Baixe Elem Eletroma 3ª Ed - M.Sadiku e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! S etromagnetismo 3º edição Matthew N. O. Sadiku O autor Matthew N. O. Sadiku é professor do Departamento de Engenharia Elétrica e Computacional na Temple University. É autor de mais de 100 papers e de 15 livros, incluindo Fundamentos de Circuitos Elétricos (com €, Alexander), Metropolitan Area Networks e Numerical Techniques in Eletromagnetics. Seus interesses em pesquisa incluem técnicas numéricas em eletromagnetismo e redes de computadores. É engenheiro profissional é membro do Institute of Electrical and Electronic Engineers (TEEE), EA Ê & Era EA 8$125e — Sadiku, Matthew N. O. Elementos de eletromagnetismo / Matthew N. O, Sadiku; trad. Liane Ludwig Loder e Jorge Amoretti Lisboa. — 3.ed. — Porte Alegre: Bookman, 2004, ISBN 978-85-363-0275-1 1, Engenharia elétrica — Eletromagnetismo. [. Título. CDU 621.3:537.1/.877 Catalogação na publicação: Mônica Ballejo Canto - CRB 10/1023 Para minha esposa, Christianah Yemisi, e nossas filhas, Ann Tomi e Joyce Bolu Prefácio Os objetivos principais deste livro permanecem os mesmos da primeira edição: apresentar os concei- tos do eletromagnetismo (EM) de forma mais clara e interessante do que outros livros. Alcançamos este objetivo das seguintes maneiras: 3. A fim de superar eventuais dificuldades no tratamento simultâneo de conceitos de eletromag- netismo e de matemática, a análise vetorial é tratada no início do livro e aplicada gradualmen- à abordagem evi ntrodução repetida de fundamentos de análise vetorial, o que ge- raria uma descontinuidade no desenvolvimento do raciocínio. Os teoremas matemáticos e os conceitos físicos são abordados separadamente, facilitando ao aluno a compreensão da gene- ralidade de tais teoremas. Cada capítulo começa com uma breve introdução, que serve de guia para todo o capítulo e que estabelece sua relação com o restante do livro. A introdução auxilia os alunos a perceber a relevância do capítulo e sua relação com o capítulo precendente. Os pontos-chave são des- tacados para chamar a atenção do leitor. Ao final do capítulo, é apresentado um breve resumo dos conceitos principai A fim de assegurar que os alunos compreendam claramente os pontos importantes, os termos- chave são definidos e destacados. Fórmulas fundamentais recebem uma moldura para facili- tar sua identificação. Cada capítulo contém um número razoável de exemplos com solução, Já que os exemplos são parte do texto, eles são explicados em detalhe, de modo que, para o leitor, não restem lacunas no desenvolvimento da solução. Exemplos minuciosamente resolvidos dão confiança aos alu- nos para resolver problemas por si mesmos e para aprender a aplicar conceitos, o que é parte integrante do processo educativo em engenharia. Cada exemplo resolvido é seguido de um problema na forma de um exercício com resposta. Ao final de cada capítulo, há dez questões de revisão objetivas de múltipla escolha. Sabe-se que questões com resposta em aberto, apesar de pretender-se que instiguem o raciocínio, são ignoradas pela maioria dos alunos. Questões objetivas de revisão, imediatamente seguidas de opções de resposta, encorajam os alunos a resolver os problemas, proporcionando-lhes um re- torno imediato. Grande parte dos problemas propostos é apresentada na mesma ordem que os conceitos no corpo do texto. Os problemas de nível de dificuldade intermediária são identificados com um único asterisco. Os problemas mais difíceis são identificados com dois asteriscos. O nú- mero de problemas apresentado é suficiente para permitir ao professor selecionar alguns co- mo exemplo em sala de aula e outros como atividade extra-classe, As respostas dos proble- mas ímpares estão no apêndice €. Uma vez que a maioria das muitas aplicações práticas envolve campos variáveis no tempo, seis capítulos são destinados a tratar desse tipo de campo. Contudo, é dada a devida ênfase aos campos estáticos porque são casos especiais dos campos dinâmicos. Não é mais aceitável ignorar a eletrostática porque há indústrias de grande porte, como as de fotocópia e de peri- féricos de computadores, que embasam seu funcionamento na compreensão dos fenômenos eletrostáticos. O último capítulo trata de métodos numéricos com aplicações práticas e com programas de computador. Este capítulo é de suma importância porque a maioria das questões práticas só podem ser resolvidos com o uso de técnicas numéricas. Mais de 130 exemplos ilustrativos e de 400 figuras são apresentados no texto. Algumas infor- mações adicionais, como fórmulas e identidades matemáticas básicas, estão incluídas no Apêndice. Algumas orientações são dadas em uma nota especial para os estudantes, que su- cede este prefácio. Sumário EE PARTE 1: Análise vetorial 1. Algebravetorial! cos cantos ro span sa Sua pii EU GUUa 19 1.1 Introdução ........c...o 19 t1.2 Uma visão prévia do livro 19 1.3 Escalares e vetores . 2 14 Vetor unitário: as cs area senna alii ea ae Lao a nn ea ú 21 t1.5 | Soma subtração de vetores .... = 2% 16 Vetor posição e vetor distância .. siso 23 17 Multiplicação:vetorial samana canais ias nas ra ae raca a 26 1.8 Componentes de um vetor 30 Resumo . 35 Questões de revisão 36 PEÇO IEA RR RA 37 2 Sistemas e transformação de coordenadas ........iiccciiiiiiiis 41 Rol Iniiodução suraaa spa DRE Do Rae O aa ca 4 22 Coordenadas cartesianas (x,y,2) ...cccccos a 23 Coordenadas cilíndricas circulares (p, 6,2) .. sie AD 24 Coordenadas esféricas (7:0, O) susiscansssaniaasdaasisgaress 45 t2.5 Superfícies de coordenada constante . eso SR Resumo ... e Questões de revisão 57 PROPINAS nie ae ste acaa te opa apo oo RA Re Em a ta 58 12 E Sumário 3 Cálculo vetorial ............. 3.1 13.2 33 34 35 3.6 Be, 38 Introdução usas assess: Comprimento, área e volume dife: ua Integrais de linha, de superfície e de volume ....cccccccisicsssierecro 68 O operador del ....... :N Gradiente de um escalar . 72 Divergência de um vetor e teorema da divergência 76 Rotacional de um vetor e teorema de Stokes .....iiiiiciicissieeeios 82 Laplaciano de um escalar. ....... . 89 Classificação de campos vetoriais . ato = 91 RESUIO soe pas sr aaa atra asno pa 94 Questões de revisão .. Problemas . PARTE 2: Eletrostática 4 Campos eletrostáticos .......cceeseeeses cus cena era o 107 dd INIDANÇÃO: jansume natas crase asma nc muaisa ces anna iate ra 107 42 Lei de Coulomb e intensidade de campo ........... - 108 43 Campos elétricos de distribuições contínuas de carga . - 4 44 Densidade de fluxo elétrico... secs eesesserenrreserscererrane mes 125 45 Lei de Gauss — equação de Maxwell - 126 4.6 — Aplicações da lei de Gauss ... 128 47 Potencial elétrico ...... 134 48 Relação entre o campo elétrico e o potencial elétrico — êmuação da MBEWeI: axa cessa cessa aterro dedo caes Rd 139 49 O dipolo elétrico e as linhas de fluxo .... 142 4.10 — Densidade de energia em campos eletrostáticos «145 Resumo ,...... =. 149 Questões de Pevisão. causos asse auras nascera ncnasascraaas 151 (ETOD GIRAS Di cet ao tanto at pet RARE AA boa ae 153 5 Campos elétricos em meio material .........ciiccciisssisiiiio 159 Sd IROdUÇÃO: casseta sia a gs 159 5.2 Propriedades dos materiais ........ 159 5.3 Correntes de convecção e de condução 160 5.4 Condutores 162 5.5 Polarização em dielétricos ... 167 5.6 Constante e rigidez dielétrica . e 15.7 Dielétricos lineares, isotrópicos e homogêneos ... 171 5.8 Equação da continuidade e tempo de relaxação ....c.illlccicitcooo 175 5.9 Condições de fronteira ca VIA Resumo ssssssasai iss - 185 Questões de revisão .. meme aereas nm meia eia esa nim mens ma 186 BRODIEMAS opaca posuiorcenas em eneteto metres doa penca remetem - 188 Sumário E 15 12 Guias de onda 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 +127 12.8 13 Antenas 131 132 133 134 13.5 13.6 13.7 EDER ga 487 Introdução +... E .. 487 Guia de onda retangular . 487 Modos transversais magnéticos (TM) .....cscsisicicsiseercecenee 492 Modos transversais elétricos (TE) . 495 Propagação da onda no guia .. 505 Transmissão de potência e atenuação ...... : . 507 Corrente e excitação de modos no guia de onda .....cccisisicsiiieo 510 Ressonadores de guia de onda 515 RESUMO! samira eee soname . 520 Questbes de revisão sizes zesuuca seno reeceassp serranas s21 ELOGIAM AS antas er ter nan Pao RN a E Dan ane Ga 522 Ep MD CUaTa Una CE faca gaPa aaa URNA Ja eU agar ans mun persas ava 526 Introdução ....... . 526 Dipolo hertziano 528 Antena dipolo de meia onda .. ss 531 Antena monopolo de quarto de onda ....iiiissiiiiisiiiisisiioo 535 Antena pequena em anel... - 536 Características das antenas . Conjuntos de antenas Área efetiva e equação de Fi A equação do radar Resumo ........ Questões de-reviSãO. ... emma emmeimnim mao a maca eseie ro acao isa aa e 562 PEDIMOS apceca pes esoun PETER RI IRS qa 564 14 Tópicos modernos ...........iiiiisciisiii sitter 570 14.1 Introdução ... ne 14.2 Microondas . agree . 570 143 | Interferência e compatibilidade eletromagnética ......cccciciocci ooo. 575 144 Fibra Ólica jin neieina oa je A Tela ao ecoa Te a aco ba a 580 Resumo ........ 