que na tração teríamos uma espécie de desconfinamento. No outro tipo de carregamento, com cargas horizontais, uma lução pode ser o emprego de estacas inclinadas, desde que o gulo que a força resultante faz com a vertical seja inferior a 5º. Caso contrário, temos que proceder ao cálculo de estacas verticais solicitadas por cargas horizontais. Zor um lado, é preciso obter os deslocamentos horizontais da taca (geralmente com valor máximo na cabeça e decrescente " a profundidade) e os diagramas de momento fletor e de esforço tante, para o dimensionamento da estaca como peça estrutural. r outro, é necessário verificar a capacidade do solo de resistir a es esforços horizontais, com segurança, e se os deslocamentos ão aceitáveis pela estrutura. estaca carregada lateralmente, apenas o seu trecho perior necessita de armadura, com os valores decorrentes do ensionamento estrutural, enquanto a estaca tracionada deve receber armadura ao longo de todo o seu comprimento. Fara tratar o problema da estaca carregada lateralmente, podemos zar os métodos da teoria de reação horizontal do solo compila- dos no estado da arte de Cintra (1983). 1.5 ATRITO NEGATIVO E EFEITO TSCHEBOTARIOFF estacas implantadas em solos adensáveis, pode ocorrer o :ômeno do atrito negativo, pelo qual o recalque de adensamento pera o recalque da estaca. Em consequência, a camada adensá- em vez de contribuir com o atrito lateral resistente (positivo), a a gerar acréscimo de solicitação vertical na estaca, de cima ra baixo. a situação típica para deflagrar esse fenômeno é o lançamento = sobrecargas na superfície, provenientes de aterro, estoque de - [aa POR ESTACAS materiais etc. O solo entra em processo de adensamento, propi- ciando a ação do atrito negativo, com o decorrer do tempo. É preciso estar muito atento a esse fenômeno, pois a solicitação adicional resultante na estaca não é prevista pelos engenheiros de estruturas, ao fornecerem as cargas de pilar, e nem é detectada em provas de carga, nas quais o atrito lateral é sempre positivo, porque o processo de adensamento ainda não se iniciou. Outra condição que pode provocar o atrito negativo é a execução de rebaixamento do lençol freático. Para o cálculo do atrito negativo, sugerimos o Cap. 6 de Alonso (1989) e a seção 18.1 de Velloso e Lopes (2002). Neste último, há o equívoco de considerar que solos colap- síveis, quando saturados, entram em processo de adensamento (item e, p. 353). A colapsibilidade é um fenômeno bem distinto do adensamento, conforme demonstrado por Cintra (1998). Ainda em solos adensáveis, outro problema importante deve ser cogitado: o chamado efeito Tschebotarioff, provocado por sobre- cargas unilaterais na superfície, caso típico dos aterros de acesso de pontes, de galpões industriais e de armazéns graneleiros. Com o processo de adensamento da camada de argila mole, sujeita a uma sobrecarga vertical assimétrica, surgem esforços horizon- tais nas estacas, em profundidade, capazes de produzir grandes deslocamentos e até levá-las à ruptura. Aoki (1970) relata a ocorrência desse fenômeno em pontes da Rodovia Litorânea, a BR 101, nos estados do Rio Grande do Norte e da Paraíba. Como solução para o problema, optou-se pelo reforço da fundação e também, para diminuir a sobrecarga, pela execução de um novo aterro, provido de vazios criados por bueiros metálicos tipo ARMCO. Em obras posteriores, sob a responsabilidade do Engº Nelson Aoki, o projeto já contemplava o fenômeno, como o caso da Linha Verde, na Bahia, solução em laje estaqueada, nos encontros de pontes. Na Linha Vermelha, no Rio de Janeiro, sobre mangue de & m de espessura, a solução tradicional de aterro central (de 20 m de largura) com várias Exercício RESOLVIDO 1 1 CAPACIDADI DZ CARGA Es Considerando estacas pré-moldadas de concreto centrifugado, com diâmetro de 0,33 m, carga de catálogo de 750 kN e comprimento de 12 m, cravadas em local cuja sondagem com Nspy é representada =a Fig. 1.7, com a ponta à cota -13 m, fazer a previsão da capacidade de carga dessa funda- são utilizando o método Aoki-Velloso. Fatores de correção B=25 =2,82 Resistência lateral De -1ma-6m: Areia argilosa com 16 Nméd = s E=600kPa e «=3% — 0,03.600-3 es digo .5=99kN ue 0385=99 De=-&ma-lim: Areia argilosa com 36 Nyméd = "27 E-=S00kPaea=3% — 0,03.600-7 n:0,33-5=232 kN 2,82 Ri2 D=-11ma-13m: Areia argilosa com o TU 5 Areia fina a média, argilosa, marrom aH]| (sedimento cenozóico) Formação Rio Claro 4 6 E Linha de seixos olm Areia fina, argilosa, avermelhada (solo residual) É | 5 Areia argilosa, variegada (saprolito de arenito) Formação Itaqueri 56 Silte argiloso, variegado (saprolito de basalto) Formação Serra Geral -28 Fio. 1.7 Perfil representativo com valores de Noor E FUNDAÇÕES FOR ESTACAS co o K=600kPa e u=3% 0,03-600-8 = x R 13 182 0,33 Rj=Ry+Rij+Ri= 437 Eh Resistência de ponta Areia argilosa com Nm 600.14 =-(0,332 4 1,41 Capacidade de ca R=R,+R,-S47 kN= CARGA ADMISSÍVEL o capítulo anterior, vimos que a capacidade de carga (R) de um elemento isolado de fundação por estaca corresponde à máxima resistência oferecida pelo sistema ou à condição de ruptura, do ponto de vista geotécnico, e aprendemos a =tilizar os métodos semiempiricos para o cálculo de R, com base em resultados de SPT. +gora, consideremos um estaqueamento com dezenas ou centenas de estacas de mesmo tipo e mesma seção transversal. Por causa variabilidade do terreno, os valores de capacidade de carga resultarão idênticos, possibilitando o tratamento matemá- o de R como uma variável aleatória e a construção do gráfico da nção de densidade de probabilidade, f,(R). Considerando que os valores de R obedecem a uma distribuição normal, à semelhança Zo que ocorre com a tensão de ruptura à compressão de corpos de prova de concreto, apresentamos a Fig. 2.1, com destaque para dois valores particulares de R: o valor característico (R,), com 5% de= probabilidade de ocorrência de valores inferiores, e o valor médio com 50% de probabilidade de ocorrência de valores menores. Cada um desses dois valores dá