Baixe Algebra Linear 8.Ed 2001 e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity! ANTON + RORRES Algebra Linear com Aplicações SE 4 a "O pqurto! A634a Anton, Howard Algebra lincar com aplicações / Anton Howard e Chris Rorres; trad. Claus Ivo Doering, — 8, ed, — Porto Alegre : Bookman, 2001, ISBN 978-85-7307-847-3 1. Álgebra linear. 1. Rorres, Chris. IL. Título. CDU 512.1/.9 Catalogação na publicação: Mônica Ballejo Canto - CRB 10/1023 Para minha esposa Pat e meus filhos Brian, David e Lauren HA Para Billie CR Prefácio Este livro é uma versão ampliada da oitava edição da obra Elementary Linear Algebra, de Howard Anton. Os dez primeiros capítulos de ambos os textos são idênticos; o décimo primeiro capítulo deste livro consiste E 21 aplicações da álgebra linear, esco- lhidas dentre a administração, economia, engenharia, física, ciência da computação, teo- ria da aproximação, ecologia, sociologia, demografia é genética. As aplicações são, com uma única exceção, independentes uma da outra e cada uma é antecedida por uma lista de pré-requisitos matemáticos. Assim, cada professor tem a flexibilidade de escolher as aplicações mais adequadas a seus alunos e de incorporar as aplicações em qualquer parte da disciplina, depois de satisfeitos os pré-requisitos. Esta edição, no espírito das anteriores, dá um tratamento elementar à álgebra linear € suas aplicações, ideal para estudantes universitários de primeiro e segundo anos, O tino é apresentar os fundamentos da álgebra linear e suas aplicações da maneira mais clara possível. O cálculo não é um pré-requisito, mas há exemplos e exercícios clara- mente assinalados para alunos que têm conhecimento de cálculo. Estes exercícios podem ser omitidos sem perda de continuidade. Recursos computacionais também não são exigidos, mas incluímos exercícios nos finais de capítulos para aqueles que gostariam de usar MaTLAB, Mathematica, Maple ou calculadoras com funcionalidade de álgebra linear. — EEE" RESUMO DAS MUDANÇAS DESTA EDIÇÃO Esta edição é um aperfeiçoamento da edição anterior, Nós tentamos manter a clareza e o estilo, mas também atender as necessidades de uma nova geração de alunos. Aqui está um resumo das mudanças: * Acrescentamos Exercícios que Requerem o Uso de Recursos Computacionais: Um conjunto de exercícios computacionais foi acrescentado ao final dos capítulos; os exercícios são idos por seção, de modo que podem ser resolvidos junto com os outros exercícios. Os exercícios computacionais foram projetados para acostumar o aluno com os comandos básicos necessários para resolver problemas de álgebra lincar usando recursos computacionais. Os exercícios foram escritos em uma forma genérica e livre de sintaxe, pois entendemos que os manuais da ferramenta utilizada serão a fonte primária para comandos específicos e para os procedimentos necessários. Para aliviar o estudante da tarefa de formatar dados, os dados para os exercícios computacionais nos formatos de MaTLAR, Maple e Mathematica podem ser baixados de jws-edev.wiley.com/college/. e Acrescentamos Exercícios de Discussão e Descoberta: Uma nova categoria de exercícios, classificados como Discussão e Descoberta, foi acrescentada a muitos conjuntos de exercícios. Acompanhando as modernas tendências didáticas, estes exercícios são mais abertos que os demais, incluindo verdadeiro/also, conjecturas, descoberta e explicações informais sobre como chegar às conclusões. e Refinamento da Exposi mudança substancial de esti Partes do texto foram aprimoradas, mas não houve , Organização ou conteúdo, exceto as já observadas. e Uma Nova Aplicação em Deformações e Morfismos: Esta nova aplicação, ao final do Capítulo 11, fornece uma introdução a modernas técnicas de processamento de imagens disponíveis em computação gráfica. Agradecimentos Nós expressamos nosso agradecimento pela orientação prestada pelas seguintes pessoas: REVISORES E COLABORADORES DE EDIÇÕES ANTERIORES Steven C. Althoen, University of Michigan-Flint €.S. Ballantine, Oregon State University Erol Barbut, University of ldaho. George Bergman, University of California-Berkeley William A. Brown, University of Maine Joseph Buckley, Western Michigan University Thomas Cairns, University of Tulsa Douglas E. Cameron, University of Akron Bomshik Chang, University of British Columbia Peter Colwell, Jowa State University Curolyn A. Dean, University of Michigan Ken Dunn, Dalhonsie University Bruce Edwards, University of Florida Murray Eisenberg, University of Massachusetts Harold S. Engelsohn, Kingsborongh Comnr. College Garret Eigen, University of Houston Marjorie E. Fitting, San Jose State University Dan Flath, University of South Alabama David E. Flesner, Gertysburg College Mathew Gould, Vanderbilt University Ralph P. Grimaldi, Rese-Hulman Institute William W. Hager, University of Florida Collin J. Hightower, University of Colorado Joseph F. Johnson, Rutgers University Robert L. Kelley, University of Miami Arlene Kleinstein Myren Krom, California State University Lawrence D. Kugler, University of Michigan Charles Livingston, Indiana University Nicholas Macri, Temple Universiry Roger H. Marty, Cleveland State University Patricia T. McAuley, SUNY-Binghamton Robert M. MeConnel, University of Tennessee Douglas McLecod, Drexe! University Michael R. Meek, Southern Connecticut State Univ, Craig Miller, University of Pennsylvania Donald P. Minassian, Butler University Hal G. Moore, Briglan Foung University Thomas E. Moore, Bridgewater Siate College Robert W. Negus, Rio Hondo Junior College Bart S. Ng, Purdue University James Osterburg, University of Cincinnati Michagl A. Penna, Inediana-Pirchie University Gerald J. Porter, University of Pennsylvania F. PJ. Rimrott, University of Toronto C. Ray Rosentrater, Westnonr College Kenneth Schilling, University of Michigan-Flinr William Scot, University of Utalr Donald R. Sherbert, University of dllinois Bruce Solomon, Indiana University Mary T. Treanor, Valparaiso University William E. Trench, Trinity University Joseph L. Ullman, University of Michigan W. Vance Underhill, East Texas State University James R. Wall, Aubura University Ambhur G. Wasserman, University of Michigan Evelyn J. Weinstock, Glasshoro State College Rugang Ye, Stanford Universiry Frank Zorzitto, University of Waterloo Daniel Zwick, University of Vermonr xii o e o Agradecimentos Revisores e Colaboradores da Sétima Edição Mark B. Beinterna, Southern flinois University Paul Wayne Brit, Louisiana State University David €, Buchthal, University of Akron Keith Chavey, University of Wisconsin-River Falls Mare Frantz, Indiana-Purdue University Sue Friedman, Bernand M. Baruch College, CUNY William Golightly, College of Charteston Hugh Haynsworth, College of Charleston Tom Hern, Bowling Green State University 1. Hershenov, Queens College, CUNY Steve Humphries, Brigham Young University Steven Kahan, Queens College, CUNY Andrew S. Kim, Hesificid State College John €. Lawlor, University of Fermonr M. Malek, California State University ar Hayveard 1.J. Malone, Bôrcester Polytechnic Institute Stephen L. Davis, Davidson College Blaise DeSesa, Drexel University Dan Flath, University of Sowth Alabama Peter Fowler, California State University William McWarter, Ohio Stare Universiry Valerie A. Miller, Georgia State University Hal G. Moore, Brigham Young University S. Obaid, San Jose State University Tra J. Papick, University of Missouri-Columbia Donald Passman, University of Wisconsin Robby Robson, Oregon State University David Ryeburn, Simon Fraser University Ramesh Sharma, University of New Haven David A. Sibley, Pennsylvania State University Donald Story, University of Akron Michael Tarabek, Southern IHinois Universiny Solução de Problemas, Leitura Crítica e Índice Michacl Dagg, Numerical Solutions, Inc. Susan L. Friedman, Bernard M. Baruch College, CUNY Outros Colaboradores Agradecimentos es icativas à qualidade da matemática e da expi contribuições sig George Bergman, University of California-Berkeley Stephen Davis, Davidson College Blaise DeSesa, Drexe! University Dan Flath, University af South Alabama Marc Frantz, Indiana-Purdue University Maureen Kelley, Northern Essex Community College Randy Schwartz, Schoolerafi College Daniel Traster (Estudame), Yale University os seguintes professores, que leram o texto com cuidado e deram William McWorter, Ohio State University Donald Passman, University of Wisconsin David Ryeburn, Simon Fraser University Lois Craig Stagg, Universin of Hisconsin-Milwankee “Co oo REVISORES E COLABORADORES DA OITAVA EDIÇÃO Richard Alfaro, University of Michigan-Flint Stuart Boersma, difred University Scott Chapman, Trinity University KarabgDatta, Northern Hlinois University Mark Davis, Ciy College of San Francisca Alberto L. Delgado, Kansas State University Willy Hereman, Colorado School af Mines Chandanie Hetti-Arachchige, Northern INinois University Farhad Jafari, University of Wyoming Eugene W. Johnson, University af lowa John Johnson, George Fox College Steven Kahan, Queens College John W. Krussel, Lewis de Clark College Steffen Lempp, University of Wisconsin Thomas A. Metzger, University of Pittsburgh Gary L. Mullen, Pennsylvania State Universiny— University Park Sheldon Rothman, Long fsland Universiry-C Hº Post Mark Sepanski, Bavlor University Sally Shao, Cleveland State Evelyn Weinstock, Rowan University TJ. Ypma, Colorado Schoal of Mines CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 8 CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 11 Eira Sumário Resumido SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES DETERMINANTES VETORES NOS ESPAÇOS BI E TRIDIMENSIONAIS ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS ESPAÇOS VETORIAIS ARBITRÁRIOS ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO AUTOVALORES E AUTOVETORES TRANSFORMAÇÕES LINEARES TÓPICOS ADICIONAIS ESPAÇOS VETORIAIS COMPLEXOS APLICAÇÕES DA ÁLGEBRA LINEAR 27 7171 101 129 157 201 239 257 291 333 363 15 Sumário CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 16 ——— -=EEEEEEo oo SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E MATRIZES 27 1.1 Introdução aos 1.2 Eliminação Gaus 13 Matriz a LA4 Inversas; Regras da Aritmética Matricial 49 [5 Matrizes Elementares e um Método para Encontrar A —! 56 1.6 Mais Resultados sobre Sistemas de Equações e Invertibilidade 62 1.7 Matrizes Diagonais, Triangulares e Simétricas 66 emas de Equações Lineares: 28 DETERMINANTES 71 2.1 A Função Determinante 78 2.2 Calculando Determinantes através de Redução por Linhas 82 2.3 Propriedades da Função Determinante 86 2.4 Expansão em Co-fatores; Regra de Cramer 91 VETORES NOS ESPAÇOS BI E TRIDIMENSIONAIS 101 3.1 Introdução aos Vetores (Geoméiricos) 102 3.2 Norma de um Vetor; Aritmética Vetorial 106 3.3 Produto Escalar, Projeções 109 34 Produto Vetorial LA 3.5 Retas e Planos nó Espaço Tridimensional 1 “ CC ES ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS 129 4,1 Espaço Euclidiano n-dimensional 130 4.2 Transformações Lineares de R" em R” 137 4.3 Propriedades das Transformações Lineares de R” em R” 148 ETs Srunário e ee VT CAPÍTULO 5 ESPAÇOS VETORIAIS ARBITRÁRIOS 157 5.1 Espaços Vetoriais Reais 158 5.2 Subespaços 162 5.3 Independência Linear 169 54 Bases e Dimensão 174 5.5 Espaço-Linha, Espaço-Coluna e Espaço-Nulo 184 5.6 Posto e Nulidade 192 ——— -==EEEEEEooooooooooooOoO CAPÍTULO 6 ESPAÇOS COM PRODUTO INTERNO 201 6.1 Produtos Internos. 202 6.2 Ângulo e Ortogonalidade em Espaços com Produto Interno 208 6.3 Bases Ortonormais; Processo de Gram-Schmidt, Decomposição OR 215 6.4 Melhor Aproximação; Mínimos Quadrados 22 6.5 Matrizes Ortogonais; Mudança de Bases 229 CAPÍTULO 7 AUTOVALORES E AUTOVETORES 239 7.1 Autovalores « Autovelores 240 7.2 Diagonalização 245 7.3 Diagonalização Ortogonal 251 CAPÍTULO 8 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 257 8.1 Transformações Lineares Arbitrárias 258 8.2 Núcleo e Imagem 264 8.3 Transformações Lincares Inversas 268 84 Matrizes de Transformações Lincares Arbitrárias 273 8.5 Semelhança 280 CAPÍTULO 9 TÓPICOS ADICIONAIS 291 9.1 Aplicação a Equações Diferenciais 292 9.2 Geometria dos Operadores Lineares de R? 295 9.3. Ajuste de Mínimos Quadrados a Dados 302 9.4 Problemas de Aproximação; Séries de Fourier 305 9.5 Formas Quadráticas 308 9.6 Diagonalização de Formas Quadráticas: Seções Cônicas 313 9.7 Superfícies Quádricas 318 9.8 Comparação dos Procedimentos para Resolver Sistemas Lineares 321 9.9 Decomposição LU 326 11.4 O PROBLEMA DA ALOCAÇÃO DE TAREFAS [p. 377] Um problema importante na indústria € o do desto- E * a camento de pessoal e de recursos de uma maneira eficiente quanto ao custo. Por exemplo, uma cons- e trutora pode querer escolher rotas para movimentar equipamento pesado de seus depósitos para os locais de construção de maneira a 1 tância total percorrida. 7 11.5 INTERPOLAÇÃO SPLINE CÚBICA [p- 384] As fontes tipográficas PostScript? e TrueType?M usadas em telas de monitores e por impressoras são definidas por curvas polinomi- ais por partes denominadas splínes. Os parâmetros que determinam estes splines estão estocados na memória do computador, um con- N junto de parâmetros para cada um dos caracteres de uma particular / j fonte. 11.6 CADEIAS DE MARKOY [p. 390] Os registros meteorológicos de uma localidade específica podem ser usados para es! a probabi- lidade de que vá nevar em um certo dia a partir da informação de que nevou ou não no dia anterior. À teoria de cadeias de Markov pode utilizar tais dados para prever, com muita antecedência, a probabilidade de um dia com neve na localidade 11.7 TEORIA DE GRAFOS [p. 397] A classificação social num grupo de animais é uma relação «que pode ser descrita e analisada com a teoria de grafos. Esta teoria também tem aplicações a problemas tão distin- tos como a determinação de rotas de companhias aéreas e a análise de padrões de votação. Eira TT". 11.8 J0GOS DE ESTRATÉGIA [p. 405] No jogo de roleta o jogador dá seu lance com uma aposta e o cassino responde com o giro da roleta; o lucro para o jogador ou para o cassino é determinado a partir destes dois movimentos. Estes são os ingre- dientes básicos de uma variedade de jogos que con- tém elementos tanto de estratégia quanto de acaso. Os métodos matriciais podem ser usados para desen- volver estratégias otimizadas para os jogadores. 