21::585 Questões de revisão .. u .. 586 Problemas;, «cics en nana na vb nva io mais opaco raid epa laia wie jo a a ani 587 15 Métodos numéricos ss usas ssssssssussssasa xcsncensancasnes 590 15 IntadaÇãO: ssasasasasrs pera rarmeso cre esa rd renma a 590 +15.2 Plotagem de campo .. - 591 15.3 O método das difere: 598 15.4 O método dos momentos . 610 15.5 O método dos elementos finitos ......iciscisisscsscsssiaacesaearo 620 Resumo ..... 206037 Questões de revisão . 637 Problemas: 1. isa ssa ES al 639 16 E Sumário Apêndice A usas TESES SUR OE 650 A pendice E/= ea a A Ped = Pp pe 660 Apêndice € sms oismnsis mine isços terrenos ceuqiciato mero afagacosenesarasesni a (esto ta 662 Apêndice D'sau sssasaseaasssesssa anseia fa aa raatsasastes usa ni 682 Indice asi ias sÓ TA SETOR 685 PARTE 1 ANÁLISE VETORIAL 20 E Elementos de Eletromagnetismo VxE=—"— (1.3) (1.4) o vetor operador diferencial; a densidade de fluxo elétrico; a densidade de fluxo magnético; a intensidade de campo elétrico; a intensidade de campo magnético; a densidade volumétrica de carga; a densidade de corrente. da rápida n é lógico que dediquemos algum tempo na Parte I para examinar as ferramentas matemáticas reque- ridas para esse curso. As derivações das equações (1.1) a (1.4), para condições invariantes no tempo, e o significado físico das grandezas D, B, E, H, J e p, serão objeto de nosso estudo nas partes Il e HI. equações mostra que devemos operar com grandezas vetor) Na parte IV reexaminaremos as equações para o regime de variação temporal e as aplicaremos em nosso estudo de dispositivos do EM encontrados na prática. 1.3 ESCALARES E VETORES A análise vetorial É uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo (EM) são mais convenientemente expressos e melhor compreendidos. Precisamos, primeiramente, apren- der suas regras e técnicas antes de aplicá-las com segurança. Já que muitos estudantes fazem esse curso tendo pequena familiaridade com os conceitos de análise vetorial, uma considerável atenção é dada a essa análise neste e nos próximos dois capítulos Este capítulo introduz os conceitos básicos de álgebra vetorial, considerando apenas coordenadas cartesianas. O capítulo seguinte parte daí e es- tende esse estudo para outros sistemas de coordenadas. Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor. Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude. Grandezas como tempo, massa, distância, temperatura, entropia, potencial elétrico e população são escalares. Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação. Grandezas vetoriais incluem velocidade, força, deslocamento e intensidade de campo elétrico, Uma outra categoria de grandezas físicas é denominada de tensores, dos quais os escalares e os vetores são casos particulares. Na maior parte do tempo, estaremos trabalhando com escalares e vetores.” Para fazer distinção entre um escalar e um vetor, convenciona-se representar um vetor por uma letra com uma flecha sobre ela, tais como À e B, ou por uma letra em negrito, tais como A e B. Um escalar é simplesmente representado por uma letra, por exemplo: À, B, Ue V. A teoria do EM é essencialmente um estudo de campos particulares. Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma região. O leitor que não sinta necessidade de revisão de álgebra vetorial pode seguir para o próximo capítulo. * Para um estudo inicial sobre tensores, consulte. por exemplo. A. [. Borisenko e 1. E. Tarapor. Vector and Tensor Analysis with Application, Englewood Cliffs, Álgebra Vetorial 21 Se a grandeza é um escalar (ou um vetor), o campo é dito um campo escalar (ou vetorial). Exemplos de campos escalares são: a distribuição de temperatura em um edifício, a intensidade de som em um teatro, o potencial elétrico em uma região e o índice de refração em um meio estratificado. A força gravitacional sobre um corpo no espaço e a velocidade das gotas de chuva na atmosfera são exem- plos de campos vetoriais. 1.4 VETOR UNITÁRIO Um vetor A tem magnitude e orientação. A magnitude de A é um escalar escrito como A ou |A|. Um vetor unitário a, ao longo de A é definido como um vetor cuja magnitude é a unidade (isto é, 1) e a orientação é ao longo de A, isto é: aqua aÃ [5 “= JTA (1.5) Observe que 1. Dessa forma, podemos escrever À como A = Am (1.6) o que especifica completamente A em termos de sua magnitude A e sua orientação a,. Um vetor A, em coordenadas cartesianas (ou retangulares), pode ser representado como (AÇAÇÃ) ou Aa +Aa + Aa mM onde A,, A, e A, são denominadas as componentes de A, respectivamente nas direções x, ye z;a, à e a, são, respectivamente, os vetores unitários nas direções x, y e z. Por exemplo, a, é um vetor adi- mensional de magnitude um na direção e sentido positivo do eixo dos x, Os vetores unitários a,, a, € a, estão representados na Figura 1.1(a), e as componentes de A, ao longo dos eixos coordenados, es- tão mostradas na Figura 1.1(b). A magnitude do vetor A é dada por: A= VERA (1.8) eo vetor unitário ao longo de A é dado por: (1.9) cap O) Figura 1.1 (a) Vetores unitários a,. a, e a; (b) componentes de A ao longo de a,. a, e a.- 22 E Elementos de Eletromagnetismo “1.5 SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES Dois vetores A e B podem ser somados para resultar em um outro vetor C, isto é: C=A+B (1.10) A soma de vetores é feita componente a componente. Dessa forma, se À = (A, A, AJeB = (B,. B,, B), C=(A, + Bja,+ (A, + Bja, + (A. + Boa, (LIT) A subtração de vetores é feita de modo similar: D=A-B=A+(-B) A, — Bja + (A, — Ba, + (A. — Bja, ÉL. 12) Graficamente, a soma e a subtração de vetores são obtidas tanto pela regra do paralelogramo quanto pela regra do “início de um — final de outro”, como ilustrado nas Figuras 1.2 € 1,3, respectivamente. As três propriedades básicas da álgebra que são satisfeitas por quaisquer vetores dados A, Be C, estão resumidas na tabela a seguir: Propriedade Soma Multiplicação Comutativa A+B +A KA = Ak associativa AFIBHCO=(A+-B)+C MLA= (OA Distributiva MA+B)=kA+KB onde X e / são escalares. A multiplicação de um vetor por outro vetor será discutida na Seção 1.7. LT 7 ta) (by Figura 1.2 Soma de vetores C = A + B: (a) regra do paralelogramo; (b) regra do “início de um-final de outro”, Figura 1.3 Subtração de vetores D = A - B; (a) regra B do paralelogramo; (b) regra do “início de um-final de D outro”. A A -B B (9 O) Álgebra Vetorial E 25 EXEMPLO 1.3 d= Irol=V9+1+1=3317 Alternativamente: d=Vixo x +00 + (co) =V9+1+1=3317 (d) Seja o vetor requerido A, então: A=Aa, onde À = 10 éa magnitude de A. Já que A é paralelo a PQ, o vetor unitário deve ser o mesmo de rpg ou rop: Portanto, aq = re 2 CBL) * lrpol 3317 e A= ag ltda Lim) = *(—9,045a, — 3,015a, + 3,015a,) = as E(-9045a, — 50154, + 30154, EXERCÍCIO PRÁTICO 1.2 Dados os pontos P(I, — 3, 5), O(2, 4, 6) e R(O, 3, 8), determine: (a) os vetores posição de Pe R, (b) o vetor distância rop. (c) a distância entre Q e R. 1; + 2a. Resposta: (a)a, — 3a, + 5a,,3a, + 3a,, (b) — 2a— Um rio, no qual um barco navega com sua proa apontada na direção do fluxo da água, corre com orientação sudeste a 10 km/h. Um homem caminha sobre o convés a 2 km/h, do lado esquerdo para o lado direito do barco, em direção perpendicular ao seu movimento, Determine a velocidade do ho- mem em relação à terra. Figura 1.6 Referente ao Exemplo 1.3, 26 mB Elementos de Eletromagnetismo Solução: Considere a Figura 1.6 como ilustração do problema. A velocidade do barco é: u, = 10(cos 45º a, — sen 45º a,) =7,07la, — 7,071a, km/h A velocidade do homem em relação ao barco (velocidade relativa) é: u, = X-—cos 45º a, — sen 45º a) = —1,414a,; — 1,414a, km/h Dessa forma, a velocidade absoluta do homem é: ui = U, tu, = 5657a, — 8,485a, lu) = 10,2/-56,3º isto & 10,2 km/h a 56,3º do leste para o sul. EXERCÍCIO PRÁTICO 1.3 Um avião tem uma velocidade em relação ao solo de 350 km/h exatamente na dire- ção oeste. Se houver vento soprando na direção nordeste com velocidade de 40 km/h, calcule a velocidade real do avião no ar e a orientação em que ele se desloca. Resposta: 379,3 km/h; 4,275º do oeste para o norte. 