Caderno de Exercícios sobre derivada

Caderno de Exercícios sobre derivada

(Parte 1 de 2)

Calculo diferencial Atualizado em: 23/10/2016

Sumario 1 Inclinacao da Reta 2 2 Reta Tangente, Paralela e Normal 4 3 Derivada Lateral com Limite 14 4 Aproximacao Linear 18 5 Regra da Cadeia 21 6 Derivada de Funcoes Implıcitas 24 7 Derivada de Funcoes Logarıtmicas 32 8 Derivacao Logarıtmica 35 9 Derivada Pela Funcao Inversa 40 10 Teorema De Rolle 4 1 Aplicacoes de Maximos e Mınimos 46 12 Concavidade da Funcao 63 13 Pontos de Inflexao 65 14 Maximo e Mınimo Local 68 15 Maximo e Mınimo Absoluto 71 16 Ponto Crıtico 74 17 Sentido da Funcao 7 18 Taxa Relacionada 79

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

1 Inclinacao da Reta

Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 31/03/2016

O que preciso saber?

Entao o coeficiente a e a inclinacao da reta.

Exemplo 1: Um tanque com capacidade para 1000 litros esvazia completamente em meia hora conforme a tabela.

Se P e o ponto (15, 250) sobre o grafico V(t) encontre a inclinacao da reta secantes PQ a curva onde Q e o ponto correspondente no grafico a t = 5.

Solucao Imaginamos um segmento PQ secante a curva nos pontos (15, 250) e (5, 694).

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Exemplo 2: Ache a inclinacao da reta que passa pelos pontos (2, -3) e (-4, 3). Solucao: Utilizando os pontos (2, -3) e (-4, 3) construımos o sistema

Resolvendo o sistema chegamos ao valor de a = −1. Solucao: −1 w.number.890m.com

Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correcao.

Para encontrar esse e outros exercıcios resolvidos de matematica acesse: w.number.890m.com

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

2 Reta Tangente, Paralela e Normal

Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 31/03/2016

Reta Tangente

Seja f(x) uma funcao qualquer e (x1, y1) um ponto de f(x), entao a equacao da reta tangente a f(x) neste ponto sera:

Exemplo 1: Encontre a equacao da reta tangente a funcao f(x) = 2x2 + 3 no ponto (4, 3). Solucao: f′(x) = 4x f′(4) = 4(4) = 16 Usando a formula (1) entao a equacao da reta tangente e:

Exemplo 2: Encontre a reta tangente a curva x2 + 4xy + y2 = 13 no ponto (2, 1). Solucao: A derivada implıcita da curva em relacao a x sera:

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Usando novamente a formula (1) a equacao da reta tangente a curva no ponto (2, 1) e:

Solucao: A reta tangente e horizontal quando a derivada da curva e zero.

Exemplo 4: Ache a equacao da tangente a parabola y = x2 se a tangente corta o eixo x no ponto 2.

Solucao: O grafico a seguir ilustra o problema:

No grafico acima chamamos as coordenadas do ponto de tangencia de x1 e y1.

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

A equacao acima e uma equacao do segundo grau com duas solucoes. Uma para x1 = 0 e outra para x1 = 4.

Pela figura fica evidente que a solucao que desejamos e a que ocorre para x1 = 4. Usando agora a formula (2), e ainda o fato de que a reta tangente passa por (2, 0) entao:

corta o eixo x no ponto x = 1x0

Solucao: A equacao da reta tangente no ponto generico (x0,y0) e:

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Como se queria mostrar.

Solucao:

Pela formula (1) a reta tangente a f(x) num ponto generico (x0, y0) e:

Exemplo 7: Ache a equacao das duas retas tangente a curva y = x2 − 4 e que passa pelo ponto (3, 1).

Solucao: Usando a formula (1):

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Por hipotese Rt passa por (3, 1) entao:

Resolvendo essa ultima equacao para x0 chegamos a: x0 = 1 ou x0 = 5. Se x0 = 5 entao:

Mas, se x0 = 1 entao:

Exemplo 8: Que valores devem ter as constantes a, b e c se as duas curvas y = x2 + ax + b e y = cx − x2 tem a mesma tangente no ponto (3, 3)?

Solucao: No ponto (3, 3) a equacao y = x2 + ax + b fornece a seguinte identidade.

Assim ja obtemos o valor de “c”. Para obter “a” e “b” vamos considerar a reta tangente das duas equacoes.

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Pela formula (1) a funcao da reta tangente a curva y = x2 + ax + b no ponto (3 , 3) e:

Analogamente se determina a funcao da reta tangente a curva y = cx − x2 no ponto (3,3).