11.9 MODELOS ECONÔMICOS DE LEONTIEF [p. 41 1] Num sistema econômico simplificado, uma mina E de carvão, uma ferrovia e uma usina de energia necessitam cada uma de uma parte da produção das outras para su nutenção e para suprir outros consumidores de seu produto. Os modelos de pro- dução de Leontief podem ser usados para determi- nar o nível de produção necessário às três indústrias para manter O sistema econômico. "UõÕ 11.10 ADMINISTRAÇÃO DE FLORESTAS [p. 417] O administrador de uma plantação de árvores de Natal quer plantar e cortar as árvores de uma maneira tal que a configuração da floresta per- maneça inalterada de um ano para outro. O administrador também procura maximizar os rendimentos, que dependem do número e do tamanho das árvores cortadas. Técnicas matri- ciais podem quantificar este problema e auxiliar o administrador a escolher uma programação sustentável de corte. COMPUTAÇÃO GRÁFICA [p. 422] Uma das apli putação gr matrizes fornecem uma m: de lidar com a enorme qu necessários para construir e animar os obje- tos tridimensionais usados por simuladores de vôo para representar um cenário em movi- mento. úteis da com- a do simulador de vôo. As ira conveniente DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA DE EQUILÍBRIO [p. 429] ica da ciência e da engenharia, reduzida a resolver um sistema lincares através de técnicas iterativas, é determi de temperatura de objetos tais como ado aço saindo da fornalha. Uma tarefa bá que pode | 1.1 3 TOMOGRAFIA COMPUTADORIZADA [p. 436] Um dos principais avanços no diagnóstico médico é o desenvolvimento de métodos não invasivos para obter imagens de seções transversais do corpo humano, como a tomografia computa- dorizada e a ressonância magnética. Os métodos da álgebra lincar podem ser usados para recons- truir imagens a partir do escaneamento por raios X da tomografia computadorizada. “ TT” 11.19 COLHEITA DE POPULAÇÕES ANIMAIS [p. 486] A colheita sustentada de uma criação de animais requer o conhecimento da demografia da população animal. Para maximizar o lucro de uma colheita pe- riódica, podem ser comparadas diversas estratégias de colheita sustentada uti- lizando técnicas matriciais que descrevem a dinâmica do crescimento populacional. ii ———eeoe 11 20 UM MODELO DE MÍNIMOS QUADRADOS PARA A AUDIÇÃO HUMANA [p- 490] O ouvido intemo contém uma estrutura com milhares de receptores sensoriais ciliares. Estes receptores, movidos pelas vibrações do tímpano, respondem a fregiiências diferentes de acordo com sua localização e produzem impulsos elétricos que viajam até o cérebro através do nervo auditivo. Desta maneira, o ouvi- do interno age como um processador de sinais que decompõe uma onda sonora complexa em um espec- tro de fregiiências distintas. Nervo auditivo. Cócica Células clliadas Membranas tectória 11.21 DEFORMAÇÕES E MORFISMOS [p. 495] Das dezesseis imagens apresentadas mostrando uma mulher ao longo de um período de cinquenta anos, somente as quatro na diagonal do topo à esquerda até a base à direita são fotografias reais. As demais são imagens geradas por computador, denominadas morfismos, que são misturas das fotografias reais. Tais técnicas de manipulação de imagens têm encontrado inúmeras aplicações na indústria médica, científica e de entretenimento. Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Conteúdo do Capítulo LI Introdução aos Sistemas de Equações Lineares 12 Eliminação Gaussiana 13 Matrizes e Operações Matriciais 14 Inversas; Regras da Aritmética Matricial 15 Matrizes Elementares e um Método para Encontrar A“! L6 Mais Resultados sobre Sistemas de Equações e Invertibilidade 17 Matrizes Diagonais, Triangulares e Simétricas colunas formando agrupamentos retangulares chamados matrizes. Estas matrizes podem ser tabelas de dados numéricos surgidos de observações físicas, mas também ocorrem em vários contextos matemáticos. Por exemplo, nós veremos neste capítulo que para resolver um sistema de equações tal como | irei Muitas vezes na Ciência e na Matemática a informação é organizada em linhas e Sx+y=3 M-y=á toda a informação requerida para chegar à solução está encorpada na matriz RR = 4 e que a solução pode ser obtida efetuando operações apropriadas nesta matriz. Isto é particularmente importante no desenvolvimento de programas de computador para resolver sistemas de equações li- neares, porque os computadores são muito bons para manipular coleções de números. Contudo, as matrizes não são simplesmente uma ferramenta de notação para resolver sistemas de equações linea- res; elas também podem ser vistas como objetos matemáticos de vida própria, existindo uma teoria rica e importante a elas associada que tem uma grande variedade de aplicações. Neste capítulo nós iremos. começar o estudo de matrizes. 27 30 + o « Álgebra Lincar com Aplicações Some -2 vezes a primeira equação à segunda para obter esquerda x+ p+ã 2y-* Ie + 6r— Sr Some -3 vezes a primeira equação à terceira para obter Multiplique à sogunda equação por + para obter + y+ B= 9 y= == 3y= lz==27 Some -3 vezes a segunda equação à terecira para obter a+y+% 9 7 Some -2 vezes a primeira linha à segunda para obter direita La 9 0 2-7 -17 3 6 -5 Some -3 vezes a primeira linha à terceira para obter ra 2 9 oz = O 3-1 =27 Muktiplique a segunda linha por 4 para obier ra E 9 oh = =p 0 3 =| =27 Some -3 vezes a segunda linha à terceira para obter I Pod o 0 4 à Multiplique a terceira equação por =2 para obter x+p+ri= 9 p= f=—H = 3 Some = vez a segunda equação à primeira para obier a fá tos ME Some - É vezes a terceira equação à primeirac | vezes a terceira equação à segunda pará obter a =1 x =2 ique a terceira linha por =2 para obter L 4% Ee 9 14-8 v 0 1 3 Some =! vez à segunda linha à primeira para obter 04 $ zo 0 1-4 -& l Some — 4! vezes a terceira linha A primeira É vezes a terceira equação à segunda para obter ro oa 0 10 2 o o 1.3 Asoluçãox=1,)=2,7=3 pode, agora, ser visualizada. + 1. Quais das seguintes equações são lineares em xx, 61; (a) a +54 — VB = | () xP +m+Bmn=5 (1) x — a + =senk (b) ++ =? () nf -Mmtm=4 I db) kr — que 9 (0) x == + 3 (E) may — Dz + dita me 718 2. Sabendo que k É uma constante, quais das seguintes equações são lincares? (0) Puta -n=0 3. Encontre o conjunto-solução de cada uma das seguintes equações lincares. (1) Tx-5y=3 (0) —Bmn+tln— sn +óu= tb) 3x — Sr, + dry =7 td) Ju —- Bmw +2x — py + dz =0 4. Encontre a matriz aumentada de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares. Jr — dz + dá du +tm-— n=0 +2mn=1 (e) x + 2x 3x + xs = ntr=io (dm ="=2 a + Ty | 5. Encontre o sistema de equações lincares correspondendo à matriz aumentada. 2 00 3 0-2 5 q|3 4 O ORE -3 GN d o | y 10007 od Ee à 0 10 02 (8) k 240 |] Moo 1 0/3 Do 0 1/4 6. (a) Encontre uma equação lincar nas variáveis x e y que tem x = 5 +21, y = 1 como solução geral, (b) Mostre que x=1, = 5! = 5 também é a solução geral da equação da parte (a). 7. Acurvays= ax + bx + cmostrada na do sistema de equações lineares cuja matriz aumentada é a om Lm É y=atsbr+e a a don (sa) dos ly E 8. Considere o sistema de equações xty+ii=a & +y+ã Mostre que para este sistema ser consistente 9. Mostre que se as equações lincares x, + kx cent Discussão e Descoberta 10. Para quais valores da constante k o sistema L— y=3 MU —2p=k não tem solução? Exatamente uma so HM. Considere o sistema de equações ar+ by=k ext dy=! ext fy=m O que você pode dizer sobre a posição relativa das retas ax + by = k. (a) o sistema não tem solução; (b) o sistema tem exatamente uma solução; (c) o sistema tem infinitas soluções? Figura passa pelos pontos (x. %y). ETs Capítlo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * * e 31 e txs. x5). Mostre que os coeficientes a, b é e são uma solução Figura Ex7 s constantes a, b e c devem satisfazer c = + b. «têm o mesmo conjunto-solução, então as equações s ? Infinitas soluções? Explique seu raciocínio. exady= le ex+ from. quando 12. Se o sistema do Exercício 11 for consistente, explique por que pelo menos uma das equações poderá ser descartada do sistema sem alterar o conjunto-solução . 13. Se k=1 = no Exercício 11, explique por que o sistema deve ser consistente. O que pode ser dito sobre o ponto de corte das três retas se o ma tem exatamente uma solução? SSÃÕoÕ 1.2 ELIMINAÇÃO GAUSSIANA Nesta seção nós vamos desenvolver um procedimento sistemáti- co para resolver sistemas de equações lineares. O procedimento é baseado na idéia de reduzir a matriz aumentada de um sistema a uma outra matriz aumentada que seja suficientemente simples a ponto de permitir visualizar a solução. Forma Escalonada No Exemplo 3 da última seção nós resolvemos um sistema linear nas incógnitas x, y e z reduzindo a matriz aumentada à forma a partir da qual a solução + +2=3 ficou evidente, Isto é um exemplo de uma matriz que está em forma escalonada reduzida por linhas. Para ser desta forma, uma matriz deve ter as seguintes propriedades: É. Se uma linha não consistir só de zeros, então 0 primeiro número não-nulo da linha é um 1. Chamamos este número 1 de líder ou pivô. Se existirem linhas constituídas somente de zeros, elas estão agrupadas juntas nas linhas inferiores da matriz. Em quaisquer duas linhas sucessivas que não consistem só de zeros, o líder da linha inferior ocorme mais à di- reita que o líder da linha superior. Cada coluna que contém um líder tem zeros nas demais entradas. 3. 4. Dizemos que uma matriz que tem as três primeiras propriedades está em forma escalonada por linhas, ou simplesmente, em forma escalonada. (Assim, uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas necessariamente está em forma escalonada. mas não reciprocamente.) 32 e o e Álgebra Lincar com Aplicações EXEMPLO 1 F Escalonada As seguintes matrizes estão em forma escalonada reduzida por linhas. o 1-2 0 1 Las AE “0 0 13 [85] o [DA 0): + o o 1-1 001 Sos a 90 0 0 0 As seguintes matrizes estão em forma escalonada. [RR Loo O asãe 48 [O “10 mo de Los E ooo o o 0 1-1 901 vo o od Nós deixamos para você a tarefa de confirmar que cada uma das matrizes deste exemplo satisfaz todos os requi EXEMPLO 2 1 Como o último exemplo ilustra, uma matriz em forma escalo- nada tem zeros abaixo de cada líder, enquanto que uma matriz em forma escalonada reduzida por linhas tem zeros abaixo e acima de cada líder. A: + Colocando qualquer número real no lugar dos asteriscos, as matrizes dos seguintes tipos estão em forma escalonada: pe. Les 01 ++ 01 ++ 001 +] 001 e] 0001 [9000 fon css sa a sw RR: 00010 usa a 00001 + us 0000] io q q 000001“. 00000000 1+ Além disto, as matrizes dos seguintes tipos estão em forma escalonada reduzida por linhas: 1000 100 0100 Q10+ oo10) |001+/ 0001 jo 000 ERES 01000440 0d ds 000100++ 0: e joo 00104 +04 0000 E Drg Rd 000001++0:+ 0200000001: + Se a matriz aumentada de um sistema de equações lineares for colocada em forma escalonada reduzida por linhas por meio de uma sequência de operações elementares, então a solução do istema está visível ou então se toma visivel depois de uns poucos passos simples. O próximo exemplo ilustra isto. Suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada reduzida por linhas dada. Resolva o sistema. 1 COL io! 5 O jo 1 0-2 mjo 10 2 6 “o 14 o Oi 1.33 E 1 6 0 0 4 2 o cel os il EO: (ei Mj0 120 qo q sz RÃ “00000 Solução (a). O sistema de equações correspondente é xy = 3 * Por inspeção. x,=5, x, =-2, 4; Solução (b). O sistema de equações correspondente é y + dig =—] dz +lu= 6 mtla= 2 Como x,.x, e x; correspondem a líderes na matriz aumentada, dizemos que estas variáveis são variáveis líderes. As variáveis não-líderes (neste caso, só x,) são chamadas variáveis livres. Resolvendo as variáveis líderes em termos das variáveis livres, obtemos ml — das m= 6-2 = 2% A partir deste formato das equações nós vemos que podemos dar um valor arbitrário à variável livre x,, digamos 1, que então determina os valores das variáveis líderes x,.1, € x, Resulta, assim, que há uma infinidade de soluções e que a solução geral é dada pela fórmula m=-l-d, n=6-Y m=2-% n=r Solução (c). A linha de zeros leva à equação 0x, + 0x, + Dx; + 0x,+ Ox; = 0, que não coloca restrições às soluções (por quê?). Assim, podemos omitir esta equação & escrever o sistema cor- respondente como x +60 +dm=-2 no += | mtôm= 2 Aqui, as variáveis líderes são x,, 1; € x, é as variáveis livres são x, x, Resolvendo as variáveis líderes em termos das variáveis livres obtemos 2— Gr — das da= 1-3 = 2-5 Permutando as terceira e quarta linhas e então multiplicando a terceira linha da matriz resultante por i dá a forma escalonada 132027200 G o Em Os 1 Co 60 vaias v 0000 0/0 Somando -3 vezes a terceira linha à segunda linha e depois somando 2 vezes a segunda linha da matriz resultante à primeira linha fomece a forma escalonada reduzida por linhas [RE CR Cio om mio o O dm e O E TS O 0 0 0 4 6 6 O sistema de equações corre: x +Im + dica + Des as + Du so = (Nós descartamos a última equação, Ox, + Ox, + x, + 0x, + Ds + Ox, = 0, pois ela é automaticamente satisfeita pelas soluções das demais equações.) Resolvendo as variáveis líderes, obtemos = 4-2 -2m a 1 m=7 Se dermos os valores arbitrários r, se 1 às variáveis livres 14, x, e xs. respectivamente, então a solução geral é dada pelas fórmu- tas n=ch-ds-k mn=r n=-d w=s st m=l q Retro-substituição Às vezes é preferível resolver um si tema de equações lineares por eliminação gaussiana para levar a matriz aumentada à forma escalonada sem continuar até chegar à forma escalonada reduzida por linhas. Quando isto É feito, o correspondente sistema de equações pode ser resolvido por uma técnica chamada retro-substituição. O próximo exemp- lo ilustra esta idéia. EXEMPLO 5 01 Das contas do Exemplo 4, uma forma escalonada da matriz aumentada é secou so-u sono soou e-wa o - e 1 o o o Para resolver o sistema de equações correspondente a + — 28 + 2 +21 = +33 =] nós procedemos da seguinte maneira: ETs Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * * * 35 Passo 1, Resolva as equações para as variáveis líderes. Passo 2. Começando com a equação de baixo e trabalhando para cima, substitua sucessivamente cada equação em todas as equações acima dela, Substituindo 46 = & na segunda equação dá mm Bm +21 — 2x =-2u m=3 “ Substituindo x, = =2x, na primeira equação, dá xo — dica — Des Passo 3. Atribua valores arbitrários às variáveis livres, se hou- ver. Atribuindo os valores arbitrários r, se fa x,, 4, € x, respec- tivamente, a solução geral é dada pelas fórmulas m=-Ir=ds=-2, a mw=1 Isto confere com a solução obtida no Exemplo 4. + OBSERVAÇÃO, Os valores arbitrários que atribuímos às variáveis livres são, muitas vezes, chamados parâmetros. Nós geralmente usamos as letras 7, s, £,... para Os parâmetros, mas também podem ser usadas quaisquer letras que não entrem em conflito com as variáveis. EXEMPLO 6 Elim Resolva por eliminação gaussiana e retro-substituição. Solução. Este é o sistema do Exemplo 3 da Seção 1.1. Naquele exemplo, nús convertemos a matriz aumentada A a 2 4-3 1 3 6 -5 0 à forma escalonada La Z9 9 1-4, E oo 1.3 O sistema correspondente a esta matriz é 36 e» e Álgebra Lincar com Aplicações s+ytli= y= 1 dos ME a Substituindo a equação de baixo nas que estão acima, dá 1=9-y-2: e substituindo a segunda equação na de cima fornece Y=2,2=3. Isto confere com o resultado obtido pela elimii de Gauss-Jordan no Exemplo 3 da Seção 1.1. Sistemas Lineares Homogêneos Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se os termos constantes são todos zero; ou seja, O sistema tem a forma audi + nda ++ duda =0 ana + ana ++ au = 0 ati Gata det ata = O Cada sistema homogêneo de equações lineares é consistente, pois todos sistemas homogêneos têm x, = 0, 4,=0 como uma solução. Esta solução é chamada solução trivial ou solução nula; se há outras soluções, estas são chamadas não- triviais. Como um sistema linear homogêneo si trivial, só existem duas possibilidades para mpre tem a solução as soluções: e Osistema tem somente a solução trivial. e