1.7 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL Quando dois vetores, A e B, são multiplicados entre si, o resultado tanto pode ser um escalar quanto um vetor, dependendo de como eles são multiplicados. Dessa forma, existem dois tipos de multipli- cação vetorial: 1. produto escalar (ou ponto): A : B 2. produto vetorial (ou cruzado): A X B A multiplicação de três vetores A, Be €, entre si, pode resultar em: 3. um produto escalar triplo: A « (B X C) ou 4. um produto vetorial triplo: A X (B x Cy A, Produto ponto O produto ponto de dois vetores A e B, escrito como À + B, é definido, geometricamente, co- mo o produto das magnitudes de A e B e do cosseno do ângulo entre eles. Assim, AB cos Op (1.15) Álgebra Vetorial E 27 onde 8 ,; é o menor ângulo entre A e B. O resultado de A - B é denominado de produto escalar, por- que é um escalar, ou de produto ponto, devido ao ponto — sinal que identifica a operação. Se A = (A, A,AJeB=(B,B, B.), então AB=AB+AD,+AB, (1.16) que é obtido multiplicando-se A e B, componente a componente. Dois vetores, À e B, são ditos or- togonais (ou perpendiculares), um em relação ao outro, se A - B = 0. Observe que o produto ponto satisfaz as seguintes propriedades: (1) Propriedade comutativa: A-B=B-A (1.17) (ii) Propriedade distriburiva: A(B+O-A-B+A-C (1.18) AA=|AÍ (1.19) (iii) Observe também gue: aca =aca=aca=0 (1.204) aca=a, =1 (1.20b) É fácil provar as identidades nas equações (1.17) a (1.20) aplicando a equação (1.15) ou (1.16). B. Produto cruzado O produto cruzado de dois vetores, A e B, escrito como A X B, é uma quantidade vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B (ver Figura 1.7) e cuja orienta- ção é dada pelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B. AXB=ABsenth, (1.21) onde a, é um vetor unitário normal ao plano que contém A e B. A orientação de a, é tomada como a orientação do polegar da mão direita quando os dedos da mão direita giram de A até B, como mostra- dona Figura 1.8(a). Alternativamente, a orientação de a, é tomada como a orientação do avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B, como mostrado na Figura 1.8(b). A multiplicação vetorial da equação (1.21) é denominada produto cruzado devido à cruz — sinal que identifica a operação. É também denominada produto vetorial porque o resultado é um vetor, Se A=(A,A4,4)eB =(B,B, B), então ja, a a AXB=|A A, A (1.222) B. BB. = (AB. — ABja, + (AB, — ABJa, + (AB, — ABya. (1.22) a qual é obtida “cruzando” os termos em permutação cíclica. Daí o nome de produto cruzado. 30 E Elementos de Eletromagnetismo 1.8 COMPONENTES DE UM VETOR EXEMPLO 1.4 Uma aplicação direta do produto vetorial é seu uso para determinar a projeção (ou a componente) de um vetor em uma dada direção. A projeção pode ser escalar ou vetorial. Dado um vetor A, definimos a componente escalar A, de A ao longo do vetor B como [veja Figura 1.10(a)] Ap=AcosB4p = |Alag cos Bap ou Ap= Ava (1.33) A componente vetorial A, de A ao longo de B é simplesmente a componente escalar na equação (1.33) multiplicada por um vetor unitário ao longo de B, isto é: Ap = Apap = (A - anas (1.34) “Tanto à componente escalar quanto a vetorial de A estão representadas na Figura 1.10. Observe, na Figura 1.10(b), que o vetor pode ser decomposto em duas componentes ortogonais: uma componen- te A, paralela a B e a outra (A — A,) perpendicular à B. De fato, nossa representação cartesiana de um vetor consiste, essencialmente, em decompô-lo em suas três componentes mutuamente ortogo- nais, como mestrado na Figura 1.10(b). Consideramos até aqui a soma, a subtração e a multiplicação de vetores. Entretanto, a divisão de vetores A/B não foi considerada porque é indefinida, exceto quando os vetores são paralelos entre si, tal que A = kB, onde k é uma constante. A diferenciação e a integração de vetores será tratada no Ca- pítulo 3. a A AAg o 0 As E AB é Ag Ag (a) d) Figura 1.10 Componentes de A ao longo de B: (a) componente escalar 4,: (b) componente vetorial A,. Dados os vetores A = 3a, +4a,+a.e B = 2a, -5a,, determine o ângulo entre A e B. Solução: O ângulo 9, pode ser determinado usando ou o produto ponto ou o produto cruzado. A-B=(3,4,1):(0,2,-5) =0+8-5=3 g=VP+rS+T= Va Bl=VO+rZ+-sy = VD ABI So. IB! 2909 0as = cos | 0,1092 = 83,73º cos bag = = (,1092 Álgebra Vetorial 31 Alternativamente: a a, a, AXxB=]3 4 1 0 2 -5 = (20 — 2a, + (0 + I5)a, + (6 — O)a. = (—22,15,6) IAXB|=W(-22) + 152 +6º = "745 IaxB| Ns sen up = ABI v2oce Op = cos”! 0,994 = 83,73º EXERCÍCIO PRÁTICO 1.4 SeA=a,+3a. cB=5Sa,+2a, —6a., determine 04. Resposta: 120,6º. EXEMPLO 1.5 Três campos vetoriais são dados por: P=2a,-—a, Q=2a,—a,+2a, R=2a,-3a,+a, Determine: (a) (P+Q) x(P-Q); (b) Q-RxP; (e) P-QxR; (d) sen Opa: (e) PxX(QxR); (1) um vetor unitário perpendicular a Q'e à R, simultaneamente; (g) a componente de P ao longo de Q. Solução: (a) (P+OxP-Q)=Px(P-Q)+0x(P- 0) =PXxP-PXQ+QxP-0xQ 0+QxP+QxP-o =20xP a, a, a =22 “1 2 2 0 =1 =%1-0a+24+2a,+20+2)a. =2a, + 2a, + da. 32 E Elementos de Eletromagnetismo (b) O único modo em que Q + R X P faz sentido é: ja, a a, QO-RxP=Q,-1,D-|2 —3 1 2 o +— =(2,-1,2)-(3,4,6) =6-4+12=|4. Alternativamente: 2 “l 2 QRxP=| -3 l 2 SO = Para encontrar o determinante da matriz 3 X 3, repetimos as duas primeiras linhas e multiplicamos cruzadamente. Quando a multiplicação cruzada for da direita para a esquerda, o resultado deve ser multiplicado por — 1, como mostrado abaixo, Essa técnica de encontrar o determinante se aplica so- mente em matrizes 3 X 3. Dessa maneira, Q-(Rx Pj =+6+0-2+12-0-2 = 4 como obtido anteriormente. (c) Da equação (1.28) P-(QXR)=Q-(RxP)=I4 ou P(QxR)=(2,0,-1):(5,2,—4) =10+0+4 =I4 (d) DARE lo xRI 5,29] “ter Tojrj [2-1 2]e =D NE VE gs 3VI4 vVI4 (e) Px(QxR)=(2,0,-1) x (5,2, —4) Alternativamente, usando a regra “bac — cab”: Px(QxR)=QP-R)-— R(P-Q) (Q-12N4+O-D—(2,-3, 14 +0-2) = (2,3,4) (f) Um vetor unitário perpendicular a Q e a R, simultaneamente, é dado por: £QXR 2,=4) IOXRI Nas = *(0,745, 0,298, —0,596) ás Álgebra Vetorial BM 35 RESUMO Fm (a) cb Figura 1.12 Referente ao Exemplo 1.7. A menor distância entre a linha e o ponto P. (3, — 1, 0) é a distância perpendicular do ponto até a linha. Da Figura 1.12(b) é evidente que: d'= tmp, Sen O = [top X App o (-2,—3,4) x (4, —1,6)] Qualquer ponto sobre a linha pode ser usado como pento de referência. Dessa forma, em vez de usar P, como ponto de referência, poderíamos usar P, tal que: d= Irpplsend! = Imp, X app] EXERCÍCIO PRÁTICO 1.7 SeP, é(1,2,-3)e P, é(-4,0,5), determine: (a) a distância P, P, ; (b) a equação vetorial da linha 2, Ps; (c) a menor distância entre a linha P, P,e o ponto Pá (7, 1,2); Resposta: (a) 9,644: (b) (1 — Sha, + 21 — Na, + (8h — 3) a,: (c) 8,2. 1. Um campo é uma função que especifica uma quantidade no espaço. Por exemplo, A(x, x, :) é um campo vetorial, enquanto que Víx, 3, ) é um campo escalar. 2. Um vetor A é univocamente especificado pela sua magnitude e por um vetor unitário ao longo de sua orientação, isto é, À = Aa,. 3. A multiplicação entre dois vetores A e B resulta em um escalar À - B = AB cos 0,, ou em um vetor À X B = AB sen 0,,a,. A multiplicação entre três vetores A, B e C resulta em um escalar A-(B x C)ouem um vetor A X (B x €). 4. A projeção escalar (ou componente) de um vetor A sobre B é A, = A - a,, enquanto que a pro- jeção vetorial de A sobre B é A, = Ad, 36 E Elementos de Eletromagnetismo 1.1 Identifique qual das seguintes grandezas não é um vetor: (a) força, (b) momentum. (c) aceleração, (d) trabalho, (e) peso. 1.2 Qual das seguintes situações não representa um campo escalar? (a) Desloc; (b) A luminosidade em uma sala de estar. (c) A distribuição de temperatura em uma sala de aula. (d) A pressão atmosférica em uma dada região. (e) A umidade do ar em uma cidade. nento de um mosquito no espaço. 1.3 Os sistemas de coordenadas retangulares, representados na Figura 1.13, são dextrógiros, com ex- ceção de: y ' ge (9) Pa E ca (e) (1 Figura 1.13 Referente à questão de revisão 1.3, 1.4 Qual das expressões abaixo não está correta? (AxA=|af (DAXB+BXA=O (O A-B-C=B-C-A (d) accaç= a. (c)a=a-— ay onde a, é um vetor unitário. 1.5 Qual das seguintes identidades não é válida? (a) alb + c) = ab + be bDaxb+roj)=axbtraxe (Jarb=b-a Detaxb)=-b-(axe (e) a "as = cos dp 1.6 Quais das seguintes afirmações não têm significado? (a) A-B+24=0 b) A-B+5=2A Álgebra Vetorial E 37 PROBLEMAS ] 1.7 18 1.9 110 (0) A(A + B)+2=0 (D)AA+B-B= Sejam F=2a —6a, + I0a.eG=a +Ga, + 5a.. Se Fe G tem o mesmo vetor unitário, G, é: (a) 6 (e) 0 (b) —3 (d) -6 Dado que A =a +oa +a cB = ca +a,+a, se Ae B são perpendiculares entre si, a é igual a: (a) —2 (1 (b) =1/2 (2 (ec) 0 A componente de 6a, + 2a, — 3a, ao longo de 3a, — 4a, é: (a) —12a, — 9a, — 3a; (b) 30a, — 40a, (e) 10/7 (d) 2 (e) 10 Dado À =— 6a, +3a, + 2a, a projeção de A ao longo de a, é igual a: (a) — 12 (b) —4 (20) 3 td) 7 (e) 12 Respostas: 1.1d; 1.24; 1.3b,e; 1.4b; 1.5a; 1.6b,e; 1.7b; 1.8b; 1.9d; 1.10€. 