Eletrodinâmica, Notas de estudo de Engenharia Civil

Baixe Eletrodinâmica e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! DAVID IJ. Ge lrrITAS =LSTºeO DINÂMICA Companion Website PÁGINA EM BRANCO DAVID IJ. GVSlrreriTA L =SL=Tº0 DINÂMICA 3º edição Tradução: Heloisa Coimbra de Souza Revisão técnica: Antonio Manoel Mansanares Instituto de Física Gleb Wataghin Universidade Estadual de Campinas, Unicamp Pa BD PEARSON sr ff e, CSS Sa São Paulo Brasil Argentina Colômbia Costa Rica Chile Espanha Guatemala México Peru Porto Rico Venezuela 2011 by Pearson Education do Brasil. 01999, 1989, 1981 by Prentice-Hall, Inc. Tradução autorizada a partir da edição original, em inglês, Introduction to Electrodynamics, 34 edition, publicada pela Pearson Education, Inc., sob o selo Prentice Hall. Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização, por escrito, da Pearson Education do Brasil. Diretor editorial: Roger Trimer Gerente editorial: Sabrina Cairo Supervisor de produção editorial: Marcelo Françozo Editora plena: Thelma Babaoka Editora de texto: Sabrina Levensteinas Revisão: Geisa Oliveira Capa: Alexandre Mieda Composição e diagramação em ISTEX: Figurativa Editorial Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Griffiths, David J. Eletrodinâmica / David J. Griffiths; tradução Heloisa Coimbra de Souza; revisão técnica Antonio Manoel Mansanares, — 3, ed, — São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2011. Título original: Introduction to electrodynamics. ISBN 978-85-7605-886-1 1. Eletrodinâmica 1. Título. 10-1 1464 CDD-530 Índices para catálogo sistemático: 1. Eletrodinâmica : Física 530 2010 Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à Pearson Education do Brasil Ltda., uma empresa do grupo Pearson Education Rua Nelson Francisco, 26 — Limão CEP: 02712-100 — São Paulo — SP, Brasil Tel.: (11) 2178-8686 Fax: (11) 2178-8688 e-mail: vendas € pearson.com Sumário Prefácio Mensagem 1 Análise vetorial 1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2 Eletrostática 2.1 Álgebra vetorial. . cc cccccccl 1.1.) Operações com Vetores! a a ques poena go ia Co URSS PEER O SERA BRSCER DS RERUM SERASA DR Ea a eat 1.1.2 Álgebra vetorial: na forma de componentes . .Lcccccccici Ei3: Produtos triplos ssa a cs qusss sraso GEO ME O ES O RISE GROSSOS RE O DUM O A E 1.1.4 Vetores posição, deslocamento e separação ...ccccccccicitcanena aaa 1.1.5 Como vetores transformam-se ....cccccccccccrcee e a e e Cálculo difetencial | us soa pos o a SE ÉS E UE E RD BURT ED RE TT E E2: Derivadas ordinárias: ua so geo pos do RUA DE MIANT EDASO 4 BUGEA GUASIO CR JMEUE BS E A E aan à ES MGramIEnTe aus test MMS DO pre a EU MO MGUStiS] efa Dri REG api DREAM EAR SU DE pç 23 operador. meo SL mo SO do ala IRA O SONS RL DM RA ato a A DD A RT [did O divergente, & ass vos o ga A SA OR SRA O REST RO E DES RR E A O À Es O TOtaSIOnAS ss ese acao 5 seia REUS/SO RE GSRCA EEGA DSO TO FEORSO PGUSIDO 6 RREO VENÇA O O io E 1.2.6 Regrasde produtos ....cccclcllccl a e a e a a a a LS -Segundas-derivadasms sus sa nos SON E e GEE ns De SEA SOU E ns E CAlGUIG:ntegrals: vs sos sua E E 0 mato MERAS O ER ES E UR RS ER IS GRE RÉ ES: “Integrais de linhafanperficic e volumes. sao quina era) deseo ME iG US Pt E a 1.3.2 Teorema fundamental do cálculo . ..cccccccccccc e a e [.3.3 Teorema fundamental para gradientes . . susana csisu ae rare sr ar vaio d 1.3.4. Teorema fundamental para divergentes: ; ras ces ss sede asa e la E E ea E Eraia Has “Teoremaundamental/DALA TOLACIONALS ss. ds esa imo mseso RSS CTSSTSR ESSE PAIS GENE O RA nO [3 6) Umtesração porparesso nano o Da (Coordenadas curvilineas sam cas Ts DEN PES ES EG EA RGE Fo EVO PGS TES una 14 (Coordenadas polares esféricas aos pus o as esa VINTE RO EIS O A EDS VE É 14.2 Coordenadas cilíndricas ...ccccclcll e a e a a Actunçao delta de Pipas o RU oa Ro pq pa E SR RO jo ES E5:1 Odivergentedet/r? sus nas sas RS E ESESO SE DOES A DO DURA GU A O E É E32: A função delta de Diras unidimensional cs «a sua DECESia DE URCA SAR JO SER MS DS E O EEE 1.5.3 A função delta tridimensional, cc cccscrcccsceserees erra er e eee Asteortados:campos-velotlals:: 3 = = ds gen Essas Ras Usos SC aC IS E nas 4 Hi6:1 O teoremade Helmholtz: us suas gue mesas ras TN A USOS O PRO ECT A O EMO EOD, POIENCIAIS que a masa quramo po iai EMEA 8 ENG ER ORI CS LS ME DER] SGBD CENRIE EIS RS ORO TOO CR 6 Ocampo cético: . os min no emo no niimoa MESA 5 isa UE GUNSICO OASIS JRO MESA RENAS UR UR ANIS O O ENUR ll Introdução a nao os E do E DD O OB O RO E ES DS O E Es Rd LercetQuiomb: ss a us] esses auge E RR EO O ES POR O AGR ARES RN DRE Pla CO CAMPO CIEMCO: .ssm voe do qasico piaãr AO WEZ AO STAICA PROCEDE NGC (6 IES MA O GA 2.14 Distribuições contínuas decarga ... ...ccccccscs ea aaa a ea a aee a a e aaa xi xiii O 00 O tn fd ai ai qui 36 38 38 38 42 42 viii | Eletrodinâmica 7.3.4 Cargamagnética ....ccccccll e e ea a aaa a a a a 227 7.35 Equações de Maxwell namatéria ... oc. este a alaio meia a ainda ani a era mia a 228 30 dcondiçõesde-Contomo: su immis susa S saã VGA NES QUERO SR UA Sra E FE RR E | 230 8 Leis de conservação 239 81 Carga eeneroiã sem mma ala O EENO Vi O RR SR E EIN DO A E A E TS RSI 239 8.1.) Equação de continúidade.. . quo sussa & coa gmess os ao E ESSE E GA E MEO usa 7) RA RC 239 8.1.2 Teoremade Poynting ...ccccccccs e e a a 239 DE Momento 2 a E NR Re RO O SR O 242 8.2.1 Terceira lei de Newton na eletrodinâmica ...cccicccccicccicciccararcrraaaa 242 8:2.2 “Ténsor das tensõeside Maxwell a. uses 2 imeçs nous o ga e dm E SE GUESS VA E a o 243 Ria Conservação dO MOMENTO. ua quero je essi gas END GESSO SO EIS O SO EG RD SS 246 8.2.4 Momento angular. ..cccccccc e e e a aa a a a 248 9 Ondas eletromagnéticas 253 SER ONdAS CULULIA CU NSAO a RR e a oO O e RS O 253 QT Acequação-de ondáss «qui po ses rama nous SEN O E E VT GPIA O PENTE ALTO BN SEE 253 Wl2 Ondas SengidalS «ms sus é quusa pasa o dad SUBESS MM UA NO EEE ESA O GSE O EE SR 6 E 255 9.1.3 Condições de contorno: reflexão e transmissão ....ccccccccccccic 257 Wld (Polarização... comes = usem essor neta O GSe SE RECUNIA MS RH UR SEGUIR E EMO Cj SMS EMRS RO nda a RSRS 260 92 Ondas eleiromagnélicas no vácuo & dude ss Na dE di PU E RD MG E radar id 261 921 «A equação de onda para Ee Bus 2 css gs va ssa E A E ans ao Tv GS E 261 922 Ondas planas monocromáticas: «= um geo ams Doda E EMOS BOSE E Minde EUSTA E RSS RR E 262 9.2.3 Energia ce momento em ondas eletromagnéticas . . ic cccccccccccree aaa A 265 9.3 Ondas eletromagnéticas na matéria . . . ..ccccccllc ea e ea a a ae 266 93:1 Propagaçãoemmeio linear: = vas soy pa RS ECOS CUL EDS NEL CIA Da 266 9.3.2 Reflexão e transmissão para incidência normal ..icccccccciiciciccc a 267 9.3.3 Reflexão e transmissão para incidência oblíqua ...ccccccciciccsaccraca sara 269 OM AbSDEÇÃO E MISPersãO ama e emo mo usado ajrige TO ESAINRO SANTO ML USER GS ER ÍA OR A 273 9.4.1] Ondas eletromagnéticas em condutores ....lccccccllcls a ee a a a 273 Q4a Reflexão emuma:superiiciecondatóra. . su gua va sa ova ponto Galp dq UNA 4 276 9.4.3 A dependência da permissividade com a frequência . . cc ccscccccsacariccaress 271 95 Ondasiouiadas.. .. mu saio o Eus a CSS SEona E ERR ARES VS SERRO ES O TS RS SSD 2 SU AGO E E 282 9.5.1 Guiasdeondas ...cccccsccc e e E a 282 9.5.2 Ondas TE em um guia de onda retangular, cccscciccrcicrcrcararacsrrariãa 284 Gia Ashnhadetrantmissao coaxial sus 2 ass SD DAS RAS E GA INE ROS BR DR Ed 286 10 Potenciais e campos 290 16: Astorinulação do potencial! a a o sus asa aa SEREM ES AS E RE STE RS E 290 EQ:1.L “Polênciais Escalãr e vetorial says spas o usamos sgaim a) Si O PES TES E EEE ECGNUACDE SpISICA Japa O É 290 10.1.2 Transformações de calibre . .icccccccccccica ea e e e e e a 292 [0/13 “Calibrede Coulombe-calibre de Lorentz sas qa Nas di Ma É Rise CSN RSS O ERR di 293 LO istibtições CONUNUAS xr =) js soa as] SO ENSEADA RE RD O RS SA E 294 [0:2:1 “Potenciais Tetardados am = ups suas Mo pano ERAS E ES (E RSS E ASR NONO MS 5 REU ea O E 294 10.2.2 Equações de Jefimenko . ...cllcllllcc e a a e a e e 298 LOS EGarcas:PONtUaIS ND RD DO e E 29% 10.3;1 'Potenciais:de Liênard-Wiechert: gaia sueca sai nos sm Eh E E VD E dA ONGS 299 10.3.2 Os campos de uma carga pontualem movimento ...ccccccccccccicccr 303 11 Radiação 309 1]:1 Radiação dijpólart ses cumes o em o san musa EE RES TE TA 1 ES E RG A E O A 309 LILA CO queeradiaçãO e sos mo sgros GrSES E ageszie CESSA HD FR IS SEGA SE O ORA MENS 2 SSSSTE ESiNGO IO 309 11,1,2 Radiação de dipolo elétrico. .. «je acess o mens mumit O NOM A PErACA 66 EA A RSRS SRA O AO A 310 11.1;3 Radiação de dipolo magnéticos. «sa suas von aos vor a do E Ras os cas Es Ci 314 LEA “Radiação de uma Tonte arbitrária: sao o ss soar O ES ESSO E ES E ODAS ERES SSD US 317 11.2: Caras POntuals os asass os dus o META REM (6 SEaIGA HOGOSO MO NO E E ESSO DISC END] DES atas SIA TS 6 320 11.2.1 Potência radiada por uma carga pontual . Lc ccccccsscss ee ee ea a 320 Sumário 11.2.2 Reação deradiação ..ccccclclccc a a a e 11.2.3 Fundamentos físicos da reação de radiação ...lcccccccccccc 12 Eletrodinâmica e relatividade [2:1 A teoria especial darelatividade 2 pas mus psd pass ea DOR EO O ENO qua E os É 12:11 Póstulados de BLoSIeIM! «ae a pmerso amena qo ga 5 ESGO MEDO 5 ESSE SEA O OA CE REAIS GEO 6) O É 12.1.2 A geometria da relatividade .ccccccccccccc a e e a 1413: Astransiormações:de Lorentz: == q mese Da E LAO A ES DR E D RO SEE 12.1,4,-Acestrutura do-espaço-tempo: . suas usas mo uis o maSà FOGUETES SD DS E E 2-Mecânica felativistica:. & azess o as ago SAGUSS AS 12) EMMA GIP) MSI EEN EO GRC ANE SO SERVOS RSS E 12.2.1 Tempo próprio e velocidade própria . ...ccccccccll e e a a 122.2: Energiae-momentorelativísfico == us sus E ass UE UNA CEE NDA ZAC UNE 12:23 Cinemática relativiStica a qua qo umas amami do es o sas A O EA ROD LN SR O A O SS 4 12:2:4.- Dinâmica relativíStICa qe qo qurense prensa cai pjgo 18 ACONGIO RUTUERO 50 HENDERSON RÍGICISO O E TOUR GE HAS Elerrod inamCareiatMásticas o. eg o Emo foto Red pat ao DES en a A Rea A mea E ia 12.3.1 O magnetismo como fenômeno relativístico . . . .Licccccciciccccicciacrras [23:2 Como os campos se transformam. usa ses cs usa eaDa 8 EDESA MENTE O RUMO ECRIDO O SO [23:30 tênsor de CAMPO a aumenta mueSA CONES E ESREM ONGS UR EDS BSNCE UE NÍGECA SRDE E MS A 12.3.4 Eletrodinâmica em notação tensorial . . ....lccllclllc e a ea a ea a aaa Eis Potenciais TelANVISLICOS = as as asa E e SR RAS RS RS DR ES AA Apêndice A Cálculo vetorial em coordenadas curvilíneas ATE IRILODUIÇÃO sumi ao ga a essiça ECUADOR AGR ED IRIA CASA O TE AUGE O SIC DESA O E O CINQUAÇÕO(, co muaia quo vara DUE] afins] Veto uia TAN Siza sol A RRGORR a IaiÃo DA SR RED NO a AO ngjaaç Da Mano penta Da uiico o] Seita Aa Sradiente oc Ra Si SS SS SENA SR ES DE E E PO DA DIVERDENTO uai E ms e RE NOS 4 Ea RSS OE O ESTA NS O ER DR EST DD O RS AE ROtACIONMA£ sms o ct quo assento go agE ME AM RARE SS JS SI SS RD TAS PRETO IDO PO O O A A.6 Laplaciano., ...ccccccclcc e a E a e a E Apêndice B O teorema de Helmholtz Apêndice € Unidades Indice remissivo ix 324 327 333 333 aa 337 344 348 353 353 355 356 360 364 364 366 373 374 377 381 381 381 381 382 384 386 387 389 392 PÁGINA EM BRANCO Mensagem O que é eletrodinâmica e como ela se encaixa no esquema geral da física? Os quatro campos da mecânica No diagrama abaixo esbocei os quatro grandes campos da mecânica: Mecânica clássica Mecânica quântica (Newton) (Bohr, Heisenberg, Schrôdinger et al.) Relatividade especial Teoria quântica de campo (Einstein) (Dirac, Pauli, Feynman, Schwinger et al.) A mecânica newtoniana foi considerada inadequada no início deste século — ela serve para o “dia a dia”, mas para objetos que se movem com altas velocidades (próximos à velocidade da luz) ela é incorreta c deve ser substituída pela relatividade especial (introduzida por Einstein em 1905): para objetos extremamente pequenos (aproximadamente do tamanho dos átomos) ela é falha por vários motivos, sendo substituída pela mecânica quântica (desenvolvida por Bohr, Schródinger, Heisenberg e muitos outros, principalmente na década de 1920). Para objetos que são ambos, muito rápidos e muito pequenos (como é comum na moderna física de partículas), requer-se uma mecânica que combine a relatividade e os princípios quânticos; essa mecânica quântica relativística é conhecida como a teoria quântica de campo — ela foi elaborada nas décadas de 1930 e 1940, mas até hoje não se pode dizer que seja um sistema completamente satisfatório. Neste livro, exceto pelo último capítulo, iremos trabalhar exclusivamente no domínio da mecânica clássica, embora a eletrodinâmica se estenda com simplicidade singular aos outros três campos. (De fato, a teoria é, na maioria dos aspectos, automaticamente consistente com a relatividade especial para a qual foi, historicamente, o principal estímulo.) Quatro tipos de força A mecânica nos diz como um sistema irá se comportar quando estiver sujeito a uma determinada força. Existem apenas quatro forças fundamentais conhecidas (atualmente) na física; vou listá-las pela ordem de intensidade decrescente: 1. Forte. 2. Eletromagnética. 3. Fraca. 4. Gravitacional. A brevidade desta lista pode surpreendê-lo. Onde está o atrito? Onde está a força “normal” que não nos deixa atravessar o chão? Onde estão as forças químicas que mantêm as moléculas unidas? Onde está a força de impacto entre duas bolas de bilhar que colidem? A resposta é que todas essas forças são eletromagnéticas. De fato, não é exagero dizer que vivemos em um mundo eletromagnético — pois praticamente todas as forças que sentimos no nosso dia a dia, com exceção da gravidade, têm origem eletromagnética. As forças fortes, que mantêm prótons e nêutrons unidos nos núcleos atômicos, têm um alcance extremamente curto e, portanto, não as “sentimos”, apesar do fato de serem cem vezes mais fortes do que as forças elétricas. As forças fracas, que respondem por certos tipos de decaimento radioativo, não só têm curto alcance, como são, antes de mais nada, muito mais fracas do que as eletromagnéticas. Quanto à gravidade, ela é tão desprezivelmente fraca (em comparação com as outras) que é somente em virtude das grandes concentrações de massa (como a da Terra e a do Sol) que podemos sequer percebê-la. A repulsão elétrica entre dois elétrons é 10%2 vezes maior que sua atração gravitacional, e se os átomos fossem mantidos juntos por forças gravitacionais (em vez de elétricas) um único átomo de hidrogênio seria muito maior do que o universo conhecido. xiv Eletrodinâmica Além de serem preponderantemente dominantes no dia a dia, as forças eletromagnéticas são as únicas totalmente com- preendidas. Existe, é claro, uma teoria clássica para a gravidade (a lei da gravitação universal de Newton) e outra que é rela- tivística (a teoria da relatividade geral de Einstein), mas nenhuma teoria de mecânica quântica satisfatória foi construída para a gravidade (embora muita gente esteja trabalhando nisso). Atualmente existe uma teoria muito bem-sucedida (embora ex- cessivamente complicada) para as interações fracas e uma candidata extraordinariamente atraente (chamada cromodinâmica) para as interações fortes. Todas essas teorias tiram sua inspiração da eletrodinâmica; nenhuma delas pode alegar verificação experimental conclusiva no estágio atual. Portanto, a eletrodinâmica, uma teoria maravilhosamente completa e bem-sucedida, tornou-se uma espécie de paradigma dos físicos: um modelo ideal com o qual as outras teorias lutam para rivalizar. As leis da eletrodinâmica clássica foram descobertas aos fragmentos por Franklin, Coulomb, Ampére. Faraday e outros. Mas a pessoa que completou a tarefa e empacotou tudo na forma compacta e consistente que ela tem hoje foi James Clerk Maxwell. A teoria, atualmente, tem pouco mais de cem anos. A unificação das teorias da física No início, eletricidade e magnetismo cram assuntos totalmente separados. A primeira lidava com hastes de vidro e pelo de gato, bolinhas de sabugueiro, baterias, correntes, eletrólise e relâmpagos; o outro, com barras magnéticas, limalha de ferro. agulhas de bússola e o Polo Norte. Mas em 1820, Oersted percebeu que uma corrente elétrica podia afetar a agulha magnética de uma bússola. Pouco tempo depois, Ampére corretamente postulou que todos os fenômenos magnéticos são decorrentes do movimento de cargas elétricas. E então, em 1831, Faraday descobriu que um magneto em movimento gera uma corrente elétrica. Quando Maxwell e Lorentz deram os toques finais à teoria, eletricidade e magnetismo já estavam indissoluvelmente entrelaçados. Não poderiam mais ser considerados assuntos separados, mas sim, dois aspectos de um único assunto: eletromagnetismo. Faraday havia especulado que a luz também é de natureza elétrica. A teoria de Maxwell forneceu uma justificativa espeta- cular para essa hipótese, e logo a ótica — o estudo das lentes, espelhos, prismas, interferência e difração — foi incorporada ao eletromagnetismo. Hertz, que apresentou a confirmação experimental decisiva da teoria de Maxwell em 1888, colocou desta forma: “A ligação entre luz e eletricidade está agora estabelecida... Em cada chama, em cada partícula luminosa, vemos um processo elétrico... Assim, os domínios da eletricidade se estendem por toda a natureza. Ela inclusive nos afeta intimamente: percebemos que temos... um órgão elétrico — o olho” Portanto, em 1900, três grandes ramificações da física (eletricidade, magnetismo e ótica) haviam-se