origem a uma filosofia de projeto. A primeira é desenvolvida a partir da resistência característica (Rj), Fic. 2.1 Distribuição normal dos valores de cujo valor, reduzido por um fator de capacidade de carga 39 E FUNDAÇÕES POR ESTACAS a fico de estacas escavadas, no máximo 20% da carga admissível pode ser suportada pela ponta da estaca, o que equivale a um mínimo de 80% para a resistência lateral. Assim: Ri > 0,88, ou seja: P< 125Ry A NBR 6122:1996 prescrevia que, quando a estaca tivesse sua ponta em rocha e se pudesse comprovar o contato entre o concreto e à rocha em toda seção transversal da estaca, toda a carga podia ser absorvida pela resistência de ponta, adotando-se, nesse caso, um fator de segurança não inferior a 3. Daí, R E R<— a Quanto às recomendações dos próprios autores, Aoki e Velloso (1975) adotam o mesmo fator de segurança global normatizado de 2: R Rr+Rp Ce aa enquanto Décourt e Quaresma (1978) utilizam fatores de segurança diferenciados (que não devem ser confundidos com os fatores de segurança parciais) para as parcelas de resistência de ponta e de atrito: exceto para estacas escavadas a céu aberto, para as quais introduz fatores de segurança diferenciados: .Rp RL p= “4 15 No caso de ocorrência de atrito negativo (tratado no capítulo anterior), representado por R;(), a NBR 6122:2010 preconiza que o seu valor seja descontado da carga admissível: 2 CARGA ADMISSÍVEL Es o q +R Ent P= Em vez de “fator de segurança” também é usada a expressão coefi- mente de segurança. Preferimos “fator de segurança” porque a análise cimensional estabelece a indicação dos termos fator e índice para ente e módulo seriam grandezas adimensionais, enquanto coe seservados para grandezas dimensionais. 2.1 CARGA DE CATÁLOGO Uma outra verificação do estado limite último contempla exclu- =y=mente a estaca, cada tipo em particular, sem levar em conta pecto geotécnico. Se considerarmos uma espécie de tensão sível* do material da estaca (c,), a sua multiplicação pela 20 conceito de da seção transversal do fuste resulta uma carga admissível | tensão admissível, J que já foi utilizado d= estaca (P). em projetos de estruturas décadas atrás, é dado pela = relação entre o =omissível da fundação (P,), a qual considera o aspecto geotécnico. valor médio da resistência à A Rasa compressão e um == catálogo, pelo motivo óbvio de ser o valor de carga indicado no fator de segurança ogo do fabricante ou executor da estaca, em função da seção slobal que, no caso . do concreto, era ==nsversal do fuste e do tipo de estaca. iguala3. ns confundem essa carga admissível da estaca (P.) com a carga Fera evitar esse equívoco, preferimos denominar P, como carga Cor g=r= garantir segurança ao elo mais fraco do sistema (elemento ecidos os dois valores (P, e P.), devemos adotar o menor deles otécnico ou elemento estrutural). A estaca (elemento estrutural) são é necessariamente o elo mais forte. Podemos ter estaca apoiada =m material muito resistente ou estaca demasiadamente longa, de mr=neira tal que a resistência geotécnica seja superior à estrutural. “= prática de projeto, como a carga de catálogo é definida inicial- mente, ela passa a representar o limite superior para a carga =ômissível da fundação: 1995, tinhamos valores de carga de catálogo - que agora emos denominar de valores tradicionais - obtidos com base no conceito de tensão admissível. Com o advento da NBR 6122:1996, ES POR FSTACAS foi introduzida a filosofia de carga característica, com a prescrição, para os diversos tipos de estaca, de valores do fator de minoração de resistência e de valores máximos de resistência característica (4. e fw respectivamente, no caso de estaca de concreto), e definida a carga estrutural admissível, cujo valor passou a constar dos catálo- gos. Em consequência, houve um aumento significativo da carga de catálogo, conforme demonstrado na Tab. 2.1, para o caso da estaca escavada a seco, com trado helicoidal, em que o acréscimo médio resultou em 26%. Por prudência, alguns autores adotaram a estratégia de mencionar os dois valores, como é o caso de Velloso e Lopes (2002) Tas. 2.1 Carga de catálogo tradicional e Carga estrutural admissível da estaca escavada mecanicamente com trado helicoidal Diâmetro (cm) atire cs ia 825 200 250 830 300 560 B3s 400 490 940 500 540 gas sou s1o 950 Boo 1.900 Fonte: Falcon, Souza Filho e Figaro (1998). Trata-se de uma confusão de filosofias de projeto, pois carga admis- sível corresponde a uma resistência média dividida por um fator de segurança global. Nas Tabs. 2.2 a 2.6, apresentamos as cargas de catálogo menciona- das na literatura brasileira, para os tipos mais usuais de estacas, em função da seção transversal do fuste. Optamos pelos valores decorrentes da NBR 6122:1996, mas citando, quase sempre, a respectiva tensão admissível à compressão do material da estaca (o.), que dava origem às cargas de catálogo anteriores a 1996. Na Tab. 2.2, para estacas pré-moldadas, observamos os valores de o, compreendidos entre 6 e 14 MPa, mas a NBR 6122:1996 limitava ao máximo de 6 MPa quando não fosse realizada prova de carga. Na subdivisão dos tipos de estacas constantes dessas tabelas, consideramos como estacas cravadas aquelas constituídas por 2 CARGA ADMISSÍVEL Es por exemplo, da necessidade de limitação dos níveis de ruído e de vibração. A localização mais ampla, em termos da distância de centros urbanos mais importantes, deve considerar a disponi- bilidade de equipamento para certos tipos de fundação. Por sua vez, a ordem de grandeza das cargas de pilar implica a exclusão de certos tipos de estaca, o que também pode ocorrer, por exemplo, por causa da posição do nível d'água. Dessa forma, a análise dos dados da edificação e do terreno permite delimitar os tipos de fundação tecnicamente viáveis, recaindo a escolha final sobre os fatores custo e prazo de execução. Feita a opção por determinado tipo de estaca, essa escolha já inclui a definição do diâmetro ou seção transversal do fuste da estaca, de acordo com as cargas de catálogo de fabricantes