11 12 13 Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o ponto (2, 4, 4) ao ponto (— 3, 2, 2). Sejam A —2a,+5a,-3a, B-3a,-4,cC-=a +a +a. (a) Determine A + 2B. (b) Calcule [A-SC| (e) Para quais valores de k €|kB | = 2? (d) Determine (A X BX(A - B). Se A=2a+ta,-— 3a. B= C=3a,+5a,+ 7a, determine: (a) A—2B + C (db) C-4(A + B) 2A —- 3B Se (0) A-C- BP (e) Bx (SA +4C) 40 E Elementos de Eletromagnetismo 1.21 Dado À = xya, — yza, + yz'a,, determine: (a) a magnitude de A no ponto T(2, —1, 3); (b) o vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6 unidades de distância afastado de T e com a mesma orientação de A em T; () o vetor posição de S. 122 Ee Fsão campos vetoriais dados por E = 2xa, + a, + yza,e F (a) |Elem (1,2,3): (b) a componente de E ao longo de F em (1,2, 3): (c) um vetor perpendicular tanto a E quanto a F em (0, 1, — 3), cuja magnitude seja um. +ayza,. Determine: Capítulo 2 SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS A educação torna fácil liderar um povo, mas difícil manobrá-lo; fácil governá-lo, mas impossível escravizá-lo. — HENRY P. BROUGHAM 2.1 INTRODUÇÃO 1968, p. 124-130, Em geral, as quantidades físicas com que trabalhames no EM são funções do espaço e do tempo. A fim de descrever as variações espaciais dessas quantidades, devemos ser capazes de definir todos os pentos de maneira unívoca no espaço de forma adequada. Isto requer o uso de um sistema de coor- denadas apropriado. Um ponte, ou um vetor, pode ser representado em qualquer sistema de coordenadas curvilíneo, ortogonal ou não-ortogonal. Um sistema ortogonal é aquele em que as coordenadas são mutuamente perpendiculares. Sistemas não-ortogonais são difíceis de trabalhar e são de pouca ou nenhuma utilidade prática. Exemplos de sistemas de coordenadas ortogonais incluem o sistema cartesiano (ou retangular), o ci- líndrico circular, o esférico, o cilíndrico elíptico, o cilíndrico parabólico, o cônico, o esferoidal oblon- go, o esferoidal achatado e o elipsoidal.' Pode-se economizar uma parcela considerável de tempo e de trabalho ao escolher um sistema de coordenadas que mais se adapta a um dado problema. Um pro- blema difícil em um sistema de coordenadas pode ser de fácil solução em um outro sistema. Neste texto, nos restringiremos aos três mais conhecidos sistemas de coordenadas: o cartesiano, o cilíndrico circular e o esférico. Embora tenhamos considerado o sistema cartesiano no Capitulo 1, o trataremos em detalhe nesse capitulo. Devemos ter em mente que os conceitos abordados no Capi- tulo 1, e demonstrados para o sistema de coordenadas cartesiano, são igualmente aplicáveis para ou- tros sistemas de coordenadas. Por exemplo, o procedimento para determinar o produto ponto ou € produto cruzado entre dois vetores no sistema cilíndrico é o mesmo que o usado no sistema cartesia- no no Capítulo 1. Alguma vezes, é necessário transformar pontos e vetores de um sistema de coordenadas para ou- tro sistema. As técnicas para operar essa mudança de coordenadas serão apresentadas e ilustradas com exemplos. Para um estudo introdutório desses sistemas de coordenadas, vide M. R. Spiegel, Marhematical Handbook of Formulas and Tables. New York: McGraw-Hill, 42 E Elementos de Eletromagnetismo 2.2 COORDENADAS CARTESIANAS (X, Y, Z) Como mencionado no Capítulo 1, um ponto P pode ser representado por (x, y, 2), conforme ilustrado na Figura 1.1. Os intervalos de variação das variáveis coordenadas x, y e z são: —» <y< o —» <y< 00 (2.1) = <q < 00 Um vetor À em coordenadas cartesianas (também conhecida como retangulares) pode ser escrito co- mo: (As As A) ou Açay + Aa, + Aja: (2.2) onde a,, a, e a são vetores unitários ao longo de x, y e z, como mostrado na Figura 1.1. 2.3 COORDENADAS CILÍNDRICAS CIRCULARES (p, &, Z) tema de coordenad: tria cilíndrica. Um pento P, em coordenadas cilíndricas, é representado por (p, 4, z), como mostrado na Figura 2.1, Observe a Figura 2.1 atentamente e verifique como definimos cada uma das variáveis espaciais: pé o raio do cilindro que passa por P ou é a distância radial a partir do eixo <; 4, denominado ângu- lo azimuttal, é medido a partir do eixo x no plano xy; e z é o mesmo do sistema cartesiano. cilíndrico circular é conveniente quando tratamos problemas com sime- Os intervalos das variáveis são: 0Osp<=x 0=6<2 (23) -0 <<. Um vetor A, em coordenadas cilíndricas, pode ser escrito como: (Apr Ag, AS) ou A, + Asas + Aa. (2.4) onde a,, a,e a são vetores unitários ao longo de p, &, e z, como mostrado na Figura 2.1. Observe que a, não é dado em graus: ele assume a unidade do vetor unitário de A, Por exemplo, se uma força de 10 N age sobre uma partícula em movimento circular, a força pode ser representada co- mo F = 10a, N. Neste caso, a, é dada em newtons. m Figura 2.1 Ponto P e vetor unitário no sistema de coor- denadas cilíndricas. Sistemas e Transformação de Coordenadas E | 45 2.4 COORDENADAS ESFÉRICAS (r, 0, &) O sistema de coordenadas esférico é mais apropriado para tratar problemas com simetria esférica. Um ponto P pode ser representado como (r, 8, &), conforme ilustrado na Figura 2.4. Dessa figura, ve- rifiça-se que r é definido como a distância a partir da origem até o ponto P ou o raio da esfera centra- da na origem e que passa por P; 6 (denominado co-latitude) é o ângulo entre 0 eixo z e o vetor posi- ção de Pe é é medido a partir do eixo x (o mesmo ângulo azimutal em coordenadas cilíndricas). De acordo com essas definições, os intervalos de variação das variáveis são: Usr<=o 0=0=7r (2.17) 0=6<2m Um vetor A, em um sistema de coordenadas esféricas, pode ser escrito como: (Ar Ag As) ou Aa, + Ação + Asdg (2.18) onde a,, a, € a, são vetores unitários ao longo de r, e 4. A magnitude de A é: IAL = (47 + A; + Ag (2.19) Os vetores unitários a, a, € a, são mutuamente ortogonais; a, orientado segundo o raio ou no sen- tido de crescimento de r, a, no sentido de crescimento de 6 e a, no sentido de crescimento de é, Lo- go, (2.20) Figura 2.4 Ponto Pe os vetores unitários no sistema de coordenadas esféricas. 46 E Elementos de Eletromagnetismo As variáveis espaciais (x, y, z), no sistema de coordenadas cartesiano, podem ser relacionadas às variáveis (r, 0 e é), do sistema de coordenadas esférico. Da Figura 2.5 é fácil perceber que: e=w 7 | qa ou x=rsenôcos g, y=rsenôseng, (2.22) Na equação (2.21), temos a mudança de coordenadas (x, x, 2) — (r, 8, &) e, na equação (2.22), a mu- dança de coordenadas (1, 6, 6) > (x, y, 2). Os vetores unitários a, a ca ca, a, e a, são relacionados como segue: 1 = sen cosga, + cos f cos & a; — sen d as a, = senfsenda, + cosO sena; + cosgas (2.23) - = cosa, -— senda ou a,=senfcosga, + senôsença,+ costa, ap=cosfcosda,ç + cosisenda,-— senda. (2.24) a,=-senga, + cosga, As componentes do vetor A = (A ,A,AJCA =(A,, A, A,) são relacionadas ao substituir a equação (2.23) na equação (2.22) e agrupando os termos. Assim, A=(Ajsenfcosg + A send sen é + A.cos B)a, + (A cos cos & + A, cos 0 seng — A. sen OJay + (—A, sen & + A, cos da, (2.25) e disso, obtemos: A, = Açsenfcos& + A, sen O sen & + A. cos O Ap = Ascosf cos p + A, cos O sen é — A. sen 8 (2.26) Ag =—A senÊ + A,cosÔ Pl d)=Plr. 6 BD) =Plp bz) 1=peos & Figura 2.5 Relações entre as variáveis espaciais (x 3, 2). (1, 0 e ó)e (o. 6,2) Sistemas e Transformação de Coordenadas E | 47 Na forma matricial, a transformação de vetores (A,, À,. A) > (A,, A;, A,) é obtida através de: A, senbcos & sen 0 sen & cos 8|| Ar Ag |=|-cosdcosg cosbseng —send || A, (2.27) As —sen é cos & O JA. A lransformação inversa (A,. A, A;) > (4, A, A) é obtida de forma similar, ou obtida a partir da equação (2.23). Dessa forma, senôcosgp cosbcosd —seng || A, Ac|=|sengsend cosfisend cos &|| Ag (2.28) A. cos O —sen O O |lAs De forma alternativa, podemos obter as equações (2.27) e (2.28) usando o produto ponto. Por exem- plo, Ar aca aca, ata, || À, As |=| dp A Apa, dpra. || As (2.29) Ag asa, asa, ag'a ]/A. Para melhor entendimento, pode ser elucidativo obter as relações de transformação de um ponto e de um vetor entre as coordenadas cilíndricas e esféricas utilizando as Figuras 2.5 e 2.6 (onde q se mantém constante, uma vez que é comum a ambos o: s O será proposto como exercício (veja Problema 2.9). Observe que, na transformação de um ponto ou de um vetor, o ponto ou o vetor não se alteram, apenas são expressos de maneira diferente. Portanto, a magnitude de um vetor, por exemplo, permanece a mesma depois de uma transformação e isso serve como um modo de conferir o resultado da transformação. A distância entre dois pontos é usualmente necessária na teoria do EM. A distância d, entre dois pontos com vetores posição r, e r,, é geralmente dada por d=|m ri] (2.30) Figura 2.6 Transformações de um vetor unitário para coor- denadas cilíndricas e esféricas. 50 E Elementos de Eletromagnetismo EXEMPLO 2.2 EXERCÍCIO PRÁTICO 2.1 (a) Converta os pontos P(I, 3, 5), T(O, — 4, 3) e S(- 3, — 4, —10) do sistema cartesiano para o sistema de coordenadas cilíndrico e para o esférico. (b) Transforme o vetor Va + va, yza. ME AVE para coordenadas cilíndricas é esféricas. (c) Determine Q em 7 nos três sistemas de coordenadas. Resposta: (a) P(3,162, 71,56º,5), P(5,916, 32,31º, 71,56º), T(4, 270º, 3), T(5, 53,13º, 270º), (5, 233,1º, — 10), S(11,18, 153,43º, 233,19) (b) VESES td — sen gp a;— zsenga,), sen O (sen O cos d — p tz rcos? 0 sen éja, + sen 8 cos 8 (cos & + rsen O sen d)ap— sen O sen g as (c) 0,8a, + 2,4a., 0,8a; + 2,4a., 1,44a, — 1,92a9 + 0,8a5. Expresse o vetor 10 B=—a, +rcosbaç+ a, em coordenadas cartesianas e cilíndricas. Determine B(= 3, 4, 0) e B(5, 7/2, - 2). Solução: Usando a equação (2.28): 10 B, senficosp cosfcosp —seng r B,|=|senOsengy cossend cosg | reoso B. cos —sen 6 0) 1 ou 10 2 B, = Sen bicos d + cos Bcos& — send 10 B,=—, senb'seng + rcoê O send + cos é 10 B.