amalgamado em uma teoria unificada. (E logo ficou claro que a luz visível representava ape- nas uma minúscula “janela” no vasto espectro da radiação eletromagnética, do rádio às micro-ondas, ondas infravermelhas e ultravioletas, raios x e raios gama.) Einstein sonhava com uma unificação ainda maior que combinaria gravidade e eletrodinâmica, praticamente da mesma forma que a eletricidade e o magnetismo haviam-se combinado um século antes. Sua teoria do campo unificado não foi particularmente bem-sucedida, mas na atualidade o mesmo impulso vem gerando uma hierarquia de esquemas de unificação cada vez mais ambiciosos (e especulativos). Começou na década de 1960 com a teoria eletrofraca de Glashow, Weinberg e Salam (que une as forças fraca e eletromagnética), e culminou na década de 1980 com a teoria das supercordas (que, segundo seus proponentes, incorpora as quatro forças em uma única “teoria de tudo"). A cada passo, nessa hierarquia, as dificuldades matemáticas crescem e o hiato entre conjectura inspirada e testes experimentais aumenta. Mesmo assim, está claro que a unificação de forças iniciada pela eletrodinâmica tornou-se um dos grandes temas no avanço da física. A formulação de campo da eletrodinâmica O problema fundamental que uma teoria eletromagnética espera resolver é o seguinte: se eu segurar uma porção de cargas elétricas aqui (e talvez as chacoalhe um pouco) — o que vai acontecer com as outras cargas elétricas, que estão ali? A solução clássica toma a forma de uma teoria de campo: dizemos que o espaço em torno de uma carga elétrica é permeado por campos elétricos e magnéticos (o *odor' eletromagnético, por assim dizer, da carga). Uma segunda carga, na presença desses campos, sente uma força; os campos, então, transmitem a influência de uma carga para outra — eles intermedeiam a interação. Quando uma carga sofre aceleração, uma parte do campo, em um certo sentido, se “separa” e parte à velocidade da luz, levando consigo energia, momento linear e momento angular. Isso é o que chamamos de radiação eletromagnética. Sua existência nos convida (se não nos obriga) a considerar os campos como entidades dinâmicas e independentes, por si mesmas, tão “reais” quanto os átomos ou as bolas de beisebol. Consequentemente, nosso interesse se desloca do estudo das forças entre as cargas para o da teoria dos próprios campos. Mas é preciso uma carga para produzir um campo eletromagnético e outra para detectá-lo. Portanto, é melhor começarmos revendo as propriedades essenciais das cargas elétricas. Carga elétrica 1. As cargas existem em dois tipos, que chamamos de *positivas” e “negativas”, porque seus efeitos tendem a se cancelar (se você tiver +q € —q no mesmo ponto, eletricamente será como se ali não houvesse carga nenhuma). Isso pode parecer óbvio Mensagem Xv demais para merecer um comentário, mas quero encorajá-lo a contemplar outras possibilidades: e se houvesse 8 ou 10 tipos diferentes de cargas? (Na cromodinâmica, de fato, existem três quantidades análogas à carga elétrica, cada uma das quais pode ser positiva ou negativa.) Ou então, e se os dois tipos não tendessem a se cancelar? O fato extraordinário é que essas cargas positivas e negativas ocorrem em quantidades exatamente iguais, em um grau de precisão fantástico, na matéria condensada, de forma que seus efeitos se tornam praticamente neutralizados. Se não fosse por isso, estaríamos sujeitos a forças imensas: uma batata explodiria se esse cancelamento tivesse uma imperfeição tão mínima quanto uma parte em 101º, 2. A carga é conservada: ela não pode ser criada ou destruída — o que existe hoje sempre existiu. (Uma carga positiva pode “aniquilar” uma carga negativa equivalente, mas uma carga positiva não pode, simplesmente, desaparecer por si só — alguna coisa deve dar conta dessa carga elétrica.) Portanto, a carga total do universo está fixada para todo o sempre. Essa é a chamada conservação global de carga. Na realidade, posso fazer uma afirmação de um peso ainda maior: a conservação global permite que uma carga desapareça em Nova York e reapareça imediatamente em São Francisco (isso não afetaria o total), mas sabemos que isso não acontece. Se a carga estivesse em Nova York e fosse a São Francisco, teria de ter atravessado algum trajeto contínuo de um lugar à outro. Isso se chama conservação local da carga. Mais tarde veremos como formular uma lei matemática precisa que expressa a conservação local de carga — chama-se equação de continuidade. 3. A carga é quantizada. Embora nada na eletrodinâmica clássica exija que seja assim, o fato é que as cargas elétricas só vêm em blocos discretos — múltiplos inteiros da unidade básica de carga. Se chamarmos a carga do próton de +e, o elétron terá carga —e, o nêutron terá carga nula, os mésons +e, O e —e, o núcleo de carbono +Ge, e assim por diante (nunca 7,392e, ou mesmo 1/2e).! Essa unidade fundamental de carga é extremamente pequena de forma que, para os objetivos práticos, geralmente é melhor ignorar totalmente a quantização. A água, também, consiste, “realmente”, de blocos discretos (moléculas); no entanto, se estivermos lidando com quantidades razoavelmente grandes de água, podemos tratá-la como um fluido contínuo. Isso, de fato, se aproxima muito mais da visão do próprio Maxwell; ele não sabia nada sobre elétrons e prótons — deve ter imaginado a carga como uma espécie de 'geleia” que poderia ser dividida em porções de qualquer tamanho e espalhada à vontade. Essas, portanto, são as propriedades básicas das cargas. Antes de discutirmos as forças entre as cargas, algumas ferramen- tas matemáticas são necessárias; vamos nos ocupar da sua introdução no Capítulo 1. Unidades O tópico da eletrodinâmica é atormentado por sistemas de unidades concorrentes entre si e que às vezes tornam difícil para os físicos comunicarem-se entre si, O problema é muito pior do que na mecânica, em que os Neandertais ainda falam em libras e pés; pois, pelo menos na mecânica, todas as equações têm a mesma aparência, seja qual for a unidade usada na medição das grandezas. A segunda lei de Newton continua sendo F = ma, seja em pés-libras-segundos, quilogramas-metros-segundos ou o que for. Mas não é assim no eletromagnetismo, onde a lei de Coulomb pode aparecer de formas variadas como qa à NG. Lango =» (Gaussiano), ou 2 2(SD, ou — > 22 ( ) Areg 4? tan dx 2? (HL). Dos sistemas normalmente usados. os mais populares são o Gaussiano (cgs) e o SI (mks). Teóricos das partículas elemen- tares são favoráveis a um terceiro sistema: Heaviside-Lorentz. Embora as unidades gaussianas ofereçam nítidas vantagens tcóricas, a maioria dos professores de faculdade prefere o sistema SI, suponho que seja por ele incorporar as unidades conhe- cidas do dia a dia (volts, ampéres e watts). Neste livro, portanto, usei as unidades SI. No apêndice C há um “dicionário” para a conversão dos principais resultados em unidades gaussianas. 1. Narealidade, prótons e nêutrons são compostos de três quarks, que carregam cargas fracionárias (+ ê ge + e). No entanto, quarks livres aparentemente não existem na natureza e, de qualquer forma, isso não altera o fato de que a carga é quantizada; apenas reduz o tamanho da unidade básica. 2 — Eletrodinâmica (ii) Multiplicação por um escalar. A multiplicação de um vetor por um escalar positivo a multiplica a magnitude, mas deixa a direção inalterada (Figura 1.5). (Se a for negativo, o sentido é invertido.) A multiplicação por um escalar é distributiva: a(A+B) =aA +aB. (111) Produto interno ou produto escalar de dois vetores. O produto interno de dois vetores é definido por A-.B= ABcosô, (1.1) onde 8 é o ângulo que eles formam quando colocados cauda a cauda (Figura 1.6). Note que A - B é em si um escalar (daí o nome alternativo de produto escalar). O produto interno é comutativo, A-B=B.A, e distributivo, A-(B+C)=A-B+A-C. (1.2) Geometricamente, A - B é o produto de À vezes a projeção de B ao longo de A (ou o produto de B vezes a projeção de A ao longo de B). Se os dois vetores forem paralelos, então A - B = AB. Em particular, para qualquer vetor A, AA = A? (1.3) Se A e B forem perpendiculares, então A -B = 0. -B A 2A A-B ( ) A A ó B Figura 1.4 Figura 1.5 Figura 1,6 Exemplo 1.1 Considere que C = A — B (Figura 1.7) e calcule o produto interno de C consigo mesmo. Solução: C-C=(A-B)(A-B)=A:A-A-B-B:A+B-B, ou , , , Cê = A?+ Bº-2ABcoso. Esta é a lei dos cossenos. Figura 1.7 (iv) Produto externo, ou produto vetorial, de dois vetores. O produto externo de dois vetores é definido por A x B= ABsenoh, (1.4) sa Capitulo 1 Análise vetorial 3 onde à é um vetor unitário (vetor de comprimento 1) apontando perpendicularmente para o plano de A e B. (O acento circunflexo (”) será usado para designar os vetores unitários.) É claro que há duas direções perpendiculares a qualquer plano: “entrando no plano” e “saindo do plano”. A ambiguidade se resolve com a regra da mão direita: aponte seus dedos na direção do primeiro vetor e vire-os (pelo menor ângulo) em direção ao segundo: seu polegar indicará a direção de à. (Na Figura 1.8, A x B aponta para dentro da página; B x A aponta para fora da página.) Observe que A x B é, em si, um vetor (daí o nome alternativo de produto vetorial). O produto vetorial é distributivo, Ax(B+C)=(AxB)+(AXxC), (1.5) mas não comutativo. De fato, (Bx A)=-(A x B). (1.6) Geometricamente, |A x B| é a área do paralelogramo gerado por À e B (Figura 1.8). Se dois vetores são paralelos, seu produto vetorial é O. Em particular, AxA=0 para qualquer vetor A. Figura 1.8 Problema 1.1 Usando as definições nas equações 1.1 e 1.4, bem como os diagramas apropriados, mostre que os produtos escalar e vetorial são distributivos, (a) quando os três vetores são coplanares; (b) no caso geral. Problema 1.2 O produto vetorial é associativo? (AxB)xCÊÉAXx(BxC). Em caso afirmativo, prove: se não, forneça um contraexemplo. 1.1.2 Álgebra vetorial: na forma de componentes Na seção anterior, foram definidas as quatro operações vetoriais (soma, multiplicação por um escalar, produto vetorial e produto escalar) de forma “abstrata”, ou seja, sem referência a qualquer sistema particular de coordenadas. Na prática, é frequentemente mais fácil montar coordenadas cartesianas x ,y, z e trabalhar com 'componentes” vetoriais. Considere que X, Y e Z são vetores unitários paralelos aos eixos x, 4 e z, respectivamente (Figura 1.9(a)). Um vetor arbitrário À pode ser expandido em termos desses vetores de base (Figura 1.9(b)): A=AR+AS+ Ad Os números A,;., A, e A, são chamados componentes de A; geometricamente, eles são as projeções de A ao longo dos três eixos de coordenadas. Podemos agora reformular cada uma das quatro operações vetoriais como uma regra para a manipulação dos componentes: A+B = (A R+ Ay +A,2)+(Bik+ Byy + B;ã) = (A+ B)%+ (A+ By + (A, + Bo). (1.7) 4 Eletrodinâmica Figura 1,9 (1) Regra: para somar vetores, some componentes semelhantes. aA = (0A,)X + (04,)y + (04,)2. (1.8) (11) Regra: para multiplicar por um escalar, multiplique cada componente. Como X, Y e Z são vetores unitários mutuamente perpendiculares, X-X=y-y=2-8=1, &-y=k-Z=y-:2=0, (1.9) Consequentemente, A-B = (AX+A,$9+ 4.2) -(BiX+ By + B.2) = AB;+A,By+ AB... (1.10) (iii) Regra: para calcular o produto escalar, multiplique componentes semelhantes e some. Em particular, A-A = A+ A+ A, A=,/AZ+ A+ AS. (1.11) (Esta é, por assim dizer, a generalização tridimensional do teorema de Pitágoras.) Observe que o produto escalar de A com qualquer vetor unitário é o componente de A ao longo daquela direção (portanto, AX = A,,Ã-Y = A,eA-Z=A,), Da mesma forma,! então Rcxe VXy = 2x2-), Exy=-PpxR = E, fjx2=-Exyp = &, âxk=-txã = y (1.12) Portanto, AxB = (AR+AS+HA2) x(BX+ By + B.2) = (4,B, -A.B,)x+ (A.B; — A, B.)y + (AB, — A,By)2. (1.13) Essa expressão de manejo difícil pode ser escrita de forma mais elegante como o determinante de uma matriz: xo o y & AxB=| A, A, A, |. (1.14) B:; By B: (iv) Regra: para calcular o produto vetorial, forme o determinante cuja primeira linha seja *, Y, 2, cuja segunda linha seja A (na forma de componentes) e cuja terceira linha seja B. 1, Esses sinais pertencem a um sistema de coordenadas eestrógiro (eixo x para fora da página, eixo 7 para a direita, eixo z para cima, ou qualquer combinação que mantém a sequência). Em um sistema levógiro (eixo z para baixo), os sinais seriam invertidos: X x Y = —Z € assim por diante. Usaremos exclusivamente sistemas destrógiros. Capitulo 1 Análise vetorial 7 Figura 1.13 é a distância a partir da origem € ms e A (1.21) To vVv+y+2 é um vetor unitário que aponta radialmente para fora. O vetor deslocamento infinitesimal, de (x,y. z) a (z+dx,y+dy,z+ dz), é dl= dx + dyy + dzz. (1.22) (Poderíamos chamá-lo de dr, já que é isto que o vetor infinitesimal é, mas é útil reservar uma letra especial para desloca- mentos infinitesimais.) Em eletrodinâmica, frequentemente encontramos problemas que envolvem dois pontos — tipicamente um ponto fonte, x”, onde uma carga elétrica está localizada, e um ponto de observação, r, no qual se está calculando o campo elétrico ou magnético (Figura 1.14). Vale a pena adotar, desde o início, algum tipo de notação abreviada para o vetor separação entre o ponto fonte e o ponto de observação. Usaremos para esse fim a letra manuscrita 4: p=r-—r', (1.23) Sua magnitude é 2=[r—r', (1.24) e um vetor unitário na direção de r' ar é 2 r—r g="=—— (1.25) 2 |r=-r'| Em coordenadas cartesianas, a=(x-20%+ (y— y)S + (2 — 202, (1.26) 1=v(r-2P+(y-y)2+(2—2P, (1.27) — Ja — ar + (y— y) + (2 — 22 VE -0P+y-virG-27 (a partir do que você pode começar a apreciar a vantagem da notação »-manuscrito). + (1.28) ponto fonte ponto de observação Figura 1.14 Problema 1.7 Encontre o vetor separação 4, a partir do ponto fonte (2.8.7) até o ponto de observação (4.6.8). Determine sua magnitude (2) e construa o vetor unitário £. 8 Eletrodinâmica 1.1.5 Como vetores transformam-se A definição de um vetor como “uma quantidade com magnitude, direção e sentido” não é totalmente satisfatória. O que, precisamente, significa “direção e sentido'?? A questão pode parecer pedante, mas em breve encontraremos uma espécie de derivada que se parece com um vetor e então vamos querer saber com certeza se o é. Você pode se sentir tentado a dizer que um vetor é qualquer coisa com três componentes que se combinam adequadamente em uma soma. Bem, que tal isto; temos um barril de frutas que contém N, peras, N, maçãs e N, bananas. Será N = NX + N,y + N,2 um vetor? Tem três componentes e quando você soma outro barril com M, peras, M, maçãs e M, bananas, o resultado é (N, + M,.) peras, (Ny + My) maçãs, (N. + M.) bananas. Portanto, soma-se como um vetor. No entanto, obviamente não é um vetor, no sentido que a física dá à palavra, porque na realidade não tem uma direção. O que, exatamente, está errado aqui? A resposta é que N não se transforma apropriadamente quando você troca de coordenadas. O sistema de coordenadas que usamos para descrever as posições no espaço é, portanto, totalmente arbitrário. Mas existe uma lei específica de transformação geométrica para converter as componentes de um vetor de um sistema para outro. Suponha, por exemplo, que o sistema Z, 77, Z sofra uma rotação de um ângulo 8, em relação a «x,y. 2, em torno dos eixos comuns x = T. A partir da Figura 1.15, A, = Acosô, A, = Asend, enquanto po [im Il Acos8 = Acos(8 — &) = A(cos 8 cos é + sen 8 sen é) = cosgA, +sengÃ,, A. = Asenf= Asen(0-d)= A(sen 8 cos q — cosf sen À) = —sendA, +cosdA,. Podemos expressar esse resultado em notação matricial: (4) -( cos& ma (1.29) As — send cosQ A, Em sentido mais amplo, para uma rotação em torno de um eixo arbitrário em três dimensões, a lei de transformação assume a forma Rãs Rey Bis Ap Rar Ryo Rs As |; (1.30) Ba ey) Br) NA, [joio IH "a ou, de forma mais compacta, 3 A; = > Rigs, (1.31) j=l onde o índice 1 representa x, 2 representa y e 3 representa z. Para uma rotação dada, os elementos da matriz K podem ser encontrados pelo mesmo tipo de argumentos geométricos que usamos para a rotação em torno do eixo 7. Agora, os componentes de N transformam-se assim? É claro que não. Não importa quais as coordenadas usadas para representar as posições no espaço, haverá o mesmo número de maçãs no barril. Não se pode converter uma pera em uma banana escolhendo um conjunto diferente de eixos, mas pode-se, sim, transformar A, em A,. Portanto, formalmente, um vetor é qualquer conjunto de três componentes que se transforma da mesma maneira que um deslocamento, quando se mudam as coordenadas. Como sempre, o deslocamento é o modelo para o comportamento de todos os vetores. Figura 1.15 2. Esta seção pode ser pulada sem perda de continuidade. Capitulo 1 Análise vetorial 9 Aliás, um tensor (de segunda ordem) é uma quantidade com nove componentes, Lew, Dry Pozo Dyaos eos Ts. que se transforma com dois fatores de R: Ta — Rec(Res Tex + Ray taoy E PaesDez) +Rey(Rac ya + Rey Tyy + Ross T ye) +Rai(RasT ar E Rey] E 1; RezT.:), rama ou, de forma mais compacta, 3 E Tg =>,), RwRaTa: (1.32) f=1 [=1 Em geral, um tensor de n-ésima ordem tem n índices e 3” componentes, e se transforma com n fatores de R. Nessa hierarquia, um vetor é um tensor de ordem 1, e um escalar é um tensor de ordem zero. Problema 1.8 (a) Prove que a matriz de rotação bidimensional (1.29) preserva produtos escalares. (Ou seja, mostre que AB + AB, = AB, + A.B..) (bj Que restrições os elementos (R;;) da matriz de rotação tridimensional (1.30) devem satisfazer