Como por hipotese no ponto (3, 3) as equacoes (3) e (4) sao as mesmas entao:

Por igualdade polinomial retira-se da relacao acima as seguintes igualdades.

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Reta Normal

A equacao da reta normal a uma curva qualquer num ponto (x1,y1) e quase identica a equacao da reta tangente, exceto pelo fato que o coeficiente angular da reta normal e o oposto do inverso a da reta tangente.

Exemplo 1: Encontre a equacao da normal a funcao f(x) = 2x2 + 3 no ponto (1, 5). Solucao: Usando a formula (3) a equacao da reta normal e:

reto no ponto (√

Como a derivada de uma equacao e o oposto do inverso da outra entao ja provamos que elas se interceptam em um angulo reto. Pois, a tangente de uma e a reta normal da outra. Contudo, vamos continuar a demonstracao e torna-la mas evidente.

Com os valores acima e usando a formula (1) chegamos as seguintes equacoes:

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

no mesmo ponto.

da formula (3) o resultado seria:

No entanto, se compararmos a equacao (3) e (2) percebe-se que se trata da mesma equacao.

Ou seja, as equacoes (1) e (2) realmente se interceptam no ponto (√

reto.

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Reta Paralela

O que sao retas paralelas?

Solucao:

Por hora vamos representar esse ponto por (x0, y0). Sabe-se que ele e um ponto de tangencia da curva y = 1 + 2ex − 3x. Assim a equacao da reta tangente nesse ponto sera:

Reagrupando

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

w.number.890m.com

Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correcao.

Para encontrar esse e outros exercıcios resolvidos de matematica acesse: w.number.890m.com

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

3 Derivada Lateral com Limite

Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 31/03/2016

O valor da derivada de uma funcao num ponto pode ser calculado por meio de um limite.

E como limites podem ser calculados lateralmente entao tambem podemos falar de derivadas laterais.

Para que uma funcao f(x) possua derivada num ponto (a,b), com a,b ∈ R, e necessario apenas que:

lim x→a

Em outras palavras o valor da derivada de uma funcao num ponto a so existe se as derivadas laterais forem iguais e diferentes de ∞.

Exemplo 1: Calcule se existir, o valor da derivada da funcao f(x) = |1−x2| quando x = 1. Solucao: Primeiro calcula-se a derivada a direita.

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Como a derivada a esquerda e a direita da funcao sao diferentes entao afirma-se que a funcao f(x) = |1 − x2| nao possui derivada em x = 1.

x+2 se x > 2 verifique se ela e diferenciavel em

Solucao: Verificando a derivada a direita Quando x tende a 2 pela direita x e maior que 2 e portanto f(x) = (x + 2).

Verificando a derivada a esquerda Quando x tende a 2 pela esquerda x e menor que 2 e portanto f(x) = x2.

CONCLUSAO: Como os limites laterais sao diferentes a funcao nao e derivavel em x = 2.

Exemplo 3: Verifique se a funcao f(x) = |x − 2| e derivavel em x = 2. Solucao: Verificando a derivada a esquerda

Verificando a derivada a direita

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

CONCLUSAO: A funcao nao e derivavel neste ponto.

Exemplo 4: Verifique se a funcao f(x) = x1/3 e derivavel em x = 0. Solucao: Derivada a direita:

Como a primeira derivada lateral resultou em uma singularidade nem e necessario realizar a segunda, pois isso ja e o suficiente para se afirmar que a funcao nao e derivavel em x = 0.

Nos exemplos anteriores utilizamos limites para verificar se uma funcao e derivavel num ponto. Contudo, uma vez que se conhece as regras de derivacao nao e necessario usar limites. Veja:

Solucao: Verificando a derivada a direita

Quando x tende a 2 pela direita f(x) = (x2 + 1)cos(pix) assim:

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Verificando a derivada a esquerda

Quando x tende a 2 pela esquerda f(x) = x · sen(pix) assim:

dx xsen(pix)

CONCLUSAO: Como as derivadas laterais existem e sao identicas entao a funcao e derivavel em x = 2.

Uma obervacao importante aqui e que embora a funcao seja diferenciavel quando x = 2 o limite de f(x) nao existe para o mesmo ponto. Assim, concluımos que o fato de uma funcao nao ter limite num ponto nao implica no fato dela nao ter derivada.

w.number.890m.com

Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correcao.

Para encontrar esse e outros exercıcios resolvidos de matematica acesse: w.number.890m.com

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

4 Aproximacao Linear

Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 31/03/2016

Como e feita a aproximacao?

Seja f : R → R se quisermos determinar uma aproximacao para f(p) usamos a seguinte equacao:

onde a e o valor mais proximo possıvel de p.

Observacao: Quanto mais proximo de “p” for o valor do “a” escolhido, normalmente, melhor sera o resultado da aproximacao.