O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial. No caso especial de um sistema linear homogêneo de duas equações em duas incógnitas, digamos ax+b;y=o0 (a, não ambas nulas) dx + by =0 (a, bynão ambas nulas) os gráficos das equações retas pela origem, e a solução tri- vial corresponde ao ponto de corte na origem (Figura 1.2.1). x ” age br=O le ax + bye I axe byy=0 ! (a) Somente à solução trivial Figura 1.2.1 tb) Infinitas soluções Há um caso no qual um sistema homogêneo garantidamente tem soluções não-triviais, à saber, sempre que o sistema envolve mais incógnitas que equações. Para ver por que, considere o seguinte exemplo de quatro equações em cinco incógnitas. EXEMPLO 7 Elin Resolva o seguinte sistema homogêneo de equações lineares usando eliminação de Gauss-Jordan . Ze + 2a — as +a=0 -“— mtin-ãmu+tau=0 atoa — Em —as=0 €) a+ utaç=0 Solução. A matriz aumentada para o sistema é 2 21 0 1 0 1-1 2-3 1.0 l L=2 0-1 0 o oq I ro Reduzindo esta matriz à forma escalonada reduzida por linhas, obtemos ER o-eso esses 1 1 v o cee-s 1 o o o O sistema de equações correspondente é na +m=0 no +m=0 (2) m =0 Resolvendo para as variáveis líderes, obtemos m=-m-—as = 4 Note que a solução trivial é obtida quando s = O Exemplo 7 ilustra dois aspectos importantes sobre re- solução de sistemas homogêneos de equações lineares. O primeiro é que nenhuma das operações elementares sobre linhas altera a coluna final de zeros da matriz aumentada, de modo que o sistema de equações correspondente à forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada também deve ser um sistema homogêneo [ver sistema (2)], O segundo é que, depen- dendo da forma escalonada reduzida por linhas da matri aumentada ter alguma linha nula, o número de equações no sis- tema reduzido é menor de que ou igual ao número de equações do sistema original [compare os sistemas (1) e (2)]. Assim, se o sistema homogêneo dado tiver nr equações em 1 incógnitas com m <n,e se há r linhas não-nulas na forma escalonada redu: por linhas da matriz aumentada, nós teremos r < n. Segue-se que o sistema de equações correspondente à forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada terá a forma * + E()=0 +E(I=0 My REM (3) a + E(=0 onde Xi. My Xy, São as variáveis líderes e X( ) denota as somas (possivelmente todas distintas) que envolvem as n — r variáveis livres [compare o sistema (3) com o sistema (2) acima]. Resolvendo para as variáveis líderes, obtemos ag=-E() Mg ==E() a =-E() Como no Exemplo 7, podemos atribuir valores arbi variáveis livres do lado direito e assim obter infinitas soluções do sistema. Resumindo, nós temos o importante teorema a seguir. Um sistema homogêneo de equações lineares com mais incógnitas que equações tem infinitas soluções. oBsERvAÇÃO. Note que o Teorema 1.2.1 aplica somente a sis- temas homogêncos, Um sistema não-homogêneo com mais incógnitas que equações não precisa ser consistente (Exercício 28); contudo, se o sistema for consistente, terá infinitas soluções. Isto será provado mais tarde. Conjunt Rida ETs Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares é Matrizes * » * 37 Soluções Computacionais de Sistemas Linea- res Em aplicações não é incomum encontrar sistemas lineares grandes que precisam ser resolvidos por computador, A maioria dos algoritmos computacionais para resolver estes sistemas são baseados na eliminação gaussiana ou na eliminação de Gauss- Jordan, mas os procedimentos básicos são muitas vezes modifi- cados para comportar problemas tais como e Redução de erros de arredondamento e Minimização do uso de espaço de memória do computador * Resolução do sistema com rapidez máxima Alguns desses assuntos serão considerados no Capítulo 9, Fazendo cálculos à mão, as frações constituem um aborreci- mento que muitas vezes não pode ser evitado. Contudo, em alguns casos é possível evitar as frações variando as operações elementares sobre linhas da maneira correta, Ass uma vez que as técnicas da eliminação gaussiana e da € ação de Gauss-Jordan tiverem sido dominadas, o leitor poderá querer variar Os passos em problemas específicos para evitar frações (ver Exercício 18). onstRvação. Como a eliminação de Gauss-Jordan evita o uso de retro-subs! io, poderia parecer que este método é o mais eficiente dos dois métodos que nós consideramos. Pode ser argumentado que esta afirmação é verdadeira quando resolve- mos manualmente sistemas pequenos, pois à eliminação de Gauss-Jordan na verdade envolve escrever menos. Contudo, mostra-se que ambos métodos requerem a mesmo número de operações, Esta é uma consideração importante quando usamos computadores para obter soluções de grandes sistemas de equações. Para maiores detalhes, o leitor pode consultar a Seção 9.8. 1. Quais das seguintes matrizes 3 x 3 estão em forma escalonada reduzida por linhas? 10 o Loo o10 tojo do) do to) (j|o 01 (dy 901 Do O 000 010 510 Los Bb|jl oo tejo 10 bjo 13 «1 voo 0a 000 2. Quais das seguintes matrizes 3 x 3 estão em forma escalonada? 1 0 0 120 Loo Mjo 10 bjo 10 tO/J0 10 0 0 4 000 020 rs - 1103 8 Ojo td (thjo o o 0 q 001 100 100 Do 1] «000 o 00 101 oo 000 o 00) «yo 00 000 000 RR: (jo 01 900 EJLEA O 40 « » e Álgebra Lincar com Aplicações 23, Resolva o sistema 2r— * = Am 2 — mtx= Aa —x + + xs pára x, x; & xy nos dois casos À = [e 24. Resolva o seguinte sistema para x, er. 25. Encontre cosficientes «, b, e e dl tais que a curva mostrada na figura é o gráfico da equação y = «od + bo sex d, 26. Encontre coeficientes a, b, c e d tais que a curva mostrada na figura é dada pela equação a? + ay +br+cy+d=0. Y 2,7 (4,5) (4,-3) Figura Ex-25 Figura Ex-26 27, (a) Mostre que se ad — be 4 O então a forma escalonada reduzida por linhas de ab 1 0 (b) Use a parte (a) para mostrar que o sistema ax+by=k ex+dy=l tem exatamente uma solução quando ae — be = 0. 28. Encontre um sistema lincar inconsistente que tem mais incógnitas do que equações. Discussão e Descoberta 29, Discuta as formas esculonadas reduzidas por linhas possíveis de a: b ie def g hi 30. Considere o sistema de equações ax + by =0 ex+dy=0 ex+fy=0 Discuta as posições relativas das retas ax + by =0,cx+dy=0cex+fy=0 quando o sistema (a) tem somente a solução trivial e (b) tem soluções não-triviais. 31, Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. (a) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada reduzida por linhas por duas sequências distintas de operações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes. (b) Se uma matriz for reduzida à forma escalonada por duas sequências distintas de aperações elementares sobre linhas, então as matrizes resultantes serão diferentes. ETs Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * * * 41 (c) Sea forma escalonada reduzida por linhas de uma matriz aumentada de um sistema linçar tiver uma linha de zeros, então o sistema deve possuir uma infinidade de soluções. (d) Se três retas do plano xy correspondendo a cada vértice. tados de um triângulo, então o sistema de equações formado pelas suas equações tem três soluções. uma 32. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique suá resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. (a) Um sistema linear de três equações em (bj Um sistema linear de cinco equa nco incógnitas é consistente es em três incógnitas não pode ser consistente. (e) Se um sistema lincar de n equações em a incógnitas tiver entradas líder na forma escalonada reduzida por linhas de sua matriz aumen- tada, então o sistema terá exatamente uma solução. (d) Se um sistema li tente. — EEE EE 1.3 MATRIZES E OPERAÇÕES MATRICIAIS Coleções retangulares de números reais aparecem em muitos contextos, não só como a matriz aumentada de um sistema de equações lineares. Nesta seção nós vamos começar nosso estudo da teoria das matrizes dando algumas das definições fundamen- tais do assunto. Nós vamos ver como as matrizes podem ser com- binadas através das operações aritméticas de adição. subtração Notação e Terminologia Matricial Na Seção 1.2 nós usamos agrupamentos retangulares de números, denomina- dos matrizes aumentadas, para abreviar a escrita de sistemas de equações lineares. Contudo, agrupamentos retangulares de números ocorrem também em outros contextos. Por exemplo, a seguinte coleção retangular de três linhas e sete colunas pode descrever o número de horas que um estudante gastou estudan- do três matérias durante uma certa semana: Seg Ter Qua Qui. Sex Sab. Dom. Matemática) 2 3 E 4 1 4 2 História o 1 I 4 3 z 2 Linguas a t 3 I Do d 3 Se nós suprimirmos os títulos, ficaremos com a seguinte coleção retangular de números com três linhas e sete colunas, denomi- maca matriz: o — o vo on te to ta 241 143 3210 Mais geralmente, fazemos a seguinte definição. E Uma matriz é um agrupamento retangular de números. Os números neste agrupamento são chamados entradas da matriz. de equações em x incógnitas tiver duas equações que são múltiplas uma da outra, então o sistema será inconsis- Alguns exemplos de matrizes são E 3 cem 1 30, 21 o-H o +! 1. E) Ela bo 0 0 O tamanho de uma matriz é descrito em termos do número de linhas (fileiras horizontais) e de colunas (fileiras verti que contém. Por exemplo, a primeira matriz do Exemplo | tem três linhas e duas colunas, portanto seu tamanho é 3 por 2 (e escrevemos 3 x 2). Numa descrição de tamanho, o primeiro número sempre denota o número de linhas e o segundo o de co- lunas. As outras matrizes do Exemplo | têm tamanhos | x 4,3 x3,2x [e | x 1, respectivamente. Uma matriz com somente uma coluna é chamada matriz-coluna (ou vetor-coluna) e uma matriz com somente uma linha é chamada matriz-linha (ou vetor-linha). Assim, no Exemplo | a matriz 2 x | é uma matriz- coluna, a matriz 1 x 4 é uma matriz-linha e a matriz 1 x | é tanto uma matriz-coluna quanto uma matriz-linha. (O termo vetor tem um outro significado que será discutido em capítulos subse- quentes.) OBSERVAÇÃO. É prática comum omitir os colchetes numa matriz 1x1. Assim, nós podemos escrever 4 em vez de [ 4 ]. Embora isto tome impossível dizer se 4 denota o número “quatro” ou a matriz 1 x | cuja única entrada é este número “quatro, mente causa problemas, pois geralmente é possível discemir a que nos estamos referindo a partir do contexto no qual aparece o símbolo. mos usar letras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas para denotar quantidades numéricas: assi podemos escrever a=[5 17 its [E É a] 3.4 3 def Quando utimos matrizes, é usual chamar as quantidades numéricas de escalares. A menos de menção explícita em con- trário, escolares são ntimeros reais, escalares complexos serão considerados no Capítulo 10. A entrada que ocorre na i-ésima linha e j-ésima coluna de uma matriz À é denotada por a,. Assim, uma matriz arbitrária 3x4 pode ser escrita como 42 + e e Álgebra Lincar com Aplicações ao Ms a a um a am au ds dr am au e uma matriz arbitrária m x 1 como am q) Gm Gm Gm Quando for desejada uma notação mais compacta, a matriz precedente pode ser escrita como Vetighax OU etsy] a primeira notação sendo usada quando é importante saber o tamanho da matriz e a segunda quando o tamanho não necessi- ta ênfase. Em geral, combinamos a letra denotando a matriz com a letra denotando suas entradas; assim, para uma matriz B nós geralmente usamos b,, para a entrada na linha é e na coluna fe para uma matriz C nós usamos a notação c,. A entrada na linha 7 e na coluna j de uma matriz A também é comumente denotada por (Ap Assim, para a matriz (1) acima, nós temos (Aly = di e para a matriz nós temos (4),; = 2. (4); 3(A)=7e(4),,=0. Matrizes-linha e matrizes-coluna são de importância espe- cial, e é prática comum denotá-las por letras minúsculas em negrito em vez de letras maiúsculas. Para tais matrizes é desnecessário usar subscritos duplos para as entradas. Assim, uma matriz-linha | x n arbitrária a e uma matriz-coluna mm x | arbitrária b podem ser escritas como a=ln a a] é Br, Uma matriz A com a linhas e n colunas é chamada matriz quadrada de ordem n e as entradas sombreadas dj, 33... un em (2) constituem a diagonal principal de A. Mio co a Mm mo e am o : 13) Cat Ca2 eo Ema Operações sobre Matrizes Até aqui usamos matrizes para abreviar o trabalho de resolver sistemas de equações li- neares, Para outras aplicações, contudo, é desejável desenvolver uma “aritmética de matrizes” na qual as matrizes podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas de alguma maneira útil. O restante desta seção será dedicado a desenvolver esta aritmética. Definição Duas matrizes são definidas como sendo iguais se têm o mesmo tamanho e suas entradas correspondentes são iguais, Em notação matricial, se 4 = [a;)Je 8 = [b,] têm o mesmo tamanho, então A = B se, e somente se, (4), = (B), ou, equiva- lentemente, a, = b, para quaisquer i e j. EXEMPLO Considere as matrizes 1=G = a) Sex=5, então A = B, mas para todos os outros valores de x as matrizes À e B não são iguais, pois nem todas suas entradas 2140 e=[ 53] coincidem. Não existe valor de x tal que 4 = € pois Ae € tê tamanhos diferentes. * Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a soma A+ B é a matriz obtida somando as entradas de 43 às entradas correspondentes de A, e a diferença A — B é a matriz obtida subtraindo as entradas de 8 das entradas correspondentes de A, Matrizes de tamanho distintos não podem ser somadas ou subtraídas. Em notação matricial, se 4 = [a] e B = [b,] têm o mesmo tamanho, então VA + Blig = (Adi + (By = cy ++ Dip 8 (A — Bdiy = (ADyy — (Blig == cy — biy Considere as matrizes 210 & Aa=[-1 0 2 4], 4-2 7 0 ta de > Se A é uma matriz e e é um escalar, então o produto cA é a matriz obtida pela multiplicação de cada entrada da matriz A por c. À matriz cA é chamada múltiplo escalar de A. pode ser escrita como a combinação linear das matrizes-linha M-1 3 2H-9 2 -=3]-H2 0d -2M=[|-16 -18 35 4 Segue de (8) e (10) que jésima matriz-coluna de um pro- duto AB é uma combinação linear das matrizes-columa de A com coeficientes dados pela j-ésima coluna de B. EXEMPLO 9. Nós mostramos no Exemplo 5 que as=[! a i Ea af n w el 260 3 7 5 2 8 —4 26 12, As matrizes-coluna de A B podem ser expressas como combi- nações lineares das matrizes-coluna de A como segue: [5] -*)=e[o] +] =s[)+ El+2[o] + Forma Matricial de um Sistema Linear A multipli- cação matricial tem uma importante aplicação a sistemas de equações lineares. Considere um sistema qualquer de m equações lineares em « incógnitas.. aut + ais ++ duda = bh dao + dasãa doe anã, = dy Mott dao dee decidia = Como duas matrizes são iguais se, € somente se, suas entradas correspondentes são iguais, nós podemos substituir as mm equações deste sistema por uma única equação matricial um + aero o ciada by “+ dinda bo Hatky E Mezzo Ma, Ba A matriz an X | à esquerda desta equação pode ser escrita como produto. amo az e am | [Mm bi om amo eee dam | ao) | ba Mt mp cor Uma ) Lim bo, Denotando estas matrizes por 4, x e b, respectivamente, O sis- tema original de m equações em n incógnitas foi substituído pela única equação matricial Ax=b A matriz A nesta equação é chamada matriz de coeficientes do sistema, A matriz aumentada deste sistema é obtida pela Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * * * 45 adjunção de b a À como a última coluna; assim, a matriz aumen- tada é am mz ce am | emo e am | bh tá hi= | CS ES Mel mz rem | bm Transposta de uma Matriz Nós concluímos esta seção definindo duas operações matriciais que não tem análogos entre os números reais. EEE Se A é uma matriz m x n qualquer, então a fransposta de A, denotada por A”, é definida como a matriz n x m que resul- ta da permutação das linhas com às colunas de 4; ou seja, a primeira coluna de A” é a primeira linha de A, a segunda coluna de A? é a segunda linha de A, e assim por diante. EXEMPLO 1 A seguir, alguns exemplos de matrizes e suas transpostas. anca an aja 23 a=[an as ay au). B=[1 4], Um 7 du dy 56 COR C=|1 354 1 C=|2], D'=H| 4 5 Observe que não só as colunas de A? são as linhas de A, mas também as linhas de A! são colunas de A. Assim, a entrada na ha é e coluna j de A” é a entrada na linha j e coluna é de Apou seja, D=4] 1s 3 46] Aro [o dm au an am as | Ma ds am CAP = (Ad 1) Observe a reversão de subscritos. No caso especial em que a matriz A é uma matriz quadrada, a transposta de A pode ser obtida pela permutação das entradas posicionadas simetricamente em relação à diagonal principal. Em (12), é mostrado que A” também pode ser obtida de A “refletindo” A em tomo de sua diagonal principal. Es 4 no » 3-5 A=|3 7 0|+ e: o4=|-2 7 8 -5 8 6 e] so 6 [918 t Permite cintradias posicionadas. simetricamente em relação à diagonal principal. Se À é uma matriz quadrada, então 0 traço de A, denotado por tr (4), é definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não é definido se A não é uma matriz quadrada. EXEMPLO 46 « «e Álgebra Lincar com Aplicações A seguir, exemplos de matrizes e seus traços. SE 2 27 0 nd dy 3 5-8 4 fe az a) del Sds o am da it = tagtas (B)="14547+0=11 + GT, . Suponha que 4, B.C, De E sejam matrizes dos seguintes tamanhos: 4 B c D E (4x5) (4x5) (5x2) (4x2) (5x4) Determine quais das seguintes expressões matriciais estão definidas. Para as que estão definidas, dê o tamanho da matriz resultante (a) BA (bd) AC+D (O AE+B (d AB+B te) E(A+B) df) E(AC) (8) ETA (bh) (47 + EJD . Resolva a seguinte equação matricial em termos de a, b,c e d. a-b bre] [81 3d+c Za-4d] |7/6 . Considere as matrizes 30 4 A=|-1 2). n-| H La o 2 Calcule os seguintes (quando possível). (a) D+E db) D- E (e) 54 td) —7€ (2) 28-C df) 4E-2D (g) -3HD+2E) (MN A-A ti) tr(D) Cj) tetD — 3) dk) 4178) (1 triAS . Usando às matrizes do Exercício 3, calcule os seguintes (quando possível). (0) 247 + (b) DF - ET (e) (D= EX (d) BT + 5c7 (JC -dA (f) B-B' (2) 287 -3D” (hn) (2E” = 3D") Usando as matrizes do Exercício 3, calcule os seguintes (quando possível). (a) AB tb) BA te) GEJD (e) A(BC) th cer (DAT CG) tDDT) () tt4ET > D) dk) CTAT 4 2ET) - Usando as matrizes do Exercício 3, calcule os seguintes (quando possível). (8) QD” — EA (bj (4B)C +28 (e) (-ACN + 5DT (d) (BA7 —20)" (e) BKCCT = ATA) (f) DTET — (ED . Sejam 327 6-2 4 A=s|6 5 4) e B=]0 1 3 049 1 5 Use o método do Exemplo 7 para encontrar (a) a primeira linha de AB (b) a terceira linha de AB (c) a segunda coluna de AB (d) a primeira coluna de BA (e) a terceira linha de 44 (f)a terceira coluna de AA 10. 12. 13. 15. ETs Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * * * 47 Sejam:A é 8 as matrizes do Exercício 7. (a) Expresse cada matriz-coluna de AB como uma combinação lincar das matrizes-coluna de A. (b) Express cada matriz-coluna de BA como uma combinação lincar das matrizes-coluna de 5. Sejam ano am cer am eo am e am v=In woe dm] E A= É E Gmt mz et Gm Mostre que. o produto yA pode ser expressso como uma combinação linear das matrizes-linha de A com coeficientes escalares vindo de y. Sejam À e das matrizes do Exercício 7. (a) Use o resultado do Exercício 9 para expressar cada matriz-linha de A B como uma combinação linear das matrizes-linha de B. (b) Use o resultado do Exercício 9 para expressar cada matriz-linha de 8 A como uma combinação lincar das matrizes-linha de A. Sejam C, De E as matrizes do Exercício 3, Usando o mínimo possível de contas. determine a entrada na linha 2 e coluna 3 de C (D E). (a) Mostre que se À B e 8 A estão ambas definidas, então A B e E A são matrizes quadradas, (b) Mostre que se A é uma matriz mm x nc 4 (B A) está definida, então 8 é uma matriz nx m. Em cada parte, encontre matrizes A, x e b que expressem o sistema de equações lincares dado como uma única equação matricial Ax = b. (a) 21 =3m +58 = 7 (b) dx, = + 4=1 M— n+ m== Sm + ma —81=3 xy + São + dx o 2n-So+dm— u=0 3 — n+m=2 Em cada parte, expresse a equação matricial como um sistema de equações lineares. =p NTE 5 3-2 0 1][u] [o 5 0 2 2]|2| Jo m/4 3 tal=|-1| Gli 4 45 = -» à s/n 4 E -2 5 1 eli] bo Se A e B são particionadas em submatrizes, por exemplo, Au | An = Bu] Ba afã às) Ga E Pas então A B pode ser expresso como aa [gra + Any | AnBi+ dee As Bi + AzsBa | Am Bia + Asas sempre que os tamanhos das submatrizes de 4 e B são tais que as operações indicadas podem ser efetuadas. Este método de multiplicar matrizes particionadas é chamado multiplicação em bloco. Em cada parte, calcule o produto usando multiplicação em bloco. Confira seus resultados multiplicando diretamente. = q -s 3» o[5]3 0 2 vala 3 = o | 1 1 ] pes 5) Pl [ 1 1 72 1 4 4 50 « o e Álgebra Lincar com Aplicações para todos valores de e j. Pela definição de soma e produto de matrizes, entretanto, temos TAG AC) = atbry + cip) + aralba + cap) eee ia lay dC) = (andas + aiabaj +++ ainDos DA Cai HC) dee Apa mj) =[A4Bl; +1ACky = |4B + AChy n OB: 'açÃo. Embora as operações de adição matricial e de mul- licação matricial tenham sido definidas para pares de matrizes. as leis da associatividade (b) e (c) nos permitem es- erever somas e produtos de três matrizes, como À + B + Ce ABC sem inserir parênteses. Isto é justificado pelo seguinte fato: onde quer que os parênteses sejam inseridos, as leis da associativi- dade garantem que o resultado final é sempre o mesmo. Em geral, dada qualquer soma ou qualquer produto de matrizes, podemos omitir ou inserir pares de parênteses em qualquer lugar da expressão sem afetar o resultado final. EXEMPLO 2 Multiplicação Como uma ilustração da lei da associatividade para a multi cação matricial, considere [5% 43 ro A=|3 4 e=[ ] c=[ ] a 21 23 Então 12 4 Y o 10 ade 2] | | Era 3 43 Assim, 8 5 16 18 15 (ABC = [20 13 E J- “5 39 2 ape 43 e MBC) = | de modo que (A 8) C = A (8 C), conforme garante o Teorema 14le. + O wma =: 1 —— 5 so 8 h RR E 3 sa + Matrizes Zero Uma matriz com todas suas entradas nulas, tal como to so0s é chamada uma matriz zero ou matriz nula. Uma matriz zero sempre será denotada por O, se for importante enfatizar seu tamanho, nós escreveremos 0... para a matriz zero de tamanho mx. Além disto, continuando com a convenção de usar sim- bolos em negrito para matrizes de uma única coluna, denotamos uma matriz zero de uma coluna por 0. ETs Se A é uma matriz qualquer e O é a matriz zero de mesmo tamanho, é obvio que 4 + 0=0+ A =A. A matriz O desempe- nha, portanto, nesta equação matricial o mesmo papel que o número O desempenha na equação numéricas +0=0+a=a. Como nós já sabemos que algumas das regras da aritmética dos números reais não valem na aritmética matricial, seria leviano supor que todas as propriedades do número real zero valem para a matriz zero, Por exemplo, considere os dois seguintes resultados-padrão da aritmética dos números reais. e Seab=acea*0 então b=e. (Esta é chamada a lei de can- celamento). e Segd=0, então pelo menos um dos fatores à esquerda é O, Como o próximo exemplo mostra, dentes não são válidos, em geral, na aritmética matrici EXEMPLO 3 AI ento não Vale Considere as matrizes 0 na E] ha pe) a [1) cep [1 Você deveria verificar que 3 4 oo AB= AC [5 é] e ap= [5 o] Assim, embora À x 0, é incorreto cancelar À de ambos os lados da equação AB = AC e escrever & = €. Também AD = 0, embo- raAz0e Da0. Assim, a lei de cancelamento não é válida para a multiplicação matricial e é possível um produto de matrizes ser zero sem que nenhum dos fatores seja zero. + Não obstante o exemplo acima, existem várias propriedades familiares do número real O que valem para as matrizes zero. O teorema a seguir dá um resumo de algumas das mais impor- tantes. As provas são deixadas como exercícios. Propriedades das Matrizes Zero Supondo que os tamanhos das matrizes são tais que as ope- rações indicadas podem ser efentadas, valem as seguintes regras da aripmética matricial, (DAFO=0+A=A (BD A-A (JO-A=-A (d) AD=0:0A=0 Matrizes Identidade De especial interesse são as matrizes quadradas com entradas | na diagonal principal e com entradas O fora da diagonal principal, tais como Ed 1000 o dk 010], se assina pordiânio: HE a 001 sos roo o1o 001 Uma matriz desta forma é chamada uma matriz identidade e é denotada por |. Se for importante enfatizar seu tamanho, nós escreveremos [, para a matriz identidade de tamanho n x n, Se A é uma matriz m x n, então, como ilustra o seguinte exemplo, Ah=4 e hA=A Assim, uma matriz identidade desempenha na aritmética matri- cial o mesmo papel que o número 1 desempenha nas relações numéricas" =| :a=a. Considere a matriz an a a As [ nai E] Mn O am Então tdi [à O) fun ari mis) fam ema as] o, O lan a am 1 dm 07 e 100 A a cm elo 5 q dp em As matrizes identidade surgem naturalmente no estudo da forma escalonada reduzida por linhas de matrizes quadradas, como mostra O próximo teorema. Se Ré a forma escalonada reduzida por finhas de uma metriz An xn, então ou R tem uma linha de zeros ou Réa mairiz identidade 1 Prova. Suponha que a forma escalonada reduzida por linhas de Aé mon ce tm Mmorm ce tm De duas uma: ou a última linha desta matriz é constituída inteiramente de zeros ou não. Se não, a matriz não contém li- unhas nulas e consequentemente cada uma de suas n linhas tem um pivô 1. Como estes pivôs ocorrem progressivamente para a direita à medida que descemos pelas linhas, cada um deve ocor- rer na diagonal principal. Como as demais entradas na mesma coluna são zeros, R deve ser £,. Assim, ou R tem uma linha de zeros ou R=E,. = Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * » * 51 Dada uma matriz quadrada À, se pudermos encontrar uma matriz & de mesmo tamanho tal que AB = BA = [, então dire- mos que À é invertivel e que B é uma inversa de A. Se não puder ser encontrada uma tal matriz 8 então diremos que À é não-invertível ou singular. EXEMPLO 5 5 : 2 =5 ] é uma inversa de 4 = [a 5 as=[ 4 Sh 2)=[o 1)=" pois 14 0 A=|2 56 360 é singular. Para ver por que, seja bu du da B=|by by ba bu da ba uma matriz 3 x 3 qualquer. A terceira coluna de BA é bu dr ba] |O o bu by ba) |0)=[0 ba be ballo) Jo Assim, Lo BAfI=|01 vo Propriedades das Inversas É razoável perguntar se uma matriz invertível pode ter mais de uma inversa. O próximo teorema mostra que a resposta é não—uma matriz invertível tem exatamente uma inversa. 52 e o e Álgebra Lincar com Aplicações Se Be C são ambas inversas da mairiz À, então B=€, Prova. Como B é uma inversa de A, nós temos BA = [. Multiplicando ambos os lados pela direita por € dá (BAJ€ = IC =€. Mas (BAJC = KAC)= B/=B.demodo que C=B. E Como uma consequência deste importante resultado, nós po-demos agora falar “da” inversa de uma matriz invertível, Se A é invertível, então sua inversa será denotada pelo símbolo 4º). Assim, dA tel o AM=l A inversa de A desempenha, portanto, na aritmética matricial o mesmo papel que o recíproco q”! desempenha nas relações numéricas aa! =legta=1, Na próxima seção nós iremos desenvolver um método para encontrar à inversa de matrizes invertíveis de qualquer taman- ho; no entanto, o próximo teorema dá condições sob as quais uma matriz 2 x 2 é invertível e fornece uma fórmula simples para a inversa. A matriz é invertível se ad — be £ 0, caso em que « inversa é dada pela fórmula d b Alia À IE == ad=be ad=be ad=bel-c a e a Cad-be ad-be Prova, Nós deixamos ao leitor verificar que AA! = 1, e que AtA=h = Se A e B são matrizes invertíveis de mesmo tamanho, então AB é invertível e (ABjo! = BoA! Prova. Se nós conseguirmos mostrar que (AB) (BA!) = (BA!) (AB) = |, então teremos mostrado, simultaneamente, que a matriz AB é invertível e que (ABJ! = B'A!. Mas (AB) (EUA = A (BB AS = A LA = AM =. Um argumen- to similar mostra que (BA!) (AB) = 1. = Este resultado pode ser estendido para incluir três ou mais fatores, mas isto não será provado aqui; ou seja, vale que O produto de um mimero qualquer de matrizes invertíveis é invertível e a inversa do produto é o produto das inversas enr ordem inversa. EXEMPLO 7 Considere as matrizes ami ob o=[e 0) ae=[; al Aplicando a fórmula do Teorema 14,5, obtemos av=[ =a ete[ a +) (as! cep Assim, (AB)! = BA"! como garante o Teorema 14,6. + ! ES “Também Potências de uma Matriz A seguir, vamos definir potências de matrizes quadradas e discutir suas propriedades. inteiras Se A é uma matriz quadrada, definimos as potênci não-negativas de A por ARE A = AAA atri (n>0) Além disto, se A é invertível, então definimos as potências inteiras negativas por A em (AT! eim A Ed! Como esta definição é idêntica à de potências de números reais, valem as leis usuais de expoentes, (Omitimos os detalhes, FEESREA Leis de Expoentes Se A é uma matriz quadrada e r e s são inteiros, então NASA, (AP=AS O próximo teorema fornece algumas propriedades úteis de expoentes negativos. DS SS Leis de Expoentes Se À é uma matriz invertível, então (a) ATE inverivel e(ATyi=A. (b) A“ é invertivel e (AY = Ay para n=0,1,2,... (0) Para qualquer escalar não-nulo Ka matriz kA é inverifvel e (RAP! = (5) A, 10 n" 14. 15. 16. 18. 21. 22. B. ETs Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * * * 55 Seja À a matriz 31 21 Em cada parte encontre p (A). (pos z=2 (blpwsni-x+L te) pim=x-W+4 Sejam p ()=02-9,plg)=x+3epy()=2-3 (ay Mostre que p, (A) = p; (A) ps (4) para a matriz do Exercício 9. (b) Mostre que p, (4) = py (A) ps (A) para qualquer matriz quadrada À. Encontre a inversa de cost sent [ send e Encontre à inversa de de re) Meet) lo -e a Considere a matriz an O o diz o a o O asas onde egito; ** 4, O. Mostre que A é invertível e encontre sua inversa. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfizer A? = 3A + 1 = 0, então A (a) Mostre que uma matriz com uma linha de zeros não pode ter uma inversa, (b) Mostre que uma matriz com uma coluna de zeros não pode ter uma inversa, Será necessariamente invertível a soma de duas matrizes invertíveis? Sejam A e & matrizes quadradas tais que AB = O. Mostre que se A é invertível, então & = 0. Sejam À, 8 c O matrizes 2 x 2. Supondo que A é invertível, encontre uma matriz € tal que Aat[ o ca! é a inversa da matriz particionada Ao B|A (Veja Exercício 15 da seção anterior.) Use o resultado do Exercício 18 para encontrar as inversas das seguintes matrizes. 1 1 o o Loo =, 1 0 o 100 Slim Pari 1 | I 0001 (a) Encontre uma matriz não-nula A de tamanho 3 x 3talque AT=A, (b) Encontre uma matriz não-nula À de tamanho 3 x 3 tal que AT =— A. Uma matriz quadrada A é chamada simétrica se AT = A c anti-simétrica se A” (a) BB7cB+BTsão simétricas. (b) B-D7é imétrica. Se A é uma matriz quadrada e n é um inteiro positivo, é verdade que (A?) = (AM? Seja A a matriz Lol Laio q 4 = À. Mostre que se 3 é uma matriz quadrada, então Determine se À é inventível é, se for, encontre sua inversa, [Sugestão. Resolva AX = ! igualando entradas correspondentes de ambos os lados. 