a fim de preservar o comprimento de A (para todos os vetores A)? Problema 1.9 Encontre a matriz de transformação R que descreve uma rotação de 120º em torno de um eixo que passa pela origem e pelo ponto (1,1,1). A rotação é no sentido horário quando se olha ao longo do eixo em direção à origem. Problema 1.10 (a) Como os componentes de um vetor se transformam sob uma translação de coordenadas (T =x, j=y-—a, Z=&, Figura l.l6a)? (b) Como os componentes de um vetor se transformam sob uma inversão de coordenadas (7 = —x,7 = —y.Z = —z, Figura 1.16b)? (c) Como o produto vetorial (1.13) de dois vetores se transforma sob inversão? [O produto vetorial de dois vetores é chamado de pseudovetor, devido a este comportamento “anômalo"], O produto vetorial de dois pseudovetores é um vetor ou um pseudovetor? Identifique duas grandezas pseudovetoriais na mecânica clássica. (d) Como o produto escalar triplo de três vetores se transforma sob inversões? (Tal objeto é chamado de pseudoescalar.) Figura 1.16 1.2 Cálculo diferencial 1.2.1 Derivadas “ordinárias” Pergunta: suponha que temos uma função de uma variável: f(x). Em que a derivada df /dx nos auxilia? Resposta: ela nos diz com que rapidez a função f(x) varia quando mudamos o argumento x por uma quantidade minúscula, dz: d, df = (=) da. (1.33) da Em palavras: se alterarmos x por uma quantidade dz, então f será alterada pela quantidade df; a derivada é o fator de proporcionalidade. Por exemplo, na Figura 1.17(a), a função varia lentamente com x e a derivada também é pequena. Na Figura 1.17(b), f aumenta rapidamente com x e a derivada é grande, à medida que nos afastamos de x = 0. Interpretação geométrica: a derivada df (da é a inclinação do gráfico f versus x, 12 Eletrodinâmica 1.2.3 Ooperador V O gradiente tem a aparência formal de um vetor V, “multiplicando” um escalar T: MOO a OE À vr= (Ro tiiptig)T (1.38) (Para variar os vetores unitários foram escritos na esquerda, para que ninguém pense que isto significa 0X/dx e assim por diante — o que seria zero, já que X é constante.) O termo entre parênteses chama-se “operador del”: ; o õ =X— +Yj— +2—. | V Ram tos Hi (1.39) É claro que del não é um vetor, no sentido usual. De fato, ele não tem qualquer significado antes que forneçamos a ele uma função na qual atuar. Além disso, ele não *multiplica” 7, mais exatamente, ele é uma instrução para diferenciar o que se segue. Para sermos precisos, então, devemos dizer que VW é um operador vetorial que age sobre T, e não um vetor que multiplica 7. Com essa qualificação, contudo, V imita o comportamento de um vetor ordinário, praticamente de todas as formas; quase tudo o que pode ser feito com outros vetores pode ser feito com V, bastando apenas traduzirmos “multiplicar” por “agir sobre”. Portanto, leve, sem dúvida, a aparência de vetor de V a sério: ele é um exemplo maravilhoso de simplificação de notação, como você poderá ver se algum dia consultar o trabalho original de Maxwell sobre eletromagnetismo, escrito sem o recurso de V. Agora, um vetor comum À pode multiplicar de três formas: |. multiplicar um escalar a: Aa: 2. multiplicar outro vetor B, através do produto escalar: À - B; 3. multiplicar outro vetor através do produto vetorial: A x B. Analogamente, o operador V pode atuar de três maneiras: 1. em uma função escalar 7: VT (o gradiente): 2. em uma função vetorial v, através do produto escalar: VW - v (o divergente); 3. em uma função vetorial v, através do produto vetorial: W x v (o rotacional). Já discutimos o gradiente. Nas próximas seções examinaremos as duas outras derivadas vetoriais: divergente e rotacional, 1.24 O divergente A partir da definição de V construímos o divergente: O 4 0 cu b e ' ; Vov = (rãs “dy 25.) (uk + uy) + v:2) oo Pi q pa (1.40) de Oy dO Observe que o divergente de uma função vetorial v é, em si, um escalar V «v. (Não se pode ter o divergente de um escalar: isso não faria sentido.) Interpretação geométrica: o nome divergente é bem escolhido, pois V-v é a medida de quanto o vetor v brota (diverge) do ponto em questão. Por exemplo, a função vetorial da Figura 1.18a tem um grande diversente (positivo) (se as setas apontassem para dentro, seria um grande divergente negativo), a função da Figura 1.18b tem divergente nulo e a função na Figura 1.18c também tem divergente positivo. (Por favor, entenda que v, aqui, é uma finção — há um vetor diferente associado a cada ponto no espaço. Nos diagramas, portanto, só é possível desenhar as setas em alguns poucos locais representativos.) Imagine que você está à beira de um lago. Jogue um pouco de serragem ou agulhas de pinheiro sobre a superfície. Se o material se espalhar, então você o jogou em um ponto de divergente positivo; se ele se juntar, você o jogou em um ponto de divergente negativo. (A função vetorial v neste modelo é a velocidade da água — este é um exemplo bidimensional, mas ajuda a dar uma noção do que é o divergente. Um ponto de divergente positivo é uma fonte ou “torneira”; um ponto de divergente negativo é uma pia ou “ralo”.) sa Capítulo 1 Análise vetorial 13 lt RUTUITTEA Figura 1.18 NA AN NENE Et ti (a) (c) Exemplo 1.4 Suponha que as funções na Figura LI8 segam va =r=2X+yy+zZ vp=2eve = 28. Calcule seus divergentes. Solução: õ o ô Veva=>—(1+=— =()=1+1+1=3. Va = Gale) + go(u)+ gole) =1+1+ Como previsto, esta função tem um divergente positivo, - 2 V.vi= 2510) + dy O = » (0)+ 57(1)=0+0+0=0, como Se CSperava. ô à ô nes Core naguasa. V-v dal D+ gg! ) + sto) +0+ Problema 1.15 Calcule o divergente das seguintes funções vetoriais: (va +37 y — Zuz é. (blv, = zyk+2yzy + 3202. (Ove=y t+ (Cryt 2) Qyzã Problema 1.16 Esboce a função vetorial E =8 e calcule seu divergente. A resposta poderá surpreendê-lo... Você pode explicá-la? Problema 1.17 Mostre que, em duas dimensões, o divergente se transforma como um escalar sob rotações. [Dica: use a Equação 1.29 para determinar v, e T-. e o método do Problema 1.14 para calcular as derivadas. Seu objetivo é mostrar que d7,/0y + dt. [OZ = dv, /Oy + du. [02] 1.2.5 O rotacional A partir da definição de V, construímos o rotacional: * y Z Vxv = d/dx O/dy d/dz Va Vy Us [dv Ou, (dv. Ov. «[Ov, Ovy = - E me |] tam 1.41 a(5 se) +9 (o e) +a (Gi E) Eu Observe que o rotacional de uma função vetorial v, como qualquer produto vetorial, é um vetor. (Não se pode ter o rotacional de um escalar; isso não faria sentido.) 14 Eletrodinâmica Interpretação geométrica: o nome rotacional também foi bem escolhido, pois V x w é uma medida de quanto o vetor v “gira em torno” do ponto em questão. Portanto, as três funções da Figura 1.18 têm rotacional nulo (como você mesmo pode verificar), enquanto as funções da Figura 1.19 têm rotacionais consideráveis, apontando na direção z, como naturalmente sugere a regra da mão direita, Imagine, novamente, que você está à beira de um lago. Coloque uma pequena roda de pás na superfície (pode ser uma rolha com palitos espetados radialmente). Se ela começar a girar, então você a colocou em um ponto de rotacional não nulo. Um redemoinho seria uma região com um grande rotacional. + .— - —-— = Y = (b) x Figura 1.19 Exemplo 1.5 Suponha que a função desenhada na Figura 1.194 seja va = —yk + xy, e que à da Figura 1,19b seja vs = wy. Calcule seus rotacionais. Solução: X y ã Vxva=| 0/0x 9/0y 09/02 |=22, —u £ 0 e x y ê Vxv=| d/de 0/dy djdz |=ê. 0 2 0 Como esperado, esses rotacionais apontam na direção +z. (Aliás, ambos têm divergente nulo, como você pode deduzir a partir das imagens: nada está “brotando”, apenas “girando”.) Problema 1.18 Calcule os rotacionais das funções vetoriais do Problema 1.15. Problema 1.19 Construa uma função vetorial que tenha divergente nulo e funcionar, é claro, mas faça algo um pouco mais interessante que isso!) rotacional nulo em todos os pontos. (Uma constante irá 1.2.6 Regras de produtos O cálculo das derivadas ordinárias é facilitado por uma série de regras gerais, tais como a regra de soma: —(f +9) = a regra para multiplicação por uma constante: a regra do produto: < (pf)= da E É 9) = df q:89 de” de a “da r dg df da "a rs Capítulo 1 Análise vetorial 17 Este é um fato importante que iremos usar repetidamente; ele pode ser facilmente provado a partir da definição de YV, Equação 1.39, Cuidado: você pode pensar que a Equação 1.44 é “obviamente” verdadeira — ela não é apenas (VW x V)T e também não é o produto vetorial de qualquer vetor (neste caso. W) consigo mesmo sempre nulo? Este raciocínio É sugestivo, mas não totalmente conclusivo, já que V é um operador e não se “multiplica” da forma usual. A prova da Equação 1.44, de fato, se apoia na igualdade das derivadas cruzadas: o (ar é HOT dz (| o (o) | Gta Se você acha isso detalhista, Leste sua intuição com este caso: (VP) x (VS). Esse resultado é sempre zero? (Seria, é claro, se você substituísse os W por um vetor ordinário.) (3) VÍV -v) por alguma razão raramente ocorre em aplicações físicas e não tem qualquer nome especial — é apenas o gradiente do divergente. Observe que V(V :v) não é o mesmo que o laplaciano de um vetor: V2v = (V.V)v £ V(V ev). (4) O divergente de um rotacional, como o rotacional de um gradiente, é sempre nulo: V(Vxv)=o. (1.46) Você pode comprovar isso por si mesmo. (Novamente, existe um atalho fraudulento para essa prova, usando a identidade vetorial A -(B x C)=(AxB)-C.) (5) Como você pode verificar a partir da definição de V: Vx(Vxv)=V(V.v)- Viv. (1.47) Portanto, o rotacional do rotacional não traz nada de novo: o primeiro termo é apenas o caso (3) e o segundo é o laplaciano (de um vetor). (De fato, a Equação 1.47 é frequentemente usada para definir o laplaciano de um vetor, preferencialmente à Equação 1.43, que faz referência específica às coordenadas cartesianas.) Então, na realidade, existem apenas dois tipos de segundas derivadas: o laplaciano (que é de importância fundamental) e o gradiente do divergente (que raramente encontramos). Poderíamos passar por um ritual semelhante para calcular as derivadas terceiras, mas felizmente as segundas derivadas são suficientes para praticamente todas as aplicações físicas. Uma palavra final sobre o cálculo diferencial vetorial: tudo Mui a partir do operador V e de se levar a sério sua característica de vetor. Mesmo que você se lembre apenas da definição de V, deve ser capaz, em princípio, de reconstruir todo o resto. Problema 1.25 Calcule o laplaciano das seguintes funções: (Mlh=2+22y+32+4. (b) fi = senxseny sen z. (0) Te = e *Z sen Aycos3z. (d)v=v&+ 3u7º fp — uz 2. Problema 1.26 Prove que o divergente de um rotacional é sempre zero. Verifique para a função va no Problema 1.15. Problema 1.27 Prove que o rotacional de um gradiente é sempre zero. Verifique para a função (b) no Problema 1.11. 1.3 Cálculo integral 1.3.1 Integrais de linha, superfície e volume Em eletrodinâmica, encontramos vários tipos de integrais, entre as quais as mais importantes são as integrais de linha (ou de caminho), as integrais de superfície (ou fluxo) e as integrais de volume, (1) Integrais de linha. Uma integral de linha é uma expressão da forma b [ dl, (1.48) Jal 18 Eletrodinâmica onde y é uma função vetorial, dl é o vetor deslocamento infinitesimal (Equação 1.22) e a integração deve ser feita ao longo de um caminho definido €, entre o ponto a e o ponto b (Figura 1.20). Se o caminho em questão é fechado (ou seja, se b = a), deve-se colocar um círculo no sinal de integral: fy «dl, (1.49) A cada ponto do caminho, fazemos o produto escalar de v (tomado naquele ponto) com o deslocamento dl até o próximo ponto do caminho. Para um físico, o exemplo mais familiar de uma integral de linha é o trabalho feito por uma força F: W=[F.dl. Via de regra, o valor de uma integral de linha depende criticamente do caminho particular para ir de a a b, mas existe uma classe especial de funções vetoriais para as quais a integral de linha é independente do caminho e é totalmente determinada pelos pontos extremos. Será nossa tarefa caracterizar, no momento oportuno, esse tipo especial de vetor. (Uma força que tem essa propriedade é chamada de força conservativa.) Figura 1.20 Exemplo 1.6 Calcule a integral de linha da função v = 3º + 2x(y + 1) $ do ponto a = (1,1,0) ao ponto b = (2,2,0), ao longo dos caminhos (1) e (2) da Figura 1.21. Qual é à fv “dl para o caminho fechado que vai de a a b ao longo de (1) e volta a a ao longo de (2)? Solução: como sempre, dl = dr% + dyy + dz2. O caminho (1) consiste em duas partes. Ao longo do segmento “horizontal” dy = dz = 0, portanto (Ddl=drk y=1, vd=yide= dz, então ['v - dl = Jó de = | No trecho “vertical” de = dz = 0, portanto (iD)dl= dyg.v=2, vo dl= 2e(y + dy = 4y+ 1) dy, então fra-a [u+a=10. 1 b / vedl=1+10=11. a Enquanto isso, no caminho (2) 2 = y, de = dye dz = 0, portanto Pelo caminho (1), então, d=dk+dyy, vd=r des de(x + D de= (37º + 20) de, Figura 1.21 Capítulo 1 Análise vetorial 19 então L E É v-dl= / (37? + 27) da = (x? + 2); = 10. a 1 (A estratégia aqui é colocar tudo em termos de uma variável; eu poderia também ter eliminado x e deixado em função de y.) Para o caminho fechado que parte através de (1) e volta através de (2), então. fvea=n-10=1. (11) Integrais de superfície. Uma integral de superfície é uma expressão da forma | v-da, (1.50) Ss onde v é novamente alguma função vetorial e da é um trecho infinitesimal da área, com direção perpendicular à superfície (Figura 1.22). Existem, é claro, dois sentidos perpendiculares a qualquer superfície, portanto o sinal de uma integral de superfície é intrinsecamente ambíguo. Se a superfície é fechada (formando um “balão”), caso em que também devo colocar um círculo no sinal de integral f v-da, então, dita a tradição que “para fora” é positivo, mas no caso das superfícies abertas, é arbitrário. Se v descreve o fluxo de um fluido (massa por unidade de área e por unidade de tempo), então ['v - da representa a massa total por unidade de tempo passando pela superfície — daí o nome alternativo de “fluxo”. Normalmente, o valor de uma integral de superfície depende da superfície específica escolhida, mas há uma classe especial de funções vetoriais para a qual ele é independente da superfície e é totalmente determinado pela linha que delimita aquela superfície. Logo estaremos em condições de caracterizar essa classe especial. Figura 1.22 Exemplo 1.7 Calcule a integral de superfície de v = 2zz%+ (242) $ + y(2? — 3) & sobre cinco lados (excetuando o fundo) da caixa cúbica (de lado igual a 2) da Figura 1.23. Considere que “para cima e para fora” é a direção positiva, como indicam as setas. Solução: considerando um lado por vez; ()r=2, da=dydzX v: da = Zezdydz = 4zdydez, portanto 2 2 frcán=a [ au | zdz = 16. o 0 ()x=0, da= —dydzk v-da = —2xzdydz = 0, então fváa-o (iD)y=2, da=dedy,v-da= (x + 2)dedz, então 2 2 fvcda= [esndo [ ae-a q Rd] 22 Eletrodinâmica 1.3.3 Teorema fundamental para gradientes Suponha que temos uma função escalar com três variáveis P(z,y. 2). Começando no ponto a, nos movemos a uma pequena distância dl, (Figura 1.26). Segundo a Equação 1.37, a função T' será alterada por uma quantidade dT = (VT) dl. Agora avançamos um pouco mais, com um pequeno deslocamento adicional dlo; o incremento em 7 será (VT) - dlp. Dessa forma, avançando em passos infinitesimais, fazemos a jornada até o ponto b. A cada passo caleulamos o gradiente de T (naquele ponto) e fazemos a multiplicação escalar com o deslocamento dl..., o que nos dá a variação de 7. Evidentemente, a alteração total de T no trajeto de a a b «o longo do caminho escolhido é b / (VT) dl=T(b)-T(a). ê (1.55) Este é o chamado teorema fundamental para gradientes; como o teorema fundamental “ordinário”, ele diz que a integral (no caso uma integral de linha) de uma derivada (no caso o gradiente) é dada pelo valor da função nos extremos (a e b). Interpretação geométrica: suponha que você queira determinar a altura da Torre Eiffel. Você pode subir as escadas, usar uma régua para medir a altura de cada degrau e somar tudo (esse é o lado esquerdo da Equação 1.55). ou você pode colocar altímetros no topo e na base e fazer a diferença das duas leituras (esse é o lado direito). A resposta, de uma maneira ou de outra, deve ser a mesma (esse é o teorema fundamental). Aliás, como constatamos no Exemplo 1.6, as integrais de linha geralmente dependem do caminho tomado de a a b. Mas o lado direito da Equação 1.55 não faz qualquer referência ao caminho — somente aos pontos extremos. Evidentemente, os gradientes têm a propriedade especial de que suas integrais de linha são independentes do caminho: Corolário 1: VT) - dl é independente do caminho tomado de a a b. Corolário2: (VT)-dl= 0, já que os pontos de inicial e final são idênticos, e, portanto, T(b) — T(a) = 0, Figura 1.26 Exemplo 1.9 Seja 7 = xy”, tome o ponto a como a origem (0,0,0) e b como o ponto (2, 1,0). Verifique o teorema fundamental para gradientes. Solução: embora a integral seja independente do caminho, precisamos escolher um determinado caminho para poder calculá-la. Vamos partir ao longo do eixo x (passo (i)) e depois subir (passo (ii)) (Figura 1.27). Como sempre, dl = de& + dyy + dz2; VT = %+ 207. Dy=0; dl=de%, VI-dl=3 dz = 0, portanto VP-dl= 0. ti) (ju =2 d=dyy.o VT-dl= 2eydy= 4ydy, portanto 1 1 vra= | Ay dy = 24] =:2, (ii) o 9 Capítulo 1 Análise vetorial 23 Evidentemente, a integral de linha total é 2. Isto é consistente com o teorema fundamental? Sim: T(b) — P(a)=2-0=2. Agora, apenas para convencê-lo de que a resposta é independente do caminho, vamos calcular a mesma integral ao longo do caminho (Hi) (a linha reta entre a e b): (ii)y = ia, dy = ida, VT -d=; de+2eydy= àg? dx, portanto "a vr-a= [ 2º de= : (ii) o 4 E Figura 1.27 Problema 1.31 Verifique o teorema fundamental para gradientes, usando “P = x? + 4uy + 2y2), 08 pontos a = (0,0,0), b = (1,1,1) e os três caminhos da Figura 1.28: (a) (0,0,0) > (1.0,0) > (1,1,0) > (1,1,1); (b) (0,0,0) — (0,0,1) > (0,141) > (1,1,1); (c) o caminho parabólico z = a? y=. ta 5 (a) (b) Figura 1.28 1.3.4 Teorema fundamental para divergentes O teorema fundamental para divergentes diz que: fiv-var= fv-da v Ss (1.56) Em honra, creio eu, da sua grande importância, este teorema tem pelo menos três nomes especiais: teorema de Gauss, teorema de Green ou, simplesmente, teorema do divergente. Como os outros “teoremas fundamentais”, ele diz que a integral de uma derivada (no caso o divergente) sobre uma região (no caso um volume) é igual ao valor da função no contorno (neste caso a superfície que limita o volume). Observe que o termo relativo ao contorno é em si uma integral (especificamente, uma integral de superfície). Isso é razoável: o *contorno” de uma linha são apenas seus dois pontos extremos, mas o contorno de um volume é uma superficie (Techada). Interpretação geométrica: se v representa o fluxo de um fluido incompressível, então o fluxo de v (o lado direito da Equação 1.56) é a quantidade total de líquido que passa pela superfície por unidade de tempo. Agora, o divergente mede a “dispersão” dos vetores a partir de um ponto — um lugar de alto divergente é como uma “torneira” derramando líquido. Se 24 Eletrodinâmica tivermos muitas torneiras em uma região cheia de fluido incompressível, uma quantidade igual de líquido será forçada para fora dos contornos da região. De fato, há dias maneiras de determinar quanto está sendo produzido: (a) podemos contar todas as torneiras, registrando quanto sai de cada uma, ou (b) podemos percorrer o contorno medindo o fluxo em cada ponto e somar tudo. De uma maneira ou de outra, a resposta será a mesma: | tomas dentro do volume) = f útuxo que sai pela superfície). Isto, em essência, é o que diz o teorema do divergente. Exemplo 1.10 Verifique o teorema do divergente utilizando a função v=y &+ (2uy+2)y + (2uz)2 e o cubo unitário localizado na origem (Figura 1.29). Solução: neste caso Vev=2A2+y), La [wsmar=2 [ / K (a + y) de dy dz, o do do v 1 1 1 fremar=s+m [ema / Idz=1. 