ou executores desse tipo de estaca, como as apresentadas na seção anterior. Se a variação das cargas de pilar for muito ampla, podemos traba- lhar com dois ou até três diâmetros, no mesmo projeto. E aí, para cada diâmetro, procedemos como se fosse um estaqueamento separado, com a sua carga admissível. Para cada tipo de estaca, devemos considerar dois aspectos relativos à exequibilidade. Um deles refere-se ao comprimento máximo limitado pelo equipamento disponível; o outro refere-se à diminuição da eficiência do equipamento com o aumento da resistência dos solos, chegando a provocar a parada da estaca. Em termos práticos, podemos estabelecer, para cada tipo de estaca, uma faixa de valores de N,,y em que costuma ocorrer a parada da estaca. Esses valores, apresentados na Tab. 2.7, podem ser interpretados como os limites máximos para a penetrabili- dade no terreno (cravabilidade ou escavabilidade), desde que não haja recursos executivos adicionais para garantir a penetração exigida. 2.3 METODOLOGIAS DE PROJETO Em termos geotécnicos, todo projeto de fundações por estacas culmina com a previsão da cota de parada das estacas e a fixação da carga admissível (como já discutimos, dependendo da ampli- tude da variação das cargas de pilar, poderemos projetar mais de EE FUNDAÇÕES POR EsTACAS o uma carga admissível; nesse caso, basta considerar cada subcon- junto de pilares como se fosse um estaqueamento com sua carga admissível) Tas. 2.7 Valores limites de Ns», para a parada das estacas Tipo de estaca Nim 9<30cm 1b<Nooy< 25 z Pré-moldada de conai s B>30cm Perfil metálico Tubada (oca, ponta fechada) Slreuss em solos arenosos Frarki — em solos argilosos Estação e diafragma, com lama bentonítica Helice continua Ômega 20<Nspy £10 Raiz 2 60 (penetra na rocha sã) Para tratar didaticamente da determinação da carga admissível, vamos abordar três metodologias de projeto, apresentadas origi- nalmente por Aoki e Cintra (2000, 2001). Embora interdependentes, como veremos adiante, num primeiro momento vamos estudá- las separadamente. Nas três, vamos considerar a prática usual de trabalhar com a sondagem média (sem fazer a sondagem média, subdividimos o estaqueamento em regiões de abrangência de cada furo de sondagem e analisamos em separado cada uma dessas regiões). 1º Metodologia Escolhido o tipo de estaca e o diâmetro ou seção transversal do fuste, temos a correspondente carga de catálogo. Então, adota- mos a carga admissível como sendo a própria carga de catálogo e, multiplicando pelo fator de segurança, obtemos o valor necessário da capacidade de carga. Em seguida, por tentativas, e utilizando um dos métodos semiempíricos, procuramos o comprimento da estaca (L) compatível com essa capacidade de carga: 2 CARGA ADMISSÍVEL Em a WepSR=eME'SL Essa metodologia tem a vantagem de otimizar o aproveitamento da estaca, mas, como veremos adiante, muitas vezes é imperioso que a carga admissível seja inferior à carga de catálogo. 2º Metodologia Uma limitação do equipamento pode impor um comprimento máximo (Lx) exequível para a estaca. De modo semelhante, a posição do nível d'água pode caracterizar uma profundidade máxima, dependendo do tipo de estaca. Então, adotamos o comprimento da estaca como sendo esse valor máximo, calculamos a capacidade de carga por um dos métodos semiempíricos e, aplicando o fator de segurança, chegamos à carga admissível: L= máx SR5E - Õ 3º Metodologia Como vimos na Tab. 2.7, para cada tipo de estaca há uma faixa de valores de Ns; que provocam a parada da estaca, por causa da ineficiência do equipamento a partir desses valores. Então, na sondagem contemplamos os valores de Nem que estão dentro desses limites (Ny), OS quais indicam as prováveis cotas de parada da estaca ou os seus prováveis comprimentos (L). Para cada um desses comprimentos, calculamos a capacidade de carga e a carga admissível: Nim >L > Ro 23.1 Interdependência das metodologias Essas três metodologias de projeto são interdependentes, ou seja, a preferência por uma delas não significa que ela possa ser seguida até o final. Sempre devemos verificar as outras duas para, se for o caso, mudar de metodologia, dada a interdepen- dência entre elas. “ EH FUNDAÇÕES POR ESTACAS Aproveitando os dados obtidos no Exercício Resolvido 1, vamos recalcular apenas a última parcela de resistência lateral (R,;) e a resistência de ponta (R,), e construir a Tab. 2.8: Tas. 2.8 Parcelas de resistência e carga admissível Cotada Mor Ra (KN) R(KN) Ros (KN) RA(KN) OR, (EN) R(KN) P, (KN) ponta (m) a “9 2 06 457 510 950 50 “o 1 9 282 [99 525 582 1105 550 “15 15 99 232 291 t22 545 1168 500 6 5 FE 7 14 39 232 476 BO MO 37 60 18 [E 2 602 55 58 55 750 9. 99 22 688 OI 764 1785 900) Logo, a estaca deverá ter a ponta na cota -18 m (L = 17 m), com P,=750 kN. Pela 3º metodologia, temos os valores limite de No que correspondem à parada da estaca, no caso de pré-moldada com diâmetro superior a 0,30 m: 25 < No 435 o que levaria a estaca até as cotas -20m a -24m (L=19m a 23 m). Esses comprimentos de estaca, porém, resultariam em cargas admissíveis bem superiores ao limite máximo imposto pela carga de catálogo (P, = 750). Portanto, prevalece a 1º metodologia, com L=17 me P, = 750 kN. Obs.: A verificação do recalque será feita nos Exercícios Resolvidos 3a 5,no próximo capítulo. RECALQUES eja uma estaca qualquer, de comprimento L, embutida no terreno, e com a sua base distante C da profundidade em que se encontra a superfície do indeslocável, como representada na Fig. 3.1A (a superfície do indeslocável, abaixo da qual podemos desprezar as deformações decorrentes das cargas aplicadas ao maciço, é determinada pelo topo rochoso ou o topo da camada de solo tão rígida que possa ser considerada “indeformável”). A aplicação de uma carga vertical P na cabeça dessa estaca provocará dois tipos de deformações: 3 a TESES ESSA EGG SA TEAR Fig. 3.1 Parcelas de recalque da estaca 1º. o encurtamento elástico da própria estaca, como peça estrutural submetida a compressão, o que equivale a um recalque de igual magnitude