= cos f — rcosO send No entanto, r = Ve + x SF 2, 0= tg! Sistemas e Transformação de Coordenadas E 51 Dessa forma: º 10x E x o y E ta (Crerrr) Vw +) 10V42 + 2 » verPs? yo o > z E . ds — O vês ir viro ver B=Ba + Ba + Ba. onde B, B,e B. como dados acima. Em(-3,4,0,x=—-3,y=4ez=o0,talque 30 4 =" +0-2=—2 B 2s 5 40 3 = Mim dl o RV B=0-0= Portanto: B=-2a,+a, Para transformação de vetor de coordenadas esféricas para coordenadas cilíndricas (veja Problema 2,9), 10 B, senb cosê O r Bo|= 0 O I|rcose B. cos0 —senô O 1 ou 10 2 B,=—-sen8 + reos 8 Re Bg= | B.= Dogg — rsenB cos 4 52 E Elementos de Eletromagnetismo No entanto, r= Vo" + 2 Portanto: Por conseguinte: 10p = 10z pe ) B= + +agt = — e (5 a 3) pda a +ê ERR Em (5,7/2, 2,0 =5,6=7/2e2=-—2, lal gue: sra tar( sda 29" n/09)* 1 %e fas * ao) * = 2.467a, + as + 1, 167a. Observe que, em (= 3, 4,0): Bos», | = |B(o, &, D| = |B(r,0, &)| = 2,907 Esse procedimento pode ser usado para conferir, sempre que possível, a correção do resultado. EXERCÍCIO PRÁTICO 2.2 Expresse os seguintes vetores em coordenadas cartesianas: (a) A=pzsenda,+3pcosdastpcrosgsençda. (b) B="?a, + senda, , e da Ep a) ; Resposta: (a) A = ER [Oz — 3x) a, + ("+ 3a, + ya) o l 2 ê o; (b) B= e É E 2) = las + Dol + + 2) + ada, + ot + +20) '2.5 SUPERFÍCIES DE COORDENADA CONSTANTE ão facilmente obtidas ao As superfícies nos sistemas coordenados cartesiano, cilíndrico ou e: manter uma das variáveis coordenadas constante, enquanto as demais variam. No sistema cartesiano, se mantivermos x constante e deixarmos y e z variar, um plano infinito é ge- rado. Portanto, podemos ter planos infinitos x = constante Y = constante (234) z = constante Sistemas e Transformação de Coordenadas E | 55 Solução: a, à, a. (a) ExF=|-5 10 3 12 -6 = (60 — Ga, + (3 — 30)a, + (10 — 10)a, = (—66, —27, 20) IE xF|=V66+ 27 + 20] = 74,06 (b) Alinha x = 2,2 = 3 é paralela ao eixo y; dessa forma, a componente de E paralela à essa linha é: (E -ada, Contudo, em P(5, 7/2, 3) = senga,+ cosgas =senm/2a, + cosmiZa, = a, Dessa forma, (E-ada,=(E-aa,=—Sa, (ou—Sa,) (c) Uma vez que o eixo z é normal à superfície z = 3, o ângulo entre o eixo ze o E, como mostrado na Figura 2.10, pode ser determinado usando o produto ponto: E -a.= [El(l)cos8;. > 3 = V 34 cos Op. 3 cos By. = 0,2592 — Op. = 74,98º Portanto, o ângulo entre z = 3 e E é; 90º — Br. = 15,02º Figura 2.10 Referente ao Exemplo 2:30). EXERCÍCIO PRÁTICO 2,3 Considere o campo vetorial: 2.2 2 H=pzcosçda, +e Sen Ag Dia, No ponto (1, 7/3, 0), determine: (a) Ha, (b) Hx ay: 56 E Elementos de Eletromagnetismo EXEMPLO 2.4 (c) a componente vetorial de H normal à superfície p = 1; (d) a componente escalar de H tangencial a plano 2 = O. Resposta: (a) — 0,433; (b) — 0,5 a,; (c) 0 a,; (d) 0,5/€, Dado um campo vetorial 1 2 D=rsenda— sen dcospaçtras Determine: (a) Dem P(10,150º, 330º); (b) a componente de D tangencial à superfície esférica r = 10 em P; (c) um vetor unitário em P, perpendicular à D e tangencial ao cone O = 150º. Solução: (ajem P,r = 10,0 = 150º eg = 330º. Por conseguinte: l D = 10sen 330º a,— To sen 150º cos 330º ap + 100 as = (— 5; 0,043; 100) (b) qualquer vetor D pode ser decomposto em duas componentes ortogonais: D=D, +D, onde D, é tangencial a uma dada superfície e D, normal à ela. Nesse caso, uma vez que a, é normal à superfície r = 10: D,=rsenga,=— 5a, Portanto, D, =D — D, = 0,043, + 100a, (c) um vetor em P, perpendicular à D e tangencial ao cone 8 = 150º, é o mesmo que um vetor per- pendicular tanto a D quanto a a,. Portanto: a, ag as Dxa=|--5 0,043 100 0 1 o = —I00a, — 5a, Um vetor unitário ao longo do vetor acima é dado por: —0,9988a, — 0,0499a,, EXERCÍCIO PRÁTICO 2.4 Se A = 3a,+ 2a, — 6a, e B = 4a, + 3a,, determine: (a) A-B; (b) JA x BE (c) a componente vetorial de A ao longo de a. em (1, 7/3, 57/4). Resposta: (a) — 6; (b) 34,48; (c) — 0,1 6a + 0,201a,. Sistemas e Transformação de Coordenadas E 57 pá Os três sistemas de coordenadas mais comuns que iremos utilizar ao longo desse livro são o car- tesiano (ou retangular), o cilíndrico circular e o esférico. Um ponto P é representado como Px, y, 2), P(p, &. 2) e Pr, O, &) nos sistemas cartesiano, ci- líndrico e esférico, respectivamente. Um campo vetorial A é representado como (A,, À, A.)ou Aa +A a, +Aa, no sistema cartesiano; como (A,, A,, A )ou A,a, + Aja, + Aa. no sistema ci- líndrico e como (A,, Ae A,) ou A a, + Aa, + Aça, no sistema esférico. E recomendável que as operações matemáticas (adição, subtração, produto, etc.) sejam realizadas no mesmo sistema de coordenadas. Portanto, as conversões de coordenadas de ponto e vetor devem ser feitas sem- pre que necessário. 3. A fixação de uma variável espacial define uma superfície; a fixação de duas define uma linha; a fixação de três define um ponto. 4. Um vetor unitário normal à superfície n = constanteéta,. LÊ Gi! DE RE (0) 2.1 Os intervalos de variação de 0 e é, conforme dado na equação (2.17), não são os únicos possí Os listados a seguir são todos alternativas válidas, à exceção de: (a) 0=090<2m,0=6=7T b)0=0<27,,0=64<2r (0) -m =0=0=9=7T (gd -72=0=72,0=6<2r ()0<=0=7r, -T<6<T (D -r<0<m-1=6<r 2.2 Parao ponto cartesiano (3, 4, — 1), qual dessas alternativas é incorreta? )p=-5. (db) r= V26 ()0=1g"! Do=tg! 2.3 Qual dessas alternativas não é válida no ponto (0, 4,0)? (a) as=—a, (b)ap=—a, (cj a, = da (da, =a, 2.4 Um vetor unitário normal ao cone 9 = 30" é: (a) a; (b) ag (c) as; (d) nenhuma das alternativas acima. 2.5 Em qualquer ponto do espaço. a, * a, = 1. (a) Verdadeiro. (b) Falso. 26 SeH =4a, -3a, + 5a. em (1, 7/2. 0), a componente de H paralela à superfície p = 1 é: (0) 48, (b) Sa. 60 mB Elementos de Eletromagnetismo 210 2.1 (b) Demonstre que a transformação de um vetor do sistema de coordenadas cilíndricas para o sis- tema de coordenadas esféricas é obtida usando: Ap seng O cos6 A, Ap|=|cosê O —sen6]| Ay a 21 o A. ou A seng cosa Ol[A, Ao|=| 0 o llA Az cosê —senO 0]/ As (Dica: utilize as Figuras 2.5 e 2.6.) (a) Expresse o campo vetorial Va + em coordenadas cilíndricas e esféricas. (b) Tanto em sistemas de coordenadas cilíndricas quanto esféricas. determine H em (3, — 4,5). Seja A =pcos fa, +p: senda, (a) Transforme A para coordenadas retangulares e determine sua magnitude no ponto (3, —4, 0). (b) Transforme A para coordenadas esféricas e determine sua magnitude no ponto (3, — 4, 0). A transformação (A,, As A.) — (A A, A.) na equação (2.15) não está completa. Complete-a ex- pressando cos é e sen é em termos de x aça o mesmo para a transformação (4,. A,. A,) > (A A A) na equação (2.28). No Exercício Prático 2.2, expresse A em coordenadas esféricas e B em coordenadas cilíndricas. Determine A em (10, 7/2, 37/4) c Bem (2, 7/6, 1). Calcule a distância entre os seguintes pares de pontos: (a) (2. 1,5)e(6, — 1,2) (b) (3. 7/2, — 1) e (5, 3m/2,5) (e) (10, 7/4, 37/4) e (5, 216, 7x4) Descreva a interseção entre as seguintes superfícies: (a) x=2, 6) x=2, :=10 (e) r= 0, (1) p=5, (e) é (D 1 No ponto T(2, 3, — 4), expresse a, no sistema esférico e a, no sistema retangular. Dados os vetores A = 2a, + 4a, + 102, eB = 5a +a, — 3a. determine: (a) A+Bem P(0,2,-5); (b) o ângulo entre A e Bem P; (c) a componente escalar de A ao longo de B em P. Dado G = (x + ya, + xa, + (7º + :y)a, determine a componente vetorial de G ao longo de a, no ponto P(8, 30º, 60º). Sua resposta deve ser dada em coordenadas cartesianas. Sistemas e Transformação de Coordenadas E | 61 *2.19 Se] = rsenôcosga,- cos 20 sen é as+ 5 In ra, aem T(2, 7/2, 37/2), determine a com- ponente vetorial de J que seja: (a) paralelaãa, (b) normal à superfície o = 37/2 (c) tangencial à superfície esférica r = 2 (d) paraletaà linhay=—2,:=0 220 SejaH — Sp senda, — pr cos é a; + 2pa.. No ponto P(2, 30º, — 1), determine: um vetor unitário ao longo de H; (a (b) a componente de H paralela à a, (c) a componente de H normal a p = (d) a componente de H tangencial a 6 = 30º. *221 Seja A=p(-Da,-prcosdas + p'z B=r'cosga, + 2rsenda, Calcule em T(- 3.4, 1): (a) A e B; (b) a componente vetorial de A ao longo de B em 7, em coorde- nadas cilíndri (e) 9 vetor unitário perpendicular tanto a À quanto a B em 7, em coordenadas es- féricas. *2.22 Uma outra maneira de definir um ponto P no espaço é através de (r, a, 8, y), onde as variáveis es- tão indicadas na Figura 2.11. Utilizando essa definição, determine (1, «x, , ) para os seguintes pontos: (a) (—2,3,6) (b) (4,30%, — 3) (c) (3.30, 60º) (Dica: ré o r de coordenadas esféricas, 0 = «, 8, y < 27.) Figura 2.11 Referente ao Problema 2.22. 