0 o 0 [uvas v Evidentemente, Isso para o lado esquerdo do teorema do divergente. Para calcular a integral de superfície, temos que considerar separadamente os seis lados do cubo: E sal (1) fraa= [ / w dy dz = 4. o do LopIo (ii) frda- -[ / yº dydz = —+. o Jo 1º 41 (ii) fecda= [ [ (2x + 2º) de dz = à. o do Lopo (iv) fesda- -[ / 2 dede = —3- o do 19 Ai I ta + ——+e (iv) | (1) Qui) | l y “A (vi) Figura 1.29 Capítulo 1 Análise vetorial 27 () v=0, 2=0, vd=3ydy, [vd=f3ydy=a, (1) 2z=0, y=1, v-d=42 de, Jv «dl= J dz dz = à, 0 3 (ii) 2=0, 2=1, v-dl=3ydy, jvd=/3ydy=-1, (iv) z=0, y=0, v-dl=0, Jwa=/ffod= Portanto, 4 4 vd=1+=-14+0=-=. $ 3 3 Confere. Um ponto estratégico: observe como tratou-se da etapa (iii). Aqui, existe a tentação de escrever dl = —dy%, já que o caminho segue para a esquerda. Você pode conseguir. sc insistir, fazendo a integral de O — 1. Pessoalmente, prefiro dizer dl= deX+ dyy + dz sempre (nunca um sinal negativo) e deixar que os limites da integral definam a direção. Problema 1.33 Verifique o teorema de Stokes para a função v = (xy) X + (2yz) Y + (3z2) 2 usando a área triangular sombreada da Figura 1.34. Problema 1.34 Verifique o Corolário 1 usando a mesma função e a mesma linha de contorno do Exemplo 1.11, mas calculando a integral sobre os cinco lados do cubo da Figura 1.35. A face de trás do cubo é aberta. E 49 | o | | Tan () E] | (ii) Figura 1.34 Figura 1.35 1.3.6 Integração por partes A técnica conhecida (inconvenientemente) como integração por partes explora a regra do produto para derivadas: d dg E df 17419) -1() co(ã). Integrando ambos os lados e usando o teorema fundamental: + » 4 dg 4 ? af f iettodo= sol, = flo) aos [ o(go) dm » dg o df fas) de= (ão) eso Isso é a integração por partes. O método é pertinente para a situação em que é preciso integrar o produto entre uma função (f) e a derivada de outra (9): ele diz que se pode transferir a derivada de g a f, ao custo de um sinal de menos e um termo de contorno, ou b (1.58) a 28 Eletrodinâmica Exemplo 1.12 Calcule a integral o ij ze“ de. o Solução: a exponencial pode ser expressa como a derivada: dz nesse caso, então, f(x) = x, g(x) = —e"* e df/de = 1, portanto "oo so co | / qe “da = / e“de-ge*| =-e* =1 o a o o Podemos explorar as regras de produtos de cálculo vetorial, juntamente com os teoremas fundamentais apropriados, exa- tamente da mesma forma. Por exemplo, integrando V(fA)=HVA) HA (VI) sobre um volume e usando o teorema do divergente, temos fognar= [rv-aar+ [a(via = fIA-da, ou frv-aar== [A(vIdr+ fraca. (1.59) v dv Ss Aqui, novamente, o integrando é produto entre uma função (/) e a derivada (neste caso o divergente) de outra (A). A integração por partes nos permite transferir a derivada de A para f (onde ela se torna um gradiente), ao preço de um sinal de menos e de um termo de contorno (neste caso uma integral de superfície). Talvez você se pergunte com que frequência é possível encontrar uma integral que envolva o produto entre uma função e a derivada de outra. A resposta é que isso é surpreendentemente frequente e que a integração por partes resulta em uma das ferramentas mais poderosas do cálculo vetorial, Problema 1.35 (a) Mostre que [cx ayia= [tax (99) das É raca (1.60) JS 7 so As (b) Mostre que [Bv xaar= [49 xBar+ f(AxB)-da (1.61) v dy j s 1.4 Coordenadas curvilíneas 1.4.1 Coordenadas polares esféricas As coordenadas polares esféricas (1, 9,9) de um ponto P estão definidas na Figura 1.36; r é a distância a partir da origem (a magnitude do vetor posição), 9 (o ângulo formado com o eixo =) é o chamado ângulo polar e à (o ângulo de contorno a partir do eixo x) é o ângulo azimutal. Sua relação com as coordenadas cartesianas (7,y,z) pode ser obtida a partir da Figura 1.36: T=rsendcosp, y=rsenôseng, z=rcos6. (1.62) A Figura 1.36 também mostra os três vetores unitários £,0, q) que apontam na direção do aumento das coordenadas correspondentes. Eles constituem uma base ortogonal (mutuamente perpendiculares) (como X, Y, Z) e qualquer vetor A pode ser expresso em termos desses vetores unitários, da maneira usual: Capítulo 1 Análise vetorial 29 Figura 1.36 A=A ?+AçÕ+ Ad. (1.63) A,. Ap e Ag são as componentes radial, polar e azimutal de A. Em termos dos vetores unitários cartesianos. = senficosd%+sendsendy + cos0, cos cos dX + cosfsen dy — send 2, (1.64) = —sendX+cosoy, SD I como você mesmo pode facilmente verificar (Problema 1.37). Essas fórmulas estão no final do livro, para facilitar a consulta. Mas aqui existe uma cobra venenosa à espreita, e é melhor que eu o alerte a respeito dela: É, O e & estão associados a um ponto específico P e eles mudam de direção à medida que P se movimenta. Por exemplo, É sempre aponta radialmente para fora, mas “radialmente para fora' pode ser a direção x, a direção y ou qualquer outra direção, dependendo de onde você esteja. Na Figura 1.37, A = Y eB = —% e, no entanto, ambos seriam escritos como É em coordenadas esféricas. Poder-se-ia levar isso em conta indicando explicitamente o ponto de referência: ?(0, 4). Ô(0,6). &(9, 4), mas isso seria excessivamente trabalhoso e, desde que se tenha ciência do problema, não creio que haverá dificuldades." Particularmente, não tenha a ingenuidade de combinar as componentes esféricas de vetores associados a pontos diferentes (na Figura 1.37, A + B = 0, não 2f e A-B = —1, não +1). Tome cuidado ao diferenciar um vetor que esteja expresso em coordenadas esféricas, já que os vetores unitários, em si, são funções de posição (07/00 = Ô, por exemplo). E não retire £, Ô e é de uma integral, como fizemos com X, Y e Z na Equação 1.53. Em geral, se você não estiver certo quanto à validade de uma operação, expresse o problema novamente em coordenadas cartesianas, nas quais essa dificuldade não ocorre. Um deslocamento infinitesimal na direção £ é simplesmente dr (Figura 1.384), da mesma forma que um elemento infini- tesimal de comprimento na direção x é dz: dl, = dr. (1.65) Por outro lado, um elemento infinitesimal de comprimento na direção O (Figura 1.38b), não é apenas d9 (isso é um ângulo — não tem as unidades corretas para comprimento), mas sim r dB: dig = r d8. (1.66) Da mesma forma, um elemento infinitesimal de comprimento na direção à (Figura 1.38c) é r sen 0 dó: dl = r send dj. (1.67) Portanto, o deslocamento infinitesimal geral dl é dl=drt+rdoÔ + rsenbdod. (1.68) dr R r r dg ; do rsenB (a) (b) (e) Figura 1.37 Figura 1.38 4. Aleguei no início que os vetores não têm localização e mantenho isso. Os vetores, em si, existem “por aí”, completamente independentes de nossa escolha de coordenadas. Mas a notação que usamos para representá-los, depende, sim, do ponto em questão, nas coordenadas curvilíneas. 32 Eletrodinâmica 1.4.2 Coordenadas cilíndricas As coordenadas cilíndricas (s, «>, 2) de um ponto P estão definidas na Figura 1.42. Observe que é tem o mesmo significado que nas coordenadas esféricas e z é o mesmo que nas cartesianas; s é a distância até P a partir do eixo z. enquanto a coordenada esférica r é a distância a partir da origem. A relação com as coordenadas cartesianas é L= scosó, y= ssend, Eis Os vetores unitários (Problema 1.41) são = cosgXsengy, — sengX-+cosdy, = E. NS, 1 | Os deslocamentos infinitesimais são dl, = ds, dia = sdo, dl. = dz, portanto . dl=ds8+sdogd+ dz2, e o elemento de volume é dr = sdsdódaz. A faixade sé0O > c0, pvaideO > 27,€ 2 de —00 a 00. As derivadas vetoriais em coordenadas cilíndricas são: Gradiente: ar 19T ar TEC sl gi 4 VE gu ga! Divergente: a: : | 1 1dvg | dv, Ve api go + ds Rotacional: ô 5 à 2 ô a 1ôv. du. Ds Ou. + 1 Dus | V O — — —|—(sug)— — | &. x” (555 e Ja + (o E) 645 [ox(ovs) E Laplaciano: “os /" 206 "0 Estas fórmulas também estão listadas nas páginas finais do livro. Figura 1.42 (1.74) (1.75) (1.76) (1.97) (1.78) (1.79) (1.80) (1.81) (1.82) Problema 1.41 Expresse os vetores unitários cilíndricos 8, à. % em termos de %, y. Z (ou seja, deduza a Equação 1.75). “Inverta” as fórmulas para chegar a X, Y. & em termos de 8. à. a (ed). Problema 1.42 (a) Encontre o divergente da função v=s(2+ sen” 4)8 + ssendcosó & + 3z 2. (b) Teste o teorema do divergente para essa função, usando o quarto de cilindro (raio 2, altura 5) mostrado na Figura 1.43, (c) Encontre o rotacional de v. Capítulo 1 Análise vetorial 33 “Is LA 2 2 y x Figura 1.43 1.5 A função delta de Dirac 1.5.1 O divergente de £/r? Considere a função vetorial La v= SÊ. (1.83) Em cada localização, v é dirigido radialmente para fora (Figura 1.44); se existe uma função que deveria ter um grande divergente positivo, é esta. No entanto, quando se calcula, de Tato, o divergente (usando a Equação 1.71), chega-se, precisa- mente, a zero: 10 Vv=5—[|r"5|=5=(1)=0. (1.84) a ar! ) (Você já terá encontrado este paradoxo se trabalhou no Problema 1.16.) A trama se complicará se aplicar o teorema do divergente a esta função. Suponha que calculemos a integral sobre uma esfera de raio R, centrada na origem (Problema 1.38b); a integral de superfície é 1 =: , vida = pot «(Ré senB do dgr) = Bar E (/ sendo (/ dó) = dr. (1.85) 0 o Mas a integral de volume J V. ver é zero, se acreditarmos na Equação 1.84. Isso significa que o teorema do divergente é falso? O que está acontecendo aqui? A origem do problema é o ponto r = 0, onde v explode (e onde, na Equação 1.84, nós inadvertidamente dividimos por zero). É verdade que V-v = O em qualquer lugar, exceto na origem, mas bem na origem a situação é mais complicada. Observe que a integral de superfície (1.85) é independente de R; se o teorema do divergente estiver certo (e ele está), devemos obter J(V - v)dr = 4x para qualquer esfera centrada na origem, não importa quão pequena seja. Evidentemente, toda a contribuição deve estar vindo do ponto r = 0! Assim, V - v tem a propriedade bizarra de anular-se em qualquer lugar, exceto em um ponto: e, mesmo assim, sua integral (sobre qualquer volume que contenha esse ponto) é 47. Nenhuma função ordinária se comporta dessa forma. (Por outro lado, um exemplo físico nos vem à mente: a densidade (massa por unidade de volume) de uma partícula pontual, É zero, exceto na localização exata da partícula e, mesmo assim, sua integral é finita — a saber, a wa Z data fm 78 dn. Figura 1.44 34 Eletrodinâmica massa da partícula.) Chegamos por acaso a um objeto matemático conhecido pelos físicos como função delta de Dirac. Ele surge em muitas ramificações da física teórica. Além do mais, o problema específico que tem-se em mãos (o divergente da função É /r2) não é apenas uma curiosidade enigmática — ele é, de fato, um aspecto central de toda a teoria da eletrodinâmica. Portanto, vale a pena fazer uma pausa aqui e estudar, com alguma atenção, a função delta de Dirac. 1.5.2 A função delta de Dirac unidimensional A Tunção delta de Dirac unidimensional, d(x:). pode ser ilustrada como um “pico” infinitamente alto e infinitesimalmente estreito, com área | (Figura 1.45). Ou seja: a 0, sex É O d(a) = ( oo an : (1.86) S oo / d(a)de = 1. (1.87) Tecnicamente, 9(a:) não é, de forma alguma, uma função, já que seu valor não é finito em x = O. Na literatura matemática, ela é conhecida como função generalizada ou distribuição. Ela é, se você preferir, o limite de uma sequência de funções, tais como retângulos R, (x), de altura n e largura 1/n, ou triângulos isósceles T, (x), de altura n e base 2/n (Figura 1.46). Se f(x) for alguma função “ordinária” (ou seja, que não é outra função delta — inclusive, por via das dúvidas, digamos que f(x) seja contínua), então o produto f(x)á(x) é zero em qualquer lugar, exceto em x = 0. Segue-se que Hl)ó(a) = FOJó(x). (1.88) (Este é o fato mais importante sobre a função delta, portanto, certifique-se de entender por que ele é verdadeiro: como o produto é zero de qualquer forma, exceto em x = O, podemos muito bem substituir f(x) pelo valor que assume na origem.) Em particular ss DO / Flxv)ó(x) de = f(0) / ó(x) de = f(0). (1.89) =) = Então, sob uma integral, a função delta 'escolhe” o valor de f(x) em x = 0. (Aqui e abaixo, a integral não precisa ser calculada de — co a +50; é suficiente que o domínio se estenda através da função delta, e de —e a +e seria suficiente.) E claro que podemos mudar o pico de x = O para algum outro ponto, « = a (Figura 1.47): dx) RX) 2 = Area | “RIO 1 = 12-14 14 12 x =| —1/2 12: 1 X x (a) (b) Figura 1.45 Figura 1.46 dx- a) = Área | a + Figura 1.47 Capítulo 1 Análise vetorial 3 (Problema 1.13), segue-se que V2- = —4m6(4). (1.102) Exemplo 1.16 Calcule a integral 1= [+nv(5) di: onde V é uma esfera de raio R centrada na origem. Solução 1: use a Equação 1.99 para reescrever o divergente, e a Equação 1.98 para fazer a integral J= / (1º + 2)476º (1) dr = 47(0+ 2) = 8r. v Esta solução de uma linha demonstra algo do poder e da beleza da função delta, No entanto, gostaria de mostrar um segundo método muito mais trabalhoso, mas que serve para ilustrar o método de integração por partes, Seção 1.3.6. Solução 2: usando à Equação 1.59, transferimos à derivada de 2/12 para (1? + 9): “e : sq É diz -| o [9(r2 + m)dr + fo? + da. O gradiente é Vir? + 2) = Pê, de forma que a integral de volume torna-se 9 2 R [É dr = [Erê sengardodo = gr [ rdr=47Rº. r r E o Enquanto isso, no contorno da esfera (onde r = R), da = Rº sen0 do dóê, de forma que a integral de superfície torna-se fe + 9) sen do dó = dr(Rº + 9). Juntando tudo, então, , , J=-47Rº + 4m(R + D) = 87, como antes, Problema 1.46 (a) Escreva uma expressão para a densidade volumétrica de carga elétrica p(r) de uma carga pontual q em r”, Certifique-se de que a integral de volume de p seja igual a g. (bj Qual é a densidade volumétrica de carga de um dipolo elétrico que consiste de uma carga pontual —q na origem e de uma carga pontual +q em a? (c) Qual é a densidade volumétrica de carga de uma casca esférica uniforme infinitesimalmente fina, de raio R e carga total Q, centrada na origem? (Atenção: a integral sobre todo o espaço deve ser igual a Q.] Problema 1.47 Calcule as seguintes integrais: (a) is sina +r-a+a?)6º(r — a) dr, onde a é um vetor constante e a É a sua magnitude. tb) Fo jr — bJ29º(5r) dr, onde V é um cubo de lado 2, centrado na origem e b = 4% +32. (0) fulr! + v?(r -c) + c!)ôº(r — c) dr, onde V é uma esfera de raio 6 com centro na origem, c = 5% + 3) +2Zecé sua magnitude. (d) 1 r-(d- r)ôº(e — r) dr, onde d = (1,2,3),e = (3,2,1) e V é uma esfera de raio 1.5, centrada em (2, 2,2). 