da cabeça da estaca (p,), mantida imóvel a sua base; 1A variação de distância entre dois pontos quaisquer de um corpo constitui uma deformação. O deslocamento de um ponto é a mudança de sua posição em relação a um sistema fixo de referência. Recalque de um ponto da estrutura é o seu deslocamento vertical, de cima para baixo. Para monitorar os recalques de pontos da estrutura, em geral nos pilares ao nível do terreno, transportamos a referência fixa (superficie rochosa ou camada suposta indeformável) para a superfície do terreno, por meio da execução dos chamados bench- marks. Es FUNDAÇÕES POR ESTACAS a A 2º. as deformações verticais de compressão dos estratos de solo subjacentes à base da estaca, até o indeslocável, o que resulta um recalque (p,) da base. Em consequência, conforme indicado na Fig. 3.1B, o comprimento 1, será diminuído para: L-po ea distância C, reduzida para: C-ps Portanto, considerados esses dois efeitos, a cabeça da estaca sofrerá um recalque (p), ou um deslocamento total, vertical, para baixo, dado por: P=Pe+Ps 3.1 ENCURTAMENTO ELÁSTICO Para o cálculo do encurtamento elástico, vamos construir o diagrama de esforço normal ao longo da estaca, por meio de uma metodologia adaptada de Aoki (1979). Retomando a estaca da Fig. 3.1, suposta cilíndrica, maciça, de concreto, e atravessando camadas distintas de solo (por exemplo, três), consideremos que seja conhecida a capacidade de carga (R) desse elemento de funda- ção: R=Rp + RL o Rp + (Rig + Rg+ Ry3) Além disso, admitamos que: Y.a carga vertical P, aplicada na cabeça da estaca, seja superior à resistência lateral (R,), isto é, um valor inter- mediário entre a resistência lateral e a capacidade de carga (R): RL< P<R 2º. todo o atrito lateral (R,) esteja mobilizado; e 3 RICALQUES E Pe 1A CASES Fic. 3.3 Recalque do solo LTS SIENA Para deduzir uma expressão para a estimativa do recalque (p,), vamos seguir a metodologia de Aoki (1984). Primeiro, consideremos a força P,, vertical para abaixo, aplicada ao solo, provocando um acréscimo de tensões numa camada subjacente qualquer, de espes- sura H, e que h seja a distância vertical do ponto de aplicação da força ao topo dessa camada, de acordo com a Fig. 3.4. Supondo a propagação de tensões 1:2, o acréscimo de tensões na linha média dessa camada é dado pela expressão: 4P, = p Agp = “2 f H Drhe > E 2 | em que D é o diâmetro da base da estaca. Para uma base quadrada, teríamos uma expressão similar. De maneira análoga, as reações às parce- las de resistência lateral constituem forças aplicadas pela estaca ao solo, verticais para Fic. 3.4 Propagação de tensões devido à reação de ponta baixo, as quais também provocam acréscimo de tensões naquela mesma camada. A Fig. 3.5 ilustra essa condição para a força Ry, relativa a um segmento intermediário da estaca, considerando seu ponto de aplicação como o centroide desse segmento. Es FUNDAÇÕES 20R ESTACAS og ta fz Fic. 3.5 Propagação de tensões devido às cargas laterais Nessas condições, a expressão para o acréscimo de tensões será: 4Rii Ag="""""“5 a(pena) 2 em que D é o diâmetro do fuste da estaca (seção circular). Assim, levando em conta todas as parcelas R,; mais a força P,, o acréscimo total de tensões (A) na camada será dado por: 46 = Agp + E do; Repetindo esse procedimento, podemos estimar o acréscimo de tensões para cada uma das camadas que quisermos considerar, a partir da base da estaca, até o indeslocável. Finalmente, o recalque devido ao solo (p,) pode ser estimado pela Teoria da Elasticidade Linear: em que E, é o módulo de deformabilidade da camada de solo, cujo valor pode ser obtido pela expressão a seguir, adaptada de Janbu (1963): a E = E [Sotdo| | So q em que: E, módulo de deformabilidade do solo antes da execução da estaca; q,— tensão geostática no centro da camada; n- expoente que depende da natureza do solo: n = 0,5 para materiais granulares e n = O para argilas duras e rijas (em areia, temos o aumento do módulo de deformabilidade em função do acréscimo de tensões, o que não ocorre nas argilas). Para a avaliação de F,, Aoki (1984) considera: E, = 6 K Nspy para estacas cravadas E =4K Nopy para estacas hélice contínua E,=3K Nspy para estacas escavadas em que K é o coeficiente empírico do método Aoki-Velloso (1975), função do tipo de solo. 3.3 PREVISÃO DA CURVA CARGA X RECALQUE Aoki (1979) propõe uma metodologia para a previsão da curva carga x recalque de um elemento de fundação por estaca, conhe- cido um ponto dessa curva e considerando aplicável a expressão de Van der Veen (1953): P=R(l-esrn) em que o parâmetro a define a forma da curva. Assim, calculada a capacidade de carga (R) e feita a estimativa do recalque (p), para uma carga (P), compreendida entre R, e R/2: Ri<PsR/2 podemos determinar o valor de a: a=-£n(1-P/R)/p 3 RECALQUES Ea q m E FUNDAÇÕES POR ESTACAS a 15 uma delas, até a camada de recalque zero ou até atingir o indes- locável. Para a estimativa do recalque de cada camada, devemos obter o acréscimo de tensões (As), na linha média de cada camada, levando em conta as contribuições das reações laterais e da reação de ponta. Os resultados estão indicados na Tab. 3.1. Tas. 3.1 Acréscimo de tensões camada Mm) SO Sm 4% dy do GP) (Ka) (kPa) (Po) (hPa) 1 1 1 0 40 6 Jo é I 1 ! v 24 as 5 1 1 5 9 10 25 4 1 4 5 a os 1 1 4 5 6 1 1 ã 5 2 y 7 I 0 2 2 2 6 8 1 0 2 z E) 5 Em seguida, adotamos os seguintes valores do peso específico (y) para encontrar a tensão geostática (c,) no meio de cada camada: a) até -10 m, y = 16 EN/mº; de-10m a -12m, x, = 19 EN/mº; de 12m a -19 mM, Ya: = 20 EN/mº; de 19 m a -24m, py = 21 kN/mº. Depois, obtemos o módulo de deformabilidade (E, ) de cada camada e, finalmente, o recalque de cada camada (última coluna da Tab. 3.9). Tas. 3.2 Módulo de elasticidade e recalque E, 5, E (ASJEYH K o a Comodo mp Mor (MPa) (hPa) (MPa) (mm) 1 060 MM 50 15 68 25 Po 0H JE 58 25 6 08 3 0,60 15 54 213 5 VA 4 0,60 E 47 »3 as 0,3 5 o Mo so 25 5102 E 060 JE 58 23 se 02 Lo d nu ww HW 01 8 0,50 28 wo 264 102 0 3 RECALQUES [5 e Portanto, fazendo o somatório da última coluna, temos o recalque > devido ao solo: p=45 mm que, somado ao encurtamento elástico da estaca, resulta no recalque da estaca: p=45+1,6=61mm Exercício RESOLVIDO 4 Em continuação ao exercício anterior, vamos fazer a previsão da curva carga x recalque, utilizando a expressão de Van der Veen (1953). Solução: Van der Veen: P=R (1 - e-“r) Do Exercício Resolvido 1, temos: R = 950 kN e do Exercício Resolvido 3, temos um ponto da curva: P=P,=500kN »p=61mm Substituindo, 500 =950- (1- et!» sa =0,12249 mm” Logo, a equação da curva carga x recalque resulta: P=950 (1 — el2n90) Tas, 3.3 Pontas da curva carga x requalque p (mm) P(kN) Em seguida, até um recalque de 10% do diâme- Ê tro da estaca, encontremos cerca de 10 pontos da 6 curva (Tab. 3.3). 