2.23 Um campo vetorial em um “misto” de variáveis coordenadas é dado por s 2yz é q = ta ZE (1 - Sa p Pê 2 Expresse G, de maneira completa, em um sistema esférico. Capítulo 3 CÁLCULO VETORIAL Nenhum homem torna-se verdadeiramente um tolo até que ele pare de fazer perguntas. — CHARLES P. STEINMETZ 3.1 INTRODUÇÃO O Capítulo 1 trata, principalmente, de soma, subtração e multiplicação vetoriais em coordenadas car- tesianas. O Capítulo 2 estende esses conceitos para outros sistemas de coordenadas. Este capítulo tra- ta do cálculo vetorial (integração e diferenciação de vetores), Os conceitos introduzidos neste capítulo fornecem uma linguagem conveniente para expressar certas concepções fundamentais em Eletromagnetismo ou em Matemática em geral. Um estudante pode não se sentir familiarizado com estes conceitos, em princípio — não enxergando “quão impor- tantes” eles são. Tal estudante deve ser orientado para se concentrar em aprender as técnicas mate- máticas e esperar pela suas aplicações nos capítulos subsegientes. “3.2 COMPRIMENTO, ÁREA E VOLUME DIFERENCIAIS OQ elementos diferenciais de comprimento, área e volume são úteis em cálculo vetorial. Eles são de- finidos nos sistemas de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico. A, Coordenadas cartesianas Da Figura 3.1, observa-se que: (1) O deslocamento diferencial é dado por: dl=dxa + dya,+ dia, (3.1) Cálculo Vetorial BM 65 Figura 3.3 Elementos vetoriais em coordenadas cilíndricas. Conforme mencionado na seção anterior sobre coordenadas cartesianas, só precisamos ter dl; dS e dv podem ser obtidos facilmente a partir de dl. Por exemplo, dS ao longo de a, é o produto das componentes de dl ao longo de a, e ag; isto é dp p dg a.. Da mesma forma, dv é o produto das três componentes de dl, isto É, dp p dé dz. €. Coordenadas esféricas Da Figura 3.5, observamos que, em coordenadas cilíndricas, (1) O deslocamento diferencial é: dl=dra,+ rdda, + rsenddça, (3.8) e: Figura 34 Áreas diferenciais normais em coordenadas cilíndricas: (a) dS = o dó dz a,.(b) dS = dp dz a. (e) dS = p dó dp a.. 66 E Elementos de Eletromagnetismo z Figura 3.5 Elementos diferenciais no sistema de coordenadas esférico. pdo= rsen Odo JN (2) A área diferencial normal & dS = rº sen 8 do dg a, rsen 0 dr dó ag (3.9) f rdr dô as conforme ilustrado na Figuyã 2.6. (3) O volume diferencial é: dy = "sen O dr do dó (3.10) z rsen 0d rsen ada ag sa Figura 3.6 As áreas diferenciais normais em coordenadas esféricas: (a)dS = 1º sen O do dó a, .(b) dS = rsenO drdó as, (dS =rdrdoas CálculoVetorial E 67 Novamente, só precisamos ter dl, de onde dS e dv são facilmente obtidos. Por exemplo, “S ao longo de aç é obtido como o produto das componentes de dl ao longo de a, e aj; isto é. dr - r sen O dg; enquanto dv é o produto das três componentes de dl; isto é, dr: rdo-rsenb dg Considere o objeto mostrado na Figura 3.7. Determine: (a) a distância BC; (b) a distância CD; () a superfície ABCD; (d) a superfície ABO; (e) a superfície OFD; (1) o volume ABDCFO, Solução: Embora os pentos 4, B, Ce D sejam dados em coordenadas cartesianas, é óbvio que o objeto tem simetria cilíndrica. Assim, resolveremos o problema em coordenadas cilíndricas. Os pontos são convertidos do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico como segue: A(5, 0,0) > A(S, 0º,0) B(0,5,0)> (5, É 0) C(0,5, 10) > ds. = 10) D(5,0,10) => D(5, 0º, 10) (a) Ao longo de BC ,dl = dz; assim, 10 c= [a= [ de= 10 o (b) Ao longo de CD, dl = pdy ep = 5, então a? =257 az co= [ pdp=56 o o Figura 3.7 Referente ao Exemplo 3.1. 70 E Elementos de Eletromagnetismo EXEMPLO 3.2 Dado F = xa — xa, — yºa, determine a circulação F em torno do caminho (fechado) mostrado na Figura 3.10. Solução: A circulação de F em torno de L é dada por fra=([+[+ [+ [ra na qual o caminho é particionado nos segmentos numerados de 1 a 4, como mostrado na Figura 3.10. Para o segmento 1, y = O = F=ra, dli=dra Note que dl é sempre considerado ao longo de +a,, de forma que a orientação dada pelo segmento | é dada pelos limites de integração. Portanto, o ú [ra- [ vdr= 1 1 3 =2z,F=-ya. dl= dya,F-di= 0. Assim, fraco p= LF=xa—xa—ae dl= dra, + dza, então o 1 3 Para o segmento 2, x = Para o segmento 3, | F-dl= | (dr — do) 3 «3 isto é, dx = de, Assim, [rea- [e É o Parao segmento 4,x =l,entãoF=aç—za,-— ya, e dl= dya, + dza,. Assim, Porém, sobre 3, z [r-a- [ca — vide) A z Figura 3.10 Referente ao Exemplo 3,2. Cálculo Vetorial M 71 Porém, sobre 4,7 =y; isto é, dz = dy, então pra Agrupando as expressões anteriores, obtemos: frea=-1+0-5+ E 3 3 Pd Figura 3.11 Referente ao Exercício 3.2. = A EXERCÍCIO PRÁTICO 3.2 Calcule a circulação de A=pcosça, + zsençda. em torno da borda L da fatia definida por 0=p=20=6=6,72=0e mostrada na Figura 3.11. Resposta: 1. 3.4 O OPERADOR DEL* O operador del, escrito V, é o operador diferencial com caráter vetorial. Em coordenadas cartesianas: à 9 V="a ta, é 3. a: ay (3.16) Esse operador diferencial, também conhecido como operador gradiente, não é um vetor em si mes- mo, mas, quando ele opera sobre uma função escalar, por exemplo, resulta em um vetor. O operador é útil para definir: 1. o gradiente de um escalar V, escrito como VV; 2. o divergente de um vetor A, escrito como V - A ; 3. o rotacional de um vetor A, escrito como V x 4, o laplaciano de um escalar V, escrito como VV. Cada uma dessas operações será definida, em detalhe, nas seções subsegiientes. Antes de fazê-lo, é conveniente obter expressões para o operador del (V) em coordenadas cilíndricas e esféricas. Isso é facilmente obtido utilizando as fórmulas de conversão das Seções 2.3 e 2.4. *N.de T. Também conhecido como operador nabta. 72 mM Elementos de Eletromagnetismo Para obter V em termos de p, 6 e z, lembremos da equação (2.7) que! z x p= Va tgd= Assim, (3.17) (3.18) Substituindo as equações (3.17) e (3.18) na equação (3.16) e fazendo uso da equação (2.9), obtemos V em coordenadas cilíndricas: NV = 4, ds o o (3.19) p r= Very, tgô = Para obter à à | cosôcos4 à seng à —=sentcsg—+ DE DA 3, E send cos d-— E 28 E DE (3.20) e e e (321) dy ar r [o] e dd a senda a icogBig era BERRO 3.22 EE cosó "O (3.22) Substituindo as equações (3.20) a (3.22) na equação (3.16) e usando a equação (2.23), obtém-se V em coordenadas esféricas: ó V=a— dr 1o 1 à +ayD+ta——— “rop “ersendog (3.23) Observe que, nas equações (3.19) e (3.23), os vetores unitários são colocados à direita dos operado- res diferenciais porque os vetores unitários dependem dos ângulos. 3.5 GRADIENTE DE UM ESCALAR O gradiente de um campo escalar V é um vetor que representa a magnitude e a orientação da. máxima taxa espacial de variação de V. Uma expressão matemática para o gradiente pode ser obtida calculando-se a diferença no campo dV entre os pontos P, e P, da Figura 3.12, em que V,, V,e V, são contornos sobre os quais V é constante. Desse cálculo, * Um modo mais geral de obter V, VA, V X A, VVe VºVé utilizando coordenadas curvilíneas. Veja, por exemplo, M. R. Spiegel, Vector Analysis and ar Intro- ducrion to Tensor Analysis. New York: McGraw-Hill, 1959, p. 135165. EXEMPLO 3.4 EXEMPLO 3.5 Cálculo Vetorial M 75 r ra rse = 10sen?8 cos ga,+ 10 sen 20 cos é ag — 10sen O sen das EXERCÍCIO PRÁTICO 3.3 Determine o gradiente dos seguintes campos escalares: (a) U= "py + az (b) V=pesend +2 cos 4 + p” (0) f=cosôsengInr + 6 Resposta: (a) y(2x + z)a, + x(x + c)a, + ya. 3 (b) tesen é + 20)a, + (ecos é — sen 26Jas + (o sen q + 2z cos” da. o (es dem ó E 2ró a, — sen sem é? nm cotg O (cem cos gn + rcossec as Dado W = 1)? + xyz, determine VW e a derivada direcional dW/di segundo a orientação dada por 3a, + 4a, + 12a,em (2,-1,0). é ow aw aw Solução: vw= arara, dx ay dg O = (2x + sua, + (Ox'y + xe)a, + (ya. Em (2,-1,0):VW = da,— Sa, — 2a, Assim, dw G41) 4 CD =VWa=(4,-8,-2)+ di a=(4,-8,—2) 13 EXERCÍCIO PRÁTICO 3.4 Dado & = xy + yz + az, determine o gradiente & no ponto (1, 2, 3) e a derivada direcional de & no mesmo ponto, orientada em direção ao ponto (3, 4, 4). Resposta: 5a, + da, + 3a,, 7. Determine o ângulo segundo o qual à linha x = y = 2z intercepta o elipsóide +? + 2º Solução: Suponha que a linha e o elipsóide se encontrem segundo um ângulo 4, como mostrado na Figura 3.13. A linha x = y = 2: pode ser representada por 76 mm Elementos de Eletromagnetismo y Figura 3.13 Referente ao Exemplo 3.5: plano de interseção de uma linha com um elipsóide, linha r(N)=2ha +2ha, + ha. onde À é um parâmetro. Onde a linha e o elipsóide se encontram, CAPAO AIR = 105 A=EI Considerando À = | nesse caso, o ponto de interseção é (x, y, 2) = (2, 2, 1). Neste ponto, r = 2a, +2a +a.. A superfície do elipsóide é definida por Ferd= E C++ O gradiente de fé Vf=2xa, +2ya,+ a, Em (2,2, 1).Vf = 4a, + 4a, + 4a.. Assim, um vetor unitário normal ao elipsóide no ponto de interseção é: ns vf - qâtaha, CO 3 a, Escolhendo o sinal positivo nesse caso, o ângulo entre a, e r é dado por aro 242410 5 hero avo vã y = 7421º, Como À e a, podem ser + ou =, temos, na realidade, quatro lidades de ângulos, dados por sen y = 5033). cos 0 = EXERCÍCIO PRÁTICO 3,5 Calcule o ângulo entre as normais às superfícies xy +z=3exlogz-y = no ponto de interseção (= 1, 2, 1). Resposta: 73,4º. 3.6 DIVERGÊNCIA DE UM VETOR E TEOREMA DA DIVERGÊNCIA Na Seção 3.3, observamos que o fluxo líquido de um campo vetorial A que flui para fora de uma su- perfície fechada S é obtido da integral $ A - dS. Definiremos, então, a divergência de A como o flu- xo líquido que flui para fora de uma superfície incremental fechada, por unidade de volume encerra- do pela superfície. A divergência de A em um dado ponto P é o fluxo que sai, por unidade de volume, à medi- da que o volume se reduz à zero em torno de P. Cálculo Vetorial B 77 Ne il AS Il Figura 3.14 Ilustração da divergência de um campo vetorial E: (a) divergência positiva, (b) divergência negativa, (e) di