Exemplo 1: Calcule uma aproximacao de √ 50.

obtendo a aproximacao desejada.

A fracao 9 e aproximadamente igual a 7.0714. Ja √ 50 e aproximadamente 7.0711. Ou seja, conseguimos uma aproximacao perfeita ate a 3a casa decimal.

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Exercıcio 2: Encontre a aproximacao de √ 127.

Exercıcio 3: Encontre a aproximacao de sin(3.14). Solucao: Tomando f(x) = sin(x) entao queremos calcular f(3.14) onde:

Exercıcio 4: Encontre a aproximacao de ln(1.05). Solucao: Tomando f(x) = ln(x) entao queremos calcular f(1.05) onde:

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Exercıcio 5: Encontre a aproximacao de 25.1. Solucao: Tomando f(x) = 2x entao queremos calcular f(5.1) onde:

w.number.890m.com

Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correcao.

Para encontrar esse e outros exercıcios resolvidos de matematica acesse: w.number.890m.com

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

5 Regra da Cadeia

Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 31/03/2016

Como: Dx(h(x)) = cos(x) e Dx(g(x)) = 3 e pela regra da cadeia

Dxf(x) = (Dx(h(x)) ◦ g(x)) · Dx g(x) entao:

Exemplo 2: Encontre a derivada de f(x) =

Derivando h e g e: Dx(h(x)) = 2x

Sendo assim, usando entao a regra da cadeia

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Dxg(x) = cos(x) Usando entao a regra da cadeia

Exemplo 5: Encontre a derivada de f(x) = esen(2θ) Solucao Fazendo h(x) = ex e g(x) = sen(2θ) entao pela regra da cadeia:

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

w.number.890m.com

Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correcao.

Para encontrar esse e outros exercıcios resolvidos de matematica acesse: w.number.890m.com

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

6 Derivada de Funcoes Implıcitas

Contato: nibblediego@gmail.com Atualizado em 23/10/2016

Como se deriva?

Usa-se a seguinte regra:

Onde k e uma constante qualquer.

Exemplo 1: Derive a expressao x2 − 5xy + 3y2 = 7 em relacao a x. Solucao: A derivada da funcao e a soma da derivada de cada termo que a compoe, isto e:

ddx

A derivada de x2 e de 7 em relacao a x sao triviais e os resultados sao 2x e 0 respectivamente. Sendo assim:

Pela regra do produto a derivada de 5xy seria:

dx 5xy = dx y dx y usando a regra d

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Usando a mesma regra chegamos a d dx . Assim, podemos escrever a equacao (2) como:

Finalmente costuma-se evidenciar a derivada neste tipo de solucao. Veja:

Exemplo 2: Derive a expressao x2 − 5xy + 3y2 = 7 em relacao a y. Solucao: A diferenca deste exercıcio em relacao ao anterior e que agora a derivada e em relacao a y.

Derivada de x2

Derivada de 5xy

Usando a regra do produto.

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Derivada de 3y2

Derivada de 7

Portanto, ddy dy 7

Finalmente costuma-se evidenciar a derivada neste tipo de solucao.

Derivada de x2

Derivada de 5xy

Para derivada de 5xy usa-se a regra do produto.

Derivada de 3y2

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Derivada de 0

Portanto,

ddz dz 7 dz 7

Normalmente costuma se evidenciar a derivada na solucao final, mas como neste caso temos duas (dx/dz e dy/dz) a resposta pode ser dada na forma a seguir.

Exemplo 4: Derive a expressao sen

Solucao: Usando a regra da cadeia

dx sen usando a regra do quociente

d dx

( dx

Assim:

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

dx (sen

Portando, d dx (sen dx (0.5) implica em:

cos

Evidenciando dy dx chega-se ao resultado final.

4 em relacao a x.

Solucao: Pela regra da soma a derivada da expressao sera:

Exemplo 6: Encontre d2y

Solucao: Derivando implicitamente a equacao x6 + y6 = 1 temos:

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

Derivando a equacao (1) encontremos a derivada segunda.

ddx · dy dx = d

y6 dy dx

Como determinamos que dy

Exemplo 7: Use a diferenciacao implıcita para achar d2y

Solucao Derivando a equacao 4x2 − 2y2 = 9 implicitamente

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA ddx · dy dx = d

( dy como determinamos que dy y entao:

( dy

que e a equacao desejada.

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA TNT w.number.890m.com

Se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor escreva para nibblediego@gmail.com para que possa ser feito a devida correcao.

Para encontrar esse e outros exercıcios resolvidos de matematica acesse: w.number.890m.com

Exercıcios Resolvidos Diego Oliveira - Vitoria da Conquista/BA

(Parte 1 de 2)

Comentários