5 : 12 Finalmente, esboçamos a curva carga x recalque — 5 prevista (Fig. 3.7). 18 Obs.: Esta metodologia é válida desde que a carga Cm aplicada à estaca ultrapasse o valor mínimo 27 necessário para mobilizar todo o atrito 30 lateral, como é o caso deste exercício. 35 u 292 926 933 Es FUNDAÇÕES POR ESTACAS J 19 Carga (kN) 0 200 400 600 800 D+ s 8 JS Pa 15 20 Lo o PT cafe sua esfes ais sir] o e fis ==> 25 30 35 Fic. 3.7 Curva carga x requalque prevista Exercício RESOLVIDO 5 Em continuação ao exercício anterior, vamos fazer a verificação da carga admissível quanto aos recalques. Se fossem apenas estacas isoladas, em areia, o recalque admissível seria de 25 mm, o que confirmaria a carga admissível de 500 kN, que provoca um recalque de apenas 6,1 mm. Mas, considerando que haja grupos de estacas nessa fundação, devemos garantir um fator de segurança minimo de 1,5 à carga que provoca o recalque de 15 mm. Assim, da curva carga x recalque, temos: p=15mm >P,,=800 kN Então, P= neo = 538 > 500 kN (ok!) a E TUNDAÇÕES POR ESTACAS oo o O mito do risco zero de ruína de uma fundação (ou da construção civil de um modo geral) faz o leigo supor que, nas edificações sem erros de projeto ou de execução, haja 100% de segurança. É tarefa dos engenheiros civis esclarecerem esse ledo engano, mas, para isso, devem praticar a verificação da probabilidade de ruína nos seus próprios cálculos. O público em geral, o investidor, o projetista e 0 executor devem estar cientes de que a engenharia civil é uma atividade de risco e que os projetos devem atender a uma probabi- lidade de ruína máxima, aceita previamente pelos participantes do processo. Os riscos esperados, decorrentes dessa análise, devem ser cobertos por seguros adequados (alguns autores utilizam o termo risco com significado financeiro, obtido pela multiplicação da probabilidade de ocorrência pelo custo das consequências econô- micas; neste livro, optamos pelo conceito tradicional de risco). Nos países do Hemisfério Norte, as normas já exigem a verificação da probabilidade de ruína das estruturas concomitantemente com a verificação dos fatores de segurança parciais utilizados nos diver- sos países. Como exemplo, podemos citar a norma do Eurocode, para os países da Comunidade Europeia. 41 INSUFICIÊNCIA DO FATOR DE SEGURANÇA GLOBAL Consideremos todas as estacas de mesma seção transversal de uma dada fundação. Em cada um dos elementos isolados de funda- ção por estaca, teremos o valor da capacidade de carga (resistência R) e a carga atuante (solicitação 5). Dada a variabilidade existente tanto em R como em 5, podemos fazer uma análise estatística e construir as curvas das funções de densidade de probabilidade de resistência f,(R) e de solicite O fo(S), conforme ilustrado na Fig. 4.1 para o caso de distribuição normal simétrica. Nessa figura, representamos os valores médios de solicitação e de resistência (S,.éa € Rméa, Tespectivamente), bem como os pontos A e B, de inflexão das curvas de S e de R, que caracterizam os respectivos valores de desvio padrão (os e ox), Os quais quantificam a dispersão em torno do valor médio das variáveis independentes aleatórias S 4 PROBABILIDADE DE RUÍNA E o; G JS) SB) Densidade de probabilidade o EM Roe RS Fic. 4.1 Curvas de densidade de probabilidade de resistência e solicitação e R analisadas. Essa dispersão (ou variabilidade) também pode ser expressa pelos coeficientes de variação: a: ; a a x Sã us = "8. - coeficiente de variação da solicitação méd O) . sda di ani va = SÊ. - coeficiente de variação da resistência Réd Todavia, o conceito de fator de segurança global (F.) envolve apenas a relação entre os valores médios de resistência (R,«) e de solicitação (S,..3): Rméd E, = Juéd Sméd sem levar em conta a variabilidade em Res. Criamos a ilusão de que o problema é determinista e, em consequência, que não haveria qualquer hipótese de ruína da fundação. Esse é o calcanhar de Aquiles dos cálculos baseados em fator de segurança global. O problema é análogo no caso de fatores de segurança parciais, que empregam o conceito de carga caracte- rística, sem cogitar o risco de ruína. Na realidade dos estaqueamentos, sempre teremos variabilidade nos valores de Re de 5. Na Fig. 4.2, podemos constatar que o fator de segurança global indica não só o afastamento entre os valores médios de resistência e de solicitação, mas o próprio afastamento entre as curvas ou a posição relativa entre elas. Quanto maior o fator de segurança global, maior a distância entre as curvas, e vice-versa. o 19 E FUNDAÇÕES POR ESTACAS o Ss Densidade de probabilidade Fç= Romi! Smét S(s) Smic Ra RS o Fic. 4.2 Curva de probabilidade de ruína Nessas curvas, que se interceptam no ponto C, constatamos haver pontos em que a solicitação supera a resistência, caracterizando uma situação de ruína. Então, vamos incluir a curva de densidade de probabilidade de ruína, representada pela linha pontilhada, na região de superposição, ou seja, abaixo da curva de resistência à esquerda do ponto C e abaixo da curva de solicitação à direita desse ponto. A probabilidade total de ruína (p,) da fundação corresponde à área situada abaixo dessa curva pontilhada. Essa área é dada pela integral da curva de densidade de probabilidade de ruína: pf = | folSrulsjas A letra f, subscrita em p, é a inicial da palavra inglesa failure, que, nesse contexto de engenharia civil, significa falência, colapso, ruptura ou ruína. Na teoria geral de confiabilidade, independen- temente da aplicação, essa palavra pode ser traduzida para o português como falha, resultando a expressão probabilidade de falha. Na aplicação em engenharia, porém, é mais adequada a probabili- dade de ruina. A referida área abaixo da curva pontilhada, na Fig. 4.2, é inferior à situada abaixo das curvas de fc(S) e fr(R), porque a probabilidade de ruína corresponde, no cálculo integral, a uma convolução de duas funções: as funções f.