56 «o e Álgebra Lincar com Aplicações 24. Prove: (a) a parte (bh) do Teorema 14,1 (b) a parte (7) do Teorema 1.4.1 (e) a parte (um) do Teorema 1.4.1 25. Aplique as partes (d) e (mm) do Teorema 1.4.1 às matrizes A, B e (- 1) E para deduzir o resultado da parte (7). 26. Prove o Teorema 1.4.2. 27. Considere as leis de expoentes AA" = A" e (A) . (a) Mostre que se À é uma matriz quadrada, estas leis são válidas para quaisquer inteiros não negativos re s. (b) Mostre que se A é invertível, estas leis valem para quaisquer inteiros negativos re s. 28. Mostre que se A é invertível e k é um escalar não-nulo qualquer, então (A)" = A” para qualquer inteiro u. 29. (a) Mostre que se A é invertível c AB = AC, então B=C. (b) Explique por que a parte (a) e o Exemplo 3 não são contraditórios, 30. Prove a parte (c) do Teorema LA. (Sugestão. Suponha que Aémxn, Bénxpe Cépxq.A i jésima entrada do lado esquerdo é 1,,=00[BCh; + 418Ch; +++ 4, [BC],e a! Hésima entrada do lado direito é r;, = [AB),4€3j+ ABlpes +" + [ABI ,£ op Verifique que [,,= 1,7] Discussão e Descoberta 31. Sejam A e & matrizes quadradas de mesmo tamanho. (aj Dê um exemplo em que (A+ BP 242 +24B+8B. (b) Preencha a lacuna para criar uma identidade que é válida para quaisquer A e B.(A + BP =A"+B'+ 32. Sejam Ae B matrizes quadradas de mesmo tamanho. (a) Dê um exemplo em que (A + BJ(B=AJZA?- Bº, (b) Preencha a lacuna para criar uma identidade que é válida para quaisquer À é B.(A + B)(B = A)= a No sistema dos números reais, a equação a * = | tem exatamente duas soluções, Encontre pelo menos oito matrizes 3 x 3 que satisfazem a equação A? =, [Sugestão. Procure soluções entre as matrizes com entradas zero fora da diagonal principal.) Uma afirmação do tipo “Se p, então q” é logicamente equivalente à afirmação “Se não q, então não p” (A segunda afirmação é chamada a contraposição lógica da primeira.) Por exemplo, a contraposição lógica da afirmação “Se está chovendo, então o chão está molhado” é “Se o chão não está molhado, então não está chovendo” (a) Encontre a contraposição lógica da afirmação: Se A” é singular, então A é singular. (bj A afirmação é verdadeira ou falsa? Explique. 35. Sejam Ae B matrizes ax n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta. (a) (AB) *= A? Bº deve ser verdadeiro. (b) (4-B)?= (BA)? deve ser verdadeiro. tc) (AB (BA!) = 1, deve ser verdadeiro. (d) Nunca é verdade que AB = BA. 8 E TT ão. 1.5 MATRIZES ELEMENTARES E UM MÉTODO PARA ENCONTRAR A" Nesta seção nós vamos desenvolver um algoritmo para encontrar a inversa de uma matriz invertível. Nós também discutiremos algumas das propriedades básicas de matrizes invertíveis. Nós começamos com a definição de um tipo especial de matriz que pode ser usada para executar uma operação elementar sobre linhas por multiplicação matricial. Uma matriz 1 x n que pode ser obtida da matriz identidade 1, de tamanho n x n executando uma única operação ele- mentar sobre linhas é chamada uma mraíriz elementar. EXEMPLO 1 res e Operações Abaixo listamos quatro matrizes elementares e as operações sobre linhas que as produzem. dl 1 t Maiplique a Permute a segun- segunda inha ada linha de 1; defspor=3 coma quarta 1000 == 01 10 100 Some Jvezesa Mubiplique a terceira linha de “primeira linha hãprimeira. deiiport 4 Quando uma matriz A é multiplicada à esquerda por uma matriz elementar E, o efeito é o de executar uma operação ele- mentar sobre linhas de A. Isto é enunciado no próximo teorema, cuja prova deixamos para os exercícios. Operações sobre Linhas por Multiplicação Matricial Se a matriz elementar E resulta de efetuar uma certa ope- ração sobre linhas em L,, € se A é una matriz m X n, então o produto E A é a matriz que resulta quando esta mesma ope- vação sobre linhas é efemada em A. EXEMPLO 2 Considere a matriz Loo 2 s A4A=|2 1/3 6 Edo 45 0 e considere a matriz elementar 100 E=|0 10 301 que resulta de somar 3 vezes a primeira linha de !, à terceira linha. O produto E A é que é precisamente a mesma matriz que resulta quando nós somamos 3 vezes a primeira linha de A à terceira linha. + onsERvAÇçÃO. O Teorema 1.5.1 é principalmente de interesse teórico e será usado para desenvolver alguns resultados sobre matrizes e sistemas de equações lineares. Em termos de contas, é preferível efetuar operações sobre linhas diretamente do que multiplicar à esquerda por uma matriz elementar. Se uma operação elementar sobre linhas é aplicada a uma matriz identidade / para produzir uma matriz elementar E, então existe uma segunda operação que. aplicada a £, produz de volta a matriz f, Por exemplo, se E é obtida multiplicando a i-sima linha de / por uma constante não-nula c, então / pode ser recu- perada se a i=ésima linha de E é multiplicada por 1/c. As várias possibilidades estão listadas na Tabela 1. As operações do lado direito desta tabela são chamadas operações inversas das correspondentes operações do lado esquerdo. TABELA 1 Operações sobre linhas de | Operações sobre linhas de Ique produzem E E que reproduzem 1 Multiplique a linha í pore*0) Multiplique a linha é por 1/e Troque entre si as linhas i e j| Troque entre si as linhas / cj Some —« vezes a linha i à linha j Some c vezes a linha i à linha j s Inversas Em cada um dos exemplos a seguir, foi afetuada uma operação elementar na matriz identidade 2 x 2 para obter uma matriz cle- mentar E e, em seguida, E foi restaurada à matriz identidade aplicando a operação inversa. 1 á LU o)" los Mubliplique a seguia t ! linha por 117. Mulhiplique a segunda inha pos 7. E 1] f | IS o — — o ra o t t Peru à primeira tinha com a segunda, 1] — Some 5 tezes a segunda linha à as ! a Permite a primeira linha com a segunda. bi) =) 1 Sum - 5 vezes a segun da linha à primeira * O próximo teorema dá uma importante propriedade de matrizes elementares. Qualquer matriz elementar é invertível e a inversa é, tam- bém, una matriz elementar. Prova. Se E é uma matriz elementar, então E é o resultado de alguma operação elementar sobre linhas de 7. Seja E, a matriz que resulta quando é efetuada a operação inversa em Aplicando o Teorema 1.5.1 é lembrando que operações e suas inversas se cancelam mutuamente, segue que GE=S[cER=! Assim, a matriz elementar E, é a inversa de E. E O próximo teorema estabelece algumas relações fundamen- tais entre invertibilidade, sistemas lineares homogêneos, formas escalonadas reduzidas por linhas e matrizes elementares. Estes resultados são extremamente importantes e vão ser usados muitas vezes nas próximas seções. Afirmações Equivalentes Se A é uma mairiz n Xn então as seguintes afirmações são equivalentes, ou seja, são todas verdadeiras ou todas falsas. (4) A é invertível, (b) Ax=0 rem somente a solução mivial, (2) A forma escalonada reduzida por linhas de A é 1, (d) A pode ser expressa como um produto de matrizes elementares. 60 « « e Álgebra Lincar com Aplicações 2, Encontre uma operação sobre linhas que retorna a matriz elementar duda a uma matriz identidade, = 1 ab aliics) alii Dé (a) E | tb) 5: j S te) 0010 (d) 020 10 1000 20 01 3. Considere as matrizes 3 4 1 8 l 5 3 4 l A=|2 -=7 -1l. B=|2 =7 +-=1). €=|2 =7 + sr 5 3 4 4 2-7 3 Encontre matrizes elementares £,, E, E, e E, tais que GEA=B (DEB=A (JEA=C (ECA 4, Na Exercício 3, é possível encontrar uma matriz elementar E tal que E B = €? Justifique sua resposta, Nos Exercícios 5-7, use o método mostrado nos Exemplos 4 e 5 para encontrar a inversa da matriz dada se a matriz é invertível e confira sua resposta por multiplicação. 4 -3 6 6 =4 5. (a) E (bj [ 4 | tey [5 | 2 4 = = 3 = 10d 26 6 101 emli o 3) b|2 41 glotra Wlz76 gl 1a 2 5 4 4 2 4 Lo 3 74 0210 2 1Looõo E 4 o 350 Eid Tmli à | |-VZ VE 0) td], 450 E m Mo AM IgA Sa DI a a v 020 à my L 0 64 5 oo o te) 0—l 3 q Sl Ig io 2 4 5 =3 8. Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4x4, onde &, ks, ks, ky € ks são todos não-nulos. k 00 0 000 & : 000 0 kb 00 00 kb 0 1k00 Vlooro) Plomo o) Plorro oo Da k& 0 00 oo 1 k 9. Considere a matriz ud] (a) Encontre matrizes elementares E, c E, tais que E, E A =. (b) Escreva A-! como um produto de duas matrizes elementares. (ce) Escreva A como um produto de duas matrizes elementares. 10. Em cada parte, efetue a operação sobre linhas dada na matriz 2-1 o A=|4 5. = Lo=4 7 multiplicando A à esquerda por uma matriz elementar conveniente, Confira sua resposta em cada caso executando a operação sobre linhas diretamente em À. (a) Permute à primeira e terceira linhas. (b) Multiplique a segunda linha por 3. ETs Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * * * 61 (c) Some duas vezes a segunda linha à primeira: MN. Expresse a matriz To q del do od 5 8 -=2 —5 1 -8 no formato A= EF GR, onde E.F e G são matrizes elementares e R está em forma escalonada por linhas. 12. Mostre que se Loo A=|]0 10 a be é uma matriz elementar, então pelo menos uma entrada da terceira linha deve ser um zero. 13. Mostre que Va ooo » Oo cc 00 A=]0 d 0 e 0 00 f0Os 00 ho é não-inventível para qualquer valor das entradas. 14. Prove que se À é uma matriz m x n, então existe uma matr ertível O tal que C À está em forma escalonada reduzida por linhas. 15. Prove que se À é uma mat enível e B é equivalente por linhas à A, então B também é invertível. 16. (a) Prove: Se Ac B são matrizes m x m então À e B são equivalentes por linhas se, e somente se, 4 e & têm a mesma forma escalonada reduzida por linhas. (b) Mostre que À e B são equivalentes por linhas e encontre uma sequência de operações elementares por linhas que produz B a partir de A, sendo 17. Prove o Teorema 1.5.1. Discussão e Descoberta 18. Suponha que A é alguma matriz invertível desconhecida, mas que você conhece uma sequência de operações clementares por linhas que pro- duz a matriz identidade quando efetuada ivamente em À. Explique como você pode usar a informação disponível para encontrar 4, 19. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. (a) Toda matriz quadrada pode ser expressa como um produto de matrizes elementares, (bj O produto de duas matrizes elementares é uma matriz elementar. (c) Se A é uma matriz invertível e um múltiplo da primeira linha de A é somado à segunda linha, então a matriz resultante é invertível. (d) Se A é invertível e A B'= 0, então é necessariamente verdade que 8 = 0, 20. Decida se à afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. (a) Se À é uma matriz n xn singular, então À x = O tem infinitas soluções. (b) Se A é uma matriz n x singular, então a forma escalonada reduzida por linhas de A tem pelo menos uma linha de zeros, (e) SEA! pode ser expressa como um produto de matrizes elementares, então o sistema linear homogêneo A x = O tem somente a solução trivial. (dy Se A é uma matriz u Xu singular e 5 resulta da permutação de duas linhas de A, então E pode ser ou não ser singular. 21. Você acredita que existe uma matriz A de tamanho 2 x 2 tal que e dele] para todos valores de a. b,c e d'? Explique seu raciocínio. 62 « «e Álgebra Lincar com Aplicações o 1.6 MAIS RESULTADOS SOBRE SISTEMAS DE EQUAÇÕES E INVERTIBILIDADE Nesta seção nós vamos estabelecer mais resultados sobre sis- temas de equações lineares e invertibilidade de matrizes. Nosso trabalho nos levará a um novo método de resolver n equações em n incógnitas. Um Teorema Básico Na Seção 1.1 nós afirmamos (baseados na Figura 1.1.1) que todo sistema linear tem ou ne- nhuma solução, ou uma solução, ou infinitas soluções. Agora estamos em condições de provar este resultado fundamental. Todo sistema de equações lineares tem on nenhuma solução, ou exatamente uma solução, ou infinitas soluções. Prova. Se Ax = é um sistema de equações lineares, vale exata- mente uma das seguintes afirmações: (a) o sistema não tem solução, (b) o sistema tem exatamente uma solução ou (2) o sis- tema lem mais de uma solução. A prova estará completa se con- seguirmos mostrar que no caso (c) o sistema tem infinitas soluções. Suponha que Ax = b tem mais de uma solução e seja x, = x, —X,. Onde x, € x, são duas soluções distintas quaisquer. Como x, e x, são distintas, x, é não-nula; além disto, Axp=A(x—m)= Am An=b-b=0 Se k é um escalar qualquer, então Mt + Exob = Axy + AlkNo) = Axy + lixo) =b+M=b+0=b Esto significa que x, + kx, é uma solução de Ax = b. Como x, É mão-nula e existem infinitas possibilidades de escolha para k o sistema Ax = b tem infinitas soluções. n Resolvendo Sistemas Lineares por Inversão de Matrizes Até aqui, nós estudamos dois métodos para resolver sistemas linçares: eliminação gaussiana e eliminação de Gauss-Jordan. O seguinte teorema fornece um novo método para resolver certos sistemas lineares. Se A é tina matriz invertível nx n, então para cada matriz b de tamanho n x 1,0 sistema de equações Ax = b tem exatamente uma solução, a saber, x = Ab. Prova, Como A (4'b) = b, segue-se que x = A!b é uma solução de Ax = b. Para mostrar que esta é a única solução, nós vamos supor que x, é uma solução arbitrária e mostrar que x, necessariamente é à solução A!b. ETs Se x, é uma solução qualquer, então 4x; = b. Multiplicando ambos os lados por A"!, obtemos x,= A"!b. n EXEMPLO 1 Considere o sistema de equações lineares n+B += 5 Im+tSntka= 3 x + Bu = 17 No formato matricial, este sistema pode ser escrito como À x = b, onde 12 * Am|2 53). amu). b=|3 ros x 17 No Exemplo 4 da seção precedente nós mostramos que A é invertível e -40 16 9 Al=] 3 =5 -3 5-2 -1 Pelo Teorema 1.6.2, a solução do sistema é = 40 16 9 5 1 3-5 =3] | 3)=[-1 5-2 —]||17 2 x=4"b= oux=Lm=-lm=2. + OBSERVAÇÃO. Note que o método do Exemplo | aplica somente quando o sistema tem o mesmo número de equações e incógni- tas e a matriz de coeficientes é invertível. Sistemas Lineares com uma Matriz de Coeficientes Comum Fregientemente precisamos resolver uma segiiência de sistemas Ax=bo Ax=bo Axebr. Ax= by cada um dos quais tem a mesma matriz de coeficientes A. Se A é invertível, então as soluções m=4"by. Aba, Abs, m= Ab podem ser obtidas com uma inversão matricial e k multipli- cações de matrizes. Contudo, um método mais eficiente é for- mar a matriz TA by [be [4] (1 na qual a matriz A foi “aumentada” por todas as k matrizes b,, b b, Reduzindo (1) à forma escalonada reduzida por linhas nós podemos resolver todos os k sistemas de uma só vez por eliminação de Gauss-Jordam. Este método tem a vantagem adi- cional de aplicar mesmo se A é não-invertível. EXEMPLO 2 R temas Lineares d Resolva os sistemas BJ Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes * * * 65 4 Su tIy+Mm=4 5 3x + 3x + 2x3 + 8 2x, + 5x + 5x3 3m + 5x2 + Br = by 9. Resolva o seguinte sistema geral invertendo a matriz de coeficientes e usando o Teorema 1.6.2. n+n+mn=h t— btn=h s+ a =b Use as fórmulas resultantes para encontrar a solução se (br=-1, b=3 n=4 (6 h=5, b=0, b=0 (0) =>], bn=-, by=3 10. Resolva os sistemas do Exercício 9 simultancamente usando o método do Exemplo 2, Nos Exercícios LI-I4 use o métado do Exemplo 2 para resolver simultaneamente todos os sistemas dados. 