1= [er(v-5) dr v dj (onde Y é uma esfera de raio R, centrada na origem) por dois métodos distintos, como no Exemplo 1.16. Problema 1.48 Calcule a integral 38 Eletrodinâmica 1.6 A teoria dos campos vetoriais 1.6.1 O teorema de Helmholtz Desde Faraday, as leis de eletricidade c magnetismo são expressas em termos dos campos elétrico c magnético, E e B. Como muitas leis da física, elas são expressas de forma mais compacta na forma de equações diferenciais. Como E e B são vetores, as equações diferenciais naturalmente envolvem derivadas vetoriais: divergente e rotacional. De fato, Maxwell reduziu a teoria completa a quatro equações, especificando, respectivamente, o divergente e o rotacional de E e B'” A formulação de Maxwell levanta uma importante questão matemática: até que ponto uma função vetorial é determinada pelo seu divergente e pelo seu rotacional? Em outras palavras, se eu lhe disser que o divergente de F (que significa E ou B. conforme o caso) é uma função (escalar) definida D, V.F=D, e que o rotacional de F é uma função (vetorial) definida €, VxF=C€, (por coerência, o divergente de C deve ser nulo, V.C=0, porque o divergente de um rotacional é sempre zero), você pode determinar a função F? Bem... não totalmente. Por exemplo, como você deve ter percebido no Problema 1.19, existem muitas funções cujo divergente e rotacional são ambos zero em todo o espaço. O caso mais trivial é F = 0, é claro, mas também F = yzk+ zuy+2yZ, F = senrcoshyX — coszsenhyY etc. Para resolver uma equação diferencial, você precisa ter, tam- bém, as condições de contorno adequadas. Em eletrodinâmica, normalmente pede-se que os campos anulem-se “no infinito” (longe de todas as cargas).* Com essa informação extra, o teorema de Helmholtz garante que o campo seja univocamente determinado pelo divergente e pelo rotacional. (Uma prova do teorema de Helmholtz é dada no Apêndice B.) 1.6.2 Potenciais Se o rotacional de um campo vetorial (F) se anula (em toda parte), então F' pode ser escrito como o gradiente de um potencial escalar (V): VxF=00+>F=-VYV. (1.103) (O sinal de menos é puramente uma convenção.) Essa é a síntese do seguinte tcorema: Teorema 1: Campos de rotacional nulo (ou 'irrotacionais'). As seguintes condições são equivalentes (ou seja, F satisfará uma se e somente se satisfizer todas as ou- tras): (a) V x F = O em todo o espaço. (b) |, e F - dl é independente do caminho, para quaisquer pontos extremos. (c) $ F- dl = 0 para qualquer caminho fechado. (d) F é o gradiente de uma função escalar, F = —VYV. O potencial escalar não é unívoco — qualquer constante pode ser acrescentada a V impunemente, já que isso não afetará seu gradiente. Se o divergente de um campo vetorial (F) se anula (em toda parte), então F pode ser expresso como o rotacional de um potencial vetorial (A): VF=0€>F=Vkxa. (1.104) Essa é a principal conclusão do seguinte teorema: 7. Estritamente falando, isso só é verdade no caso estático; em geral, o divergente e o rotacional são dados em termos das derivadas temporais dos próprios campos. 8. Emalguns problemas encontrados em livros-texto, a carga em si estende-se ao infinito (falamos, por exemplo, do campo elétrico de um plano infinito, ou do campo magnético de um fio infinito). Nesses casos, as condições de contorno normais não se aplicam e é preciso recorrer a argumentos de simetria para determinar univocamente os campos. Capítulo 1 Análise vetorial 39 Teorema 2: Campos sem divergente (ou “solenoidais”). As seguintes condições são equi- valentes: (a) V- F = 0 em toda parte. (b) / F- da é independente de superfície, para qualquer linha limite dada. (c) $ F - da = O para qualquer superfície fechada. (d) F é o rotacional de algum vetor, F — V x A. O potencial vetorial não é unívoco — o gradiente de qualquer função escalar pode ser adicional a A sem afetar o rotacional, já que o rotacional de um gradiente é zero. A esta altura você deve ser capaz de provar todas as conexões entre esses teoremas, exceto pelas que dizem que (a), (b) ou (c) implicam em (d). Essas são as mais sutis e virão mais tarde. A propósito, em todos os casos (sejam quais forem o rotacional e o divergente), um campo vetorial F' pode ser escrito como o gradiente de um escalar somado ao rotacional de um vetor: F=-VV+AVxA (sempre). (1.105) Problema 1.49 (a) Considere que Fj = «22 e F; = 2% +yY + 22. Calcule o divergente e o rotacional de F, e F>. Qual deles pode ser escrito como o gradiente de um escalar? Encontre um potencial escalar que funcione. Qual pode ser escrito como o rotacional de um vetor? Encontre um potencial vetorial adequado. (b) Mostre que FP; = yz% + zx f + xy pode ser escrito tanto como o gradiente de um escalar como o rotacional de um vetor. Encontre os potenciais escalar e vetorial para esta função. Problema 1.50 Para o Teorema 1, mostre que (d) => (a), (a) => (0). (0) => (b), (b) > (c) e (c) = (a). Problema 1.51 Para o Teorema 2, mostre que (d) => (a), (a) => (c). (0) => (b), (b) => (c) e (c) => (a). Problema 1.52 (a) Qual dos vetores do Problema 1.15 pode ser expresso como o gradiente de um escalar? Encontre uma função escalar que seja a solução. (b) Qual deles pode ser expresso como o rotacional de um vetor? Encontre esse vetor. Mais problemas do Capítulo 1 Problema 1.53 Verifique o teorema do divergente para a função v=ricos0t +r? cos À 8 - rº cos 0 sen SÊ, usando como volume um octante de uma esfera de raio R (Figura 1.48). Certifique-se de incluir toda a superfície. [Resposta: mR*/4] Problema 1,54 Verifique o teorema de Stokes usando a função vw = ayX + br % (a e b são constantes) e o caminho circular de raio R, centrado na origem no plano xy. [Resposta: 7R?(b— a)] Problema 1.55 Calcule a integral de linha de . v=6R+tys+(By+2)2 ao longo do caminho triangular mostrado na Figura 1.49. Confira a sua resposta usando o teorema de Stokes. [Resposia: 8/3] Figura 1.48 Figura 1.49 Capítulo 2 Eletrostática 2.1 O campo elétrico 2.1.1 Introdução O problema fundamental que a teoria eletromagnética espera resolver é o seguinte (Figura 2.1): temos algumas cargas elétricas, 1.42. 43, - - - (vamos chamá-las de cargas fontes); que força elas exercem em outra carga, OQ (vamos chamá-la de carga de prova)? As posições das cargas fontes são dadas (como funções de tempo): a trajetória da partícula de prova deve ser calculada. Em geral, tanto as cargas fontes quanto a carga de prova estão em movimento. A solução para este problema é simplificada pelo princípio da superposição, o qual diz que a interação entre duas cargas quaisquer não é modificada pela presença de outras, Isso significa que para determinar a força em Q, podemos primeiro calcular a força F4, devida apenas a q, (e ignorar todas as outras). Em seguida, calculamos a força F», devida apenas a q2; € assim sucessivamente. Por fim, tomamos a soma vetorial de todas essas forças individuais: E = Fj + Fo +F; +... Assim, se pudermos encontrar a força em Q devida a uma única carga q, teremos, em princípio, terminado (o restante é apenas uma questão de repetir a mesma operação várias vezes e depois somar tudo)! Bem, em princípio isso parece muito fácil: por que não posso apenas escrever a fórmula para a força em €Q devida a q e pronto? Eu poderia, e no Capítulo 10 é o que farei, mas você ficaria assustado vendo isso neste momento, porque a força em Q não só depende da distância » que separa as cargas (Figura 2,2), como também depende da velocidade e da aceleração de q. Além disso, não é a posição, velocidade e aceleração de q que importam agora: as “notícias” eletromagnéticas viajam à velocidade da luz e, portanto, o que importa para Q é a posição, velocidade e aceleração que q tinha em algum momento anterior, quando a mensagem foi enviada. Portanto, apesar do fato de que a questão básica (“Qual é a força incidente em Q devida a q”) é fácil de ser determinada, um confronto direto não compensa. Em vez disso, vamos abordá-la por etapas. Nesse meio-tempo, a teoria que iremos desenvolver vai permitir a solução de problemas eletromagnéticos mais sutis que não se apresentam em um formato assim tão simples. Inicialmente vamos considerar o caso especial da eletrostática no qual todas as cargas fontes são estacionárias (embora a carga de prova possa estar em movimento). * “q q qo. Q . “Gi 4 s Cargas 'fontes” Carga *de prova” q Figura 2.1 Figura 2.2 1, O princípio da superposição pode parecer “óbvio” para você, mas ele não rem necessariamente que ser tão simples; se a força eletromagnética fosse proporcional ao quadrado da carga fonte total, por exemplo, o princípio da superposição não se aplicaria. já que (1 + q2)? £ gi + q (haveria “termos cruzados” a considerar). À superposição não é uma necessidade lógica, mas um furo experimental, Capitulo 2 Eletrostática 43 2.1.2 Lei de Coulomb Qual é a força incidente em uma carga de prova Q devida a uma única carga pontual q que está em repouso a uma distância 2? À resposta (com base na experimentação) é dada pela lei de Coulomb: F = ! 10 (2.1) dreg 2é A constante ey é chamada de permissividade do espaço livre. Em unidades SI, com força em newtons (N), distância em metros (m) e carga em coulombs (C), c2 Nm? Em palavras, a força é proporcional ao produto das cargas e é inversamente proporcional ao quadrado da distância de separação. Como sempre (Seção 1.1.4),2 É o vetor separação entre r” (a localização de q) e r (a localização de Q): eo = 8,85 x 102 a=r—r'; (2.2) » é a sua magnitude e 4 é a sua direção. A força aponta ao longo da linha que vai de g até Q; ela será repulsiva se q e Q tiverem o mesmo sinal, e atrativa se seus sinais forem opostos. A lei de Coulomb e o princípio da superposição são os ingredientes físicos da eletrostática — o restante, exceto por algumas propriedades especiais da matéria, é a elaboração matemática dessas regras fundamentais. Problema 2.1 (a) Doze cargas iguais, q, estão localizadas nos cantos de um polígono regular de 12 lados (por exemplo, em cada número do mostrador de um relógio). Qual é a força liquida sobre uma carga de prova Q no centro? (b) Suponha que uma das 12 cargas seja removida (a que está em “6 horas”). Qual será a força sobre Q? Explique cuidadosamente o seu raciocínio. (c) Agora são 13 cargas iguais, q, colocadas nos cantos de um polígono regular de 13 lados. Qual é a força sobre a carga de prova Q no centro? (d) Se uma das 13 cargas for removida, qual será a força sobre Q? Explique o seu raciocínio. 2.1.3 O campo elétrico Se tivermos várias cargas pontuais q1.42,-... Gn, às distâncias 214,49,...,2n de Q, a força total sobre Q será, evidente- mente 1 FPF = Fi+Fo+...= “na a + E dreo À 05 25 .Q (7 + gato EE ale Em 3 + — dreo Nm 13 ou F-QE, (23) onde 1 n q; E(r) = DB. 2.4 (x) a A (2.4) E é chamado de campo elétrico das cargas fontes. Observe que ele é uma função da posição (r), porque os vetores de separação 4; dependem da localização do ponto de observação P (Figura 2.3). Mas ele não faz qualquer referência à carga de prova Q. O campo elétrico é uma quantidade vetorial que varia de um ponto a outro e que é determinada pela configuração das cargas fontes; em termos físicos, E(r) é a força por unidade de carga que seria exercida sobre uma carga de prova que fosse colocada em P. O que é, exatamente, um campo elétrico? Comecei, deliberadamente, com o que se pode chamar de interpretação 'mínima” de E, como passo intermediário no cálculo das forças elétricas. Mas recomendo que pense no campo como uma entidade 44 Eletrodinâmica Ponto fonte ” P Ponto de observação Figura 2.3 física 'real” que preenche o espaço em torno de qualquer carga elétrica. O próprio Maxwell chegou a acreditar que campos elétricos e magnéticos representavam tensões e deformações em um “éter” invisível primordial, semelhante a uma geleia. A relatividade especial nos forçou a abandonar a ideia de éter e, com ela, a interpretação mecânica de Maxwell sobre os campos eletromagnéticos. (É até possível, embora excessivamente trabalhoso, formular a eletrodinâmica clássica como uma teoria de “ação a distância” e dispensar, totalmente, a noção de campo.) Não posso, portanto, dizer o que é um campo, mas apenas como calculá-lo e o que ele pode fazer por você uma vez que você o calculou. Problema 2.2 (a) Encontre o campo elétrico (magnitude, direção e sentido) a uma distância z acima do ponto central entre duas cargas iguais. q. que estão separadas por uma distância d (Figura 2.4). Verifique se o resultado é coerente com o que se espera quando > d. (b) Repita a parte (a). só que desta vez faça a carga do lado direito igual a — q em vez de +q. P gd? | d2 g Figura 2.4 2.1.4 Distribuições contínuas de carga Nossa definição do campo elétrico (Equação 2.4) assume que a fonte do campo é uma série de cargas pontuais discretas q; Se, em vez disso, a carga for distribuída continuamente sobre uma determinada região, a soma torna-se uma integral (Figura 2.5a): ndo lg (2.5) “4reoJ Ra , Etr) Se a carga se espalhar ao longo de uma linha (Figura 2.5b), com carga-por-unidade-de-comprimento À, então dg = Ad! E 8 B E q (onde dl” é um elemento de comprimento ao longo da linha). Se a carga for espalhada sobre uma superfície (Figura 2.5c), >= . no 4) dg dt (a) Distribuição contínua (b) Linha de carga, À (c) Carga superficial, o (d) Carga volumétrica, p Figura 2.5 Capitulo 2 Eletrostática 47 2.2 Divergente e rotacional de campos eletrostáticos 2.2.1 Linhas de campo, fluxo e lei de Gauss Em princípio, concluímos o assunto da eletrostática. A Equação 2.8 nos mostra como calcular o campo de uma distribuição de carga, e a Equação 2.3 nos diz qual será a força sobre uma carga Q colocada nesse campo. Infelizmente, como você pode ter descoberto resolvendo o Problema 2.7, as integrais envolvidas no cálculo de E podem ser complicadas, até mesmo para distribuições de carga razoavelmente simples. Boa parte do restante da eletrostática se dedica a encontrar um conjunto de ferramentas e truques para evitar essas integrais. Tudo começa com o divergente e o rotacional de E. Calcularemos o divergente de E diretamente a partir da Equação 2.8, na Seção 2.2.2, mas primeiro mostraremos uma abordagem intuitiva mais qualitativa e talvez mais esclarecedora, Comecemos com o caso mais simples possível; uma única carga pontual q, localizada na origem: Emy=. | Le, (2.10) dren Tr? Para ter uma ideia desse campo, posso esboçar alguns vetores representativos, como na Figura 2.12a. Como o campo diminui como 1/r?, os vetores ficam mais curtos à medida que você sc afasta da origem: eles sempre apontam radialmente para fora. Mas há uma mancira mais agradável de representar esse campo, que é conectando as setas para formar linhas de campo (Figura 2.12b). Você pode pensar que, assim, joguei fora a informação sobre a intensidade do campo que estava contida no comprimento das setas. Mas na realidade, não. A magnitude do campo é indicada pela densidade das linhas de campo: ele é mais forte perto do centro, onde as linhas de campo estão mais próximas umas das outras, enfraquecendo-se com a distância, quando elas ficam mais separadas. Na verdade, o diagrama de linhas de campo engana, quando é desenhado em uma superfície bidimensional, já que a densidade das linhas que passam através de um círculo de raio 7 é o número total dividido pela circunferência (n /2mr), que é proporcionala (1/r), e não a (1/r?). Mas se você imagina o modelo em três dimensões (uma almofada com alfinetes enfiados em todas as direções), então a densidade das linhas é o número total dividido pela área da esfera (n/4xr”?), que é proporcional a(1/rº). Esses diagramas também são convenientes para representar campos mais complicados. É claro que o número de linhas que você desenha depende da sua disposição (e do quão bem apontado seu lápis está), embora você deva incluir linhas suficientes para ter uma percepção precisa do campo. E você deve ser coerente: se a carga q tem 8 linhas, então 2q tem de ter 16. Elas devem ter um espaçamento equilibrado, pois emanam de uma carga pontual simetricamente em todas as direções. As linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas. Elas não podem simplesmente terminar em um ponto qualquer no espaço, embora possam se estender ao infinito. Além disso, as linhas de campo nunca se cruzam — em uma intersecção, o campo teria duas direções diferentes ao mesmo tempo! Com tudo isso em mente, fica fácil desenhar o campo de qualquer configuração simples de cargas pontuais: comece desenhando as linhas nas proximidades de cada carga e depois as conecte ou estenda ao infinito (figuras 2.13 e 2.14). Neste modelo o fluxo de E através de uma superfície S, dp= [Bda (2.11) S é uma medida do “número de linhas de campo” que passam através de &. Isto foi colocado entre aspas, porque é claro que só podemos desenhar uma amostra representativa das linhas de campo — o número total seria infinito. Mas para uma dada taxa de amostragem, o fluxo é proporcional ao número de linhas desenhadas, porque a intensidade do campo, lembre-se, é , (3) (b) Figura 2.12 48 Eletrodinâmica e 4» Cargas iguais, porém opostas Cargas iguais Figura 2.13 Figura 2.14 proporcional à densidade das linhas de campo (o número por unidade de área), e, portanto, E - da é proporcional ao número de linhas que passam através da área infinitesimal da. (O produto escalar seleciona a componente de da ao longo da direção de E, como indicado na Figura 2.15. É somente a área no plano perpendicular a E que temos em mente quando dizemos que a densidade das linhas de campo é o número por unidade de área.) Isto sugere que o fluxo através de qualquer superfície fechada é uma medida da carga total no seu interior. Isto porque as linhas de campo que se originam em uma carga positiva devem passar através da superfície ou terminar em uma carga negativa no interior da superfície (Figura 2.164). Por outro lado, uma carga externa à superfície não contribuirá para o fluxo total, já que suas linhas de campo entram por um lado e saem pelo outro (Figura 2.16b). Essa é a essência da lei de Gauss. Agora, vamos torná-la quantitativa. No caso de uma carga pontual q na origem, o fluxo de E através de uma esfera de raio r é 1 Us > Es 1 “da= dg) trs SE 2.12 fe da / (5*) (r* sen 8 de dot) o (2.12) dreg Observe que o raio da esfera se cancela, pois enquanto a área de superfície aumenta como r2, o campo diminui como 1/72, e, portanto, o produto é constante. Em termos das linhas de campo, isso faz sentido, já que o mesmo número de linhas de campo atravessa qualquer esfera centrada na origem, seja qual for o seu tamanho. Inclusive, não teria de ser uma esfera — qualquer superfície fechada, seja qual for a sua forma, interceptaria o mesmo número de linhas de campo. Evidentemente, o fluxo através de qualquer superfície que contenha a carga é g/eo. Agora, suponha que em vez de uma única carga na origem, temos uma porção de cargas espalhadas em torno da origem. Segundo o princípio da superposição, o campo total é a soma (vetorial) de todos os campos individuais: se. i=1 O fluxo através de uma superfície que contém todas elas é, então, n n 1 fr-da-3 (ficado) = (=) : i=1 5 E i=1 (a) (b) Figura 2.15 Figura 2.16 Capitulo 2 Eletrostática 49 Para qualquer superfície fechada, então, 1 fE -da= — Oem (2.13) £o s onde Qenc É a carga total encerrada pela superfície. Esta é a forma quantitativa da lei de Gauss. Embora ela não contenha qualquer informação que já não estivesse presente na lei de Coulomb e no princípio da superposição, tem um poder quase mágico como você verá na Seção 2.2.3, Observe que o pivô de tudo isso é o caráter 1/7? da lei de Coulomb; sem isso, o cancelamento crucial dos r na Equação 2.12 não aconteceria e o fluxo total de E dependeria da superfície escolhida, é não apenas da carga total no interior. Outras forças que dependem de 1/r? (estou pensando particularmente na lei da gravitação universal de Newton) obedecerão suas próprias “leis de Gauss” e as aplicações que desenvolvermos aqui podem ser adotadas diretamente. Tal como é, a lei de Gauss é uma equação integral, mas podemos prontamente transformá-la em uma equação diferencial aplicando o teorema do divergente: fE-da= [(v-Ejdr v s Reescrevendo Qenc em termos da densidade de carga p, temos enc = / pdr. ce = / (2) dr. E como isso é verdadeiro para gualguer volume, os integrandos devem ser iguais: Portanto, a lei de Gauss torna-se ViB= (2.14) o) A Equação 2.14 traz a mesma mensagem que a Equação 2.13; é a lei de Gauss na forma diferencial, A versão diferencial é mais ajeitada, mas a forma integral tem a vantagem de acomodar cargas pontuais, distribuições lineares e superficiais com mais naturalidade. Problema 2.9 Suponha que o campo elétrico em uma determinada região é dado por E = kr, em coordenadas esféricas (J: é uma constante). (a) Encontre a densidade de carga de p. (b) Encontre a carga total contida em uma esfera de raio &, centrada na origem. (Faça de duas formas diferentes.) Problema 2.10 Uma carga q fica no vértice traseiro de um cubo, como mostra à Figura 2.17. Qual é o fluxo de E através da face sombreada? q Figura 2.17 52 Eletrodinâmica E Superfície gaussiana Figura 2.21 Solução: desenhe um cilindro gaussiano de comprimento / e raio s. Para essa superfície, a lei de Gauss diz que: fE -da= E co s A carga encerrada é s Qene = foar = | (ks)(s ds dó dz) = ama | s“ ds = êmhls?. ú (Usei o elemento de volume adequado a coordenadas cilíndricas, Equação 1.78, e integrei & de 0 a 27, dz de Da !. Coloquei uma linha na variável de integração s”, para distingui-la do raio s da superfície gaussiana.) Agora, a simetria dita que E deve apontar radialmente para fora, de forma que para a porção curva do cilindro gaussiano temos: fra [Ieida- el / da [El2rsl, enquanto a contribuição das bases do cilindro é nula (aqui E é perpendicular a da). Assim, LD us [E|2zsl= — =mkls”, [o] a ou, finalmente, 1 2 E= —ks?s 3eo Exemplo 2.4 Um plano infinito tem uma densidade superficial de carga uniforme o. Encontre seu campo elétrico. Solução: desenhe uma superfície gaussiana na forma de “caixa de pílulas”, deixando distâncias iguais acima e abaixo do plano (Figura 2.22). Aplique a lei de Gauss para esta superfície: fz -da= Sa: co Neste caso, Qenc = o 4, onde À é a área da tampa da caixa de pílulas. Por simetria, E aponta para fora do plano (para cima nos pontos acima e para baixo nos pontos abaixo). Assim, as superfícies superior e inferior resultam em f E - da = 24/E!, Figura 2.22 Capitulo 2 Eletrostática 53 enquanto a contribuição dos lados é nula. Assim. AjB| = LoA, EO ou é E=—à (2.17) Ze onde fi é um vetor unitário que aponta para fora da superfície. No Problema 2.6, você obteve esse mesmo resultado, através de um método muito mais trabalhoso. Parece surpreendente, de início, que o campo de um plano infinito seja independente da distância a que você está dele. O que acontece com o 1/7? da lei de Coulomb? Bem, a questão é que quanto mais você se afasta do plano, mais carga entra no seu campo de visão" (uma forma cônica que se estende a partir do seu olho), e isso compensa a influência cada vez menor de cada pedaço sozinho. O campo elétrico de uma esfera diminui como 1/72; o campo elétrico de uma linha infinita diminui como 1/r: e o campo elétrico de um plano infinito não diminui. Embora o uso direto da lei de Gauss para calcular campos elétricos esteja limitado aos casos de simetria esférica, cilíndrica e plana, podemos montar combinações de objetos que têm essa simetria, mesmo que o conjunto, como um todo, não seja simétrico. Por exemplo, recorrendo ao princípio de superposição, podemos encontrar o campo nas proximidades de dois cilindros paralelos com distribuições uniformes de carga, ou de uma esfera próxima a um plano infinito carregado. Exemplo 2.5 Dois planos infinitos paralelos têm densidades de carga uniformes de mesma magnitude, porém opostas Lo (Figura 2.23), Encontre o campo em cada uma das três regiões: (1) à esquerda de ambos, (ii) entre eles, (iii) à direita de ambos. Solução: a placa da esquerda produz um campo (1/2e9)o que aponta para fora dela (Figura 2.24), para a esquerda na região (i) e para a direita nas regiões (ii) e (iii). A placa da direita, tendo carga negativa, produz um campo (1/20), que aponta para si — para a direita nas regiões (i) e (ii) e para a esquerda na região (iii). Os dois campos se cancelam nas regiões (i) e (iii); eles se somam na região (ii). Conclusão: o campo é (1 /en)o. e aponta para a direita entre os planos; nas demais partes é nulo. E, E, E, (1) (ii) (ii) E. E. E. 6) (ii) (iii) +6 E) +6 = Figura 2.23 Figura 2.24 Problema 2,11 Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro é fora de uma casca esférica de raio R, que tem uma densidade superficial de carga uniforme o. Compare sua resposta ao Problema 2.7. Problema 2.12 Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro de uma esfera uniformemente carregada (com densidade de carga p). Compare sua resposta ao Problema 2.8. Problema 2.13 Encontre o campo elétrico a uma distância s de um fio reto de comprimento infinito, que tem uma densidade linear de carga uniforme À, Compare à Equação 2.9. Problema 2.14 Encontre o campo elétrico dentro de uma esfera com uma densidade de carga proporcional à distância da origem, p= kr, k sendo uma constante, [Dica: esta densidade de carga não é uniforme e você deve integrar para chegar à carga encerrada] Problema 2.15 Uma casca esférica oca tem a densidade de carga para o caso b = 2a. k 72 p= na região a < r < b (Figura 2.25). Encontre o campo elétrico nas três regiões: ()r <a.(i)a <r < b.(ii)r > b. Faça um gráfico de [E| como função de r. 54 Eletrodinâmica Figura 2.25 Problema 2.16 Um cabo coaxial longo (Figura 2.26) possui uma densidade volumétrica de carga uniforme p no cilindro interno (raio a), e uma densidade superficial de carga uniforme na casca externa do cilindro (raio b). Essa carga superficial é negativa e de magnitude exata para que o cabo, como um todo, seja eletricamente neutro. Encontre o campo elétrico em cada uma das três regiões: (1) dentro do cilindro interno (s <* a), (ii) entre os dois cilindros (a < s < 6), (iii) exterma ao cabo (s > b). Faça um gráfico de [E como função de s. Problema 2.17 Uma placa plana infinita, de espessura 2d, possui uma densidade volumétrica de carga uniforme p (Figura 2.27). Encontre o campo elétrico, como função de y, onde y = O no centro. Faça um gráfico de E versus y, chamando E de positivo quando apontar na direção + e de negativo quando apontar na direção —y. Problema 2.18 Duas esferas, cada uma com raio R e com distribuições volumétricas de carga de densidades uniformes +p e —p, respectivamente, estão posicionadas de forma que se sobrepõem parcialmente (Figura 2.28). Chame o vetor do centro positivo ao centro negativo de d. Mostre que o campo na região de sobreposição é constante e encontre seu valor. [Dica: use a resposta do Problema 2.12.] Figura 2.26 Figura 2.27 Figura 2.28 2.2.4 O rotacional de E Calcularemos o rotacional de E, como calculamos o divergente na Seção 2.2.1, estudando primeiro a configuração mais simples possível: uma carga pontual na origem. Neste caso E 2 = E dreo Tr Agora, uma espiada na Figura 2.12 deve convencê-lo de que o rotacional deste campo tem de ser zero, mas suponho que podemos propor algo um pouco mais rigoroso que isso. Vamos calcular a integral de linha deste campo, a partir de um ponto a até um outro ponto b (Figura 2.29): b N E . dl. a Em coordenadas esféricas, dl = dr t + r dê Ô+rseng do Ê. portanto pqa us dreg r? Capitulo 2 Eletrostática 57 2.3.2 Comentários sobre o potencial (1) O nome. A palavra 'potencial” é uma designação incorreta terrível porque ela inevitavelmente lembra energia potencial. Isso pode gerar confusão, uma vez que existe uma ligação entre “potencial” e “energia potencial”, como você verá na Seção 2.4. Lamento que seja impossível evitar essa palavra. O máximo que posso fazer é insistir, de uma vez por todas. que “potencial” e “energia potencial” são termos completamente diferentes e que deveriam, com toda justiça, ter nomes diferentes. Diga-se de passagem, uma superfície sobre a qual o potencial é constante é chamada de equipotencial. (ii) Vantagem da formulação do potencial. Se Vé conhecido, você pode facilmente obter E — basta calcular o gradiente: E = —-VV. Isso é extraordinário quando se começa a pensar no assunto, já que E é uma quantidade vetorial (com três componentes), enquanto V é um escatar (uma componente). Como é possível que uma função contenha todas as informações de três funções independentes? A resposta é que os três componentes de E não são, na realidade, tão independentes quanto parecem. Na realidade eles estão explicitamente inter-relacionados pela própria condição com a qual começamos, V x E = 0. Em termos de componentes, dE, dE, dE. dE, E, dE, dy Or” dy Oz! dE dr. Isso nos leva de volta à observação no início da Seção 2.3.1: E é um vetor de um tipo muito especial. O que a formulação do potencial faz é explorar essa característica para extrair o máximo de vantagem, reduzindo um problema vetorial a um problema escalar, no qual não há necessidade de se preocupar com componentes. (iii) O ponto de referência O. Existe uma ambiguidade intrínseca na definição de potencial, já que a escolha do ponto de referência O foi arbitrária. Mudar os pontos de referência corresponde a acrescentar uma constante K ao potencial: r o r veo=-[ E-di=— [ Edi [ Ed=K+V(r), ! t Q a onde K é a integral de linha de E entre o antigo ponto de referência O e o novo O”. É claro que acrescentar a constante a V não irá afetar a diferença de potencial entre dois pontos: V'(b) = V'(a) = V(b) — V(a), já que os K se cancelam. (Na realidade, já ficou claro a partir da Equação 2.22 que a diferença potencial é independente de O, uma vez que ela pode ser escrita como a integral de linha de E entre a e b, sem referência a O.) E a ambiguidade também não afeta o gradiente de V: VV = VV. já que a derivada de uma constante é zero. É por isso que todos esses V, que diferem apenas na escolha do ponto de referência, correspondem ao mesmo campo E. É evidente que o potencial como tal não tem qualquer significado físico, já que em qualquer ponto dado podemos ajustar seu valor à vontade realocando adequadamente O. Nesse sentido, ele é semelhante à altitude: se eu lhe perguntar qual a altitude de Denver, você provavelmente irá me responder a altura acima do nível do mar, porque é um ponto de referência conveniente e tradicional. Mas podemos muito bem concordar em medir a altitude acima de Washington D.€., de Greenwich, ou do que for. Isso acrescentaria (ou, melhor, subtrairia) uma quantia fixa de todas as nossas leituras referentes ao nível do mar, mas não alteraria nada no mundo real. A única quantidade de interesse intrínseco é a diferença em altitude entre dois pontos e essa será a mesma, seja qual for o ponto de referência. Dito isso, no entanto, existe um ponto “natural” a ser usado para O em eletrostática — de forma análoga ao nível do mar para a altitude — e é um ponto infinitamente distante da carga. Normalmente, então, “ajustamos o zero do potencial no infinito” (Como V(O) = 0, escolher um ponto de referência equivale a selecionar um lugar onde V deve ser zero.) Mas devo alertá-lo de que há uma situação especial em que esta convenção falha: quando a própria distribuição da carga se estende ao infinito. O sintoma do problema, nesses casos, é que o potencial explode. Por exemplo, o campo de um plano com distribuição uniforme de carga é (o /2e0)fi, como constatamos no Exemplo 2.4; se inocentemente colocarmos O = 00,0 potencial na altura z acima do plano se tornará Viz) = — / —od: E -o(z — co). Joo £E0 -€0 A solução é simplesmente escolher algum outro ponto de referência (neste problema, você deve usar a origem). Observe que a dificuldade ocorre somente nos problemas de livros-texto; na “vida real” não existe distribuição de carga que se estenda indefinidamente e sempre podemos usar o infinito como ponto de referência. (iv) O potencial obedece ao princípio da superposição. O princípio original da superposição na eletrodinâmica aplica-se à força sobre uma carga de prova Q. Ele diz que a força total que age sobre Q é a soma vetorial das forças atribuídas às cargas fontes individualmente: F=F,;+Fo+... 58 Eletrodinâmica Dividindo tudo por €), constatamos que o campo elétrico também obedece ao princípio da superposição: E-E,+Eso+... Integrando a partir de um ponto de referência comum r, segue-se que o potencial também satisfaz esse princípio: V=h+kh+... Ou seja, o potencial em qualquer ponto é a soma dos potenciais produzidos por todas as cargas fontes separadamente, Só que, desta vez, é uma soma ordinária, não uma vetorial, com a qual é muito mais fácil de trabalhar. (v) Unidades de potencial. Nas nossas unidades, a força é medida em newton e a carga em coulomb; portanto, os campos elétricos são medidos em newton por coulomb. Consequentemente, o potencial é medido em newton vezes metro por coulomb, ou joule por coulomb. Um joule por coulomb é o que se chama de volt. Exemplo 2.6 Encontre o potencial dentro e fora de uma casca esférica de raio R (Figura 2.31), que tem uma carga distribuída uniformemente na superfície. Coloque o ponto de referência no infinito. Solução: a partir da lei de Gauss, o campo fora da casca é Lg E=-—— Sê, drco 2 onde q é a carga total na esfera. O campo dentro da esfera é nulo. Para pontos fora da esfera (r > R). r o 1 q o drenr E = , q ' 1 q HAr=— «dl= = Vír) / E.dl re / ni dr a Para encontrar o potencial dentro da esfera (r < R), temos que dividir a integral em duas seções, usando em cada região o campo que nela for pertinente: So fa , ' LE V == + gri— mm — (r) Amo /. p!2 dr / (0) dr dreo r' Observe que o potencial não é nulo dentro da casca, embora o campo o seja. W é uma constante nessa região, com certeza, de forma que VV = 0 — isso é o que interessa. Em problemas deste tipo, você deve sempre considerar como ponto de partida o ponto de referência; é aí que o potencial está 'fixado”. É tentador supor que se pode calcular o potencial dentro da esfera com base apenas no campo dentro da esfera, mas isso é falso: o potencial dentro da esfera é sensível também ao que está acontecendo fora dela. Se eu colocasse uma segunda casca uniformemente carregada com raio Rº > R, o potencial dentro de R se alteraria, embora o campo continuasse nulo. A lei de Gauss garante que a carga exterior a um determinado ponto (ou seja, a um 7 maior) não produz um campo líquido nesse ponto, desde que ela seja esfericamente ou cilindricamente simétrica: mas essa regra não se aplica ao potencial quando o infinito é usado como ponto de referência. Ei 1 q Di = Res Eu dreo R Figura 2.31 Capitulo 2 Eletrostática 59 Problema 2.21 Encontre o potencial dentro e fora de uma esfera sólida uniformemente carregada cujo raio é R e cuja carga total É q. Use o infinito como ponto de referência. Calcule o gradiente de W em cada região e verifique se ele fomece o campo correto. Esboce Vir). Problema 2.22 Encontre o potencial a uma distância s de um fio reto infinitamente longo que possui uma densidade linear de carga uniforme A. Calcule o gradiente do potencial e verifique se ele fornece o campo correto. Problema 2.23 Para a configuração de carga do Problema 2.15, encontre o potencial no centro usando o infinito como seu ponto de referência. Problema 2.24 Para a configuração do Problema 2.16, encontre a diferença potencial entre um ponto no eixo é um ponto no cilindro extemno. Observe que não é necessário vincular-se a um ponto de referência em particular se você usar a Equação 2.22. 