(S) e F,(5), em que Fp(S) é a distribuição acumulada de /,(R), condicionada por valores da função f.(S). Após o ponto C da figura, os valores de probabilidade de ocorrência de R são maiores do que 5, e no cálculo de F,(S), devemos limitar o valor falS) ao valor de f.(S) disponível. Essa limitação condiciona a convo- lução (ver, na seção 4.7, um cálculo prático dessa convolução, com base em histogramas de solicitação e resistência). 4 PROBABILIDADE DE RUÍNA E conclusão importante: a da impossibilidade de criar uma única tabela que associe diretamente os valores de F, e de Pp pois há outras variáveis envolvidas. Para levar em conta a forma da curva, no caso de distribuição normal, com valor médio conhecido, basta considerar o coeficiente de variação. Assim, chegamos a quatro variáveis envolvidas no problema: Ps, Pp Vs € Vp- Por último, observemos que os valores médios R,,«; € Sw:y indicam um ponto de cada uma das curvas de Re 5, respectivamente. Então, o cálculo tradicional, que utiliza unicamente o fator de segurança global, comete o equívoco de substituir uma curva por um dos seus pontos. O mesmo equívoco, aliás, ocorre na utilização dos valores característicos, aplicando fatores de segurança parciais. 4:3 MARGEM DE SEGURANÇA Considerando que a solicitação e a resistência sejam eslatisti- camente independentes, podemos definir a função margem de segurança f;(Z) pela diferença entre as curvas de resistência R e de solicitação S: SilZ) = fulR) = SulS) Logo, a ruína ocorre quando Z <0, ou seja, quando R<S, e a funda- ção não sofre ruína quando Z > 0, conforme ilustrado na Fig. 4.6. Por isso, a área hachurada nessa figura corresponde à probabili- dade de ruína da fundação. ruína Z<0 | Z>0 sem ruína mis Bo, Fronteira de mpturaZ=0 SAL) = JAR) -Ji(S) Fic. 4.6 Função margem de segurança No caso de distribuição normal de R e de 5, o desvio padrão o, da função margem de segurança vale: o E FUNDAÇÕES POR ESTACAS = RN rn az = (on)? (05? enquanto o valor médio (Z,.;) é dado por: Zméa = Rnéã — Sd (1) Uma vez que Rr, E, = Eméd (2) É Sia podemos reescrever a expressão (1) como sendo: Zoéá = Sméa (Es 1) 6) 4.4 ÍNDICE DE CONFIABILIDADE Também podemos exprimir o valor médio da margem de segurança (Zméu) em termos de unidades do desvio padrão (g,), por meio de um parâmetro () denominado índice de confiabilidade: Zna=Boz (4) Voltando à Fig. 4.6, observamos que quanto menor o valor de Z, s; maior a probabilidade de ruína, para o mesmo desvio padrão. Como menor Z, ; implica menor f, concluímos que | e py são inver- samente proporcionais. Porém, mais do que isso, concluímos que B é uma medida indireta de p, do estaqueamento. Por definição, o índice de confiabilidade é inversamente proporcio- nal ao coeficiente de variação da margem de segurança: B= Zméã (1 oz vz Assim, quanto maior a variabilidade da margem de segurança, menor a confiabilidade expressa por |. Combinando as equações (3) e (4), obtemos uma relação entre a margem de segurança, o fator de segurança global e o índice de confiabilidade: 4 PROBABILIDADE DE RUÍNA E mn x Sméi (Es 1) = Bo; mostrando que esses valores são estatisticamente dependentes. Desenvolvendo essa expressão, chegamos à seguinte equação do segundo grau: FS(pu-1)+2F+Pud-1=0 cuja raiz positiva resulta: - 1+pyus? nur? -pê vs? va? Es 7 Ê 1-p? vp? Isso indica que, uma vez fixadas as formas das curvas Re S, defini- das pelos respectivos coeficientes de variação v, e us, O fator de segurança global F, torna-se dependente do índice de confiabili- dade [3, ou seja, a segurança e a confiabilidade são inseparáveis do ponto de vista matemático. A relação inversa, deduzida por Cardoso e Fernandes (2001), é dada por: 1-1/E p=". — VorZ (1/6 ve Por sua vez, a probabilidade de ruína p, é função direta de B, conforme demonstrado por Ang e Tang (1984): P;=1- Op) em que 9 é a função de distribuição normal, amplamente tabelada em livros de estatística. De maneira prática, podemos determinar a probabilidade de ruína Pça partir de B por meio da expressão do Excel: P(=1-DIST.NORM(;0;1;VERDADEIRO) Assim, fixada a forma das curvas deR e des, por seus respectivos coeficientes de variação v, e vs, a cada valor de Fs corresponde um E FUNDAÇÕES POR ESTACAS o ms 725 854 983 LIZ 1241 1.370 1,499 128 1.757 1.886 Resistência na cravação: R (kN) Fic. 4.9 Curva estatística de resistência (Aoki, 2005) A análise estatística dessa curva de distribuição de resistência indicou os seguintes valores: 5 ao Ro Rméd — 1241 kN op =215kN vp = RO” 0,173 méd Tendo em vista a natureza das cargas, podemos considerar que a solicitação seja constante e igual à carga admissível de 550 kN. Assim: Sméd =550kN og=0 ug=-28 = Sméd Uma vez que na Fig. 4.9 vemos que 5% das estacas estão na coluna de menor resistência, vamos supor, para efeitos de comprovação, que essa quantidade de estacas vá entrar em ruína, ou seja, que: 5 Pj= 100 0,05 Por meio da expressão do Excel B=-INV.NORM(p;0;1,) encontramos p=1,645 o que leva a um F, de Fo = [11,645 (0? + 0,1732 - 1,645? 02 0,173?) º5]//1 — 1,6452 0,173]- 1,36 e à carga admissível de 4 PROBABILIDADE DE RUÍNA ES 1.241 p - “1,36 = 912 kN Isso confirma a ruína de 5% das estacas, que têm resistência média de 854 kN. A coluna seguinte da Tig. 4.9 já passa para uma resis- tência média de 983 kN, superior à carga admissível e, portanto, sem ruína. 