Ny Ps Assim, fa-as divA=V:A= lim + (3.32) ao Av onde Av é o volume encerrado pela superfície fechada S na qual P está localizado. Fisicamente, po- demos considerar a divergência de um campo vetorial A, em um dado ponto, como uma medida de quanto o campo diverge ou emana desse ponto. A Figura 3.14(a) mostra que a divergência de um campo vetorial em um ponto P é positiva porque o vetor diverge (ou se “espalha” a partir de) em P. Na Figura 3.14(b) um campo vetorial tem divergência negativa (ou convergência) em P e, na Figura 3.14(c), um campo vetorial tem divergência zero em P. A divergência de um campo vetorial pode ser vista como, simplesmente, o limite da intensidade da fonte de campo por unidade de volume (ou den- sidade da fonte); é positiva em um ponto-fonte e negativa em um ponto-sumidouro, ou zero em um ponto nem sumidouro nem fonte. Podemos obter uma expressão para V - A, em coordenadas cartesianas, a partir da definição na equação (3.32). Suponhamos que se queira calcular a divergência de um campo vetorial A em um ponto Plx, XY, Z,), considerando que esse ponto esteja encerrado em uma superfície fechada com um volume diferencial como na Figura 3.15. A integral de superfície na equação (3.32) é obtida da se- guinte forma: facas (| +[ +[ +[ +[ +| Jaces (3.33) s fe trás rente esquerda “direita “superior “inferior Uma expansão de A, em série de Taylor, em três dimensões, em torno de P, é A, A, Adr, ) = Alto ol) Fi) | +03) re a Sir (334 FE 5 *| + termos de ordem superior Zip Para a face anterior, x = x, + di/2 e dS = dy dz a, Então, x dA, [ AdS=dyd [Asi a em E + termos de ordem superior 2 ox |p, Para a face posterior, x | atrás xo — dy? dS = dy d(-a). Então, dx dA, 2 àx AcdS= dy dz [a VorZo) | + termos de ordem superior P. 80 E Elementos de Eletromagnetismo EXEMPLO 3.6 Figura 3.16 Volume v limitado pela superfície S. | - superfície fechada S Com um pouco de experiência, ficará evidente que o cálculo das integrais de volume é mais fácil do que o das integrais de superfície. Por essa razão, para determinar o fluxo de À através de uma super- fície fechada, determinamos o lado direito da equação (3.42), em vez de determinarmos o lado es- querdo. Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais: (a) P=rôza,+ za, (bd) Q= E iai pras tacosçda. (0) T= cosa, + rsenbcos ay + cosbas Solução: (a) DPS = Se 65 +00 + St = xyz + x 6) V0= TO) + 5 ig Ot TO E seno) + D+ cos &) =2seng + cosd (o) DTD resta +; oi 2 9 I a regras calie (cos 8) Sento rrseit Bicos 6) + l TO =0+ di 2rsenf cos 8 cos + O rsen O = 2cosêcos é EXERCÍCIO PRÁTICO 3.6 Determine a divergência dos seguintes campos vetoriais e os calcule nos pontos especificados. (a) A =yza, + Aga, + ya. em(1,-2,3) (b) B=pzsenda,+ 32” cos é as em (5, m/2, 1) (e) €=2rcosfcosga, + r'2a, em (1, 2/6, 1/3) Resposta: (a) 4x,4: (b)(2 — 3z)zsen q, —1: (c)6 cos d cos é, 2,598. Cálculo Vetorial Mm 81 EXEMPLO 3.7 Se G(r) = 102"*(pa, + a.) determine o fluxo de G para fora de toda superfície de um cilindro eg =1,0=7= .Confirao resultado utilizando o teorema da divergência. Solução: Se Po fluxo de G através da superfície, como mostrada na Figura 3.17, então p= beu pena y onde P, Pe P, são os fluxos através da tampa superior, da tampa inferior e da superfície lateral do cilindro, como mostrado na Figura 3.17. Para P,z = 1,dS=pdpdça.. Assim, 1 2, 21 = fe dS= | | 1027p do dé = 10020) + p=0 Ja=0 o = Ore”? Para P,,z = 0 e dS = p dp dy(—a). Assim, 1 2r > "= | G:as= | [ 10€%p dp dó = —10(2m) > b p=0 "40 2 =-107 1 Para bp = |,dS = pdzdpa,. Assim, = 10m(l — e. Então, P=P+P+P=IOre?-10r+IOml-ec)=0 De outra forma, já que S é uma superfície fechada, podemos aplicar o leorema da divergência: r-poas- [0-6a s 'y Figura 3.17 Referente ao Exemplo 3.7. 82 E Elementos de Eletromagnetismo No entanto, Lã ó a Muge qe) gr, dido CR piap A 8 gr tio 2108) — 207% 535 P0e e demonstrando que G não tem fonte. Assim, = [e-sar-o EXERCÍCIO PRÁTICO 3.7 Determine o fluxo de D = p? cos ga, + z sen pas sobre a superfície fechada do cilindro O = z = 1, o = 4 Verique o teorema da divergência para esse caso. Resposta: 647. 3.7 ROTACIONAL DE UM VETOR E TEOREMA DE STOKES Na Seção 3,3, definimos a circulação de um campo vetorial A em torno de um caminho fechado L como a integral $,A « dl. O rotacional de A é um vetor axial (ou girante), cuja magnitude é a máxima circulação de A por unidade de área, à medida que a área tende a zero, e cuja orientação é perpendicular àes- sa área, quando a mesma está orientada de modo a se obter a máxima circulação.” Isto é, A-dl rtA=VXA= (im Sad) a, (3.45) as5o ÀS Jms onde a área AS é limitada pela curva L e a, é o vetor unitário normal à superfície AS e é determinado utilizando a regra da mão direita, Para obter uma expressão para V x A, a partir da definição na equação (3.45), considere a área di- ferencial no plano yz como na Figura 3.18. A integral de linha na equação (3.45) é obtida da seguin- te forma: faa-([+[+[+[)aca (3.46) L ab he ed “da Expandindo as componentes de campo com uma série de Taylor em torno do ponto central P(Xs Yo Za), COMO na equação (3.34), resolve-se a equação (3.46). No lado ab do contorno da Fi- gura 3.18, dl= dya,ez = 2,— dz/2, então: * Devido à natureza rotacional, alguns autores utilizam o termo rot A para designar 0 rotacional de A. Cálculo Vetorial Mm 85 Figura 3.19 Ilustração de um rotacional: (a) rotacional em P Hm aponta para fora da página: (b) rotacional em P é zero. ” w =. (a) ) O significado físico do rotacional de um campo vetorial fica evidente na equação (3.45). O rota- cional fornece o máximo valor da circulação do campo por unidade de área (ou densidade de circu- lação) e indica a orientação ao longo da qual seu máximo valor ocorre. O rotacional de um campo ve- torial A, em um ponto P, pode ser considerado como uma medida da circulação do campo, ou, em outras palavras, de quanto esse campo gira em torno de P. Por exemplo, a Figura 3.19a) mostra que o rotacional de um campo vetorial em torno de P é orientado para fora da página. A Figura 3.19(b) mostra um campo vetorial com rotacional zero. Ainda, da definição do rotacional de A, na equação (3.45), podemos esperar que faca= [0xaras (3.57) 1 ç Este é o teorema de Stokes. O teorema de Stokes estabelece que a circulação de um campo vetorial A em torno de um ca- minho (fechado) L é igual à integral de superfície do rotacional de A sobre a superfície aber- ta S, limitada por L (veja Figura 3.20), desde que A e V x A sejam contínuos sobre S. A demonstração do teorema de Stokes é semelhante à do teorema da divergência. A superfície S é subdividida em um grande número de células, como mostra a Figura 3.21, Se a k-ésima célula tem uma área superficial AS, e é limitada pelo caminho L,. Adi faa-S pasa 3 as, (3.58) j q AS Figura 3.20 Estabelecendo o significado de dl e dS referidos no teorema de Stokes. caminho fechado L superfície $ 86 E Elementos de Eletromagnetismo EXEMPLO 3.8 Figura 3.21 Ilustração do teorema de Stokes. Conforme mostrado na Figura 3.21, há cancelamento em todos os caminhos internos, de tal modo que o somatório das integrais de linha em torno dos L, é igual à integral de linha em torno do cami- nho L. Portanto, tomando o limite do lado direito da equação (3.58) quando AS, > O e incorporando a equação (3.45), obtém-se faa- [ox L s que é o teorema de Stokes. A orientação de dl e dS, na equação (3.57), deve scr escolhida usando-se a regra da mão direita ou do parafuso de rosca direita. Ao usar a regra da mão direita, se posicionarmos os dedos ao longo de dl, o polegar indicará a orientação de dS (veja Figura 3.20). Observe que, enquanto o teorema da divergência relaciona a integral de superfície com uma integral de volume, o teorema de Stokes rela- ciona uma integral de linha (circulação) com uma integral de superfície. Determine o rotacional de cada um dos campos vetoriais do Exemplo 3.6. Solução: aP. ap, Pap; IP, ar, (a) VXP= (EE dE) as (BE Eq s (E SA dy dr dz dx gy)S =(0-0a+(xry- da +(0- xa, = (1y — 2a, — É —[102 80 do, 30 dl - Sé o vxq=[[ 58 bo dk do ]*8* p [og (20) Tag | = sen + — é) a, + (0 — Oag + = Gute — pcosga, - (e sen é + oa, + (3pz — cos ja, Í 3 )VXT= < (rent) É mi|: (e) o [5 paenD) ad w)o e, r send od * ar (tt) [de +, | TO) — og Te] do 1 ó ô cxent [Fi (cos sen 8) ado sen cos 6 a, E Er SO rag o] as sendod r ar + ! [> ("sen 6 cos d) — $ em) as r EXEMPLO 3.9 Cálculo Vetorial M 87 7 (OS 26 + » sen O sen éja, 8 + E(rsenaeos e 2 a, cos 26 cos 6 = + seng ac l = +—(0 = cos O)ag rsend r sen O ag ap (> cos é + EXERCÍCIO PRÁTICO 3.8 Determine o rotacional de cada um dos campos vetoriais do Exercício 3.6 e o calcule em cada um dos pontos indicados. Resposta: (a) a, + ya, + (dy — 2)a.,a, — 2a, — Ia; (b) —6pz cos ba, + osingas + (62 — Izcosga,, Saç; (e) ea ape (engano + Sd + 2 sen Ôcos das; 173] a, — 45a, + 0,5as. Se A =pcosçga, + sengas, determine & À dl ao longo do caminho, como mostrado na Figura 3.22. Confira esse resultado utilizando o teorema de Stokes. Solução: Seja A-dl paca=[[ e [+ [o / d onde o caminho L foi dividido nos segmentos ab, be, cd e da, como mostrado na Figura 3.22. Ao longo de ab, p = 2 e dl= p dg ag. Assim, or =(W3- 1) E b ao” | A-dl= | psen é dg = 2(-cos 4) a 'g=60" Figura 3.22 Referente ao Exemplo 3.9. 