12 um +ém+ m=h x + — 2 =D; 6x + das — Brg = (a) bp =0, b=0 (b) bi= by=—5 13 14. m+3n+tSn=h ce ado 2x, + Sms + dy = by fa) br=1, dy by=—1 (b) br bs=1 (e) br 3 +» b=0 15. O método do Exemplo 2 pode ser usado em sistemas lineares com infinitas soluções. Use aquele método para resolver os sistemas de ambas partes simultaneamente. (O) n-m+ m=-2 (b) n-2m+ n= 1 In—im+tm= 2 = Sn + m=-1 My — a +2n=—| In -W+tIy= 0 Nos Exercícios 16-19 encontre condições que as constantes b devem satisfazer para o sistema ser consistente. 16. 6x = 4x = by IT. m-0+5m=b 3 —-Im =b EM —3x, + 3m) — 3a = by 18. am — m=h 1. n- nm +m=h —4x, + Sua + eg = br D+ an + Si + = bs —Sx1 + Tua + das = bs In +im+20— x din + + 20. Considere as matrizes pá 1 2 Xi A=|2 2 -2 e x=|M 3 1 1 x (a) Mostre que a equação Ax = x pode ser reescrita como (A — 1x = O e use este resultado para resolver 4x = x em x. (b) Resolva Áx = dx. 21. Resolva a equação seguinte em X. Lol I 2 ml 5 2 3 O0|lx=|4 0 -3 0 2 = 3 5-:=7 sos ETs 66 + » e Álgebra Lincar com Aplicações 22. Em cada parte, determine se o sistema homogêneo tem una solução não-trivial (sem usar papel e lápis): depois decida se a matriz dada é invertível, (nt n-3a+ u=0 2 = 1 So +rdg+Iy=0 0 5 4 3 13 + 2 O 40 Md à Memo lo dd q) dá (b) Sm a tám+ u=0 a Lo $a 24 — u=0 oo zm n+ u=0 oo 1a 1u=0 o oo fg 23. Seja Ax = 0 um sistema homogêneo de 1 equações lineares em n incógnitas cuja única solução é a trivial, Mostre que se k é qualquer inteiro positivo, então o sistema Aº x = O também só tem a solução tri 24. Seja Ax = O um sistema homogêneo de a equações lineares em à incógnitas e seja O uma matriz invertível a x n. Mostre que Ax = O tem somente a solução trivial se, e somente se, (Q4) x = O tem somente a solução trivial, Seja Ax = bum sistema de equações lincares consistente e seja x, uma solução fixada, Mostre que qualquer solução do sistema pode ser esgri- ta na forma x =x, + x,, onde x, é a solução de Ax = O. Mostre também que qualquer matriz x desta forma é uma solução. 26. Use a parte (4) do Teorema 1.63 para provar a parte (b). a Discussão e Descoberta 27. (a) Se A E uma matriz a x nc se b é uma matriz a x 1. quais condições você imporia para garantir que a equação x = A x + b tem uma única solução em x? (b) Supondo que suas condições estão satisfeitas, encontre uma fórmula para à solução em termos de uma inversa apropriada. 28. Suponha que A é uma matriz a x a invertível. O sistema x =x precisa ter uma solução única? Explique seu raciocínio. 29. É possível ter A B = [e B não ser a inversa de A? Explique seu raciocínio. 3. Crie um teorema reescrevendo o Teorema 1.6.5 em contraposição lógica (veja Exercício 34 da Seção 1.4). TTTTTEÃ di O ELO O luto O 1.7 MATRIZES DIAGONAIS, arte) MR O TRIANGULARES E SIMÉTRICAS o De Mim Nesta seção nós vamos considerar certas classes de matrizes que O leitor deveria verificar que DD! D'D = têm formatos especiais. As matrizes que nós estudamos nesta Potências de matrizes diagonais são fáceis de calcular, nós seção estão entre os lipos mais importantes de matrizes encon- a paro. eh x verifi RE que. se D é à matriz diagonal (1) tradas em Álgebra Linear e surgirão em muitos contextos dife. e*eum inieira postavo, então rentes qo longo do texto. a O es O o dt o 0 p'= E à Matrizes Diagonais Uma matriz quadrada na qual todas A as entradas fora da diagonal principal são zero é chamada matriz DD se da diagonal. Aqui temos alguns exemplos. ao 6 “o k g vio Qua. 0 (O de Matrizes o -s] 001 F Do 0 0 0 0 08 Uma matriz diagonal arbitrária D de tamanho n x» pode ser Se escrita como EO 0 dy 0 O A=|0 3 0 Jo do o 02 o o “ É então e + K£ É ! Uma matriz diagonal é invertível se, e somente se, todas suas actelo emtradas na diagonal são não-nulas; neste caso, a inversa de (1) 0 é Produtos de matrizes que envolvem fatores diagonais são especialmente fáceis de calcular. Por exemplo. do O 0]Ta cu as aus dan die day dias O do Ollum um as aul=|dom dar das day 0 0 di)lan cu as au dan dy asas dam me rag O dia omg dam ex o dO [ota demo dom mala o d das alodas aham tus es ha eloctao altas Em palavras, pera multiplicar wna matriz À à esquerda por uma mairiz diagonal D, podemos multiplicar as linhas sucessi- vas de À pelas entradas sucessivas na diagonal de D, e para multiplicar A à direita por D. podemos multiplicar as colunas sucessivas de À pelas entradas sucessivas na diagonal de D. Matrizes Triangulares Uma matriz quadrada na qual todas as entradas acima da diagonal principal são zero é chama- da triangular inferior e uma matriz quadrada na qual todas as entradas abaixo da diagonal principal são zero é chamada frian- gular superior. Uma matriz que é triangular inferior ou triangu- lar superior é chamada triangular. res Superiores e Gu apo Ma aa apo o 0 o O dm as am tm ap O 0 O as ay ag ag ag O O 0 O “ag dy da 4 cm Uma imatria triangular Uma matriz triangular superine 4 5€ 4 aebitrária, inferir 4 54 aeispásia. X OBSERVAÇÃO. Observe que matrizes diagonais são triangulares tanto inferiores quanto superiores, pois têm zeros acima quanto abaixo da diagonal principal. Observe também que uma matriz quadrada em forma escalonada é triangular superior pois tem servos abaixo da diagonal principal. As seguintes são quatro caractcrizações úteis de matrizes triangulares. O leitor verá que é instrutivo verificar que as matrizes do Exemplo 2 têm as propriedades afirmadas. * Uma matriz quadrada A = [q] é triangular superior se, e somente se, a i-ésima linha começa com pelo menos i— zeros. * Uma matriz quadrada A = [2] é triangular inferior se, e somente se, a j-ésima coluna começa com pelo menos j-Izeros. * Uma matriz quadrada A = [a;] é triangular superior se, e somente se, 4, = O para i > j. e Uma matriz quadrada A = [4,,] é triangular infe: somente se «= O para i<j. O teorema a seguir lista algumas das propriedades de matrizes triangulm ETs Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares é Matrizes * * e 67 (e) A transposta de uma matriz triangular inferior € trian- gular superior e a transposta de uma matriz triangular superior é triangular inferior. (b) O produto de matrizes triangulares inferiores é trian- gular inferior e o produto de matrizes triangulares superiores é triangular superior. (o) Uma mariz triangular é invertível se, e somente se, suas entradas na diagonal principal são todas não musas, ( A inversa de uma matriz triangular inferior é triangu- lar inferior e a inversa de uma matriz triangular supe- rior é triangular superior. A parte (4) é evidente pois transpor uma matriz quadrada cor- responde a refletir suas entradas cm torno da diagonal principal; nós omitimos a prova formal. Nós vamos provar (b), mas vamos adiar as provas de (c) e (e) para o próximo capítulo, onde nós teremos as ferramentas necessárias para provar estes resultados de maneira mais eficiente. Prova (b). Nós provaremos o resultado para matrizes triangu- lares inferiores; a prova para matrizes triangulares superiores é similar. Sejam A =[a,)e B=[b,] matrizes n xa triangulares infe- riores e seja € = [c,] 0 produto € = AB, Da observação anteri- or a este teorema, nós podemos provar que C é triangular infe- rior mostrando que e, = O para | < j. Mas pela definição de mul- tiplicação matricial, cy = anbi + anda + abas + jabay Se nós supormos que | < j, então os termos desta expressão poderão ser agrupados como segue: emp mambo aiadas eee) tygon jap 2 anday Muicl Ss Termas nos quais o múmero de Termos nos quais o número tinha de b é menor do que o de linha de a é menor do que número de coluna de b o número de coluna de à No primeiro grupo todos os fatores de b são zeros pois B é tri- angular inferior e no segundo grupo todos os fatores de q são zeros pois A é triangular inferior. Assim, c, = O, que é o que queriamos mostrar. = EXEMPLO 3 Considere as matrizes triangulares superiores 1 3 - 3: 2º 2 Az=10 2 4), B=|0 0 -1 0 0/5 vo A matriz A é invertível, pois suas entradas na diagonal principal são não-nulas, mas a matriz B não é. Nós deixamos para o leitor calcular a inversa de A pelo método da Seção 1.5 e mostrar que 70 «o « Álgebra Lincar com Aplicações 9 10. un. Mostre que À e B comutam se a = d = 7h. af) o=[5 1] Encontre uma matriz diagonal A tal que I 2 0 200 MA=)]0 1 0 bai=|0 4 0 o 0-1 0014 (a) Fatore 4 na forma A = B D, onde D é uma matriz dingonal. Jan Sar Tas A= [Ja Sa Ta Jay Som Tam, (b) A fatoração encontrada é a única possível? Explique. 12. Verifique o Teorema 1,7,1b para o produto A 8, onde 13. 14. =| ca 5 2-8 0 A=| 0 1 3. B=/0 a 1 o 0 -4 o o £) Verifique o Teorema 1.7. 1d para as matrizes do Exercício 12. Verifique o Teorema 1.7.3 para a matriz À dada, gs 1-3 m4=[ 1 ] bA4=|=2 1 =7 3-7 4 Seja 4 uma matriz simétrica. (a) Mostre que A? é simétrica. (b) Mostre que 24? - 34 + [ é simétrica. Seja A uma matriz simétrica. (a) Mostre que 4º é simétrica se k é qualquer inteiro não-negativo. (b) Se plo) é um polinômio, é p(A) necessariamente simétrica? Explique. Sejam A uma matriz triangular superior e p(x) um polinômio. É p(A) necessariamente triangular superior? Explique. Prove: Se ATA = ão À é simétrica o À = 4º, Encontre todas as matrizes diagonais 3 x 3 que satisfazem A? — 34 — dl = 0. Seja À Juma matriz a xa. Determine se À é simétrica (Maj=P+P (ba=P-P (Oaj=2142) (a,= 28427 Usando sua experiência com o Exercício 20, projete um teste geral que pode ser aplicado a uma fórmula para a,, para determinar se À = la é simétrica. Uma matriz quadrada A é chamada anti-simétrica se A” =-A, Prove: (a) Se A É uma matriz à métrica invertível, emão A“! € anti-simétrica. (b) Se Ae B são anti-s as. então também o são ATA + B.A = Be kA, para qualquer escalar &. (c) Toda matriz quadrada A pode ser expressa como a soma de uma matriz simétrica € uma matriz anmti-simétrica, [Sugestão, Observe a identidade A = MA+AT) + HA-AM Nós mostramos no texto que o produto de matrizes simétricas é uma matriz simétrica sec somente se, as matrizes comutam. É o produto de matrizes anti-simétricas que comutam uma matriz anti-simétrica? Explique. [Observação, Veja o Exercício 22 para a terminologia.) Se a matriz A de tamanho u x à pode ser expressa como A = LU, onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz gular superi- or, então o sistema Ax = b pode ser expresso como Lt/x =b é portanto pode ser resolvido em dois passos: Passo 1. Seja Ux de modo que LUx = b pode ser escrito como Ly = b. Resolva este sistema. Passo 2, Resolva o sistema Ux = y em x. Em cada parte, use este método de dois passos para resolver o sistema dado. ro o][f2 -1 3][m 1 e ty |-2 3 0)jo 1 2|wm)=|-2 24 1]jo 0 algo 0 2 0 o07[3 5 fa 4 djs vooljo 4 dillul=|-5 -31 -2 a3)jo o 2)|m z 25. Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes +» * 71 Encontre uma matriz triangular superior que satisfaz el 2] Discussão e Descoberta 7] Qual é à mímero máximo de entradas distintas que pode ter uma matriz simétrica de tamanho 1 x 1? Expligue seu raciocínio. Invente e prove um teorema que diz como multiplicar duas matrizes diagonais. Suponha que 4 é uma matriz quadrada e que D é uma matriz diagonal tal que AD = 1, O que você pode dizer sobre a matriz A? Explique seu raciocínio. (a) Construa um sistema linear consistente de cinco equações em cinco incógnitas que tem uma matriz de coeficientes triangular inferior com nenhum zero na diagonal principal nena abaixo da diagonal principal. (b) Projete um procedimento eficieme para resolver seu sistema à mão, (e) Invente um nome apropriado para o seu procedimento. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa, Justifique cada resposta, (a) Se AA” é singular, então também A é singular, (b) Sc A + B é simétrica, então também À e 8 são simétricas, tc) Se A é uma matriz nx c Ax = O tem somente a solução trivial, então também A7x = O tem somente a solução trivial. (d) Se A? é simétrica, então também A É simétrica. Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver x e y” em termos de x e y. s=dr-iy p= feed Use eliminação de Gauss-Jordan para resolver x” é y” em termos de x e ». x =x'cost — y' sent v=4sen0 +y' cosa Encontre um sistema lincar homogênco de duas equações que não são múltiplas uma da outra tal que m=Ly=-Ly= Lx=2 m=214,=0,4=1,4=-1 são soluções do sistema, Uma caixa contendo moedas de 1,5 e 10 centavos contém 13 moedas com um valor total de 83 centavos. Quantas moedas de cada tipo há na caixa? Encontre inteiros positivos que satisfazem + pt zm 9 x+5y+ l0z=44 Para quais valores de a o sistema a seguir tem zero, uma ou infinitas soluções? mtmnta=á n=2 (ta - 4 =a-2 Seja alba aa ds 4 az é a matriz aumentada de um sistema linear. Para quais valores de a e b o sistema tem (a) uma única solução, (b) uma solução a um parâmetro, (e) uma solução a dois parâmetros, (d) nenhuma solução? 72 «oe Álgebra Lincar com Aplicações 8. Resolvaema,ye cz s-2F+ky=8 2y =] +2y=7 = + P+Uy=4 9. Encontre uma matriz É tal que ARB = €, sendo I 8 6 -b a=|-2 Va efe I =-+ 0.0 10. Como devem ser escolhidos os coeficientes a, b e c para que o sistema ax+by—3 —-2x — by + ax+3y— tenha a soluçõox= |,y=-Lez=2? 11. Em cada parte resolva a equação matricial em X. =] 0 1 120 ra [5a “ais o 1 :) o x[) o d=a E il o [a def [5] 12. (a) Expresse as equações n= Mo ata n= + == — no formato matricial Y= AX e Z = BY. Em seguida use cestas expressões para obter uma relação direta Z = CX entre Ze X. (b) Use a equação Z = CX obtida em (a) para expressar Z, e 7; em termos de x,. 4, CX. (c) Confira o resultado em (b) substituindo diretamente as equações em y,, 3 € Nas equações em =, c 2, e simplificando. 13. SeAémxne Bémx p, quantas operações de multipli e quantas de adição são necessárias para calcular o produto matricial AB? 14. Seja À uma matriz quadrada. (a) Mostre que (= AJI=[44 +42 + 450 4!=0. (by Mostre que (= Ap! = [444 Ae ces At se Ari = 15. Encontre valores de a, b, ec tais que o gráfico do polinômio p(x) =x? + br +o passa pelos pontos (1, 2), (=1, 6) e (2,3). u= p= mt n==Intim= 16. (Para leitores que estudaram Cáleulo.) Encontre valores de a. b, e e tais que o gráfico do polinômio p(x) = «é + bx + c passa pelo ponto (=1,0) e tem uma tangente horizontal em (2,9). 17. Seja Sa matriz nx tal que todas entradas são |, Mostre que sen > Ioentão Em pi Mg n 18. Mostre que se uma matriz quadrada A satisfaz a equação A! + 442 - 24 + 7] = O então A? também satisfaz, 19. Prove: Se B é invertível, então AB! = B''A se, e somente se, AB = BA. 20. Prove: Se A é invertível, então A + Be 1+ BAU são ambas invertíveis ou ambas não-invertíveis 21. Prove que se A e B são matrizes n x n,enão Ca) trçA + B)= Ar (A) + Ar CB) Ab) RA)= AA) (or CATo=A(AD O (A) tr (AD) = tr(BA) 22. Use o Exercício 21 para mostrar que não existem matrizes quadradas À c 8 tais que AB-BA=I Prove: Se A é uma matriz mx ne é a matriz a x | com todas as entradas iguais a 1/m, então Fi B F AB= onde 4 é a média das entradas na iésima linha de A. Seção 1.7 TI. (Matrizes diagonais, simétricas e triangulares) Muitos recursos computacionais fornecem atalhos para entrar com matrizes diago- nais. simétricas e triangulares, Leia em seu manual sobre como Capítulo | « Sistemas de Equações Lineares e Matrizes + * * T5 conseguir isto e então experimente entrando com várias matrizes «destes tipos. T2. (Propriedades de matrizes triangulares) Confirme os resultados do Teorema 1,7,1 usando algumas matrizes triangulares de sua escolha. Determinantes Conteúdo do Capítulo 2.1 A Função Determinante 22 Calculando Determinantes através de Redução por Linhas 23 Propriedades da Função Determinante 24 Expansão em Co-fatores; Regra de Cramer NTRODUÇÃO: Nós todos estamos familiarizados com funções do tipo f(x) =senxefly)=x2, que associam um número real f(x) a um valor real da variável x. Como ambos x e f(x) tomam ape- nas valores reais, tais funções são descritas como funções reais de uma variável real. Nesta seção nós vamos estudar “funções determinante,” que são funções reais de uma variável matricial, o que sig- nifica que associam um número real (X) a uma matriz quadrada X. Nosso trabalho com as funções determinante vai gerar aplicações importantes à teoria de sistemas de equações lineares e também vai nos levar a uma fórmula explícita da inversa de uma matriz invertível. 