4.5.2 Ponte de madeira A segunda obra, relatada por Aoki (2008), é uma ponte de madeira situada no Campus II da Escola de Engenharia de São Carlos, da Universidade de São Paulo, na cidade de São Carlos (SP), cuja funda- ção foi projetada com carga admissível de 265 kN para 12 estacas de madeira, da espécie Eucalipto Citriodora, com comprimento de 11,15 m e diâmetro variável entre 0,30 m na ponta e 0,40 m no topo. Dispostas em duas linhas de seis, as estacas foram cravadas em novembro de 2004, resultando o comprimento médio cravado de 10 m. A foto apresentada na Fig, 4.10 mostra uma dessas linhas de estacas, com a distância de 1,90 m entre estacas, de centro a centro. Fic. 4.10 Linha de estacas da fundação de uma ponte no Campus It da USP/São Carlos Nas 12 estacas, E, a E,,, foram realizadas provas de carga dinâmica, com energia crescente, que determinaram os valores de resistência máxima mobilizada apresentados na Tab. 4.2, em ordem crescente de valores. 79 & FUNDAÇÕES POR ESTACAS o % A análise desses valores leva aos seguintes resultados estatísticos que definem a forma da curva de resistência (R) do estaqueamento Tas. 4.2 Valores de resistência Estaca [3 Eb m Be E E2 7 [a E6 E E 4 “Tonte: Aoki (2000) da ponte: R(N) Ré = 847 EN op =228kN vg = 0,269 500 0 Numa abordagem semiprobabilista, vamos conside- Ea rar todos os valores de S iguais à carga admissível de 730 ; 730 projeto, P, = 265 kN. Logo, teremos: 730 = Sm = 265 kN 0,=0EN v;=0 980 990 Para efeitos de comprovação, vamos supor que uma 1140 das estacas vá entrar em ruína, ou seja, que: 1150 1150 pr = -0,08338 12 Na expressão do Excel, obtemos: f=-INV:NORM(0,08333;0;1;) p=1,383 levando a um Pç de: Es=[L+B (us? + ur? = Bru? vç) OE] 7 [= Pê v,?] = [L + 1,383 (0? + 0,269? - 1,383? 0º 0,2692 95] / [1- 1,383? 0,2692] = 1,59 e à carga admissível de: pa EE -s33kN 159 Finalmente, comparando esse valor com as resistências da Tab. 4.2, vemos que, de fato, uma estaca, a E,, entraria em ruína, pois sua resistência, de 500 kN, é inferior à carga admissível. Para ratificar essa comprovação, vamos considerar agora a proba- bilidade de ruína em duas estacas: 2 Pj= 49 7 016666 4 PROBABILIDADE DE RUÍNA E e levando a uma probabilidade de ruína de: VERDADEIRO) = 0,00529 = a 189 P p= L-DIST.NORM(2,556; O que está dentro do intervalo citado por Whitman (1984). Na inter- pretação frequencista, essa probabilidade de 1/189 exclui o risco de ruína, pois como a população é de 12 estacas, só haveria risco para valores de Pp, superiores a 1/12, Generalizando, deixa de haver risco de ruína numa obra de n elementos de fundação por estaca sempre que encontrarmos: 1 Pp a Vale lembrar que, na interpretação frequencista, supomos que a população é finita e conhecida de, por exemplo, n elementos de fundação por estaca. Na bayesiana, por sua vez, a população é infinita. A comparação desses dois casos de obra tem alto valor didático. Do primeiro para o segundo, o fator de segurança global aumenta de 2,26 para 3,20, mas a probabilidade de ruína também aumenta, de 1/1.587 para 1/189. O motivo é que o coeficiente de variação da resistência subiu de 17,3% para 26,9%. Como indicação preliminar para projeto, podemos fazer a seguinte sugestão para valores máximos de probabilidade de ruína de elementos isolados de fundação por estaca, considerando que né o número total de estacas da obra: 1) adotar a interpretação frequencista e impor limites inferior e superior compatíveis com a literatura, de tal modo que: 1 1 sa a cedo 10.000 “ Prmár = 77 2) a critério do Projetista, para baixos valores de n substituir o denominador n+1 por 2n,3n,ou até 5 n, sempre que conside- tar que n seja um valor baixo, condição em que a probabilidade m co Ea FUNDAÇÕES POR ESTACAS + e 1/(n+1) é alta. Por exemplo, no caso da obra de 68 estacas, em vez de 1/69, limitada em 1/100, adotaríamos como probabilidade máxima 1/136, 1/204, ou até 1/340. Essas sugestões seriam aplicáveis às estacas isoladas. No caso de grupos de duas ou mais estacas, a iminência de ruína de uma estaca sob o bloco de fundação pode causar uma redistribuição de solicitação nas demais estacas, não ocorrendo, necessariamente, a ruptura do apoio representado pelo bloco que sustenta esse pilar. Portanto, essa metodologia desenvolvida para estacas isoladas pode ser aplicada, de modo conservador, também para as funda- ções com grupos de estacas. Por ser uma condição menos crítica, no caso de grupos, uma alter- nativa seria reduzir os valores máximos de probabilidade de ruína, a critério do projetista. 4.6.2 Coeficiente de variação a) Coeficiente de variação da solicitação No caso de grupos de estacas, temos pelo menos duas causas para variação nos valores de solicitação. A primeira é o arredondamento no cálculo do número de estacas do grupo. Para uma carga admis- sível de 500 EN, por exemplo, três pilares com cargas de 1.800 kN, 1.500 kN e 1.200 EN terão grupos de, respectivamente, quatro estacas com 450 kN, três estacas com 500 kN e três estacas com 400 kN. A segunda causa é que a própria distribuição de carga entre as estacas do grupo não é homogênea, ao contrário do suposto no exemplo deste parágrafo. Juntando as duas causas, é plausível considerar que a variação nas solicitações nas estacas resulte um coeficiente de variação de pelo menos 10%: v,=0,10 A quantificação da primeira dessas causas pode ser feita, caso a caso, por meio dos valores de solicitação por estaca. No exemplo anterior, teríamos para as dez estacas: 4 PROBABILIDADE DE RUÍNA E Saio = 450EN 0,=41EN v,=0,09 Aproveitando ainda esse exemplo numérico, observamos que a solicitação média é 10% inferior à carga admissível (450 kN contra 500 kN). A porcentagem que pode ser admitida em anteprojeto no qual ainda não sejam conhecidos os valores de solicitação por estaca, para obter a solicitação média a partir da carga admissível, é de 14,1%, na hipótese de v, = 0,10. Considerando que, no arredondamento do número de estacas, 5% delas recebam uma solicitação superior à carga admissível, esta representaria o valor característico da solicitação. Então, com vs = 0,10, teríamos: P,=S,= Sea (L + 1,645 x 0,10) e, portanto: Suéa = 0,859P, b) Coeficiente de variação da resistência A variação dos valores de resistência dos elementos isolados de fundação por estaca é função tanto do tipo de estaca como da formação geotécnica onde está implantado o estaqueamento. Nos dois casos de obra citados nas seções 4.5.1 € 4.5.2, tivemos valores do coeficiente de variação da resistência de 0,173 e 0,269. Outras duas obras de estacas pré-moldadas são relatadas por Aoki e Cintra (1996), ambas controladas com provas de carga dinâmica de energia crescente em todas as estacas: a) 95 estacas de diâmetro de 0,70 m, cravadas no solo laterizado da Formação Barreiras, no Espírito Santo, com resistência média de 5.953 kN e uv, = 0,187; b) 137 estacas de diâmetro 0,50 m, cravadas no solo poroso de Brasí- lia, Distrito Federal, com resistência média de 2.989 kN e v, = 0,136. Embora não seja o caso de uma única obra, também podemos considerar um conjunto de 12 estacas tipo Franki, mencionado por Aoki, Cintra e Menegotto (2002), executadas em diferentes locais n o Es FUNDAÇÕES POR ESTACAS co Tas. 4.5 Valores de E e p, para £,= 2,0, com de ruína até um valor máximo aceitá- vs=010e up =0,10a 0,35 vel, fixado a priori Uma alternativa Ve interessante é envidar esforços para o 010 y 1/258.100 desenvolvimento de meios que permi- 15 E 1,280 tam comprovar a resistência do elemento — 1/1350 isolado de fundação no momento da 025 so execução da estaca, para todos os tipos 0,30 120 a FE E de estaca, de modo a controlar a resis- tência individualmente, como é o caso de repique e nega para estacas cravadas e, ao mesmo tempo, tentar impedir que o coeficiente de variação ultrapasse 15%. 4.7 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Vejamos um exemplo de aplicação do conceito de probabilidade de ruína a partir dos histogramas das funções de resistência e de solicitação, como os representados na Fig. 4.11, referentes à funda- ção de uma obra. 10 9 EB solicitação sf [[] Resistência 8 Frequência 0000 o fofo falo fo fa fo ja ' ' 25 26 27 28 + L2 345 678 M0ILIZASM SSIS IS gol y valor de solicitação ou resistência Fic. 4.11 Histogramas de frequências de solicitação e resistência O intervalo entre dois valores ao longo do eixo y é iguala Ay = 1. A soma de eventos aleatórios considerados é igual a 65 valores de solicitação (S) e 65 valores de resistência (R), escolhidos ao acaso. O número mencionado no topo das colunas dos histogramas indica a quantidade de vezes em que ocorreu o evento, cujo valor médio 4 PROBABILIDADE DE RUÍNA E & (retângulo cinza = solicitação; e branco = resistência) é mostrado o sobre o eixo horizontal y. Verificamos que: -a probabilidade (área sob a curva > valor acumulado) de ocorrência de valores de resistência menores que 13 (R=< 13) é igual a F;(13) = 1/65. A frequência (ordenada da curva) de solicitação f.(13) = 8/65. Para o intervalo Ay = 1, resulta a correspondente frequência de ocorrência de ruína (ordenada da curva de p,) de: 1/65 x 8/65 x 1 = 8/65? = 1,893E-03 - a probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores que 14 (R < 14) é igual a F,(14) = 2/65. A frequência de solicitação [.(14) = 7/65. Para o intervalo Ay = 1, resulta a correspondente frequência de ocorrência de ruína de: 2/65 x 7/65 x 1= 14/65? = 3,314E-03 — a probabilidade de ocorrência de valores de resistências menores que 15 (R < 15) é igual a F,(15) = 4/65. A frequência de solicitação f,(15) = 5/65. Para o intervalo Ay =1, resulta a correspondente frequência de ocorrência de ruína de: 4/65 x 5/65 x 1 = 20/65” = 4,734E-03 — a probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores que 16 (R < 16) é igual a F,(16) = 8/65. A frequência de solicitação f.(16) = 4/65. Para o intervalo Ay = 1, resulta a correspondente frequência de ocorrência de ruína de: 8/65 x 4/65 x 1 = 32/65? = 7,574E-03 -a probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores que 17 (R x 17) éigual a T(17) = 10/65. A frequência de solicitação (17) = 2/65 (atenção, porque são apenas dois eventos disponíveis de solicitação, número este que preva- lece sobre os cinco eventos de resistência). Para o intervalo E FUNDAÇÕES POR ESTACAS Ay = 1, resulta a correspondente frequência de ocorrência de ruína de: 10/65 x 2/65 x 1= 20/65? - 4,734E-03 - a probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores que 18 (R< 18) é igual a F,(18) = 11/65. A frequência de solicitação f.(18) = 1/65. Para o intervalo Ay = 1, resulta a correspondente frequência de ocorrência de ruína de: 11/65 x 1/65 x 1= 11/65? = 2,604E-03 - a probabilidade de ocorrência de valores de resistência menores que 19 (R x 19) é igual a Tp(19) = 12/65. A frequência de solicitação fs(19) = 1/65. Para o intervalo Ay = 1, resulta a correspondente frequência de ocorrência de ruína de: 12/65 x 1/65 x 1= 12/65? = 2,840E-03 Ao efetuarmos o somatório desses produtos, chegamos à probabi- lidade de ruína de: Pj= (8+14+20+32+20+11+12) / 65º = 2,769E-02 isto é, um caso de ruína a cada 36 eventos. O resumo desses cálculos é apresentado na Tab. 4.6, em que as duas primeiras colunas referem-se à distribuição da função proba- bilidade de ruína e as duas últimas, ao número de ruínas esperadas no total de 65 eventos. A probabilidade de ruína será: A representação gráfica das curvas de distribuição de frequên- cias (relativa, absoluta e acumulada), da função probabilidade de ruína Pp na forma de um histograma, para cada valor de y corrente, encontra-se na Fig. 4.12. ag FUNDAÇÕES POR ESTACAS AOKI, N.; ALONSO, U. R. Previsão e comprovação da carga admissível em estacas. Workshop ministrado no Instituto de Engenharia de S Paulo. Revista Engenharia, São Paulo, Instituto de Engenharia, n. 496/1993, p. 17-26, 1991. AOKL, N.; CINTRA, ]. C. A. Influência da variabilidade do maciço de sol no comprimento de estacas. In: SEMINÁRIO DE ENGENHARIA DE FUND. ÇÕES ESPECIAIS E GEOTECNIA, 3., 1996, São Paulo. Anais... São Paulo, 1º v. 1. p. 173-184. AOKI, N.; CINTRA, J. C. A. 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