90 E Elementos de Eletromagnetismo Observe que o laplaciano de um campo escalar é um outro campo escalar. O laplaciano de Vem outros sistemas de coordenadas pode ser obtido a partir da equação (3.60), fazendo a transformação de coordenadas. Em coordenadas cilíndricas, apelo (av) 10% (0 proli (ção + 3 (3.61) P dp do progo dr e em coordenadas esféricas, vv 1 o (12) + 1 E ni) + 1 av (60) V=s pê a Sen Do) oa 3. nor or) vseng06 E sem? 0 op? Um campo escalar V é dito harmônico em uma dada região quando o seu laplaciano se anula nes- sa região. Em outras palavras, se a igualdade Vv=0 (3.63) for satisfeita nessa região, a solução para V na equação (3.63) é harmônica (isto é, na forma de seno ou cosseno). A equação (3.63) é denominada equação de Laplace. Resolver essa equação será nosso principal objetivo no Capítulo 6. Consideramos, até aqui, apenas o laplaciano de um escalar. Já que o operador laplaciano V? é um operador escalar, é possível definir também o laplaciano de um vetor A, Nesse contexto, VA não deve ser interpretado como o divergente do gradiente de A, o que não faz sentido. Na verdade, VºA deve ser entendido como o gradiente do divergente de A subtraído do rotacional do rotacional de A. Isto é, VA=TWV-A)j-VXVxA (3.64) Essa equação pode ser empregada para determinar o VA em qualquer sistema de coordenadas. No sistema cartesiano (e unicamente nesse sistema), a equação (3.64) torna-se VA =VAa + VAa + VÃa, (3.65) EXEMPLO 3.11 Encontre o laplaciano dos campos escalares do Exemplo 3.3, isto é: (a) V= e “sen 2x cosh y (b) U = p'zcos 24 (co W= 10rsen? O cos & Solução: O laplaciano, no sistema de coordenadas cartesiano, pode ser determinado tomando a primeira deri- vada da função e, em seguida, a segunda derivada. ov 0 aê ig O ug — (Ze * cos 2x cosh y) + — (e “cos 2x senh y) ax dy á E sa “sen 2x cosh y) dz = —de “sen 2xcoshy + e “senZrcoshy + e “sen2xcoshy = —2e “sen 2x cosh y Cálculo Vetorial M 91 1 r sen? 8 oq? ( o) 1a 2d al a o r dr r” sen 800 — (10º sen? 6 cos &) + ; = A (10r sen 28 sen 8 cos &) = Or sem 8 cos & CAE r sen 6 = 20 sen? 0 cos d 4 20r cos 20 sen O cos é r r2 sen E 10r sen 28 cosbcosd | 10 cos & r> sen O r 10 cos E = Deo enê + 20520 + 2cos2 8 — 1) = it + 2. cos 29) z EXERCÍCIO PRÁTICO 3.11 Determine o laplaciano dos campos escalares do Exercício Prático 3.3, isto é, (a) U=1y + oz (b) V=pesend + 2 cos 4 + (co) f=cosbsenginr + ré Z 1 Resposta: (a) 2y, (b)4+ 2 cos! 4 — se cos 24, (c) — cosfseng(l — 2Inr p rs cossec? 8 In 7) + 6. '3.9 CLASSIFICAÇÃO DE CAMPOS VETORIAIS Um campo vetorial é univocamente caracterizado pelo seu divergente e seu rotacional. Nem só o di- vergente, nem o rotacional, individualmente, são suficientes para descrever completamente o campo. Todos os campos vetoriais podem ser classificados em termos da anulação ou não-anulação de seu divergente ou de seu rotacional, como segue: (a) V-A=0,VxXA=0 6) VALOVXA=0 (O) VA=0,VxXA+HO (d) VOA LO, VXA£O A Figura 3.23 ilustra campos típicos dessas quatro categorias. 92 E Elementos de Eletromagnetismo t M t E ai |. + ee Ed Aa da Rg ss dd rara fi 4 r 3 Es da Fee HDs dE E E , (0) (b) (e) (d) Figura 3.23 Campos típicos com divergente e rotacional nulos ou não nulos. () A=kaVA=0VXA b)A=krVOA=3kVXA (DA=EXrVA=0VXA=dZk: (d)A=kxr+er,V.A=3,VxA=2k Um campo vetorial A é dito solenoidal (ou não-divergente) se V A = 0. Esse campo não é nem fonte nem sumidouro de fluxo, Do teorema da divergência: pa-as= | v-ad0 (3.66) s Assim, as linhas de fluxo de A, que entram em qualquer superfície fechada, devem sair dela. Exem- plos de campos solenoidais são: fluidos incompressíveis, campos magnéticos e densidade de corren- te de condução sob condições estacionárias. Em geral, o campo do rotacional de F (para qualquer Fy é puramente solenoidal porque V -(V X F) = 0, como demonstrado no Exemplo 3.10. Portanto, um campo solenoidal A pode ser sempre expresso em termos de um outro vetor F, isto é, x do 3.67 então fa-as= e F=VxA is Um campo vetorial A é dito irrotacional (ou potencial) se V x A = 0. Isto é, um vetor sem rotacional é irrotacional* A partir do teorema de Stokes: [exaas=paa=o (3.68) ' L Portanto, em um campo irrotacional A, a circulação de A em torno de um caminho fechado é identi- camente zero. Isso implica que a integral de linha de A independe do caminho escolhido. Portanto, um campo irrotacional é também conhecido como um campo conservativo. Exemplos de campos ir- rotacionais incluem o campo eletrostático e o campo gravitacional. Em geral, o campo do gradiente de V (para qualquer escalar V) é puramente irrotacional já que (veja, Exercício 3.10): x (VW = 0 (3.69) * De fato, O rotacional é algumas vezes conhecido como rotação e o rotacional de A é escrito como rot A em alguns livros-texio. Essa é uma das razões para usarmos o termo irsotacional. Cálculo Vetorial Bm 95 4. A integral de linha do vetor A ao longo do caminho L é dada por f, A: dl. Se o caminho é fecha- do, a integral de linha torna-se a circulação de A em torno de L, isto é, £&, A dl. 5. O fluxo ou integral de superfície de um vetor A através da superfície S é definido como f,A-dS. Quando a superfície S é fechada, a integral de superfície torna-se o fluxo líquido de A através de S, apontando para fora, isto é $ A: ds. 6. A integral de volume de um escalar p, sobre um volume v é definida como [, o, dv. 7. A diferenciação vetorial é obtida utilizando o operador diferencial com caráter vetorial V. O gra- diente de um campo escalar V é denetado por VV, a divergência de um campo vetorial A por V + A, orotacional de A por V X A e o laplaciano de V por VV. 8. O teorema da divergência, $,A + dS = [,W - A dv, relaciona uma integral de linha sobre um ca- minho fechado à uma integral de superfi 9. O teorema de Stokes, $, Atdl=J;(V X A)" dS, relaciona uma integral de linha sobre um ca- minho fechado à uma integral de superfície. Se a equação de Laplace, VºV = 0, é satisfeita por um campo escalar V em uma dada região, V é dito harmônico naquela região. 11, Um campo vetorial é solenoidal se V + A = O; é irrotacional ou conservativo se V X A = 0, 12. Um resumo das operações de cálculo vetorial nos três sistemas de coordenadas é fornecido nas guardas finais deste livro. 13. As identidades vetoriais V-V x A e V X VV = 0 são muito úteis em EM, Outras identidades vetoriais estão no Apêndice A. 10. 10, S DE RE 3.1 Considere o volume diferencial da Figura 3.24 e relacione os itens da coluna da esquerda com os da coluna da direita. (a) dlde Aaté B (D) dydza, (b) dl de A até D (id —drdza, (c) dlde Aaté E (ii) drdya, (d) dSda face ABCD (iv) —dx (e) dS da face AEHD (v) dra, (1) dS da face DCGH Oi) dra, (g) dS da face ABFE (vii) dra, 3.2 Parao volume diferencial na Figura 3.25, relacione os itens da lista da esquerda com os da lista da direita. (a) dlde Eaté A -p dé dia, (b) dl de Baté A —dp dz as (c) dlde Daté A —p dp dé a. (d) dS da face ABCD pdp dé a, (e) dS da face AEHD do a, (1) dS da face ABFE pd as (g) dS da face DCGH (vii) dra, 96 E Elementos de Eletromagnetismo E F Figura 3.24 Referente a Questão de Revisão 3.1, I A | B 1 I dz | | A aceder dê a 2. a . “ax b dy € 3.3 Um volume diferencial em coordenadas esféricas é mostrado na Figura 3.26. Para o elemento de volume, relacione os itens da coluna da esquerda com os da coluna da direita. (a) dlde A até D (D "sen 6 do doa, (b) dl de E até A (i) —rsen 0 dr dé ag (c) dlde A até B (ii) rdrdo as (d) dS da face EFGH (iv) dra, (e) dS da face AEHD (vw) rdias (DS da face ABFE (vi) rsenddga, 34 Ser=ua +ya,+za, é o vetor posição do ponto (x, y. 2)e r = |rl. qual das seguintes igualdades é incorreta? (a) Vr= 1 db) Vor=1 (o) Vr-r=6 (O) Vxr= 3.5 Qual das seguintes operações não faz sentido? (a) grad div (b) div rot (c) grad rot (dy rot grad (e) div rot E, E Figura 3.25 Referente a Questão de Revisão 3.2, A de 6 a ado Cálculo Vetorial E 97 37 38 3.9 310 FP Figura 3.26 Referente a Questão de Revisão 3.3 (e também referente ao Exercício Prático 3.1). sen O do A, ar á 3» —, a a, Qual das seguintes operações resulta em zero? (a) grad div (b) div grad (c) rot grad (d) rotrot Dado um campo A = 3x'yza, + x'za, + (1'y— 29)a., pode-se afirmar que A é (a) Harmônico (b) Não-divergente (c) Solenoidal (d) Rotacional (e) Conservativo A densidade de corrente superficial J, em um guia de onda retangular, está representada na Figura 3.27. Observa-se na figura que J diverge na parede superior do guia, enquanto não diverge na pa- rede lateral do guia. (a) Verdadeiro. (b) Falso. O teorema de Stokes é aplicável somente quando existe um caminho fechado e o campo vetorial e suas derivadas são contínuas ao longo desse caminho. (a) Verdadeiro. (b) Falso. (c) Não necessariamente verdadeiro ou falso. Se um campo vetorial Q é solenoidal, qual das igualdades é verdadeira? (a) 4. Q-dl=0 db) &,Q-dS=0 (e) FxQ=0 (d) VxQHO (e) VQ=0