77 80 « « e Álgebra Linear com Aplicações trizes2x2e Usando as matrizes do Exemplo 6, obtemos ca] az — ay2az e) der a 31 am aj a dbhder | am aro ceras | mm pernas aesas + erisa dy dy dy = apar — dpi =apando 4 Para evilar memorizar estas expressões desajcitadas, nós sugerimos usar 0s recursos mnemônicos dados na Figura 2.1.2, A fórmula da parte (a) do Exemplo 7 é obtida da Figura 2.1.20 somando as entradas da flecha direcionada para a direita e sub- traindo as entradas da flecha direcionada para a esquerda. A fór- mula da parte (b) do Exemplo 7 é obtida acrescentando à matriz uma cópia da primeira e da segunda colunas, como mostra a Figura 2.1.2b. O determinante é, então, calculado somando as entradas das flechas direcionadas para a direita e subtraindo as entradas das Nechas direcionadas para a esquerda, Ps] (a) Determinante de uma matriz 2 x 2 (b) Determinante de uma matriz 3 x 3 Figura 2.1.2 EXEMPLO 8 Calcule os determinantes de [Re A=[5 3] e B=|4 5 6 2 759 Solução. Usando o método da Figura 2.1.24, obtemos der(A)=0)(-D-(1)(4)=-10 Usando o método da Figura 2.1.2b, obtemos dei(6) = (45) + (84) + (96) — (105) — (—48) — (724 = 240 ES ETs Advertência. Nós enfatizamos que os métodos mostrados na Figura 2.1.2 não funcionam para determinantes de matrizes 4 xd ou maiores, Notação e Terminologia Nós concluímos esta seção com alguns comentários sobre terminologia € notação. Primeiro observamos que o símbolo [A | é uma notação alternativa para det (A). Por exemplo, o determinante de uma matriz 3 x 3 pode ser escrito como am o ai detlas au as) ou tm ca am ax dn dx fu do da ds dm us Na última notação, o determinante da matriz À do Exemplo 8 é escrito como 3 1 E a=-0 Estritamente falando, o determinante de uma matriz é um número, Contudo, é prá comum “abusar” um pouco da ter- minologia e usar o termo “determinante” para nos referirmos à matriz cujo determinante está sendo calculado. Assim, nós poderemos nos referir a | fal como um determinante 2 x 2 e chamar 3 a entrada na primeira linha e primeira coluna do determinante. Finalmente, observamos que, muitas vezes, o determinante de A é escrito simbolicamente como deiÃ) = DD torpe map, (1) onde E indica que os termos devem ser somados sobre todas as permutações (Jp jr «s jj) € 0 + Ou — é selecionado em cada parcela de acordo com a permutação sendo par ou ímpar. Esta notação é útil quando queremos enfatizar a definição de um determinante. OBSERVAÇÃO. Caleular determinantes diretamente da definição leva a dificuldades computacional e fato, calcular um deter- minante 4 x 4 diretamente envolveria calcular 4! = 24 produtos elementares com sinal e um determinante 10 x 10 envolveria calcular 10! = 3.628.800 produtos elementares com sinal. Mesmo es mais rápidos computadores digitais não conseguem dar conta em um tempo razoável dos cálculos de um determi- nante 25 x 25 por este método. Muito do que segue neste capí- tulo será dedicado, portanto, a desenvolver propriedades dos determinantes que vão simplificar o seu cálculo. Capítelo 2 « Determinantes + * * 87 Conjunto de Exer LE 1. Encontre o número de inversões em cada uma das seguintes permutações de (1,2, 3,4,5) (a) (41352) (b) (53421) (e) G2541) (d) (54321) (e) (12345) (1) (14239 2 Classifique cada uma das permutações do Exercício | como par ou impar. Nox Elisrefeids 2-12, calculo o delereninánio. a[5 E é Eds 5 Do - 4 sa qa 4 «6 -3 e-2 E 2 ig Wi é 200 o red A “3 5-2] m|3 os] fia 5) nb ve 1 62 172 Es 4 cs q 13. Encontre todos os valores de À. para os quais det (A) = 0. 1-4 0 O j=2 1 o[ ] mlo aa 5 A+4 E as 1á. Classifique cada permutação de (1. 2. 3, 4) como par ou impar. 15. Use as respostas do Exercício 14 para construir uma Fórmula para o determinante de uma matriz 4 x 4. 16. Use a fórmula obtida no Exercício 15 para calcular 4-5 9 & -=2 5 6 4 1 2 —5 —3 | =2 bo =2 17. Use a definição de determinante para calcular vo Do = 5 0 0 0/0 vo 0-4 0 0 0 0 0 —4 (Io 0 — 0 0 bjo 0 3 0/0 oz 0 0 dq o 00 1 0 s 00 0 0 o-2 0 0 0 18. Resolva em x, 0-3 E * 3 4-5 19. Mostre que o valor do determinante sent cost 0 —eost sent 0 sent — cost sent +cost | não depende de 9. 20. Prove que as matrizes ab de RE lo ' Ee “fo ') comutam se, e somente se, b a-e 1 =0 Discussão e Descoberta 21. Explique por que o determinante de uma matriz 4 x 1 com entradas inteiras deve ser um inteiro. 82 « e e Álgebra Linear com Aplicações ETs 22. O que você pode dizer sobre o determinante de uma matriz nx 1 cujas entradas são todas 1? Explique seu raciocínio, 23. (a) Explique por que o determinante de uma matriz nx 1 com uma linha de zeros deve zero. (b) Explique por que o determinante de uma matriz n Xu com uma coluna de zeros deve ser zero. 24, Usca Fórmula (1) para descobrir uma Fórmula para o determinante de uma matriz nx 2 diagonal, Expresse sua fórmula em palavras, 25. Use a Fórmula (1) para descobrir uma fórmula para o determinante de uma matriz 4 x q triangular superior. Expresse sua fórmula em palavras. Faça 0 mesmo para uma matriz triangular inferior. oo. 2.2 CALCULANDO DETERMINANTES ATRAVÉS DE REDUÇÃO POR LINHAS Nesta seção nós ummos mostrar que o determinante de uma matriz quadrada pode ser calculado através da redução da matriz à fonna escafonada reduzida por linhas. Este método é impor. tante pois evita os longos cálculos envolvidos ma aplicação dire- ta da definição de determinante. Um Teorema Básico Como discutimos no final da seção anterior, a definição de determinante é útil para provar teoremas sobre determinantes, mas não fornece meios práticos para cal- culá-los, especialmente determinante de matrizes maiores do que 3x3. Por causa disto, começamos com um teorema funda- mental que nos levará a um procedimento eficiente para cal lar o determinante de uma matriz de qualquer tamanho n. Seja À tuna matriz quadrada. (a) Se A rem tuna linha ou mma coluna de zeros, então der(A) = 0. (b) dei(A) = deiçA Prova (4a). Como cada produto elementar com sinal de À tem um fator de cada linha e um fator de cada coluna, segue-se que cada produto elementar com sinal necessariamente tem um fator de uma linha de zeros ou de uma coluna de zeros. Nestes casos, cada produto elementar com sinal é zero e portanto det (A), que é uma soma de produtos elementares com É zero. = Nós omitimos a prova da parte (b), mas lembramos que um produto elementar tem um fator de cada linha e de cada coluna, de modo que é evidente que A é A” têm precisamente o mesmo conjunto de produtos elementares. Com a ajuda de alguns teo- remas sobre permutações, que nos levariam para muito longe dos nossos propósitos, pode ser mostrado que na realidade À e AT iêm o mesmo conjunto de produtos elementares com sinal. Isto implica que det (A) = det (A”). OBSERVAÇÃO. Por causa do Teorema 2.2.1b, quase cada leorema sobre determinantes que contém a palavra “linha” em seu enu ciado, também é verdadeiro se substituirmos a palavra “linh; por “coluna”. Para provar uma afirmação sobre colunas, basta transpor a matriz em questão para converter a afirmação sobre colunas numa afirmação sobre linhas e em seguida aplicar resultado conhecido para as linhas. Matrizes Triangulares O próximo teorema torna fi calcular o determinante de uma matriz triangular, independente- mente de seu tamanho, Se A é una matriz criangular (triangular superior, triangu- tar inferior om diagonal) de tamanho n x n, então det(A) é o produto das entradas na diagonal principal da marviz; ou seja, det (A) = qtas e a a Para simplificar a notação, nós vamos provar este resultado para matrizes triangulares inferiores aq o 0 da o fa dg a dm prova para matrizes triangulares superiores pode ser obtido apli- cando o Teorema 2.2.1b e observando que a transposta de uma matriz triangular superior É uma matriz triangular inferior com as mesmas entradas na diagonal. Prova do Teorema 2.2.2 (caso triangular inferior 4 x 4). 0 único produto elementar de A que pode ser não-nulo é 3044 Para ver isto, considere um produto elementar 4t3/44j, Úpico, Como aj, = dy; = 444 = O, precisamos ter para obter um produto elementar não-nulo. Se j, = 1, devemos ter j, = |, pois dois fatores não podem vir da mesma coluna, Além disso, como «1,4 = 44, = O, precisamos ter j, = 2 para obter um produto elementar não-nulo. Continuando deste modo, obtemos j; = 3 € j, = 4. Como a 8,5043044 É multiplic; do por + | para formar o produto elementar com sinal, resulta derdA) = e passétaadisa = 2 7-3 8 3 0-3 751 O DD 6 7º 6)=(Q(-36NONA) =— 1296 + 0 0 0 9 8 o 000 4 3. Calcule os determinantes das seguintes matrizes por inspeção. 10 0 0 1000 Lo o ó a|% do 0 0 E RR Esso O E Dia Mt mos o Clero) Clica a à o o o 1 D0 01 o o o 1 Nos Exercícios 4-1, calcule o determinante da matriz dada reduzindo a matriz à forma escalonada por linhas. 3 6 —9 031 13 0 3 6 9 alo 0-2] sli 12) 6&|-2 4 1d] T|-2 7-2 e sd 5 324 s2 2 [DR E Log Sá ori E e E 1 1-1 0-4 2 &) Sc é dl USC Sida alo sa 102 6 2 “joz1o |ládidto Do ao 2 & € q = à ESA Sus 2 0 0 11 a be 12. Sabendo que a: f = 6, encontre g Rs doe f da Mo de arg bt+h c+i —3a —3b =3c tlg hi (bj j=d -e —f (ey | d e E (dy d e f aboe dg dio 4 £ h í g-4d d—de i—4r 13. Use redução por linhas para mostrar que E E dl a b el=hb-ale-atc=-b) a poe 14. Use um argumento como o que foi dado na prova do Teorema 2.2.2 para mostrar que Do D a ds au O ax as au 0 O ans taj det JO an an) =-ananas (b) det = Wutndnda e am am E an Gp da qu 15. Prove os seguintes casos especiais do Teorema 2.2.3, tan Kan Kas CAT RT dem am du am a ds (a) | an ax enj=kjm dm as (b) jon a cdn|=-|e do ap dm a ds di da dg dy dim dia da dm da Discussão e Descoberta 16. Em cada parte, encontre det (A) por inspeção. explicando seu raciocínio. a 5010 (aj á=|0 10 dA=15 100 Bs 1000 17. Por inspeção, resolva a equação x 5 7 O x+1 6 |=0 0 O 2M=1 Explique seu raciocínio. 86 + «e Álgebra Lincar com Aplicações 18. (a) Por inspeção, encontre duas soluções da equação Lx 1 1 1|=0 1-3 9 (bj É passível haver outras soluções? Justifique sua resposta. — EEE 2.3 PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DETERMINANTE Nesta seção nós vamos desenvolver algumas das propriedades fundamentais da função determinante. Nosso trabalho aqui nos dará uma compreensão mais profunda da relação entre uma matriz quadrado e seu determinante. Uma das consegilências imediatas deste material será um teste de determinante para a invertibilidade de uma matriz. Propriedades Básicas dos Determinantes Suponha que A e B são matrizes 1 x ne que É é um escalar qual- quer, Começamos considerando as possíveis relações entre dei (A), det (B) e der (RA), derçA + 8) e dera 8) Como um fator comum de qualquer linha de uma matriz pode ser carregado para fora do sinal det e como cada uma das n li- ahas de À tem o fator k em comum, obtemos der (RA = E" der (A) (1 Por exemplo, kom Kas Kai ia dia dy ko ko Kan] = Elas du an day day Kan am am ums Infelizmente, em geral não existem relações simples entre der (A), det (Bj e der (A + 8). Em particular, enfatizamos que det (4 + B) geralmente não é igual a det (A) + det (B). O seguinte exemplo ilustra este fato. EXEMPLO | de + det [B) Considere TE 31 43 ER Nós temos det (A) = |, det (B)= 8 e det (A + B)= 23; assim, der ÇA + 1) ne det (A) + der (8) + Não obstante o aspecto negativo do exemplo precedente, existe uma relação importante que trata de somas de determi- nantes e que é muitas vezes útil. Para obtê-la, considere duas matrizes 2 x 2 que só diferem na segunda linha: an ar an am a=[i pal Ei ep: E] Nós temos detCA) + deito) = agia = ermzan) + Cergbos — apoia) =en(am + bra) = eialam + ba au sa si lg +by apt ba) Assim, dy dp Mm dm am E dal aafrano pote o om a Ei Este é um caso especial do seguinte resultado geral. Sejam A, Be C matrizes nx n que diferem somente em uma única linha, digamos « résima, e suponha que a résima linha de C pode ser obtida somando as entradas correspon- dentes nas r-ésimas linhas de A e B. Então der(0) = dei (A) + det (8) O mesmo resultado vale para colunas. EXEMPLO 2 U Calculando os determinantes, o leitor pode verificar que 1 7 5 os E: da) 2 o 3 =dal2 O Ij+dal2 O 3] 4 +00 41 T+(-1) 14 7 od Determinante de um Produto Matricial Quando nós consideramos a complexidade das defink cação matricial e de determinantes, parec s poder haver alguma relação simples entre estes conceitos. Isto É o que faz tão surpreendente a elegante simplicidade do seguinte resultado: Nós vamos mostrar que se 4 e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho, então delta B) = det(Ap do (E) (2) A prova deste teorema é razoavelmente complexa, de modo que vamos precisar desenvolver primeiro alguns resultados preli- minares. Nós começamos com o caso especial de (2) em que A é uma matriz elementar. Como este caso especial é só um prelú- dio para (2), vamos chamá-lo de lema. Se Bé uma matriznxne E é uma matriz elementar nxn, então det (E 8) = det (E) det (By Prova. Nós vamos considerar três casos, um para cada uma das operações sobre linhas que produz a matriz E. Caso |. Se E é o resultado da multipli o de uma linha def, por 4, então, pelo Teorema 1.5.1, 0 resultado da multiplicação de uma linha de B por & é E 8; logo, pelo Teorema 2.2.3 nós temos det (EB) = det (By Mas pelo Teorema 2.2.4a sabemos que det (E) = k, logo det (E B) = det (E) det (8) Casos 2. e 3, As provas dos casos em que E é o resultado da troca de duas linhas de F, entre si ou da soma de um múltiplo de uma linha a uma outra linha de f, seguem o mesmo padrão do Caso 1 e são deixadas como exercícios. = OBSERVAÇÃO. Da aplicação repetida do Lema 2.3.2 segue que se Béuma matrizn xnese E, Es ., E, são matrizes elementares nxXn, então det(Eg Es ++ E; B) = des(Eydei(Es) oo deiCE,)dettsy 0) Por exemplo, detdE, E, 8) = det (E) det (E, B) = det (E) det (E,) det (8) Teste de Determinante para a Invertibilidade O próximo é um dos mais fundamentais teoremas de Álgebra Linear; ele fornece um critério importante para à invertibilidade em termos de determinantes e será usado para provar (2). Uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, dera) = 0. Prova. Seja R a forma escalonada reduzida por linhas de A. Como um passo preliminar vamos mostrar que det (4) e det (R) são ambos nulos ou ambos