2.3.3 Equação de Poisson e equação de Laplace Constatamos na Seção 2.3.1 que o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de um potencial escalar. E=-VYV. Surge a questão: como as equações fundamentais para E, v.E-2 e vxE-DO, €0 ficam em termos de V? Bem, V-E = V-(-VV) = —V2V, portanto, exceto por aquele sinal de menos persistente, o divergente de E é o laplaciano de V. A lei de Gauss então diz que veyv=-2, (2.24) Essa expressão é conhecida como equação de Poisson. Nas regiões onde não há carga, de forma que p = 0, a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace, VV =0. (2.25) Exploraremos essas equações de forma mais completa no Capítulo 3. Isso é o que acontece com relação à lei de Gauss. E quanto à lei do rotacional? Ela diz que VxE=Vx(-VV) deve ser igual a zero. Mas isso não é uma condição para V — o rotacional de um gradiente é sempre zero. Usamos, é claro, a lei do rotacional para mostrar que E pode ser expresso como o gradiente de um escalar, de forma que na realidade não é surpreendente que isto funcione: V x E = 0 permite E = —-VV: emuoca, E = —-VV garante V x E = 0. Basta uma equação diferencial (a de Poisson) para determinar V, porque VW é um escalar; para E precisamos de duas, o divergente e o rotacional, 2.3.4 O potential de uma distribuição de carga localizada Definimos V em termos de E (Equação 2.21). Normalmente, no entanto, é E que estamos procurando (se E já fosse conhecido, não haveria muito sentido em calcular V). A ideia é que pode ser mais fácil obter primeiro V e depois encontrar E calculando o gradiente. Tipicamente, então, sabemos onde a carga está (ou seja, conhecemos p), e queremos encontrar V”. A equação de Poisson relaciona V e p, mas infelizmente é “no sentido errado”: ela nos daria p, se soubéssemos V, enquanto queremos V, conhecendo-se p. O que temos de fazer, então, é “inverter” a equação de Poisson. Esse é o objetivo desta seção, embora isso seja feito por meios indiretos, começando, como sempre, com uma carga pontual na origem. Colocando o ponto de referência no infinito, o potencial de uma carga pontual q na origem, é E mel, E a 1 q] 1 « VO)-mo/ dr'= él ql TED Jog PÉ dreor o dreg? 62 | Eletrodinâmica Problema 2.26 Uma superficie cônica (um cone de sorvete vazio) tem uma densidade de carga uniforme o. A altura do cone é h, assim como o raio do topo. Encontre a diferença potencial entre os pontos a (0 vértice) e b (o centro do topo). Problema 2.27 Encontre o potencial no eixo de um cilindro sólido uniformemente carregado. a uma distância z do centro. O comprimento do cilindro é L, seu raio é R. e a densidade de carga é p. Use o seu resultado para calcular o campo elétrico nesse ponto. (Considere que 2 > L/2.) Problema 2.28 Use a Equação 2.29 para calcular o potencial dentro de uma esfera sólida de raio R com densidade de carga uniforme e carga total q. Compare sua resposta ao Problema 2.21. Problema 2.29 Verifique se a Equação 2.29 satisfaz a equação de Poisson, aplicando o laplaciano e usando a Equação 1.102. 2.3.5 Resumo: condições de contorno na eletrostática Em um problema típico de eletrostática, é dada uma distribuição de cargas fonte p, e o objetivo é encontrar o campo elétrico E que ela produz. A menos que a simetria do problema admita uma solução pela lei de Gauss, geralmente vale a pena calcular primeiro o potencial, como passo intermediário. Estas são, então, as três quantidades fundamentais da eletrostática: p, E e V. No decorrer da nossa discussão, derivamos todas as seis fórmulas que as relacionam. Essas equações estão resumidas na Figura 2.35. Começamos com apenas duas observações experimentais: (1) o princípio da superposição — uma ampla regra geral que se aplica a todas as forças eletromagnéticas e (2) a lei de Coulomb — que é a lei fundamental da eletrostática. Dessas segue-se todo o resto. Estudando os exercícios 2,4 e 2.5, ou resolvendo problemas como o 2.7, 2,11 e 2.16, você deve ter notado que o campo elétrico sempre passa por uma descontinuidade quando se atravessa uma distribuição superficial de carga de densidade o. In- clusive, é uma questão simples encontrar à variação de E nesse contorno. Suponha que desenhemos uma superfície gaussiana na forma de “caixa de pílulas”, fina como um wafer e que se estende pouco para cada um dos lados da superfície (Figura 2.36). A lei de Gauss diz que 1 1 fe -da=—OQencS—OA, % €ú Ej onde À é a área da tampa da caixa de pílulas. (Se o variar de um ponto a ouiro, ou se a superfície for curva, temos que fazer com que À seja extremamente pequena.) As laterais da caixa de pílulas não contribuem para o fluxo, no limite em que a espessura €« tende a zero, de forma que nos resta 1 1d Escima — Eibaixo = 0 (2.31) co onde Ema denota a componente de E que é perpendicular à superfície imediatamente acima € Ei é o mesmo, só que abaixo da superfície. Por coerência, consideremos que “para cima” é a direção positiva para ambos. Conclusão: a componente normal de E é descontínua por um valor o /ey em qualquer contorno. Em particular, quando não há carga distribuída na superfície, E» é contínuo, como, por exemplo, na superfície de uma esfera sólida com carga uniforme. E acima Figura 2.35 Figura 2.36 Capítulo 2 Eletrostática 63 A componente tangencial de E, por outro lado, é sempre contínua. Se aplicarmos a Equação 2.19, fe-a-o, à espira retangular fina da Figura 2.37, as pontas não contribuem (à medida que e — 0), e as laterais resultam em (E! !— | acima E paixo!). portanto El. =E! (2.32) acima abaixo” onde El! representa as componentes de E paralelas à superfície. As condições de contorno para E (equações 2.31 e 2.32) podem ser combinadas em uma única fórmula: Ss Escima — Bipaixo = —À, (2.33) eo onde fi é um vetor unitário perpendicular à superfície, apontando de “baixo” para “cima” º Entretanto, o potencial é contínuo através de qualquer contorno (Figura 2.38), já que b Vacina = Vabaixo time [ E dl; à medida que o comprimento do caminho tende a zero, o mesmo acontece com a integral: Vacima = Fabaixo- (2.34) No entanto, o gradiente de V herda a descontinuidade de E; já que E = — VV, a Equação 2.33 implica que o V Vacima = V Vabaixo = Dee (2.35) O ou, mais convenientemente, O Vacima o OVataixo = e (2.36) On on EQ onde Str cad =VV.à (2.37) on denota a derivada normal de V (ou seja, a taxa de mudança na direção perpendicular à superfície). Por favor, observe que essas condições de contorno relacionam os campos e potenciais imediatamente acima e imediata- mente abaixo da superfície. Por exemplo, as derivadas na Equação 2.36 são os valores limites à medida que nos aproximamos da superfície por qualquer um dos lados. Figura 2.37 Figura 2.38 Problema 2.30 (a) Verifique se os resultados dos exercícios 2.4 e 2.5 e do Problema 2.11 são coerentes com a Equação 2.32. (b) Use a lei de Gauss para encontrar o campo dentro e fora de um tubo cilíndrico oco longo, com uma densidade superficial de carga uniforme o. Verifique se o seu resultado é coerente com a Equação 2.33. (c) Verifique se o resultado do Exemplo 2.7 é coerente com as condições de contorno 2.34 e 2.36. 6. Observe que não importa que lado você chama de “cima” ou de “baixo”, já que a inversão trocaria o sentido de fi. Aliás. se você só estiver interes- sado no campo devido a determinada área (essencialmente plana) de carga superficial, a resposta é (o /2c9 Jf imediatamente acima da superfício e — (o /2€0)h imediatamente abaixo. Isso é decorrência do Exemplo 2.4, pois se você estiver próximo o bastante da área, ela 'parecerá” um plano infinito. Evidentemente, a descontinuidade total de E é atribuída a essa determinada área com carga. 64 Eletrodinâmica 2.4 Trabalho e energia na eletrostática 2.4.1 O trabalho feito para movimentar uma carga Suponha que você tem uma configuração estacionária de cargas fontes e quer movimentar uma carga de prova Q do ponto a ao ponto b (Figura 2.39). Pergunta: quanto trabalho você terá que realizar? Em qualquer ponto ao longo do caminho, a força elétrica sobre Q é F = QE; a força que você deve exercer, em oposição a essa força elétrica, é —QE. (Se o sinal o incomoda, imagine levantar um tijolo: a gravidade exerce a força mg para baixo, mas você exerce a força mg para cima. Você poderia, é claro, aplicar uma força ainda maior — então o tijolo sofreria uma aceleração e parte do seu esforço seria “desperdiçado” gerando energia cinética. O que nos interessa aqui é a força mínima que você precisa exercer para realizar a tarefa.) O trabalho, portanto, é b b W= | Fat=-Q [ E -dl= Q[V(b) — V(a)). Observe que a resposta é independente do trajeto escolhido para ir de a a b; então, em mecânica, chamaríamos a força eletrostática de “conservativa”. Dividindo por Q), temos W Em palavras, a diferença de potencial entre os pontos a e b é igual ao trabalho por unidade de carga necessário para transportar uma partícula de a a b, Particularmente, se você quiser trazer a carga Q de um ponto distante e colocá-la no ponto r, 0 trabalho que você deve realizar é V(b) — V(a) (2.38) W = QIV(r) — V(c0)], portanto, se você estabeleceu o ponto de referência no infinito, W = QVir). (2.39) Nesse sentido, potencial é energia potencial (o trabalho necessário para criar o sistema) por unidade de carga (da mesma forma que o campo é a força por unidade de carga). 2.4.2 A energia de uma distribuição de cargas pontuais Quanto trabalho seria necessário para reunir todo um conjunto de cargas pontuais? Imagine aproximar as cargas, uma por uma, de uma longa distância (Figura 2.40). A primeira carga, q1. não requer qualquer trabalho, já que ainda não há campo para enfrentar. Agora traga g2. Segundo a Equação 2.39, isso vai lhe custar g2 Vi (r2), onde V é o potencial devido a gj. e ro é o lugar onde estamos colocando qa: Wo = ——4» (2) dreo 22 (212 é a distância entre q) € q2, uma vez que estejam posicionadas). Agora traga q3; isso requer o trabalho g3Vi a(r3), onde V,5 é o potencial devido às cargas q, e 95. ou seja, (1/4reg)(g (213 + qa /293). Assim, Bas q d ] TF a 1 mn g2 KG = go (Eq), R Ameo (& 223 Similarmente, o trabalho extra para aproximar q4 será , na q2 q3 Wa = ga lis isso) É rey di (E | E ) da da es .. é 2 É “Cj; arde o E Figura 2.39 Figura 2.40 Capítulo 2 Eletrostática 67 Problema 2.32 Encontre a energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada de raio R e carga q. Faça-o de três formas diferentes: (a) Use a Equação 2.43. Você encontrou o potencial no Problema 2.21. (b) Use a Equação 2.45. Não se esqueça de integrar sobre todo o espaço. (c) Use a Equação 2.44, Tome um volume esférico de raio a. O que acontece quando a — 00? Problema 2.33 Aqui está uma quarta maneira de calcular a energia de uma esfera uniformemente carregada: monte a esfera camada por camada, trazendo, de cada vez, uma carga infinitesimal dg de uma grande distância, espalhando-a uniformemente sobre a su- perfície e, consequentemente, aumentando o raio. Quanto trabalho dW é necessário para aumentar o raio em dr? Integre isso para encontrar o trabalho necessário para criar a esfera inteira com raio R e carga total q. 2.4.4 Comentários sobre a energia eletrostática (1) Uma “inconsistência” desconcertante. A Equação 2.45 indica, claramente, que a energia de uma distribuição de cargas estacionárias é sempre positiva. Por outro lado, a Equação 2.42 (da qual a 2.45 foi deduzida) pode ser positiva ou negativa. Por exemplo, segundo a Equação 2.42, a energia de duas cargas de mesmo módulo e sinais opostos, a uma distância 2 uma da ouira, seria —(1/4meo) (9º /+). O que houve de errado? Qual é a equação certa? A resposta é que ambas as equações estão certas, mas elas pertencem a situações ligeiramente diferentes. A Equação 2.42 não leva em consideração o trabalho necessário para, antes de mais nada, formar as cargas pontuais; começamos com cargas pontuais e simplesmente calculamos o trabalho necessário para reuni-las. Esse é um princípio sábio, já que a Equação 2.45 indica que a energia de uma carga pontual é, de fato, infinita: a bs Do EO Gina a a E dO A ams W = rev)? / (5) (7 sen 8 dr dê dá) = RE é 2 dr = 00. A Equação 2.45 é mais completa, no sentido de que ela nos diz qual a energia total armazenada em um conjunto de cargas, mas a Equação 2.42 é mais adequada quando estamos lidando com cargas pontuais porque preferimos (por bons motivos!) deixar de fora essa parte da energia total que é atribuída à fabricação das próprias cargas pontuais. Na prática, afinal, as cargas pontuais (digamos, elétrons) são dadas prontas; tudo o que temos de fazer é movimentá-las. Como elas não foram montadas por nós e não podemos desmontá-las, não importa quanto trabalho esse processo requer. (Mesmo assim, a energia infinita de uma carga pontual é uma fonte recorrente de constrangimento para a teoria eletromagnética e aflige tanto a versão quântica quanto a clássica. Voltaremos ao problema no Capítulo 11.) Agora, talvez você imagine onde a incoerência se infilirou em uma dedução aparentemente fechada. A “Talha” está entre as equações 2.42 e 2.43: na primeira, V(r;) representa o potencial devido a todas as outras cargas exceto q;, enquanto na segunda, V(r) é o potencial total, Para uma distribuição contínua, não existe distinção, já que a quantidade de carga exatamente no ponto r é nula e sua contribuição ao potencial é zero. (11) Onde é que a energia está armazenada? As Equações 2.43 e 2.45 oferecem duas maneiras diferentes para calcular a mesma coisa. A primeira é uma integral sobre a distribuição de carga; a segunda é uma integral sobre o campo. Elas podem envolver regiões completamente diferentes. Por exemplo, no caso de uma casca esférica (Exemplo 2.8) a carga fica confinada à superfície, enquanto o campo elétrico está presente por toda a parte de fora dessa superfície. Então, onde está a energia? Ela está armazenada no campo, como a Equação 2.45 aparentemente sugere, ou está armazenada na carga, como indica a Equação 2.43? No nível atual, essa É uma pergunta que não sabemos responder. Posso lhe dizer qual é a energia total e fornecer várias maneiras de calculá-la, mas não é necessário preocupar-se com a localização da energia. No contexto da teoria da radiação (Capítulo 11), é útil (e na relatividade geral é essencial) considerar a energia como armazenada no campo, com uma densidade o 2 = energia por unidade de volume. (2.46) Mas em eletrostática, pode-se também dizer que ela está armazenada na carga, com uma densidade 2pV. A diferença é puramente uma questão de contabilidade, (ii) O princípio da superposição. Como a energia eletrostática é quadrática nos campos, ela não obedece a um princípio da superposição. A energia de um sistema composto não é a soma das energias de suas partes consideradas separadamente — existem também “termos cruzados”: Wa = 3 Bdr=5 f (E, + Eo)2 dr 68 Eletrodinâmica = 2 [(E7+E3+2E)-Eo)dr = W+H5+e / E, - Esdr. (2.47) Por exemplo, se você dobrar a carga em toda parte, irá quadruplicar a energia total. Problema 2.34 Considere duas cascas esféricas concêntricas de raios a é b. Suponha que a esfera interna tem uma carga q, e que a externa tem uma carga —g (ambas uniformemente distribuídas sobre a superfície). Calcule a energia desta configuração, (a) usando a Equação 2.45, e (b) usando a Equação 2.47 e os resultados do Exemplo 2.8. 