não-nulos. Sejam £,, Es, ... E, as matrizes elementares que correspondem às operações ele- mentares sobre linhas que produzem R a partir de A. Assim, R= E ESEA e por (3) dei(R) = dei(E,) -- det Es) dei(E,) det A) Mas pelo Teorema 2.2.4, os determinantes das matrize: mentares são todos não-nulos. (Não esqueça que multiplicar por zero ndo é uma operação elementar permitida, de modo que k = O nesta aplicação do Teorema 2.2.4.) Assim, segue de (4) que det (4) e det (R) são ambos nulos ou ambos não-nulos, Agora passamos à parte principal da prova, Se A é invertível, então pelo Teorema 1.6.4 nós temos R = 4, de modo que det (R) = | = O e consequentemente det (A) = O, Reciprocamente, se det (A) = 0, então det (Rj = O é portanto R não pode ter uma linha de zeros. Segue do Teorema 1.4.3 que R= 1, de modo que A é invertível pelo Teorema 1,6,4, = Segue dos Teoremas 2.3.3 e 2.2.5 que uma matriz quadrada com duas linhas ou duas colunas proporcionais é não-invertível. EJLEA O Capítulo 2 « Determinantes * * * 87 EXEMPLO 3. Como a primeira e terceira linhas de Es A=|[1 01 24 6 são proporcionais, det (A) = O. Assim, A é não-invertível. o Nós estamos agora prontos para O principal resultado desta seção. Se A e Bsão matrizes quadradas de mesmo tamanho, então dei (A Bj = det (A) dei (B) Prova. Nós dividimos a prova em dois casos, considerando A invertível ou não. Se à matriz A é não-invertível, então pelo Teorema 1.6.5 tampouco o produto À B o é. Assim, pelo Teorema 2.3.3, nós temos det (A 6) = 0 e det (4) = 0, de modo que det (A 8) = det (A) det (B), Suponha agora, que A é invertível. Pelo Teorema 1.6.4, a matriz À pode ser expressa como um produto de matrizes ele- mentares, digamos A= EEE, (5) e portanto AB= E EEB Aplicando (3) a esta equação, obtemos dei AB) = dei Ei) dertE;) o -dea(E,) det By e aplicando novamente (3), resulta deita) = derç£ Es --- E ) der(E) que, por (5), pode ser reescrito como dei (A B) = det (A) det (B). = EXEMPLO 4 Considere as matrizes E 1 8 2 a=[5 E 8=[ 4 SÉ ap=[5 E] Nós deixamos para o leitor verificar que der (A) = 1, det (Bj =-23 e det (A B)=-23 Assim, det (AB) = det (A) det (8), como garante O Teorema 234. + O próximo teorema dá uma relação útil entre o determi- nante de uma matriz invertível e o determinante da sua inversa. 90 « « e Álgebra Linear com Aplicações 7. Sem calcular diretamente, mostre que b+e cha b+a det| q b e 1 I I Nos Exercícios 8-1 1, prove a identidade sem calcular os determinantes. a bo mtby+er a boa Bju ba at+biteol=la be e bs mtistre) ja bo mt abr cr a bye 9 ja +b aba cj=-2a by ento; as—by ca a by é abr ardor andar am a 10. Jair artb atrbil=(=P|b bb by 6 a “a e a cs a berma c+rbypAsa oo a Na brio ctrbrtsa|=|b bb bh am bn+ra co+rrbr+sar & o 12. Encontre o(s) valor(es) de & que Faztem) A não-inventível. 1 2 4 a) 4= [1 ba=|3 16 Fa 13. Use o Teorema 2.3.3 para mostrar que senta sentp senêy) coste cor cos'y I I 1 é não-invertível para quaisquer valores de o. Be x 14. Express os seguintes sistemas lineares no formato (À [= A)x=0. ta) x +2r (e) Jr + 4 Xy In + =5%, — 3x4 = Àxa 15. Para cada um dos sistemas do Exercício 14, encontre (i) a equação característica: j os autovalores; os autovetores associados a cada autovalor. 16. Sejam A e B matrizes r x 1. Mostre que se A é invertível, então der (5) = der (A! BA ). 17. (a) Expresse a+h td ah ctd como uma soma de quatro determinantes cujas entradas não contém somas. (b) Expresse mtb atdo ath o+h rd a+h mtb td esth como uma soma de oito determinantes cujas entradas não contém somas. 18. Prove que uma matriz quadrada A é invertível se, é somente se, ATA é inventível. 19. Prove os Casos 2 e 3 do Lema 2.3.2, Discussão e Descoberta ETs Capítulo 2 « Determinantes * * e 97 20. Sejam À e E matrizes 1 x n. Você já sabe, pelo que foi visto antes, que 4 B e B A não precisam coincidir. Vale o mesmo para der (A Bj e der( A? Explique seu raciocínio, 21. Sejam A e matrizes nx n. Você já sabe, pelo que foi visto antes, que A B é inventi idade de A B se um ou ambos fatores são singulares? Explique seu rucioc falsa, Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. 22. Decida se a afirmação dada É sempre verdadeira ou às (a) det (24) = 2 det (A) (bp |AJ= JAF (c) der +A)= | + deita) el se 4 e B são inventíveis. O que você sabe dizer sobre (d) Se der (4) = O, então o sistema homegênco A x = O tem infinitas soluções. 23. Decida se à afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. (a) Se det (4) = O. então A pode ou pode não ser expressa como um produto de matrizes elementares. (b) Se a forma escalonada reduzida por linhas de À tiver uma linha de zeros, então det (4) = 0. (tc) O determinante de uma matriz permanece inalterado se escrevemos as colunas em ordem inversa. (dj Não existe matriz quadrada A para a qual de(A AN =—1. TES 2.4 EXPANSÃO EM CO-FATORES; REGRA DE CRAMER Nesta seção nós uamos considerar um método para calcular determinantes que é útil para cálculos manuais e também é importante para a teoria. Como uma consegiiência do nosso tra- balho, nós vamos obter uma fórmula para a inversa de uma matriz invertivel, bem como uma fórmula para a solução de cer- tos sistemas de equações lineares em termos de determinantes. Menores e Co-fatores No Exemplo 7 da Seção 2.1 nós vimos que o determinante de uma matriz 3 x 3 emo am A=|an am dn am am am é o número dei(A) = ayizadss + asas + dps — Wsappam — diagrama — aqua «1 Rearranjando os termos e fatorando, (1) pode ser reescrito como det (A) = dijlagitos = pita) ditas qusy = dista) 4 sutis = dtsgitsy) (2) As expressões destacadas em cor em (2) são, clas mesmo, deter- minantes: As submatrizes de À que aparecem nestes determinantes têm um nome especial, Det Se A é uma matriz quadrada, então o determinante menor da entrada “ip OU simplesmente o menor de a , é denota- do por M, e definido como o determinante da ubmats que sobra quando suprimimos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. O número (= 1)'*/ M, é denotado por €,, e é chama- do o co-fator de “ip eCo-fatores EXEMPLO 1 Encontrando Menore Seja O menor de a, É Mu=|2 5 6)= 4 Oco-fator de a, É CamteD IM =Mj= 16 larmente, o menor de as, É 3 My = aê =2% 2 6 O co-fator de ay, É Coml M=-My=-26 + Note que a diferença entre o co-fator e o menor de um ele- mento a, É somente de sinal, ou seja, C,= = M,. Uma maneira rápida de determinar se deve ser usado + ou — é observar que o sinal relacionando €, e M, é o que está na i-ésima linha e jésima coluna do arranjo em forma de tabuleiro de xadrez + + + + ++ RR] Por exemplo, C=M,p Cn=-My Co=-Myp. Co=Mye assim por diante. Expansão em Co-fatores Tendo em vista a definição a, a expressão em (2) pode ser escrita em termos de menores e co-fatores como 92 e e e Álgebra Linear com Aplicações dei) = mM o apal= 3) + avadfis =anCutanCo +anCa 3) As equações em (3) mostram que o determinante de A pode ser calculado mult ando as entradas da primeira linha de A pelos co-fatores correspondentes e somando os produtos que resul- tam, Este método de calcular det (A) é chamado expansão em co-fatores ao longo da primeira linha de A. EXEMPLO 2 3 1 o Seja A=|=2 —=4 3]. Calcule det (4) por expansão em 5 4-2 co-fatores ao longo da primeira linha de A. Solução. Por (3), 31 43 -2 3 -2 4 degA)=|-2 —4 [=| [+ | SM 4 — 52 s 4 = Má) -AIM-10+0=—1 + Rearranjando os termos em (1) de outras maneiras, é pos- sivel obter outras fórmulas como (3). Não deveria haver dificul- dades em conferir que todas as seguintes fórmulas são ver- dadeiras (ver Exercício 28): del) = emu +anl + anta nO ana data eim + aC + ela 2013 + 430» + auln 40 mu + asa delas = Cp + an0n + anla (4) Note que em cada equação as entradas é os co-fatores são todos da mesma linha ou coluna. Estas equações são chamadas expan- sães em co-fatores de det (A). Os resultados que acabamos de ver para matrizes 3 x 3 for- mam um caso especial do seguinte teorema geral, que enunci- amos sem prova. Expansão em Co-fatores O determinante de una matriz À de ramanho nx n pode ser calculado multiplicando as entradas de qualquer linha (ou coluna) pelos seus co-fatores e somando os produtos restl- tantes, ou seja, para quaisquer | sisne Isjsu, dei(A) = Cj + dy Cy + + ty Coy (expansão em co-fitores ao longa da jeésima coluna) e det) = ay Cy + a Cj + oo + ty Cry enpansão em co-fatores ao longa da i-ésiuna lindra EXEMPLO 3 Seja A a matriz do Exemplo 2. Calcule det (A) expandindo em co-fatores ao longo da primeira coluna de A. Solução. Por (4), djs Tate] É +sjd 3] 5 = Md) = (240) +50) =—1 Isto confere com o resultado obtido no Exemplo 2. + onsERvaçÃO, Neste exemplo, nós precisamos caleular três co- Fatores, mas no Exemplo 2 nós só precisamos calcular dois deles, pois o terceiro foi multiplicado por zero, Em geral, a me- lhor estratégia para caleular o determinante pela expansão em co-fatores é expandindo ao longo da linha ou coluna que tem o maior número de zeros. A expansão em co-fatores e as operações elementares com linhas e colunas podem, às vezes, ser usadas em conjunto para fornecer um meio efetivo de calcular determinantes. O exemplo seguinte ilustra esta idéia. EXEMPLO 4 5 e Expansão Calcule det (A), onde à = 6 , Bo=t 1 Ada gd 5 os Ss A Solução. Somando múltiplos convenientes da segunda linha às demais linhas, nós obtemos 0 1 3 1 2-1 4 dam q 5 à Di 30 E hu à E ExpanaSo cm co-fnres ao , : o longo da primeira cola SE =-[0 3 3) «E Nassemamesa primeira Me linha à terceira linha. & 3 =—(-1) = Expansão em co-tores ao pu longo da primeira coluna =-18 é Adjunta de uma Matriz Na expansão em co-fatores nós caleulamos det (A) multiplicando as entradas de uma linha ou Gabriel Cramer (1704-1752) foi um matemático suíço. Embora ele não seja classificado eomo um dos grandes matemáti- cos de seu tempo, mereceu seu lugar na historia da Matemática pela sua contribuição como um divulgador de idéias matemáti- cas. Cramer viajou muito € encontrou-se com muitos dos os de sua época. » curvas algébricas; Rd aa rena regra tenha o seu nome, variações desta regra “vários matemáticos. No entanto, a notação esclarecer e popularizar a técnica. ombinado com uma queda de uma carru- os 48 anos de idade. Aparememente, e agradável, demonstrando amplos inte- a filosofia da lei e do governo e sobre a Ele trabalhou em repartições públicas, par- fortificações e da amilharia do governo, nstrução sobre técnicas de restauração de es de arquivos de catedrais. Cramer Multiplicando as matrizes, resulta biCu + BO ooo + BC A |REn Fiber + Ca “Cmm|:o: : tn Cia te broa de ooo + Bula e portanto a entrada na j-ésima linha de x é BC + brCa doe + bala sm deita) (1) Seja, agora, emo cmo es mp by gar e ta Vl au a aja dá pt ee Ma mto a et md o Emp 0 1. Seja Lt -=2º 3 A=| 6 7 = =3 l 4 fa) Encontre todos os menores de 4. (b) Encontre todos os co-fatores, RBS! ETs Capítulo 2 « Determinantes * * * 95 Como A, difere de À somente na jésima coluna, segue que os co-fatores das entradas b,, by, ..., by de A, ce em com os co- fatores das correspondentes entradas da j-ésima coluna de A, A expansão em co-fatores de det (A) ao longo da j-ésima coluna é portanto, deA = Cj + baCap to oo MaCap Substituindo esta expressão em (11), resulta AMAS) “E TAÇA " EXEMPLO 8 Usa Cramer para Use a regra de Cramer para resolver nto +tin=6 day + dao + 6a = 30 = tia=8 Solução, 2 +02 6). a=|0 4 6 3 $= 8 2 10 6 6), A=)-3 4M 3 = a Portanto, dação) =40 O deitd) 72 18 “= ata) O To “qua AT des) “deA) OBSERVAÇÃO. Para resolver um sistema de n equações lincares em a! incógnitas pela regra de Cramer, é necessário calcular n+ | determinantes de matrizes nx 1. Para sistemas com mais de três equações, a eliminação gaussiana é muito mais eficiente, pois somente requer a redução de uma matriz aumentada ax (a + 1). No entanto, a regra de Cramer dá uma fórmula para a solução se o determinante da matriz de coeficientes é não- nulo. RR 96 « e e Álgebra Linear com Aplicações 2 Seja 4-1 1 6 O 0-3 3 Gi o 4 BE q Encontre (0) M€ Ci DMaeCa (Mel (DMeC 3. Calcule o determinante da matriz do Exercício | usando uma expansão de co-fatores ao longo da (a) primeira linha (b) primeira coluna (dy segunda-coluna (e) terceira linha 4 Para a matriz do Exercício |. encontre (ta) adj (A) Ab) A! usando o Teorema 2.4.2 (c) segunda linha (f) terceira coluna Nos Exercícios 5-10, calcule det (4) usando uma expansão em co-fatores ao longo de alguma linha ou coluna de sua preferência. -10 7 3 8 4 LAR sA= 2 S 6 A=|1 0 —4 TA=|| k É =1 05 L=3 5 LR A 0 6 É R+I E-1 7 Ses 2 2 &A=| 2 k-3 4 2 4=|, : = WA=||1 2 4 2 E: Mas 7 4 pa E 2 x ga a Nos Exercícios 11-14, encontre A"! usando o Teorema 2.4.2. Zoo g a 0 a iLA=|-1-1 0) WL4=[0 3 2 2 4 3 2 0 = 2-3 5 200 13. 4A=|0 1 —3 MM A= 81 0 o 02 -5 3 6 15. Seja JE IO O os nua Ad a so E 3 dis (a) Calcule A"! usando o Teorema 2.4.2. (b) Calcule A! usando o métado do Exemplo 4 da Seção 1.5. (c) Qual método envolve menos contas? Nos Exercícios 16-21, resolva pela regra de Cramer, onde aplicável. 16. Tx — 2x =3 17. dx +5y IB. r-dyt = 6 + m=5 Ha + y+2 s+Sp+Z=l 19. 20. -n— do +In+ u= n=-Im+ m= 2 — 22 + Ts + Mu Zn — 2 =n+ n+3o+ x 4x — 3x; m-2n+ m-du= -4 22, Mostre que a matriz cost sent O A=|-=senf cost O o o wu wo o PLESVE Capítulo 2 « Determinantes * * * 97 é invertivel para todos os valores de & em seguida, encontre A! usando o Teorema 2.4.2. 23. Use a regra de Cramer para resolver em y sem resolver em x: e u. a+ryti+ru= 6 M+- + wu= W+Iy-S+8w=—3 x+ y+tz+tiv= 3 24. Seja Ax = bo sistema do Exercício 23. (a) Resolva o sistema pela regra de Cramer. (by Resolva o sistema por eliminação de Gauss-Jordan. (c) Qual método envolve menos contas? 25. Prove que se det (4) = 1 € todas as entradas de A são números inteiros, então todas as entradas de A! também são inteiros. 26. Seja Ax = b um sistema de n equações lineares em 1 incógnitas com coeficientes e constantes números inteiros. Prove que se det (A) = 1. então as entradas da solução x são inteiros. 27. Prove que se À é uma matriz triangular inferior invertível, então A“! é triangular inferior. 28. Obtenha a expansão em co-fatores listada na última linha da Fórmula (4). 29. Prove: A equação da reta que passa pelos pontos distintos (a. b,) e (a. b;) pode ser escrita como 2. ya a bh 1/=0 a bp 1 30. Prove: Os pontos (x. 4). (to 55) € (15, 45) são colincares se, é somente se, 1 mp 1[=0 1 (b) Verifique sua resposta na parte (a) usando uma expansão em co-fatores para calcular det (4). 32. Prove que se À é uma matriz triangular superior é B, É a matriz que resulta quando suprimimos à i-ésima linha e a j-ésima coluna de A, então Bj É triangular superior se i < j. Discussão e Descoberta 33. Qual é o número máximo de zeros que uma matriz 4 x 4 pode ter sem ter determinante nulo? Explique seu raciocínio. 34. Seja A uma matriz com à seguinte formato: ** 000 ** 000 A=|z «000 a... .. au... Quantos valores distintos você consegue obter para det (4) substituindo os asteriscos por valores numéricos (não necessariamente todos iguais)? Explique seu raciocínio. 35. Decida se a afirmação dada é sempre verdadeira ou às vezes falsa, Justifique sua resposta dando um argumento lógico ou um contra-exemplo. (a) A adj (4) é uma matriz diagonal para cada matriz quadrada A.