2.5 Condutores 2.5.1 Propriedades básicas Em um isolante, tal como vidro ou borracha, cada elétron está ligado a um determinado átomo. Já em um condutor metálico, em contrapartida, um ou mais elétrons por átomo ficam livres para percorrer o material. (Em condutores líquidos, tais como a água salgada, são os íons que se movimentam.) Um condutor perfeito seria um material que contivesse um suprimento ilimitado de cargas completamente livres. Na vida real não existem condutores perfeitos, mas muitas substâncias chegam surpreendentemente perto disso. À partir dessa definição, seguem-se imediatamente as propriedades eletrostáticas básicas dos condutores ideais: (1) E = 0 dentro de um condutor. Por quê? Porque se houvesse algum campo, essas cargas livres iriam se movimentar e ele não seria mais eletrostático. Bem ... dificilmente essa é uma explicação satisfatória; talvez ela prove apenas que não se pode ter eletrostática quando há condutores presentes. É melhor examinarmos o que acontece quando colocamos um condutor em um campo elétrico externo Ego (Figura 2.42). Inicialmente, isso vai levar todas as cargas livres positivas para a direita e as negativas para a esquerda. (Na prática, são somente as cargas negativas — os elétrons — que se movimentam, mas quando eles se afastam, o lado direito fica com uma carga líquida positiva — os núcleos estacionários — de forma que realmente não importa quais as cargas que se movem; o efeito é o mesmo.) Quando chegam à beirada do material, as cargas se acumulam: positivas do lado direito, negativas do lado esquerdo. Agora, essas cargas induzidas produzem um campo próprio, E,, que, como você pode ver pela figura, tem sentido oposto a Ep. Esse é o ponto importante, pois significa que o campo das cargas induzidas tende à cancelar o campo original. E o fluxo de carga continuará até que o cancelamento seja completo, e o campo resultante no interior do condutor seja exatamente zero.” O processo todo é praticamente instantâneo. (ii) p = 0 dentro de um condutor. Isso é decorrência da lei de Gauss: V - E = p/ey. Se E = 0, então p também é. Ainda há carga, mas a quantidade de carga positiva é exatamente a mesma que a de carga negativa, de forma que a densidade líquida de carga no interior é zero. (ii) Qualquer carga líquida fica na superfície. Esse é o único lugar onde ela pode estar. ss I em I +++++++ E Figura 2.42 7. Fora do condutor 0 campo não é zero, já que lá Eg e E; não se cancelam. Capitulo 2 Eletrostática 69 (iv) Um condutor é equipotencial. Pois, se a e b são dois pontos dentro (ou na superfície) de um determinado condutor, V(b) - V(a) = — RE «dl=0,e, portanto, V(a) = V(b). (v) E é perpendicular à superfície imediatamente fora de um condutor. Caso contrário, como em (i), a carga irá imediatamente fluir ao longo da superfície até anular a componente tangencial (Figura 2.43). (Perpendicular à superfície a carga não pode fluir, é claro, já que está confinada ao objeto condutor.) Acho estranho que a carga de um condutor flua para a superfície. Devido à sua repulsão mútua, as cargas naturalmente se espalham o máximo possível, mas o fato de todas elas irem à superfície parece um desperdício de espaço interno. Com certeza seria melhor, do ponto de vista de colocar cada carga o mais distante possível de suas vizinhas, espalhar algumas pelo volume... Bem, simplesmente não é assim. É melhor colocar todas as cargas na superfície e isso é verdade, seja qual for o tamanho ou a forma do condutor. O problema também pode ser expresso em termos de energia. Como qualquer outro sistema dinâmico livre, a carga em um condutor irá procurar a configuração que minimize sua energia potencial. O que a propriedade (ii) afirma é que a energia eletrostática de um objeto sólido (com forma especificada e carga total) é mínima quando essa carga está espalhada sobre a superfície. Por exemplo, a energia de uma esfera é (1/8reo)(g2/R) se a carga estiver uniformemente distribuída sobre a superfície, como constatamos no Exemplo 2.8, mas ela será maior, (3/207eo)(g? /R). se a carga estiver uniformemente distribuída no volume (Problema 2.32). Figura 2.43 2.5.2 Cargas induzidas Se você mantiver uma carga +q próxima a um condutor não carregado (Figura 2.44), os dois irão se atrair mutuamente. O motivo para isso é que q irá puxar cargas negativas para o lado mais próximo e repelir as cargas positivas para o lado distante. (Outra maneira de pensar nisso é que a carga se movimenta de tal forma a cancelar o campo de q dentro do condutor, onde o campo total deve ser nulo.) Como a carga negativa induzida está mais próxima de q, existe uma força líquida de atração. (No Capítulo 3 vamos calcular explicitamente essa força para o caso de um condutor esférico.) Diga-se de passagem que quando falo do campo, carga ou potencial “dentro” de um condutor, quero dizer na “carne” do condutor. Se houver algum tipo de cavidade no condutor e dentro dessa cavidade houver alguma carga, então o campo dentro da cavidade não será zero. Mas de uma maneira extraordinária, a cavidade é seu conteúdo ficam eletricamente isolados do mundo exterior pelo condutor que a cerca (Figura 2.45). Campos externos não penetram no condutor; eles são cancelados na superfície externa pela sua carga induzida. Similarmente, o campo devido às cargas internas à cavidade é anulado, para Superfície gaussiana ==" É EN - ck . — Condutor + +q É Ê Ed IS Condutor Figura 2.44 Figura 2.45 8. Diga-se de passagem que os análogos uni e bidimensionais são muito diferentes: a carga em um disco condutor não vai toda para o perímetro (R, Friedberg, Am. J. of Phys. 61, 1084 (1993)), e nem a carga de uma agulha condutora vai para as pontas (D. J. Grifiths e Y. Li, Am. of Phys. 64, 706 (1996). Veja o Problema 2,52, 72 Eletrodinâmica Na presença de um campo elétrico, uma carga superficial irá, naturalmente, sofrer a ação de uma força; a força por unidade de área, f, é E. Mas aqui há um problema, já que o campo elétrico é descontínuo em uma carga superficial. Então, que valor devemos usar: Escima. Eabaixo: OU algo intermediário? A resposta é que devemos usar a média dos dois: 1 f=0cE médio = 5 (E acima + E abaixo). (2.50) Por que a média? A razão é muito simples, embora sua explicação pareça complicada. Vamos concentrar nossa atenção em uma pequena área da superfície em torno do ponto em questão (Figura 2.50). Torne-a pequena o bastante para que seja essencialmente plana e que nela, a densidade de carga seja essencialmente constante. O campo total consiste de duas partes — a que é atribuída à pequena área em si e aquela atribuída a todo o resto (outras regiões da superfície, bem como quaisquer fontes externas que possam estar presentes): E = E pequena área É outros» Agora, a pequena área não pode exercer uma força sobre si mesma, da mesma forma que você não pode erguer a si mesmo entrando em um cesto e puxando as alças para cima. A força sobre a pequena área, portanto, é devida a E ouros, € este não sofre descontinuidade (se removermos a pequena área, o campo no “buraco” ficará perfeitamente suave). A descontinuidade é totalmente devida à carga na pequena área, que gera um campo (0 /2€9) em cada lado, apontando para fora da superfície (Figura 2.50). Assim, Jg 269 E acima — E outros + n, O a E abaixo = Eoutros — 5— À, 2€0 e então 1 E outros im a(B acima + E abaixo ) = E médio + A média é na realidade apenas um recurso para remover a contribuição da própria pequena área. Esse argumento se aplica a qualquer carga superficial; no caso particular de um condutor, o campo é zero dentro e (o /eo)hi ora (Equação 2.48). de forma que a média é (0 /2e9)h, e a força por unidade de área é fora (E 2.48), de | q d 2e0 forç dade de á 1 f= —oc2h. (2.51) 20 Isso corresponde a uma pressão eletrostática sobre a superfície de dentro para fora, que tende a puxar o condutor para o campo, independentemente do sinal de o. Expressando a pressão em termos do campo imediatamente fora da superfície, p= (2.52) É 3 G/eoY Figura 2.50 Problema 2.37 Duas placas metálicas grandes (cada uma delas com área A) são mantidas a uma distância d uma da outra. Suponha que coloquemos uma carga Q em cada placa: qual será a pressão eletrostática sobre as placas? Problema 2.38 Uma esfera metálica de raio R tem uma carga total Q. Qual é a força de repulsão entre o hemisfério “norte” e o hemisfério *sul"? Capitulo 2 Eletrostática 73 2.5.4 Capacitores Suponha que temos dois condutores e que colocamos uma carga +Q em um deles e —Q no outro (Figura 2.51). Como V é constante sobre um condutor, podemos falar sem ambiguidade da diferença potencial entre eles: (+) V=N-v.=— [ E . dl. l=) Não sabemos como a carga se distribui nos dois condutores e calcular o campo seria uma confusão, se suas formas forem complicadas. Mas há algo que sabemos com certeza: E é proporcional a Q. E é dado pela lei de Coulomb: l Pp E=-— | Stdr, drTeo ) 4º de forma que dobrando p, dobra-se E, (Espere um pouco! Como sabemos que dobrando Q (e também —(Q) simplesmente dobramos p? Talvez a carga se movimente formando uma configuração completamente diferente, quadruplicando p em alguns lugares e dividindo-a pela metade em outros, de forma que a carga total de cada condutor seja dobrada. O fato é que essa preocupação não tem razão de ser — dobrar Q dobra p em toda parte: isso não desloca a carga. A prova disso virá no Capítulo 3; por enquanto, você vai ter de acreditar em mim.) Como E é proporcional a €Q), V também o é. A constante de proporcionalidade é chamada de capacitância do conjunto: Q V' Capacitância é uma quantidade puramente geométrica, determinada pelos tamanhos, formas e separação dos dois condu- tores. Em unidades SI, C é medida em farads (F); um farad equivale a um coulomb por volt. Na realidade isso acaba sendo inconvenientemente grande:” unidades mais práticas são o microfarad (1078 F) e o picofarad (107!2 F). Observe que V é, por definição, o potencial do condutor positivo menos o do condutor negativo; da mesma forma, Q é a carga do condutor positivo. Consequentemente, capacitância é uma quantidade intrinsecamente positiva. (Aliás, você irá ocasionalmente ouvir alguém falar da capacitância de um único condutor. Nesse caso, o “segundo condutor”, com a carga negativa, é uma casca esférica de raio infinito que cerca o condutor único. Ela não contribui em nada para o campo, de forma que a capacitância é dada pela Equação 2.53, na qual V é o potencial com o infinito como ponto de referência.) Cs (2.53) +0 -Q Figura 2.51 Exemplo 2.10 Encontre a capacitância de um “capacitor de placas paralelas” que consiste de duas superfícies metálicas de área A mantidas a uma distância d uma da outra (Figura 2,52), Solução: se colocarmos +Q em cima e —Q embaixo, as cargas irão se espalhar uniformemente sobre as duas superfícies, desde que a área seja razoavelmente grande e a distância de separação, pequena. !” A densidade superficial de carga, então, é o = Q/A na placa de cima, de forma que o campo, conforme o Exemplo 2.5, é (1/co)Q/A. A diferença de potencial entre as duas placas, portanto, é Q f = —E. y : fes | A d a Figura 2.52 9. Na segunda edição, afirmei que seria necessária uma empilhadeira para transportar um capacitor de | F. Isso não é mais verdade — hoje você pode comprar um capacitor de 1 F que cabe confortavelmente em uma colher de sopa. 10. A solução exara não é fácil — mesmo para o caso mais simples de placas circulares. Consulte G. T. Carlson e B. L. Nman, Am & Plrys. 62, 1099 (1994), 74 Eletrodinâmica e então A C= (2.54) Se. por exemplo, as placas forem quadradas com | em de lado e estiverem a | mm uma da outra, então a capacitância será 9x 107º E Exemplo 2.11 Encontre a capacitância de duas cascas metálicas esféricas e concêntricas, com raios a € b. Solução: coloque a carga +Q na esfera interna e —Q na externa. O campo entre as esferas é L Q. * dreo pz" de forma que a diferença de potencial entre elas é b b Q 1 Q (. E) fi - = — pia, = PR Eri ! fz a dreo Ja Tê dr dreo ka db)" Como prometido, W é proporcional a Q; a capacitância é ab C=É =dre E V ae (b—a) Para 'carregar” um capacitor, você precisa remover os elétrons da placa positiva e levá-los para a placa negativa. Ao fazer isso, você enfrenta o campo elétrico que está puxando-os de volta para o condutor positivo e afastando-os do negativo. Quanto trabalho seria necessário, então, para carregar o capacitor até uma quantidade final Q? Suponha que em algum estágio intermediário do processo, a carga da placa positiva seja q, de forma que a diferença de potencial seja q/C. Conforme a Equação 2.38, o trabalho que você precisa fazer para transportar à próxima porção de carga, dg, é dW = (5) da. Então, o trabalho total necessário para irdeg = 0a g = Qé Q 2 E q “AQ W = j (5) dg = 20º 1 W = 50V?, (2.55) ou, como Q = CV, onde V é a diferença de potencial final do capacitor. Problema 2.39 Encontre a capacitância por unidade de comprimento de dois tubos cilíndricos coaxiais metálicos. com raios a e b (Figura 2.53). Problema 2.40 Suponha que as placas de um capacitor de placas paralelas se aproximem de uma distância infinitesimal e, como resultado de sua atração mútua. (a) Use a Equação 2.52 para expressar a quantidade de trabalho feito pelas forças eletrostáticas, em termos do campo E e da área das placas A. (b) Use a Equação 2.46 para expressar a energia perdida pelo campo nesse processo. (Este problema é supostamente fácil, mas ele contém o embrião de uma dedução alternativa da Equação 2.52, usando a conservação de energia.) é Figura 2.53 Capítulo 2 Eletrostática 7” Neste caso!! “Sabe Val bi onde Q é a carga total, Escolhendo valores apropriados para «, b e c, obtenha (a partir da Equação 2.57): (a) a densidade líquida (de ambos os lados) da carga superficial o(r) em um disco circular de raio R; (b) a densidade líquida da carga superficial o(x) em uma a 2 2, =1/2 see (EE +5) (2.57) “fita” condutora infinita no plano xy que se sobrepõe ao eixo yentrez = —ae ex = q (considere que A é a carga total por unidade de comprimento da fita): (c) a carga líquida por unidade de comprimento A(::) em uma “agulha” condutora que fica entre» = —a € 2 = q. Em cada caso, desenhe o gráfico do seu resultado. 1. Para a dedução (que é uma verdadeira proeza), consulte W. R. Smythe, Static and Dyneunic Electricity, 3rd ed. (New York: Hemisphere, 1989), Sect. 5.02, Capítulo 3 Técnicas especiais 3.1 Equação de Laplace 3.1.1 Introdução A tarefa básica da eletrostática é encontrar o campo elétrico de uma distribuição de carga estacionária dada. Em princípio, esse propósito é atingido pela lei de Coulomb, na forma da Equação 2.8: 1 À remos 7 E(r) = po / Gotrjar. 61) Infelizmente, integrais deste tipo podem ser difíceis de calcular para qualquer configuração de carga, exceto as mais simples. Ocasionalmente podemos contornar essa dificuldade explorando a simetria e usando a lei de Gauss, mas geralmente a melhor estratégia é calcular primeiro o potencial, V, que é dado pela Equação 2.29, a qual é um tanto mais fácil de manejar: aj =— / Eat: (2) dreo 4 No entanto, alé mesmo essa integral é frequentemente difícil demais de tratar analiticamente. Além do mais, em problemas que envolvem condutores p em si, pode não ser conhecido de antemão: uma vez que a carga está livre para se mover, a única coisa que controlamos diretamente é a carga total (ou talvez o potencial) de cada condutor. Nesses casos, vale a pena remodelar o problema na forma diferencial, usando a equação de Poisson (2.24), VêV= o (3.3) Eq que, juntamente com a condição de contorno adequada, é equivalente à Equação 3,2, Frequentemente, de fato, estamos interessados em encontrar o potencial onde p = O. (Se p = O por toda parte, é claro, então, W = 0, e não há mais nada a dizer. Não é a isso a que me refiro. Pode haver bastante carga em outro lugar, mas estamos confinando nossa atenção a lugares onde não há carga.) Neste caso, a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace: VV =o0, (3.4) ou, escrita em coordenadas cartesianas, vo Ovo dv O nO BRO (355) Esta fórmula é tão fundamental para o assunto que se pode até dizer que a eletrostática é o estudo da equação de Laplace. Ao mesmo tempo, é uma equação ubígua que aparece em ramos diversos da física como a gravitação e magnetismo, teoria do calor e o estudo das bolhas de sabão. Na matemática, ela desempenha um papel muito importante na teoria das funções anali- ticas. Para obtermos uma boa percepção da equação de Laplace e suas soluções (que são chamadas de funções harmônicas), vamos começar com as versões uni c bidimensionais, que são as mais fáceis de descrever e que ilustram todas as propriedades essenciais do caso tridimensional (embora no exemplo unidimensional falte a riqueza dos outros dois). Capitulo 3 Técnicas especiais 79 3.1.2 Equação de Laplace em uma dimensão Suponha que V depende somente de uma variável, x. Então, a equação de Laplace torna-se dá = 0. dx A solução geral é V(x) = me + bd, (3.6) a equação para uma linha reta. Ela contém duas constantes indeterminadas (m e b), como é adequado a uma equação diferen- cial (ordinária) de segunda ordem. Elas são fixadas, em qualquer caso particular, pelas condições de contorno do problema. Por exemplo, pode-se especificar que V = 4emz = 1,eV = 0emaz = 5. Nessecasom = —-leb=5,entãoV = —-x+5 (veja a Figura 3.1). Quero chamar sua atenção para duas características desse resultado; clas podem parecer tolas e óbvias em uma dimensão, onde posso escrever a solução geral explicitamente, mas suas análogas em duas e três dimensões são poderosas e, de forma alguma, óbvias: 1. V(x) é a média de V(a +a)e Vla — a), para qualquer a: 1 V(x) = a1V(z +a)+V(a—a)). A equação de Laplace é uma espécie de instrução para nivelação pela média; ela nos diz para atribuir ao ponto x a média dos valores à esquerda e à direita de x. Soluções para a equação de Laplace são, neste sentido, tão tediosas quanto é possível, e, no entanto, se encaixam adequadamente nos limites. 2. A equação de Laplace não tolera máximos ou mínimos locais; valores extremos de V devem ocorrer nas extremidades. Na realidade isto é uma consequência de (1), pois se houvesse um máximo local, V nesse ponto, seria maior do que em qualquer lado e, portanto, não poderia ser a média. (Geralmente se espera que a segunda derivada seja negativa em um máximo e positiva em um mínimo. Mas como a equação de Laplace requer, ao contrário, que a segunda derivada seja nula, parece razoável que as soluções não tenham qualquer extremo. No entanto, isto não é uma prova, já que existem funções que têm máximos e mínimos em pontos onde a segunda derivada desaparece: x”, por exemplo, tem um mínimo assim no ponto 1 = 0.) da Figura 3.1 3.1.3 Equação de Laplace em duas dimensões Se V depende de duas variáveis, a equação de Laplace torna-se ov ( 6ºV —— + —— = (). dr? Oy? Esta não é mais uma equação diferencial ordinária (ou seja, que envolve somente derivadas ordinárias): ela é uma equação diferencial parcial. Como consequência, algumas das regras com as quais você pode estar familiarizado não se aplicarão. Por exemplo, a solução geral para esta equação não contém apenas duas constantes arbitrárias — ou, a propósito. qualguer número finito — apesar de ser uma equação de segunda ordem. De fato, não se pode escrever uma “solução geral” (pelo menos não de forma fechada como a Equação 3.6). Mesmo assim, é possível deduzir certas propriedades comuns a todas as soluções. Talvez ajude ter em mente um exemplo físico. Imagine uma folha fina de borracha (ou um filme de sabão) esticada sobre algum tipo de apoio. Para maior exatidão, imagine que você cortou uma caixa de papelão sobre uma linha sinuosa, à volta